ความเข้มของสนามไฟฟ้าสถิต การเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีประจุในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ

หัวข้อ 7.3 งานที่ทำโดยแรงของสนามไฟฟ้าเมื่อเคลื่อนที่ประจุ ศักยภาพ.ความต่างศักย์ แรงดันไฟ ความสัมพันธ์ระหว่างแรงตึงและความต่างศักย์

การทำงานของแรงไฟฟ้าเมื่อเคลื่อนที่ประจุ q ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอให้เราคำนวณงานเมื่อเคลื่อนที่ประจุไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอด้วยความเข้ม อีหากประจุเคลื่อนไปตามเส้นความแรงของสนามในระยะ ∆ d = d 1 -d2(รูปที่ 134) แล้วงานจะเท่ากับ

A \u003d เฟ (d 1 - ง2) = qE(d 1 - d 2),ที่ไหน d1และ d2- ระยะทางจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดไปยังจาน ใน.

ปล่อยให้ชาร์จ qอยู่ที่จุด ในสนามไฟฟ้าที่เป็นเนื้อเดียวกัน

จากหลักสูตรของกลศาสตร์ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่างานมีค่าเท่ากับผลคูณของแรงและการกระจัดและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น การทำงานของแรงไฟฟ้าเมื่อเคลื่อนที่ประจุไฟฟ้า qอย่างแน่นอน จากเป็นเส้นตรง ดวงอาทิตย์จะแสดงออกมาดังนี้

เพราะ ดวงอาทิตย์ cosα = บีดีแล้วเราจะได้สิ่งนั้น และ BC = qE·BD

การทำงานของภาคสนามบังคับเมื่อเคลื่อนย้ายประจุ qให้ชี้ C ตลอดทาง BDCเท่ากับผลรวมของงานบนเซกเมนต์ BDและ กระแสตรง,เหล่านั้น.

เนื่องจาก cos 90° = 0 การทำงานของแรงภาคสนามในพื้นที่ กระแสตรงเท่ากับศูนย์ นั่นเป็นเหตุผลที่

.

เพราะเหตุนี้:

ก) เมื่อประจุเคลื่อนไปตามเส้นความแรงของสนามแล้วตั้งฉากกับมัน แรงสนามจะทำงานก็ต่อเมื่อประจุเคลื่อนไปตามเส้นความแรงของสนามเท่านั้น

b) ในสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอ การทำงานของแรงไฟฟ้าไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของวิถี

c) การทำงานของแรงของสนามไฟฟ้าตามแนววิถีปิดจะเท่ากับศูนย์เสมอ

สนามที่มีศักยภาพสนามที่งานไม่ขึ้นกับรูปทรงของวิถีเรียกว่า ศักยภาพ.ตัวอย่างของสนามศักย์เช่นสนามโน้มถ่วงและสนามไฟฟ้า

พลังงานประจุที่อาจเกิดขึ้น

เมื่อประจุเคลื่อนเข้าสู่สนามไฟฟ้าจากจุดหนึ่ง 1, ศักยภาพของพลังงานอยู่ที่ไหน ว 1 ,ไปยังจุดที่ 2 โดยที่พลังงานมีค่าเท่ากับ W2,จากนั้นการทำงานของกองกำลังภาคสนาม:

A 12= W 1- W2= - (W1- น้ำหนัก)= -ΔW21(8.19)

โดยที่ ΔW 21 \u003d W 2- W tหมายถึง การเพิ่มขึ้นของพลังงานศักย์ของประจุในขณะที่เคลื่อนที่จากจุดที่ 1 ไปจุดที่ 2

พลังงานศักย์ของประจุตั้งอยู่ที่จุดใด ๆ ของสนามจะเป็นตัวเลขเท่ากับงานที่ทำโดยกองกำลังเมื่อย้ายประจุที่กำหนดจากไตนี้ไปยังอนันต์

ศักย์สนามไฟฟ้าสถิต -ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของพลังงานศักย์ของประจุไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าต่อประจุ เขามีพลังลักษณะของสนามไฟฟ้า ณ จุดที่กำหนด . ศักย์ไฟฟ้าวัดโดยพลังงานศักย์ของประจุบวกตัวเดียวซึ่งอยู่ที่จุดที่กำหนดในสนามกับค่าของประจุนี้

แต่)เครื่องหมายของศักย์จะถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของประจุที่สร้างสนาม ดังนั้นศักยภาพของสนามของประจุบวกจะลดลงตามระยะห่างจากมัน และศักยภาพของสนามของประจุลบจะเพิ่มขึ้น

b) เนื่องจากศักย์ไฟฟ้าเป็นปริมาณสเกลาร์ เมื่อฟิลด์ถูกสร้างขึ้นด้วยประจุจำนวนมาก ศักยภาพ ณ จุดใดๆ ในฟิลด์จะเท่ากับผลรวมเชิงพีชคณิตของศักย์ไฟฟ้าที่สร้างขึ้น ณ จุดนั้นโดยประจุแต่ละตัวแยกกัน

ความแตกต่างที่อาจเกิดขึ้น การทำงานของกองกำลังภาคสนามสามารถแสดงออกได้โดยใช้ความต่างศักย์ ความต่างศักย์ Δφ \u003d (φ 1 - φ 2) ไม่มีอะไรมากไปกว่าแรงดันไฟฟ้าระหว่างจุด 1 และ 2 จึงแสดงว่า ยู 12 .

1 โวลต์- นี้ แรงดันดังกล่าว (ความต่างศักย์) ระหว่างจุดสองจุดของสนามซึ่งเคลื่อนที่ประจุใน 1 cl จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ภาคสนามทำงานใน 1 เจ

พื้นผิวที่เท่ากันทุกจุดของสนามที่อยู่ห่างจากประจุ q r 1 ศักย์ไฟฟ้า φ 1 จะเท่ากัน จุดเหล่านี้ทั้งหมดอยู่บนพื้นผิวของทรงกลม อธิบายโดยรัศมี r 1 จากจุดที่จุดประจุ q ตั้งอยู่

พื้นผิวซึ่งทุกจุดมีศักยภาพเท่ากัน เรียกว่า ศักย์ศักย์เท่ากัน.

พื้นผิวศักย์ไฟฟ้าของสนามจุดประจุไฟฟ้าเป็นทรงกลมซึ่งอยู่ตรงกลางของประจุ (รูปที่ 136)

พื้นผิวศักย์เท่ากันของสนามไฟฟ้าที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระนาบตั้งฉากกับเส้นแรงตึง (รูปที่ 137)

เมื่อประจุเคลื่อนไปตามพื้นผิวนี้ จะไม่มีการดำเนินการใดๆ

เส้นความแรงของสนามไฟฟ้าเป็นเรื่องปกติสำหรับพื้นผิวที่มีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่างานภาคสนามจะบังคับเมื่อประจุเคลื่อนไปตามพื้นผิวศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์

ความสัมพันธ์ระหว่างความแรงของสนามกับแรงดันความเข้มของสนามที่เป็นเนื้อเดียวกันมีค่าเท่ากับความต่างศักย์ต่อความยาวหน่วยของเส้นความเข้ม:

หัวข้อ 7.4 ตัวนำในสนามไฟฟ้า ไดอิเล็กทริกในสนามไฟฟ้า โพลาไรเซชันของไดอิเล็กทริกการกระจายประจุในตัวนำที่นำเข้าสู่สนามไฟฟ้า การป้องกันไฟฟ้าสถิต เอฟเฟกต์เพียโซอิเล็กทริก

ตัวนำสารนำไฟฟ้าได้ดี พวกเขามักจะมีผู้ให้บริการชาร์จจำนวนมากเช่น อิเล็กตรอนหรือไอออนอิสระ ภายในตัวนำ ตัวพาประจุเหล่านี้จะเคลื่อนที่แบบสุ่ม .

หากวางตัวนำ (แผ่นโลหะ) ไว้ในสนามไฟฟ้าจากนั้นภายใต้การกระทำของสนามไฟฟ้าอิเล็กตรอนอิสระจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางของแรงไฟฟ้า อันเป็นผลมาจากการกระจัดของอิเล็กตรอนภายใต้การกระทำของกองกำลังเหล่านี้ ประจุบวกส่วนเกินเกิดขึ้นที่ปลายด้านขวาของตัวนำ และอิเล็กตรอนส่วนเกินที่ปลายด้านซ้ายจึงเป็นสนามภายใน (สนามประจุไฟฟ้าเคลื่อนที่) ) เกิดขึ้นระหว่างปลายตัวนำซึ่งหันเข้าหาสนามภายนอก การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนภายใต้อิทธิพลของสนามจะเกิดขึ้นจนกว่าสนามภายในตัวนำจะหายไปอย่างสมบูรณ์

การปรากฏตัวของประจุไฟฟ้าฟรีในตัวนำสามารถตรวจพบได้ในการทดลองต่อไปนี้ ติดตั้งท่อโลหะที่ส่วนปลาย โดยการเชื่อมต่อท่อกับแกนของอิเล็กโตรมิเตอร์กับตัวนำ เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าท่อไม่มีประจุไฟฟ้า

ตอนนี้เราทำให้แท่งอีโบไนต์ใช้ไฟฟ้าแล้วนำไปที่ปลายด้านหนึ่งของท่อ (รูปที่ 138) ท่อเปิดปลายโดยถูกดึงดูดไปยังไม้เรียวที่มีประจุ ดังนั้น ที่ปลายท่อซึ่งอยู่ใกล้กับแท่งไม้อีโบไนต์ ประจุไฟฟ้าจึงปรากฏขึ้น ตรงข้ามกับเครื่องหมายประจุของแท่งไม้

การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิตเมื่อตัวนำเข้าสู่สนามไฟฟ้า ตัวนำนั้นจะถูกจ่ายไฟเพื่อให้มีประจุบวกเกิดขึ้นที่ปลายด้านหนึ่ง และประจุลบที่มีขนาดเท่ากันที่ปลายอีกด้านหนึ่ง กระแสไฟฟ้านี้เรียกว่า การเหนี่ยวนำไฟฟ้าสถิต

ก) หากนำตัวนำดังกล่าวออกจากสนาม ประจุบวกและประจุลบจะกระจายอย่างสม่ำเสมออีกครั้งทั่วทั้งปริมาตรของตัวนำ และชิ้นส่วนทั้งหมดจะกลายเป็นกลางทางไฟฟ้า

b) หากตัวนำดังกล่าวถูกตัดออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งจะมีประจุบวก และอีกส่วนเป็นลบ

เมื่อประจุของตัวนำอยู่ในสภาวะสมดุล (เมื่อตัวนำถูกทำให้เป็นไฟฟ้า)ศักยภาพของจุดทั้งหมดเท่ากัน และไม่มีสนามในตัวนำ และศักยภาพของทุกจุดของตัวนำก็เหมือนกัน (ทั้งด้านในและบนพื้นผิว) ในเวลาเดียวกัน สนามด้านนอกตัวนำไฟฟ้านั้นมีอยู่ และเส้นของความตึงเครียดนั้นปกติ (ตั้งฉาก) กับพื้นผิวของตัวนำ เพราะเหตุนี้, เมื่อประจุบนตัวนำอยู่ในสภาวะสมดุล พื้นผิวของมันคือพื้นผิวที่มีศักย์ไฟฟ้าเท่ากัน

ให้เราสาธิตความเป็นไปได้ของทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss โดยใช้ตัวอย่างต่างๆ

สนามของระนาบที่มีประจุสม่ำเสมอเป็นอนันต์

ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวบนระนาบใดก็ได้ที่มีพื้นที่ S ถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ dq คือประจุที่มีความเข้มข้นบนพื้นที่ dS dS เป็นพื้นที่ผิวขนาดเล็กอนันต์

ให้ σ เท่ากันทุกจุดของระนาบ S ประจุ q เป็นบวก แรงตึงทุกจุดจะมีทิศทางตั้งฉากกับระนาบ ส(รูปที่ 2.11).

เห็นได้ชัดว่า ที่จุดสมมาตรที่สัมพันธ์กับระนาบ ความตึงจะมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม

ลองนึกภาพทรงกระบอกที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตั้งฉากกับระนาบและฐาน Δ ส, ตั้งอยู่อย่างสมมาตรเทียบกับระนาบ (รูปที่ 2.12)

	ข้าว. 2.11	ข้าว. 2.12

เราใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss การไหล F E ผ่านด้านข้างของพื้นผิวของกระบอกสูบเป็นศูนย์เพราะ สำหรับฐานของกระบอกสูบ

การไหลทั้งหมดผ่านพื้นผิวปิด (ทรงกระบอก) จะเท่ากับ:

มีประจุอยู่ภายในพื้นผิว ดังนั้น จากทฤษฎีบท Ostrogradsky–Gauss เราได้รับ:

;

จะเห็นได้ว่าความแรงสนามของระนาบ S เท่ากับ:

(2.5.1)

ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของกระบอกสูบ ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าระยะทางใดจากเครื่องบิน

สนามของเครื่องบินสองลำที่มีประจุเท่ากัน

ให้ระนาบอนันต์สองระนาบมีประจุตรงข้ามกันที่มีความหนาแน่นเท่ากัน σ (รูปที่ 2.13)

ฟิลด์ผลลัพธ์ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นถูกพบว่าเป็นการทับซ้อนของฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยเครื่องบินแต่ละลำ

แล้ว ภายในเครื่องบิน

(2.5.2)

ออกจากเครื่องบินความแรงของสนาม

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นยังใช้ได้กับระนาบที่มีมิติ จำกัด หากระยะห่างระหว่างระนาบนั้นน้อยกว่าขนาดเชิงเส้นของระนาบ (ตัวเก็บประจุแบบแบน)

ระหว่างแผ่นเปลือกโลกของตัวเก็บประจุทำหน้าที่ดึงดูดซึ่งกันและกัน (ต่อหน่วยพื้นที่ของแผ่นเปลือกโลก):

โดยที่ S คือพื้นที่ของแผ่นตัวเก็บประจุ เพราะ , แล้ว

.

(2.5.5)

นี่คือสูตรคำนวณแรงของ Pondermotor

สนามของทรงกระบอกยาวอนันต์ (ด้าย)

ให้สนามถูกสร้างขึ้นโดยพื้นผิวทรงกระบอกอนันต์ของรัศมี R ซึ่งมีประจุด้วยความหนาแน่นเชิงเส้นคงที่ โดยที่ dq คือประจุที่กระจุกตัวอยู่ที่ส่วนของทรงกระบอก (รูปที่ 2.14)

จากการพิจารณาความสมมาตร E ที่จุดใดๆ จะถูกชี้ไปตามรัศมี ซึ่งตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก

ลองนึกภาพรอบทรงกระบอก (ด้าย) โคแอกเซียลพื้นผิวปิด ( กระบอกภายในกระบอก) รัศมี rและความยาว ล. (ฐานของกระบอกสูบตั้งฉากกับแกน) สำหรับฐานทรงกระบอกสำหรับพื้นผิวด้านข้างเช่น ขึ้นอยู่กับระยะทาง ร.

ดังนั้นฟลักซ์เวกเตอร์ผ่านพื้นผิวที่พิจารณาจึงเท่ากับ

เมื่อจะมีประจุบนพื้นผิว ตามทฤษฎีบทออสโตรกราดสกี-เกาส์ ดังนั้น

.

(2.5.6)

ถ้า ตั้งแต่ ไม่มีค่าใช้จ่ายภายในพื้นผิวปิด (รูปที่ 2.15)

หากรัศมีของทรงกระบอก R ลดลง (ที่ ) ก็สามารถหาสนามที่มีความแข็งแรงสูงมากได้ใกล้กับพื้นผิวและที่ , สามารถรับไส้หลอดได้

สนามของกระบอกสูบโคแอกเซียลสองกระบอกที่มีความหนาแน่นเชิงเส้นเท่ากัน λ แต่มีเครื่องหมายต่างกัน

จะไม่มีสนามในกระบอกที่เล็กกว่าและนอกกระบอกที่ใหญ่กว่า (รูปที่ 2.16)

ในช่องว่างระหว่างกระบอกสูบ ฟิลด์จะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับในกรณีก่อนหน้า:

สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทรงกระบอกที่มีความยาวไม่จำกัด และสำหรับทรงกระบอกที่มีความยาวจำกัด หากช่องว่างระหว่างกระบอกสูบนั้นน้อยกว่าความยาวของกระบอกสูบมาก (ตัวเก็บประจุทรงกระบอก)

สนามของทรงกลมกลวงที่มีประจุ

ลูกบอลกลวง (หรือทรงกลม) รัศมี R ถูกประจุด้วยประจุบวกที่มีความหนาแน่นของพื้นผิว σ สนามในกรณีนี้จะสมมาตรจากศูนย์กลาง - ณ จุดใดก็ตามที่ผ่านศูนย์กลางของลูกบอล และเส้นแรงตั้งฉากกับพื้นผิว ณ จุดใดก็ได้ ลองนึกภาพรอบๆ ลูกบอล - ทรงกลมรัศมี r (รูปที่ 2.17)

ในการคำนวณฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยประจุที่มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอบนพื้นผิวทรงกลม ทรงกระบอก หรือแบน จะใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss (ส่วนที่ 2.2)

วิธีการคำนวณเขตข้อมูลโดยใช้ทฤษฎีบท

Ostrogradsky - เกาส์.

1) เราเลือกพื้นผิวปิดโดยพลการซึ่งล้อมรอบร่างกายที่มีประจุ

2) เราคำนวณการไหลของเวกเตอร์ความตึงผ่านพื้นผิวนี้

3) เราคำนวณค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวนี้

4) เราแทนที่ปริมาณที่คำนวณได้ลงในทฤษฎีบทเกาส์และแสดงความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต

ตัวอย่างการคำนวณบางสาขา

สนามของทรงกระบอกอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ (เกลียว).

ให้ทรงกระบอกอนันต์มีรัศมี R มีประจุสม่ำเสมอด้วยความหนาแน่นประจุเชิงเส้น + τ (รูปที่ 16).

จากการพิจารณาความสมมาตรว่าเส้นความแรงของสนาม ณ จุดใดๆ จะถูกชี้ไปตามเส้นรัศมีที่ตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก

ในฐานะที่เป็นพื้นผิวปิด เราเลือกทรงกระบอกโคแอกเชียลที่มีรัศมีรัศมีที่กำหนด (ที่มีแกนสมมาตรร่วมกัน) r และส่วนสูง ℓ .

คำนวณการไหลของเวกเตอร์ ผ่านพื้นผิวนี้

,

ที่ไหน ส หลัก , ส ด้านข้างคือ พื้นที่ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

การไหลของเวกเตอร์ความเค้นผ่านพื้นที่ฐานเท่ากับศูนย์ ดังนั้น

ค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวที่เลือก:

.

แทนที่ทุกอย่างลงในทฤษฎีบทเกาส์โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่า ε = 1 เราได้รับ:

.

ความเข้มของสนามไฟฟ้าสถิตที่สร้างขึ้นโดยทรงกระบอกที่มีประจุสม่ำเสมอยาวเป็นอนันต์หรือเกลียวที่มีประจุสม่ำเสมอยาวเป็นอนันต์ที่จุดที่อยู่ด้านนอก:

, (2.5)

ที่ไหน r - ระยะทาง ปิดแกน ทรงกระบอกไปยังจุดที่กำหนด ( r ≥ R );

τ - ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น .

ถ้า r < R ดังนั้นพื้นผิวปิดที่พิจารณาจึงไม่มีประจุภายในดังนั้นในภูมิภาคนี้ อี = 0 กล่าวคือ ภายในกระบอกสูบไม่มีสนาม .

สนามของระนาบอนันต์ที่มีประจุสม่ำเสมอ

พี ระนาบอนันต์ถูกประจุด้วยความหนาแน่นของพื้นผิวคงที่ + σ .

ในพื้นผิวปิด เราเลือกทรงกระบอก ฐานซึ่งขนานกับระนาบที่มีประจุ และแกนตั้งฉากกับมัน (รูปที่ 17) เนื่องจากเส้นที่สร้างพื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบขนานกับเส้นแรงตึง การไหลของเวกเตอร์ความตึงผ่านพื้นผิวด้านข้างจึงเป็นศูนย์ การไหลของเวกเตอร์ความตึงผ่านสองพื้นที่ของฐาน

.

ค่าใช้จ่ายทั้งหมดที่ครอบคลุมโดยพื้นผิวที่เลือก:

.

แทนที่ทุกอย่างลงในทฤษฎีบทเกาส์ เราจะได้:

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบที่มีประจุเป็นอนันต์

. (2.6)

จากสูตรนี้ว่า อี ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของกระบอกสูบ กล่าวคือ ความแรงของสนามจะเท่ากันทุกจุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง สนามของเครื่องบินที่มีประจุสม่ำเสมอ เป็นเนื้อเดียวกัน

สนามคู่ขนานอนันต์

เครื่องบินที่มีประจุตรงข้าม

พี ปากของเครื่องบินมีประจุเท่ากันโดยมีความหนาแน่นของพื้นผิวเท่ากัน + σ และ - σ (รูปที่ 18).

ตามหลักการทับซ้อน

.

ดังจะเห็นได้จากรูปว่าในพื้นที่ระหว่างระนาบเส้นแรงเป็นแนวร่วมจึงทำให้เกิดแรงตึง

. (2.7)

นอกปริมาตรที่ล้อมรอบด้วยระนาบ สนามที่เพิ่มเข้ามามีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นความแรงที่ได้จึงเป็นศูนย์

ดังนั้นสนามจึงกระจุกตัวระหว่างระนาบ ผลลัพธ์ที่ได้นั้นใช้ได้โดยประมาณสำหรับระนาบที่มีขนาดจำกัด หากระยะห่างระหว่างระนาบนั้นน้อยกว่าพื้นที่ของพวกมันมาก (ตัวเก็บประจุแบบแบน)

หากมีการกระจายประจุของเครื่องหมายเดียวกันที่มีความหนาแน่นของพื้นผิวเท่ากันบนระนาบ แสดงว่าไม่มีสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลก และนอกแผ่นเปลือกโลก จะถูกคำนวณโดยสูตร (2.7)

ความแรงของสนาม

ทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ

สนามที่เกิดจากพื้นผิวทรงกลมรัศมี R , ประจุด้วยความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว σ จะเป็นสมมาตรจากศูนย์กลาง ดังนั้นเส้นของความตึงเครียดจะถูกชี้นำตามรัศมีของทรงกลม (รูปที่ 19, a)

เป็นพื้นผิวปิด เราเลือกทรงกลมรัศมี r มีศูนย์กลางร่วมกับทรงกลมที่มีประจุ

ถ้า r > R จากนั้นประจุทั้งหมดจะเข้าสู่พื้นผิว คิว .

การไหลของเวกเตอร์ความเข้มผ่านพื้นผิวของทรงกลม

แทนที่นิพจน์นี้ลงในทฤษฎีบทเกาส์ เราจะได้:

.

ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่อยู่นอกทรงกลมที่มีประจุสม่ำเสมอ:

, (2.8)

ที่ไหน r - ระยะทาง จากศูนย์กลาง ทรงกลม

นี่แสดงให้เห็นว่าสนามนั้นเหมือนกันกับสนามที่มีประจุจุดที่มีขนาดเท่ากันซึ่งวางไว้ที่กึ่งกลางของทรงกลม

ถ้า r < R ดังนั้นพื้นผิวที่ปิดจึงไม่มีประจุอยู่ภายใน ไม่มีสนามในทรงกลมที่มีประจุ (รูปที่ 19, ข).

ปริมาตรความแรงของสนาม

ลูกบอลชาร์จ

พี รัศมีลูกปาก R ประจุด้วยความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตรคงที่ ρ .

สนามในกรณีนี้มีความสมมาตรตรงกลาง สำหรับความแรงของสนามนอกทรงกลม จะได้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับกรณีของทรงกลมที่มีประจุที่พื้นผิว (2.8)

สำหรับแต้มในบอล ความตึงจะต่างกัน (รูปที่ 20) พื้นผิวทรงกลมครอบคลุมประจุ

ดังนั้นตามทฤษฎีบทเกาส์

ระบุว่า
, เราได้รับ:

ความเข้มของสนามไฟฟ้าสถิตภายในลูกบอลที่มีประจุเชิงปริมาตร

(r ≤ R ). (2.9)

.

งาน 2.3 . ในสนามของระนาบยาวอนันต์ที่มีความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว σ มวลก้อนเล็กห้อยลงมาจากด้าย ม ซึ่งมีประจุเป็นเครื่องหมายเดียวกับเครื่องบิน หาการพุ่งเข้าของลูกบอลถ้าเกลียวทำมุมกับแนวตั้ง α

สารละลาย. ให้เรากลับไปที่การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 1.4 ความแตกต่างคือในปัญหา 1.4 แรง
คำนวณตามกฎของคูลอมบ์ (1.2) และในปัญหาที่ 2.3 - จากคำจำกัดความของความแรงของสนามไฟฟ้าสถิต (2.1)
. ความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบที่มีประจุเป็นอนันต์นั้นได้มาจากการใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss (2.4)

พี สนามของเครื่องบินเป็นเนื้อเดียวกันและไม่ขึ้นกับระยะห่างจากเครื่องบิน จากรูป 21:

.

 บันทึก ในการหาแรงที่กระทำต่อประจุที่วางอยู่ในสนามประจุแบบกระจาย จำเป็นต้องใช้สูตร

,

และความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยการกระจายประจุหลายตัวนั้นพบได้จากหลักการทับซ้อน ดังนั้น งานต่อไปนี้จึงทุ่มเทให้กับการค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของประจุแบบกระจายโดยใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss

งาน 2.4. นำหน้าความแรงของสนามภายในและภายนอกแผ่นความหนาที่มีประจุสม่ำเสมอ d , ปริมาตรประจุความหนาแน่นภายในจาน ρ . พล็อตกราฟพึ่งพา อี (X ).

สารละลาย. เราวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่ระนาบกลางของจานและแกน โอ้ตั้งฉากกับมันโดยตรง (รูปที่ 22, a) เราใช้ทฤษฎีบท Ostrogradsky-Gauss เพื่อคำนวณความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตของระนาบอนันต์ที่มีประจุแล้ว

.

จากนิยามความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร

,

จากนั้นสำหรับความตึงเครียดที่เราได้รับ

.

นี่แสดงว่าสนามภายในจานขึ้นอยู่กับ X . สนามนอกแผ่นคำนวณในทำนองเดียวกัน:

แสดงว่าสนามนอกเพลทมีความสม่ำเสมอ กราฟการพึ่งพาความตึงเครียด อี จาก X ในรูป 22ข.

งาน 2.5. สนามถูกสร้างขึ้นโดยเส้นใยยาวอนันต์สองเส้นที่มีประจุด้วยความหนาแน่นของประจุเชิงเส้น – τ 1 และ + τ 2 . เธรดตั้งฉากกัน (รูปที่ 23) หาความแรงของสนามที่จุดระยะไกล r 1 และ r 2 จากกระทู้

R สารละลาย. ให้เราแสดงในรูปความแรงของฟิลด์ที่สร้างโดยแต่ละเธรดแยกกัน เวกเตอร์ กำกับ ถึง เกลียวแรกเนื่องจากมีประจุลบ เวกเตอร์ กำกับ จาก เกลียวที่สองเนื่องจากมีประจุบวก เวกเตอร์ และ ตั้งฉากกัน ดังนั้นผลลัพธ์เวกเตอร์ จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก โมดูลเวกเตอร์ และ ถูกกำหนดโดยสูตร (2.5)

ตามหลักการทับซ้อน

.

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

งาน 2.6 . สนามถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกสูบโคแอกเซียลกลวงยาวอนันต์สองกระบอกที่มีรัศมี R 1 และ R 2 > R 1 . ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวคือ – σ 1 และ + σ 2 . ค้นหาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่จุดต่อไปนี้:

ก) จุด แต่ อยู่ห่างๆ d 1 < R 1 ;

b) จุด ใน อยู่ห่างๆ R 1 < d 2 < R 2 ;

ค) จุด จาก อยู่ห่างๆ d 3 > R 1 > R 2 .

ระยะทางวัดจากแกนของกระบอกสูบ

สารละลาย. กระบอกสูบโคแอกเซียลคือกระบอกสูบที่มีแกนสมมาตรร่วมกัน มาวาดรูปและแสดงคะแนนกันเถอะ (รูปที่ 24)

อี แต่ = 0.

จุด ใน ซึ่งอยู่ภายในกระบอกสูบที่ใหญ่กว่า ดังนั้น ณ จุดนี้ ฟิลด์ถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกที่เล็กกว่าเท่านั้น:

.

ให้เราแสดงความหนาแน่นประจุเชิงเส้นในแง่ของความหนาแน่นประจุที่พื้นผิว ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตร (1.4) และ (1.5) ซึ่งเราแสดงค่าใช้จ่าย:

เท่ากับด้านขวาและรับ:

,

ที่ไหน ส 1 คือ พื้นที่ผิวของทรงกระบอกแรก

โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่า
, ในที่สุดเราก็ได้:

จุด จาก อยู่ด้านนอกของกระบอกสูบทั้งสอง ดังนั้นสนามจึงถูกสร้างขึ้นโดยกระบอกสูบทั้งสอง ตามหลักการของการทับซ้อน:

.

โดยคำนึงถึงทิศทางและการคำนวณที่ได้รับข้างต้น เราได้รับ:

.

งาน 2.7 . สนามนี้ถูกสร้างขึ้นโดยระนาบคู่ขนานที่มีความยาวไม่จำกัดจำนวนสองลำ ความหนาแน่นของประจุที่พื้นผิวคือ σ 1 และ σ 2 > σ 1 . หาความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตที่จุดที่อยู่ระหว่างแผ่นเปลือกโลกและนอกแผ่น แก้ปัญหาสองกรณี:

ก) แผ่นเปลือกโลกมีชื่อเดียวกัน

b) เพลตมีประจุตรงข้าม

สารละลาย. ในรูปแบบเวกเตอร์ ความแรงของสนามผลลัพธ์จะถูกเขียนในลักษณะเดียวกันในทุกกรณี ตามหลักการของการทับซ้อน:

.

โมดูลเวกเตอร์ และ คำนวณโดยสูตร (2.6)

ก) หากเครื่องบินถูกตั้งข้อหาด้วยชื่อเดียวกัน ระหว่างระนาบของความตึงเครียด พวกมันจะถูกชี้นำในทิศทางที่ต่างกัน (รูปที่ 26, a) โมดูลัสของความตึงเครียดที่เกิดขึ้น

เหนือระนาบแห่งความตึงเครียด และ มุ่งไปในทิศทางเดียว เนื่องจากสนามของระนาบประจุอนันต์นั้นเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับระยะห่างจากเครื่องบิน ดังนั้น ณ จุดใด ๆ ทั้งทางซ้ายและทางขวาของระนาบ สนามจะเหมือนกัน:

.

b) หากเครื่องบินมีประจุต่างกัน ในทางกลับกัน ระหว่างระนาบของความตึงเครียด พวกมันจะถูกชี้ไปในทิศทางเดียว (รูปที่ 26, b) และนอกเครื่องบิน - ในทิศทางที่ต่างกัน

Zhidkevich V. I. สนามไฟฟ้าของเครื่องบิน // ฟิสิกส์: ปัญหาการจัดวาง. - 2552. - ลำดับที่ 6 - ส. 19-23.

ปัญหาในไฟฟ้าสถิตสามารถแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: ปัญหาเกี่ยวกับประจุแบบจุดและปัญหาเกี่ยวกับวัตถุที่มีประจุซึ่งขนาดที่ไม่สามารถละเลยได้

การแก้ปัญหาการคำนวณสนามไฟฟ้าและปฏิกิริยาของประจุจุดนั้นขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้กฎของคูลอมบ์และไม่ก่อให้เกิดปัญหาใด ๆ เป็นพิเศษ ยากกว่าคือการกำหนดความแรงของสนามและปฏิสัมพันธ์ของวัตถุที่มีประจุในมิติ จำกัด : ทรงกลม, ทรงกระบอก, เครื่องบิน เมื่อคำนวณความแรงของสนามไฟฟ้าสถิตในการกำหนดค่าต่างๆ เราควรเน้นถึงความสำคัญของหลักการซ้อนทับกัน และใช้เมื่อพิจารณาสนามที่สร้างขึ้น ไม่เพียงแต่ประจุแบบจุดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงประจุที่กระจายไปทั่วพื้นผิวและปริมาตรด้วย เมื่อพิจารณาการกระทำของสนามที่มีประจุ สูตร F=qE โดยทั่วไปแล้ว จะใช้ได้กับวัตถุที่มีประจุแบบมีจุด และเฉพาะในสนามที่สม่ำเสมอเท่านั้นที่ใช้ได้กับวัตถุขนาดและรูปร่างใดๆ ที่มีประจุถาม

สนามไฟฟ้าของตัวเก็บประจุได้มาจากการวางซ้อนสองสนามที่สร้างขึ้นโดยแต่ละแผ่น

ในตัวเก็บประจุแบบแบนหนึ่งแผ่นถือได้ว่าเป็นตัวเครื่องที่มีประจุคิว 1วางไว้ในสนามไฟฟ้าแห่งความแข็งแกร่งอี2, สร้างโดยจานอื่น

ลองพิจารณางานหลายอย่าง

1. ระนาบอนันต์ประจุด้วยความหนาแน่นของพื้นผิว σ >0. ค้นหาความแรงของสนาม อีและศักยภาพ ϕ ทั้งสองด้านของระนาบ โดยสมมติให้ศักย์ของระนาบเป็นศูนย์ พล็อตขึ้นอยู่กับ พล็อตอดีต), ϕ (X). แกน x ตั้งฉากกับระนาบ จุด x=0 อยู่บนระนาบ

สารละลาย. สนามไฟฟ้าของระนาบอนันต์มีความสม่ำเสมอและสมมาตรเมื่อเทียบกับระนาบ ของเขาความตึงเครียด ความสัมพันธ์ระหว่าง ความเข้มและความต่างศักย์ระหว่างจุดสองจุดของสนามไฟฟ้าสถิตที่เป็นเนื้อเดียวกันแสดงโดยสูตรที่ไหน x - ระยะห่างระหว่างจุด วัดตามเส้นแรงแล้ว ϕ 2 = ϕ 1 -อดีต. ที่ x<0 при х>0 การพึ่งพาอาศัย Е(х) และ ϕ (x) แสดงในรูปที่ 1

2. แผ่นบางขนานระนาบสองแผ่นซึ่งอยู่ห่างกันเล็กน้อย d จากกันและกันมีประจุสม่ำเสมอด้วยประจุของความหนาแน่นของพื้นผิวσ 1 และ σ 2. ค้นหาจุดแข็งของสนามที่จุดที่อยู่ระหว่างแผ่นเปลือกโลกและด้านนอก พล็อตการพึ่งพาความตึงเครียด E(x) และศักยภาพ ϕ (x), การนับ ϕ (0)=0. พิจารณากรณีที่: ก)σ 1 \u003d-σ 2; ข) σ 1 = σ 2; c) σ 1 \u003d 3 σ 2 -

สารละลาย.เนื่องจากระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลกมีน้อย จึงถือได้ว่าเป็นระนาบอนันต์

ความแรงสนามของระนาบที่มีประจุบวกคือและกำกับ จากเธอ; ความแรงของสนามของเครื่องบินที่มีประจุลบพุ่งเข้าหาเครื่องบิน

ตามหลักการของการซ้อนทับ สนาม ณ จุดใด ๆ ที่พิจารณาจะถูกสร้างขึ้นโดยแต่ละประจุแยกกัน

ก) สนามของระนาบสองระนาบที่มีประจุเท่ากันและตรงข้ามกัน (ตัวเก็บประจุแบบแบน) รวมกันในพื้นที่ระหว่างระนาบและตัดกันที่บริเวณด้านนอก (รูปที่ 2,แต่).

ที่ X<0 อี= 0, ϕ =0; ที่ 0 d E= 0, กราฟ การพึ่งพาความตึงเครียดและศักยภาพในระยะทาง X แสดงในรูปที่ 2ข, ค.

หากระนาบมีขนาดจำกัด สนามระหว่างระนาบจะไม่เท่ากัน และสนามนอกเครื่องบินจะไม่เป็นศูนย์อย่างแน่นอน

ข) ทุ่งนาของเครื่องบินที่มีประจุเท่ากับขนาดและเครื่องหมาย (σ1 = σ2 ) ชดเชยซึ่งกันและกันในช่องว่างระหว่างระนาบและรวมกันในส่วนนอก (รูปที่ 3,แต่). ที่ x<0 при 0d

การใช้แผนภูมิอดีต) (รูปที่ 3, b) เราสร้างกราฟการพึ่งพาเชิงคุณภาพ ϕ (x) (รูปที่ 3, c).

c) ถ้า σ 1 = σ 2 จากนั้นเมื่อพิจารณาทิศทางของทุ่งและเลือกทิศทางไปทางขวาเป็นบวกเราพบว่า:

การพึ่งพาความตึงเครียด E กับระยะทางแสดงในรูปที่ 4

3. บนจานหนึ่งของตัวเก็บประจุแบบแบนที่มีความจุจาก มีค่าใช้จ่ายคิว 1=+3qและอีกด้านหนึ่ง q2 =+ ถาม กำหนดความต่างศักย์ระหว่างเพลตของตัวเก็บประจุ

สารละลาย.วิธีที่ 1 ให้พื้นที่ของแผ่นตัวเก็บประจุเอส, และระยะห่างระหว่างกันง. สนามภายในตัวเก็บประจุมีความสม่ำเสมอ ดังนั้นความต่างศักย์ (แรงดัน) ของตัวเก็บประจุจึงสามารถกำหนดได้โดยสูตร U=E*d โดยที่ E คือ ความแรงของสนามภายในตัวเก็บประจุ

โดยที่ E 1, E 2 - ความแรงของสนามที่สร้างขึ้นโดยแผ่นตัวเก็บประจุ

แล้ว

วิธีที่ 2 เพิ่มค่าใช้จ่ายในแต่ละจานจากนั้นแผ่นจะถูกควบแน่น satora จะมีค่าใช้จ่าย + qและ -q สนามที่มีประจุเหมือนกันของเพลตภายในตัวเก็บประจุจะตัดกัน ประจุที่เพิ่มเข้ามาไม่ได้เปลี่ยนสนามระหว่างแผ่นเปลือกโลก และด้วยเหตุนี้ความต่างศักย์จึงเกิดขึ้นโดยคอนเดนเซอร์ ยู= q/C .

4. แผ่นโลหะบาง ๆ ที่มีประจุ + ถูกนำเข้าไปในช่องว่างระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุแบบแบนที่ไม่มีประจุ q. กำหนดความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุ

สารละลาย.เนื่องจากตัวเก็บประจุไม่มีประจุ สนามไฟฟ้าจึงถูกสร้างขึ้นโดยเพลตที่มีประจุเท่านั้น q (รูปที่ 5). สนามนี้มีความสม่ำเสมอสมมาตรเมื่อเทียบกับจานและความเข้มให้ศักยภาพของแผ่นโลหะเป็น ϕ . แล้วศักยภาพของแผ่นเปลือกโลก แต่และใน ตัวเก็บประจุจะเท่ากัน ϕ- ϕ อา = ϕ เอล 1 ; ϕ อา = ϕ-เอล 1 ; ϕ- ϕ บี = ϕ-El 2 ; ϕ บี = ϕ-El 2 .

ความต่างศักย์ระหว่างแผ่นตัวเก็บประจุหากเพลตอยู่ห่างจากเพลตตัวเก็บประจุเท่ากัน ความต่างศักย์ระหว่างเพลตจะเป็นศูนย์

5. ให้กลายเป็นสนามไฟฟ้าที่มีกำลังแรงสม่ำเสมออี 0 แผ่นโลหะที่มีประจุถูกวางในแนวตั้งฉากกับเส้นแรงที่มีความหนาแน่นประจุบนพื้นผิวของแต่ละด้านของแผ่น σ (รูปที่ 6) กำหนดความแรงของสนาม อี"ภายในและภายนอกแผ่นและพื้นผิวประจุความหนาแน่นσ 1 และ σ 2 ซึ่งจะปรากฏที่ด้านซ้ายและด้านขวาของจาน

สารละลาย.สนามภายในเพลทเป็นศูนย์และเป็นการทับซ้อนของสามฟิลด์: สนามภายนอกอี 0, สนามที่สร้างโดยประจุทางด้านซ้ายของเพลท และสนามที่เกิดจากประจุที่ด้านขวาของเพลท เพราะเหตุนี้,โดยที่ σ 1 และ σ 2 - ความหนาแน่นประจุที่พื้นผิวด้านซ้ายและด้านขวาของเพลต ซึ่งเกิดขึ้นหลังจากนำเพลตเข้าสู่สนามอี 0 . ค่าใช้จ่ายทั้งหมดของจานจะไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นσ 1 + σ 2 =2 σ ดังนั้น σ 1 = σ- ε 0 อี 0 , σ 2 = σ + ε 0 อี 0 . สนามนอกเพลทเป็นการทับซ้อนของสนามอี 0 และทุ่งของแท่นชาร์จ อี. ด้านซ้ายของจาน ทางด้านขวาของจาน

6. ในตัวเก็บประจุแบบอากาศแบน ความแรงของสนามคือ E \u003d 10 4 V / m ระยะห่างระหว่างแผ่นเปลือกโลก d= 2 ซม. จะมีความต่างศักย์เท่าใดถ้าแผ่นโลหะมีความหนาd0\u003d 0.5 ซม. (รูปที่ 7)?

สารละลาย.เนื่องจากสนามไฟฟ้าระหว่างแผ่นเปลือกโลกมีความสม่ำเสมอ ดังนั้น U=เอ็ด, U=200 V.

หากแผ่นโลหะถูกทำเครื่องหมายระหว่างเพลต จะได้ระบบของตัวเก็บประจุที่เชื่อมต่อแบบอนุกรมสองตัวโดยมีระยะห่างระหว่างเพลตd1และ d2 ความจุของตัวเก็บประจุเหล่านี้ความจุทั้งหมดของพวกเขา

เนื่องจากตัวเก็บประจุถูกตัดการเชื่อมต่อจากแหล่งจ่ายกระแสไฟ ประจุของตัวเก็บประจุจึงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อนำแผ่นโลหะมาใช้: q"=CU=C"U 1 ; ความจุอยู่ที่ไหน ชุบก่อนนำแผ่นโลหะเข้าไป เราได้รับ:

ยู 1= 150 โวลต์

7. บนจานแต่ และ C ซึ่งอยู่ขนานกันในระยะทาง d= ห่างกัน 8 ซม. รักษาศักยภาพ ฟาย 1= 60 V และ ฟาย 2 =- 60 V ตามลำดับ วางจานดินไว้ระหว่างพวกเขา D ที่ระยะห่าง d 1 = 2 ซม. จากจาน A ความแรงของสนามมีการเปลี่ยนแปลงในส่วน AD และซีดี? พล็อตขึ้นอยู่กับ พล็อต ϕ (x) และ E(x)