(Prvý dostatočný príznak extrému. Známky lokálneho zvýšenia a zníženia funkcie

02.08.2021

Známky lokálneho zvýšenia a zníženia funkcie.

Jednou z hlavných úloh štúdia funkcie je nájsť intervaly jej nárastu a poklesu. Takáto štúdia sa dá ľahko vykonať s derivátom. Sformulujme zodpovedajúce tvrdenia.

Dostatočný znak zvyšujúcej sa funkcie. Ak f '(x)> 0 v každom bode intervalu I, potom funkcia f rastie o I.

Dostatočný znak klesajúcej funkcie. Ak f '(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Dôkaz týchto znakov sa vykonáva na základe Lagrangeovho vzorca (pozri časť 19). Vezmite ľubovoľné dve čísla x 1 a x 2 z intervalu. Nech x 1 existuje číslo s ∈ (x 1, x 2) tak, že

(1)

Číslo c patrí do intervalu I, keďže body x 1 a x 2 patrí do I. Ak f "(x)> 0 pre х∈I, potom f’ (с)> 0, a teda F (x 1 )) - to vyplýva zo vzorca (1), keďže x 2 - x 1 > 0. To dokazuje rast funkcie f na I. Ale ak f '(x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1)> f (x 2 ) - vyplýva zo vzorca (1), keďže x 2 – x 1 > 0. Funkcia f na I klesá.

Vizuálny význam znakov je zrejmý z fyzikálneho uvažovania (kvôli jednoznačnosti zvážte znak nárastu).

Nech bod pohybujúci sa pozdĺž osi v čase t má y = f (t). Potom sa rýchlosť tohto bodu v čase t rovná f"(t) (pozri. Okamžitá rýchlosť ). Ak f ’(t)> 0 v každom časovom okamihu z intervalu t, potom sa bod pohybuje v kladnom smere súradnicovej osi, teda ak t 1 ). To znamená, že funkcia f rastie na intervale I.

Poznámka 1.

Ak je funkcia f spojitá na niektorom z koncov rastúceho (klesajúceho) intervalu, potom je tento bod pripojený k tomuto intervalu.

Poznámka 2.

Na vyriešenie nerovností f "(x)> 0 a f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre existenciu extrému funkcie v bode.

Nevyhnutná podmienka pre extrém

Funkcia g (x) v bode má extrém (maximum alebo minimum), ak je funkcia definovaná v obojstrannom okolí bodu a pre všetky body x nejakej oblasti:, nerovnosť

(v prípade maxima) alebo (v prípade minima).

Extrém funkcie sa zistí z podmienky: ak derivácia existuje, t.j. prirovnáme prvú deriváciu funkcie k nule.

Dostatočný extrémny stav

1) Prvá postačujúca podmienka:

a) f (x) je spojitá funkcia a je definovaná v nejakom okolí bodu tak, že prvá derivácia v tomto bode je nulová alebo neexistuje.

b) f (x) má konečnú deriváciu v okolí špecifikácie a spojitosti funkcie

c) derivácia zachováva určité znamienko napravo od bodu a naľavo od toho istého bodu, potom bod možno charakterizovať takto

Táto podmienka nie je príliš vhodná, pretože musíte skontrolovať veľa podmienok a zapamätať si tabuľku, ale ak sa nič nehovorí o derivátoch vyšších rádov, potom je to jediný spôsob, ako nájsť extrém funkcie.

2) Druhá postačujúca podmienka

Ak má funkcia g (x) druhú deriváciu a v určitom bode je prvá derivácia rovná nule a druhá derivácia je nenulová. Potom pointa funkčný extrém g (x), a ak, potom bod je maximum; ak, tak bod je minimum.

Extrémny bod funkcie je bod v obore funkcie, v ktorom hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.

Definícia... Bod X1 funkčná doména f(X) sa nazýva maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch od nej umiestnených napravo a naľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maximálne.

Definícia... Bod X2 funkčná doména f(X) sa nazýva minimálny bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v dostatočne blízkych bodoch od nej umiestnených vpravo a vľavo od nej (to znamená nerovnosť f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). V tomto prípade sa hovorí, že funkcia má v bode X2 minimálne.

Povedzme bod X1 je maximálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X1 funkcia sa zvyšuje, takže derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X)> 0) a v intervale po X1 funkcia klesá, preto a derivácia funkcie menej ako nula ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1

Predpokladajme tiež, že bod X2 je minimálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X2 funkcia klesá a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcia sa zvyšuje a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X)> 0). V tomto prípade aj v bode X2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.

Fermatova veta (nevyhnutné kritérium pre existenciu extrému funkcie)... Ak bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(X) = 0) alebo neexistuje.

Definícia... Volajú sa body, v ktorých je derivácia funkcie nulová alebo neexistuje kritických bodov .

Príklad 1 Uvažujme o funkcii.

V bode X= 0, derivácia funkcie sa rovná nule, teda bod X= 0 je kritický bod. Ako však vidno na grafe funkcie, zvyšuje sa v celej oblasti definície, teda v bode X= 0 nie je extrémnym bodom tejto funkcie.

Teda podmienky, že derivácia funkcie v bode je rovná nule alebo neexistuje, sú pre extrém nevyhnutnými, ale nie postačujúcimi podmienkami, keďže iné príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá môže byť daný extrém v príslušnom bode. Preto musíte mať dostatočné znamenia, čo umožňuje posúdiť, či v konkrétnom kritickom bode existuje extrém a ktorý z nich je maximum alebo minimum.

Veta (prvé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 f(X), ak derivácia funkcie pri prechode týmto bodom zmení znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom maximálny bod, a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod .

Ak je blízko bodu X0 , naľavo a napravo od neho derivácia zachováva znamienko, to znamená, že funkcia buď iba klesá, alebo rastie len v niektorom okolí bodu X0 ... V tomto prípade v bode X0 neexistuje extrém.

takze na určenie extrémnych bodov funkcie musíte urobiť nasledovné :

Nájdite deriváciu funkcie.
Nastavte deriváciu na nulu a určte kritické body.
Mentálne alebo na papieri označte kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie funkcie v získaných intervaloch. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom kritickým bodom je maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod.
Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.

Príklad 2 Nájdite extrémy funkcie .

Riešenie. Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Nastavme deriváciu na nulu, aby sme našli kritické body:

Pretože pre žiadne hodnoty "x" sa menovateľ nerovná nule, potom prirovnáme čitateľa k nule:

Mám jeden bod zlomu X= 3. Určme znamienko derivácie v intervaloch ohraničených týmto bodom:

v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,

v rozsahu od 3 do plus nekonečno - znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.

Teda pointa X= 3 je minimálny bod.

Nájdite hodnotu funkcie v minimálnom bode:

Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0) a je to minimálny bod.

Veta (druhé postačujúce kritérium pre existenciu extrému funkcie). Kritický bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X) ak druhá derivácia funkcie v tomto bode nie je nula ( f ""(X) ≠ 0), a ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(X)> 0), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.

Poznámka 1. Ak v bode X0 prvý aj druhý derivát zaniknú, potom v tomto bode nie je možné posudzovať prítomnosť extrému na základe druhého dostatočného kritéria. V tomto prípade je potrebné použiť prvý dostatočný indikátor extrému funkcie.

Poznámka 2. Druhé postačujúce kritérium pre extrém funkcie je tiež neaplikovateľné, ak prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (vtedy neexistuje ani druhá derivácia). V tomto prípade je potrebné použiť aj prvý dostatočný ukazovateľ extrému funkcie.

Lokálny charakter extrému funkcie

Z uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter - ide o najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami.

Predpokladajme, že sa pozeráte na svoje zárobky za obdobie jedného roka. Ak ste zarobili 45 000 rubľov v máji a 42 000 rubľov v apríli a 39 000 rubľov v júni, potom sú májové zárobky maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s najbližšími hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl-máj-jún je menšie ako minimum september-október-november.

Všeobecne povedané, funkcia môže mať niekoľko extrémov na intervale a môže sa ukázať, že akékoľvek minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Takže pre funkciu znázornenú na obrázku vyššie.

To znamená, že by sme si nemali myslieť, že maximum a minimum funkcie sú jej najväčšie a najmenšie hodnoty v celom uvažovanom intervale. V maximálnom bode má funkcia najväčšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k maximálnemu bodu, a v minimálnom bode - najmenšiu hodnotu iba v porovnaní s hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k minimálnemu bodu.

Preto je možné spresniť vyššie uvedený koncept extrémnych bodov funkcie a nazvať minimálne body ako lokálne minimálne body a maximálne body ako lokálne maximálne body.

Spoločne hľadáme extrémy funkcie

Príklad 3

Riešenie: Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. Jeho derivát existuje aj na celom číselnom rade. Preto sú v tomto prípade kritické len tie, pri ktorých, t.j. , odkiaľ a. Kritické body a rozdeľte celý definičný obor funkcie na tri intervaly monotónnosti:. Vyberme si jeden kontrolný bod v každom z nich a nájdime v tomto bode znamienko derivácie.

Pre interval môže byť kontrolný bod: nájsť. Ak vezmeme bod v intervale, dostaneme, a vezmeme bod v intervale, dostaneme. Takže v intervaloch a, a v intervale. Podľa prvého dostatočného kritéria pre extrém neexistuje extrém v bode (keďže derivácia si zachováva svoje znamienko v intervale) a v bode má funkcia minimum (keďže derivácia pri prechode mení znamienko z mínusu na plus cez tento bod). Nájdite zodpovedajúce hodnoty funkcie:, a. V intervale funkcia klesá, ako v tomto intervale, a rastie v intervale, ako v tomto intervale.

Pre objasnenie konštrukcie grafu nájdeme body jeho priesečníka so súradnicovými osami. Získame rovnicu, ktorej korene a teda dva body (0; 0) a (4; 0) grafu funkcie nájdeme. Pomocou všetkých získaných informácií zostavíme graf (pozri na začiatku príkladu).

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .

Príklad 4 Nájdite extrémy funkcie a vytvorte jej graf.

Definičný obor funkcie je celý číselný rad, okrem bodu, t.j. ...

Na skrátenie výskumu môžete využiť skutočnosť, že táto funkcia je párna, od r ... Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oj a prieskum je možné vykonať len pre interval.

Nájdite derivát a kritické body funkcie:

1) ;

2) ,

ale funkcia sa v tomto bode zlomí, takže to nemôže byť extrémny bod.

Daná funkcia má teda dva kritické body: a. Berúc do úvahy paritu funkcie, skontrolujme iba bod druhým postačujúcim kritériom extrému. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú deriváciu a definujte jeho znamienko na: dostaneme. Od a, potom je minimálny bod funkcie, pričom .

Aby sme získali úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hraniciach oblasti definície:

(tu symbol označuje túžbu X na nulu vpravo a X zostáva pozitívny; rovnako znamená ašpiráciu X na nulu vľavo a X zostáva negatívny). Teda ak, tak. Ďalej zisťujeme

tie. Ak potom.

Graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.

Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .

Pokračujeme spolu v hľadaní extrémov funkcie

Príklad 8. Nájdite extrémy funkcie.

Riešenie. Poďme nájsť doménu funkcie. Keďže nerovnosť musí byť splnená, získame z.

Poďme nájsť prvú deriváciu funkcie.

Na nájdenie maxima a minima funkcie môžete použiť ktorýkoľvek z troch dostatočných znakov extrému. Aj keď najbežnejší a najpohodlnejší je prvý.

Prvá postačujúca podmienka pre extrém.

Nechajte funkciu y = f (x) diferencovateľné v -okolí bodu a spojité v samotnom bode. Potom

Inými slovami:

Algoritmus.

Nájdite doménu funkcie.

Nájdite deriváciu funkcie na definičnom obore.

Určte nuly v čitateli, nuly v menovateli derivácie a body v obore, kde derivácia neexistuje (tieto body sa nazývajú body možného extrému pri prechode cez tieto body môže derivácia len zmeniť svoje znamienko).

Tieto body rozdeľujú definičný obor funkcie na intervaly, v ktorých si derivácia zachováva svoje znamienko. Určíme znamienka derivácie na každom z intervalov (napríklad vypočítame hodnotu derivácie funkcie v ľubovoľnom bode určitého intervalu).

Vyberáme body, v ktorých je funkcia spojitá a pri prechode cez ktoré derivácia mení znamienko.

Príklad. Nájdite extrémy funkcie.
Riešenie.
Definičný obor funkcie je celá množina reálnych čísel okrem x = 2.
Nájdite derivát:

Nuly v čitateli sú bodky x = -1 a x = 5, menovateľ zaniká pri x = 2... Tieto body označíme na číselnej osi

Určujeme znamienka derivácie v každom intervale, preto vypočítame hodnotu derivácie v ktoromkoľvek z bodov každého intervalu, napríklad v bodoch x = -2, x = 0, x = 3 a x = 6.

Preto je derivácia na intervale kladná (na obrázku nad tento interval vložíme znamienko plus). Podobne

Preto dáme mínus nad druhý interval, mínus nad tretí a plus nad štvrtý.

Zostáva vybrať body, v ktorých je funkcia spojitá a jej derivácia mení znamienko. Toto sú extrémne body.
V bode x = -1 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z plus na mínus, teda podľa prvého znamienka extrému, x = -1- maximálny bod, zodpovedá maximu funkcie.
V bode x = 5 funkcia je spojitá a derivácia mení znamienko z mínus na plus, preto x = -1- minimálny bod, zodpovedá minimu funkcie.
Grafické znázornenie.

odpoveď: .

Druhý dostatočný ukazovateľ extrému funkcie.
nechaj byť,

ak, potom - minimálny bod;

ak, tak - maximálny bod.

Ako vidíte, táto funkcia vyžaduje existenciu derivátu aspoň do druhého rádu v určitom bode.
Príklad. Nájdite extrémy funkcie.
Riešenie.
Začnime rozsahom:

Rozlišujme pôvodnú funkciu:

Derivát zaniká pri x = 1, teda ide o bod možného extrému.
Nájdite druhú deriváciu funkcie a vypočítajte jej hodnotu pri x = 1:

Preto druhou postačujúcou podmienkou pre extrém, x = 1 je maximálny bod. Potom - maximum funkcie.
Grafické znázornenie.

odpoveď: .
Tretí dostatočný ukazovateľ extrému funkcie.
Nechajte funkciu y = f (x) má deriváty až n-tý rád v -okolí bodu a derivácie až n + 1-tého rádu v samotnom bode. Nechajte a.
potom

Koniec práce -

Táto téma patrí do sekcie:

Algebra a analytická geometria. Pojem matice, operácie s maticami a ich vlastnosti

Pojem maticové operácie s maticami a ich vlastnosti .. matica je obdĺžniková tabuľka zložená z čísel, ktoré nemôžu byť .. a sčítanie matíc je elementárna operácia ..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze prác:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak sa tento materiál ukázal byť pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

Všetky témy v tejto sekcii:

Definícia diferencovateľnosti
Operácia hľadania derivácie sa nazýva funkčná diferenciácia. Funkcia sa v určitom bode nazýva diferencovateľná, ak má v tomto bode konečnú deriváciu a

Diferenciačné pravidlo
Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Geometrický význam derivátu. Tangentová rovnica
Uhol sklonu priamky y = kx + b je uhol meraný od polohy

Geometrický význam derivácie funkcie v bode
Uvažujme reznú čiaru AB grafu funkcie y = f (x) takú, že body A a B majú súradnice, resp.

Riešenie
Funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Keďže (-1; -3) je bod kontaktu, potom

Nevyhnutné podmienky pre extrém a dostatočné podmienky pre extrém
Stanovenie rastúcej funkcie. Funkcia y = f (x) narastá na intervale X, ak pre nejaký existuje

Podmienky monotónnosti a stálosti funkcie
Podmienka pre (neobmedzenú) monotónnosť funkcie na intervale. Nech má funkcia deriváciu v každom

Definícia primitívneho derivátu
Primitívna derivácia funkcie f (x) na intervale (a; b) je funkcia F (x) taká, že rovnosť

Vyšetrenie
Aby sme skontrolovali výsledok, diferencujeme výsledný výraz: V dôsledku toho získajte

Primitívny súčin súčinu konštanty a funkcie sa rovná súčinu konštanty a súčinu funkcie.
Postačujúcou podmienkou pre existenciu primitívnej funkcie pre funkciu zadanú na intervale je

Definícia
Nech je to definované na

Geometrický význam
Určitý integrál sa numericky rovná ploche obrazca ohraničenej osou x, rovnými čiarami

Vlastnosti určitého integrálu
Základné vlastnosti určitého integrálu. Vlastnosť 1. Derivácia určitého integrálu vzhľadom na hornú hranicu sa rovná integrandu, do ktorého sa namiesto premennej integruje

Newtonov-Leibnizov vzorec (s dôkazom)
Newtonov-Leibnizov vzorec. Nech je funkcia y = f (x) spojitá na intervale a F (x) je jednou z primitívnych derivácií funkcie na tomto intervale, potom platí, že

Ak chcete preskúmať správanie funkcie, musíte:

2) Prirovnajte túto deriváciu k nule a vyriešte výslednú rovnicu
Jeho korene
sú stacionárne body.

3) Stacionárne body podrobte dodatočnému výskumu, pre ktorý ich zakreslia na číselnú os a určia znamienka
na výsledných úsekoch. Keď poznáte tieto znaky, môžete určiť povahu každého stacionárneho bodu ... Ak pri prechode stacionárnym bodom derivácia
zmení znamienko z plus na mínus, potom je pevný bod maximálnym bodom. Ak sa pri prechode stacionárnym bodom znamienko derivácie zmení z mínus na plus, potom je stacionárny bod minimálnym bodom. Ak pri prechode stacionárnym bodom derivácia
nezmení znamienko, potom stacionárny bod nie je extrémnym bodom.

Niekedy sa pri hľadaní extrému používajú iné postačujúce podmienky, pri ktorých charakter bodu extrému určuje znamienko druhej derivácie v stacionárnom bode.

Veta (druhá postačujúca podmienka existencie extrému) .Let --- stacionárny bod funkcie (teda
a má druhú deriváciu súvislý v susedstve bodu .Potom

1) ak
, potom --- maximálny bod funkcie ;

2) ak
, potom --- minimálny bod funkcie.

Príklad 3. Nájdite extrém funkcie.

Riešenie. Pokiaľ ide o
periodická funkcia s bodkou
, stačí uvažovať len interval od 0 do
... Nájsť
a
:

,
.

Zrovnoprávnenie
na nulu nájdeme stacionárne body:

alebo
... Medzi
táto rovnica má dva korene:
a
... Definujme znamenie
v týchto bodoch:
, teda
--- maximálny bod:

, teda
--- minimálny bod.

Vyšetrovanie funkcií pre konvexnosť a konkávnosť. Inflexné body

Uvažujme v rovine krivku Г, ktorá je grafom diferencovateľnej funkcie
.

Definícia 1... Krivka sa nazýva konvexná nahor (konvexná) na (a, b), ak na tomto intervale neležia všetky body krivky vyššie ako ktorákoľvek z jej dotyčníc.

Definícia 2. Krivka sa nazýva konvexná nadol (konkávna) na
ak na tomto intervale nie sú všetky body krivky nižšie ako ktorákoľvek z jej dotyčníc.

Smer konvexnosti krivky je dôležitou charakteristikou jej tvaru. Stanovme znamienka, ktorými sú určené intervaly, v ktorých je graf funkcie konvexný (konkávny). Takýmto znamienkom je napríklad znamienko druhej derivácie funkcie
(ak existuje).

Veta 1.
druhá derivácia funkcie je záporná, potom krivka
je v tomto intervale konvexná smerom nahor.

Veta 2. Ak vo všetkých bodoch intervalu
druhá derivácia funkcie
je kladná, potom krivka
v tomto intervale je konkávny (konvexný smerom nadol).

Príklad 1. Nájdite intervaly konvexnosti-konkávnosti funkcie

Riešenie. o

teda funkcia pre tieto konvexné; pri

, teda pre tieto funkcia je konkávna.

Definícia 3... Bod, ktorý oddeľuje konvexnú časť krivky od konkávnej časti, sa nazýva inflexný bod.

Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica, ak existuje, pretína krivku, pretože na jednej strane tohto bodu krivka leží pod dotyčnicou a na druhej strane nad ňou.

Veta 3. (Nevyhnutná inflexná podmienka). Ak existuje inflexný bod
a má druhú deriváciu
potom
.

Z toho vyplýva, že je potrebné kontrolovať inflexiu iba tých bodov, v ktorých je druhá derivácia rovná nule alebo neexistuje.

Veta 4. Ak pri prechode cez bod druhá derivácia
zmení znamienko, potom bod krivky
s úsečkou existuje inflexný bod.

Príklad 2: Nájdite inflexné body krivky
.

Riešenie. Rozsah platných hodnôt:
.

Nájdite deriváty:

;
.

Druhá derivácia nezmizne nikde, ale pri
neexistuje.

Poďme definovať znaky
vľavo a vpravo od bodu
:

pri
, teda na intervale
funkcia je konkávna;

pri
, teda na intervale
funkcia je konvexná.

Teda pre
existuje inflexný bod
.

Zavolá sa funkcia y = f (x). zvyšujúci sa (zmenšovanie) v nejakom intervale, ak pre x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f (x 2)).

Ak diferencovateľná funkcia y = f (x) rastie (klesá) na intervale, potom jej derivácia na tomto intervale f "(x)> 0

(f "(x)< 0).

Bod x asi volal bod miestneho maxima (minimálne) funkcie f (x), ak existuje okolie bodu x asi, pre všetky body, ktorých nerovnosť f (x) ≤ f (x о) (f (x) ≥ f (x о)) platí.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.

Nevyhnutné podmienky pre extrém... Ak bod x asi je extrémny bod funkcie f (x), potom buď f "(x о) = 0, alebo f (x о) neexistuje. Takéto body sa nazývajú kritický navyše samotná funkcia je definovaná v kritickom bode. Medzi jej kritickými bodmi treba hľadať extrémy funkcie.

Prvá postačujúca podmienka. Nechať byť x asi- kritický bod. Ak f "(x) pri prechode cez bod x asi zmení znamienko plus na mínus a potom na bod x asi funkcia má maximum, inak má minimum. Ak derivácia nemení znamienko pri prechode cez kritický bod, tak v bode x asi neexistuje extrém.

Druhá postačujúca podmienka. Nech funkcia f (x) má deriváciu
f "(x) v blízkosti bodu x asi a druhá derivácia v samotnom bode x asi... Ak f "(x о) = 0,> 0 (<0), то точка x asi je bod lokálneho minima (maxima) funkcie f (x). Ak = 0, potom buď použite prvú dostatočnú podmienku, alebo použite vyššie derivácie.

Na segmente môže funkcia y = f (x) dosiahnuť najmenšiu alebo najväčšiu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.

Skúmanie podmienok a stavebných grafov.

Nájdite doménu funkcie

Nájdite priesečníky grafu so súradnicovými osami

Nájdite intervaly znamienka stálosti

Preskúmajte rovnosť, nepárnosť

Nájdite asymptoty grafu funkcie

Nájdite intervaly monotónnosti funkcie

Nájdite extrémy funkcie

Nájdite intervaly vydutia a inflexné body

Asymptoty grafov funkcií. Všeobecná schéma výskumu a vykresľovania funkčných grafov. Príklady.

Vertikálne

Vertikálna asymptota je priamka tvaru za predpokladu, že existuje limit .

Pri určovaní vertikálnych asymptot spravidla nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych strán. Napríklad:

Poznámka: Dávajte pozor na znamienka nekonečna v týchto rovnosti.

[upraviť] Horizontálne

Horizontálna asymptota je priamka tvaru pod podmienkou existencie limity

[upraviť] Šikmé

Šikmá asymptota je priamka tvaru pod podmienkou existencie limity

Príklad šikmej asymptoty

Poznámka: funkcia môže mať najviac dve šikmé (horizontálne) asymptoty!

Poznámka: Ak aspoň jedna z dvoch limitov neexistuje (alebo sa rovná), potom šikmá asymptota v (alebo) neexistuje!

Vzťah medzi šikmými a horizontálnymi asymptotami

Ak, pri výpočte limitu , potom je zrejmé, že šikmá asymptota sa zhoduje s horizontálnou. Aký je vzťah medzi týmito dvoma typmi asymptot?

Fakt, že vodorovná asymptota je špeciálny prípad šikmého pri , a z vyššie uvedených poznámok vyplýva, že

1. Funkcia má buď len jednu šikmú asymptotu, alebo jednu zvislú asymptotu, alebo jednu šikmú a jednu zvislú, alebo dve šikmé, alebo dve zvislé, alebo nemá vôbec žiadne asymptoty.

2. Existencia asymptot uvedených v bode 1.) priamo súvisí s existenciou zodpovedajúcich limitov.