ทรงรี ไฮเปอร์โบลอยด์

ทรงรี- พื้นผิวในปริภูมิสามมิติ ได้จากการเสียรูปของทรงกลมตามแกนตั้งฉากสามแกน สมการบัญญัติของทรงรีในพิกัดคาร์ทีเซียนประจวบกับแกนเปลี่ยนรูปของทรงรี:.

ปริมาณ a, b, c เรียกว่ากึ่งแกนของทรงรี เรียกอีกอย่างว่าทรงรีคือร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวของทรงรี ทรงรีเป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นผิวลำดับที่สองที่เป็นไปได้

ในกรณีที่ครึ่งแกนคู่หนึ่งมีความยาวเท่ากัน สามารถรับวงรีได้โดยการหมุนวงรีรอบแกนของมัน ทรงรีดังกล่าวเรียกว่าทรงรีแห่งการปฏิวัติหรือทรงกลม

ทรงรีที่แม่นยำกว่าทรงกลมสะท้อนถึงพื้นผิวโลกในอุดมคติ

ปริมาตรทรงรี :.

พื้นที่ผิวของทรงรีปฏิวัติ:

ไฮเปอร์โบลอยด์- นี่คือประเภทของพื้นผิวของลำดับที่สองในปริภูมิสามมิติ ที่ระบุในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยสมการ - (ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียว) โดยที่ a และ b เป็นกึ่งแกนจริง และ c คือกึ่งแกนจินตภาพ หรือ - (ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น) โดยที่ a และ b เป็นเซมิแกนจินตภาพ และ c คือเซมิแกนจริง

ถ้า a = b พื้นผิวดังกล่าวเรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ ไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติหนึ่งแผ่นสามารถหาได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพ ซึ่งเป็นไฮเปอร์โบลาสองแผ่นรอบแกนจริงของมัน ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นของการปฏิวัติยังเป็นตำแหน่งของจุด P โมดูลัสของความแตกต่างระหว่างระยะทางจากจุดที่กำหนด A และ B สองจุดเป็นค่าคงที่: | AP - BP | = คอนสตรัค ในกรณีนี้ A และ B เรียกว่าจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลอยด์

ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวเป็นพื้นผิวที่มีผู้ปกครองคู่ ถ้ามันเป็นไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติ มันก็สามารถหาได้โดยการหมุนเส้นตรงรอบเส้นตรงอีกเส้นที่ตัดกับมัน

พาราโบลา- ประเภทของพื้นผิวของลำดับที่สอง พาราโบลาสามารถมีลักษณะเป็นพื้นผิวอันดับสองแบบเปิดที่ไม่ใช่ส่วนกลาง (นั่นคือไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร)

สมการพาราโบลาที่เป็นที่ยอมรับในพิกัดคาร์ทีเซียน:

· ถ้า a และ b เป็นเครื่องหมายเดียวกัน พาราโบลาจะเรียกว่ารูปวงรี

· ถ้า a และ b เป็นเครื่องหมายตรงข้ามกัน พาราโบลาจะเรียกว่าไฮเปอร์โบลิก

· หากสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับศูนย์ พาราโบลาจะเรียกว่าทรงกระบอกพาราโบลา

ü - พาราโบลาวงรีโดยที่ a และ b เป็นเครื่องหมายเดียวกัน พื้นผิวอธิบายโดยกลุ่มพาราโบลาขนานที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน จุดยอดที่อธิบายพาราโบลา โดยมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย ถ้า a = b พาราโบลาวงรีเป็นพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนตั้งที่เคลื่อนผ่านจุดยอดของพาราโบลานี้

ü - พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วของแทนเจนต์ต่อพาราโบลามีความสำคัญมาก เนื่องจากเป็นไปตามที่รังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดโฟกัสของกระจกพาราโบลาเว้า กล่าวคือ กระจกที่พื้นผิวได้มาจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนของมัน จะถูกสะท้อนโดย ลำแสงคู่ขนาน กล่าวคือ แกนกระจกคู่ขนาน (รูป)

คุณสมบัติของกระจกพาราโบลานี้ใช้ในการสร้างไฟค้นหา ในไฟหน้าของรถยนต์ทุกคัน รวมถึงในกล้องโทรทรรศน์กระจก ในกรณีนี้ ในกรณีหลัง รังสีที่มาจากสวรรค์กลับผกผัน เกือบจะขนานกัน พวกมันจะกระจุกตัวกันใกล้จุดโฟกัสของกระจกกล้องโทรทรรศน์ และเนื่องจากรังสีที่มาจากจุดต่างๆ ของดวงไฟนั้นไม่ขนานกันมาก พวกมันจึงรวมตัวอยู่ใกล้จุดโฟกัสที่จุดต่าง ๆ เพื่อให้ภาพของแสง หาได้ใกล้จุดโฟกัส ยิ่งทางยาวโฟกัสของพาราโบลายิ่งมาก ภาพนี้ดูผ่านกล้องจุลทรรศน์แล้ว (ช่องมองภาพด้วยกล้องโทรทรรศน์) พูดอย่างเคร่งครัดเฉพาะรังสีที่ขนานกับแกนของกระจกเท่านั้นที่ถูกรวบรวมไว้ที่จุดหนึ่ง (เข้าสู่โฟกัส) ในขณะที่รังสีคู่ขนานที่ไปทำมุมกับแกนของกระจกจะถูกรวบรวมที่จุดหนึ่งเท่านั้นและยิ่งไปกว่านี้ จุดจากโฟกัสภาพเบลอมากขึ้น สถานการณ์นี้จำกัด "ขอบเขตการมองเห็นของกล้องโทรทรรศน์"

ให้พื้นผิวด้านใน - พื้นผิวกระจกเงา - กระจกพาราโบลานี้ส่องสว่างด้วยลำแสงที่ขนานไปกับแกน OU หลังจากการสะท้อน รังสีทั้งหมดขนานกับแกน OY จะตัดกันที่จุดหนึ่งบนแกน OY (โฟกัส F) การออกแบบกล้องโทรทรรศน์พาราโบลาขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ รังสีจากดวงดาวที่อยู่ห่างไกลเข้ามาหาเราในรูปของลำแสงคู่ขนาน เมื่อสร้างกล้องดูดาวพาราโบลาและวางจานภาพถ่ายไว้ในโฟกัส เราก็มีโอกาสที่จะขยายสัญญาณแสงที่มาจากดาวฤกษ์

หลักการเดียวกันนี้รองรับการสร้างเสาอากาศแบบพาราโบลาที่ช่วยให้คุณสามารถขยายสัญญาณวิทยุได้ หากเราวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดโฟกัสของกระจกพาราโบลา จากนั้นหลังจากการสะท้อนจากพื้นผิวของกระจก รังสีที่มาจากแหล่งกำเนิดนี้จะไม่กระจัดกระจาย แต่จะถูกรวบรวมเป็นลำแสงแคบขนานกับแกนของกระจก . ข้อเท็จจริงนี้พบการประยุกต์ใช้ในการผลิตโปรเจ็กเตอร์และโคมไฟ โปรเจ็กเตอร์ต่างๆ กระจกที่ทำขึ้นในรูปของพาราโบลา

คุณสมบัติทางแสงที่กล่าวถึงข้างต้นของกระจกพาราโบลาใช้ในการสร้างกล้องโทรทรรศน์กระจก การติดตั้งระบบทำความร้อนด้วยแสงอาทิตย์แบบต่างๆ และไฟค้นหา โดยการวางแหล่งกำเนิดแสงที่มีประสิทธิภาพในโฟกัสของกระจกพาราโบลา เราจะได้ลำแสงสะท้อนที่หนาแน่นขนานไปกับแกนของกระจก

เมื่อพาราโบลาหมุนรอบแกน จะได้รูปซึ่งเรียกว่าพาราโบลา หากพื้นผิวด้านในของพาราโบลาถูกสะท้อนและลำแสงที่ขนานกับแกนสมมาตรของพาราโบลาพุ่งตรงไปที่มัน จากนั้นรังสีสะท้อนจะถูกรวบรวมไว้ที่จุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดโฟกัส ในเวลาเดียวกัน หากวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ในโฟกัส รังสีที่สะท้อนจากพื้นผิวกระจกของพาราโบลาจะขนานกันและไม่กระจัดกระจาย

คุณสมบัติแรกทำให้สามารถรับอุณหภูมิสูงที่จุดโฟกัสของพาราโบลาได้ ตามตำนาน อาร์คิมิดีส นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณใช้สมบัตินี้ (287-212 ปีก่อนคริสตกาล) ขณะปกป้องซีราคิวส์ในสงครามกับชาวโรมัน เขาได้สร้างระบบกระจกโค้งซึ่งทำให้สามารถโฟกัสรังสีสะท้อนของดวงอาทิตย์บนเรือของชาวโรมันได้ เป็นผลให้อุณหภูมิที่จุดโฟกัสของกระจกพาราโบลานั้นสูงมากจนเกิดเพลิงไหม้บนเรือและพวกมันก็ถูกไฟไหม้

คุณสมบัติที่สองใช้เช่นในการผลิตสปอตไลท์และไฟหน้ารถ

ไฮเพอร์โบลา

4. คำจำกัดความของไฮเปอร์โบลาทำให้เรามีวิธีง่ายๆ ในการสร้างมันในการเคลื่อนที่ต่อเนื่อง: นำสองเส้น ความแตกต่างของความยาวคือ 2a และแนบปลายด้านหนึ่งของเกลียวเหล่านี้กับจุด F "และ F หากคุณถืออีกด้านหนึ่ง ใช้ปลายทั้งสองข้างด้วยมือของคุณแล้วเคลื่อนไปตามเส้นด้วยปลายดินสอ ระวังว่าด้ายถูกกดทับกระดาษ ตึงและสัมผัส โดยเริ่มจากปลายวาดถึงทางแยกของปลาย ปลายจะวาด ส่วนหนึ่งของกิ่งก้านของไฮเพอร์โบลา (ยิ่งยาวก็ยิ่งมีเกลียวยาวขึ้น) (รูปที่)

การสลับบทบาทของคะแนน F "และ F เราจะได้ส่วนหนึ่งของสาขาอื่น

ตัวอย่างเช่น,ในหัวข้อ "เส้นโค้งของลำดับที่ 2" เราสามารถพิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

งาน.สถานีรถไฟ A และ B สองสถานีอยู่ห่างจากกันเป็นระยะทาง s กม. สินค้าสามารถส่งไปยังจุดใดก็ได้ M จากสถานี A ไม่ว่าจะโดยการขนส่งทางถนนโดยตรง (รางแรก) หรือทางรถไฟไปยังสถานี B และจากที่นั่นโดยรถยนต์ (รางที่สอง) อัตราค่ารถไฟ (ราคาขนส่ง 1 ตันต่อ 1 กม.) คือ m rubles อัตราค่าขนส่งทางถนนคือ n rubles n> m อัตราค่าขนส่งสำหรับการขนถ่ายคือ k rubles กำหนดพื้นที่ที่มีอิทธิพลของสถานีรถไฟ B นั่นคือพื้นที่ที่ถูกกว่าในการส่งมอบสินค้าจากสถานี A โดยทางผสม - โดยทางรถไฟแล้วตามถนนเช่น กำหนดตำแหน่งของจุดที่เส้นทางที่สองได้เปรียบมากกว่าเส้นทางแรก

วิธีการแก้.เราแสดงว่า AM = r, BM = г จากนั้นค่าใช้จ่ายในการจัดส่ง (การขนส่งและการขนถ่าย) ตามเส้นทาง AM เท่ากับ nr + k และค่าใช้จ่ายในการจัดส่งตามเส้นทาง ABM เท่ากับ ms + 2k + nг . จากนั้นจุด M ซึ่งทั้งสองค่าเท่ากันให้เป็นไปตามสมการ nr + k = ms + 2k + nг หรือ

ms + k = nr - ng

r - r = = const> 0,

ดังนั้น เส้นที่ล้อมรอบขอบเขตจึงเป็นหนึ่งในกิ่งของไฮเพอร์โบลา | r - r | = คอนสตรัค สำหรับทุกจุดของระนาบที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งโดยมีจุด A จากไฮเปอร์โบลานี้ เส้นทางแรกจะได้เปรียบมากกว่า และสำหรับจุดที่อยู่อีกด้านหนึ่ง ดังนั้นสาขาของไฮเปอร์โบลาจึงกำหนดขอบเขตของอิทธิพล ของสถานีบี

ตัวแปรของงานนี้.

สถานีรถไฟ A และ B สองแห่งอยู่ห่างจากกัน l กม. สินค้าสามารถส่งไปยังจุด M จากสถานี A ไม่ว่าจะโดยการขนส่งทางถนนโดยตรง หรือโดยรถไฟไปยังสถานี B และจากที่นั่นโดยรถยนต์ (รูปที่ 49) ในกรณีนี้ อัตราค่ารถไฟ (ราคาขนส่ง 1 ตันต่อ 1 กม.) คือ m rubles การขนถ่ายค่าใช้จ่าย k rubles (ต่อ 1 ตัน) และอัตราค่าขนส่งทางถนนคือ n rubles (n> m) ให้เรากำหนดโซนที่เรียกว่าอิทธิพลของสถานีรถไฟ B นั่นคือโซนที่ถูกกว่าในการจัดส่งสินค้าจาก A ด้วยวิธีผสม: โดยทางรถไฟและทางถนน

วิธีการแก้.ค่าใช้จ่ายในการจัดส่งสินค้า 1 ตันตามเส้นทาง AM คือ r n โดยที่ r = AM และตามเส้นทาง AВМ จะเท่ากับ 1m + k + r n เราจำเป็นต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า r n 1m + k + r n และกำหนดวิธีการกระจายจุดบนเครื่องบิน (x, y) ซึ่งถูกกว่าในการส่งมอบสินค้าไม่ว่าจะในเส้นทางแรกหรือเส้นทางที่สอง

ให้เราหาสมการของเส้นตรงที่สร้างเส้นขอบระหว่างสองโซนนี้ นั่นคือ ตำแหน่งของจุดที่ทั้งสองเส้นทาง "ได้เปรียบอย่างเท่าเทียมกัน":

r n = 1m + k + r n

จากเงื่อนไขนี้ เราจะได้ r - r = = const

ดังนั้น เส้นแบ่งคือไฮเปอร์โบลา สำหรับจุดภายนอกทั้งหมดของไฮเพอร์โบลานี้ เส้นทางแรกจะได้เปรียบมากกว่า และสำหรับจุดภายใน เส้นทางที่สอง ดังนั้นไฮเปอร์โบลาจะร่างโซนอิทธิพลของสถานีบี สาขาที่สองของไฮเปอร์โบลาจะร่างโซนอิทธิพลของสถานี A (สินค้าถูกส่งจากสถานี B) มาหาพารามิเตอร์ของไฮเปอร์โบลากัน แกนหลักของมันคือ 2a = และระยะห่างระหว่างจุดโฟกัส (ซึ่งเป็นสถานี A และ B) ในกรณีนี้คือ 2c = l

ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับความเป็นไปได้ของปัญหานี้ กำหนดโดยความสัมพันธ์ a< с, будет

ปัญหานี้เชื่อมโยงแนวคิดทางเรขาคณิตนามธรรมของไฮเปอร์โบลากับปัญหาการขนส่งและเศรษฐกิจ

ตำแหน่งของจุดที่ต้องการคือชุดของจุดที่อยู่ภายในกิ่งด้านขวาของไฮเปอร์โบลาที่มีจุด B

6. ฉันรู้ " เครื่องจักรกลการเกษตร»มุมล้อและมุมม้วนเป็นคุณลักษณะด้านประสิทธิภาพที่สำคัญของรถแทรกเตอร์บนทางลาดที่แสดงความเสถียร

เพื่อความเรียบง่าย เราจะพิจารณารถแทรกเตอร์แบบมีล้อ พื้นผิวที่รถแทรกเตอร์ทำงาน (อย่างน้อยก็เป็นส่วนที่ค่อนข้างเล็ก) ถือได้ว่าเป็นระนาบ (ระนาบการเคลื่อนที่) แกนตามยาวของรถแทรกเตอร์เป็นการฉายเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างเพลาหน้าและเพลาหลังเข้ากับระนาบการเคลื่อนที่ มุมม้วนด้านข้างคือมุมที่เกิดขึ้นจากระนาบแนวนอนของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนตามยาวและอยู่ในระนาบของการเคลื่อนที่

เมื่อศึกษาหัวข้อ "เส้นและระนาบในอวกาศ" ในวิชาคณิตศาสตร์ เราพิจารณางานต่อไปนี้:

ก) ค้นหามุมเอียงตามยาวของรถแทรกเตอร์ที่เคลื่อนที่ไปตามทางลาดหากทราบมุมของความลาดชันและมุมเบี่ยงเบนของวิถีของรถแทรกเตอร์จากทิศทางตามยาว

ข) มุมเอียงสูงสุดที่อนุญาตของความลาดชันที่รถแทรกเตอร์สามารถยืนได้โดยไม่พลิกคว่ำเรียกว่ามุมจำกัดของการม้วนด้านข้างของรถแทรกเตอร์ พารามิเตอร์ใดของรถแทรกเตอร์เพียงพอที่จะทราบเพื่อกำหนดมุมจำกัดของม้วนด้านข้าง วิธีหาสิ่งนี้
ฉีด?

7. การมีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าแบบตรงใช้ในอุปกรณ์ก่อสร้าง ผู้ก่อตั้งการประยุกต์ใช้ความจริงข้อนี้คือวิศวกรชาวรัสเซียชื่อดัง Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939) V.G.Shukhov ดำเนินการก่อสร้างเสากระโดงเสาและฐานรองรับซึ่งประกอบด้วยคานโลหะซึ่งอยู่ตามแนวเส้นตรง ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติความแข็งแรงสูงของโครงสร้างดังกล่าว รวมกับความเบา ต้นทุนการผลิตต่ำ และความสง่างาม ทำให้มั่นใจได้ว่ามีการใช้งานอย่างแพร่หลายในการก่อสร้างสมัยใหม่

8. กฎการเคลื่อนที่ของร่างกายที่เป็นของแข็ง

สำหรับร่างกายที่เป็นอิสระ การเคลื่อนไหวทุกประเภทเป็นไปได้เท่าเทียมกัน แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าการเคลื่อนไหวของร่างกายที่เป็นอิสระนั้นไม่เป็นระเบียบ ไม่ปฏิบัติตามกฎหมายใดๆ ในทางตรงกันข้าม การเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็งโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างภายนอกนั้น ถูกจำกัดโดยกฎว่าด้วยจุดศูนย์กลางมวลและถูกลดขนาดเป็นการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่ง และการเคลื่อนที่แบบหมุนจะกระทำโดยแกนที่เรียกว่าแกนหลัก ของความเฉื่อยหรือ ทรงรีของความเฉื่อย... ดังนั้น แท่งไม้ที่ถูกโยนลงสู่ที่ว่าง หรือเมล็ดพืชที่หลุดออกจากการคัดแยก ฯลฯ จะเคลื่อนที่ตามการแปลความหมาย เหมือนกับจุดหนึ่ง (จุดศูนย์กลางของมวล) และในขณะเดียวกันก็หมุนรอบจุดศูนย์กลางมวล โดยทั่วไป ในการเคลื่อนที่เชิงแปล วัตถุที่แข็งกระด้างโดยไม่คำนึงถึงรูปร่างหรือเครื่องจักรที่ซับซ้อนสามารถถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว (ศูนย์กลางของมวล) และด้วยการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วยรูปวงรีของความเฉื่อย , เวกเตอร์รัศมีซึ่งเท่ากับ - โดยที่ / คือโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของทรงรี

หากโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเปลี่ยนแปลงไปด้วยเหตุผลบางประการในระหว่างการหมุน ความเร็วในการหมุนก็จะเปลี่ยนไปตามนั้น ตัวอย่างเช่น ในระหว่างการกระโดดข้ามศีรษะ นักกายกรรมจะถูกบีบอัดเป็นลูกบอล ซึ่งทำให้โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายลดลง และความเร็วในการหมุนเพิ่มขึ้น ซึ่งจำเป็นสำหรับความสำเร็จของการกระโดด ในทำนองเดียวกัน เมื่อผู้คนลื่นไถล พวกเขาจะเหยียดแขนไปด้านข้าง ซึ่งจะเพิ่มโมเมนต์ความเฉื่อยและลดความเร็วของการหมุน ในทำนองเดียวกัน โมเมนต์ความเฉื่อยของคราดของรีปเปอร์รอบแกนตั้งระหว่างการหมุนรอบแกนนอนก็แปรผันเช่นกัน

พาราโบลาวงรี

พาราโบลาวงรีที่มี a = b = 1

พาราโบลาวงรี- พื้นผิวอธิบายโดยฟังก์ชันของแบบฟอร์ม

,

ที่ไหน NSและ NSหนึ่งสัญญาณ พื้นผิวอธิบายโดยกลุ่มพาราโบลาขนานที่มีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน จุดยอดที่อธิบายพาราโบลา โดยมีกิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย

ถ้า NS = NSจากนั้นพาราโบลาวงรีจะเป็นพื้นผิวของการปฏิวัติที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลารอบแกนตั้งที่ผ่านจุดยอดของพาราโบลานี้

ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา

ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาที่มี a = b = 1

ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา(เรียกว่า "hypar" ในการก่อสร้าง) - พื้นผิวรูปอานม้าอธิบายไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยสมการของแบบฟอร์ม

.

การแสดงครั้งที่สองแสดงให้เห็นว่าไฮเพอร์โบลิกพาราโบลาเป็นพื้นผิวที่มีกฎเกณฑ์

พื้นผิวสามารถเกิดขึ้นได้จากการเคลื่อนที่ของพาราโบลา ซึ่งกิ่งก้านจะชี้ลงไปตามพาราโบลา ซึ่งกิ่งก้านของมันพุ่งขึ้นไปข้างบน โดยมีเงื่อนไขว่าพาราโบลาแรกสัมผัสกับจุดยอดที่สองของมัน

พาราโบลาในโลก

ในเทคโนโลยี

ในงานศิลปะ

ในวรรณคดี

อุปกรณ์ที่อธิบายไว้ใน Hyperboloid ของ Engineer Garin ควรจะเป็น พาราโบลา.

มูลนิธิวิกิมีเดีย 2553.

• Elon Menachem
• Eltang

ดูว่า "วงรีพาราโบลา" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

พาราโบลอยด์รูปไข่ พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

พาราโบลาวงรี- หนึ่งในสองประเภทของพาราโบลา * * * ELLIPTIC PARABOLOID ELLIPTIC PARABOLOID หนึ่งในสองประเภทของพาราโบลา (ดู PARABOLOIDS) ... พจนานุกรมสารานุกรม

พาราโบลาวงรี- หนึ่งในสองประเภทของพาราโบลา (ดูพาราโบลา) ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

พาราโบลอยด์รูปไข่- พื้นผิวที่ไม่ปิดของลำดับที่สอง เป็นที่ยอมรับ สมการของ E. p. มีรูปแบบของ E. p. อยู่ที่ด้านหนึ่งของระนาบ Oxy (ดูรูป) ส่วนของ E. p. ระนาบขนานกับระนาบ Oxy เป็นวงรีที่มีความเยื้องศูนย์เท่ากัน (ถ้า p ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

พาราโบลอยด์รูปไข่- หนึ่งในสองประเภทของพาราโบลา ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

พาราโบลอยด์- (กรีก จากพาราโบลพาราโบลา และความคล้ายคลึง eidos) ร่างกายที่เกิดจากพาราโบลาหมุน พจนานุกรมคำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov AN, 1910. PARABOLOID เป็นรูปเรขาคณิตที่เกิดจากการหมุนของพาราโบลา ดังนั้น ... ... พจนานุกรมคำต่างประเทศของภาษารัสเซีย

พาราโบลอยด์- พาราโบลา, พาราโบลา, สามี (ดูพาราโบลา) (เสื่อ) พื้นผิวอันดับสองที่ไม่มีจุดศูนย์กลาง พาราโบลาแห่งการปฏิวัติ (เกิดขึ้นจากการหมุนพาราโบลารอบแกนของมัน) พาราโบลาวงรี ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov ... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

พาราโบลอยด์- PARABOLOID พื้นผิวที่ได้รับเมื่อพาราโบลาเคลื่อนที่ซึ่งเป็นยอดที่เลื่อนไปตามอีกอันหนึ่งพาราโบลาคงที่ (มีแกนสมมาตรขนานกับแกนของพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่) ในขณะที่ระนาบของมันเลื่อนขนานไปกับตัวมันเองยังคงอยู่ ... ... สารานุกรมสมัยใหม่

พาราโบลา- - ประเภทของพื้นผิวของลำดับที่สอง พาราโบลาสามารถแสดงลักษณะเป็นพื้นผิวอันดับสองแบบเปิดนอกจุดศูนย์กลาง (นั่นคือ ไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร) สมการ Canonical ของพาราโบลาในพิกัดคาร์ทีเซียน: if และ one ... ... Wikipedia

พาราโบลอยด์- พื้นผิวนอกศูนย์กลางที่ไม่ปิดของลำดับที่สอง เป็นที่ยอมรับ สมการของ P.: พาราโบลาวงรี (สำหรับ p = q เรียกว่า P. ของการหมุน) และพาราโบลาไฮเปอร์โบลิก เอ.บี.อีวานอฟ ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลายังเป็นของพื้นผิวของลำดับที่สอง ไม่สามารถรับพื้นผิวนี้ได้โดยการใช้อัลกอริธึมโดยใช้การหมุนของเส้นบางเส้นเกี่ยวกับแกนคงที่

แบบจำลองพิเศษถูกใช้เพื่อสร้างไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา โมเดลนี้มีพาราโบลาสองอันที่อยู่ในระนาบตั้งฉากกันสองระนาบ

ให้พาราโบลาฉันอยู่ในระนาบและไม่เคลื่อนไหว Parabola II สร้างการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อน:

▫ ตำแหน่งเริ่มต้นตรงกับระนาบ
และจุดยอดของพาราโบลาตรงกับจุดกำเนิด: =(0,0,0);

▫ เพิ่มเติม พาราโบลานี้ทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบขนานและบนสุด
ทำให้วิถีสอดคล้องกับพาราโบลา I;

▫ สองตำแหน่งเริ่มต้นที่แตกต่างกันของพาราโบลา II ได้รับการพิจารณา: หนึ่ง - กิ่งก้านของพาราโบลาขึ้น, ที่สอง - กิ่งลง

ให้เราเขียนสมการ: สำหรับพาราโบลาแรก I:
- คงที่; สำหรับพาราโบลาที่สองที่สอง:
- ตำแหน่งเริ่มต้น สมการการเคลื่อนที่:
ไม่ยากเห็นตรงประเด็น
มีพิกัด:
... เนื่องจากจำเป็นต้องแสดงกฎการเคลื่อนที่ของจุด
: จุดนี้เป็นของพาราโบลา I ดังนั้นความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะต้องเป็นที่พอใจเสมอ: =
และ
.

สังเกตได้ง่ายจากลักษณะทางเรขาคณิตของแบบจำลองที่พาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้ กวาดขึ้น พื้นผิวบางส่วน ในกรณีนี้ สมการของพื้นผิวที่อธิบายโดยพาราโบลา II มีรูปแบบดังนี้

หรือ →
. (1)

รูปร่างของพื้นผิวที่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจายของสัญญาณพารามิเตอร์
... เป็นไปได้สองกรณี:

หนึ่ง). สัญญาณของปริมาณ NSและ NSตรง: พาราโบลา I และ II อยู่ด้านเดียวกันของระนาบ OXY... ลองมา: NS = NS 2 และ NS = NS 2 ... จากนั้นเราจะได้สมการของพื้นผิวที่รู้จัก:

→ พาราโบลาวงรี . (2)

2). สัญญาณของปริมาณ NSและ NSแตกต่างกัน: พาราโบลา I และ II ตั้งอยู่บนด้านตรงข้ามของระนาบ OXY... ปล่อยให้เป็น NS = NS 2 และ NS = - NS 2 ... ตอนนี้เราได้สมการของพื้นผิว:

→ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา . (3)

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงรูปทรงเรขาคณิตของพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ (3) หากเราจำแบบจำลองจลนศาสตร์ของปฏิสัมพันธ์ของพาราโบลาสองตัวที่มีส่วนร่วมในการเคลื่อนไหว

ในรูป พาราโบลา I จะแสดงตามอัตภาพเป็นสีแดง แสดงเฉพาะบริเวณพื้นผิวที่จุดกำเนิดเท่านั้น เนื่องจากรูปร่างของพื้นผิวบ่งบอกถึงอานม้าของทหารม้าอย่างชัดเจน ย่านนี้จึงมักถูกเรียกว่า - อาน .

ในวิชาฟิสิกส์เมื่อศึกษาความเสถียรของกระบวนการ ประเภทของสมดุลจะถูกแนะนำ: เสถียร - รู, นูนลง, ไม่เสถียร - พื้นผิวนูนขึ้นและกลาง - อาน ดุลยภาพประเภทที่สามเรียกอีกอย่างว่าประเภทของสมดุลที่ไม่เสถียร และเป็นไปได้เฉพาะบนเส้นสีแดง (พาราโบลา I) ดุลยภาพเท่านั้น

§ 4. พื้นผิวทรงกระบอก

เมื่อพิจารณาพื้นผิวของการปฏิวัติ เราได้ระบุพื้นผิวทรงกระบอกที่ง่ายที่สุด - ทรงกระบอกของการปฏิวัติ นั่นคือ ทรงกระบอกทรงกลม

ในเรขาคณิตเบื้องต้น ทรงกระบอกถูกกำหนดโดยการเปรียบเทียบกับคำจำกัดความทั่วไปของปริซึม มันค่อนข้างซับซ้อน:

▫ ให้เรามีรูปหลายเหลี่ยมแบนในอวกาศ
- แสดงว่าเป็น และรูปหลายเหลี่ยมก็ตรงกับมัน
- แสดงว่าเป็น
;

▫ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยม
การเคลื่อนไหวแบบขนานการแปล: จุด
เคลื่อนที่ไปตามวิถีคู่ขนานกับทิศทางที่กำหนด ;

▫ถ้าคุณหยุดย้ายรูปหลายเหลี่ยม
แล้วเครื่องบินของมัน
ขนานกับระนาบ ;

▫พื้นผิวของปริซึมเรียกว่า: ชุดของรูปหลายเหลี่ยม ,
– บริเวณ ปริซึมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน
,
,... – พื้นผิวด้านข้าง ปริซึม

ใน เราจะใช้คำจำกัดความเบื้องต้นของปริซึมเพื่อสร้างคำจำกัดความทั่วไปของปริซึมและพื้นผิว กล่าวคือ เราจะแยกความแตกต่างระหว่าง:

▫ปริซึมไม่ จำกัด เป็นวัตถุหลายแง่มุมล้อมรอบด้วยขอบ ,, ... และระนาบระหว่างขอบเหล่านี้

▫ ปริซึมที่มีขอบเป็นวัตถุหลายหน้าที่มีขอบล้อมรอบ ,, ... และสี่เหลี่ยมด้านขนาน
,
, ...; พื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้คือชุดของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
,
, ...; ฐานปริซึม - ชุดของรูปหลายเหลี่ยม ,
.

ให้เราได้ปริซึมไม่จำกัด: ,, ... ข้ามปริซึมนี้ด้วยระนาบใดก็ได้ ... ข้ามปริซึมเดียวกันกับระนาบอื่นกันเถอะ
... ในส่วนนี้เราจะได้รูปหลายเหลี่ยม
... ในกรณีทั่วไป เราคิดว่าระนาบ
ไม่ขนานกับระนาบ ... ซึ่งหมายความว่าปริซึมไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยการแปลแบบคู่ขนานของรูปหลายเหลี่ยม .

การสร้างปริซึมที่เสนอนั้นไม่เพียงแต่รวมถึงปริซึมแบบตรงและแบบเอียงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงปริซึมแบบตัดปลายด้วย

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เราจะเข้าใจพื้นผิวทรงกระบอกในลักษณะทั่วไปที่ทรงกระบอกที่ไม่มีขอบเขตรวมปริซึมที่ไม่มีขอบเขตเป็นกรณีพิเศษ: มีเพียงสันนิษฐานว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถถูกแทนที่ด้วยเส้นโดยพลการ ไม่จำเป็นต้องปิด - แนะนำ กระบอก ทิศทาง เรียกว่า genetrix กระบอก

จากทั้งหมดที่กล่าวมา การกำหนดพื้นผิวทรงกระบอก จำเป็นต้องระบุเส้นบอกแนวและทิศทางของ generatrix

พื้นผิวทรงกระบอกได้มาจากการเสิร์ฟเส้นโค้งระนาบลำดับที่ 2 มัคคุเทศก์ สำหรับ เครื่องกำเนิดไฟฟ้า .

ในระยะเริ่มต้นของการศึกษาพื้นผิวทรงกระบอก เราทำการตั้งสมมติฐานอย่างง่าย:

▫ ให้ตัวนำของพื้นผิวทรงกระบอกอยู่ในระนาบพิกัดอันใดอันหนึ่งเสมอ

▫ทิศทางของกำเนิด ประจวบกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง กล่าวคือ ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดแนวปฏิบัติ

ข้อ จำกัด ที่นำมาใช้ไม่นำไปสู่การสูญเสียความทั่วไปเนื่องจากยังคงมีความเป็นไปได้เนื่องจากการเลือกส่วนโดยเครื่องบิน และ
สร้างรูปทรงเรขาคณิตตามอำเภอใจ: ทรงกระบอกตรงเอียงและตัดทอน

ทรงกระบอกรูปไข่ .

ให้วงรีถูกนำมาใช้เป็นกระบอกนำทาง :
อยู่ในระนาบพิกัด

: ทรงกระบอกรูปไข่

กระบอกไฮเปอร์โบลิก .

:

และทิศทางของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากำหนดแกน
... ในกรณีนี้ สมการของทรงกระบอกคือเส้นตรงนั่นเอง : กระบอกไฮเปอร์โบลิก

รูปทรงกระบอกพาราโบลา .

ให้ไฮเปอร์โบลาเป็นตัวนำทางทรงกระบอก :
อยู่ในระนาบพิกัด
และทิศทางของเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากำหนดแกน
... ในกรณีนี้ สมการของทรงกระบอกคือเส้นตรงนั่นเอง : ทรงกระบอกพาราโบลา

ความคิดเห็น: โดยคำนึงถึงกฎทั่วไปสำหรับการสร้างสมการของพื้นผิวทรงกระบอกตลอดจนตัวอย่างเฉพาะของทรงกระบอกทรงรี ไฮเพอร์โบลิก และพาราโบลาที่นำเสนอ เราทราบ: การสร้างทรงกระบอกสำหรับเครื่องกำเนิดอื่น ๆ สำหรับเงื่อนไขการลดความซับซ้อนที่นำมาใช้ ควร ไม่ก่อให้เกิดความยุ่งยากใดๆ!

ให้เราพิจารณาเงื่อนไขทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับการสร้างสมการของพื้นผิวทรงกระบอก:

▫ไกด์ของพื้นผิวทรงกระบอกตั้งอยู่ในระนาบของอวกาศโดยพลการ
;

▫ทิศทางของกำเนิด ในระบบพิกัดที่นำมาใช้โดยพลการ

เราจะพรรณนาเงื่อนไขที่ยอมรับไว้ในรูป

▫คู่มือพื้นผิวทรงกระบอก อยู่ในระนาบโดยพลการ ช่องว่าง
;

▫ระบบพิกัด
ได้จากระบบพิกัด
การถ่ายโอนแบบขนาน

▫แนะนำสถานที่ ในเครื่องบิน ที่ต้องการมากที่สุด: สำหรับเส้นโค้งของลำดับที่ 2 เราจะถือว่าที่มาของพิกัด ประจวบกับ ศูนย์กลาง ความสมมาตรของเส้นโค้งที่พิจารณา

▫ทิศทางของกำเนิด โดยพลการ (สามารถระบุด้วยวิธีใดก็ได้: เวกเตอร์ เส้นตรง ฯลฯ)

ต่อไปนี้เราจะถือว่าระบบพิกัด
และ
จับคู่. ซึ่งหมายความว่าขั้นตอนที่ 1 ของอัลกอริทึมทั่วไปสำหรับการสร้างพื้นผิวทรงกระบอกซึ่งสะท้อนการแปลแบบคู่ขนาน:
→
ถูกดำเนินการล่วงหน้า

ให้เรานึกถึงวิธีการโอนแบบขนานในกรณีทั่วไปโดยพิจารณาจากตัวอย่างง่ายๆ

ตัวอย่างที่ 6–13 : ในระบบพิกัด
เช่น:
= 0. เขียนสมการของแนวปฏิบัตินี้ลงในระบบ
.

วิธีการแก้:

หนึ่ง). เราแสดงถึงจุดโดยพลการ
: ในระบบ
อย่างไร
และในระบบ
อย่างไร
.

2). เราเขียนความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์:
=
+
... ในรูปแบบพิกัดสามารถเขียนได้ดังนี้:
=
+
... หรือในรูปแบบ:
=
–
, หรือ:
=.

3). เราเขียนสมการของไกด์ทรงกระบอก ในระบบพิกัด
:

คำตอบ: สมการแนวปฏิบัติที่แปลงแล้ว: = 0.

ดังนั้น เราจะถือว่าจุดศูนย์กลางของเส้นโค้งแทนไกด์กระบอกนั้นอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัดของระบบเสมอ
ในเครื่องบิน .

ข้าว. ใน ... การวาดภาพพื้นฐานเมื่อสร้างกระบอกสูบ

เรามาสร้างสมมติฐานอีกข้อหนึ่งเพื่อลดความซับซ้อนของขั้นตอนสุดท้ายของการสร้างพื้นผิวทรงกระบอก เนื่องจากใช้การหมุนของระบบพิกัด ทำให้ง่ายต่อการจัดทิศทางของแกน
ระบบพิกัด
กับเครื่องบินปกติ และทิศทางของแกน
และ
ด้วยแกนสมมาตรของไกด์ จากนั้นเราจะถือว่าเป็นตำแหน่งเริ่มต้นของไกด์ เรามีเส้นโค้งอยู่ในระนาบ
และแกนสมมาตรอันหนึ่งตรงกับแกน
และวินาทีที่มีแกน
.

ความคิดเห็น: เนื่องจากการดำเนินการของการดำเนินการแบบขนานการถ่ายโอนและการหมุนรอบแกนคงที่ของการดำเนินการนั้นค่อนข้างง่าย สมมติฐานที่ทำขึ้นไม่ได้จำกัดการบังคับใช้ของอัลกอริธึมที่พัฒนาแล้วสำหรับการสร้างพื้นผิวทรงกระบอกในกรณีทั่วไปส่วนใหญ่!

เราเห็นว่าเมื่อสร้างพื้นผิวทรงกระบอกในกรณีที่ไกด์ อยู่ในเครื่องบิน
และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนานกับแกน
ให้นิยามไว้เพียงแนวทางก็พอ .

เนื่องจากพื้นผิวทรงกระบอกสามารถกำหนดได้โดยไม่ซ้ำกันโดยการระบุเส้นใดๆ ที่ได้รับในส่วนของพื้นผิวนี้โดยระนาบใดก็ได้ เราจะยอมรับอัลกอริทึมทั่วไปต่อไปนี้สำหรับการแก้ปัญหา:

1 ▫ ... ให้ทิศทางของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า พื้นผิวทรงกระบอกถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ ... เราจะออกแบบคู่มือ กำหนดโดยสมการ:
= 0 บนระนาบตั้งฉากกับทิศทางของกำเนิด , นั่นคือ, บนเครื่องบิน
... เป็นผลให้พื้นผิวทรงกระบอกจะถูกระบุในระบบพิกัด
สมการ:
=0.

2 ▫
รอบแกน
ที่มุม
: ความหมายของมุม
เข้ากันได้กับระบบ
และสมการของพื้นผิวรูปกรวยถูกแปลงเป็นสมการ:
=0.

3 ▫ ... ใช้การหมุนของระบบพิกัด
รอบแกน
ที่มุม
: ความหมายของมุม จากรูปค่อนข้างชัดเจน อันเป็นผลมาจากการหมุนระบบพิกัด
เข้ากันได้กับระบบ
และสมการของพื้นผิวรูปกรวยจะเปลี่ยนเป็น
= 0. นี่คือสมการของพื้นผิวทรงกระบอกที่ให้ไกด์ และทำให้เกิด ในระบบพิกัด
.

ตัวอย่างด้านล่างแสดงให้เห็นถึงการใช้งานอัลกอริธึมที่เป็นลายลักษณ์อักษรและความยากในการคำนวณของงานดังกล่าว

ตัวอย่างที่ 6–14 : ในระบบพิกัด
จะได้สมการของไกด์ทรงกระบอก เช่น:
= 9 สร้างสมการของทรงกระบอกที่มีตัวกำเนิดขนานกับเวกเตอร์ =(2,–3,4).

NS
วิธีการแก้:

หนึ่ง). มาออกแบบกระบอกสูบบนระนาบตั้งฉากกับ ... เป็นที่ทราบกันดีว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวจะเปลี่ยนวงกลมที่กำหนดให้เป็นวงรีซึ่งแกนจะเป็น: = 9 และเล็ก =
.

รูปนี้แสดงให้เห็นการออกแบบของวงกลมที่กำหนดไว้ในระนาบ
บนระนาบพิกัด
.

2). ผลลัพธ์ของการออกแบบวงกลมคือวงรี:
= 1, หรือ
... ในกรณีของเรา สิ่งเหล่านี้คือ:
, ที่ไหน
==.

3
). ดังนั้น สมการของพื้นผิวทรงกระบอกในระบบพิกัด
ได้รับ. เนื่องจากตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะต้องมีสมการของทรงกระบอกนี้ในระบบพิกัด
แล้วมันยังคงใช้การแปลงพิกัดที่แปลระบบพิกัด
เพื่อประสานงานระบบ
พร้อมกับสมการของทรงกระบอก:
เป็นสมการที่แสดงในรูปของตัวแปร
.

4). เราจะใช้ ขั้นพื้นฐาน คิดและจดค่าตรีโกณมิติทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา:

==,
==,
==.

ห้า). ให้เราเขียนสูตรการแปลงสำหรับพิกัดเมื่อผ่านจากระบบ
เข้าระบบ
:
(ใน)

6). ให้เราเขียนสูตรการแปลงสำหรับพิกัดเมื่อผ่านจากระบบ
เข้าระบบ
:
(กับ)

7). การแทนที่ตัวแปร
จากระบบ (B) ถึงระบบ (C) และคำนึงถึงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้ด้วยเราเขียน:

=
=
.

=
=
.

แปด). มันยังคงแทนที่ค่าที่พบ และ ลงในสมการไกด์กระบอก :
ในระบบพิกัด
... หลังทำเสร็จ อย่างระมัดระวัง การแปลงพีชคณิตทั้งหมด เราได้รับสมการของพื้นผิวรูปกรวยในระบบพิกัด
: =0.

คำตอบ: สมการรูปกรวย: = 0.

ตัวอย่างที่ 6–15 : ในระบบพิกัด
จะได้สมการของไกด์ทรงกระบอก เช่น:
=9, = 1 สร้างสมการของทรงกระบอกที่มีตัวกำเนิดขนานกับเวกเตอร์ =(2,–3,4).

วิธีการแก้:

หนึ่ง). ง่ายที่จะเห็นว่าตัวอย่างนี้แตกต่างจากตัวอย่างก่อนหน้านี้เพียงเพราะว่าแนวทางถูกเลื่อนขึ้น 1 แบบคู่ขนานกัน

2). ซึ่งหมายความว่าในความสัมพันธ์ (B) เราควรใช้: =-หนึ่ง. โดยคำนึงถึงนิพจน์ของระบบ (C) เราแก้ไขสัญกรณ์สำหรับตัวแปร :

=
.

3). การเปลี่ยนแปลงนี้พิจารณาอย่างง่ายดายโดยการแก้ไขสัญกรณ์สุดท้ายของสมการสำหรับทรงกระบอกจากตัวอย่างก่อนหน้านี้:

คำตอบ: สมการรูปกรวย: = 0.

ความคิดเห็น: เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาหลักของการแปลงระบบพิกัดหลายแบบในปัญหาพื้นผิวทรงกระบอกคือ ความแม่นยำ และ ความอดทน ในการวิ่งมาราธอนเกี่ยวกับพีชคณิต: ระบบการศึกษาที่นำมาใช้ในประเทศที่มีความทุกข์ทรมานยาวนานของเรา จงเจริญ!

ความสูงของพาราโบลาสามารถกำหนดได้โดยสูตร

ปริมาตรของพาราโบลาที่สัมผัสด้านล่างเท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีฐาน R และความสูง H ปริมาตรเดียวกันนั้นถูกครอบครองโดยช่องว่าง W 'ใต้พาราโบลา (รูปที่ 4.5a)

รูปที่ 4.5 อัตราส่วนของปริมาตรในพาราโบลาสัมผัสด้านล่าง

Wп - ปริมาตรของพาราโบลา, W '- ปริมาตรใต้พาราโบลา, Hп - ความสูงของพาราโบลา

รูปที่ 4.6. อัตราส่วนของปริมาตรในพาราโบลาที่สัมผัสขอบของทรงกระบอก Hп คือความสูงของพาราโบลา R คือรัศมีของภาชนะ Wl คือปริมาตรที่อยู่ใต้ความสูงของของเหลวในภาชนะก่อนเริ่มการหมุน z 0 คือตำแหน่งของปลายพาราโบลา H คือความสูงของของเหลวในภาชนะก่อนเริ่มหมุน

ในรูปที่ 4.6a ระดับของของเหลวในกระบอกสูบก่อนเริ่มการหมุนของ H ปริมาตรของของเหลว Wl ก่อนและหลังการหมุนจะถูกรักษาไว้และเท่ากับผลรวมของปริมาตร Wc ของกระบอกสูบที่มีความสูง z 0 บวกปริมาตรของของเหลวใต้พาราโบลาซึ่งเท่ากับปริมาตรของพาราโบลา Wp ที่มีความสูง Hp

ถ้าพาราโบลาสัมผัสกับขอบบนของทรงกระบอก ความสูงของของเหลวในกระบอกสูบก่อนเริ่มการหมุน Н จะแบ่งความสูงของพาราโบลา Нп ออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน จุดล่าง (บน) ของพาราโบลาจะสัมพันธ์กัน ไปที่ฐาน (รูปที่ 4.6c)

นอกจากนี้ ความสูง H แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วน (รูปที่ 4.6c) โดยมีปริมาตรเท่ากับ W 2 = W 1 จากความเท่าเทียมกันของปริมาตรของวงแหวนพาราโบลา W 2 และถ้วยพาราโบลา W 1, รูปที่ 4.6c

เมื่อพื้นผิวของพาราโบลาข้ามด้านล่างของเรือ (รูปที่ 4.7) W 1 = W 2 = 0.5W วงแหวน

รูปที่ 4.7 ปริมาตรและความสูงเมื่อพื้นผิวของพาราโบลาข้ามด้านล่างของกระบอกสูบ

ความสูงในรูปที่4.6

ปริมาณในรูปที่ 4.6

ตำแหน่งของพื้นผิวว่างในเรือ

รูปที่ 4.8. สามกรณีของการพักญาติระหว่างการหมุน

1. หากเรือเปิดอยู่ Po = Ratm (รูปที่ 4.8a) จุดยอดของพาราโบลาระหว่างการหมุนอยู่ต่ำกว่าระดับเริ่มต้น-H และขอบขึ้นเหนือระดับเริ่มต้น ตำแหน่งของจุดยอด

2. ถ้าภาชนะเต็มแล้วปิดฝาไว้ไม่มีพื้นผิวว่างอยู่ภายใต้แรงดัน Po> Ratm มากเกินไปก่อนที่จะหมุนพื้นผิว (PP) โดยที่ R0 = Ratm จะสูงกว่าระดับของฝาที่ ความสูงของ h 0i = M / ρg, H 1 = H + M / ρg

3. ถ้าภาชนะถูกเติมจนเต็ม ให้อยู่ภายใต้สุญญากาศ Po<Ратм, до вращения поверхность П.П., на которой Ро=Ратм будет находиться под уровнем крышки на высоте h 0и =-V/ρg, Н 2 =Н-V/ρg ,

4.7. การหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมสูง (รูปที่ 4.9)

เมื่อภาชนะที่มีของเหลวหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมสูง แรงโน้มถ่วงจะละเลยไปเมื่อเปรียบเทียบกับแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลาง กฎของการเปลี่ยนแปลงความดันในของเหลวสามารถหาได้จากสูตร

(4.22),

พื้นผิวระดับเป็นทรงกระบอกที่มีแกนร่วมรอบซึ่งภาชนะจะหมุน หากภาชนะไม่เต็มก่อนเริ่มหมุน ความดัน พี 0 จะกระทำตามรัศมี r = r 0 , แทนที่จะเป็นนิพจน์ (4.22) เราจะมี

โดยที่เราใช้ g (z 0 - z) = 0,

ข้าว. 4.9 การจัดเรียงพื้นผิวของการปฏิวัติในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง

รัศมีของพื้นผิวด้านในที่ทราบ H และ h