สมการคุณลักษณะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้น วิธีเขียนสมการคุณลักษณะ ดูว่า "สมการลักษณะ" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร

คำนิยาม.สมการคุณลักษณะของตัวดำเนินการเชิงเส้น f คือสมการของรูปแบบ โดยที่ λ คือจำนวนจริงใดๆ A คือเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น E คือเมทริกซ์หน่วยของลำดับเดียวกัน

พหุนาม เรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A (ตัวดำเนินการเชิงเส้น f) ในรูปแบบเมทริกซ์ สมการคุณลักษณะจะเป็นดังนี้:

หรือ

.

ดังนั้น เมื่อเทียบพหุนามลักษณะเฉพาะให้เป็นศูนย์ เราจะได้สมการดีกรี NSโดยที่ λ ไม่เป็นที่ทราบ เราได้รับค่าของรากของมัน - ตัวเลขลักษณะของเมทริกซ์ที่กำหนด รากลักษณะมีบทบาทอย่างมากในหลาย ๆ ด้านของคณิตศาสตร์ พิจารณาการประยุกต์ใช้รากคุณลักษณะอย่างหนึ่ง ซึ่งเป็นเครื่องมือที่สำคัญมากในการศึกษาปริภูมิเชิงเส้น ตลอดจนในการแก้ปัญหาเชิงพีชคณิตเชิงประยุกต์จำนวนมาก

เซตของรากทั้งหมดของสมการคุณลักษณะเรียกว่าสเปกตรัมของโอเปอเรเตอร์ NS(แต่ละรูตจะถูกพิจารณาด้วยความทวีคูณที่มีในสมการคุณลักษณะ)

ตัวอย่าง.หารากที่มีลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์

มาเขียนเมทริกซ์กัน

สมการพหุนามลักษณะเป็นศูนย์ เราจะได้สมการกำลังสอง

แล้วรากของสมการคือ .

คำนิยาม.ให้ f เป็นโอเปอเรเตอร์เชิงเส้นของสเปซและเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งความเท่าเทียมกัน

ที่ไหนเป็นจำนวนจริง จากนั้นเวกเตอร์จะเรียกว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการและเมทริกซ์ของการกำหนด - ค่าลักษณะเฉพาะหรือค่าลักษณะเฉพาะของการแปลง ว่ากันว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหมายถึงค่าลักษณะเฉพาะ

Eigenvectors มีบทบาทสำคัญทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และในการใช้งาน ตัวอย่างเช่น การสั่นพ้อง ซึ่งความถี่ธรรมชาติของการสั่นของระบบตรงกับความถี่ของการสั่นของแรงภายนอก ในวิชาคณิตศาสตร์ eigenvectors มีประโยชน์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

ทฤษฎีบท. หากตัวดำเนินการเชิงเส้น f ในฐาน (ฐานแรก) มีเมทริกซ์ А และในฐาน (ฐานที่สอง) - เมทริกซ์ В ความเท่าเทียมกันจะถือ:

ดังนั้น เมื่อส่งผ่านไปยังฐานใหม่ พหุนามเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงเส้นจะไม่เปลี่ยนแปลง

◌ หาก T เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐานแรกเป็นฐานที่สอง ดังนั้น จากนั้นเราจะแปลงทางด้านขวามือของความเท่าเทียมกัน ●

ทฤษฎีบท... เพื่อให้หมายเลข λ 0 จากสนาม P เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์ของช่องว่าง L n ส่วน P จำเป็นและเพียงพอที่จำนวน λ 0 เป็นรูทคุณลักษณะของโอเปอเรเตอร์ f

หมอ ผม.ความต้องการ. ปล่อยให้เป็น λ 0 ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ NSจากนั้นใน L nมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเช่นนั้น

ปล่อยให้เป็น เป็นเส้นพิกัดในบางพื้นฐานแล้ว

ในทางกลับกัน เนื่องจาก , เมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้นอยู่ที่ไหนในเกณฑ์ที่กำหนด, แล้ว

เท่ากับด้านขวามือ (1) และ (2) เราได้รับ:

(3)

ความเท่าเทียมกัน (3) หมายความว่าเวกเตอร์ตัวเลขที่มีพิกัด เป็นคำตอบของระบบสมการ (4) ต่อไปนี้

(4)

เวกเตอร์แตกต่างจากศูนย์ (เนื่องจากเหมาะสม) ดังนั้นระบบ (4) จึงมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์ของมันคือ 0

(5)

และด้วยเหตุนี้ดีเทอร์มีแนนต์ทรานสโพสจึงเท่ากับ 0

(6)

ดังนั้น, λ 0 เป็นรากของสมการคุณลักษณะ

ครั้งที่สองความเพียงพอ ปล่อยให้เป็น λ 0 เป็นลักษณะเฉพาะของรูทของโอเปอเรเตอร์ในบางพื้นฐาน ... มาพิสูจน์กัน λ 0 คือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ A

แท้จริงแล้วถ้า λ 0 เป็นรากที่มีลักษณะเฉพาะ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (6) จะคงอยู่ และด้วยเหตุนี้ความเท่าเทียมกัน (5) และนี่จะหมายความว่าระบบ (4) มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์

ให้เราเลือกคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของระบบ (4): เวกเตอร์ตัวเลข ... จากนั้นความเสมอภาค (3) ถือ

พิจารณาเวกเตอร์และสำหรับมัน ความเท่าเทียมกัน (2) จะถือและโดยอาศัยสูตรความเท่าเทียมกัน (1) เป็นจริงโดยที่เมทริกซ์ของตัวดำเนินการอยู่ในฐาน วี... นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของโอเปอเรเตอร์ซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะ λ 0 ... นี่คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความคิดเห็นในการหาค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ จำเป็นต้องเขียนและแก้สมการ (5) ในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ จำเป็นต้องสร้างระบบสมการ (4) และหาชุดพื้นฐานของคำตอบของระบบนี้

เพื่อควบคุมความถูกต้องของการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ (อาจเป็นเรื่องบังเอิญซับซ้อน) ใช้ข้อเท็จจริงสองประการ:

1) โดยที่ผลรวมสุดท้ายของการติดตามของเมทริกซ์คือผลรวมขององค์ประกอบในแนวทแยง

2) .

ตัวอย่าง.ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ .

เท่ากับศูนย์ที่เราได้รับ ...

3) . , .

ให้เป็นตัวแปรอิสระ, แล้วเราจะได้เวกเตอร์ .

การออกกำลังกาย. ตรวจสอบเวกเตอร์

.

สมการคุณลักษณะคือ:

ในการกำหนดประเภทขององค์ประกอบอิสระ จำเป็นต้องเขียนและแก้สมการคุณลักษณะ: z (p) = 0 ในการเขียนสมการลักษณะเฉพาะ จำเป็นต้องวาดไดอะแกรมซึ่งควรแทนที่แหล่งที่มาของ EMF และกระแสทั้งหมดด้วย ความต้านทานภายในของตัวเองและความต้านทานของการเหนี่ยวนำและความจุควรได้รับตามลำดับเท่ากับ Pl และยิ่งไปกว่านั้นจำเป็นต้องแยกสาขาใด ๆ ของวงจรนี้เขียนความต้านทานเริ่มต้นที่สัมพันธ์กับจุดแตกหักให้เท่ากับศูนย์แก้ และกำหนดรูตของ p หากรูตกลายเป็นค่าลบจริง ๆ แล้วองค์ประกอบอิสระของฟังก์ชันที่ต้องการ:

โดยที่ m คือจำนวนรากของสมการ

ราก; - บูรณาการถาวร

หากรากของสมการอักขระกลายเป็นคอนจูเกตที่ซับซ้อน สถานะอิสระจะมีรูปแบบดังนี้

ความถี่ของการสั่นสะเทือนอิสระอยู่ที่ไหน

ระยะเริ่มต้นของการสั่นสะเทือนอิสระ

8. เวลาชั่วคราว ความมุ่งมั่นของในทางปฏิบัติ t pp. การคำนวณเวลาชั่วขณะ

เวลาของกระบวนการชั่วคราวขึ้นอยู่กับค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาด ๆ ค่าผกผันเรียกว่าค่าคงที่เวลาและแสดงถึงเวลาที่ค่าขององค์ประกอบอิสระของกระบวนการชั่วคราวจะลดลงด้วยปัจจัยของ e = 2.72 ค่าจะขึ้นอยู่กับวงจรและพารามิเตอร์ สำหรับวงจรที่มีการเชื่อมต่อแบบอนุกรม r และ L = และสำหรับการเชื่อมต่อแบบอนุกรม

95% สิ้นสุดชั่วคราว 3

เส้นโค้งของส่วนประกอบอิสระของกระบวนการชั่วคราวนั้นสร้างง่ายที่สุดโดยการตั้งค่าเวลา t ​​0,, 2 ... .. หากมีรากจริงหลายราก เส้นโค้งที่ได้จะได้มาจากการรวมพิกัดของแต่ละบุคคล ข้อกำหนด (รูปที่ 1)

รูปที่ 1:

9.10, กระบวนการชั่วคราวใน r, C - วงจรเมื่อเปิดแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ ทำการวิเคราะห์ด้วยวิธีคลาสสิก ให้นิพจน์การวิเคราะห์สำหรับ UC (t); ผม C (t); กราฟิก (วิธีคลาสสิค).

สมการสถานะของวงจร rC หลังจากสลับเป็นดังนี้:

(1) หรือ rC (2)

ทางออกของเขา:

ความจุ C หลังจากปิดคีย์ที่ t จะถูกเรียกเก็บเป็นค่าสถานะคงตัว

เนื่องจากเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ ตามกฎหมายว่าด้วยการสับเปลี่ยน สำหรับ t = 0 หรือ 0 = A ดังนั้น A = -E

คำตอบของสมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ:

กระแสไฟ ผม (t) = C

รูปที่ 1

รูปที่ 2

กราฟของการเปลี่ยนแปลงของแรงดันและกระแส i (t) แสดงในรูปที่ 1 และ 2 สังเกตได้จากตัวเลขที่แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณจาก 0 เป็น E ในขณะที่กระแสในขณะที่เปลี่ยนกระทันหันถึง ค่า E/r แล้วลดลงจนเหลือขีด

11.12 กระบวนการชั่วคราวใน r, C - วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไซน์ ทำการวิเคราะห์ด้วยวิธีคลาสสิก ให้นิพจน์การวิเคราะห์สำหรับ UC (t); ผม C (t); กราฟิก (วิธีคลาสสิค).

สมการสถานะของวงจร rC ในโหมดชั่วคราวมีดังนี้

rC .

คำตอบของสมการนี้:

ส่วนประกอบฟรี

โดยที่ = rC

เนื่องจากวงจรเป็นแบบเส้นตรง จากนั้นด้วยการกระทำแบบไซน์และในสถานะคงตัว แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุก็จะเปลี่ยนไปตามกฎไซน์ด้วยความถี่ของการกระทำอินพุต ดังนั้นเพื่อกำหนด = เราจะใช้วิธีการ แอมพลิจูดที่ซับซ้อน:

;

เมื่อพิจารณาว่า j = เราได้รับ:

ค่าคงที่การรวม A ของส่วนประกอบอิสระ

ให้เราหาจากเงื่อนไขเริ่มต้นในวงจรโดยคำนึงถึงกฎการสลับ:

. สำหรับ t = 0 นิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบ

โดยที่ A = -

การเพิ่มส่วนประกอบและเราได้รับการแสดงออกขั้นสุดท้ายสำหรับแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุในโหมดชั่วคราว:

= + = - (1)

การวิเคราะห์นิพจน์ (1) แสดงให้เห็นว่ากระบวนการชั่วคราวในวงจร rC ภายใต้การกระทำแบบไซน์นั้นขึ้นอยู่กับเฟสเริ่มต้นของ EMF ต้นทางในขณะที่เปลี่ยนและค่าคงที่เวลาของวงจร rC

ถ้า = 0 และในวงจรทันทีหลังจากเปลี่ยนสถานะคงตัวจะเกิดขึ้นเช่น

ที่แรงดันไฟ = - นั่นคือ แรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุทันทีหลังจากเปลี่ยนสามารถเข้าถึงค่าของเครื่องหมายบวกเกือบสองเท่าแล้วค่อยๆเข้าใกล้ =

ความแตกต่างของเฟสจะนำสมการ (1) มาสู่รูปแบบ:

ความแตกต่างระหว่างโหมดนี้กับโหมดก่อนหน้าคือแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุทันทีหลังจากการสลับสามารถไปถึงค่าของเครื่องหมายลบเกือบสองเท่า

สำหรับวงจร Rc ที่พิจารณาแล้วซึ่งมีแหล่งกำเนิดกระแสไซน์ในโหมดคงที่ เฟสเริ่มต้นของแรงดันไฟฟ้าอินพุตไม่มีบทบาทใด ๆ แต่อิทธิพลของมันมีความสำคัญในกระบวนการชั่วคราว

13. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C - วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ กระบวนการเป็นระยะ นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i (t), กราฟ (วิธีคลาสสิค).

รากเป็นของจริง แง่ลบ ต่างกัน

ฉัน (t) = ฉันตั้งค่า + A1e p 1 t + A2e p 2 t

กระบวนการเป็นระยะ:

เสื้อ = 0 (ผม (0) = A1 + A2; A1 = -A2

{

เสื้อ = 0 ฉัน l (0) * r + L + Uc (0) = E A1 = -A2 = ()

ฉัน l (t) = ( )

14. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C - วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ กระบวนการที่สำคัญ นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i (t), กราฟ (วิธีคลาสสิค).

ฉัน l (เสื้อ) = ฉันตั้ง + (B1 + B2 * เสื้อ) *

เสื้อ = 0: ผม ล. (0) = β1 = 0

หากรูตกลายเป็นของจริง ลบ เท่ากัน แสดงว่ากระบวนการนั้นสำคัญ

15. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C - วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันคงที่ กระบวนการสั่น นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i (t), กราฟ (วิธีคลาสสิค).

P t = -δ ± j * ω sv ω sv =

รากจริงเชิงลบ คอนจูเกตที่ซับซ้อนบางส่วน

ฉัน l (t) = ฉันตั้ง A1e - δt * บาป (ω sv t + ψ)

ฉัน l (t) = ฉัน ปาก + (M * cos ω sv t + N * บาป ω sv t) *

ผม ล. (เสื้อ) = * = *

16. กระบวนการชั่วคราวใน r, L, C - วงจรเมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดันไซน์ กระบวนการ aperiodic นิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับ i (t), กราฟ (วิธีคลาสสิค).

R (t) = E สูงสุด * บาป (ωt + ψ)

2.

ในกรณีคลาสสิก จำนวนสมการในกรณีนี้จะเท่ากับจำนวนกิ่งของวงจร

วิธีแก้จะพบได้ในรูปของผลรวมของคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะ การคำนวณกระบวนการชั่วคราวอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาที่รวบรวมโดยหนึ่งในวิธีการคำนวณสำหรับค่าฟังก์ชันเวลาทันที คำตอบสำหรับตัวแปรแต่ละตัวของระบบนี้จะพบเป็นผลรวมของคำตอบทั่วไปและคำตอบเฉพาะ ในการแต่งสมการ สามารถใช้วิธีต่อไปนี้ได้: วิธีการที่ใช้กฎของ Kirchhoff วิธีศักย์โหนด วิธีของกระแสลูป ฯลฯ ตัวอย่างเช่น ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ที่รวบรวมหลังจากสลับตามกฎ Kirchhoff ที่หนึ่งและสอง มีรูปแบบดังนี้

ตัวอย่างเช่น,

จำนวนสมการในกรณีนี้เท่ากับจำนวนกิ่งของวงจร ให้ต้องหากระแส i k ในสาขาที่มีหมายเลข K ไม่รวมกระแสของกิ่งก้านอย่างต่อเนื่อง เป็นผลให้เราได้รับ i k ปัจจุบันและอนุพันธ์ของมันถึงคำสั่งของ n:

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ n ถูกกำหนดโดยจำนวนขององค์ประกอบวงจรปฏิกิริยาอิสระ (m) โดยปกติ n = m แต่ขึ้นอยู่กับวิธีการเชื่อมต่อ อาจเป็นได้ว่า n

องค์ประกอบคาปาซิทีฟที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมสามารถแทนที่ด้วยองค์ประกอบเดียว เช่นเดียวกับองค์ประกอบอุปนัยที่เชื่อมต่อแบบขนานสามารถแทนที่ด้วยองค์ประกอบที่เทียบเท่ากัน รูปที่ 9.5 แสดงการเปลี่ยนรถถัง 2 คันตามลำดับโดยมีค่าเท่ากัน

ในกรณีทั่วไป ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ n คือ: n = n lc -n ce -n lj โดยที่ n lc คือจำนวนขององค์ประกอบปฏิกิริยา (L และ C) ในวงจร n ce คือจำนวนตัวเก็บประจุ วงจร n lj คือจำนวนของโหนดอุปนัยหรือส่วน

Capacitive หมายถึงวงจรที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ capacitive หรือองค์ประกอบ capacitive และแหล่ง EMF ในอุดมคติ รูปที่ 9.6.a. Inductive หมายถึงโหนดที่สาขาอุปนัยหรือสาขาอุปนัยและแหล่งกระแสมาบรรจบกัน (รูปที่ 9.6.b) หรือส่วนที่ข้ามสาขาอุปนัยเท่านั้น หรือสาขาอุปนัยและแหล่งที่มาปัจจุบัน

โปรดทราบว่าขั้นตอนของการวาดสมการเชิงอนุพันธ์นั้นไม่จำเป็น และหากระแสหรือแรงดันชั่วขณะได้โดยไม่ต้องวาดสมการ ตามที่ระบุไว้ในวิธีการคลาสสิกสำหรับการคำนวณกระบวนการชั่วคราวการแก้สมการ นำเสนอในรูปแบบของผลรวมของการตัดสินใจทั่วไปและส่วนตัว

วิธีการแก้ปัญหาเฉพาะจะอธิบายระบอบการปกครองที่เรียกว่าการบังคับ คำตอบของสมการเอกพันธ์ (ด้านขวาเท่ากับศูนย์) อธิบายกระบวนการในกรณีที่ไม่มี EMF ภายนอกและแหล่งกระแสไฟและเรียกว่าอิสระ ดังนั้นจะพิจารณากระแสฟรีและแรงดันไฟชาร์จ

ดังนั้นกระแสในสาขาที่มีหมายเลข K จึงแสดงเป็นผลรวม

) NS = ||ik||NS 1 โดยการลบ λ จากองค์ประกอบในแนวทแยง ดีเทอร์มีแนนต์นี้เป็นพหุนามเทียบกับ X - พหุนามลักษณะเฉพาะ ในรูปแบบเปิด H. y. ถูกเขียนเช่นนี้:

ที่ไหน S 1 = 11 + 22 +... nn- สิ่งที่เรียกว่า การติดตามเมทริกซ์, S 2คือผลรวมของผู้เยาว์ที่สำคัญทั้งหมดของลำดับที่ 2 เช่น ผู้เยาว์ในรูปแบบ i k) เป็นต้น และ S NS- ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ NS... ราก H. y. λ 1, λ 2, ..., λ NSเรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ NS... สำหรับเมทริกซ์สมมาตรจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์เฮอร์มิเที่ยน ทั้งหมด λ kเป็นจริงสำหรับเมทริกซ์สมมาตรเอียงจริงทั้งหมด λ kจำนวนจินตภาพล้วนๆ ในกรณีของเมทริกซ์มุมฉากจริง เช่นเดียวกับเมทริกซ์รวม ทั้งหมด | λ k| = 1.

เอช.วาย. พบได้ในหลากหลายสาขาวิชา คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ ฟิสิกส์ เทคโนโลยี ในทางดาราศาสตร์ เมื่อพิจารณาถึงการรบกวนทางโลกของดาวเคราะห์ พวกมันก็มาถึง H. y .; ดังนั้นชื่อที่สองของ H. y. - สมการทางโลก

2) H. y. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นพร้อมสัมประสิทธิ์คงที่

0λ y (NS) + 1 ปี (n-1) +... + n-1 y " + ใด ๆ = 0

สมการพีชคณิตที่ได้จากสมการอนุพันธ์ที่กำหนดหลังจากแทนที่ฟังก์ชัน ที่และอนุพันธ์ของมันโดยกำลังที่สอดคล้องกันของ λ นั่นคือสมการ

0λ NS + 1λ n-1 + ... + n-1 ย " + ใด ๆ = 0.

หนึ่งมาถึงสมการนี้เมื่อมองหาคำตอบเฉพาะของแบบฟอร์ม ที่ = ดูเถิด λ NSสำหรับสมการอนุพันธ์ที่กำหนด สำหรับระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

เอช.วาย. เขียนโดยใช้ qualifier

เอช.วาย. เมทริกซ์ NS =

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูว่า "สมการลักษณะเฉพาะ" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:

ในหลายกรณี กระบวนการทางกายภาพที่เกิดขึ้นในระบบถูกอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นธรรมดาที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งในกรณีทั่วไปอย่างเป็นธรรม สามารถลดขนาดลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ได้ ... สารานุกรมของเทคโนโลยี

สมการพีชคณิตของแบบฟอร์ม ดีเทอร์มีแนนต์ในสูตรนี้ได้มาจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์โดยการลบค่า x ออกจากองค์ประกอบในแนวทแยง เป็นพหุนามใน x และเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะ ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

สมการคุณลักษณะ- - [V.A. Semenov. English Russian Dictionary of Protection Relays] หัวข้อการป้องกันรีเลย์ EN สมการลักษณะ ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

สมการพีชคณิตของแบบฟอร์ม ดีเทอร์มีแนนต์ในสูตรนี้ได้มาจากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ x จากองค์ประกอบในแนวทแยง เป็นพหุนามใน x และเรียกว่าพหุนามลักษณะเฉพาะ * * * ลักษณะ ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

สมการคุณลักษณะ- būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. สมการคุณลักษณะ สมการประสิทธิภาพ ตัวละคร Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. สมการคุณลักษณะ n pranc équation caractéristique, f... Automatikos terminų žodynas . รถยนต์

สมการคุณลักษณะ- būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. สมการคุณลักษณะ สมการประสิทธิภาพ ตัวละคร Gleichung, f rus. สมการคุณลักษณะ n pranc équation caractéristique, f ... Fizikos terminų žodynas

สมการคุณลักษณะ สารานุกรม "การบิน"

สมการคุณลักษณะ- สมการคุณลักษณะ ในหลายกรณี กระบวนการทางกายภาพที่เกิดขึ้นในระบบถูกอธิบายโดยระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นธรรมดาที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ ซึ่งในกรณีทั่วไปอย่างเป็นธรรมสามารถลดลงได้ ... สารานุกรม "การบิน"

สมการเก่าแก่ ดูศิลปะ พหุนามลักษณะ ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

พหุนามลักษณะเฉพาะคือพหุนามที่กำหนดค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ความหมายอื่น: พหุนามเฉพาะของการเกิดซ้ำเชิงเส้นคือพหุนาม สารบัญ 1 คำจำกัดความ ... Wikipedia

หนังสือ

• ลักษณะเฉพาะของ Lie Rings และสมการที่รวมเป็นแบบไม่เชิงเส้น Zhiber AV หนังสือเล่มนี้มีเนื้อหาเกี่ยวกับการนำเสนออย่างเป็นระบบของวิธีพีชคณิตในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นแบบไม่เชิงเส้นและการเปรียบเทียบแบบแยกส่วนตามแนวคิดของ ...

สมการคุณลักษณะถูกวาดขึ้นสำหรับวงจรหลังจากสลับ สามารถรับได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

• ตามสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม (2) โดยตรง (ดูการบรรยายครั้งที่ 24) เช่น โดยการยกเว้นจากระบบสมการที่อธิบายสถานะแม่เหล็กไฟฟ้าของวงจรบนพื้นฐานของกฎข้อที่หนึ่งและสองของ Kirchhoff ปริมาณที่ไม่ทราบทั้งหมดยกเว้นหนึ่งซึ่งสัมพันธ์กับสมการ (2) ที่เขียน
• โดยใช้นิพจน์สำหรับอิมพีแดนซ์อินพุตของวงจรกระแสไซน์
• ขึ้นอยู่กับการแสดงออกของดีเทอร์มีแนนต์หลัก

ตามวิธีแรกในการบรรยายครั้งก่อน ได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุสำหรับวงจร R-L-C แบบอนุกรม บนพื้นฐานของการเขียนสมการลักษณะเฉพาะ

ควรสังเกตว่าเนื่องจากวงจรเชิงเส้นถูกปกคลุมด้วยกระบวนการชั่วคราวเดียวรากของสมการคุณลักษณะจึงเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับส่วนประกอบอิสระทั้งหมดของแรงดันและกระแสของกิ่งของวงจร พารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการลักษณะเฉพาะ . ดังนั้น ตามวิธีแรกในการวาดสมการคุณลักษณะ ตัวแปรใดๆ ก็ตามสามารถเลือกได้ตามที่เขียน

ให้เราพิจารณาการประยุกต์ใช้วิธีที่สองและสามในการวาดสมการคุณลักษณะโดยใช้ตัวอย่างวงจรในรูปที่ 1.

การวาดสมการคุณลักษณะโดยใช้วิธีอิมพีแดนซ์อินพุตมีดังนี้:

บันทึกความต้านทานอินพุตของวงจร AC;

jw ถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการ p;

นิพจน์ผลลัพธ์ถูกตั้งค่าเป็นศูนย์

สมการ

ควบคู่ไปกับลักษณะ

ควรเน้นว่าอิมพีแดนซ์อินพุตสามารถเขียนได้สัมพันธ์กับจุดแตกหักของสาขาใดๆ ของวงจร ในกรณีนี้ เครือข่ายสองขั้วที่แอ็คทีฟจะถูกแทนที่ด้วยเครือข่ายแบบพาสซีฟโดยการเปรียบเทียบกับวิธีการของเครื่องกำเนิดที่เทียบเท่ากัน วิธีการวาดสมการคุณลักษณะนี้จะถือว่าไม่มีกิ่งก้านคู่แม่เหล็กในวงจร หากมีจำเป็นต้องดำเนินการแก้เบื้องต้น

สำหรับวงจรในรูป 1 เกี่ยวกับขั้วต่อต้นทาง

.

แทนที่ jw ด้วย p และเท่ากับนิพจน์ผลลัพธ์เป็นศูนย์ เราเขียน

.

(1)

เมื่อวาดสมการลักษณะเฉพาะตามนิพจน์ของดีเทอร์มีแนนต์หลัก จำนวนสมการพีชคณิตที่เขียนขึ้นจะเท่ากับจำนวนของส่วนประกอบอิสระที่ไม่รู้จักของกระแส พีชคณิตของระบบเดิมของสมการจำนวนเต็ม - ความแตกต่างที่รวบรวมตัวอย่างเช่นตามกฎของ Kirchhoff หรือวิธีการของกระแสวนจะดำเนินการโดยการแทนที่สัญลักษณ์ของความแตกต่างและการรวมตามลำดับด้วยการคูณและการหารโดยตัวดำเนินการ NS. สมการลักษณะเฉพาะได้มาจากการทำให้ดีเทอร์มีแนนต์ที่บันทึกไว้เท่ากับศูนย์ เนื่องจากนิพจน์ของดีเทอร์มีแนนต์หลักไม่ได้ขึ้นอยู่กับด้านขวาของระบบสมการเอกพันธ์ จึงสามารถวาดขึ้นบนพื้นฐานของระบบสมการที่เขียนขึ้นสำหรับกระแสทั้งหมด

สำหรับโซ่ในรูป 1 ระบบพีชคณิตของสมการตามวิธีลูปปัจจุบันมีรูปแบบ

ดังนั้นนิพจน์สำหรับดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบนี้

เท่ากับ D เท่ากับศูนย์ เราจะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกับ (1)

วิธีทั่วไปในการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยวิธีคลาสสิก

โดยทั่วไป วิธีการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยวิธีคลาสสิกประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ตัวอย่างการคำนวณกระบวนการชั่วคราวโดยวิธีคลาสสิก

1. กระบวนการชั่วคราวในวงจร R-L เมื่อเชื่อมต่อกับแหล่งจ่ายแรงดัน

กระบวนการดังกล่าวเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น เมื่อแม่เหล็กไฟฟ้า หม้อแปลง มอเตอร์ไฟฟ้า ฯลฯ เชื่อมต่อกับแหล่งพลังงาน

พิจารณาสองกรณี:

ตามวิธีที่พิจารณาสำหรับกระแสในวงจรในรูปที่ 2 เขียนได้

สมการคุณลักษณะ

ดังนั้นเวลาคงที่ .

ดังนั้น,

.

(5)

แทน (4) และ (5) เป็นความสัมพันธ์ (3) เราเขียน

.

ตามกฎหมายว่าด้วยการเปลี่ยนครั้งแรก แล้ว

,

ดังนั้นกระแสในวงจรในกระบวนการชั่วคราวจึงอธิบายโดยสมการ

,

และแรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ - โดยนิพจน์

.

รูปแบบเชิงคุณภาพของเส้นโค้งและสอดคล้องกับโซลูชันที่ได้รับแสดงไว้ในรูปที่ 3.

สำหรับแหล่งที่มาประเภทที่สอง ส่วนประกอบบังคับคำนวณโดยใช้วิธีสัญลักษณ์:

,

การแสดงออกของส่วนประกอบอิสระไม่ได้ขึ้นอยู่กับชนิดของแหล่งจ่ายแรงดันไฟ เพราะฉะนั้น,

.

ตั้งแต่นั้นมา

ในที่สุดเราก็ได้

.

(6)

การวิเคราะห์นิพจน์ที่ได้รับ (6) แสดง:

หากมีความสำคัญในขนาดที่มีนัยสำคัญ องค์ประกอบอิสระจะไม่ลดลงอย่างมีนัยสำคัญในครึ่งช่วงเวลา ในกรณีนี้ ค่าสูงสุดของกระแสชั่วขณะสามารถเกินแอมพลิจูดของกระแสคงที่อย่างมีนัยสำคัญ ดังจะเห็นได้จากรูปที่ 4 ที่ไหน

กระแสสูงสุดจะเกิดขึ้นประมาณ ในวงเงิน ณ.

ดังนั้น สำหรับวงจรเชิงเส้น ค่าสูงสุดของกระแสชั่วขณะต้องไม่เกินแอมพลิจูดสองเท่าของกระแสบังคับ:

ในทำนองเดียวกันสำหรับวงจรเชิงเส้นที่มีตัวเก็บประจุ: หากในขณะที่เปลี่ยนแรงดันบังคับเท่ากับค่าแอมพลิจูดและค่าคงที่เวลาของวงจรมีขนาดใหญ่พอหลังจากนั้นประมาณครึ่งช่วงเวลาแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุถึงค่าสูงสุด ซึ่งต้องไม่เกินแอมพลิจูดสองเท่าของแรงดันไฟบังคับ: .

2. ชั่วครู่เมื่อตัวเหนี่ยวนำถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายไฟ

เมื่อเปิดกุญแจในวงจรดังภาพ 5 องค์ประกอบบังคับของกระแสผ่านตัวเหนี่ยวนำ

สมการคุณลักษณะ

,

ที่ไหน และ .

ตามกฎหมายว่าด้วยการสับเปลี่ยนครั้งแรก

.

ดังนั้นนิพจน์สำหรับกระแสชั่วคราว

และแรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำ

.

(7)

การวิเคราะห์ (7) แสดงให้เห็นว่าเมื่อมีการเปิดวงจรที่มีองค์ประกอบอุปนัย แรงดันไฟเกินขนาดใหญ่สามารถเกิดขึ้นได้ ซึ่งโดยไม่ต้องใช้มาตรการพิเศษ สามารถสร้างความเสียหายให้กับอุปกรณ์ได้ แท้จริงแล้วสำหรับ โมดูลัสแรงดันไฟฟ้าบนตัวเหนี่ยวนำในขณะที่เปลี่ยนจะสูงกว่าแรงดันไฟฟ้าต้นทางหลายเท่า:. ในกรณีที่ไม่มีตัวต้านทานแดมเปอร์ R แรงดันไฟฟ้าที่ระบุจะถูกนำไปใช้กับหน้าสัมผัสแบบเปิดของคีย์ซึ่งเป็นผลมาจากการอาร์คเกิดขึ้นระหว่างกัน

3. ประจุตัวเก็บประจุและการปลดปล่อย

เมื่อคีย์ถูกย้ายไปยังตำแหน่ง 1 (ดูรูปที่ 6) กระบวนการชาร์จตัวเก็บประจุจะเริ่มต้นขึ้น:

.

ส่วนประกอบบังคับของแรงดันไฟฟ้าข้ามตัวเก็บประจุ

จากสมการคุณลักษณะ

รากถูกกำหนด ... ดังนั้นเวลาคงที่

โหมดอิสระของวงจรไม่ได้ขึ้นอยู่กับแหล่งพลังงาน แต่ถูกกำหนดโดยโครงสร้างของวงจรและพารามิเตอร์ขององค์ประกอบเท่านั้น จากนี้ไปรากของสมการคุณลักษณะ p1, p2,…, pn จะเหมือนกันสำหรับฟังก์ชันตัวแปรทั้งหมด (กระแสและแรงดันไฟฟ้า)

สมการคุณลักษณะสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้วิธีการต่างๆ วิธีแรกเป็นแบบคลาสสิก เมื่อสมการคุณลักษณะถูกวาดขึ้นอย่างเคร่งครัดตามแบบอนุพันธ์ตามแบบแผนคลาสสิก เมื่อคำนวณทรานเซียนท์ในวงจรที่ซับซ้อน ระบบของสมการอนุพันธ์ "m" จะถูกวาดขึ้นตามกฎของ Kirchhoff สำหรับแผนภาพวงจรหลังจากสลับ เนื่องจากรากของสมการคุณลักษณะเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับตัวแปรทั้งหมด การแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์จึงถูกดำเนินการตามตัวแปรใดๆ (โดยการเลือก) ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาจะได้สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เท่ากันกับตัวแปรเดียว สมการลักษณะเฉพาะถูกรวบรวมตามความแตกต่างที่ได้รับและกำหนดรากของมัน

ตัวอย่าง. วาดสมการคุณลักษณะและหารากของตัวแปรในวงจรในรูปที่ 59.1. พารามิเตอร์ขององค์ประกอบถูกกำหนดในลักษณะทั่วไป

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ตามกฎของ Kirchhoff:

ให้เราแก้ระบบสมการเทียบกับตัวแปร i3 เราจะได้สมการอนุพันธ์แบบเอกพันธ์:

วิธีที่สองในการเขียนสมการคุณลักษณะคือการถือเอาดีเทอร์มีแนนต์หลักของระบบสมการเคอร์ชอฟฟ์เท่ากับศูนย์สำหรับองค์ประกอบอิสระของตัวแปร

ปล่อยให้องค์ประกอบอิสระของกระแสตามอำเภอใจมีรูปแบบ icv = Аkept แล้ว:

ระบบสมการสำหรับส่วนประกอบอิสระได้มาจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ Kirchhoff โดยการแทนที่อนุพันธ์ของตัวแปรด้วยตัวประกอบ p และปริพันธ์ด้วย 1 / p ตัวอย่างที่พิจารณา ระบบสมการขององค์ประกอบอิสระมีรูปแบบดังนี้

สมการคุณลักษณะและรากของมัน:

วิธีที่สามในการวาดสมการคุณลักษณะ (วิศวกรรม) คือการให้ความต้านทานตัวดำเนินการอินพุตของวงจรเท่ากับศูนย์เมื่อเทียบกับกิ่งก้านสาขาใดๆ

ความต้านทานตัวดำเนินการขององค์ประกอบนั้นได้มาจากความต้านทานเชิงซ้อนโดยเพียงแค่แทนที่ตัวประกอบ jω ด้วย p ดังนั้น

สำหรับตัวอย่างที่เป็นปัญหา:

วิธีที่สามเป็นวิธีที่ง่ายและประหยัดที่สุด ดังนั้นจึงมักใช้ในการคำนวณทรานเซียนท์ในวงจรไฟฟ้า

รากของสมการคุณลักษณะแสดงลักษณะของกระบวนการชั่วคราวอิสระในวงจรที่ไม่มีแหล่งพลังงาน กระบวนการดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสูญเสียพลังงานและตายไปตามเวลา จากนี้ไปรากของสมการคุณลักษณะต้องเป็นลบหรือมีส่วนจริงเชิงลบ

ในกรณีทั่วไป ลำดับของสมการอนุพันธ์ซึ่งอธิบายกระบวนการชั่วคราวในวงจร ดังนั้น ระดับของสมการคุณลักษณะและจำนวนรากของสมการจึงเท่ากับจำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นอิสระหรือจำนวน ของหน่วยเก็บพลังงานอิสระ (คอยล์ L และตัวเก็บประจุ C) หากแผนภาพวงจรประกอบด้วยตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบขนาน C1, C2, ... หรือขดลวดที่เชื่อมต่อแบบอนุกรม L1, L2, ... จากนั้นเมื่อคำนวณกระบวนการชั่วคราวจะต้องแทนที่ด้วยองค์ประกอบที่เทียบเท่ากัน SE = C1 + C2 + ... หรือ LE = L1 + L2 + ...

ดังนั้น มุมมองทั่วไปของการแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรใดๆ ในการคำนวณกระบวนการชั่วคราวสามารถรวบรวมได้จากการวิเคราะห์แผนภาพวงจรเท่านั้น โดยไม่ต้องร่างและแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์

สำหรับตัวอย่างข้างต้น