نظریه احتمال. حل مسئله (2020)

ما قبلاً می دانیم که احتمال یک اندازه گیری عددی برای امکان وقوع یک رویداد تصادفی است، به عنوان مثال. رویدادی که ممکن است تحت مجموعه ای از شرایط رخ دهد یا نباشد. هنگامی که مجموعه شرایط تغییر می کند، احتمال یک رویداد تصادفی ممکن است تغییر کند. به عنوان یک شرط اضافی، می توانیم وقوع یک رویداد دیگر را در نظر بگیریم. بنابراین، اگر مجموعه شرایطی باشد که تحت آن یک رویداد تصادفی رخ دهد آ، یک مورد دیگر اضافه کنید که شامل وقوع یک رویداد تصادفی است V، سپس احتمال وقوع رویداد آمشروط نامیده خواهد شد.

احتمال شرطی رویداد A- احتمال وقوع رویداد A به شرط آن رویداد B.احتمال شرطی نشان داده می شود (آ).

مثال 16.جعبه حاوی 7 توپ سفید و 5 توپ سیاه است که فقط رنگ آنها متفاوت است. تجربه شامل این واقعیت است که یک توپ به طور تصادفی خارج می شود و بدون پایین آوردن آن، توپ دیگری خارج می شود. اگر در اولین خروج توپ سفید کشیده شود، احتمال اینکه توپ دوم کشیده شده سیاه باشد چقدر است؟

راه حل.

ما دو رویداد تصادفی پیش روی خود داریم: یک رویداد آ- اولین توپ خارج شده سفید بود، V- توپ دوم بیرون آمده سیاه است. A و B رویدادهای ناسازگاری هستند، ما از تعریف کلاسیک احتمال استفاده خواهیم کرد. تعداد پیامدهای ابتدایی هنگام برداشتن توپ اول 12 عدد و تعداد نتایج مطلوب برای بدست آوردن توپ سفید 7 عدد است. بنابراین، احتمال وجود دارد. P (A) = 7/12.

اگر اولین توپ سفید شد، پس احتمال شرطی این رویداد وجود دارد V- ظاهر توپ سیاه دوم (به شرط سفید بودن توپ اول) - برابر است (V)= 5/11، زیرا قبل از برداشتن توپ دوم 11 توپ باقی مانده است که 5 توپ سیاه است.

توجه داشته باشید که اگر پس از بیرون آوردن اولین توپ، آن را دوباره در جعبه قرار دهیم، احتمال ظاهر شدن یک توپ سیاه در دومین استخراج به رنگ اولین توپ خارج شده بستگی ندارد.

دو رویداد تصادفی A و B را در نظر بگیرید. بگذارید احتمالات P (A) و (B) شناخته شوند. اجازه دهید تعیین کنیم که احتمال وقوع هر دو رویداد A و رویداد B برابر است، یعنی. آثار این رویدادها

قضیه ضرب احتمال. احتمال حاصلضرب دو رویداد برابر است با حاصلضرب احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری که در شرایطی محاسبه می شود که اولین رویداد رخ داده باشد:

P (A × B) = P (A) × (B).

از آنجایی که برای محاسبه احتمال یک محصول مهم نیست کدام یک از رویدادهای در نظر گرفته شده است آو Vاولی بود و کدام دومی بود، سپس می توانید بنویسید:

P (A × B) = P (A) × (B) = P (B) × (A).

این قضیه را می توان به حاصل ضرب n رویداد گسترش داد:

P (A 1 A 2. A p) = P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1).

مثال 17.برای شرایط مثال قبل، احتمال رسم دو توپ را محاسبه کنید: الف) ابتدا توپ سفید و دوم سیاه. ب) دو توپ سیاه.

راه حل.

الف) از مثال قبل، احتمال بیرون آمدن توپ سفید ابتدا از جعبه و در مرحله دوم توپ سیاه را می دانیم، مشروط بر اینکه ابتدا توپ سفید خارج شود. برای محاسبه احتمال وقوع هر دو رویداد با هم، از قضیه ضرب احتمال استفاده می کنیم: P (A × B) = P (A) × (B) = .

ب) به همین ترتیب، احتمال بیرون آوردن دو توپ سیاه را محاسبه می کنیم. احتمال گرفتن توپ سیاه اول . احتمال گرفتن توپ سیاه برای بار دوم، به شرطی که اولین توپ سیاه حذف شده را دوباره داخل جعبه قرار ندهیم. (4 توپ سیاه باقی مانده است و در کل 11 توپ وجود دارد). احتمال حاصل را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد P (A × B) = P (A) × (B) 0,152.

اگر رویدادهای A و B مستقل باشند، قضیه ضرب احتمال شکل ساده‌تری دارد.

رویداد B مستقل از رویداد A نامیده می شود اگر احتمال رخداد B نسبت به وقوع یا عدم وقوع رویداد A تغییر نکند. اگر رویداد B مستقل از رویداد A باشد، شرط آن (B) برابر با احتمال معمول P (B) است:

معلوم می شود که اگر رویداد Vمستقل رویداد خواهد بود آ، سپس رویداد آمستقل خواهد بود V، یعنی (A) = P (A).

بیایید ثابت کنیم. برابری را از تعریف استقلال رویداد جایگزین کنید Vاز رویداد آدر قضیه ضرب احتمال: P (A × B) = P (A) × (B) = P (A) × (B).اما از طرف دیگر P (A × B)= P (B) × (A).به معنای P (A) × (B) = P (B) × (A)و (A) = P (A).

بنابراین، خاصیت استقلال (یا وابستگی) رویدادها همیشه متقابل است و می توان تعریف زیر را ارائه داد: دو رویداد نامیده می شود مستقلاگر ظاهر یکی از آنها احتمال ظهور دیگری را تغییر ندهد.

لازم به ذکر است که استقلال رویدادها بر اساس استقلال ماهیت فیزیکی منشأ آنها است. این بدان معنی است که مجموعه عوامل تصادفی که منجر به یک یا آن نتیجه آزمایش یک رویداد تصادفی و دیگری می شود متفاوت است. بنابراین، برای مثال، اصابت یک تیرانداز به یک هدف به هیچ وجه (مگر اینکه دلایل عجیب و غریبی به ذهن متبادر شود) در مورد احتمال اصابت تیرانداز دوم به هدف تاثیری ندارد. در عمل، رویدادهای مستقل بسیار رایج هستند، زیرا رابطه علی پدیده ها در بسیاری از موارد وجود ندارد یا ناچیز است.

قضیه ضرب برای احتمالات برای رویدادهای مستقل. احتمال حاصلضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمال این رویدادها: P (A × B) = P (A) × P (B).

نتیجه زیر از قضیه ضرب برای احتمالات برای رویدادهای مستقل به دست می آید.

اگر رویدادهای A و B ناسازگار باشند و P (A) 10، P (B) 10، پس آنها وابسته هستند.

اجازه دهید این را با تناقض ثابت کنیم. رویدادهای متناقض را فرض کنید آو Vمستقل. سپس P (A × B) = P (A) × P (B).و از P (A) 10، P (B) 10، یعنی تحولات آو Vپس غیرممکن نیست P (A × B) 10.اما، از سوی دیگر، رویداد آž Vبه عنوان محصول رویدادهای ناسازگار غیرممکن است (این مورد در بالا مورد بحث قرار گرفت). به معنای P (A × B) = 0.تناقض پیدا کرد بنابراین، فرض اولیه ما نادرست است. تحولات آو V- وابسته

مثال 18... اجازه دهید اکنون به مشکل حل نشده تیراندازی دو تیرانداز به یک هدف برگردیم. به یاد بیاورید که با احتمال اصابت تیرانداز اول به هدف 0.8 و دومی 0.7 است، باید احتمال اصابت به هدف را پیدا کرد.

تحولات آو V- اصابت به هدف، به ترتیب توسط تیرانداز اول و دوم - مشترک، بنابراین، احتمال مجموع رویدادها را پیدا کنید. آ + V- ضربه زدن به هدف با حداقل یک تیرانداز - باید از فرمول استفاده کنید: P (A+B) = P (A) + P (B)–P (Až V).تحولات آو Vبنابراین مستقل P (A × B) = P (A) × P (B).

بنابراین، P (A+B) = P (A) + P (B) - P (A) × P (B).

P (A+ب) = 0.8 + 0.7 - 0.8 × 0.7 = 0.94.

مثال 19.

دو شلیک مستقل به یک هدف شلیک می شود. احتمال ضربه در شلیک اول 0.6 و در دوم - 0.8 است. احتمال اصابت به هدف را با دو شلیک بیابید.

1) بیایید ضربه در اولین شات را به عنوان یک رویداد تعیین کنیم
A 1، با دوم - به عنوان یک رویداد A 2.

ضربه زدن به هدف حداقل یک ضربه را فرض می کند: یا فقط در شلیک اول، یا فقط در شلیک دوم، یا هر دو در شلیک اول و دوم. بنابراین، در مسئله لازم است که احتمال مجموع دو رویداد مشترک A 1 و A 2 تعیین شود:

P (A 1 + A 2) = P (A 1) + P (A 2) -P (A 1 A 2).

2) از آنجایی که رویدادها مستقل هستند، پس P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2).

3) دریافت می کنیم: P (A 1 + A 2) = 0.6 + 0.8 - 0.6 0.8 = 0.92.
اگر رویدادها ناسازگار باشند، P (AB) = 0 و P (A + B) = = P (A) + P (B).

مثال 20.

این کوزه شامل 2 توپ سفید، 3 قرمز و 5 توپ آبی هم اندازه است. احتمال اینکه توپی که به طور تصادفی از یک کوزه کشیده می شود رنگی شود (نه سفید) چقدر است؟

1) بگذارید رویداد A استخراج توپ قرمز از کوزه باشد،
رویداد B - استخراج توپ آبی. سپس رویداد (A + B)
بیرون کشیدن یک توپ رنگی از یک کوزه وجود دارد.

2) P (A) = 3/10، P (B) = 5/10.

3) رویدادهای A و B ناسازگار هستند، زیرا فقط
یک توپ سپس: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.5 = 0.8.

مثال 21.

کوزه شامل 7 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. احتمال اینکه: 1) برداشتن یک توپ سفید از کوزه چقدر است (رویداد A). 2) برداشتن یک توپ سفید از کوزه پس از برداشتن یک توپ از آن که سفید است (رویداد B). 3) برداشتن یک توپ سفید از کوزه پس از برداشتن یک توپ از آن که سیاه است (رویداد C)؟

1) P (A) = = 0.7 (احتمال کلاسیک را ببینید).

2) Р В (А) = = 0، (6).

3) Р С (А) = | = 0، (7).

مثال 22.

مکانیزم از سه قسمت یکسان مونتاژ می شود و در صورت از کار افتادن هر سه قسمت غیر قابل استفاده در نظر گرفته می شود. 15 قطعه در کارگاه مونتاژ باقی مانده است که 5 قطعه آن غیر استاندارد ( معیوب ) می باشد. احتمال اینکه مکانیزم مونتاژ شده از قطعات باقیمانده که به صورت تصادفی گرفته شده اند غیرفعال باشد چقدر است؟

1) رویداد مورد نظر را از طریق A نشان می دهیم، انتخاب اولین قسمت غیر استاندارد از طریق A 1، دوم از طریق A 2، سوم از طریق A 3

2) رویداد A رخ خواهد داد اگر هر دو رویداد A 1 و رویداد A 2 و رویداد A 3 رخ دهد، یعنی.

A = A 1 A 2 A 3،

از آنجایی که «و» منطقی با محصول مطابقت دارد (به بخش «جبر قضایا. عملیات منطقی» مراجعه کنید).

3) رویدادهای A 1، A 2، A 3 وابسته هستند، بنابراین P (A 1 A 2 A 3) =
= P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2).

4) P (A 1) =، P (A 2 / A 1) =، P (A 3 / A 1 A 2) =. سپس

P (A 1 A 2 A 3) = 0.022.

برای رویدادهای مستقل: P (A B) = P (A) P (B).

با توجه به موارد فوق، معیار استقلال دو رویداد A و B:

P (A) = P B (A) = P (A)، P (B) = P A (B) = P (B).

مثال 23.

احتمال اصابت تیرانداز اول به هدف (رویداد A) 0.9 و احتمال اصابت تیرانداز دوم به هدف (رویداد B) 0.8 است. احتمال اینکه هدف حداقل توسط یک تیرانداز مورد اصابت قرار گیرد چقدر است؟

1) بگذارید C رویداد مورد علاقه ما باشد. اتفاق مخالف این است که هر دو تیرانداز از دست می دهند.

3) از آنجایی که یک تیرانداز هنگام تیراندازی با دیگری تداخل ندارد، رویدادها مستقل هستند.

داریم: P () = P () P () = = (1 - 0.9) (1 - 0.8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P (C) = 1 -P () = 1 -0.02 = 0.98.

فرمول احتمال کل

اجازه دهید رویداد A ممکن است در نتیجه تجلی یک و تنها یک رویداد H i (i = 1،2، ... n) از گروه کاملی از رویدادهای ناسازگار H 1، H 2، ... H n رخ دهد. رویدادهای این گروه معمولاً به عنوان فرضیه شناخته می شوند.

فرمول احتمال کل احتمال رویداد A برابر است با مجموع حاصلضرب های زوج احتمالات همه فرضیه هایی که گروه کامل را با احتمالات مشروط مربوط به رویداد A تشکیل می دهند:

P (A) = ، جایی که = 1.

مثال 24.

3 کوزه یکسان وجود دارد. در اول - 2 توپ سفید و 1 توپ سیاه ، در دوم - 3 توپ سفید و 1 توپ سیاه ، در گلدان سوم - 2 توپ سفید و 2 توپ سیاه. 1 توپ از داخل کوزه به طور تصادفی انتخاب می شود. احتمال اینکه معلوم شود سفیدپوست است چقدر است؟

همه کوزه‌ها یکسان در نظر گرفته می‌شوند، بنابراین، احتمال انتخاب i-امین urn وجود دارد

Р (H i) = 1/3، که در آن i = 1، 2، 3.

2) احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه اول: (الف) =.

احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه دوم: (A) =.

احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه سوم: (A) =.

3) احتمال جستجو:

P (A) = =0.63(8)

مثال 25.

این فروشگاه محصولاتی را از سه کارخانه برای فروش دریافت می کند که سهام نسبی آنها عبارتند از: I - 50٪ ، II - 30٪ ، III - 20٪. برای محصولات کارخانه ها، ازدواج به ترتیب: I - 2٪، P - 2٪، III - 5٪ است. احتمال اینکه محصولی از این محصول که به طور تصادفی در فروشگاه خریداری شده است، کیفیت خوبی داشته باشد (رویداد A) چقدر است؟

1) سه فرضیه زیر در اینجا امکان پذیر است: H 1، H 2، H 3 -
کالای خریداری شده به ترتیب در کارخانه های I، II، III کار شده است. سیستم این فرضیه ها کامل است.

احتمالات: P (H 1) = 0.5; P (H 2) = 0.3; P (H 3) = 0.2.

2) احتمالات مشروط مربوط به رویداد A عبارتند از: (A) = 1-0.02 = 0.98; (A) = 1-0.03 = 0.97; (A) = = 1-0.05 = 0.95.

3) طبق فرمول احتمال کل داریم: P (A) = 0.5 0.98 + + 0.3 0.97 + 0.2 0.95 = 0.971.

فرمول احتمال پسین (فرمول بیز)

بیایید شرایط را در نظر بگیریم.

یک گروه کامل از فرضیه های ناسازگار H 1، H 2، ... H n وجود دارد که احتمالات آنها (i = 1، 2، ... p) قبل از آزمایش مشخص است (احتمالات پیشینی هستند). آزمایشی (آزمون) انجام می شود که در نتیجه آن وقوع رویداد A ثبت شد و مشخص است که فرضیه های ما احتمالات خاصی را به این رویداد نسبت می دهند (i = 1, 2, ... n). احتمالات این فرضیه ها بعد از آزمایش (احتمالات پسینی) چقدر است؟

پاسخ این سوال با فرمول احتمال پسینی (فرمول بیز) داده می شود:

، جایی که i = 1،2، ... ص.

مثال 26.

احتمال اصابت یک هواپیما با یک شلیک برای سیستم موشکی 1 (رویداد A) 0.2 و برای دومین (رویداد B) - 0.1 است. هر یک از مجتمع ها یک شلیک شلیک می کند و یک ضربه به هواپیما ثبت می شود (رویداد C). احتمال اینکه شلیک موفق متعلق به سامانه موشکی اول باشد چقدر است؟

راه حل.

1) قبل از آزمایش، چهار فرضیه ممکن است:

H 1 = А В - هواپیما توسط مجتمع 1 و هواپیما توسط مجتمع 2 مورد اصابت قرار می گیرد (محصول مطابق با منطقی "و" است)

H 2 = А В - هواپیما توسط مجتمع 1 مورد اصابت قرار می گیرد و هواپیما توسط مجتمع 2 مورد اصابت قرار نمی گیرد.

H 3 = А В - هواپیما توسط مجتمع 1 مورد اصابت قرار نمی گیرد و هواپیما توسط مجتمع 2 مورد اصابت قرار می گیرد.

H 4 = А В - هواپیما توسط مجتمع 1 و هواپیما توسط مجتمع 2 مورد اصابت قرار نمی گیرد.

این فرضیه ها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

2) احتمالات مربوطه (با عملکرد مستقل مجتمع ها):

P (H 1) = 0.2 0.1 = 0.02;

P (H 2) = 0.2 (1-0.1) = 0.18;

P (H 3) = (1-0.2) 0.1 = 0.08;

P (H 4) = (1-0.2) (1-0.1) = 0.72.

3) از آنجایی که فرضیه ها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، برابری 1 = باید برآورده شود.

بررسی می کنیم: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) = 0.02 + 0.18 + + 0.08 + 0.72 = 1، بنابراین فرضیه گروه مورد نظر صحیح است.

4) احتمالات مشروط برای رویداد مشاهده شده С تحت این فرضیه ها خواهد بود: (С) = 0، زیرا با توجه به شرط مسئله یک ضربه ثبت شد و فرضیه H 1 دو ضربه را فرض می کند:

(C) = 1; (C) = 1.

(С) = 0، زیرا یک ضربه بر اساس بیان مسئله ثبت شده است، و فرضیه H 4 هیچ ضربه ای را فرض نمی کند. در نتیجه، فرضیه های H 1 و H 4 ناپدید می شوند.

5) احتمالات فرضیه های H 2 و H 3 با استفاده از فرمول بیزی محاسبه می شود:

0,7, 0,3.

بنابراین، با احتمال تقریباً 70 درصد (0.7) می توان ادعا کرد که یک شلیک موفق متعلق به اولین سامانه موشکی است.

5.4. متغیرهای تصادفی. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

غالباً در عمل چنین آزمایشاتی در نظر گرفته می شود که در نتیجه اجرای آنها تعداد مشخصی به طور تصادفی به دست می آید. به عنوان مثال، هنگام پرتاب تاس، تعداد امتیازها از 1 به 6 می رسد، در هنگام برداشتن 6 کارت از عرشه، می توانید از 0 تا 4 آس بگیرید. در یک بازه زمانی مشخص (مثلاً یک روز یا یک ماه)، تعداد مشخصی جرم در شهر ثبت می شود، تعداد مشخصی تصادفات جاده ای رخ می دهد. یک تیر از تفنگ شلیک می شود. برد پرتابه نیز به صورت تصادفی مقداری به خود می گیرد.

در تمامی این آزمون ها با متغیرهایی به اصطلاح تصادفی مواجه هستیم.

مقدار عددی که در نتیجه اجرای آزمایش به صورت تصادفی مقدار خاصی را بدست می آورد نامیده می شود متغیر تصادفی.

مفهوم متغیر تصادفی نقش بسیار مهمی در نظریه احتمال دارد. اگر نظریه احتمال "کلاسیک" عمدتاً رویدادهای تصادفی را مورد مطالعه قرار می داد، در آن صورت نظریه مدرن احتمال عمدتاً با متغیرهای تصادفی سروکار دارد.

در ادامه، متغیرهای تصادفی را با حروف بزرگ لاتین X، Y، Z و غیره و مقادیر احتمالی آنها را با حروف کوچک x، y، z نشان خواهیم داد. به عنوان مثال، اگر یک متغیر تصادفی دارای سه مقدار ممکن باشد، آنها را به صورت زیر نشان می دهیم:،،.

بنابراین، نمونه‌هایی از متغیرهای تصادفی می‌تواند به صورت زیر باشد:

1) تعداد امتیازهایی که روی لبه بالایی تاس افتاده است:

2) تعداد آسها هنگام برداشتن 6 کارت از عرشه.

3) تعداد جرایم ثبت شده در روز یا ماه.

4) تعداد ضربه به هدف با چهار شلیک از تپانچه.

5) فاصله ای که پرتابه هنگام شلیک از تفنگ پرواز می کند.

6) رشد یک فرد تصادفی.

می توان اشاره کرد که در مثال اول، متغیر تصادفی می تواند یکی از شش مقدار ممکن را بگیرد: 1، 2، 3، 4، 5، و 6. در مثال دوم و چهارم، تعداد مقادیر ممکن تصادفی است. متغیر پنج است: 0، 1، 2، 3، 4 در مثال سوم، مقدار متغیر تصادفی می تواند هر عدد طبیعی (از لحاظ نظری) یا 0 باشد. در مثال های پنجم و ششم، متغیر تصادفی می تواند هر مقدار واقعی را بگیرد. از یک فاصله زمانی معین ( آ, ب).

اگر یک متغیر تصادفی بتواند مجموعه ای از مقادیر محدود یا قابل شمارش را به خود بگیرد، نامیده می شود گسسته(به صورت گسسته توزیع می شود).

مداوممتغیر تصادفی یک متغیر تصادفی است که می تواند تمام مقادیر را از یک بازه محدود یا نامحدود دریافت کند.

برای تعیین یک متغیر تصادفی، فهرست کردن مقادیر مختلف آن کافی نیست. به عنوان مثال، در مثال دوم و سوم، متغیرهای تصادفی می توانند مقادیر یکسانی داشته باشند: 0، 1، 2، 3، و 4. با این حال، احتمالاتی که این متغیرهای تصادفی مقادیر خود را می گیرند کاملاً متفاوت خواهد بود. بنابراین، برای تعیین یک متغیر تصادفی گسسته، علاوه بر فهرستی از تمام مقادیر ممکن آن، باید احتمالات آنها را نیز مشخص کنید.

مطابقت بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها نامیده می شود قانون توزیعمتغیر تصادفی گسسته ، ...، X =

چند ضلعی توزیع، و همچنین سری توزیع، متغیر تصادفی را کاملا مشخص می کند. شکلی از قانون توزیع است.

مثال 27.یک سکه به صورت تصادفی پرتاب می شود. یک سری و یک چند ضلعی از توزیع تعداد نمادهای رها شده بسازید.

یک متغیر تصادفی برابر با تعداد کت‌های رها شده می‌تواند دو مقدار داشته باشد: 0 و 1. مقدار 1 مربوط به یک رویداد است - یک نشان حذف شد، مقدار 0 - به یک دم. احتمال برخورد به نشان و سقوط دم یکسان و مساوی است. آن ها احتمالاتی که متغیر تصادفی مقادیر 0 و 1 را می گیرد برابر است. سری توزیع به شرح زیر است:

ایکس
پ

مثال 1. در کوزه اول: سه توپ قرمز، یک توپ سفید. در قوطی دوم: یک توپ قرمز، سه توپ سفید. یک سکه به صورت تصادفی پرتاب می شود: اگر نشان از اولین کوزه انتخاب شود، در غیر این صورت - از دوم.
راه حل:
الف) احتمال کشیده شدن توپ قرمز
الف - یک توپ قرمز دریافت کردم
ص 1 - نشان سقوط کرد، ص 2 - در غیر این صورت

ب) یک توپ قرمز انتخاب شده است. احتمال این را پیدا کنید که از کوزه اول، از کوزه دوم گرفته شده است.
ب 1 - از کوزه اول، ب 2 - از کوزه دوم
,

مثال 2. در یک جعبه 4 توپ وجود دارد. می تواند: فقط سفید، فقط سیاه یا سفید و سیاه. (ترکیب نامعلوم).
راه حل:
الف - احتمال یک توپ سفید
الف) تمام سفید:
(احتمال اینکه یکی از سه گزینه در جایی که گزینه های سفید وجود دارد گرفتار شده باشد)
(احتمال ظاهر شدن یک توپ سفید در جایی که همه سفید هستند)

ب) بیرون کشیده شده در جایی که همه سیاه هستند



ج) یک نوع را که در آن همه سفید و / یا سیاه هستند بیرون کشیده است

- حداقل یکی از آنها سفید است

P a + P b + P c =

مثال 3. 5 توپ سفید و 4 توپ سیاه در کوزه وجود دارد. 2 توپ پشت سر هم از آن خارج می شود. احتمال سفید بودن هر دو توپ را پیدا کنید.
راه حل:
5 توپ سفید، 4 توپ سیاه
P (A 1) - توپ سفید را بیرون آورد

P (A 2) - احتمال اینکه توپ دوم نیز سفید باشد

P (A) - توپ های سفید در یک ردیف انتخاب شدند

مثال 3a. بسته حاوی 2 اسکناس تقلبی و 8 اسکناس واقعی است. 2 اسکناس پشت سر هم از بسته بیرون کشیده شد. احتمال جعلی بودن هر دو را پیدا کنید.
راه حل:
P (2) = 2/10 * 1/9 = 1/45 = 0.022

مثال 4. 10 کوزه وجود دارد. 9 کوزه با 2 توپ سیاه و 2 توپ سفید وجود دارد. 5 سفید و 1 سیاه در 1 کوزه وجود دارد. یک توپ از کوزه ای که به طور تصادفی گرفته شده بود خارج شد.
راه حل:
P (A) -؟ توپ سفید از کوزه گرفته شده است، جایی که 5 تا سفید هستند
ب - احتمال بیرون آوردن از کوزه که 5 تا سفید است
، - از دیگران حذف شده است
ج 1 - احتمال ظاهر شدن یک توپ سفید در 9 lvl.

С 2 - احتمال ظهور یک توپ سفید، که در آن 5 وجود دارد

P (A 0) = P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)

مثال 5. 20 غلتک استوانه ای و 15 غلتک مخروطی. جمع کننده 1 غلتک و سپس غلتک دیگر را می گیرد.
راه حل:
الف) هر دو غلتک استوانه ای هستند
P (C 1) =; P (C 2) =
Ц 1 - استوانه اول، Ц 2 - استوانه دوم
P (A) = P (C 1) P (C 2) =
ب) حداقل یک سیلندر
K 1 - اولین مخروط.
K 2 - مخروط دوم.
P (B) = P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;

ج) استوانه اول، و دومی نیست
P (C) = P (C 1) P (K 2)

ه) نه یک سیلندر.
P (D) = P (K 1) P (K 2)

و) دقیقا 1 سیلندر
P (E) = P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)

مثال 6. در یک جعبه 10 قطعه استاندارد و 5 قطعه معیوب وجود دارد.
سه قسمت به صورت تصادفی کشیده می شود
الف) از این میان یکی معیوب است
P n (K) = C n k p k q n-k،
P - احتمال محصولات معیوب

q احتمال قطعات استاندارد است

n = 3، سه قطعه


ب) دو قسمت از سه قسمت P معیوب (2)
ج) حداقل یک استاندارد
P (0) - بدون نقص

P = P (0) + P (1) + P (2) - احتمال استاندارد بودن حداقل یک قسمت

مثال 7. در کوزه 1 3 توپ سفید و سیاه و در 2 - 3 توپ سفید و 4 توپ سیاه وجود دارد. از کوزه 1 به 2، 2 توپ بدون نگاه کردن جابه جا می شوند و سپس 2 توپ از 2 توپ کشیده می شود. احتمال اینکه رنگ آنها متفاوت باشد چقدر است؟
راه حل:
هنگام انتقال توپ از اولین کوزه، گزینه های زیر امکان پذیر است:
الف) 2 توپ سفید پشت سر هم بیرون آورد
P BB 1 =
در مرحله دوم، همیشه یک توپ کمتر خواهد بود، زیرا در مرحله اول یک توپ قبلاً خارج شده است.
ب) یک توپ سفید و یک توپ سیاه را بیرون آورد
وضعیتی که ابتدا توپ سفید و سپس سیاه را بیرون آوردند
P کلاهک =
وضعیتی که ابتدا توپ سیاه و سپس توپ سفید بیرون آورده شد
P BW =
مجموع: P کلاهک 1 =
ج) 2 توپ سیاه پشت سر هم بیرون آورد
P HH 1 =
از آنجایی که 2 توپ از کوزه اول به کوزه دوم منتقل شده است، تعداد کل توپ ها در کوزه دوم 9 عدد خواهد بود (7 + 2). بر این اساس، ما به دنبال همه گزینه های ممکن خواهیم بود:
الف) ابتدا یک توپ سفید سپس یک توپ سیاه از کوزه دوم خارج شد

P БЧ 2 P ББ 1 - به معنای احتمال این است که ابتدا یک توپ سفید سپس یک توپ سیاه بیرون آورده شود، مشروط بر اینکه 2 توپ سفید پشت سر هم از کوزه اول خارج شود. به همین دلیل است که تعداد توپ های سفید در این مورد 5 (3 + 2) است.
P CU 2 P CU 1 - به معنای احتمال این است که ابتدا توپ سفید و سپس توپ سیاه را بیرون آورده باشند، مشروط بر اینکه گوی های سفید و سیاه از اولین کوزه خارج شده باشند. به همین دلیل است که تعداد توپ های سفید در این مورد 4 (3 + 1) و تعداد توپ های سیاه پنج (4 + 1) است.
P BCH 2 P HH 1 - به معنای احتمال این است که ابتدا یک توپ سفید و سپس یک توپ سیاه خارج شود، مشروط بر اینکه هر دو توپ سیاه از اولین کوزه پشت سر هم خارج شده باشند. به همین دلیل است که تعداد توپ های سیاه در این مورد 6 (4 + 2) است.

احتمال اینکه 2 توپ کشیده شده با رنگ های مختلف باشند برابر است با:

پاسخ: 0.54 = P

مثال 7a. از کوزه اول حاوی 5 توپ سفید و 3 توپ سیاه، 2 توپ به طور تصادفی به کوزه دوم حاوی 2 توپ سفید و 6 توپ سیاه منتقل شد. سپس از کوزه دوم 1 توپ به صورت تصادفی گرفته شد.
1) احتمال اینکه توپی که از کوزه دوم گرفته شده سفید باشد چقدر است؟
2) توپی که از کوزه دوم برداشته شد سفید شد. احتمال اینکه توپ هایی با رنگ های مختلف از کوزه 1 به 2 منتقل شده اند را محاسبه کنید.
راه حل.
1) رویداد A - توپی که از کوزه دوم گرفته شد سفید شد. برای وقوع این رویداد گزینه های زیر را در نظر بگیرید.
الف) از کوزه اول، دو توپ سفید در دومی قرار داده شد: P1 (bb) = 5/8 * 4/7 = 20/56.
در کوزه دوم 4 توپ سفید وجود دارد. سپس احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه دوم P2 (4) = 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) = 80/448 است.
ب) توپ های سفید و سیاه از اولین کوزه به دومی قرار داده شد: P1 (bch) = 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 = 30/56.
در مجموع 3 توپ سفید در کوزه دوم وجود دارد. سپس احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه دوم P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448 است.
ج) دو توپ سیاه از اولین کوزه به دومی قرار داده شد: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
در کوزه دوم 2 توپ سفید وجود دارد. سپس احتمال برداشتن توپ سفید از کوزه دوم P2 (2) = 6/56 * 2 / (6 + 2) = 12/448 است.
سپس احتمال اینکه توپی که از کوزه دوم گرفته شده سفید شود برابر است با:
P (A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) توپی که از کوزه دوم گرفته شد سفید شد، یعنی. احتمال کل P (A) = 13/32 است.
احتمال انتقال توپ های رنگ های مختلف (سیاه و سفید) به کوزه دوم و سفید انتخاب شد: P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

مثال 7b. در کوزه اول 8 توپ سفید و 3 توپ سیاه و در دومی 5 توپ سفید و 3 توپ سیاه وجود دارد. یک توپ به طور تصادفی از اولی و دو توپ از دومی انتخاب می شود. پس از آن، از سه توپ انتخاب شده، یک توپ به صورت تصادفی گرفته می شود. این آخرین توپ سیاه شد. احتمال انتخاب یک توپ سفید از اولین کوزه را پیدا کنید.
راه حل.
همه انواع رویداد A را در نظر بگیرید - از سه توپ، توپ حذف شده سیاه شد. چطور ممکن است بین این سه توپ یک توپ سیاه وجود داشته باشد؟
الف) یک گلوله سیاه از کوزه اول، دو توپ سفید از کوزه دوم بیرون آورده شد.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
ب) یک گلوله سیاه از کوزه اول بیرون آورده شد، دو توپ سیاه از کوزه دوم خارج شد.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
ج) یک گلوله سیاه از ظرف اول، یک توپ سفید و یک توپ سیاه از ظرف دوم بیرون آورده شد.
P3 = (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 45/308
د) یک گلوله سفید از کوزه اول، دو توپ سیاه از کوزه دوم بیرون آورده شد.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
ه) یک گوی سفید از کوزه اول، یک توپ سفید و یک توپ سیاه از کوزه دوم بیرون آورده شد.
P5 = (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 30/77
احتمال کل عبارت است از: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 = 57/77
احتمال اینکه یک توپ سفید از یک کوزه سفید انتخاب شده باشد:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
سپس احتمال انتخاب یک توپ سفید از اولین کوزه به شرط انتخاب یک توپ سیاه از بین سه توپ برابر است با:
Ph = سرب (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

مثال 7c. کوزه اول شامل 12 توپ سفید و 16 توپ سیاه است، دومی حاوی 8 توپ سفید و 10 توپ سیاه است. در همان زمان، یک توپ از کوزه 1 و 2 بیرون کشیده می شود، مخلوط می شود و به هر کوزه یک عدد برمی گردد. سپس از هر کوزه یک توپ بیرون کشیده می شود. معلوم شد که همرنگ هستند. احتمال اینکه تعداد توپ های سفیدی که در ابتدا وجود داشت در اولین کوزه باقی مانده باشد را تعیین کنید.

راه حل.
رویداد A - یک توپ به طور همزمان از کوزه 1 و 2 بیرون کشیده می شود.
احتمال بیرون کشیدن توپ سفید از اولین کوزه: P1 (B) = 12 / (12 + 16) = 12/28 = 3/7
احتمال بیرون کشیدن یک توپ سیاه از اولین کوزه: P1 (H) = 16 / (12 + 16) = 16/28 = 4/7
احتمال بیرون کشیدن توپ سفید از کوزه دوم: P2 (B) = 8/18 = 4/9
احتمال بیرون کشیدن یک توپ سیاه از کوزه دوم: P2 (H) = 10/18 = 5/9

رویداد A رخ داده است. رویداد B - یک توپ از هر کوزه بیرون کشیده می شود. پس از اختلاط، احتمال بازگشت توپ به کوزه یک توپ سفید یا سیاه ½ است.
بیایید انواع رویداد B را در نظر بگیریم - آنها هم رنگ بودند.

برای اولین کوزه
1) یک توپ سفید را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BB ​​/ A = B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) یک توپ سفید را در ظرف اول قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بیاورید، مشروط بر اینکه توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BB ​​/ A = H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) یک توپ سفید در اولین صندوق رای گذاشته شد و یک توپ سیاه بیرون کشیده شد، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BCH / A = B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) یک توپ سفید را در اولین صندوق رای بگذارید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BCH / A = H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15 /98
5) یک توپ سیاه را در اولین صندوق رای بگذارید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BW / A = B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33 /392
6) یک توپ سیاه را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BW / A = H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) یک توپ سیاه را در ظرف اول قرار دهید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (HH / A = B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) یک توپ سیاه را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (HH / A = H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/ 49

برای کوزه دوم
1) یک توپ سفید را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه قبلاً یک توپ سفید بیرون کشیده شده باشد، P1 (BB ​​/ A = B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2 /21
2) یک توپ سفید را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BB ​​/ A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) یک توپ سفید را در اولین صندوق رای بگذارید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BCH / A = B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5 /42
4) یک توپ سفید را در اولین صندوق رای بگذارید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BCH / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1 /7
5) یک توپ سیاه را در اولین صندوق رای بگذارید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BW / A = B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1. /12
6) یک توپ سیاه را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سفید را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (BW / A = H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) یک توپ سیاه را در ظرف اول قرار دهید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سفید زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (HH / A = B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) یک توپ سیاه را در اولین کوزه قرار دهید و یک توپ سیاه را بیرون بکشید، مشروط بر اینکه یک توپ سیاه زودتر بیرون کشیده شده باشد، P1 (HH / A = H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/ 63

توپ ها هم رنگ بودند:
الف) سفید
P1 (B) = P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BB ​​/ A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 9/98 + 13 /98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2 (B) = P1 (BB ​​/ A = B) + P1 (BB ​​/ A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 2/21 + 1 /7 + 1 / 12 + 8/63 = 113/252
ب) سیاه
P1 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 = 139/252

P = P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) = 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 = 5/42

مثال 7d. در جعبه اول 5 توپ سفید و 4 توپ آبی، در دومی 3 و 1 و در سومی - به ترتیب 4 و 5 توپ وجود دارد. جعبه ای به طور تصادفی انتخاب شد و توپی که از آن بیرون کشیده شد آبی بود. احتمال اینکه این توپ از جعبه دوم باشد چقدر است؟

راه حل.
الف - رویداد استخراج توپ آبی. همه گزینه ها را برای نتیجه چنین رویدادی در نظر بگیرید.
H1 - توپ بیرون کشیده شده از جعبه اول،
H2 - توپ بیرون کشیده شده از جعبه دوم،
H3 - توپ بیرون کشیده شده از جعبه سوم.
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3
با توجه به شرط مسئله، احتمالات شرطی رویداد A برابر است:
P (A | H1) = 4 / (5 + 4) = 4/9
P (A | H2) = 1 / (3 + 1) = 1/4
P (A | H3) = 5 / (4 + 5) = 5/9
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 = 5/12
احتمال اینکه این توپ از جعبه دوم برابر است با:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4/5/12 = 1/5 = 0.2

مثال 8. پنج جعبه با 30 توپ هر کدام حاوی 5 توپ قرمز (این یک جعبه از ترکیب H1 است)، شش جعبه دیگر با 20 توپ هر کدام حاوی 4 توپ قرمز هستند (این یک جعبه از ترکیب H2 است). احتمال اینکه یک توپ قرمز تصادفی در یکی از پنج جعبه اول وجود دارد را پیدا کنید.
راه حل: وظیفه اعمال فرمول احتمال کل.

احتمال اینکه هرتوپ گرفته شده در یکی از پنج جعبه اول قرار دارد:
P (H 1) = 5/11
احتمال اینکه هرتوپ گرفته شده در یکی از شش جعبه قرار دارد:
P (H 2) = 6/11
این رویداد اتفاق افتاد - آنها یک توپ قرمز را بیرون آوردند. بنابراین، این می تواند در دو مورد اتفاق بیفتد:
الف) از پنج جعبه اول بیرون کشیده شده است.
P 5 = 5 توپ قرمز * 5 جعبه / (30 توپ * 5 جعبه) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
ب) از شش جعبه دیگر بیرون کشیده شده است.
P 6 = 4 توپ قرمز * 6 جعبه / (20 توپ * 6 جعبه) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
مجموع: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
بنابراین، احتمال اینکه یک توپ قرمز تصادفی در یکی از پنج جعبه اول وجود داشته باشد:
پ ک.ش. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

مثال 9. کوزه شامل 2 توپ سفید، 3 سیاه و 4 توپ قرمز است. سه توپ را به طور تصادفی بیرون بیاورید. احتمال اینکه حداقل دو توپ همرنگ باشند چقدر است؟
راه حل. در مجموع، سه نتیجه ممکن از رویدادها وجود دارد:
الف) در بین سه توپ کشیده شده حداقل دو توپ سفید وجود دارد.
P b (2) = P 2b
تعداد کل نتایج ابتدایی ممکن برای این تست ها برابر است با تعداد روش هایی که می توان 3 توپ از 9 توپ را استخراج کرد:

این احتمال را پیدا کنید که از بین 3 توپ انتخاب شده، 2 توپ سفید هستند.

تعداد گزینه برای انتخاب از بین 2 توپ سفید:

تعداد گزینه برای انتخاب از 7 توپ دیگر توپ سوم:

ب) از بین سه توپ کشیده شده، حداقل دو توپ سیاه هستند (یعنی یا 2 سیاه یا 3 سیاه).
این احتمال را پیدا کنید که از بین 3 توپ انتخاب شده، 2 توپ سیاه هستند.

تعداد انتخاب از 3 توپ سیاه:

تعداد گزینه برای انتخاب از بین 6 توپ دیگر از همان توپ:


P 2h = 0.214
اجازه دهید احتمال سیاه بودن همه توپ های انتخاب شده را پیدا کنیم.

Ph (2) = 0.214 + 0.0119 = 0.2259

ج) حداقل دو توپ قرمز در بین سه توپ کشیده شده وجود داشته باشد (یعنی 2 توپ قرمز یا 3 قرمز).
این احتمال را پیدا کنید که از بین 3 توپ انتخاب شده، 2 توپ قرمز هستند.

تعداد انتخاب از 4 توپ سیاه:

تعداد گزینه های انتخابی از بین 5 توپ سفید، 1 توپ سفید باقی مانده:


بیایید این احتمال را پیدا کنیم که همه توپ های انتخاب شده قرمز هستند.

P k (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
پس احتمال اینکه حداقل دو توپ همرنگ باشند این است: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

مثال 10. کوزه اول شامل 10 توپ است که 7 توپ سفید است. در کوزه دوم 20 توپ وجود دارد که 5 تای آن سفید است. از هر کوزه یک توپ به طور تصادفی و سپس یک توپ به طور تصادفی از این دو توپ گرفته شد. احتمال گرفته شدن یک توپ سفید را پیدا کنید.
راه حل. احتمال حذف یک توپ سفید از اولین کوزه P (b) 1 = 7/10 است. بر این اساس، احتمال رسم توپ سیاه P (h) 1 = 3/10 است.
احتمال حذف یک توپ سفید از کوزه دوم P (b) 2 = 5/20 = 1/4 است. بر این اساس، احتمال رسم توپ سیاه P (h) 2 = 15/20 = 3/4 است.
رویداد A - یک توپ سفید از دو توپ گرفته می شود
گزینه هایی را برای نتیجه رویداد A در نظر بگیرید.

1. آنها یک توپ سفید را از سطل اول بیرون آوردند و یک توپ سفید را از کوزه دوم بیرون آوردند. سپس یک توپ سفید از این دو توپ بیرون کشیده شد. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. آنها یک توپ سفید را از سطل اول بیرون آوردند و یک توپ سیاه را از کوزه دوم بیرون آوردند. سپس یک توپ سفید از این دو توپ بیرون کشیده شد. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. یک توپ سیاه از کوزه اول بیرون کشیده شد، یک توپ سفید از کوزه دوم بیرون کشیده شد. سپس یک توپ سفید از این دو توپ بیرون کشیده شد. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

بنابراین، احتمال را می توان به عنوان مجموع احتمالات بالا یافت.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

مثال 11. n توپ تنیس در جعبه وجود دارد. از این تعداد، م. در بازی اول دو توپ به صورت تصادفی گرفته شد و پس از پایان بازی به عقب برگردانده شد. برای بازی دوم نیز دو توپ را به صورت تصادفی انتخاب کردند. احتمال اینکه بازی دوم با توپ های جدید انجام شود چقدر است؟
راه حل. رویداد A را در نظر بگیرید - بازی برای دومین بار با توپ های جدید انجام شد. بیایید ببینیم چه اتفاقاتی می تواند منجر به این شود.
اجازه دهید تعداد توپ های جدید را قبل از بیرون کشیدن با g = n-m نشان دهیم.
الف) دو توپ جدید برای بازی اول بیرون کشیده شد.
P1 = g / n * (g-1) / (n-1) = g (g-1) / (n (n-1))
ب) برای بازی اول، یک توپ جدید بیرون کشیده شد و یکی قبلاً بازی شده بود.
P2 = g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) = 2mg / (n (n-1))
ج) برای بازی اول دو توپ کشیده شد.
P3 = m / n * (m-1) / (n-1) = m (m-1) / (n (n-1))

وقایع بازی دوم را در نظر بگیرید.
الف) ما دو توپ جدید بیرون کشیدیم، مشروط به شرط P1: از آنجایی که قبلاً توپ های جدید را برای بازی اول بیرون آورده بودیم، سپس برای بازی دوم تعداد آنها 2، g-2 کاهش یافت.
P (A / P1) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 = (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * g (g-1) / (n (n-1))
ب) ما دو توپ جدید بیرون کشیدیم، به شرط P2: از آنجایی که قبلاً برای بازی اول یک توپ جدید بیرون آورده بودیم، سپس برای بازی دوم تعداد آنها 1، g-1 کاهش یافت.
P (A / P2) = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2 میلی گرم / (n (n-1))
ج) دو توپ جدید بیرون آوردیم، به شرط P3: از آنجایی که هیچ توپ جدیدی برای بازی اول استفاده نشد، تعداد آنها برای بازی دوم g تغییر نکرد.
P (A / P3) = g / n * (g-1) / (n-1) * P3 = g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1))

احتمال کل P (A) = P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * g (g-1) / (n (n-1)) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2mg / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)) = (n-2) (n-3) (nm-1) (nm) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
پاسخ: P (A) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)

مثال 12. در جعبه اول، دوم و سوم 2 توپ سفید و 3 توپ سیاه و در جعبه چهارم و پنجم 1 توپ سفید و 1 توپ سیاه وجود دارد. یک جعبه به طور تصادفی انتخاب می شود و یک توپ از آن حذف می شود. اگر توپ کشیده شده سفید باشد، احتمال اینکه کادر چهارم یا پنجم انتخاب شود چقدر است؟
راه حل.
احتمال انتخاب هر جعبه P (H) = 1/5 است.
احتمالات شرطی رویداد A - استخراج توپ سفید را در نظر بگیرید.
P (A | H = 1) = 2/5
P (A | H = 2) = 2/5
P (A | H = 3) = 2/5
P (A | H = 4) = ½
P (A | H = 5) = ½
احتمال کل کشیدن یک توپ سفید:
P (A) = 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 = 0.44
احتمال شرطی که کادر چهارم انتخاب شده است
P (H = 4 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
احتمال شرطی که کادر پنجم انتخاب شده باشد
P (H = 5 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
در مجموع، احتمال شرطی انتخاب کادر چهارم یا پنجم است
P (H = 4، H = 5 | A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

مثال 13. 7 توپ سفید و 4 توپ قرمز در کوزه وجود داشت. سپس یک گلوله سفید یا قرمز یا سیاه دیگر داخل ظرف می‌گذاشتند و پس از مخلوط کردن، یک توپ را بیرون می‌آوردند. معلوم شد قرمز است. احتمال اینکه الف) یک توپ قرمز قرار گرفته باشد چقدر است؟ ب) توپ سیاه؟
راه حل.
الف) توپ قرمز
رویداد A - یک توپ قرمز را بیرون کشید. رویداد H - توپ قرمز را زمین بگذارید. احتمال اینکه توپ قرمز در کوزه قرار گرفته باشد P (H = K) = 1/3
سپس P (A | H = K) = 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0.139
ب) توپ سیاه
رویداد A - یک توپ قرمز را بیرون کشید. رویداد H - توپ سیاه را قرار دهید.
احتمال اینکه یک توپ سیاه در کوزه قرار داده شود P (H = H) = 1/3
سپس P (A | H = H) = 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

مثال 14. دو کوزه با توپ وجود دارد. یکی دارای 10 توپ قرمز و 5 توپ آبی، دومی دارای 5 توپ قرمز و 7 توپ آبی است. احتمال اینکه یک توپ قرمز به طور تصادفی از سطل اول و یک توپ آبی از سطل دوم خارج شود چقدر است؟
راه حل.اجازه دهید رویداد A1 - یک توپ قرمز از اولین کوزه خارج شود. A2 - یک توپ آبی از کوزه دوم خارج می شود:
,
رویدادهای A1 و A2 مستقل هستند. احتمال وقوع رویدادهای A1 و A2 با هم است

مثال 15. یک دسته کارت (36 قطعه) وجود دارد. دو کارت به صورت تصادفی پشت سر هم کشیده می شوند. احتمال قرمز بودن هر دو کارت چقدر است؟
راه حل.اجازه دهید رویداد A 1 اولین کارت کشیده شده یک لباس قرمز باشد. رویداد A 2 - دومین کارت قرمز کشیده شده. ب - هر دو کارت کت و شلوار قرمز کشیده شده. از آنجایی که هر دو رویداد A 1 و رویداد A 2 باید رخ دهند، B = A 1 · A 2. رویدادهای A 1 و A 2 وابسته هستند، بنابراین، P (B):
,
از اینجا

مثال 16. در دو کوزه توپ هایی وجود دارد که فقط از نظر رنگ با هم تفاوت دارند و در گلدان اول 5 توپ سفید، 11 توپ سیاه و 8 توپ قرمز و در گلدان دوم به ترتیب 10، 8، 6 توپ وجود دارد. یک توپ به طور تصادفی از هر دو کوزه کشیده می شود. احتمال اینکه هر دو توپ همرنگ باشند چقدر است؟
راه حل.بگذارید شاخص 1 به معنای سفید باشد، شاخص 2 - سیاه. 3 - قرمز اجازه دهید رویداد A i - یک توپ به رنگ i از اولین کوزه حذف شود. رویداد B j - یک توپ به رنگ j -ام از کوزه دوم حذف شد. رویداد A - هر دو توپ یک رنگ.
A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. رویدادهای A i و B j مستقل هستند و A i B i و A j B j برای i ≠ j ناسازگار هستند. از این رو،
P (A) = P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) =

مثال 17. از داخل کوزه با 3 توپ سفید و 2 گلوله سیاه یکی یکی بیرون کشیده می شود تا سیاهی ظاهر شود. احتمال بیرون کشیده شدن 3 توپ از کوزه را پیدا کنید؟ 5 توپ؟
راه حل.
1) احتمال اینکه 3 توپ از کوزه بیرون کشیده شود (یعنی توپ سوم سیاه و دو توپ اول سفید باشد).
P = 3/5 * 2/4 * 2/3 = 1/5
2) احتمال اینکه 5 توپ از کوزه بیرون کشیده شود
چنین وضعیتی ممکن نیست، زیرا فقط 3 توپ سفید
P = 0

ارسال کار خوب خود را در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

ارسال شده در http://www.allbest.ru/

نظریه احتمال

در این گروه 12 پسر و 8 دختر حضور دارند. 5 دانش آموز به صورت تصادفی از مجله انتخاب شدند. این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً 3 دختر در بین دانش آموزان انتخاب شده وجود دارد.

تعداد دانش آموزان منتخب در هر مجله.

احتمال انتخاب یک دختر به طور تصادفی از کل گروه.

احتمال انتخاب نشدن دختر به صورت تصادفی از کل گروه (احتمال انتخاب پسر).

k = 3 - تعداد دختران انتخاب شده.

احتمال وجود دقیقاً 3 دختر در بین 5 دانش آموز انتخاب شده.

4 قطعه استاندارد در یک دسته 6 قسمتی وجود دارد. ما 3 قسمت را به صورت تصادفی گرفتیم. احتمال غیر استاندارد بودن حداقل یکی از قطعات انتخاب شده را بیابید.

تعداد قطعات در دسته.

تعداد قطعات استاندارد در یک دسته.

احتمال گرفتن تصادفی یک قطعه غیر استاندارد از دسته.

احتمال عدم برداشت تصادفی یک قطعه غیر استاندارد از لات (احتمال گرفتن یک قطعه استاندارد از لات به صورت تصادفی).

احتمال عدم برداشت تصادفی دو قطعه غیر استاندارد از یک دسته (احتمال گرفتن تصادفی دو قطعه استاندارد از یک دسته).

احتمال نگرفتن سه قطعه غیر استاندارد از دسته به صورت تصادفی (احتمال گرفتن سه قطعه استاندارد از دسته به صورت تصادفی).

احتمال اینکه حداقل یکی از قطعات انتخاب شده غیر استاندارد باشد.

این دستگاه از 3 قسمت مستقل تشکیل شده است. احتمال خرابی قطعات به ترتیب برابر با 0.1 است. 0.2; 0.15. اگر خرابی حداقل یک قطعه برای این کار کافی باشد، احتمال خرابی ماشین را بیابید.

احتمال شکست قسمت اول

احتمال شکست قسمت دوم

احتمال شکست قسمت سوم

احتمال اینکه قسمت اول شکست نخورد.

احتمال اینکه قسمت 2 شکست نخورد.

احتمال اینکه قسمت 3 شکست نخورد.

اگر خرابی حداقل یک قطعه برای این کار کافی باشد، احتمال خرابی ماشین وجود دارد.

دو تیرانداز به سمت هدف شلیک می کنند. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک برای تیرانداز اول 0.5 و برای دوم - 0.6 است. این احتمال را پیدا کنید که با یک رگبار فقط یکی از تیراندازان به هدف برخورد کند.

احتمال برخورد اولین تیرانداز به هدف.

احتمال برخورد تیرانداز دوم به هدف.

احتمال اینکه تیرانداز اول هدف را از دست بدهد.

احتمال اینکه تیرانداز دوم هدف را از دست بدهد.

احتمال اینکه با یک رگبار فقط یکی از تیراندازان به هدف برخورد کند.

6 دستگاه در جعبه موجود است که 4 دستگاه در حال کار می باشد. ما 3 قطعه را به صورت تصادفی برداشتیم. احتمال اینکه همه دستگاه های گرفته شده کار کنند را پیدا کنید.

تعداد دستگاه هایی که به صورت تصادفی گرفته شده اند.

احتمال گرفتن یک دستگاه کار از یک جعبه.

احتمال خارج نشدن دستگاه کار از جعبه.

بیایید از فرمول برنولی استفاده کنیم:

k = 3 - تعداد دستگاه های کار، به طور تصادفی گرفته شده است.

احتمال اینکه همه دستگاه های گرفته شده کار کنند.

در کوزه اول 4 توپ سفید و 1 گلوله سیاه و در کوزه دوم 2 توپ سفید و 5 توپ سیاه وجود دارد. 2 توپ از اولی به دومی منتقل شد، سپس یک توپ از کوزه دوم خارج شد. احتمال سیاه بودن توپ انتخاب شده از کوزه دوم را پیدا کنید.

بیایید در مورد نتایج احتمالی رویدادها هنگام انتقال 2 توپ از کوزه 1 به 2 تصمیم بگیریم.

Н1 - فرضیه بیرون کشیدن 2 توپ سفید از کوزه اول.

H2 - این فرضیه که 1 توپ سفید و 1 توپ سیاه از اولین کوزه بیرون کشیده شده است.

احتمال گرفتن یک توپ سیاه از کوزه 1.

احتمال گرفتن یک توپ سفید از کوزه 1.

احتمال فرضیه H1.

احتمال فرضیه H2.

حال احتمال وقوع یک رویداد را در زمان وقوع هر فرضیه در نظر بگیرید.

اگر فرضیه H1 رخ دهد، احتمال بیرون کشیدن یک توپ سیاه از کوزه دوم وجود دارد.

احتمال بیرون کشیدن یک توپ سیاه از کوزه دوم در صورت وقوع فرضیه H2.

احتمال اینکه توپ انتخاب شده از کوزه دوم سیاه باشد.

این احتمال وجود دارد که قطعه تولید شده در کارخانه شماره 1 از کیفیت عالی برخوردار باشد.

احتمال اینکه قطعه تولید شده در کارخانه شماره 2 از کیفیت عالی برخوردار باشد.

احتمال اینکه قطعه تولید شده در کارخانه شماره 3 از کیفیت عالی برخوردار باشد.

احتمال بیرون کشیدن از جعبه، قطعه ای که در کارخانه شماره 1 ساخته شده است.

احتمال بیرون کشیدن از جعبه، قطعه ای که در کارخانه شماره 2 ساخته شده است.

احتمال بیرون کشیدن از جعبه، قطعه ساخته شده در کارخانه شماره 3.

طبق فرمول احتمال کل:

این احتمال وجود دارد که بخشی که به صورت تصادفی گرفته شده است از کیفیت عالی برخوردار باشد.

سه دسته از اقلام وجود دارد، هر کدام 25 مورد. تعداد محصولات استاندارد به ترتیب برابر با 20، 21، 22 است. از یک دسته به طور تصادفی انتخاب شده، یک محصول استاندارد به طور تصادفی انتخاب شد. احتمال استخراج آن از 1 دسته را بیابید.

احتمال اینکه قطعه ای که به طور تصادفی از دسته اول انتخاب شده باشد استاندارد است.

احتمال اینکه قطعه ای به طور تصادفی از دسته دوم انتخاب شده باشد استاندارد است.

احتمال اینکه قطعه ای به طور تصادفی از دسته سوم انتخاب شود استاندارد است.

احتمال انتخاب یکی از سه طرف به صورت تصادفی.

با فرمول بیز:

احتمال حذف یک مورد به طور تصادفی از 1 دسته.

دو دستگاه اتوماتیک قطعات را تولید می کنند. عملکرد دستگاه دوم دو برابر دستگاه اول است. دستگاه اول 80 درصد قطعات را با کیفیت عالی تولید می کند و دستگاه دوم 90 درصد را تولید می کند. قسمتی که به صورت تصادفی گرفته شد با کیفیت عالی بود. احتمال تولید این قطعه توسط 1 ماشین را پیدا کنید.

تئوری احتمال یافتن انتخاب ضربه

احتمال اینکه قطعه تولید شده توسط دستگاه 1 اتومات دارای کیفیت عالی باشد.

احتمال اینکه قطعه تولید شده توسط دستگاه 2 اتوماتیک کیفیت عالی داشته باشد.

از آنجایی که بهره وری دستگاه دوم دو برابر دستگاه اول است، پس از 3 قطعه تولید مشروط، دو قطعه از دستگاه دوم و یکی از دستگاه اول است.

احتمال انتخاب تصادفی قطعه ساخته شده توسط دستگاه 1 خودکار.

احتمال انتخاب تصادفی قطعه ساخته شده توسط دستگاه دوم اتوماتیک.

با فرمول بیز:

احتمال اینکه یک قطعه تصادفی با کیفیت عالی گرفته شده باشد، بخشی است که توسط دستگاه 1 خودکار تولید شده است.

سکه 9 بار پرتاب می شود. احتمال رسم " نشان " را بیابید : الف ) کمتر از 4 برابر . ب) حداقل 4 بار.

احتمال افتادن « نشان » .

احتمال افتادن « نشان » .

بیایید از فرمول برنولی استفاده کنیم:

تعداد پرتاب سکه

احتمال به دست آوردن سکه با " نشان " کمتر از 4 برابر است.

k = 0، 1، 2، 3 - تعداد دفعاتی که "نشان" کشیده شده است.

احتمال بدست آوردن سکه " نشان " 0 برابر از 9 است.

احتمال به دست آوردن یک سکه "نشان" 1 بار از 9.

احتمال افتادن از سکه " نشان " 2 بار از 9.

احتمال افتادن از سکه " نشان " 3 بار از 9 .

احتمال افتادن از سکه با " نشان " حداقل 4 برابر است.

k = 4، 5، 6، 7، 8، 9 - تعداد دفعاتی که "نشان" رسم شده است.

احتمال به دست آوردن سکه با " نشان " 4 برابر از 9 است.

احتمال افتادن از سکه " نشان " 5 بار از 9 .

احتمال به دست آوردن سکه با " نشان " 6 بار از 9.

احتمال افتادن از سکه " نشان " 7 بار از 9 .

احتمال افتادن از سکه " نشان " 8 بار از 9 .

احتمال افتادن از سکه 9 بار از 9.

احتمال پسردار شدن 0.51 است. این احتمال را پیدا کنید که در بین 100 نوزاد 50 پسر وجود داشته باشد.

احتمال تولد پسر

احتمال پسر نداشتن (احتمال دختر داشتن).

تعداد نوزادان.

تعداد پسران متولد شده

ما از قضیه محلی Moivre-Laplace استفاده خواهیم کرد

حتی تابع گاوسی جدول بندی شده،

از جدول مقدار را پیدا می کنیم

احتمال اینکه در بین 100 نوزاد تازه متولد شده 50 پسر باشد.

احتمال وقوع یک رویداد در هر 100 آزمایش مستقل 0.8 است. احتمال ظاهر شدن رویداد را بیابید: الف) حداقل 75 بار و نه بیشتر از 90 بار. ب) حداقل 90 بار.

احتمال وقوع یک رویداد.

احتمال رخ ندادن رویداد.

تعداد کل تست ها

تعداد تست ها

تعداد تست ها

از جدول مقدار را پیدا می کنیم

احتمال اینکه رویداد حداقل 75 بار و بیش از 90 بار ظاهر شود.

تعداد تست ها

تعداد تست ها

ما از قضیه انتگرال مویور-لاپلاس استفاده خواهیم کرد

تابع لاپلاس فرد جدول بندی شده،

از جدول مقدار را پیدا می کنیم

احتمال اینکه رویداد حداقل 90 بار ظاهر شود.

یک متغیر تصادفی گسسته توسط قانون توزیع داده می شود:

الف) یک چند ضلعی توزیع بسازید و تابع توزیع F (x) را پیدا کنید.

ب) M (X)، D (X)، را پیدا کنید.

ارزش مورد انتظار

پراکندگی.

انحراف معیار.

چگالی توزیع f (x) یک متغیر تصادفی پیوسته X داده شده است.

الف) A و تابع توزیع F (x) را پیدا کنید.

ب) M (x)، D (x) را پیدا کنید،

ارسال شده در Allbest.ru

اسناد مشابه

استفاده از تعریف کلاسیک احتمال برای یافتن ترکیبات داده شده در بین تعداد معینی از قطعات. تعیین احتمال رفتن مسافر به اولین صندوق. استفاده از قضیه محلی مویور-لاپلاس برای تخمین انحراف.

تست، اضافه شده در 1393/11/23


تجزیه و تحلیل راه حل های وظایف بر اساس تئوری احتمال: تعیین احتمال اینکه مجموع امتیازات لبه های بالایی دو تاس از 12 تجاوز نکند، در بین بلیط های قرعه کشی تعداد احتمالی برنده شدن و تعداد کالاهای معیوب را تعیین کنید. دسته

تست، اضافه شده در 2010/12/27


ترتیب تعیین درجه احتمال یافتن یک مقدار از ده ممکن. روش محاسبه قطعات استاندارد در بین قطعات تست شده با احتمال 0.95. ارزیابی احتمال افزایش قیمت سهام شرکت و همچنین کسب سود در بورس.

تست، اضافه شده در 2011/10/16


مفاهیم اساسی ترکیبیات. تعریف نظریه احتمال. مفهوم انتظار و واریانس ریاضی. عناصر اساسی آمار ریاضی. احتمال مشروط به عنوان احتمال یک رویداد، مشروط بر اینکه رویداد دیگری قبلاً رخ داده باشد.

چکیده اضافه شده در 1392/11/25


کاربرد تعریف کلاسیک احتمال در حل مسائل اقتصادی. تعیین احتمال قرار گرفتن در مونتاژ قطعات معیوب و غیر معیوب. با استفاده از فرمول برنولی، احتمال و مقدار نمونه آماری را محاسبه کنید.

تست، اضافه شده در 2010/09/18


نظریه احتمال به عنوان علمی بر این باور است که الگوهای قطعی در قلب رویدادهای توده ای تصادفی نهفته است. اثبات ریاضی نظریه. بدیهیات نظریه احتمال: تعاریف، احتمال فضایی، احتمال شرطی.

سخنرانی اضافه شده در 04/02/2008


مشخص کردن یک گروه کامل از رویدادها به عنوان مجموع همه نتایج ممکن آزمایش. روش‌هایی برای تعیین احتمال وقوع رویدادها در مسائل جهات مختلف. یافتن احتمال تعداد قطعات غیر استاندارد. ساخت تابع توزیع

وظیفه اضافه شده در 2011/03/19


تجزیه و تحلیل پدیده های تصادفی، پردازش آماری نتایج آزمایش های عددی. روش های محاسبه وقوع یک رویداد ادعایی. حل مسائل مربوط به نظریه احتمال. احتمال برخورد یک متغیر تصادفی به یک بازه معین.

تست، اضافه شده در 2013/09/21


احتمال مورد نظر را از طریق رویداد مخالف جستجو کنید. فرمول انتگرال مویور – لاپلاس. یافتن احتمال سقوط در یک بازه معین از یک متغیر تصادفی توزیع شده توسط انتظارات ریاضی و انحراف معیار آن.

تست، اضافه شده در 1390/03/17


محاسبه انتظارات ریاضی، واریانس و ضریب همبستگی. تعیین تابع توزیع و چگالی آن. یافتن احتمال ضربه زدن به یک بازه معین. ویژگی های ساخت هیستوگرام فرکانس ها. کاربرد معیار پیرسون

احتمال چیست؟

وقتی برای اولین بار با این اصطلاح مواجه شدم، نمی فهمم چیست. بنابراین، سعی می کنم آن را در دسترس توضیح دهم.

احتمال این است که رویدادی که ما نیاز داریم رخ دهد.

به عنوان مثال، شما تصمیم گرفتید به ملاقات یک دوست بروید، ورودی و حتی طبقه ای را که او در آن زندگی می کند، به یاد بیاورید. اما شماره و محل آپارتمان را فراموش کردم. و در اینجا شما روی راه پله ایستاده اید، و در مقابل شما درهایی است که می توانید از بین آنها انتخاب کنید.

چه شانسی (احتمال) وجود دارد که اگر در اول را زنگ بزنید دوستتان برای شما باز شود؟ کل آپارتمان، و دوست فقط برای یکی از آنها زندگی می کند. ما می توانیم هر دری را با شانس مساوی انتخاب کنیم.

اما این شانس چیست؟

درها، درب راست. احتمال حدس زدن با زنگ در اول:. یعنی از هر سه بار یک بار حتما حدس میزنید.

می خواهیم با یک بار تماس بدانیم چند وقت یکبار در را حدس می زنیم؟ بیایید همه گزینه ها را در نظر بگیریم:

1. تو زنگ زدی 1در
2. تو زنگ زدی 2در
3. تو زنگ زدی 3در

حالا بیایید به همه گزینه هایی که ممکن است یک دوست باشد نگاه کنیم:

آ. مطابق 1کنار در
ب مطابق 2کنار در
v مطابق 3کنار در

بیایید همه گزینه ها را در قالب یک جدول با هم مقایسه کنیم. زمانی که انتخاب شما با موقعیت مکانی یک دوست منطبق باشد، یک تیک گزینه ها را مشخص می کند - زمانی که مطابقت ندارد.

چگونه همه چیز را می بینید شاید گزینه هامکان دوست و انتخاب شما برای زنگ زدن کدام در.

آ نتایج مطلوب همه . یعنی هر از چند گاهی با زدن زنگ خانه حدس میزنید. ...

این احتمال است - نسبت یک نتیجه مطلوب (زمانی که انتخاب شما با موقعیت مکانی یک دوست مصادف شد) به تعداد رویدادهای احتمالی.

تعریف یک فرمول است. احتمال معمولاً p نشان داده می شود، بنابراین:

نوشتن چنین فرمولی خیلی راحت نیست، بنابراین ما تعداد نتایج مطلوب و برای - تعداد کل نتایج را در نظر می گیریم.

احتمال را می توان به صورت درصد نوشت، برای این کار باید نتیجه حاصل را در ضرب کنید:

احتمالاً کلمه "نتایج" توجه شما را به خود جلب کرده است. از آنجایی که ریاضیدانان اعمال مختلف (در مورد ما، چنین عملی زنگ در است) را آزمایش می نامند، مرسوم است که نتیجه چنین آزمایشاتی را نام ببرند.

خوب، نتایج مطلوب و نامطلوب است.

بیایید به مثال خود برگردیم. فرض کنید یکی از درها را زنگ زدیم، اما یک غریبه در را به روی ما باز کرد. ما حدس نمی زدیم احتمال اینکه یکی از درهای باقی مانده را زنگ بزنیم چقدر است که دوستمان برایمان باز شود؟

اگر فکر می کردید، پس این یک اشتباه است. بیایید آن را بفهمیم.

دو در باقی مانده است. بنابراین، ما مراحل ممکن را داریم:

1) تماس بگیرید 1در
2) تماس بگیرید 2در

یکی از دوستان با همه اینها قطعاً پشت یکی از آنهاست (بالاخره پشت آن کسی که ما زنگ زدیم نبود):

الف) دوست برای 1کنار در
ب) دوست برای 2کنار در

بیایید دوباره جدول را بکشیم:

همانطور که می بینید، همه گزینه ها وجود دارد که از بین آنها مطلوب است. یعنی احتمال برابر است.

چرا که نه؟

وضعیتی که ما در نظر گرفتیم - نمونه ای از رویدادهای وابستهاولین رویداد زنگ اول است، رویداد دوم زنگ دوم است.

و به آنها وابسته می گویند زیرا بر اعمال زیر تأثیر می گذارند. بالاخره اگر یکی از دوستان بعد از اولین زنگ در را باز کرد، احتمال اینکه پشت یکی از دو نفر دیگر باشد چقدر است؟ درست، .

اما اگر رویدادهای وابسته وجود داشته باشد، پس باید وجود داشته باشد مستقل? درست است، وجود دارد.

نمونه کتاب درسی پرتاب سکه است.

1. یک بار سکه پرتاب کن احتمال اینکه مثلا سرها بیرون بیایند چقدر است؟ درست است - زیرا گزینه های همه چیز (چه سر و چه دم، احتمال ایستادن یک سکه روی لبه را نادیده می گیریم)، ​​اما فقط برای ما مناسب است.
2. اما آن را تا دم آمد. خوب، یک بار دیگر آن را بریزیم. در حال حاضر احتمال گرفتن سر چقدر است؟ هیچ چیز تغییر نکرده است، همه چیز همان است. چند گزینه؟ دو چقدر به ما می خورد؟ یکی

و بگذارید هزار بار پشت سر هم از دم بالا بیاید. احتمال به دست آوردن سر در یک زمان یکسان خواهد بود. همیشه گزینه هایی وجود دارد، اما موارد مطلوب.

تشخیص رویدادهای وابسته از مستقل آسان است:

1. اگر آزمایش یک بار انجام شود (یک بار یک سکه پرتاب کنند، یک بار زنگ در را بزنند، و غیره)، آنگاه رویدادها همیشه مستقل هستند.
2. اگر آزمایش چندین بار انجام شود (سکه یک بار پرتاب شود، زنگ در چندین بار به صدا در آید)، اولین رویداد همیشه مستقل است. و سپس، اگر تعداد مطلوب یا تعداد همه پیامدها تغییر کند، رویدادها وابسته هستند و اگر نه، مستقل هستند.

بیایید کمی تعیین احتمال را تمرین کنیم.

مثال 1.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال برخورد دو بار پشت سر هم به سر چقدر است؟

راه حل:

بیایید همه گزینه های ممکن را در نظر بگیریم:

1. عقاب-عقاب
2. سر-دم
3. سر-دم
4. دم-دم

همانطور که می بینید، کل گزینه. از اینها فقط برای ما مناسب است. یعنی احتمال:

اگر از شرط خواسته شود که به سادگی احتمال را پیدا کند، پاسخ باید به صورت کسری اعشاری داده شود. اگر مشخص می شد که پاسخ باید به صورت درصد داده شود، در آن صورت ضرب می کنیم.

پاسخ:

مثال 2.

در یک جعبه شکلات، همه شکلات ها در یک بسته بندی بسته بندی می شوند. با این حال، از شیرینی - با آجیل، کنیاک، گیلاس، کارامل و نوقا.

احتمال اینکه یک آب نبات مصرف کنید چقدر است که یک آب نبات با آجیل بگیرید. پاسخ خود را به صورت درصد بیان کنید.

راه حل:

چند نتیجه ممکن وجود دارد؟ ...

یعنی با گرفتن یک آب نبات یکی از آبنبات های داخل جعبه می شود.

چند نتیجه مطلوب؟

زیرا در جعبه فقط شکلات های آجیلی وجود دارد.

پاسخ:

مثال 3.

در یک جعبه توپ. از آنها سفید، - سیاه و سفید.

1. احتمال بیرون کشیدن توپ سفید چقدر است؟
2. ما توپ های سیاه بیشتری را به جعبه اضافه کرده ایم. حالا احتمال بیرون کشیدن توپ سفید چقدر است؟

راه حل:

الف) تمام توپ ها در جعبه وجود دارد. از اینها، سفید.

احتمال برابر است با:

ب) حالا توپ هایی در جعبه وجود دارد. و همین تعداد سفیدپوست باقی ماند -.

پاسخ:

احتمال کامل

احتمال همه رویدادهای ممکن () است.

بیایید بگوییم در یک جعبه توپ قرمز و سبز. احتمال بیرون کشیدن توپ قرمز چقدر است؟ توپ سبز؟ توپ قرمز یا سبز؟

امکان کشیدن توپ قرمز

توپ سبز:

توپ قرمز یا سبز:

همانطور که می بینید، مجموع همه رویدادهای ممکن () است. درک این لحظه به شما کمک می کند تا بسیاری از مشکلات را حل کنید.

مثال 4.

جعبه حاوی نشانگرهایی است: سبز، قرمز، آبی، زرد، سیاه.

شانس بیرون کشیدن یک قلم نمدی NOT قرمز چقدر است؟

راه حل:

بیایید مقدار را بشماریم نتایج مطلوب

نشانگر قرمز نیست، به معنای سبز، آبی، زرد یا سیاه است.

احتمال همه اتفاقات. و احتمال اتفاقاتی که ما آنها را نامطلوب می دانیم (زمانی که نمد قرمز را بیرون می آوریم) -.

بنابراین، احتمال بیرون کشیدن یک خودکار نوک قرمز NOT وجود دارد.

پاسخ:

احتمال رخ ندادن رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

شما قبلاً می دانید که رویدادهای مستقل چیست.

اما اگر نیاز به یافتن احتمال وقوع دو (یا بیشتر) رویداد مستقل پشت سر هم داشته باشید، چه؟

فرض کنید می خواهیم بدانیم احتمال اینکه وقتی یک سکه را یک بار ورق می زنیم، دو بار عقاب را ببینیم چقدر است؟

ما قبلاً شمردیم -.

و اگر یک بار سکه را برگردانیم؟ احتمال دیدن یک عقاب پشت سر هم چقدر است؟

همه گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

من شما را نمی دانم، اما یک بار هنگام تهیه این لیست اشتباه کردم. وای! و تنها گزینه (اول) برای ما مناسب است.

برای 5 پرتاب، می توانید لیستی از نتایج احتمالی را خودتان تهیه کنید. اما ریاضیدانان به اندازه شما سخت کوش نیستند.

بنابراین آنها ابتدا متوجه شدند و سپس ثابت کردند که احتمال یک توالی خاص از رویدادهای مستقل هر بار به احتمال یک رویداد کاهش می یابد.

به عبارت دیگر،

به مثال همین سکه بدبخت توجه کنید.

احتمال به دست آوردن سر در یک چالش؟ ... حالا یک بار سکه را برمی گردانیم.

احتمال اصابت یک بار پشت سر هم به سر چقدر است؟

این قانون نه تنها در صورتی کار می کند که از ما خواسته شود احتمال وقوع یک رویداد را چندین بار متوالی پیدا کنیم.

اگر بخواهیم دنباله GRIP-EAGLE-GRILLE را برای پرتاب های پشت سر هم پیدا کنیم، همین کار را می کنیم.

احتمال سقوط سرها -، سر - است.

احتمال افتادن از دنباله GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE:

می توانید خودتان با ساخت جدول آن را بررسی کنید.

قانون اضافه کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار.

پس بس کن! تعریف جدید.

بیایید آن را بفهمیم. سکه فرسوده ما را بردارید و یک بار آن را پرتاب کنید.
گزینه های ممکن:

1. عقاب-عقاب-عقاب
2. سر - سر - دم
3. سر - دم - سر
4. سر-دم-دم
5. دم - سر - سر
6. دم-سر-دم
7. دم-دم-سر
8. دم-دم-دم

بنابراین، رویدادهای ناسازگار، یک توالی مشخص و از پیش تعیین شده از رویدادها هستند. رویدادهای ناسازگار هستند

اگر بخواهیم تعیین کنیم که احتمال دو (یا چند) رویداد ناسازگار چقدر است، احتمالات این رویدادها را اضافه می کنیم.

باید درک کنید که سقوط سر یا دم دو رویداد مستقل هستند.

اگر بخواهیم تعیین کنیم که احتمال یک دنباله چقدر است (یا هر ترتیب دیگری) از قانون ضرب احتمالات استفاده می کنیم.
احتمال سر در پرتاب اول و در دم دوم و سوم چقدر است؟

اما اگر بخواهیم بدانیم که احتمال به دست آوردن یکی از چندین دنباله چقدر است، مثلاً وقتی سرها دقیقاً یک بار بیفتند، یعنی. گزینه ها و سپس ما باید احتمالات این دنباله ها را اضافه کنیم.

همه گزینه ها برای ما مناسب است.

ما می توانیم با اضافه کردن احتمالات هر دنباله همان چیزی را بدست آوریم:

بنابراین، زمانی که می‌خواهیم احتمالات برخی از توالی‌های ناسازگار از رویدادها را تعیین کنیم، احتمالات را اضافه می‌کنیم.

یک قانون کلی وجود دارد که به شما کمک می کند از سردرگمی در زمان ضرب و زمان جمع جلوگیری کنید:

بیایید به مثالی برگردیم که یک بار سکه را ورق زدیم و می‌خواهیم احتمال یک بار دیدن سرها را بدانیم.
چه اتفاقی خواهد افتاد؟

باید رها شود:
(سرها و دم ها و دم ها) یا (دم ها و سرها و دم ها) یا (دم ها و دم ها و سرها).
بنابراین معلوم می شود:

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 5.

جعبه حاوی مداد است. قرمز، سبز، نارنجی و زرد و سیاه. احتمال بیرون کشیدن مدادهای قرمز یا سبز چقدر است؟

راه حل:

چه اتفاقی خواهد افتاد؟ باید بیرون بکشیم (قرمز یا سبز).

اکنون مشخص است که احتمالات این رویدادها را اضافه می کنیم:

پاسخ:

مثال 6.

تاس ها دو بار ریخته می شوند، شانس کل 8 امتیاز چقدر است؟

راه حل.

چگونه می توانیم امتیاز بگیریم؟

(و) یا (و) یا (و) یا (و) یا (و).

احتمال افتادن از یک (هر) صورت -.

ما احتمال را محاسبه می کنیم:

پاسخ:

تمرین.

فکر می کنم اکنون برای شما روشن شد که چه زمانی باید احتمالات را بشمارید، چه زمانی آنها را جمع کنید و چه زمانی آنها را ضرب کنید. مگه نه؟ کمی تمرین کنیم.

وظایف:

بیایید یک عرشه کارت را در نظر بگیریم که در آن کارت هایی شامل بیل، قلب، 13 چماق و 13 الماس وجود دارد. از تا آس هر کت و شلوار.

1. احتمال ترسیم چماق ها پشت سر هم چقدر است (اولین کارت کشیده شده را دوباره در عرشه قرار می دهیم و آن را به هم می زنیم)؟
2. احتمال کشیدن کارت سیاه (بیل یا چماق) چقدر است؟
3. احتمال کشیدن یک عکس (جک، ملکه، کینگ یا آس) چقدر است؟
4. احتمال کشیدن دو تصویر پشت سر هم چقدر است (اولین کارت کشیده شده را از روی عرشه حذف می کنیم)؟
5. با گرفتن دو کارت، احتمال جمع آوری یک ترکیب - (جک، ملکه یا پادشاه) و یک آس چقدر است. ترتیبی که کارت ها در آن کشیده می شوند مهم نیست.

پاسخ ها:

1. در عرشه، کارت های هر رتبه به این معنی است:
2. رویدادها وابسته هستند، زیرا پس از کشیدن اولین کارت، تعداد کارت ها در عرشه کاهش یافته است (و همچنین تعداد "تصاویر"). مجموع جک‌ها، ملکه‌ها، کینگ‌ها و آس‌ها در ابتدا در عرشه، یعنی احتمال بیرون کشیدن اولین کارت "تصویر":

   از آنجایی که اولین کارت را از روی عرشه حذف می کنیم، به این معنی است که قبلاً یک کارت در عرشه وجود دارد که تصاویر آن وجود دارد. احتمال کشیدن تصویر با کارت دوم:

   از آنجایی که ما به موقعیتی علاقه مندیم که از عرشه می گیریم: "تصویر" و "تصویر" ، پس باید احتمالات را ضرب کنیم:

   پاسخ:

3. پس از کشیدن اولین کارت، تعداد کارت های موجود در عرشه کاهش می یابد، بنابراین ما دو گزینه داریم:
   1) با کارت اول، آس، دوم - جک، ملکه یا پادشاه را خارج می کنیم.
   2) با کارت اول یک جک، ملکه یا پادشاه را بیرون می آوریم، دومی - یک آس. (آس و (جک یا ملکه یا شاه)) یا ((جک یا ملکه یا شاه) و آس). در مورد کاهش تعداد کارت های موجود در عرشه را فراموش نکنید!

اگر خودتان توانستید همه مشکلات را حل کنید، پس شما همکار بزرگی هستید! حالا شما روی مسائل مربوط به نظریه احتمال در امتحان کلیک می کنید!

نظریه احتمالات. سطح متوسط

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. بیایید بگوییم که یک قالب می اندازیم. این چه نوع استخوانی است، می دانید؟ این نام مکعبی است که اعداد در لبه‌های آن وجود دارد. چند چهره، تعداد زیادی: از تا چند؟ قبل از.

بنابراین، ما قالب را می چرخانیم و می خواهیم یا رول کنیم. و به دست ما می افتد.

احتمال می گوید چه اتفاقی افتاده است رویداد مطلوب(با مرفهان اشتباه نشود).

اگر سقوط کند، رویداد نیز مطلوب خواهد بود. در مجموع، تنها دو رویداد مطلوب ممکن است رخ دهد.

و چه تعداد نامطلوب هستند؟ از آنجایی که همه رویدادهای ممکن وجود دارد، به این معنی است که رویدادهای نامطلوب نیز در میان آنها وجود دارد (این در صورتی است که از بین برود یا).

تعریف:

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است... یعنی احتمال نشان می دهد که چه نسبتی از همه رویدادهای ممکن مطلوب است.

احتمال با حرف لاتین (ظاهراً از کلمه انگلیسی probability) نشان داده می شود.

مرسوم است که احتمال را به صورت درصد اندازه گیری می کنند (موضوعات و را ببینید). برای انجام این کار، مقدار احتمال باید ضرب شود. در مثال تاس، احتمال.

و به صورت درصد:.

مثالها (خودتان تصمیم بگیرید):

1. احتمال سر در آوردن هنگام ورق زدن سکه چقدر است؟ احتمال بالا آمدن دم چقدر است؟
2. احتمال چرخاندن عدد زوج روی قالب چقدر است؟ و با کدام - عجیب و غریب؟
3. در یک جعبه مداد، مداد آبی و قرمز. به طور تصادفی یک مداد بکشید. احتمال بیرون کشیدن یک ساده چقدر است؟

راه حل ها:

1. چند گزینه وجود دارد؟ سر و دم فقط دوتا هستند. چه تعداد از آنها مطلوب هستند؟ فقط یکی عقاب است. بنابراین احتمال

   در مورد دم ها هم همینطور است:.

2. مجموع گزینه ها: (مکعب چند ضلع دارد، این همه گزینه مختلف). موارد مطلوب: (اینها همه اعداد زوج هستند :).
   احتمال البته با همین چیزهای عجیب.
3. جمع: . مطلوب:. احتمال: .

احتمال کامل

تمام مدادهای داخل کشو سبز هستند. احتمال بیرون کشیدن مداد قرمز چقدر است؟ هیچ شانسی وجود ندارد: احتمال (پس از همه، رویدادهای مطلوب -).

چنین رویدادی ناممکن است.

احتمال بیرون کشیدن مداد سبز چقدر است؟ دقیقاً به همان اندازه رویدادهای مطلوب وجود دارد که کل رویدادها وجود دارد (همه رویدادها مطلوب هستند). بنابراین، احتمال برابر است با یا.

چنین رویدادی قابل اعتماد نامیده می شود.

اگر در جعبه مدادهای سبز و قرمز وجود داشته باشد، احتمال بیرون کشیدن سبز یا قرمز چقدر است؟ هنوز دوباره. به این نکته توجه کنید: احتمال کشیدن سبز برابر است و قرمز است.

در مجموع، این احتمالات دقیقاً برابر هستند. به این معنا که، مجموع احتمالات همه رویدادهای ممکن برابر است با یا.

مثال:

در یک جعبه مداد، از جمله آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال سبز نشدن چقدر است؟

راه حل:

به یاد داشته باشید که همه احتمالات با هم جمع می شوند. و احتمال کشیدن سبز برابر است با. یعنی احتمال سبز نشدن برابر است با.

این ترفند را به خاطر بسپارید:احتمال رخ ندادن رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

رویدادهای مستقل و قانون ضرب

شما یک سکه را یک بار ورق می زنید و هر دو بار می خواهید سرها بیفتند. احتمال وقوع این اتفاق چقدر است؟

بیایید همه گزینه های ممکن را بررسی کنیم و تعداد آنها را تعیین کنیم:

سر - سر ، سر - سر ، سر - سر ، سر - سر. چه چیز دیگری؟

کل گزینه. از این میان، تنها یکی برای ما مناسب است: Eagle-Eagle. مجموع، احتمال آن است.

خوب و حالا یک بار سکه می اندازیم. خودت حساب کن اتفاق افتاد؟ (پاسخ).

ممکن است متوجه شده باشید که با اضافه شدن هر پرتاب بعدی، این احتمال در زمان کاهش می یابد. قاعده کلی نامیده می شود قانون ضرب:

احتمالات رویدادهای مستقل تغییر می کند.

رویدادهای مستقل چیست؟ همه چیز منطقی است: اینها آنهایی هستند که به یکدیگر وابسته نیستند. به عنوان مثال، وقتی یک سکه را چندین بار پرتاب می کنیم، هر بار یک پرتاب جدید انجام می شود که نتیجه آن به تمام پرتاب های قبلی بستگی ندارد. ما به خوبی می توانیم دو سکه مختلف را همزمان برگردانیم.

نمونه های بیشتر:

1. تاس ها دو بار ریخته می شوند. احتمال اینکه هر دو زمان رول شود چقدر است؟
2. سکه یک بار پرتاب می شود. احتمال اینکه ابتدا سرها و سپس دو بار فرود بیاید چقدر است؟
3. بازیکن دو تاس می اندازد. احتمال مساوی بودن مجموع اعداد روی آنها چقدر است؟

پاسخ ها:

1. رویدادها مستقل هستند، به این معنی که قانون ضرب کار می کند:.
2. احتمال عقاب است. احتمال دم هم هست. ضرب می کنیم:
3. 12 فقط در صورتی بدست می آید که دو -ki رول شوند:.

رویدادهای ناسازگار و قانون جمع

رویدادهای ناسازگار به رویدادهایی گفته می شود که به احتمال کامل یکدیگر را تکمیل می کنند. همانطور که از نام آن پیداست، آنها نمی توانند همزمان اتفاق بیفتند. به عنوان مثال، اگر یک سکه را برگردانیم، می تواند سر یا دم آن بالا بیاید.

مثال.

در یک جعبه مداد، از جمله آبی، قرمز، سبز، ساده، زرد و بقیه نارنجی هستند. احتمال کشیدن سبز یا قرمز چقدر است؟

راه حل .

احتمال بیرون کشیدن مداد سبز است. قرمز - .

رویدادهای مبارک در همه: سبز + قرمز. به این معنی که احتمال بیرون کشیدن سبز یا قرمز برابر است با.

همین احتمال را می توان به صورت زیر نشان داد:.

این قانون اضافه است:احتمال رویدادهای ناسازگار جمع می شود.

مشکلات مختلط

مثال.

سکه دو بار پرتاب می شود. احتمال اینکه نتیجه پرتاب ها متفاوت باشد چقدر است؟

راه حل .

این بدان معناست که اگر ضربه اول سر باشد، ضربه دوم باید دم باشد و بالعکس. معلوم می شود که دو جفت رویداد مستقل وجود دارد و این جفت ها با یکدیگر ناسازگار هستند. چگونه گیج نشویم، کجا ضرب کنیم و کجا اضافه کنیم.

یک قانون ساده برای این مواقع وجود دارد. سعی کنید آنچه را که قرار است اتفاق بیفتد با پیوند دادن رویدادها با AND یا OR توصیف کنید. به عنوان مثال، در این مورد:

باید بالا بیاید (سر و دم) یا (دم و سر).

در جایی که یک ربط "و" وجود دارد، ضرب و در جایی که "یا" - جمع وجود دارد:

خودتان انرا آزمایش کنید:

1. احتمال اینکه یک طرف هر دو بار روی دو پرتاب سکه بیفتد چقدر است؟
2. تاس ها دو بار ریخته می شوند. احتمال اینکه کل امتیاز باشد چقدر است؟

راه حل ها:

1. (سرها افتاد و سرها افتاد) یا (دُم افتاد و دم):.
2. چه گزینه هایی وجود دارد؟ و سپس:
   ترک تحصیل (و) یا (و) یا (و):.

مثالی دیگر:

یک بار سکه می اندازیم. احتمال اینکه سرها حداقل یک بار بیرون بیایند چقدر است؟

راه حل:

آه، چقدر شما نمی خواهید از طریق گزینه های ... سر-دم-دم، سر-سر-دم، ... و انجام ندهید! ما احتمال کامل را به یاد می آوریم. به یاد آورد؟ احتمال اینکه یک عقاب چقدر است حتی یکبار هم حذف نخواهد شد? این ساده است: دم ها همیشه در حال پرواز هستند، بنابراین.

نظریه احتمالات. به طور خلاصه در مورد اصلی

احتمال، نسبت تعداد رویدادهای مطلوب به تعداد همه رویدادهای ممکن است.

رویدادهای مستقل

دو رویداد مستقل هستند اگر در وقوع یکی احتمال وقوع دیگری تغییر نکند.

احتمال کامل

احتمال همه رویدادهای ممکن () است.

احتمال رخ ندادن رویداد برابر با منهای احتمال وقوع آن رویداد است.

قانون ضرب احتمال رویدادهای مستقل

احتمال توالی معینی از رویدادهای مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات هر یک از رویدادها

رویدادهای ناسازگار

رویدادهای ناسازگار به رویدادهایی گفته می شود که در نتیجه آزمایش نمی توانند همزمان اتفاق بیفتند. تعدادی از رویدادهای ناسازگار یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند.

احتمال رویدادهای ناسازگار با هم جمع می شوند.

پس از توصیف آنچه باید اتفاق بیفتد، با استفاده از حروف ربط "AND" یا "OR"، به جای "AND" علامت ضرب و به جای "OR" - جمع قرار می دهیم.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای OGE یا استفاده در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آموزشی "100gia" (reshebnik)، استفاده آزمایشی نامحدود و OGE، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها و سایر خدمات YouClever و 100gia داشته باشید.

احتمال اینکه قطعه مورد نیاز در هیچ جعبه ای نباشد برابر است با:

احتمال جستجو شده است

فرمول احتمال کل

اجازه دهید برخی از رویدادهای A می توانند همراه با یکی از رویدادهای ناسازگاری که کل گروه رویدادها را تشکیل می دهند رخ دهد. اجازه دهید احتمالات این رویدادها و احتمالات مشروط وقوع رویداد A در هنگام وقوع رویداد سلام .

قضیه. احتمال رویداد A که می تواند همراه با یکی از رویدادها رخ دهد، برابر است با مجموع حاصلضرب های زوج احتمالات هر یک از این رویدادها با احتمالات مشروط مربوط به وقوع رویداد A.

در واقع این فرمول احتمال کاملقبلاً در حل مثال های ذکر شده در بالا استفاده شده است، به عنوان مثال، در مسئله یک هفت تیر.

اثبات

زیرا رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، سپس رویداد A را می توان به صورت مجموع زیر نشان داد:

زیرا رویدادها ناسازگار هستند، سپس رویدادها ق مننیز ناسازگار هستند. سپس می‌توانیم قضیه را در مورد جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار اعمال کنیم:

که در آن

در نهایت می‌گیریم:

قضیه ثابت می شود.

مثال.یکی از سه تیرانداز دو تیر شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک برای تیرانداز اول 0.4، برای دوم - 0.6، برای سوم - 0.8 است. احتمال دوبار اصابت به هدف را بیابید.

احتمال شلیک تیرانداز اول، دوم یا سوم برابر است.

احتمال اینکه یکی از تیراندازان دوبار شلیک کند به هدف برخورد کند برابر است:

برای اولین تیرانداز:

برای تیرانداز دوم:

برای تیرانداز سوم:

احتمال مورد نظر این است:

سخنرانی 2.

فرمول بیز (فرمول فرضیه)

اجازه دهید یک گروه کامل از فرضیه های ناسازگار با احتمالات شناخته شده وقوع آنها وجود داشته باشد. اجازه دهید آزمایش منجر به رویداد A شود که احتمالات شرطی آن برای هر یک از فرضیه ها مشخص است، یعنی. احتمالات معلوم است

لازم است مشخص شود که فرضیه ها در مورد رویداد A چه احتمالاتی دارند، یعنی. احتمالات مشروط

قضیه. احتمال یک فرضیه پس از آزمون برابر است با حاصل ضرب احتمال یک فرضیه قبل از آزمون با احتمال مشروط مربوط به رویدادی که در طول آزمایش رخ داده است، تقسیم بر احتمال کل این رویداد.

این فرمول نامیده می شود با فرمول بیزی.

اثبات

با قضیه ضرب احتمال به دست می آوریم:

سپس اگر.

برای یافتن احتمال P (A) از فرمول احتمال کل استفاده می کنیم.

اگر قبل از آزمون، همه فرضیه ها با احتمال یکسان محتمل باشند، فرمول بیز به شکل زیر است:

تکرار تست ها

فرمول برنولی

اگر تعداد معینی آزمایش انجام شود که در نتیجه آن رویداد A ممکن است رخ دهد یا ممکن است رخ ندهد، و احتمال وقوع این رویداد در هر یک از آزمون‌ها به نتایج آزمایش‌های باقی‌مانده بستگی نداشته باشد، این آزمایش‌ها عبارتند از: تماس گرفت مستقل با توجه به رویداد A.

فرض کنید که رویداد A در هر آزمون با احتمال رخ می دهد P (A) = p... بیایید احتمال را تعریف کنیم P t، nکه در نتیجه NSرویداد آزمون A دقیقاً آمد تییک بار.

این احتمال را می‌توان در اصل با استفاده از قضایای جمع و ضرب احتمالات، همانطور که در مثال‌های مطرح شده در بالا انجام شد، محاسبه کرد. با این حال، با تعداد کافی آزمایش، این منجر به محاسبات بسیار بزرگ می شود. بنابراین، توسعه یک رویکرد کلی برای حل مشکل ضروری می شود. این رویکرد در فرمول برنولی پیاده سازی شده است. (یعقوب برنولی (1654 - 1705) - ریاضیدان سوئیسی)

در نتیجه اجازه دهید NSآزمایش‌های مستقلی که تحت شرایط یکسان انجام می‌شوند، رویداد A با احتمال رخ می‌دهد P (A) = p، و رویداد مخالف با احتمال.

نشان می دهیم یک آی- وقوع رویداد A در آزمایشی شماره گذاری شده است من... زیرا شرایط آزمایش ها یکسان است، پس این احتمالات برابر هستند.

اگر در نتیجه NSآزمایشات رویداد A دقیقاً رخ می دهد تیبارها، سپس بقیه p-tهنگامی که این رویداد رخ نمی دهد. ممکن است رویداد A ظاهر شود تییک بار در NSتست ها در ترکیب های مختلف که تعداد آنها برابر است با تعداد ترکیب های از NSعناصر توسط تی... این تعداد ترکیب با فرمول بدست می آید:

احتمال هر ترکیب برابر است با حاصل ضرب احتمالات:

با اعمال قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار، به دست می آوریم فرمول برنولی:

فرمول برنولی از این جهت مهم است که برای هر تعداد تست مستقل معتبر است، یعنی. همان موردی که در آن قوانین نظریه احتمال به وضوح آشکار می شود.

مثال. 5 گلوله به سمت هدف شلیک می شود. احتمال ضربه برای هر شلیک 0.4 است. احتمال اصابت حداقل سه بار به هدف را بیابید.

احتمال حداقل سه ضربه مجموع احتمال پنج ضربه، چهار ضربه و سه ضربه است.

زیرا عکس‌ها مستقل هستند، سپس می‌توانید از فرمول برنولی برای احتمال اینکه در آن استفاده کنید تیرویداد آزمایشی در احتمال آردقیقا میاد NSیک بار.

در صورت پنج ضربه از پنج مورد ممکن:

چهار ضربه از پنج ضربه:

سه مورد از پنج ضربه:

در نهایت، احتمال حداقل سه ضربه از پنج ضربه را بدست می آوریم:

متغیرهای تصادفی.

در بالا، رویدادهای تصادفی در نظر گرفته شد که مشخصه کیفی یک نتیجه تصادفی یک آزمایش است. برای به دست آوردن یک مشخصه کمی، مفهوم متغیر تصادفی معرفی شده است.

تعریف.یک مقدار تصادفیکمیتی نامیده می شود که در نتیجه تجربه می تواند مقداری را به دست آورد و از قبل مشخص است که کدام یک.

متغیرهای تصادفی را می توان به دو دسته تقسیم کرد.

تعریف.متغیر تصادفی گسستهکمیتی است که در نتیجه تجربه می تواند مقادیر معینی را با احتمال معین به خود بگیرد و مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل دهد (مجموعه ای که عناصر آن قابل شماره گذاری هستند).

این مجموعه می تواند هم متناهی و هم نامتناهی باشد.

برای مثال، تعداد شلیک‌ها قبل از اولین ضربه به هدف، یک متغیر تصادفی گسسته است، زیرا این مقدار می تواند تعداد بی نهایت، البته قابل شمارش را به خود بگیرد.

تعریف.متغیر تصادفی پیوستهچنین کمیتی نامیده می شود که بتواند هر مقداری را از یک بازه محدود یا نامتناهی خاص بگیرد.

بدیهی است که تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت است.

برای تنظیم یک متغیر تصادفی، تنها نشان دادن مقدار آن کافی نیست، بلکه باید احتمال این مقدار را نیز مشخص کنید.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.

تعریف. رابطه بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها نامیده می شود قانون توزیع گسستهمتغیر تصادفی

قانون توزیع را می توان به صورت تحلیلی، به صورت جدول یا گرافیکی تنظیم کرد.

جدول مطابقت بین مقادیر یک متغیر تصادفی و احتمالات آنها نامیده می شود نزدیک توزیع.

نمایش گرافیکی این جدول نامیده می شود چند ضلعی توزیعدر این حالت، مجموع همه مختصات چند ضلعی توزیع نشان دهنده احتمال همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی است و بنابراین برابر با یک است.

مثال. 5 گلوله به سمت هدف شلیک می شود. احتمال ضربه برای هر شلیک 0.4 است. احتمالات تعداد ضربه ها را بیابید و چندضلعی توزیع را رسم کنید.

احتمالات پنج ضربه از پنج مورد ممکن، چهار از پنج و سه از پنج در بالا با استفاده از فرمول برنولی یافت شد و به ترتیب برابر است:

به همین ترتیب، در می یابیم:

اجازه دهید وابستگی تعداد بازدیدها را به احتمالات آنها به صورت گرافیکی نشان دهیم.

هنگام ساخت یک چند ضلعی توزیع، باید به خاطر داشت که اتصال نقاط به دست آمده شرطی است. در فواصل بین مقادیر یک متغیر تصادفی، احتمال هیچ مقداری نمی گیرد. نقاط فقط برای وضوح به هم متصل می شوند.

مثال.احتمال حداقل یک ضربه به هدف توسط تیرانداز با سه شلیک 0.875 است. احتمال اصابت به هدف را در یک شلیک بیابید.

اگر اشاره کنیم آرآیا احتمال اصابت یک تیرانداز به هدف با یک شلیک، در این صورت احتمال از دست دادن با یک شلیک آشکارا برابر است با (1 - آر).

احتمال سه ضربه از سه شوت (1 - آر) 3. این احتمال 1 - 0.875 = 0.125 است، یعنی. آنها حتی یک بار هم به هدف نمی خورند.

ما گرفتیم:

مثال.جعبه اول شامل 10 توپ است که 8 توپ سفید است. در جعبه دوم 20 توپ وجود دارد که 4 توپ سفید است. از هر جعبه به طور تصادفی یک توپ و سپس از این دو توپ به طور تصادفی یک توپ گرفته می شود. احتمال سفید بودن این توپ را پیدا کنید.

احتمال اینکه توپ گرفته شده از جعبه اول سفید باشد - سفید نبودن -.

احتمال اینکه توپی که از جعبه دوم گرفته شده سفید باشد - سفید نباشد -

احتمال اینکه توپی که از جعبه اول برداشته شده دوباره انتخاب شود و احتمال اینکه توپی که از جعبه دوم برداشته شده دوباره انتخاب شود 0.5 است.

احتمال اینکه توپ حذف شده از جعبه اول دوباره انتخاب شود و سفید باشد -

احتمال اینکه توپ دوباره از کادر دوم انتخاب شود و سفید باشد -

احتمال انتخاب مجدد توپ سفید وجود دارد

مثال.پنج تفنگ وجود دارد که سه تای آنها مجهز به دوربین تلسکوپی هستند. احتمال برخورد تیرانداز به هدف هنگام شلیک از تفنگ با دید تلسکوپی 0.95 است، برای تفنگ بدون دوربین تلسکوپی این احتمال 0.7 است. اگر تیرانداز از تفنگی که به طور تصادفی انتخاب شده است، یک شلیک شلیک کند، احتمال اصابت به هدف را پیدا کنید.

احتمال انتخاب تفنگ با دید تلسکوپی را نشان می دهیم و احتمال انتخاب تفنگ بدون دید اپتیکی را نشان می دهیم.

این احتمال وجود دارد که شما یک تفنگ با دید تلسکوپی انتخاب کرده اید، و هدف مورد اصابت قرار گرفته است، جایی که R (PC / O) -احتمال اصابت یک هدف از تفنگ با دید تلسکوپی.

به طور مشابه، احتمال انتخاب یک تفنگ بدون دید تلسکوپی و هدف اصابت R (PC / BO) -احتمال اصابت به هدف از تفنگ بدون دید نوری.

احتمال نهایی اصابت به هدف برابر است با مجموع احتمالات R 1و R 2از آنجا که کافی است یکی از این رویدادهای ناسازگار برای اصابت به هدف رخ دهد.

مثال.سه شکارچی به طور همزمان به سمت خرس شلیک کردند که با یک گلوله کشته شد. در صورتی که احتمال ضربه برای این تیراندازها به ترتیب 0.3، 0.4، 0.5 باشد، احتمال کشته شدن خرس توسط تیرانداز اول را تعیین کنید.

در این کار، تعیین احتمال یک فرضیه پس از وقوع رویداد لازم است. برای تعیین احتمال مورد نظر باید از فرمول Bayes استفاده کنید. در مورد ما، به نظر می رسد:

در این فرمول H 1، H 2، H 3- فرضیه کشته شدن خرس به ترتیب توسط تیراندازهای اول، دوم و سوم. قبل از شلیک گلوله ها، این فرضیه ها به یک اندازه محتمل و احتمال آنها برابر است.

P (H 1 / A)- احتمال اینکه تیرانداز اول خرس را کشته باشد، مشروط بر اینکه تیرها قبلا شلیک شده باشد (رویداد A).

احتمال کشتن خرس توسط تیرانداز اول، دوم یا سوم که قبل از شلیک محاسبه می شود، به ترتیب برابر است:

اینجا q 1= 0,7; q 2 = 0,6; س 3= 0.5 - احتمال از دست دادن برای هر یک از تیراندازان، محاسبه شده است q = 1 - p، جایی که آر- احتمال ضربه برای هر یک از تیراندازان.

این مقادیر را با فرمول Bayes جایگزین کنید:

مثال.چهار سیگنال رادیویی به صورت سری ارسال شد. احتمال دریافت هر یک از آنها به دریافت یا عدم دریافت بقیه سیگنال ها بستگی ندارد. احتمال دریافت سیگنال ها به ترتیب 0.2، 0.3، 0.4، 0.5 است. احتمال دریافت سه سیگنال رادیویی را تعیین کنید.

رویداد دریافت سه سیگنال از چهار سیگنال در چهار حالت امکان پذیر است:

برای دریافت سه سیگنال، یکی از رویدادهای A، B، C یا D باید انجام شود بنابراین، احتمال مورد نظر را پیدا می کنیم:

مثال.بیست بلیط امتحان شامل دو سوال است که تکرار نمی شود. ممتحن تنها پاسخ 35 سوال را می داند. اگر پاسخ دادن به دو سوال در یک بلیط یا یک سوال در یک بلیط و سوال اضافی مشخص شده از بلیط دیگر کافی باشد، احتمال قبولی در آزمون را تعیین کنید.

در مجموع 40 سوال (2 سوال در هر 20 بلیط) وجود دارد. احتمال اینکه سوالی وجود داشته باشد که پاسخ آن مشخص است، آشکارا برابر است.

برای قبولی در آزمون، یکی از سه رویداد مورد نیاز است:

1) رویداد A - به سوال اول (احتمال) پاسخ داد و به سوال دوم (احتمال) پاسخ داد. زیرا پس از پاسخ موفقیت آمیز به سوال اول، هنوز 39 سوال باقی مانده است که 34 مورد از آنها مشخص است.

2) رویداد B - به سوال اول پاسخ داده شد (احتمال)، دوم - خیر (احتمال)، سوم - پاسخ داده شد (احتمال).

3) رویداد ج - به سوال اول پاسخ داده نشد (احتمال)، دومی پاسخ داده شد (احتمال)، سومی پاسخ داده شد (احتمال).

احتمال قبولی در آزمون در شرایط داده شده برابر است با:

مثال.دو دسته از قطعات همگن وجود دارد. دسته اول شامل 12 قسمت است که 3 قسمت آن معیوب است. دسته دوم شامل 15 قسمت است که 4 قسمت آن معیوب است. دو قسمت از دسته اول و دوم حذف می شود. احتمال اینکه هیچ قطعه معیوبی در بین آنها نباشد چقدر است.

احتمال معیوب نبودن قسمت اول استخراج شده از دسته اول برابر است، برای قسمت دوم استخراج شده از دسته اول، مشروط بر اینکه قسمت اول معیوب نبوده باشد -.

احتمال معیوب نبودن قسمت اول استخراج شده از دسته دوم برابر است، برای قسمت دوم استخراج شده از دسته دوم به شرطی که قسمت اول معیوب نبوده باشد -.

احتمال عدم وجود قطعات معیوب در بین چهار قسمت بازیابی شده به شرح زیر است:

بیایید همان مثال را در نظر بگیریم، اما با شرایط کمی متفاوت.

مثال.دو دسته از قطعات همگن وجود دارد. دسته اول شامل 12 قسمت است که 3 قسمت آن معیوب است. دسته دوم شامل 15 قسمت است که 4 قسمت آن معیوب است. 5 قسمت به صورت تصادفی از دسته اول و 7 قسمت از دسته دوم گرفته می شود. این قطعات یک دسته جدید را تشکیل می دهند. احتمال بیرون آمدن قطعه معیوب از آنها چقدر است؟

برای اینکه قطعه ای که به صورت تصادفی انتخاب شده معیوب باشد، یکی از دو شرط ناسازگار باید رعایت شود:

1) قطعه انتخاب شده از دسته اول (احتمال -) و در عین حال معیوب بود (احتمال -). سرانجام:

2) قطعه انتخاب شده از دسته دوم (احتمال -) و در عین حال معیوب بود (احتمال -). سرانجام:

در نهایت، ما دریافت می کنیم:.

مثال.کوزه شامل 3 توپ سفید و 5 توپ سیاه است. دو توپ به طور تصادفی از کوزه خارج می شود. این احتمال را پیدا کنید که این توپ ها همرنگ نیستند.

رویدادی که توپ های انتخاب شده با رنگ های مختلف در یکی از این دو مورد رخ می دهد:

1) توپ اول سفید است (احتمال -) و دومی سیاه است (احتمال -).

2) توپ اول سیاه است (احتمال -) و توپ دوم سفید است (احتمال -).

در نهایت می‌گیریم:

توزیع دو جمله ای.

در صورت تولید NSآزمایش‌های مستقل، که در هر یک از آنها رویداد A می‌تواند با احتمال یکسان ظاهر شود آردر هر یک از آزمایش‌ها، احتمال ظاهر نشدن رویداد وجود دارد q = 1 - p.

اجازه دهید تعداد وقوع یک رویداد در هر یک از آزمون ها را به عنوان مقداری تصادفی X در نظر بگیریم.

برای یافتن قانون توزیع برای این متغیر تصادفی، لازم است مقادیر این کمیت و احتمالات آنها تعیین شود.

یافتن مقادیر آسان است. بدیهی است که در نتیجه NSممکن است این رویداد اصلا ظاهر نشود، ممکن است یک بار، دو بار، سه بار و غیره ظاهر شود. قبل از NSیک بار.

احتمال هر مقدار از این متغیر تصادفی را می توان با استفاده از فرمول برنولی پیدا کرد.

این فرمول به صورت تحلیلی قانون توزیع مورد نظر را بیان می کند. این قانون توزیع نامیده می شود دو جمله ای.

مثال.این دسته شامل 10٪ قطعات غیر استاندارد است. 4 قسمت به صورت تصادفی انتخاب شد. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X را بنویسید - تعداد قطعات غیر استاندارد در بین چهار قطعه انتخاب شده و یک چند ضلعی از توزیع حاصل بسازید.

احتمال ظاهر شدن یک قطعه غیر استاندارد در هر مورد 0.1 است.

بیایید احتمالاتی را پیدا کنیم که از بین قسمت های انتخاب شده:

1) به طور کلی، موارد غیر استاندارد وجود ندارد.

2) یکی غیر استاندارد.

3) دو قطعه غیر استاندارد.

4) سه قطعه غیر استاندارد.

5) چهار قطعه غیر استاندارد.

بیایید یک چند ضلعی توزیع بسازیم.

مثال.دو تاس به طور همزمان 2 بار ریخته می شود. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته X را بنویسید - تعداد قطرات یک عدد زوج روی دو تاس.

هر تاس دارای سه نوع امتیاز زوج است - 2، 4 و 6 از شش مورد ممکن، بنابراین احتمال بدست آوردن تعداد امتیاز زوج در یک قالب 0.5 است.

احتمال کسب امتیاز زوج روی دو تاس به طور همزمان 0.25 است.

احتمال اینکه در دو آزمون هر دو بار امتیازات زوج روی هر دو تاس بیفتد برابر است.