ตัวอย่างคำตอบของสมการการนำความร้อน วิธีฟูริเยร์สำหรับสมการความร้อน สมการความร้อนออนไลน์

02.08.2021

เมื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของการกระจายความร้อนในแท่ง เราตั้งสมมติฐานดังต่อไปนี้:

1) แท่งทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันที่มีความหนาแน่น ρ ;

2) พื้นผิวด้านข้างของแกนเป็นฉนวนความร้อน นั่นคือ ความร้อนสามารถแพร่กระจายไปตามแกนเท่านั้น โอ้;

3) ก้านมีความบาง - ซึ่งหมายความว่าอุณหภูมิทุกจุดของส่วนตัดขวางของแท่งจะเท่ากัน

พิจารณาส่วนหนึ่งของแถบในส่วน [ x, x + ∆x] (ดูรูปที่ 6) และใช้ กฎการอนุรักษ์ปริมาณความร้อน:

ปริมาณความร้อนทั้งหมดในส่วน [ x, x + ∆x] = ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่ผ่านขอบเขต + ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่เกิดจากแหล่งภายใน

ปริมาณความร้อนทั้งหมดที่ต้องส่งไปยังส่วนของแท่งเพื่อเพิ่มอุณหภูมิโดย ∆U, คำนวณโดยสูตร: ∆Q = CρS∆x∆U, ที่ไหน กับ-ความจุความร้อนจำเพาะของวัสดุ (= ปริมาณความร้อนที่ต้องจ่ายให้กับสาร 1 กิโลกรัมเพื่อเพิ่มอุณหภูมิ 1 °) NS- พื้นที่หน้าตัด.

ปริมาณความร้อนที่ไหลผ่านปลายด้านซ้ายของส่วนของแกนในระหว่างเวลา ∆t(ฟลักซ์ความร้อน) คำนวณโดยสูตร: Q 1 = -kSU x (x, t) ∆t, ที่ไหน k- ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อนของวัสดุ (= ปริมาณความร้อนที่ไหลต่อวินาทีผ่านแท่งที่มีความยาวหน่วยและพื้นที่หน้าตัดของหน่วยที่ความแตกต่างของอุณหภูมิที่ปลายอีกด้านที่ 1 °) ในสูตรนี้ เครื่องหมายลบต้องการคำอธิบายพิเศษ ความจริงก็คือการไหลนั้นถือเป็นบวกหากพุ่งขึ้นข้างบน NSและนี่ก็หมายความว่าไปทางซ้ายของจุด NSอุณหภูมิจะสูงกว่าด้านขวา นั่นคือ ยู x< 0 ... ดังนั้น ถึง คิว 1เป็นบวก มีเครื่องหมายลบในสูตร

ในทำนองเดียวกัน ฟลักซ์ความร้อนผ่านปลายด้านขวาของส่วนแกนคำนวณโดยใช้สูตร: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

หากเราคิดว่าไม่มีแหล่งความร้อนภายในแกน และใช้กฎการอนุรักษ์ความร้อน เราจะได้:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t) ∆t.

ถ้าความเท่าเทียมกันนี้หารด้วย S∆x∆tและกำกับ ∆xและ ∆tเป็นศูนย์ แล้วเราจะได้:

ดังนั้นสมการการนำความร้อนจึงมีรูปแบบ

U t = a 2 U xx,

การกระจายความร้อนอยู่ที่ไหน

ในกรณีที่มีแหล่งความร้อนอยู่ภายในแกน กระจายตัวด้วยความหนาแน่นอย่างต่อเนื่อง คิว (x, t), เราได้สมการการนำความร้อนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

U t = a 2 U xx + f (x, t),
ที่ไหน .

เงื่อนไขเบื้องต้นและเงื่อนไขขอบเขต

สำหรับสมการความร้อนเท่านั้น หนึ่งเงื่อนไขเริ่มต้น U | เสื้อ = 0 = φ (x)(หรือในรายการอื่น U (x, 0) = φ (x)) และทางกายภาพหมายความว่าการกระจายอุณหภูมิเริ่มต้นของแท่งมีรูปแบบ φ (x)... สำหรับสมการการนำความร้อนบนระนาบหรือในอวกาศ เงื่อนไขเริ่มต้นมีรูปแบบเดียวกัน เฉพาะฟังก์ชัน φ จะขึ้นอยู่กับตัวแปรสองหรือสามตัวตามลำดับ

เงื่อนไขขอบเขตในกรณีของสมการความร้อนมีรูปแบบเดียวกับสมการคลื่น แต่ความหมายทางกายภาพต่างกันอยู่แล้ว เงื่อนไข ชนิดแรก (5)หมายความว่าตั้งอุณหภูมิไว้ที่ปลายก้าน หากไม่เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา g 1 (t) ≡ Т 1และ g 2 (t) ≡ Т 2, ที่ไหน T 1และ T 2- ถาวร. ถ้าปลายถูกเก็บไว้ที่อุณหภูมิศูนย์ตลอดเวลา แล้ว T 1 = T 2 = 0และเงื่อนไขจะมีความสม่ำเสมอ เงื่อนไขชายแดน ชนิดที่สอง (6)กำหนดการไหลของความร้อนที่ปลายก้าน โดยเฉพาะถ้า ก. 1 (เสื้อ) = ก. 2 (เสื้อ) = 0จากนั้นเงื่อนไขจะกลายเป็นเนื้อเดียวกัน ทางกายภาพ หมายถึงการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสภาพแวดล้อมภายนอกไม่เกิดขึ้นที่ปลาย (เงื่อนไขเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าเงื่อนไขสำหรับฉนวนกันความร้อนของปลาย) สุดท้ายเงื่อนไขขอบเขต ประเภทที่สาม (7)สอดคล้องกับกรณีที่การแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อมเกิดขึ้นผ่านปลายของแกนตามกฎของนิวตัน (จำได้ว่าเมื่อได้มาซึ่งสมการการนำความร้อน เราถือว่าพื้นผิวด้านข้างเป็นฉนวนความร้อน) จริง ในกรณีของสมการการนำความร้อน เงื่อนไข (7) เขียนต่างกันเล็กน้อย:

กฎทางกายภาพของการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม (กฎของนิวตัน) คือ การไหลของความร้อนผ่านหน่วยของพื้นผิวต่อหน่วยของเวลาเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิระหว่างร่างกายกับสิ่งแวดล้อม ดังนั้น สำหรับปลายด้านซ้ายของแถบ จะเท่ากับ ที่นี่ ชั่วโมง 1> 0- ค่าสัมประสิทธิ์การแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม ก. 1 (ท)- อุณหภูมิแวดล้อมที่ปลายด้านซ้าย เครื่องหมายลบถูกใส่ในสูตรด้วยเหตุผลเดียวกับที่มาของสมการการนำความร้อน ในทางกลับกัน เนื่องจากค่าการนำความร้อนของวัสดุ ฟลักซ์ความร้อนผ่านปลายเดียวกันจึงเท่ากัน เราใช้กฎการอนุรักษ์ปริมาณความร้อน:

เงื่อนไข (14) ได้มาในทำนองเดียวกันที่ปลายด้านขวาของแกน เฉพาะค่าคงที่ λ 2อาจแตกต่างกัน เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว สภาพแวดล้อมรอบๆ ปลายด้านซ้ายและขวาต่างกัน

เงื่อนไขขอบเขต (14) เป็นเงื่อนไขทั่วไปมากกว่าเงื่อนไขประเภทที่หนึ่งและสอง หากเราคิดว่าไม่มีการแลกเปลี่ยนความร้อนกับตัวกลางจนถึงจุดสิ้นสุดใดๆ (นั่นคือ สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อนเป็นศูนย์) เงื่อนไขของประเภทที่สองจะได้รับ ในอีกกรณีหนึ่ง สมมติว่าค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน เช่น ชั่วโมง 1, ใหญ่มาก.

ให้เราเขียนเงื่อนไขใหม่ (14) สำหรับ x = 0เช่น และเราจะมุ่งมั่น เป็นผลให้เราจะมีเงื่อนไขประเภทแรก:

เงื่อนไขขอบเขตถูกกำหนดขึ้นในทำนองเดียวกันสำหรับตัวแปรจำนวนมาก สำหรับปัญหาการกระจายความร้อนในจานแบน เงื่อนไขนี้หมายความว่าอุณหภูมิที่ขอบจะอยู่ที่ศูนย์ ในทำนองเดียวกัน สภาพจะคล้ายกันมากในลักษณะที่ปรากฏ แต่ในกรณีแรกหมายความว่าแผ่นแบนได้รับการพิจารณาและขอบของแผ่นเป็นฉนวนความร้อน และในกรณีที่สองหมายความว่าปัญหาการแพร่กระจายความร้อนในร่างกายคือ พิจารณาและพื้นผิวเป็นฉนวนความร้อน

คำตอบของปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นแรกสำหรับสมการการนำความร้อน

พิจารณาปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นแรกที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับสมการความร้อน:

หาคำตอบของสมการ

คุณ เสื้อ = คุณ xx, 0 0,

เงื่อนไขขอบเขตที่น่าพอใจ

U (0, t) = คุณ (l, t) = 0, t> 0,

และเงื่อนไขเบื้องต้น

มาแก้ปัญหานี้ด้วยวิธีฟูริเยร์กัน

ขั้นตอนที่ 1... เราจะหาคำตอบของสมการ (15) ในรูปแบบ U (x, t) = X (x) T (t).

มาหาอนุพันธ์ย่อยกัน:

แทนอนุพันธ์เหล่านี้ลงในสมการแล้วหารตัวแปร:

โดยบทแทรกหลัก เราได้รับ

นี่หมายความว่า

ตอนนี้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาแต่ละสมการได้แล้ว ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าการใช้เงื่อนไขขอบเขต (16) เราไม่สามารถค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการ b) แต่สำหรับคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขขอบเขตที่เกี่ยวข้อง:

ขั้นตอนที่ 2.มาแก้ปัญหา Sturm-Liouville กันเถอะ

ปัญหานี้เกิดขึ้นพร้อมกับปัญหา Sturm-Liouville ที่พิจารณาใน บรรยาย 3จำได้ว่าค่าลักษณะเฉพาะและลักษณะเฉพาะของปัญหานี้มีอยู่สำหรับ .เท่านั้น λ>0.

ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากัน

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะเท่ากัน (ดูวิธีแก้ไขปัญหา)

การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนภายใต้การกระทำของแหล่งกำเนิดที่มีความเข้มข้นทันทีในตัวกลางที่ไม่มีขอบเขตเรียกว่าสารละลายพื้นฐาน

แหล่งที่มาของจุดทันที

สำหรับวัตถุอนันต์ ที่จุดกำเนิดซึ่งแหล่งกำเนิดจุดชั่วขณะ คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของการนำความร้อนมีดังนี้:

โดยที่ T คืออุณหภูมิของจุดที่มีพิกัด x, y, z; Q คือปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาในขณะนี้ t = 0 ที่จุดกำเนิด t คือเวลาที่ผ่านไปนับตั้งแต่เกิดความร้อน R คือระยะทางจากจุดกำเนิดของพิกัดที่แหล่งกำเนิดกระทำการจนถึงจุดที่เป็นปัญหา (รัศมี - เวกเตอร์) สมการ (4) เป็นคำตอบพื้นฐานของสมการการนำความร้อนภายใต้การกระทำของแหล่งกำเนิดจุดชั่วขณะในตัววัตถุอนันต์

ในช่วงเวลาใด t? 0 อุณหภูมิของแหล่งกำเนิดเอง (R = 0) ไม่เป็นศูนย์และลดลงเมื่อเวลาผ่านไปตามกฎ t -3/2 ซึ่งคงอยู่เหนืออุณหภูมิของจุดอื่นๆ ของร่างกาย ด้วยระยะห่างจากแหล่งกำเนิด อุณหภูมิจะลดลงตามกฎของการแจกแจงแบบปกติ exp (-R 2 / 4at) พื้นผิวไอโซเทอร์มอลเป็นทรงกลมที่มีศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิด และสนามอุณหภูมิในช่วงเวลาหนึ่งจะขึ้นอยู่กับรัศมีเท่านั้น ในช่วงเวลาเริ่มต้น (t = 0) อุณหภูมิจะไม่ถูกกำหนด (T =?) ซึ่งสัมพันธ์กับโครงร่างของแหล่งกำเนิดเป็นก้อนซึ่งมีปริมาณความร้อน Q จำกัด อยู่ในปริมาตรเล็ก ๆ ที่ ช่วงเวลาเริ่มต้นของเวลา

บนพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับวัตถุอนันต์ (4) เป็นไปได้ที่จะได้รับสมการสนามอุณหภูมิสำหรับโครงร่างกึ่งอนันต์ ซึ่งใช้เพื่ออธิบายกระบวนการทางความร้อนในผลิตภัณฑ์ขนาดใหญ่ ให้แหล่งกำเนิดจุดทันที D กระทำในร่างกายกึ่งอนันต์ที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว S - S (รูปที่ 4) สำหรับวัตถุขนาดใหญ่ ฟลักซ์ความร้อนภายในจะมากกว่าฟลักซ์การถ่ายเทความร้อนจากพื้นผิวมาก ดังนั้นพื้นผิวของวัตถุกึ่งอนันต์ถือได้ว่าเป็นขอบเขตอะเดียแบติกซึ่ง (ดูหัวข้อ 1.4)

เราเสริมขอบเขตกึ่งอนันต์ z> 0 ให้เป็นอนันต์โดยการเพิ่มขอบเขต z< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

ขอบเขตอุณหภูมิความร้อน (เงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่ 1) T S = 0 ถูกจำลองตามรูปแบบเดียวกัน แต่ในกรณีนี้ T = T D - T F ควรเน้นว่าแหล่งความร้อนไม่สามารถกระทำบนพื้นผิวที่มีอุณหภูมิความร้อนได้

การแสดงกราฟิกของสนามอุณหภูมิ (6) จำเป็นต้องมีความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับตำแหน่งเชิงพื้นที่ของพื้นผิวที่วางแผนการกระจายอุณหภูมิ ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ส่วนควบคุมของวัตถุกึ่งอนันต์ภายใต้การกระทำของแหล่งกำเนิดจุดคือระนาบ xy, xz และ yz (รูปที่ 5, a) สำหรับวัตถุกึ่งอนันต์ พื้นผิวที่มีอุณหภูมิความร้อนเท่ากับซีกโลก (อุณหภูมิขึ้นอยู่กับรัศมี - เวกเตอร์ R) ในไอโซเทอร์มระนาบ xy โดยเป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิวโดยระนาบ

z = const เป็นวงกลมและในระนาบอื่น - ครึ่งวงกลม (รูปที่ 5, b) ฟิลด์อุณหภูมิของแหล่งกำเนิดจุดชั่วขณะ ณ เวลาต่างๆ จะแสดงในรูปที่ (6) (ดู ก 1.1.) ในรูป อุณหภูมิถูกจำกัดแบบกราฟิกโดยค่า T = 1,000K |

อุณหภูมิ ณ จุดใดๆ ภายนอกแหล่งกำเนิดจะเพิ่มขึ้นก่อนแล้วจึงลดลง (รูปที่ 1.3) โมเมนต์ของการไปถึงค่าอุณหภูมิสูงสุด ณ จุดที่กำหนดนั้นหาได้จากเงื่อนไข

ความแตกต่างของนิพจน์ (6) เกี่ยวกับเวลา เราได้รับสูตรสำหรับกำหนดเวลาเมื่ออุณหภูมิสูงสุด

อุณหภูมิสูงสุดของจุดของร่างกายกึ่งอนันต์ภายใต้การกระทำของแหล่งกำเนิดจุดจะลดลงตามระยะทางเป็น R 3

การนำความร้อน- นี่คือการถ่ายเทความร้อนประเภทหนึ่ง การถ่ายเทความร้อนสามารถทำได้โดยใช้กลไกต่างๆ

ร่างกายทั้งหมดปล่อยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ที่อุณหภูมิห้อง ส่วนใหญ่เป็นรังสีอินฟราเรด เป็นอย่างนี้นี่เอง การถ่ายเทความร้อนแบบแผ่รังสี.

ในที่ที่มีสนามแรงโน้มถ่วง กลไกการถ่ายเทความร้อนอื่นในของเหลวสามารถเป็นได้ การพาความร้อน... หากความร้อนถูกส่งไปยังภาชนะที่มีของเหลวหรือก๊าซผ่านด้านล่าง ส่วนล่างสุดของสารจะอุ่นขึ้น ความหนาแน่นจะลดลง พวกมันจะลอยขึ้นและให้ความร้อนบางส่วนที่ได้รับไปยังชั้นบน

ด้วยการนำความร้อน การถ่ายโอนพลังงานเกิดขึ้นจากการถ่ายโอนพลังงานโดยตรงจากอนุภาค (โมเลกุล อะตอม อิเล็กตรอน) ที่มีพลังงานสูงกว่าไปยังอนุภาคที่มีพลังงานต่ำกว่า

หลักสูตรของเราจะพิจารณาการถ่ายเทความร้อนโดยการนำ

ให้เราพิจารณากรณีหนึ่งมิติก่อนเมื่ออุณหภูมิขึ้นอยู่กับพิกัดเดียว NS... ปล่อยให้สื่อทั้งสองคั่นด้วยพาร์ติชั่นความหนาแบน l(รูปที่ 23.1) อุณหภูมิปานกลาง NS 1 และ NS 2 ให้คงที่ สามารถกำหนดได้เชิงประจักษ์ว่าปริมาณความร้อน NSส่งผ่านส่วนของพาร์ทิชันที่มีพื้นที่ NSในระหว่าง NSเท่ากับ

, (23.1)

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k ขึ้นอยู่กับวัสดุผนัง

ที่ NS 1 > NS 2 ความร้อนถูกถ่ายเทในทิศทางบวกของแกน NS, ที่ NS 1 < NS 2 - ลบ ทิศทางของการแพร่กระจายความร้อนสามารถนำมาพิจารณาหากในสมการ (23.1) เราแทนที่ ( NS 1 - NS 2)/lบน (- dT/dx). ในกรณีหนึ่งมิติ อนุพันธ์ dT/dxเป็นตัวแทน การไล่ระดับอุณหภูมิ... โปรดจำไว้ว่าการไล่ระดับสีเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกับทิศทางของฟังก์ชันพิกัดสเกลาร์ที่เพิ่มขึ้นเร็วที่สุด (ในกรณีของเรา NS) และโมดูลัสจะเท่ากับอัตราส่วนของการเพิ่มฟังก์ชันที่การกระจัดเล็กน้อยในทิศทางนี้กับระยะทางที่การเพิ่มขึ้นนี้เกิดขึ้น

เพื่อให้สมการที่อธิบายการถ่ายเทความร้อนมีรูปแบบทั่วไปและเป็นสากลมากขึ้น เราจึงพิจารณา ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน j - ปริมาณความร้อนที่ถ่ายเทผ่านหน่วยพื้นที่ต่อหน่วยเวลา

จากนั้นเขียนความสัมพันธ์ (23.1) ในรูป

ที่นี่เครื่องหมายลบสะท้อนถึงความจริงที่ว่าทิศทางของการไหลของความร้อนอยู่ตรงข้ามกับทิศทางของการไล่ระดับอุณหภูมิ (ทิศทางของการเพิ่มขึ้น) ดังนั้นความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ เวกเตอร์ของความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนมุ่งไปที่อุณหภูมิที่ลดลง

ถ้าอุณหภูมิของตัวกลางขึ้นอยู่กับพิกัดทั้งสาม ความสัมพันธ์ (23.3) จะอยู่ในรูป

ที่ไหน , คือการไล่ระดับอุณหภูมิ ( อี 1 ,อี 2 ,อี 3 - เวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด)

ความสัมพันธ์ (23.3) และ (23.4) แสดงถึงกฎพื้นฐานของการนำความร้อน (กฎของฟูริเยร์): ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเป็นสัดส่วนกับการไล่ระดับอุณหภูมิค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k เรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์การนำความร้อน(หรือเพียงแค่การนำความร้อน) เพราะ ขนาดความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน [ NS] = J / (m 2 s) และการไล่ระดับอุณหภูมิ [ dT / dx] = K / m แล้วขนาดของสัมประสิทธิ์การนำความร้อน [k] = J / (m × s × K)

โดยทั่วไป อุณหภูมิที่จุดต่างๆ ของสารที่ให้ความร้อนไม่สม่ำเสมอจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา พิจารณากรณีหนึ่งมิติเมื่ออุณหภูมิขึ้นอยู่กับพิกัดเชิงพื้นที่เพียงจุดเดียว NSและเวลา NSและเราได้รับ สมการความร้อน- สมการอนุพันธ์ซึ่งฟังก์ชันเป็นไปตาม NS = NS(NS,NS).

ให้เราเลือกองค์ประกอบปริมาตรเล็ก ๆ ในรูปแบบของทรงกระบอกหรือปริซึมในตัวกลางซึ่ง generatrices ซึ่งขนานกับแกน NSและฐานตั้งฉาก (รูปที่ 23.2) พื้นที่ฐาน NSและส่วนสูง dx... มวลของเล่มนี้ dm= ร Sdxและความจุความร้อน ค × ดมโดยที่ r คือความหนาแน่นของสาร กับ- ความจุความร้อนจำเพาะ ให้เวลาน้อยๆ dtอุณหภูมิในปริมาตรนี้เปลี่ยนโดย dT... สำหรับสิ่งนี้สารในปริมาตรจะต้องได้รับความร้อนเท่ากับผลคูณของความจุความร้อนโดยการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ: ... ในทางกลับกัน d NSสามารถป้อนปริมาตรผ่านฐานของกระบอกสูบเท่านั้น: (ความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อน NSเป็นได้ทั้งบวกและลบ) เท่ากับนิพจน์สำหรับd NS, เราได้รับ

แทนที่อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยด้วยอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันเรามาถึงความสัมพันธ์

. (23.5)

ให้เราแทนนิพจน์ (23.3) สำหรับความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนเป็นสูตร (23.5)

. (23.6)

สมการผลลัพธ์เรียกว่า สมการความร้อน... ถ้าตัวกลางเป็นเนื้อเดียวกันและค่าการนำความร้อน k ไม่ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ สมการจะใช้รูปแบบ

, (23.7)

โดยที่ค่าคงที่เรียกว่า การกระจายความร้อนวันพุธ.

สมการ (23.6) - (23.8) พอใจกับเซตของฟังก์ชันที่นับไม่ถ้วน NS = NS(NS,NS).

ในการเลือกคำตอบเดียวของสมการความร้อน จำเป็นต้องเพิ่มเงื่อนไขเริ่มต้นและขอบเขตลงในสมการ

เงื่อนไขเริ่มต้นคือการระบุการกระจายอุณหภูมิในตัวกลาง NS(NS, 0) ในช่วงเวลาเริ่มต้น NS = 0.

เงื่อนไขขอบเขตอาจแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับสภาวะอุณหภูมิที่ขอบเขต ส่วนใหญ่มักจะมีสถานการณ์เมื่ออุณหภูมิหรือความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนถูกตั้งค่าไว้ที่ขอบเขตตามฟังก์ชันของเวลา

ในบางกรณีอาจมีแหล่งความร้อนอยู่ในสิ่งแวดล้อม ความร้อนสามารถปล่อยออกมาได้จากการผ่านของกระแสไฟฟ้า ปฏิกิริยาเคมีหรือนิวเคลียร์ การปรากฏตัวของแหล่งความร้อนสามารถนำมาพิจารณาโดยการแนะนำความหนาแน่นรวมของการปล่อยพลังงาน NS(NS,y,z) เท่ากับปริมาณความร้อนที่ปล่อยออกมาจากแหล่งกำเนิดต่อหน่วยปริมาตรของสิ่งแวดล้อมต่อหน่วยเวลา ในกรณีนี้ พจน์จะปรากฏทางด้านขวามือของสมการ (23.5) NS:

ที่มาของสมการความร้อน

ลองนึกภาพร่างกายที่เป็นเนื้อเดียวกันและแยกออกจากปริมาตรพื้นฐานที่มีด้านข้าง (รูปที่ 1)

รูปที่ 1 ปริมาตรทดสอบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

ฟลักซ์ความร้อนที่เข้ามาที่ตั้งฉากกับพื้นผิวจะแสดงเป็น เราแสดงกระแสบนพื้นผิวตรงข้ามจากซีรี่ส์ Taylor:

อาจมีแหล่งความร้อนภายในร่างกาย หากมีท่อระบายน้ำ ถ้า:

การเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายใน:

แทนสมการ (1.1.1) ลงในสมการผลลัพธ์ (1.1.5):

แทนที่พวกมันเป็นสมการ (1.1.6) เราจะได้สมการการนำความร้อนในรูปแบบทั่วไปสำหรับพื้นที่สามมิติ:

มาแนะนำค่าสัมประสิทธิ์การกระจายความร้อน:

และละเว้นแหล่งความร้อนภายใน เราได้สมการการนำความร้อนในพื้นที่สามมิติโดยไม่มีแหล่งความร้อนภายใน:

เงื่อนไขที่ชัดเจน

สมการ (1.1) อธิบายกระบวนการในแง่ทั่วไป หากต้องการนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะ จำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม เรียกว่าเงื่อนไขเฉพาะ เงื่อนไขเหล่านี้รวมถึงรูปทรงเรขาคณิต (รูปร่างและขนาดของร่างกาย) ทางกายภาพ (คุณสมบัติทางกายภาพของร่างกาย) เวลา (การกระจายอุณหภูมิเริ่มต้น) และเงื่อนไขขอบเขต (อธิบายกระบวนการแลกเปลี่ยนความร้อนกับสิ่งแวดล้อม)

เงื่อนไขขอบเขตสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภทหลัก:

1. เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet: กำหนดค่าของฟังก์ชันบนขอบเขต

ในกรณีของปัญหาการนำความร้อนจะมีการตั้งค่าอุณหภูมิบนพื้นผิวของร่างกาย

2. เงื่อนไขขอบเขตนอยมันน์: ให้อนุพันธ์ปกติของฟังก์ชันบนขอบเขต

ระบุความหนาแน่นของฟลักซ์ความร้อนบนพื้นผิวของร่างกาย

3. เงื่อนไขขอบเขตของโรบิน: ให้ผลรวมเชิงเส้นของค่าของฟังก์ชันและอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ขอบเขต

อธิบายการแลกเปลี่ยนความร้อนระหว่างพื้นผิวของร่างกายกับสิ่งแวดล้อมตามกฎหมายของนิวตัน-ริชแมน

ในงานนี้ จะใช้เฉพาะเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet เนื่องจากความซับซ้อนของการดำเนินการตามเงื่อนไขขอบเขตที่เหลือ

โดยมีเงื่อนไขเบื้องต้น

และเงื่อนไขขอบเขต

เราจะหาทางแก้ไขปัญหานี้ในรูปแบบของอนุกรมฟูริเยร์ในระบบของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (94)

เหล่านั้น. การสลายตัว

พิจารณาไปพร้อม ๆ กัน NSพารามิเตอร์.

ให้ฟังก์ชั่น NS(NS, NS) เป็นต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ต่อเนื่องทีละชิ้นของอันดับที่ 1 เทียบกับ NSและเพื่อทุกคน NS> 0 ตรงตามเงื่อนไข

สมมติว่าตอนนี้ฟังก์ชัน NS(NS, NS) และ
สามารถขยายเป็น sine Fourier series

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

แทนที่ (116) เป็นสมการ (113) และพิจารณา (117) เราได้รับ

ความเท่าเทียมกันนี้จะถือเมื่อ

, (121)

หรือถ้า
จากนั้นสมการนี้ (121) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

. (122)

โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (114) โดยคำนึงถึง (116), (117) และ (119) เราได้รับสิ่งนั้น

. (123)

ดังนั้นเพื่อค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ
เรามาถึงปัญหา Cauchy (122), (123) สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันแบบธรรมดา โดยใช้สูตรของออยเลอร์ เราสามารถเขียนคำตอบของสมการทั่วไป (122)

และโดยคำนึงถึง (123) วิธีแก้ปัญหา Cauchy

ดังนั้น เมื่อเราแทนค่าของฟังก์ชันนี้เป็นนิพจน์ (116) ผลลัพธ์ เราจะได้วิธีแก้ไขปัญหาเดิม

(124)

ที่ฟังก์ชั่น NS(NS, NS) และ
ถูกกำหนดโดยสูตร (118) และ (120)

ตัวอย่างที่ 14 หาคำตอบของสมการเอกพันธ์ของชนิดพาราโบลา

ด้วยเงื่อนไขเบื้องต้น

(14.2)

และเงื่อนไขขอบเขต

. (14.3)

▲ มาเลือกฟังก์ชั่นดังกล่าวกันก่อน  เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขต (14.3) ให้ตัวอย่างเช่น  = xt 2. แล้ว

ดังนั้นฟังก์ชันจึงถูกกำหนดเป็น

เป็นไปตามสมการ

(14.5)

เงื่อนไขขอบเขตที่เป็นเนื้อเดียวกัน

และศูนย์เงื่อนไขเริ่มต้น

. (14.7)

การใช้วิธีฟูริเยร์ในการแก้สมการเอกพันธ์

ภายใต้เงื่อนไข (14.6), (14.7) เราใส่

เรามาถึงปัญหา Sturm-Liouville ต่อไปนี้:

,
.

การแก้ปัญหานี้ เราพบค่าลักษณะเฉพาะ

และหน้าที่ของมันเอง

. (14.8)

เราแสวงหาวิธีแก้ปัญหา (14.5) - (14.7) ในรูปแบบของอนุกรม

, (14.9)

(14.10)

ทดแทน
จาก (14.9) ถึง (14.5) เราได้รับ

. (14.11)

เพื่อค้นหาฟังก์ชัน NS NS (NS) ขยายฟังก์ชัน (1- NS) ลงในอนุกรมฟูริเยร์ในระบบฟังก์ชัน (14.8) ในช่วงเวลา (0,1):

. (14.12)

และจาก (14.11) และ (14.12) เราได้รับสมการ

, (14.13)

ซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันธรรมดาของลำดับที่หนึ่ง เราพบคำตอบทั่วไปโดยสูตรของออยเลอร์

และคำนึงถึงเงื่อนไข (14.10) เราพบวิธีแก้ไขปัญหา Cauchy

. (14.14)

จาก (14.4) (14.9) และ (14.14) เราพบวิธีแก้ไขปัญหาเดิม (14.1) - (14.3)

งานที่มอบหมายให้ศึกษาด้วยตนเอง

แก้ปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้น

3.4. ปัญหา Cauchy สำหรับสมการความร้อน

ก่อนอื่นให้พิจารณา ปัญหา Cauchy สำหรับ สมการความร้อนที่เป็นเนื้อเดียวกัน

น่าพอใจ

เริ่มต้นด้วยการแทนที่ตัวแปร NS และ NSบน
และแนะนำฟังก์ชัน
... จากนั้นฟังก์ชั่น
จะสนองสมการ

ที่ไหน
คือฟังก์ชันของกรีนที่กำหนดโดยสูตร

, (127)

และมีคุณสมบัติ

; (130)

. (131)

การคูณสมการแรกด้วย NS* และครั้งที่สองใน และแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน

. (132)

หลังจากบูรณาการโดยส่วนของความเท่าเทียมกัน (132) มากกว่า ภายในช่วงตั้งแต่ -∞ ถึง + ∞ และโดย ตั้งแต่ 0 ถึง NS, เราได้รับ

หากสมมุติว่าฟังก์ชัน
และอนุพันธ์ของมัน จำกัด ที่
ดังนั้นโดยอาศัยคุณสมบัติ (131) อินทิกรัลทางด้านขวามือของ (133) จึงเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถเขียน

แทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันนี้ด้วย
, NS
บน
, เราได้อัตราส่วน

ดังนั้น โดยใช้สูตร (127) เราจะได้

. (135)

สูตร (135) เรียกว่า สูตรปัวซอง และกำหนดวิธีแก้ปัญหาของปัญหา Cauchy (125), (126) สำหรับสมการความร้อนที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

ทางออกคือ ปัญหา Cauchy สำหรับสมการความร้อนที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

น่าพอใจ เงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

คือผลรวมของการแก้ปัญหา:

ทางแก้ของปัญหา Cauchy สำหรับสมการความร้อนที่เป็นเนื้อเดียวกันอยู่ที่ไหน . การปฏิบัติตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน ดังนั้น การแก้ปัญหา Cauchy (136), (137) ถูกกำหนดโดยสูตร

ตัวอย่างที่ 15 หาคำตอบของสมการ

(15.1)