میدان های متناهی را می توان از حلقه های چند جمله ای به همان شکل که زمینه ها از حلقه اعداد صحیح ساخته شده اند ، ساخت. اجازه دهید یک حلقه از چند جمله ای وجود داشته باشد F [x]بیش از میدان افهمانطور که برای حلقه ساخته شده اند Z ،حلقه های رابطه ، همچنین می توانید حلقه های رابطه را برای یک حلقه بسازید F [x]با انتخاب از F [x]چند جمله ای دلخواه p (x) ،می توان حلقه روابط را با استفاده از آن تعریف کرد p (x)به عنوان یک ماژول برای تعیین حساب این حلقه. ما خود را محدود به در نظر گرفتن چند جمله ای های معین می کنیم ، زیرا این محدودیت عدم قطعیت های غیر ضروری را در ساختمان حذف می کند.
تعریف 2.4.1.برای چند جمله ای کاهش یافته دلخواه p (x)درجه غیر صفر در این زمینه F توسط حلقه چند جمله ای modulo p (x)مجموعه همه چند جمله ای over نامیده می شود F ،که درجه آنها از درجه چند جمله ای تجاوز نمی کند p (x) ، جعملیات جمع و ضرب چند جمله ای modulo p (x)این حلقه معمولاً با علامت مشخص می شود F (x) / (p (x)).
عنصر دلخواه r (x)حلقه F [x]می تواند به یک عنصر حلقه نگاشت شود Pf [x] / (p (x))با تطبیق r (x)-ر P (X)دو عنصر تبر)و ب (x)از جانب F [x] ،به همان مورد از F [x] / (p (x)) ،قابل مقایسه نامیده می شوند:
a (x) = b (x)(مد p (x)).
سپس ب (x)= اوه)+ س (x) p (x)برای برخی از چند جمله ای Q (x)
قضیه 2.4.2.مجموعه F1x] / (p (x)) یک حلقه است.
اثباتبه عنوان یک تمرین در اختیار خواننده قرار می گیرد.
در حلقه چند جمله ای بیش از Gf(2) ، به عنوان مثال ، چند جمله ای p (x)= x 3 1+ سپس حلقه چند جمله ای modulo p (x)برابر است Gf(2) [x] / (x 3+) 1) از عناصر تشکیل شده است
{0 ، 1 ، x ، x + 1 ، x 2 ، x 2 +1 ، x 2 + x ، x 2 + x + 1).در این حلقه ، ضرب انجام می شود ، به عنوان مثال ، به شرح زیر:
(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) = x 2 + x ،
جایی که کاهش طبق قانون x 4 = استفاده می شود x (x 3+ 1) + NS
قضیه 2.4.3.حلقه چند جمله ای modulo کاهش چند جمله ای p (x) یک میدان است اگر و فقط اگر چند جمله ای p (x) ساده باشد (به یاد بیاورید که یک چند جمله ای ساده هم کاهش ناپذیر است و هم کاهش می یابد. برای ساختن میدان ، فقط کاهش ناپذیری p (x) کافی است ، اما ما توافق کرده ایم که فقط چند جمله ای های کاهش یافته را در نظر بگیریم ، به طوری که نتایج بعدی ماهیت کمتر کلی داشته باشد).
اثباتاجازه دهید چند جمله ای باشد p (x)ساده. برای اثبات اینکه حلقه مورد بررسی یک میدان را تشکیل می دهد ، کافی است نشان دهیم که هر عنصر غیر صفر دارای یک عکس معکوس ضربی است. اجازه دهید s (NS)-برخی از عناصر غیر صفر حلقه سپس deg s (NS)< درجه p (x)از آنجا که چند جمله ای p (x)ساده است ، سپس GCD = 1. توسط نتیجه 2.3.7
Gcd = 1 = a (x) p (x) + b (x) s (x)
برای برخی از چند جمله ای ها اوه)و b (x)از این رو ،
1 = R p (x) [ 1] = R p (x) = R p (x){ R p (x) (\ displaystyle k [x])و تماس گرفت حلقه ای از چند جمله ای ها تمام شد k (\ displaystyle k) ... سمبل x (\ displaystyle x)این اصطلاح که معمولاً به عنوان "متغیر" نامیده می شود ، از ملاحظه به وجود آمد توابع چند جمله ایدر بالا R (\ displaystyle \ mathbb (R))و یا بیش از C (\ displaystyle \ mathbb (C))... با این حال ، به طور کلی ، چند جمله ای و توابع چند جمله ای چیزهای متفاوتی هستند. به عنوان مثال ، در یک زمینه محدود F p (\ displaystyle \ mathbb (F) _ (p))از یک عدد اول p (\ displaystyle p)عناصر چند جمله ای x 1 (\ displaystyle x ^ (1))و x p + 1 (\ displaystyle x ^ (p + 1))این تابع یکسان است ، اما اینها چند جمله ای های مختلف هستند (چند جمله ای ها اگر و تنها در صورتی که همه ضرایب آنها منطبق باشند در نظر گرفته می شوند). بنابراین ، متغیر x (\ displaystyle x)نمی توان آن را متعلق به این رشته دانست k (\ displaystyle k)؛ در مورد حلقه k [x] (\ displaystyle k [x])شما می توانید اینطور فکر کنید: ما یک عنصر جدید به مجموعه عناصر فیلد اضافه می کنیم x (\ displaystyle x)و ما فقط نیاز داریم که بدیهیات حلقه حفظ شود و آن x (\ displaystyle x)با عناصر زمینه جابجا شده است
از آنجا که عناصر حلقه چند جمله ای را می توان در "مقیاس" از زمینه ضرب کرد k (\ displaystyle k)، در واقع یک جبر انجمنی در این زمینه است k (\ displaystyle k)... با توجه به k [x] (\ displaystyle k [x])به عنوان یک فضای بردار (یعنی "ضرب" را فراموش کنید) ، دارای بی نهایت عناصر است 1 = x 0 (\ displaystyle 1 = x ^ (0)), x = x 1 (\ displaystyle x = x ^ (1)), x 2 (\ displaystyle x ^ (2))و غیره.
تجزیه به اعداد اولیه در ک[ایکس]
عامل حلقه ک[ایکس]
L ≃ k [x] / (p). (\ displaystyle L \ simeq k [x] / (p).)یک مورد خاص مهم زمانی است که یک حلقه حاوی ک، خود یک میدان است ؛ نشان دادن آن ک... سادگی ماژول عامل توسط (p) (\ displaystyle (p))معادل کاهش ناپذیری است p (\ displaystyle p)... قضیه عنصر ابتدایی بیان می کند که هر بسط تفکیک پذیر محدودی می تواند توسط یک عنصر ایجاد شود و بنابراین دارای شکل یک حلقه چند جمله ای در یک میدان کوچکتر نسبت به چند جمله ای غیر قابل تقلیل است. به عنوان مثال ، زمینه اعداد مختلط تولید شده در بالا است Rعنصر منبه طوری که من 2 + 1 = 0... بر این اساس ، چند جمله ای ایکس 2 + 1 غیرقابل کاهش است Rو
C ≃ R [x] / (X 2 + 1). (\ displaystyle \ mathbb (C) \ simeq \ mathbb (R) [x] / (X ^ (2) +1).)به طور کلی ، برای یک حلقه دلخواه (حتی غیرمتقابل) آحاوی کو عنصر آحلقه آرفت و آمد با همه عناصر ک، یک همومورفیسم حلقه منحصر به فرد از وجود دارد ک[ایکس] v آدر حال ارسال ایکس v آ:
ϕ: k [x] → A ، ϕ (x) = a. (\ displaystyle \ phi: k [x] \ به A ، \ quad \ phi (x) = a.)وجود و منحصر به فرد بودن چنین همومورفیسم با استفاده از خاصیت جهانی خاصی از حلقه چند جمله ای بیان می شود و "منحصر به فرد" بودن حلقه چند جمله ای را در ساختارهای مختلف نظریه حلقه و جبر تعویضی توضیح می دهد.
ماژول ها
حلقه چند جمله ای در چندین متغیر
تعریف
چند جمله ای در nمتغیرها ایکس 1 ,…, ایکس nبا ضرایب در زمینه کمشابه چند جمله ای در یک متغیر تعریف شده است ، اما نماد پیچیده تر می شود. برای هر چند نمایه α = (α 1 ,…, α n) ، جایی که هر کدام α منیک عدد صحیح غیر صفر است ، اجازه دهید
X α = ∏ i = 1 n X i α i = X 1 α 1… X n α n، p α = p α 1… α n ∈ K (\ displaystyle X ^ (\ alpha) = \ prod _ (i = 1) ^ (n) X_ (i) ^ (\ alpha _ (i)) = X_ (1) ^ (\ alpha _ (1)) \ ldots X_ (n) ^ (\ alpha _ (n)) ، \ quad p _ (\ alpha) = p _ (\ alpha _ (1) \ ldots \ alpha _ (n)) \ در \ mathbb (K) \)ایکس α تماس گرفت یکجاییدرجه | α | = ∑ i = 1 n α i (\ displaystyle | \ alpha | = \ sum _ (i = 1) ^ (n) \ alpha _ (i)). چند جمله اییک ترکیب خطی محدود از مونوم ها با ضرایب در است ک: α p α X α (\ displaystyle \ sum _ (\ alpha) p _ (\ alpha) X ^ (\ alpha)).
چند جمله ای از nمتغیرهای دارای ضرایب در زمینه ک(با عملیات معمول جمع و ضرب) یک حلقه تعویض ، نشان داده می شود ک[ایکس 1 ,…, ایکس n]. این حلقه را می توان با استفاده چندگانه از عملیات "گرفتن حلقه چند جمله ای روی حلقه معین" به دست آورد. مثلا، ک[ایکس 1 , ایکس 2] ایزومورف است ک[ایکس 1 ][ایکس 2] ، و همچنین ک[ایکس 2 ][ایکس 1]. این حلقه نقش اساسی در هندسه جبری دارد. بسیاری از نتایج جبر عوض شده به لطف مطالعه ایده آل های این حلقه و ماژول های روی آن به دست آمده است.
قضیه صفرهای هیلبرت
چندین نتیجه اساسی در مورد رابطه بین ایده آل های حلقه ک[ایکس 1 ,…, ایکس n] و زیرگروههای جبری ک nدر مجموع به عنوان قضایای صفر هیلبرت شناخته می شوند.
- (شکل ضعیف ، میدان جبری بسته) بگذار ک- میدان جبری بسته سپس هر ایده آل حداکثر مترحلقه ک[ایکس 1 ,…, ایکس n] فرم دارد
- (فرم ضعیف ، هر میدان ضریب) بگذار ک- رشته، کیک میدان جبری بسته است که شامل کو من- ایده آل در یک حلقه ک[ایکس 1 ,…, ایکس n]. سپس منشامل 1 اگر و فقط اگر چند جمله ای از منصفر مشترک در ندارند ک n .
- (فرم قوی) بگذار ک- رشته، کیک میدان جبری بسته است که شامل ک, من- ایده آل در یک حلقه ک[ایکس 1 ,…, ایکس n] و V(من) یک فرعی جبری است ، ک nیک قطعی من... بگذار باشد f- چند جمله ای برابر با صفر در تمام نقاط V(من) سپس تا حدی fمتعلق به ایده آل است من.
فصل یازدهم چند جمله ای ها.
یک حلقه چند جمله ای در یک متغیر روی
حلقه ارتباطی-تعویض با واحد
تعریف 1. بگذار باشد K -حلقه ارتباطی-تعویض با واحد. چند جمله ای روی حلقه K در متغیر xعبارت فرم ، جایی که نامیده می شود a iÎ ک، و فقط تعداد محدودی از عناصر a i≠0.
a iتماس گرفت ضریب چند جمله ای f(ایکس)در درجه i
مجموعه همه چند جمله ای های حلقه K در متغیر xنشان داد ک[ایکس].
تعریف 2. بگذار باشد f(ایکس) و گرم(ایکس) ، جایی که ک- حلقه ارتباطی- تعویض با واحد. چند جمله ای ها f(ایکس) و گرم(ایکس) نامیده می شوند برابر(به صورت جبری) ، اگر ضرایب آنها به ترتیب برابر باشد ایکس.
تعریف 3. چند جمله ای صفرچند جمله ای نامیده می شود که همه ضرایب آن برابر 0 است و 0 = 0 نشان داده می شود ( ایکس).
تعریف 4. بگذار باشد K - f(ایکس) , f(ایکس)≠0(ایکس) عدد nتماس گرفت درجه چند جمله ای fو نشان داد درجه f = n اگر a n باشد 0 پوند و a i= 0 برای من>n
طبق تعریف ، فرض بر این است که درجه چند جمله ای صفر برابر است ، یعنی درجه 0(ایکس) .
بنابراین ، اگر ، پس درجه(درجهℕ {0}).
با توجه به تعریف 2 ، با افزودن یا کنار گذاشتن اصطلاحات با ضرایب صفر ، یک چند جمله ای برابر با مقدار داده شده بدست می آوریم. بنابراین ، هر چند جمله ای از درجه nمی تواند به صورت نوشته شود
سپس یک 0تماس گرفت رایگانیا دائمی عضوچند جمله ای f(ایکس), a n - شانس ارشدچند جمله ای f(ایکس).
تعریف 5. بگذار باشد K -حلقه ارتباطی-تعویض با واحد ، , , علاوه بر این n≥متر
عملیات جمع و ضرب چند جمله ای از ک[ایکس] توسط قوانین تعیین می شود
قضیه 1 . بگذارید K یک حلقه جابجایی جفتی غیر صفر با وحدت باشد. سپس ک[ایکس]در مورد عملیات با قوانین(1 )و(2 )- همچنین یک حلقه ارتباطی- تعویض با وحدت است 1(ایکس)= 1.
اثبات برای چک ک[ایکس] همه بدیهیات یک حلقه تعویض همراه با وحدت.
1. ک[ایکس] ¹Æ ، به عنوان مثال ، 0 ( ایکس)Î ک[ایکس] ، زیرا همه ضرایب آن برابر 0Î است ک.
2. عملیات "+" و "" طبق قوانین (1) و (2) جبری است ک[ایکس] (یعنی ک[ایکس] با توجه به این عملیات بسته می شود). در واقع ، اجازه دهید f(ایکس) و گرم(ایکس)Î ک[ایکس] ، از فرمول های (1) و (2) نتیجه می گیرد که ضرایب چند جمله ای ها است f(ایکس)+ گرم(ایکس) و f(ایکس)⋅g(ایکس) با افزودن و ضرب ضرایب بدست می آید f(ایکس) و گرم(ایکس), آن ها موارد از ک.از آنجا که حلقه بسته است کبا توجه به جمع و ضرب ، ضرایب چند جمله ای ها f(ایکس)+ گرم(ایکس) و f(ایکس)⋅g(ایکس) تعلق داشتن ک... به این معنا که f(ایکس)+ گرم(ایکس)Î ک[ایکس] و f(ایکس)⋅g(ایکس)Î ک[ایکس].
3.
الف) "+" مربوط است ک[ایکس]: "f(ایکس)، گرم(ایکس)، ساعت(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)+گرم(ایکس))+ساعت(ایکس)= f(ایکس)+(گرم(ایکس)+ساعت(ایکس))
ب) "+" عوض می شود ک[ایکس]: "f(ایکس)، گرم(ایکس)Î ک[ایکس] f(ایکس)+گرم(ایکس)= g(ایکس)+f(ایکس)
ج) 0 وجود دارد ( ایکس)=0+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n+… Î ک[ایکس] به گونه ای که " ک[ایکس] : =
به طور مشابه ، 
د) " ک[ایکس] وجود دارد ک[ایکس] به طوری که
=
0+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n = 0(ایکس) به همین ترتیب 
=
0(ایکس).
4... Vک[ایکس]قوانین توزیع رعایت شده است:
ه) " f(ایکس)، گرم(ایکس)، ساعت(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)+گرم(ایکس))⋅ساعت(ایکس)= f(ایکس)⋅h(ایکس)+گرم(ایکس)⋅ساعت(ایکس)
ساعت(ایکس) ⋅ (f(ایکس)+گرم(ایکس))= ساعت(ایکس)⋅f(ایکس)+ساعت(ایکس)⋅گرم(ایکس)
بدین ترتیب، ک[ایکس] - حلقه.
5. اجازه دهید آن را نشان دهیمک[ایکس]- یک حلقه ارتباطی- تعویض با 1.
و) "⋅" مربوط به است ک[ایکس]: "f(ایکس)، گرم(ایکس)، ساعت(ایکس)Î ک[ایکس] (f(ایکس)⋅گرم(ایکس))⋅ساعت(ایکس)= f(ایکس)⋅(گرم(ایکس)⋅ساعت(ایکس))
g) "⋅" در حالت تعویض است ک[ایکس]: "f(ایکس)، گرم(ایکس)Î ک[ایکس] f(ایکس)⋅گرم(ایکس)= g(ایکس)⋅f(ایکس)
ح) ب ک[ایکس] یک واحد چند جمله ای 1 وجود دارد ( ایکس)= 1+0⋅ایکس+0⋅ایکس 2 +…+0⋅x n + ...Î ک[ایکس] با ضرایب ب 0 =1, ب من= 0 برای بقیه من. " Î ک[ایکس]
اعتبار a) ، b) ، e) ، f) ، g) از این واقعیت ناشی می شود که عملیات "+" و "" روی چند جمله ای به عملیات مربوطه در ضرایب آنها - عناصر از ک، و در حلقه ک"+" و "⋅" قوانین تعویض ، تداعی و توزیع شده است.
قضیه اثبات شده است.
درجه چند جمله ای خواص درجه چند جمله ای
قضیه 2 . بگذارید K یک حلقه جابجایی جفتی غیر صفر با واحد باشد ،. سپس:
1) درجه(+ حداکثر (درجه ، درجه) ؛
این یک تمرین بسیار خوب و معنی دار هم برای تکنیک اثبات و هم برای درک ماهیت مفاهیم جبری مورد استفاده است.
این که $٪ I $٪ ایده آل یک حلقه است ، اگر معیار را اعمال کنیم ، آشکار می شود. یک مجموعه غیر خالی از عناصر حلقه ایده آل خود را تشکیل می دهد اگر و فقط اگر 1) تحت تفریق بسته شده باشد. 2) تحت ضرب توسط عناصر دلخواه حلقه بسته می شود. ساده ترین مثال: حتی در میان اعداد صحیح. در اینجا ، اعتبار هر دو ویژگی بلافاصله آشکار می شود. علاوه بر این ، می توانید هر عنصر $٪ a_1 $٪ ، ... ، $٪ a_n $٪ حلقه تعویض $٪ R $٪ را بردارید و مجموعه همه ترکیبات خطی فرم $٪ r_1a_1 + r_2a_2 + \ را در نظر بگیرید cdots + r_na_n $٪ ، جایی که عناصر $٪ r_i \ در R $٪ در تمام مقادیر اجرا می شوند. این ایده آل حلقه خواهد بود. گفته می شود که توسط عناصر $٪ a_1 $٪ ، ... ، $٪ a_n $٪ ایجاد می شود.
اکنون بخش کوچک ابتکاری فرا می رسد. ایده آل ما توسط دو عنصر ایجاد می شود: چند جمله ای $٪ x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $٪ ، و عدد $٪ 5 $٪. ملاحظات کلی این است: اگر ما به حلقه عامل علاقه داریم ، این عناصر باید برابر صفر باشند.
واضح است که 5 برابر 0 نیست ، اما اگر چنین هویتی حداقل به صورت شرطی انجام شود ، یعنی ما فرض کنیم که این عناصر "معادل" هستند ، سپس مدول حساب معمول 5 را بدست می آوریم. یعنی عناصر حلقه باقی مانده $٪ \ mathbb Z_5 به ضرایب چند جمله ای $٪ modulo 5 تبدیل می شود.
در این مورد ، چند جمله ای درجه سوم را می توان به عوامل خطی تجزیه کرد ، زیرا 1 و 4 برای ما "معادل" هستند ، و modulo 5 ما $٪ x ^ 2 + 1 = x ^ 2-4 = (x-2 ) (x + 2) $٪. در واقع ، ما حلقه عامل زیر را دریافت کردیم: $٪ \ mathbb Z_5 [x] / ((x + 1) (x + 2) (x-2)) $٪. در پرانتز ، ما چند جمله ای داریم که ایده آل اصلی را تولید می کند.
اگر عنصری که ایده آل اصلی را تولید می کند فاکتور گرفته شود ، از حقایق کلی چنین بر می آید که حلقه عامل به صورت حاصلگرد مستقیم سه حلقه عامل از همان حلقه چند جمله ای ایده آل اصلی است که توسط عوامل جداگانه تولید می شود. برای مثال ، $٪ \ mathbb Z_5 [x] / (x-2) $٪ را در نظر بگیرید. در اینجا همین منطق وجود دارد: ما $٪ x-2 $٪ برابر با صفر داریم ، یعنی $٪ x $٪ با $٪ 2 $٪ جایگزین می شود. متغیرها ناپدید می شوند ، فقط ضرایب باقی می مانند. حلقه عامل به نظر می رسد ایزومورف تا $٪ \ mathbb Z_5 $٪. ما سه مورد داریم و محصول مستقیم آنها را دریافت می کنیم ، یعنی $٪ \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $٪.
این پاسخ است ، و اکنون باید همان را در سطح کاملاً رسمی توصیف کرد. همومورفیسم حلقه $٪ \ mathbb Z $٪ بر $٪ \ mathbb Z_5 $٪ ، یعنی روی حلقه باقی مانده $٪ \ mathbb Z / 5 \ mathbb Z $٪ modulo 5 را در نظر بگیرید. این یک همومورفیسم چند جمله ای را القا می کند حلقه ها: $٪ \ mathbb Z [x] \ به \ mathbb Z_5 [x] $٪. خیلی ساده چیده شده است: برای چند جمله ای بالای $٪ \ mathbb Z $٪ ، ضرایب باقی مانده آنها را پس از تقسیم بر٪ 5 $ $٪ جایگزین می کنیم.
در حال حاضر ، به هر چند جمله ای $٪ f (x) \ in \ mathbb Z_5 [x] $٪ ، سه مقدار آن را در نقاط 2 ، 3 ، 4 مرتبط می کنیم ، یعنی سه٪ $ (f (2) ، f (3) ، f (4)) $٪ متعلق به حلقه $٪ \ mathbb Z_5 ^ 3 = \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $٪ از آنجا که چند جمله ای ها بر اساس همان قوانین اعداد اضافه و ضرب می شوند ، همومورفیسم حلقه ای به دست می آید. ترکیب همومورفیسم اصلی با داده های داده شده ، همومورفیسم $٪ \ phi \ colon \ mathbb Z [x] \ به \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $٪ می دهد. ما به هسته اصلی آن علاقه داریم.
اول از همه ، بدیهی است که عدد 5 متعلق به هسته است (هنگامی که به باقی مانده ها می رویم ، به عنصر صفر حلقه در زیر اولین همومورفیسم ها می رود). بعد ، چند جمله ای $٪ x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $٪ به صورت چند جمله ای روی حلقه باقی مانده برابر با٪ $ (x + 1 ) (x ^ 2 -4) = (x + 1) (x + 2) (x-2) = (x-2) (x-3) (x-4) $٪ از آنجایی که 1 برابر -4 و 2 است -3 modulo 5. این توضیح می دهد که چرا ما مقادیر چند جمله ای را دقیقاً در نقاط 2 ، 3 ، 4 گرفته ایم. در اینجا همه آنها برابر صفر هستند ، و سپس بردار صفر محصول مستقیم به چند جمله ای اختصاص داده می شود. طبق تعریف ، این بدان معناست که $٪ x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $٪ متعلق به هسته است. از آنجا که هسته یک ایده آل است ، بنابراین تمام عناصر ایده آل $٪ I $٪ توصیف شده در این حالت متعلق به هسته است. یعنی $٪ I $٪ در $٪ \ mathop (\ rm Ker \،) \ phi $٪ موجود است.
اجازه دهید بررسی کنیم که در واقع هسته با ایده آل $٪ I $٪ منطبق است. اگر چند جمله ای $٪ f (x) $٪ با ضرایب صحیح به هسته برسد ، این معادل این واقعیت است که مقادیر $٪ f (2) $٪ ، $٪ f (3) $٪ ، $٪ f (4) $٪ مضرب پنج است. نشان دادن طبقه باقی مانده از عدد $٪ a $٪ modulo 5 به عنوان $٪ \ bar (a) $٪ و همچنین $٪ \ bar (f) (x) $٪ تصویر چند جمله ای با ضرایب صحیح در حلقه $٪ \ mathbb Z_5 [x] $٪ ، می بینیم که $٪ \ bar (f) (2) = \ bar (f) (3) = \ bar (f) (4) = 0 $ ٪ ، یعنی اعداد 2 ، 3 ، 4 ریشه چند جمله ای $٪ \ bar (f) (x) $٪ هستند. با قضیه بیزوت ، بر هر یک از دو جمله ای $٪ x-2 $٪ ، $٪ x-3 $٪ ، $٪ x-4 $٪ قابل تقسیم است. سپس به محصول آنها نیز تقسیم می شود ، یعنی می توان آن را به صورت $٪ \ bar (f) (x) = (x-2) (x-3) (x-4) \ bar (g) (x) نوشت ) $٪ برای چند جمله ای $٪ g (x) $٪ با ضرایب صحیح.
در حلقه باقی مانده ، می توانید ضرایب را برابر با آنها modulo 5 تغییر دهید ، بنابراین برابری $٪ \ bar (f) (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) \ bar (g) (x) $٪ در حلقه $٪ \ mathbb Z_5 [x] $٪. سپس معلوم می شود که چند جمله ای $٪ f (x) - (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) $٪ به صفر رسیده است ، بنابراین همه ضرایب آن مضرب 5 ، یعنی ، تفاوت $ 5h (x) $٪ برای چند جمله ای با ضرایب صحیح است. در نتیجه ، مشخص می شود که $٪ f (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) + 5h (x) $٪ ، یعنی $٪ f (x) $ ٪ درصورت لزوم متعلق به $٪ I $٪ ایده آل است.
اکنون می توانیم قضیه را در مورد همومورفیسم های حلقه به کار ببریم و نتیجه بگیریم که حلقه عامل $٪ \ mathbb Z [x] / I $٪ توسط هسته همومورفیسم $٪ \ phi $٪ ایزومورفیک برای تصویر این همومورفیسم است. آخرین مورد باقی مانده است: ثابت کنید که همومورفیسم $٪ \ phi $٪ جنبه ای دارد. این کار به روشی نسبتاً ساده انجام می شود. چند جمله ای $٪ (x-2) (x-3) $٪ را بردارید و بردار مقادیر را در نقاط 2 ، 3 ، 4 (حالت 5) به آن اختصاص دهید. $٪ (0،0،2) $٪ معلوم می شود. برای بدست آوردن رتبه آخر ، چند جمله ای را در 3 ضرب کنید. در نتیجه ، می بینیم که بردار پایه $٪ (0،0،1) $٪ در تصویر $٪ \ phi $٪ نهفته است.
ما همین کار را با $٪ (x-2) (x-4) $٪ انجام می دهیم و به سه٪ $ (0 ، -1،0) $٪ برتر می رسد. با تغییر علامت ، بردار پایه دوم $٪ (0،1،0) $٪ را بدست می آوریم. در نهایت ، $٪ (x-3) (x-4) $٪ به $٪ (2،0،0) $٪ تبدیل می شود و ضرب در 3٪ $ (1،0،0) $٪ می شود. همه بردارهای اساس فضا $٪ \ mathbb Z_5 ^ 3 $٪ در تصویر $٪ \ phi $٪ نهفته است ، یعنی بصورت تصادفی است. این در نهایت ثابت می کند که $٪ \ mathbb Z [x] / I \ cong \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $٪.
آخرین مورد باقی می ماند. حلقه عاملی که بدست می آوریم حاصل سه زمینه از پنج عنصر است. چنین حلقه هایی نه تنها میدان نیستند ، بلکه همیشه صفر تقسیم کننده دارند. کافی است سه برابر غیر صفر٪ $ (1،0،0) $٪ و $٪ (0،1،0) $٪ (به صورت هماهنگ) ضرب شود و عنصر صفر حلقه عامل را بدست آوریم.
1. حلقه ای از چند جمله ای بر روی یک میدان
اجازه دهید یک میدان دلخواه باشد نماد نشان دهنده مجموع همه چند جمله ای ها در یک متغیر (از همه درجات ممکن) است که ضرایب آن از میدان گرفته شده است:
دو عملیات بر روی این مجموعه تعریف شده است: دو چند جمله ای را می توان با توجه به قوانین شناخته شده اضافه و ضرب کرد. عملیات جمع و ضرب چندجمله ای بدیهیات 1-7 و 9 میدان (یعنی همه به جز هشتم) را برآورده می کند. همانطور که در بالا ذکر شد ، چنین مجموعه ای از اشیاء حلقه نامیده می شود. بنابراین ، حلقه ای از چند جمله ای ها بر روی یک میدان است.
مثال دیگر حلقه حلقه اعداد صحیح است. به نظر می رسد که خواص اساسی اعداد صحیح پیامدهای بدیهیات 1-7 ، 9 هستند و بنابراین در هر حلقه معتبر باقی می مانند. به طور خاص ، ما ویژگی های تقسیم پذیری اعداد صحیح را به چند جمله ای منتقل می کنیم. درجه چند جمله ای با علامت مشخص می شود.
تقسیم پذیری چند جمله ای ها
اگر چند جمله ای بر چند جمله ای قابل تقسیم باشد ، اگر بتوان چند جمله ای را یافت که 
... آنها همچنین می گویند که آن را تقسیم کرده و در قالب می نویسند.
تقسیم باقیمانده
برای هر دو چند جمله ای و ، می توان چند جمله ای و مانند آن را پیدا کرد
چند جمله ای ها را می توان با الگوریتم معروف تقسیم گوشه پیدا کرد. توجه داشته باشید که اگر عامل اصلی تقسیم کننده باشد ، محاسبات ساده می شوند. این امر همیشه با در نظر گرفتن موارد زیر قابل دستیابی است :. اینجا 
آیا مقسومه با بیشترین ضریب 1 ، a 
- یک ضریب جدید ، که در صورت لزوم قابل بازیابی است.
چنین طرحی برای محاسبات ماشین مناسب است.
طرح محاسباتی تقسیم باقیمانده
(5)
با جایگزینی (4) و (5) به (3) و مقایسه ضرایب در ، سیستم را بدست می آوریم
. (6)
. (7)
شرط جمع در این جمع ها این است که شاخص های ضرایب باید در محدوده 0 تا درجه چند جمله ای باشند:
بنابراین ، شاخص جمع بندی باید در داخل متفاوت باشد
به عنوان مثال ، برای (6) شکل می گیرد 
، به این معنا که .
اگر ، بنابراین ، بنابراین ،
,
زیرا . توجه داشته باشید که زیر علامت مجموع آنها با شاخص هایی که بزرگ هستند وارد می شوند ، که محاسبه متوالی آنها را ممکن می سازد. بنابراین ، ضرایب ضریب و باقی مانده هنگام تقسیم دو چند جمله ای را می توان طبق طرح زیر پیدا کرد:
1 درجه ما معتقدیم.
2 درجه برای محاسبه 
و فرض کنید
.
3 درجه برای محاسبه و فرض کنید
.
بیانیه های چند جمله ای
حقایق شناخته شده در مورد چند جمله ای ها از فرمول تقسیم (3) باقیمانده است ؛ برای ما مهم است که این حقایق برای یک حلقه چند جمله ای در یک میدان دلخواه معتبر باشد.
1. قضیه 1(بزو). اجازه دهید و یک عنصر دلخواه از این زمینه باشد. سپس باقیمانده تقسیم بر چند جمله ای برابر با عنصر است.
در واقع ، نوشتن (2.3) برای این مورد ، به دست می آوریم
جایی که چند جمله ای درجه صفر است ، یعنی عنصری از میدان. با جایگزینی این برابری ، به دست می آوریم.
2. اگر ، یعنی ریشه ، پس بر آن بخش پذیر است.
این به طور مستقیم از 1 دنبال می شود.
3. چند جمله ای درجه در هر زمینه حداکثر ریشه دارد.
از این واقعیت ناشی می شود که پس از تقسیم بر درجه چند جمله ای ، 1 کاهش می یابد.
4- اگر چند جمله ای بر موارد زیر قابل تقسیم است:
,
و ضریب دوباره بر بخش پذیر است ، سپس بر بخش پذیر خواهد بود. در این حالت ، ریشه را چندگانه می نامند. با تعریف مشتق رسمی چند جمله ای به عنوان چند جمله ای ، به راحتی می توان بررسی کرد که همه قوانین تمایز معتبر باقی می مانند. به عنوان مثال ، اگر
,
بنابراین ، اگر یک ریشه چند جمله ای باشد ، چند جمله ای و مشتق آن بر بخش پذیر تقسیم می شوند. برعکس ، اگر مشخص شود که چند جمله ای و مشتق آن تقسیم کننده های مشترک بالاتر از صفر ندارند ، همه ریشه های چند جمله ای متفاوت است.
2. الگوریتم اقلیدس
بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو چند جمله ای چند جمله ای است که:
2) اگر و ، پس
تعیین یکسان است: 
.
قضیه 2اگر 
، سپس چند جمله ای و مواردی از این دست وجود دارد
اثبات همان حلقه اعداد صحیح است.
اظهار نظر. ابهاماتی در تعریف وجود دارد ، به این دلیل که d (x) بزرگترین تقسیم کننده مشترک چند جمله ای است و a عنصر دلخواه غیر صفر میدان است ، چند جمله ای شرایط 1) و 2 را نیز برآورده می کند. ) برعکس ، اگر و 
، سپس چند جمله ای ها و یکدیگر را تقسیم خواهند کرد ، و این تنها در صورتی امکان پذیر است که 
، () بنابراین ، بزرگترین تقسیم کننده مشترک دو چند جمله ای در یک میدان تا یک عامل - یک عنصر تعیین می شود. این ابهام را می توان با الزام معادل بودن ضریب پیشتاز برطرف کرد. در این رابطه ، ما شرایط عادی سازی را به تعریف اضافه می کنیم
3) ضریب پیشرو برابر با یک است.
در حلقه ، الگوریتم اقلیدس برای یافتن بزرگترین تقسیم کننده مشترک و طرح محاسباتی آن که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، قابل استفاده است. بگذارید به یک مثال بسنده کنیم.
مثال. بزرگترین تقسیم کننده مشترک چند جمله ای را در حلقه بیابید
و 
،)، و بنابراین،
؛ یا ، (با در نظر گرفتن شرایط عادی سازی در تعریف بزرگترین تقسیم کننده مشترک چند جمله ای).
