(El primer signo suficiente de un extremo. Los signos de un aumento y disminución local de una función

02.08.2021

Signos de aumento y disminución local de la función.

Una de las principales tareas del estudio de una función es encontrar los intervalos de su aumento y disminución. Este estudio se puede realizar fácilmente utilizando una derivada. Formulemos los enunciados correspondientes.

Signo suficiente de función creciente. Si f '(x)> 0 en cada punto del intervalo I, entonces la función f aumenta en I.

Signo suficiente de función decreciente. Si f '(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

La prueba de estos signos se realiza sobre la base de la fórmula de Lagrange (ver sección 19). Toma dos números cualesquiera x 1 y x 2 desde el intervalo. Sea x 1 hay un número con ∈ (x 1, x 2) tal que

(1)

El número c pertenece al intervalo I, ya que los puntos x 1 y x 2 pertenecen a I. Si f "(x)> 0 para х∈I entonces f’ (с)> 0, y por lo tanto F (x 1 )) - esto se sigue de la fórmula (1), ya que x 2 - x 1 > 0. Esto prueba que la función f crece en I. Si f '(x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)> f (x 2 ) - se sigue de la fórmula (1), ya que x 2 —x 1 > 0. La función f disminuye en I.

El significado visual de los signos se desprende del razonamiento físico (en aras de la definición, considere el signo de aumento).

Supongamos que un punto que se mueve a lo largo de la ordenada en el tiempo t tiene una ordenada y = f (t). Entonces, la rapidez de este punto en el tiempo t es igual af "(t) (ver. Velocidad instantánea ). Si f ’(t)> 0 en cada momento del intervalo t, entonces el punto se mueve en la dirección positiva del eje de ordenadas, es decir, si t 1 ). Esto significa que la función f aumenta en el intervalo I.

Observación 1.

Si la función f es continua en cualquiera de los extremos del intervalo creciente (decreciente), entonces este punto se adjunta a este intervalo.

Observación 2.

Para resolver las desigualdades f "(x)> 0 y f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un extremo de una función en un punto.

Una condición necesaria para un extremo.

La función g (x) en un punto tiene un extremo (máximo o mínimo) si la función se define en una vecindad de dos lados del punto y para todos los puntos x de alguna región :, la desigualdad

(en el caso de un máximo) o (en el caso de un mínimo).

El extremo de la función se encuentra a partir de la condición: si la derivada existe, es decir equiparamos la primera derivada de la función a cero.

Condición suficiente del extremo

1) Primera condición suficiente:

a) f (x) es una función continua y se define en alguna vecindad de un punto tal que la primera derivada en este punto es cero o no existe.

b) f (x) tiene una derivada finita en un entorno de especificación y continuidad de la función

c) la derivada conserva un cierto signo a la derecha del punto y a la izquierda del mismo punto, entonces el punto se puede caracterizar de la siguiente manera

Esta condición no es muy conveniente, ya que necesita verificar muchas condiciones y memorizar la tabla, pero si no se dice nada sobre derivadas de órdenes superiores, entonces esta es la única forma de encontrar el extremo de la función.

2) Segunda condición suficiente

Si la función g (x) tiene una segunda derivada y en algún momento la primera derivada es igual a cero, y la segunda derivada es distinta de cero. Entonces el punto función extrema g (x), y si, entonces el punto es el máximo; si, entonces el punto es el mínimo.

El punto extremo de una función es un punto en el dominio de una función en el que el valor de una función adquiere un valor mínimo o máximo. Los valores de la función en estos puntos se denominan extremos (mínimo y máximo) de la función..

Definición... Punto X1 dominio de función F(X) se llama punto máximo de la función , si el valor de la función en este punto es mayor que los valores de la función en puntos lo suficientemente cercanos a ella, ubicados a su derecha e izquierda (es decir, la desigualdad F(X0 ) > F(X 0 + Δ X) X1 máximo.

Definición... Punto X2 dominio de función F(X) se llama el punto mínimo de la función, si el valor de la función en este punto es menor que los valores de la función en puntos lo suficientemente cercanos a ella, ubicados a su derecha e izquierda (es decir, la desigualdad F(X0 ) < F(X 0 + Δ X) ). En este caso, se dice que la función tiene en el punto X2 mínimo.

Digamos punto X1 es el punto máximo de la función F(X). Luego, en el intervalo hasta X1 la función aumenta, entonces la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X)> 0), y en el intervalo posterior X1 la función disminuye, por lo tanto, y derivada de una función menos que cero ( F "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Supongamos también que el punto X2 es el punto mínimo de la función F(X). Luego, en el intervalo hasta X2 la función disminuye y la derivada de la función es menor que cero ( F "(X) < 0 ), а в интервале после X2 la función aumenta y la derivada de la función es mayor que cero ( F "(X)> 0). En este caso, también en el punto X2 la derivada de la función es cero o no existe.

Teorema de Fermat (un criterio necesario para la existencia de un extremo de una función)... Si el punto X0 es el punto extremo de la función F(X), entonces en este punto la derivada de la función es igual a cero ( F "(X) = 0) o no existe.

Definición... Los puntos en los que la derivada de una función es cero o no existe se denominan puntos críticos .

Ejemplo 1. Consideremos una función.

En el punto X= 0, la derivada de la función es igual a cero, por lo tanto, el punto X= 0 es el punto crítico. Sin embargo, como se puede ver en la gráfica de la función, aumenta en todo el dominio de definición, por lo que el punto X= 0 no es el punto extremo de esta función.

Así, las condiciones de que la derivada de una función en un punto sea cero o no exista son condiciones necesarias para un extremo, pero no suficientes, ya que otros ejemplos de funciones para las cuales se satisfacen estas condiciones, pero la función no tiene un extremo en el punto correspondiente, se puede dar. Es por eso necesitas tener suficientes letreros, permitiendo juzgar si existe un extremo en un punto crítico particular y cuál es un máximo o un mínimo.

Teorema (el primer criterio suficiente para la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 F(X), si la derivada de la función cambia de signo al pasar por este punto, y si el signo cambia de "más" a "menos", entonces el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo .

Si cerca del punto X0 , a la izquierda y a la derecha de ella, la derivada conserva el signo, entonces esto significa que la función solo disminuye o solo aumenta en alguna vecindad del punto X0 ... En este caso, en el punto X0 no hay extremo.

Entonces, para determinar los puntos extremos de la función, debe hacer lo siguiente :

Encuentra la derivada de la función.
Establezca la derivada en cero y determine los puntos críticos.
Mentalmente o en papel, marque los puntos críticos en el eje numérico y determine los signos de la derivada de la función en los intervalos obtenidos. Si el signo de la derivada cambia de "más" a "menos", entonces el punto crítico es el punto máximo, y si de "menos" a "más", entonces el punto mínimo.
Calcula el valor de la función en los puntos extremos.

Ejemplo 2. Encuentra extremos de una función .

Solución. Encontremos la derivada de la función:

Establezcamos la derivada en cero para encontrar los puntos críticos:

Dado que para cualquier valor de la "x" el denominador no es cero, equiparamos el numerador a cero:

Tengo un punto de inflexión X= 3. Determinemos el signo de la derivada en los intervalos delimitados por este punto:

en el rango de menos infinito a 3 - el signo menos, es decir, la función disminuye,

en el rango de 3 a más infinito - el signo más, es decir, la función aumenta.

Es decir, apuntar X= 3 es el punto mínimo.

Encontremos el valor de la función en el punto mínimo:

Por tanto, el punto extremo de la función se encuentra: (3; 0), y es el punto mínimo.

Teorema (el segundo criterio suficiente para la existencia de un extremo de una función). Punto crítico X0 es el punto extremo de la función F(X) si la segunda derivada de la función en este punto no es cero ( F ""(X) ≠ 0), y si la segunda derivada es mayor que cero ( F ""(X)> 0), entonces el punto máximo, y si la segunda derivada es menor que cero ( F ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Observación 1. Si en el punto X0 tanto la primera como la segunda derivada desaparecen, entonces en este punto es imposible juzgar la presencia de un extremo sobre la base del segundo criterio suficiente. En este caso, es necesario utilizar el primer indicador suficiente del extremo de la función.

Observación 2. El segundo criterio suficiente para el extremo de una función también es inaplicable si la primera derivada no existe en el punto estacionario (entonces la segunda derivada tampoco existe). En este caso, también es necesario utilizar el primer indicador suficiente del extremo de la función.

El carácter local de los extremos de la función.

De las definiciones anteriores se deduce que el extremo de una función tiene un carácter local: este es el valor más grande y más pequeño de la función en comparación con los valores más cercanos.

Suponga que está mirando sus ganancias durante un período de un año. Si ganó 45,000 rublos en mayo, 42,000 rublos en abril y 39,000 rublos en junio, las ganancias de mayo son el máximo de la función de ganancias en comparación con los valores más cercanos. Pero en octubre ganó 71,000 rublos, en septiembre 75,000 rublos y en noviembre 74,000 rublos, por lo que las ganancias de octubre son el mínimo de la función de ganancias en comparación con los valores cercanos. Y puede ver fácilmente que el máximo entre los valores de abril-mayo-junio es menor que el mínimo de septiembre-octubre-noviembre.

En términos generales, en el intervalo una función puede tener varios extremos y puede resultar que cualquier mínimo de la función sea mayor que cualquier máximo. Entonces, para la función que se muestra en la figura anterior ,.

Es decir, no se debe pensar que el máximo y el mínimo de una función son, respectivamente, sus valores más grande y más pequeño en todo el intervalo considerado. En el punto máximo, la función tiene el valor más grande solo en comparación con los valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto máximo, y en el punto mínimo, el valor más pequeño solo en comparación con los valores que tiene en todos los puntos lo suficientemente cerca del punto mínimo.

Por lo tanto, es posible aclarar el concepto anterior de puntos extremos de una función y llamar a los puntos mínimos como puntos mínimos locales y puntos máximos - puntos máximos locales.

Buscando juntos los extremos de una función

Ejemplo 3.

Solución: La función está definida y es continua en toda la recta numérica. Su derivado también existe en la recta numérica entera. Por lo tanto, en este caso, los puntos críticos son solo aquellos en los que, es decir, , de donde y. Puntos críticos y dividir todo el dominio de la función en tres intervalos de monotonicidad :. Elijamos un punto de control en cada uno de ellos y encontremos el signo de la derivada en este punto.

Para el intervalo, el punto de control puede ser: encontrar. Tomando un punto en el intervalo, obtenemos, y tomando un punto en el intervalo, tenemos. Entonces, en los intervalos y, y en el intervalo. De acuerdo con el primer criterio suficiente para un extremo, no hay extremo en el punto (ya que la derivada conserva su signo en el intervalo), y en el punto la función tiene un mínimo (ya que la derivada cambia de signo de menos a más al pasar a través de este punto). Encontremos los valores correspondientes de la función :, a. En el intervalo, la función disminuye, como en este intervalo, y en el intervalo, aumenta, como en este intervalo.

Para aclarar la construcción del gráfico, encontraremos los puntos de su intersección con los ejes coordenados. Para, obtenemos una ecuación cuyas raíces y, es decir, dos puntos (0; 0) y (4; 0) de la gráfica de la función se encuentran. Con toda la información obtenida, construimos un gráfico (ver al principio del ejemplo).

Para realizar una autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivadas en línea .

Ejemplo 4. Encuentra los extremos de la función y construye su gráfica.

El dominio de la función es la recta numérica entera, excepto el punto, es decir, ...

Para acortar la búsqueda, puede utilizar el hecho de que esta función es par, ya que ... Por tanto, su gráfica es simétrica con respecto al eje Oy y la exploración solo se puede realizar durante un intervalo.

Encuentra la derivada y los puntos críticos de la función:

1) ;

2) ,

pero la función se interrumpe en este punto, por lo que no puede ser un punto extremo.

Por tanto, la función dada tiene dos puntos críticos: y. Teniendo en cuenta la paridad de la función, verifiquemos solo el punto por el segundo criterio suficiente del extremo. Para hacer esto, encontramos la segunda derivada y define su signo en: obtenemos. Dado que y, entonces es el punto mínimo de la función, mientras que .

Para obtener una imagen más completa de la gráfica de una función, averigüemos su comportamiento en los límites del dominio de definición:

(aquí el símbolo denota el deseo X a cero a la derecha, y X permanece positivo; igualmente significa aspiración X a cero a la izquierda, y X permanece negativo). Entonces, si, entonces. Además, encontramos

aquellos. si, entonces.

La gráfica de la función no tiene puntos de intersección con los ejes. La imagen está al principio del ejemplo.

Para realizar una autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivadas en línea .

Seguimos buscando juntos los extremos de la función

Ejemplo 8. Encuentra los extremos de la función.

Solución. Busquemos el dominio de la función. Dado que la desigualdad debe mantenerse, obtenemos de.

Encontremos la primera derivada de la función.

Para encontrar los máximos y mínimos de la función, puede utilizar cualquiera de los tres signos suficientes de un extremo. Aunque el más común y conveniente es el primero.

La primera condición suficiente para un extremo.

Deja que la función y = f (x) diferenciable en el vecindario del punto, y continuo en el punto mismo. Luego

En otras palabras:

Algoritmo.

Encuentra el dominio de la función.

Encuentra la derivada de la función en el dominio de definición.

Determine los ceros del numerador, los ceros del denominador de la derivada y los puntos del dominio donde la derivada no existe (estos puntos se llaman puntos de posible extremo pasando por estos puntos, la derivada puede simplemente cambiar su signo).

Estos puntos dividen el dominio de la función en intervalos en los que la derivada conserva su signo. Determine los signos de la derivada en cada uno de los intervalos (por ejemplo, calculando el valor de la derivada de la función en cualquier punto de un intervalo particular).

Elegimos los puntos en los que la función es continua y, a su paso, la derivada cambia de signo.

Ejemplo. Encuentra los extremos de la función.
Solución.
El dominio de una función es el conjunto completo de números reales, excepto x = 2.
Encuentra la derivada:

Los ceros del numerador son puntos x = -1 y x = 5, el denominador desaparece en x = 2... Marcamos estos puntos en el eje numérico

Determinamos los signos de la derivada en cada intervalo, para ello calculamos el valor de la derivada en cualquiera de los puntos de cada intervalo, por ejemplo, en los puntos x = -2, x = 0, x = 3 y x = 6.

Por lo tanto, en el intervalo la derivada es positiva (en la figura, colocamos un signo más encima de este intervalo). igualmente

Por lo tanto, colocamos un menos por encima del segundo intervalo, un menos por encima del tercero y un más por encima del cuarto.

Queda por elegir los puntos en los que la función es continua y su derivada cambia de signo. Estos son los puntos extremos.
En el punto x = -1 la función es continua y la derivada cambia de signo de más a menos, por lo tanto, de acuerdo con el primer signo de un extremo, x = -1- el punto máximo, corresponde al máximo de la función.
En el punto x = 5 la función es continua y la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, x = -1- el punto mínimo, corresponde al mínimo de la función.
Ilustración gráfica.

Respuesta: .

El segundo indicador suficiente del extremo de una función.
Permitir ,

si, entonces - el punto mínimo;

si, entonces - el punto máximo.

Como puede ver, esta característica requiere la existencia de una derivada al menos hasta el segundo orden en un punto.
Ejemplo. Encuentra los extremos de la función.
Solución.
Comencemos con el alcance:

Diferenciamos la función original:

La derivada desaparece en x = 1, es decir, es el punto de un posible extremo.
Encuentre la segunda derivada de la función y calcule su valor en x = 1:

En consecuencia, por la segunda condición suficiente para un extremo, x = 1 es el punto máximo. Entonces es el máximo de la función.
Ilustración gráfica.

Respuesta: .
El tercer indicador suficiente del extremo de una función.
Deja que la función y = f (x) tiene derivados hasta norte-th orden en -networking de un punto y derivadas hasta n + 1-ésimo orden en el punto mismo. Deja y.
Luego,

Fin del trabajo -

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2) Iguale esta derivada a cero y resuelva la ecuación resultante
Sus raices
son puntos estacionarios.

3) Someter los puntos estacionarios a una investigación adicional, para lo cual los trazan en el eje numérico y determinan los signos.
en las secciones resultantes. Conociendo estos signos, puede determinar la naturaleza de cada punto estacionario ... Si, al pasar por un punto estacionario, la derivada
cambia de signo de más a menos, entonces el punto estacionario es el punto máximo. Si, al pasar por un punto estacionario, el signo de la derivada cambia de menos a más, entonces el punto estacionario es un punto mínimo. Si, al pasar por un punto estacionario, la derivada
no cambia de signo, entonces el punto estacionario no es un punto extremo.

A veces, al encontrar los extremos, se utilizan otras condiciones suficientes, en las que el carácter del punto extremo está determinado por el signo de la segunda derivada en el punto estacionario.

Teorema (la segunda condición suficiente para la existencia de un extremo). --- punto estacionario de la función (es decir
y tiene una segunda derivada continuo en una vecindad del punto .Luego

1) si
, luego --- punto máximo de la función ;

2) si
, luego --- el punto mínimo de la función.

Ejemplo 3. Encuentra el extremo de una función.

Solución. En la medida en
función periódica con período
, basta con considerar solo el intervalo de 0 a
... Encontrar
y
:

,
.

Equiparar
a cero, encontramos los puntos estacionarios:

o
... Entre
hay dos raíces de esta ecuación:
y
... Definamos el signo
en estos puntos:
, por eso
--- punto máximo:

, por eso
--- el punto mínimo.

Investigación de funciones de convexidad y concavidad. Puntos de inflexión

Considere en el plano la curva Г, que es la gráfica de la función diferenciable
.

Definición 1... Una curva se llama convexa hacia arriba (convexa) en (a, b) si en este intervalo todos los puntos de la curva no se encuentran por encima de cualquiera de sus tangentes.

Definición 2. La curva se llama convexa hacia abajo (cóncava) en
si en este intervalo todos los puntos de la curva no son más bajos que cualquiera de sus tangentes.

La dirección de la convexidad de una curva es una característica importante de su forma. Establezcamos los signos mediante los cuales se determinan los intervalos en los que la gráfica de la función es convexa (cóncava). Tal signo es, por ejemplo, el signo de la segunda derivada de la función
(si existiera).

Teorema 1.
segunda derivada de una función es negativo, entonces la curva
es convexo hacia arriba en este intervalo.

Teorema 2. Si en todos los puntos del intervalo
segunda derivada de una función
es positivo, entonces la curva
en este intervalo es cóncavo (convexo hacia abajo).

Ejemplo 1. Encuentre los intervalos de convexidad-concavidad de la función

Solución. A

por lo tanto, la función para estos convexo; a

, por lo tanto, para estos la función es cóncava.

Definición 3... El punto que separa la parte convexa de la curva de la parte cóncava se llama punto de inflexión.

Obviamente, en el punto de inflexión, la tangente, si existe, se cruza con la curva, ya que en un lado de este punto la curva se encuentra debajo de la tangente y en el otro lado, por encima de ella.

Teorema 3. (Condición de inflexión necesaria). Si hay un punto de inflexión
y tiene una segunda derivada
luego
.

De donde se sigue que es necesario verificar la inflexión solo en aquellos puntos en los que la segunda derivada es igual a cero o no existe.

Teorema 4. Si al cruzar un punto segunda derivada
cambia de signo, el punto de la curva
con abscisas hay un punto de inflexión.

Ejemplo 2: encontrar los puntos de inflexión de una curva
.

Solución. Rango de valores válidos:
.

Encuentra derivadas:

;
.

Segunda derivada no desaparece en ninguna parte, sino en
no existe.

Definamos los signos
a la izquierda y derecha del punto
:

a
, por lo tanto, en el intervalo
la función es cóncava;

a
, por lo tanto, en el intervalo
la función es convexa.

Por lo tanto, para
hay un punto de inflexión
.

La función y = f (x) se llama creciente (menguante) en algún intervalo, si para x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Si una función diferenciable y = f (x) aumenta (disminuye) en un intervalo, entonces su derivada en este intervalo f "(x)> 0

(f "(x)< 0).

Punto x acerca de llamado punto de máximo local (mínimo) de la función f (x) si existe una vecindad del punto x acerca de, para todos los puntos cuya desigualdad f (x) ≤ f (x о) (f (x) ≥ f (x о)) es verdadera.

Los puntos máximos y mínimos se denominan puntos extremos, y los valores de la función en estos puntos son sus extrema.

Condiciones necesarias para un extremo... Si el punto x acerca de es el punto extremo de la función f (x), entonces f "(x о) = 0, o f (x о) no existe. Estos puntos se denominan crítico, además, la función en sí se define en el punto crítico. Los extremos de una función deben buscarse entre sus puntos críticos.

Primera condición suficiente. Permitir x acerca de- punto crítico. Si f "(x) al pasar por el punto x acerca de cambia el signo más a menos, luego en el punto x acerca de la función tiene un máximo, de lo contrario tiene un mínimo. Si la derivada no cambia de signo al pasar por el punto crítico, entonces en el punto x acerca de no hay extremo.

Segunda condición suficiente. Deje que la función f (x) tenga una derivada
f "(x) en las proximidades del punto x acerca de y la segunda derivada en el mismo punto x acerca de... Si f "(x о) = 0,> 0 (<0), то точка x acerca de es el punto del mínimo local (máximo) de la función f (x). Si = 0, entonces use la primera condición suficiente o involucre derivadas más altas.

En un segmento, la función y = f (x) puede alcanzar el valor más pequeño o más grande en los puntos críticos o en los extremos del segmento.

Investigando condiciones y construyendo gráficos.

Encuentra el dominio de una función

Encuentra los puntos de intersección del gráfico con los ejes de coordenadas

Encuentra los intervalos del signo de constancia

Investigar la uniformidad, la rareza

Hallar las asíntotas de la gráfica de una función

Encuentra los intervalos de monotonicidad de una función.

Encuentra extremos de una función

Encuentre intervalos de abultamiento y puntos de inflexión

Asíntotas de gráficas de funciones. Esquema general de investigación y trazado de gráficas de funciones. Ejemplos.

Vertical

La asíntota vertical es una línea recta de la forma siempre que haya un límite .

Como regla general, al determinar las asíntotas verticales, buscan no un límite, sino dos unilaterales (izquierda y derecha). Esto se hace para determinar cómo se comporta la función cuando se acerca a la asíntota vertical desde diferentes lados. Por ejemplo:

Nota: preste atención a los signos de infinito en estas igualdades.

[editar] Horizontal

La asíntota horizontal es una línea recta de la forma sujeta a la existencia de un límite.

[editar] Oblicua

La asíntota oblicua es una línea recta de la forma bajo la condición de la existencia de límites.

Un ejemplo de asíntota oblicua

Nota: ¡una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas (horizontales)!

Nota: Si al menos uno de los dos límites anteriores no existe (o es igual a), entonces la asíntota oblicua en (o) no existe.

Relación entre asíntotas oblicuas y horizontales

Si, al calcular el límite , entonces es obvio que la asíntota oblicua coincide con la horizontal. ¿Cuál es la relación entre estos dos tipos de asíntotas?

El hecho, que la asíntota horizontal es un caso especial de la oblicua a , y de las observaciones anteriores se deduce que

1. La función tiene una sola asíntota oblicua, o una asíntota vertical, o una oblicua y una vertical, o dos oblicuas, o dos verticales, o no tiene ninguna asíntota en absoluto.

2. La existencia de las asíntotas señaladas en el ítem 1.) está directamente relacionada con la existencia de los límites correspondientes.