UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA ESTATAL DE OMSK
SUCURSAL OmSPU en TARA
BBK Publicado por decisión de la editorial y editorial
22я73 sectores de la sucursal de OmSPU en la ciudad de Tara
HR67
Las recomendaciones están destinadas a estudiantes de universidades pedagógicas que cursen la disciplina "Álgebra y teoría de números". En el marco de esta disciplina, de acuerdo con la norma estatal, en el 6º semestre se estudia el apartado "Sistemas numéricos". Estas recomendaciones presentan material sobre la construcción axiomática de sistemas números naturales(Sistema de axiomas de Peano), sistemas de números enteros y números racionales. Esta axiomática permite una comprensión más profunda de lo que es un número, que es uno de los conceptos básicos de un curso de matemáticas escolar. Para una mejor asimilación del material, se dan tareas sobre los temas relevantes. Al final de las recomendaciones hay respuestas, instrucciones, soluciones a problemas.
Revisor: Ph.D., prof. Dalinger V.A.
(c) Mozhan N.N.
Firmado para imprimir - 22.10.98
Papel de periódico
Circulación 100 copias.
Método de impresión operativo
Universidad Pedagógica Estatal de Omsk, 644099, Omsk, nab. Tukhachevsky, 14 años
sucursal, 644500, Tara, st. Escuela, 69
1. NÚMEROS NATURALES.
En la construcción axiomática de un sistema de números naturales, consideraremos el concepto de conjunto, relaciones, funciones y otros conceptos de la teoría de conjuntos como conocidos.
1.1 El sistema de axiomas de Peano y las consecuencias más simples.
Los conceptos iniciales en la teoría axiomática de Peano son el conjunto N (que llamaremos el conjunto de números naturales), el número especial cero (0) de él, y la relación binaria "sigue" en N, denotado por S (a) ( o un ().
AXIOMAS:
1. ((a (N) a "(0 (Hay un número natural 0 que no sigue a ningún número).
2. a = b (a "= b" (Para cada número natural a hay un número natural subsiguiente a "y, además, solo uno).
3. a "= b" (a = b (Cada número natural sigue como máximo a un número).
4. (axioma de inducción) Si el conjunto M (N y M satisface dos condiciones:
A) 0 (M;
B) ((a (N) a (M ® a "(M, entonces M = N.
En terminología funcional, esto significa que el mapeo S: N®N es inyectivo. El axioma 1 implica que el mapeo S: N®N no es sobreyectivo. El axioma 4 es la base para probar declaraciones "por el método de inducción matemática".
Observemos algunas propiedades de los números naturales que se derivan directamente de los axiomas.
Propiedad 1. Cada número natural a (0 sigue a uno y solo a un número.
Prueba. Sea M el conjunto de números naturales que contienen cero y todos esos números naturales, cada uno de los cuales sigue a algún número. Basta mostrar que M = N, la unicidad se sigue del Axioma 3. Aplicar el axioma de inducción 4:
A) 0 (M - por la construcción del conjunto M;
B) si a (M, entonces a "(M, porque a" sigue a a.
Por tanto, en virtud del axioma 4, M = N.
Propiedad 2. Si a (b, entonces a "(b".
La propiedad se prueba por contradicción, usando el axioma 3. La siguiente propiedad 3 se prueba de manera similar, usando el axioma 2.
Propiedad 3. Si a "(b", entonces a (b.
Propiedad 4. ((a (N) a (a ". (Ningún número natural se sigue a sí mismo).
Prueba. Sea M = (x (x (N, x (x "). Es suficiente mostrar que M = N. Dado que por Axioma 1 ((x (N) x" (0, en particular, 0 "(0, y por lo tanto, la condición A) del axioma 4 0 (M - se satisface. Si x (M, es decir, x (x "), entonces por la propiedad 2 x" ((x ")", lo que significa que la condición B) x (M ® x "(M. Pero entonces, según el axioma 4, M = N.
Sea (una propiedad de los números naturales. El hecho de que el número a tenga la propiedad (, escribiremos ((a).
Tarea 1.1.1. Demuestre que el axioma 4 de la definición del conjunto de números naturales es equivalente al siguiente enunciado: para cualquier propiedad (, si ((0) y, entonces.
Tarea 1.1.2. En el conjunto de tres elementos A = (a, b, c), la operación unaria (: a (= c, b (= c, c (= a. ¿Cuál de los axiomas de Peano es verdadero en el conjunto A con la operación (?
Tarea 1.1.3. Sea A = (a) un conjunto de un elemento, a (= a. ¿Cuáles de los axiomas de Peano son verdaderos en el conjunto A con la operación (?
Tarea 1.1.4. En el conjunto N definimos una operación unaria, configurando cualquier. Descubra si los enunciados de los axiomas de Peano formulados en términos de una operación son verdaderos en N.
Tarea 1.1.5. Permitir. Demuestre que A es cerrado con respecto a la operación (. Verifique la verdad de los axiomas de Peano en el conjunto A con la operación (.
Tarea 1.1.6. Permitir, . Definimos una operación unaria en A estableciendo. ¿Cuáles de los axiomas de Peano son verdaderos en un conjunto A con una operación?
1.2. Coherencia y categorización del sistema de axiomas de Peano.
Un sistema de axiomas se llama consistente si es imposible probar el teorema T y su negación a partir de sus axiomas (T.Es claro que los sistemas de axiomas contradictorios no tienen significado en matemáticas, porque en tal teoría cualquier cosa puede ser probada y tal La teoría no refleja las leyes del mundo real Por lo tanto, la consistencia del sistema de axiomas es un requisito absolutamente necesario.
Si el teorema T y su negación (T) no se han encontrado en una teoría axiomática, esto no significa que el sistema de axiomas sea consistente; tales teorías pueden ocurrir en el futuro. Por lo tanto, la consistencia del sistema de axiomas debe ser La forma más común de probar la consistencia es el método de interpretación basado en el hecho de que si hay una interpretación del sistema de axiomas en una teoría S obviamente consistente, entonces el sistema de axiomas en sí mismo es consistente. sistema de axiomas fueran contradictorios, entonces los teoremas T y (T serían demostrables en él, pero entonces estos teoremas serían válidos y en su interpretación, y esto contradice la consistencia de la teoría S. El método de interpretaciones permite probar solo el relativo coherencia de la teoría.
Se pueden construir muchas interpretaciones diferentes para el sistema de axiomas de Peano. La teoría de conjuntos es especialmente rica en interpretaciones. Indiquemos una de esas interpretaciones. Consideraremos los conjuntos (, ((), ((()), (((())), ..., un número especial consideraremos cero (. La relación "sigue después" se interpretará de la siguiente manera: el conjunto M es seguido por el conjunto (M), el único elemento del cual es el propio M. Así, ("= ((), (( ) "= ((()) etc. La satisfacibilidad de los axiomas 1-4 se puede verificar sin dificultad. Sin embargo, la efectividad de tal interpretación es pequeña: muestra que el sistema de axiomas de Peano es consistente si la teoría de conjuntos es consistente. Pero la prueba de la consistencia del sistema de axiomas de la teoría de conjuntos es una tarea aún más difícil.La interpretación del sistema de axiomas de Peano es aritmética intuitiva, cuya consistencia está confirmada por sus muchos siglos de experiencia en el desarrollo.
Un sistema consistente de axiomas se llama independiente si cada axioma de este sistema no puede probarse como un teorema sobre la base de otros axiomas. Para probar que el axioma (no depende de otros axiomas del sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
basta con probar que el sistema de axiomas es consistente
(1, (2, ..., (n, (((2)
De hecho, si (se probara sobre la base de los axiomas restantes del sistema (1), entonces el sistema (2) sería contradictorio, ya que el teorema (y el axioma ((.
Entonces, para probar la independencia del axioma (del resto de axiomas del sistema (1), basta con construir una interpretación del sistema de axiomas (2).
La independencia del sistema axiom es opcional. A veces, para evitar probar teoremas "difíciles", se construye un sistema de axiomas deliberadamente redundante (dependiente). Sin embargo, los axiomas "superfluos" complican el estudio del papel de los axiomas en la teoría, así como las conexiones lógicas internas entre varias ramas de la teoría. Además, construir interpretaciones para sistemas dependientes de axiomas es mucho más difícil que para sistemas independientes; después de todo, hay que comprobar la validez de los axiomas "superfluos". Por estas razones, la cuestión de la relación entre axiomas ha sido de suma importancia durante mucho tiempo. En un momento, intenta probar que el quinto postulado de la axiomática de Euclides "No hay más de una línea recta que pase por el punto A paralelo a la línea recta (", es un teorema (es decir, depende de los otros axiomas) y condujo al descubrimiento de la geometría de Lobachevsky.
Un sistema consistente se llama deductivamente completo si cualquier proposición A de una teoría dada puede ser probada o refutada, es decir, A o (A es un teorema de esta teoría. Si hay una proposición que no puede ser probada o refutada, entonces El sistema de axiomas se llama Completitud deductiva tampoco es un requisito obligatorio. Por ejemplo, el sistema de axiomas de teoría de grupos, teoría de anillos, teoría de campos está incompleto; dado que existen grupos, anillos, campos finitos e infinitos, entonces en estos teorías es imposible probar o refutar la proposición: "Un grupo (anillo, campo) contiene un número finito de elementos".
Cabe señalar que en muchas teorías axiomáticas (es decir, en las no formalizadas), el conjunto de oraciones no puede considerarse definido con precisión y, por lo tanto, es imposible probar la completitud deductiva del sistema de axiomas de dicha teoría. Otro sentido de integridad se llama categórico. Un sistema de axiomas se denomina categórico si dos de sus interpretaciones son isomórficas, es decir, existe una correspondencia biunívoca entre los conjuntos de objetos iniciales de una y otra interpretación, que se conserva para todas las relaciones iniciales. La categorización también es una condición opcional. Por ejemplo, el sistema de axiomas de la teoría de grupos no es categórico. Esto se sigue del hecho de que un grupo finito no puede ser isomorfo a un grupo infinito. Sin embargo, en la axiomatización de la teoría de cualquier sistema numérico, la categorización es obligatoria; por ejemplo, la naturaleza categórica del sistema de axiomas que definen los números naturales significa que, hasta el isomorfismo, solo existe una serie natural.
Demostremos que el sistema de axiomas de Peano es categórico. Sean (N1, s1, 01) y (N2, s2, 02) dos interpretaciones cualesquiera del sistema de axiomas de Peano. Se requiere indicar un mapeo biyectivo (uno a uno) f: N1®N2 para el cual se cumplen las siguientes condiciones:
a) f (s1 (x) = s2 (f (x)) para cualquier x de N1;
b) f (01) = 02
Si ambas operaciones unarias s1 y s2 se denotan con el mismo número primo, entonces la condición a) se reescribirá como
a) f (x () = f (x) (.
Definamos sobre el conjunto N1 (N2 una relación binaria f por las siguientes condiciones:
1) 01f02;
2) si xfy, entonces x (fy (.
Asegurémonos de que esta relación sea un mapeo de N1 a N2, es decir, para cada x de N1
(((y (N2) xfy (1)
Sea M1 el conjunto de todos los elementos x de N1 para los que se cumple la condición (1). Luego
A) 01 (M1 en virtud de 1);
B) x (M1 ® x ((M1 en virtud de 2) y propiedad 1 del ítem 1.
Por lo tanto, de acuerdo con el axioma 4, concluimos que M1 = N1, lo que significa que la relación f es un mapeo de N1 en N2. Además, de 1) se deduce que f (01) = 02. La condición 2) se escribe de la forma: si f (x) = y, entonces f (x () = y (. Se sigue que f (x () = f (x) (. Por lo tanto, para el mapeo f, condición a) yb) se cumplen, queda demostrar la bijetividad del mapeo f.
Sea M2 el conjunto de esos elementos de N2, cada uno de los cuales es la imagen de uno y solo un elemento de N1 bajo el mapeo f.
Dado que f (01) = 02, 02 es una imagen. Además, si x (N2 y x (01, entonces por la propiedad 1 del elemento 1 x sigue algún elemento c de N1 y luego f (x) = f (c () = f (c) ((02. Por lo tanto, 02 es la imagen de un solo elemento 01, es decir, 02 (M2.
Sea más y (M2 y y = f (x), donde x es la única preimagen del elemento y. Entonces, por la condición a), y (= f (x) (= f (x (), es decir, y (es la imagen del elemento x (. Sea c cualquier preimagen de un elemento y (, es decir, f (c) = y (. Dado que y ((02, entonces c (01 y para c es un elemento anterior, que denotamos por d. Entonces y (= f (c) = f (d () = f (d) (, de donde, por Axioma 3, y = f (d). Pero como y (M2, entonces d = x , de donde c = d (= x (. Demostramos que si y es la imagen de un solo elemento, entonces y (es la imagen de un solo elemento, es decir, y (M2 ® y ((M2. Ambas condiciones de Axioma Se cumplen 4 y, por tanto, M2 = N2, lo que completa la prueba de categoricidad.
Todas las matemáticas pre-griegas eran empíricas. Los elementos individuales de la teoría se ahogaron en la masa de técnicas empíricas para resolver problemas prácticos. Los griegos sometieron este material empírico a un procesamiento lógico, trataron de encontrar una conexión entre varios datos empíricos. En este sentido, Pitágoras y su escuela (siglo V a. C.) jugaron un papel importante en la geometría. Las ideas del método axiomático se expresaron claramente en las obras de Aristóteles (siglo IV a. C.). Sin embargo, la implementación práctica de estas ideas fue realizada por Euclides en sus "Comienzos" (siglo III aC).
Actualmente, se pueden distinguir tres formas de teorías axiomáticas.
1). Axiomática sustancial, que fue la única hasta mediados del siglo pasado.
2). Axiomáticas semiformales surgidas en el último cuarto del siglo pasado.
3). Axiomática formal (o formalizada), cuya fecha de nacimiento puede considerarse 1904, cuando D. Hilbert publicó su famoso programa sobre los principios básicos de las matemáticas formalizadas.
Cada nueva forma no niega a la anterior, sino que es su desarrollo y refinamiento, por lo que el nivel de severidad de cada nueva forma es mayor que el anterior.
Los axiomas sustanciales se caracterizan por el hecho de que los conceptos iniciales tienen un significado intuitivamente claro incluso antes de la formulación de los axiomas. Entonces, en los "Principios" de Euclides bajo el punto se entiende exactamente lo que imaginamos intuitivamente bajo este concepto. En este caso se utiliza el lenguaje habitual y la lógica intuitiva habitual, que se remonta a Aristóteles.
Las teorías axiomáticas semiformales también utilizan el lenguaje ordinario y la lógica intuitiva. Sin embargo, a diferencia de los axiomas significativos, los conceptos iniciales no reciben ningún significado intuitivo, se caracterizan solo por axiomas. Por tanto, la gravedad aumenta, ya que la intuición interfiere en cierta medida con la gravedad. Además, se adquiere generalidad, porque todo teorema probado en tal teoría será válido en cualquiera de sus interpretaciones. Un ejemplo de una teoría axiomática semiformal es la teoría de Hilbert, expuesta en su libro "Fundamentos de la geometría" (1899). Ejemplos de teorías semiformales son también la teoría de anillos y otras teorías presentadas en el curso de álgebra.
Un ejemplo de teoría formalizada es el cálculo proposicional, estudiado en el curso de lógica matemática. En contraste con los axiomas significativos y semiformales, en la teoría formalizada se usa un lenguaje simbólico especial. Es decir, se especifica el alfabeto de la teoría, es decir, un conjunto de símbolos que desempeñan el mismo papel que las letras en el lenguaje ordinario. Cualquier secuencia finita de caracteres se llama expresión o palabra. Entre las expresiones se resalta una clase de fórmulas y se indica el criterio exacto, permitiendo que cada expresión averigüe si se trata de una fórmula. Las fórmulas juegan el mismo papel que las oraciones en el lenguaje ordinario. Algunas de las fórmulas se declaran como axiomas. Además, se establecen reglas de inferencia lógica; cada una de estas reglas significa que una fórmula bien definida se sigue inmediatamente de un cierto conjunto de fórmulas. La demostración del teorema en sí es una cadena finita de fórmulas, en la que la última fórmula es el teorema mismo y cada fórmula es un axioma o un teorema previamente probado, o se sigue directamente de las fórmulas anteriores de la cadena de acuerdo con una de las siguientes opciones. las reglas de inferencia. Por lo tanto, la cuestión de la severidad de las pruebas está completamente fuera de discusión: o la cadena dada es una prueba, o no lo es, no hay pruebas dudosas. En este sentido, la axiomática formalizada se utiliza en cuestiones especialmente delicadas de fundamentación de teorías matemáticas, cuando la lógica intuitiva ordinaria puede llevar a conclusiones erróneas, que se deben principalmente a las inexactitudes y ambigüedades de nuestro lenguaje ordinario.
Dado que en la teoría formalizada cada expresión puede decirse si es una fórmula, entonces el conjunto de oraciones de la teoría formalizada puede considerarse definido. En este sentido, es posible, en principio, plantear la cuestión de probar la completitud deductiva, así como probar la coherencia, sin recurrir a interpretaciones. En varios casos sencillos, esto se puede hacer. Por ejemplo, la consistencia del cálculo proposicional se prueba sin interpretación.
En las teorías no formalizadas, muchas oraciones no están claramente definidas; por lo tanto, no tiene sentido plantear la cuestión de demostrar la coherencia sin recurrir a interpretaciones. Lo mismo se aplica a la cuestión de demostrar la completitud deductiva. Sin embargo, si existe tal propuesta de una teoría no formalizada que no puede ser probada o refutada, entonces la teoría es obviamente deductivamente incompleta.
El método axiomático se ha utilizado durante mucho tiempo no solo en matemáticas, sino también en física. Los primeros intentos en esta dirección fueron realizados por Aristóteles, pero el método axiomático recibió su aplicación real en física sólo en los trabajos de Newton sobre mecánica.
En relación con el rápido proceso de matematización de las ciencias, también hay un proceso de axiomatización. Actualmente, el método axiomático se utiliza incluso en algunas ramas de la biología, por ejemplo, en la genética.
Sin embargo, las posibilidades del método axiomático no son infinitas.
En primer lugar, observamos que incluso en las teorías formalizadas, no es posible evitar por completo la intuición. La teoría formalizada en sí misma no tiene sentido sin interpretación. Por tanto, surgen varias preguntas sobre la relación entre la teoría formalizada y su interpretación. Además, al igual que en las teorías formalizadas, se plantean cuestiones sobre la coherencia, la independencia y la integridad del sistema de axiomas. La totalidad de todas estas cuestiones constituye el contenido de otra teoría, que se denomina metateoría de la teoría formalizada. A diferencia de la teoría formalizada, el lenguaje de la metateoría es un lenguaje cotidiano y el razonamiento lógico se lleva a cabo mediante las reglas de la lógica intuitiva ordinaria. Así, la intuición, completamente desterrada de la teoría formalizada, reaparece en su metateoría.
Pero esta no es la principal debilidad del método axiomático. Ya hemos mencionado el programa de D. Hilbert, que sentó las bases del método axiomático formalizado. La idea principal de Hilbert era expresar la matemática clásica en forma de una teoría axiomática formalizada y luego probar su consistencia. Sin embargo, este programa resultó utópico en sus puntos principales. En 1931, el matemático austríaco K. Gödel demostró sus famosos teoremas, de lo que se deducía que los dos problemas principales planteados por Hilbert eran imposibles. Con la ayuda de su método de codificación, logró expresar algunos supuestos verdaderos de la metateoría con la ayuda de fórmulas aritméticas formalizadas y demostrar que estas fórmulas no son deducibles en aritmética formalizada. Por tanto, la aritmética formalizada resultó ser deductivamente incompleta. De los resultados de Gödel se deduce que si esta fórmula no demostrable se incluye en el número de axiomas, habrá otra fórmula no demostrable que exprese alguna oración verdadera. Todo esto significó que no solo todas las matemáticas, sino incluso la aritmética, su parte más simple, no se pueden formalizar completamente. En particular, Gödel construyó una fórmula correspondiente a la oración "La aritmética formalizada es consistente" y demostró que esta fórmula tampoco es derivable. Este hecho significa que la consistencia de la aritmética formalizada no puede demostrarse dentro de la aritmética misma. Por supuesto, es posible construir una teoría formalizada más fuerte y por sus medios probar la consistencia de la aritmética formalizada, pero luego surge una pregunta más difícil acerca de la consistencia de esta nueva teoría.
Los resultados de Gödel indican las limitaciones del método axiomático. Y, sin embargo, no hay absolutamente ningún fundamento para conclusiones pesimistas en la teoría del conocimiento de que existen verdades incognoscibles. El hecho de que haya verdades aritméticas que no se pueden probar en la aritmética formalizada no significa la presencia de verdades incognoscibles y no significa las limitaciones del pensamiento humano. Solo significa que las posibilidades de nuestro pensamiento no se limitan a procedimientos totalmente formalizados y que la humanidad aún tiene que descubrir e inventar nuevos principios de prueba.
1.3 Suma de números naturales
Las operaciones de suma y multiplicación de números naturales no están postuladas por el sistema de axiomas de Peano; definiremos estas operaciones.
Definición. La suma de números naturales es una operación algebraica binaria + sobre el conjunto N, que tiene las siguientes propiedades:
1c. ((a (N) a + 0 = a;
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b) (.
Surge la pregunta: ¿existe tal operación y, si la hay, es la única?
Teorema. Solo hay una suma de números naturales.
Prueba. Una operación algebraica binaria en un conjunto N es un mapeo (: N (N®N. Se requiere demostrar que hay un mapeo único (: N (N®N) con las propiedades: 1) ((x (N) ((x, 0) = x; 2) ((x, y (N) ((x, y () = ((x, y) (. Si para cada número natural x) probamos la existencia de un mapeo fx : N®N con propiedades 1 () fx (0) = x; 2 () fx (y () = fx (y) (, entonces la función ((x, y), definida por la igualdad ((x, y ) (fx (y), y satisfará las condiciones 1) y 2).
Definamos sobre el conjunto N, la relación binaria fx por las condiciones:
a) 0fxx;
b) si yfxz, entonces y (fxz (.
Asegurémonos de que esta relación sea un mapeo de N a N, es decir, para cada y de N
(((z (N) yfxz (1)
Sea M el conjunto de números naturales y para los que se cumple la condición (1). Entonces la condición a) implica que 0 (M, y de la condición b) y la propiedad 1 del elemento 1 se sigue que si y (M, entonces y ((M. Por lo tanto, con base en el axioma 4, concluimos que M = N, y esto significa que la relación fx es un mapeo de N a N. Para este mapeo, se cumplen las siguientes condiciones:
1 () fx (0) = x - en virtud de a);
2 () fx ((y) = fx (y () - en virtud de b).
Esto prueba la existencia de la adición.
Demostremos la unicidad. Sean + y (dos operaciones algebraicas binarias cualesquiera en el conjunto N con propiedades 1c y 2c. Se requiere demostrar que
((x, y (N) x + y = x (y
Fijamos un número arbitrario x y denotamos por S el conjunto de esos números naturales y para los cuales la igualdad
x + y = x (y (2)
realizado. Dado que, de acuerdo con 1с, x + 0 = x y x (0 = x, entonces
A) 0 (S
Ahora supongamos que se cumple y (S, es decir, igualdad (2). Dado que x + y (= (x + y) (, x (y (= (x (y) (y x + y = x (y)), entonces por el axioma 2 x + y (= x (y (, es decir, la condición
B) y (S ® y ((S.
Por tanto, por el axioma 4, S = N, que completa la demostración del teorema.
Probemos algunas propiedades de la suma.
1. El número 0 es el elemento neutral de la suma, es decir, a + 0 = 0 + a = a para cada número natural a.
Prueba. La igualdad a + 0 = a se sigue de la condición 1c. Demostremos la igualdad 0 + a = a.
Sea M el conjunto de todos los números para los que se cumple. Obviamente, 0 + 0 = 0 y por lo tanto 0 (M. Sea a (M, es decir, 0 + a = a. Entonces 0 + a (= (0 + a) (= a (y, por lo tanto, a ((M Por lo tanto, M = N, según se requiera.
A continuación, necesitamos un lema.
Lema. a (+ b = (a + b) (.
Prueba. Sea M el conjunto de todos los números naturales b para los cuales la igualdad a (+ b = (a + b) (verdadero para cualquier valor de a. Entonces:
A) 0 (M, ya que a (+ 0 = (a + 0) (;
B) b (M ® b ((M. De hecho, dado que b (M y 2с, tenemos
a (+ b (= (a (+ b) (= ((a + b) () (= (a + b () (,
es decir, b ((M. Por tanto, M = N, según se requiera.
2. La suma de números naturales es conmutativa.
Prueba. Sea M = (a (a (N (((b (N) a + b = b + a). Basta probar que M = N. Tenemos:
A) 0 (M - debido a la propiedad 1.
B) a (M ® a ((M. Efectivamente, aplicando el lema y el hecho de que a (M, obtenemos:
a (+ b = (a + b) (= (b + a) (= b + a (.
Por tanto a ((M, y por Axioma 4 M = N.
3. La suma es asociativa.
Prueba. Permitir
M = (c (c (N (((una, segundo (N) (una + b) + c = una + (b + c))
Se requiere demostrar que M = N. Dado que (a + b) + 0 = a + b y a + (b + 0) = a + b, entonces 0 (M. Sea c (M, es decir, (a + b) + c = a + (b + c). Entonces
(a + b) + c (= [(a + b) + c] (= a + (b + c) (= a + (b + c ()).
Por tanto, c ((M y por axioma 4 M = N.
4.a + 1 = a (, donde 1 = 0 (.
Prueba. a + 1 = a + 0 (= (a + 0) (= a (.
5. Si b (0, entonces ((a (N) a + b (a.
Prueba. Sea M = (a (a (N (a + b (a). Dado que 0 + b = b (0, entonces 0 (M. Además, si a (M, es decir, a + b (a)), entonces por la propiedad 2 elemento 1 (a + b) ((a (o a (+ b (a (. Por tanto, a ((M y M = N.
6. Si b (0, entonces ((a (N) a + b (0.
Prueba. Si a = 0, entonces 0 + b = b (0, pero si a (0 y a = c (, entonces a + b = c (+ b = (c + b) ((0. Entonces, en cualquier caso, a + b (0.
7. (La ley de la tricotomía de adición). Para cualquier número natural ayb, solo una de las tres relaciones es verdadera:
1) a = b;
2) b = a + u, donde u (0;
3) a = b + v, donde v (0.
Prueba. Fijamos un número arbitrario ay denotamos por M el conjunto de todos los números naturales b para los cuales se cumple al menos una de las relaciones 1), 2), 3). Se requiere demostrar que M = N. Sea b = 0. Entonces, si a = 0, entonces se cumple la relación 1), y si se cumple a (0, entonces se cumple la relación 3), ya que a = 0 + a. Por tanto, 0 (M.
Supongamos ahora que b (M, es decir, para la a seleccionada, se cumple una de las relaciones 1), 2), 3). Si a = b, entonces b (= a (= a + 1, es decir, para b (se satisface la relación 2). Si b = a + u, entonces b (= a + u (, es decir, para b ( la relación 2). Si a = b + v, entonces dos casos son posibles: v = 1 y v (1. Si v = 1, entonces a = b + v = b ", es decir, para b" las relaciones 1 se mantienen ). Si v (1, entonces v = c ", donde c (0 y luego a = b + v = b + c" = (b + c) "= b" + c, donde c (0, es decir, para b "se cumple la relación 3). Por lo tanto, hemos probado que b (M®b" (M, y por lo tanto M = N, es decir, para cualquier a y b, al menos una de las relaciones 1), 2), 3 ) sostiene que no se pueden satisfacer dos de ellos simultáneamente. De hecho: si se satisfacen las relaciones 1) y 2), entonces tendrían b = b + u, donde u (0, y esto contradice la propiedad 5. La imposibilidad de 1 ) y 3) Finalmente, si se cumplieran las relaciones 2) y 3), entonces tendrían a = (a + u) + v = a + + (u + v), y esto es imposible debido a las propiedades 5 y 6. La propiedad 7 está completamente probada. ...
Tarea 1.3.1. Sea 1 (= 2, 2 (= 3, 3 (= 4, 4 (= 5, 5 (= 6, 6 (= 7, 7 (= 8, 8 (= 9.) Demuestre que 3 + 5 = 8, 2 + 4 = 6.
1.4. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.
Definición 1. La multiplicación de números naturales es una operación binaria (en el conjunto N, para la cual se cumplen las siguientes condiciones:
1 año. ((x (N) x (0 = 0;
2 años. ((x, y (N) x (y "= x (y + x.
Nuevamente surge la pregunta: ¿existe tal operación y, si existe, es única?
Teorema. Solo hay una operación para multiplicar números naturales.
La prueba se lleva a cabo casi de la misma forma que para la suma. Se requiere encontrar un mapeo (: N (N®N) que satisfaga las condiciones
1) ((x (N) ((x, 0) = 0;
2) ((x, y (N) ((x, y ") = ((x, y) + x.
Fijemos un número arbitrario x. Si probamos para cada x (N la existencia de un mapeo fx: N®N con las propiedades
1 ") fx (0) = 0;
2 ") ((y (N) fx (y") = fx (y) + x,
entonces la función ((x, y), definida por la igualdad ((x, y) = fx (y) y satisfará las condiciones 1) y 2).
Así, la demostración del teorema se reduce a la demostración de la existencia y unicidad de cada x de la función fx (y) con propiedades 1 ") y 2"). Establezcamos una correspondencia sobre el conjunto N según la siguiente regla:
a) al número cero asociamos el número 0,
b) si el número y está asociado con el número c, entonces el número y (asociamos el número c + x.
Asegurémonos de que con tal comparación cada número y tenga una imagen única: esto significará que la correspondencia es un mapeo de N a N. Sea M el conjunto de todos los números naturales y que tienen una imagen única. De la condición a) y el axioma 1 se sigue que 0 (M. Sea y (M. Entonces se sigue de la condición b) y del axioma 2 que y ((M. Por lo tanto, M = N, es decir, nuestra correspondencia es un mapeo N en N; lo denotamos por fx. Entonces fx (0) = 0 por la condición a) y fx (y () = fx (y) + x - por la condición b).
Entonces, se prueba la existencia de la operación de multiplicación. Ahora sean (y (dos operaciones binarias cualesquiera en el conjunto N con propiedades 1y y 2y. Queda por demostrar que ((x, y (N) x (y = x (y. Fije un número arbitrario x y deje
S = (y? Y (N (x (y = x (y)
Dado que en virtud de 1у x (0 = 0 y x (0 = 0, entonces 0 (S. Sea y (S, es decir, x (y = x (y. Entonces
x (y (= x (y + x = x (y + x = x (y (
y, por tanto, y ((S. Por tanto, S = N, lo que completa la demostración del teorema.
Notemos algunas propiedades de la multiplicación.
1. El elemento neutral con respecto a la multiplicación es el número 1 = 0 (, es decir, ((a (N) a (1 = 1 (a = a.
Prueba. a (1 = a (0 (= a (0 + a = 0 + a = a. Por lo tanto, se demuestra la igualdad a (1 = a. Queda por demostrar la igualdad 1 (a = a. Sea M = (a? a (N (1 (a = a). Dado que 1 (0 = 0, entonces 0 (M. Sea a (M, es decir, 1 (a = a. Entonces 1 (a (= 1 (a + 1 = a + 1 = a (, y, por lo tanto, a ((M. Por lo tanto, por el axioma 4, M = N, como se requiere.
2. Para la multiplicación, la ley distributiva derecha es válida, es decir
((a, b, c (N) (a + b) c = ac + bc.
Prueba. Sea M = (c (c (N (((a, b (N) (a + b) c = ac + bc).) Dado que (a + b) 0 = 0 y a (0 + b (0 = 0 , entonces 0 (M. Si c (M, es decir, (a + b) c = ac + bc, entonces (a + b) (c (= (a + b) c + (a + b) = ac + bc + a + b = (ac + a) + (bc + b) = ac (+ bc (. Por lo tanto, c ((M y M = N.
3. La multiplicación de números naturales es conmutativa, es decir, ((a, b (N) ab = ba.
Prueba. Primero, para cualquier b (N, probamos la igualdad 0 (b = b (0 = 0. La igualdad b (0 = 0 se sigue de la condición 1у. Sea M = (b (b (N (0 (b = 0) Dado que 0 (0 = 0, entonces 0 (M. Si b (M, es decir, 0 (b = 0, entonces 0 (b (= 0 (b + 0 = 0 y, por lo tanto, b ((M. Entonces M = N, es decir, la igualdad 0 (b = b (0 se prueba para todo b (N. Sea más S = (a (a (N (ab = ba). Dado que 0 (b = b (0, entonces 0 (S. Sea a (S, es decir, ab = ba. Entonces a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, es decir, a ((S. Entonces S = N, según sea necesario.
4. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Esta propiedad se deriva de las propiedades 3 y 4.
5. La multiplicación es asociativa, es decir, ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc).
La prueba se realiza, como en el caso de la suma, por inducción sobre c.
6. Si a (b = 0, entonces a = 0 o b = 0, es decir, N no tiene divisores de cero.
Prueba. Sea b (0 y b = c (. Si ab = 0, entonces ac (= ac + a = 0, de donde se sigue de la propiedad 6 del ítem 3 que a = 0.
Tarea 1.4.1. Sea 1 (= 2, 2 (= 3, 3 (= 4, 4 (= 5, 5 (= 6, 6 (= 7, 7 (= 8, 8 (= 9.) Demuestre que 2 (4 = 8, 3 (3 = 9.
Sean n, a1, a2, ..., an números naturales. La suma de los números a1, a2, ..., an es un número que se denota y está determinado por las condiciones; para cualquier número natural k
El producto de los números a1, a2, ..., an es un número natural, que se denota y está determinado por las condiciones :; para cualquier número natural k
Si, entonces el número se indica con un.
Tarea 1.4.2. Pruebalo
a) ;
B);
v);
G);
mi);
mi);
gramo);
h);
y) .
1.5. PEDIDO DEL SISTEMA DE NÚMEROS NATURALES.
La relación "sigue después" es antirreflexiva y antisimétrica, pero no transitiva y, por lo tanto, no es una relación de ordenación. Definiremos la relación de orden basándonos en la suma de números naturales.
Definición 1.a
Definición 2.a (b (((x (N) b = a + x.
Asegurémonos de que la relación Observemos algunas propiedades de los números naturales relacionadas con las relaciones de igualdad y desigualdad.
1.
1.1 a = segundo (una + c = segundo + c.
1.2 a = b (ac = bc.
1,3 a
1,4 a
1.5 a + c = b + c (a = b.
1,6 ac = bc (c (0 (a = b.
1,7 a + c
1,8 ac
1,9 a
1,10 a
Prueba. Las propiedades 1.1 y 1.2 se derivan de la singularidad de las operaciones de suma y multiplicación. Si un
2. ((a (N) a
Prueba. Dado que a (= a + 1, entonces a
3. El elemento más pequeño en N es 0, y el elemento más pequeño en N \ (0) es el número 1.
Prueba. Dado que ((a (N) a = 0 + a, entonces 0 (a, y, por lo tanto, 0 es el elemento más pequeño en N. Además, si x (N \ (0)), entonces x = y (, y ( N, o x = y + 1. Por tanto, se sigue que ((x (N \ (0)) 1 (x, es decir, 1 es el elemento más pequeño en N \ (0)).
4. La razón ((a, b (N) ((n (N) b (0 (nb> a.
Prueba. Obviamente, para cualquier número natural a, existe un número natural n tal que
a Tal número es, por ejemplo, n = a (. Además, si b (N \ (0), entonces por la propiedad 3
1 (b (2)
De (1) y (2), con base en las propiedades 1.10 y 1.4, obtenemos aa.
1.6. PEDIDO COMPLETO DEL SISTEMA NUMÉRICO NATURAL.
Definición 1. Si cada subconjunto no vacío de un conjunto ordenado (M; Comprobemos que el orden total es lineal. Sean ayb cualesquiera dos elementos de un conjunto bien ordenado (M; Lema ... 1) una
Prueba.
1) una ((segundo (segundo = una (+ k, k (N (segundo = una + k (, k ((N \ (0) (una
2) una (segundo (segundo = una + k, k (N (segundo (= una + k (, k ((N \ (0) (una)
Teorema 1. El orden natural en el conjunto de números naturales es un orden completo.
Prueba. Sea M cualquier conjunto no vacío de números naturales y S el conjunto de sus límites inferiores en N, es decir, S = (x (x (N (((m (M) x (m). Propiedad 3 en el ítem 5) implica que 0 (S. Si la segunda condición del Axioma 4 n (S (n ((S, entonces tendrían S = N; de hecho, si a (M, entonces a ((S en virtud de la desigualdad a
Teorema 2. Cualquier conjunto acotado superior no vacío de números naturales tiene el elemento más grande.
Prueba. Sea M cualquier conjunto acotado superior no vacío de números naturales, y S el conjunto de sus límites superiores, es decir, S = (x (x (N (((m (M) m (x). Denote por x0 el elemento más pequeño en S. Entonces la desigualdad m (x0 se cumple para todos los números m de M, y la desigualdad estricta m
Tarea 1.6.1. Pruebalo
a) ;
B);
v).
Tarea 1.6.2. Sea (alguna propiedad de los números naturales yk un número natural arbitrario. Demuestre que
a) cualquier número natural tiene la propiedad (tan pronto como 0 tenga esta propiedad para cualquier n (0
b) cualquier número natural mayor o igual que k posee la propiedad (tan pronto como k posea esta propiedad y para cualquier n (k (n) del supuesto de que n posee la propiedad (, se deduce que el número n + 1 también posee esta propiedad;
c) cualquier número natural mayor o igual que k posee la propiedad (tan pronto como k posea esta propiedad y para cualquier n (n> k) a partir del supuesto de que todos los números t definidos por la condición k (t
1.7. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN.
Usando el orden completo del sistema de números naturales, se puede probar el siguiente teorema, en el cual se basa uno de los métodos de prueba, llamado método de inducción matemática.
Teorema (principio de inducción). Todas las afirmaciones de la secuencia A1, A2, ..., An, ... son verdaderas si se cumplen las siguientes condiciones:
1) la afirmación A1 es verdadera;
2) si los enunciados Ak son verdaderos para k
Prueba. Supongamos lo contrario: se cumplen las condiciones 1) y 2), pero el teorema no es verdadero, es decir, el elemento del conjunto M = (m (m (N \ (0), Am es falso), que denotamos por n. Dado que según la condición 1) A1 es verdadero y An es falso, entonces 1 (n, y, por lo tanto, 1
Al probar por inducción, se pueden distinguir dos etapas. En la primera etapa, que se denomina base de inducción, se verifica el cumplimiento de la condición 1). En la segunda etapa, llamada paso de inducción, se prueba la condición 2). En este caso, la mayoría de las veces hay casos en los que, para probar la verdad del enunciado An, no es necesario utilizar la verdad de los enunciados Ak para k
Ejemplo. Demuestre la desigualdad Put = Sk. Se requiere probar la verdad de los enunciados Ak = (Sk La secuencia de enunciados mencionados en el Teorema 1 se puede obtener del predicado A (n) definido en el conjunto N o en su subconjunto Nk = (x (x (N, x (k), donde k es cualquier número natural fijo.
En particular, si k = 1, entonces N1 = N \ (0), y las declaraciones se pueden enumerar usando las igualdades A1 = A (1), A2 = A (2), ..., An = A (n) , ... Si, sin embargo, k (1, entonces la secuencia de enunciados se puede obtener usando las igualdades A1 = A (k), A2 = A (k + 1), ..., An = A (k + n -1), .. De acuerdo con esta notación, el Teorema 1 se puede formular de otra forma.
Teorema 2. El predicado A (m) es idénticamente verdadero en el conjunto Nk si se satisfacen las siguientes condiciones:
1) el enunciado A (k) es verdadero;
2) si los enunciados A (m) son verdaderos para m
Tarea 1.7.1. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen solución en el rango de números naturales:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x + 2 = 4;
e) x2 + y2 = 6;
f) 2x + 1 = 2y.
Tarea 1.7.2. Demuestre usando el principio de inducción matemática:
a) (n3 + (n + 1) 3+ (n + 2) 3) (9;
B);
v);
G);
mi);
mi).
1.8. RESTA Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES.
Definición 1. La diferencia de los números naturales ayb es un número natural x tal que b + x = a. La diferencia entre los números naturales ayb se denota por a-b, y la operación de encontrar la diferencia se llama resta. La resta no es una operación algebraica. Esto se sigue del siguiente teorema.
Teorema 1. La diferencia a-b existe si y solo si b (a. Si la diferencia existe, entonces solo una.
Prueba. Si b (a, entonces según la definición de la relación (existe un número natural x tal que b + x = a. Pero esto también significa que x = ab. Por el contrario, si la diferencia ab existe, entonces según la Definición 1 existe un número natural x, que b + x = a. Pero esto también significa que b (a.
Demostremos la unicidad de la diferencia a-b. Sea a-b = x y a-b = y. Entonces, de acuerdo con la Definición 1, b + x = a, b + y = a. Por tanto, b + x = b + y y, por tanto, x = y.
Definición 2. El cociente de dos números naturales ayb (0 es un número natural c tal que a = bc. La operación de encontrar el cociente se llama división. La cuestión de la existencia de un cociente se resuelve en la teoría de la divisibilidad .
Teorema 2. Si el cociente existe, entonces solo uno.
Prueba. Sea = x y = y. Entonces, de acuerdo con la Definición 2, a = bx y a = by. Por tanto, bx = by y, por tanto, x = y.
Tenga en cuenta que las operaciones de resta y división se definen casi literalmente de la misma manera que en los libros de texto escolares. Esto significa que en los ítems 1-7, sobre la base de los axiomas de Peano, se establece una base teórica sólida para la aritmética de números naturales, y su presentación posterior se lleva a cabo de manera consistente en el curso escolar de matemáticas y en el curso universitario "Álgebra y teoría de los números".
Tarea 1.8.1. Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones, asumiendo que existen todas las diferencias que ocurren en sus formulaciones:
a) (a-b) + c = (a + c) -b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c;
c) (a + b) - (c + b) = a-c;
d) a- (b + c) = (a-b) -c;
e) (a-b) + (c-d) = (a + c) - (b + d);
e) (a-b) - (c-d) = a-c;
g) (a + b) - (b-c) = a + c;
h) (a-b) - (c-d) = (a + d) - (b + c);
y) a- (b-c) = (a + c) -b;
j) (a-b) - (c + d) = (a-c) - (b + d);
l) (a-b) (c + d) = (ac + ad) - (bc + bd);
m) (a-b) (c-d) = (ac + bd) - (ad + bc);
m) (a-b) 2 = (a2 + b2) -2ab;
o) a2-b2 = (a-b) (a + b).
Tarea 1.8.2. Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones, asumiendo que existen todos los cocientes que aparecen en sus formulaciones.
a) ; B); v); G); mi); mi); gramo); h); y) ; Para) ; l); metro); norte); O); NS); R).
Tarea 1.8.3. Demuestre que las siguientes ecuaciones no pueden tener dos soluciones naturales diferentes: a) ax2 + bx = c (a, b, c (N); b) x2 = ax + b (a, b (N); c) 2x = ax2 + b (a, b (N).
Tarea 1.8.4. Resuelve las ecuaciones en números naturales:
a) x2 + (x + 1) 2 = (x + 2) 2; b) x + y = x (y; c); d) x2 + 2y2 = 12; e) x2-y2 = 3; f) x + y + z = x (y (z.
Tarea 1.8.5. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen soluciones en el rango de números naturales: a) x2-y2 = 14; b) x-y = xy; v); G); e) x2 = 2x + 1; f) x2 = 2y2.
Tarea 1.8.6. Resolver en números naturales las desigualdades: a); B); v); d) x + y2 Problema 1.8.7. Demuestre que las siguientes relaciones se cumplen en el rango de números naturales: a) 2ab (a2 + b2; b) ab + bc + ac (a2 + b2 + c2; c) c2 = a2 + b2 (a2 + b2 + c2 1.9. NÚMEROS NATURALES DE SENTIDO CUANTITATIVO.
En la práctica, los números naturales se utilizan principalmente para contar elementos, y para ello es necesario establecer el significado cuantitativo de los números naturales en la teoría de Peano.
Definición 1. El conjunto (x (x (N, 1 (x (n))) se denomina segmento de una serie natural y se denota por (1; n (.
Definición 2. Un conjunto finito es cualquier conjunto igual en cardinalidad a algún segmento de una serie natural, así como un conjunto vacío. Un conjunto que no es finito se llama infinito.
Teorema 1. Un conjunto finito A no es equivalente a ninguno de sus propios subconjuntos (es decir, un subconjunto distinto de A).
Prueba. Si A = (, entonces el teorema es verdadero, ya que el conjunto vacío no tiene subconjuntos propios. Sea A ((y A tienen la misma cardinalidad (1, n ((A ((1, n (). Demostraremos el teorema por inducción en n. Si n = 1, es decir, A ((1,1 (, entonces el único subconjunto propio del conjunto A es el conjunto vacío. Está claro que A (y, por lo tanto, para n = 1 El teorema es verdadero. Suponga que el teorema es verdadero para n = m, es decir, todos los conjuntos finitos iguales en cardinalidad al segmento (1, m (, no tienen subconjuntos propios iguales. Sea A cualquier conjunto igual al segmento (1 , m + 1 (y (: (1, m + 1 (®A es algún mapeo biyectivo del segmento (1, m + 1 (en A.) Si ((k)) se denota por ak, k = 1,2 , ..., m + 1, entonces el conjunto A se puede escribir como A = (a1, a2, ..., am, am + 1). Nuestra tarea es demostrar que A no tiene subconjuntos propios equivalentes. opuesto; sea B (A, B (A, B (A yf: A®B son bijetivos. Puede elegir bijetivos (yf tales que am + 1 (B yf (am + 1) = am + 1.
Considere los conjuntos A1 = A \ (am + 1) y B1 = B \ (am + 1). Dado que f (am + 1) = am + 1, la función f mapeará bijetivamente el conjunto A1 sobre el conjunto B1. Por tanto, el conjunto A1 será equivalente a su propio subconjunto B1. Pero dado que A1 ((1, m (, esto contradice la hipótesis de inducción.
Corolario 1. El conjunto de números naturales es infinito.
Prueba. De los axiomas de Peano se deduce que el mapeo S: N®N \ (0), S (x) = x (es biyectivo. Por tanto, N es equivalente a su subconjunto propio N \ (0) y, según el teorema 1, no es finito.
Corolario 2. Cualquier conjunto finito no vacío A es equivalente a uno y sólo un segmento de una serie natural.
Prueba. Sea A ((1, m (y A ((1, n (. Entonces (1, m (((1, n (, de donde se sigue por el Teorema 1 que m = n. De hecho, si asumimos que m
El corolario 2 nos permite introducir una definición.
Definición 3. Si A ((1, n (, entonces el número natural n se llama el número de elementos del conjunto A, y el proceso de establecer una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A y (1, n ( se llama el conteo de los elementos del conjunto A. número cero.
Es innecesario hablar de la enorme importancia de contar en la vida práctica.
Nótese que, conociendo el significado cuantitativo de un número natural, sería posible definir la operación de multiplicación mediante suma, a saber:
.
Deliberadamente no tomamos este camino para mostrar que la aritmética en sí misma no necesita un sentido cuantitativo: el sentido cuantitativo de un número natural es necesario solo en aplicaciones de la aritmética.
1.10. SISTEMA DE NÚMEROS NATURALES COMO UN CONJUNTO DISCRETO COMPLETAMENTE PEDIDO.
Hemos demostrado que el conjunto de números naturales con respecto al orden natural está bien ordenado. Además, ((a (N) a
1. para cualquier número a (N hay un vecino junto a él en relación 2. para cualquier número a (N \ (0) hay un adyacente a él precedente en relación con Conjunto completamente ordenado (A; () con propiedades 1 y 2) se llamará completamente discreto. Resulta que el ordenamiento completo con las propiedades 1 y 2. Resulta que un ordenamiento completo con las propiedades 1 y 2. De hecho, sea A = (A; () cualquier conjunto bien ordenado con propiedades 1 y 2. Definimos en el conjunto A la relación "sigue después" de la siguiente manera: a (= b si b es un elemento vecino que sigue a en relación (. Está claro que el elemento más pequeño del conjunto A no sigue cualquier elemento y, por lo tanto, el Axioma 1 de Peano se cumple.
Dado que la relación (es un ordenamiento lineal, entonces para cualquier elemento a hay un único elemento siguiente y como mucho un elemento vecino anterior. Esto implica el cumplimiento de los axiomas 2 y 3. Ahora sea M cualquier subconjunto del conjunto A para el cual se cumplen las siguientes condiciones:
1) a0 (M, donde a0 es el elemento más pequeño de A;
2) una (M (una ((M.
Demostremos que M = N. Suponga lo opuesto, es decir, A \ M ((. Denote por b el elemento más pequeño en A \ M. Dado que a0 (M, entonces b (a0 y, por lo tanto, existe un elemento c tal que c (= b. Dado que C
Entonces, hemos probado la posibilidad de otra definición del sistema de números naturales.
Definición. Un sistema de números naturales es cualquier conjunto bien ordenado en el que se cumplen las siguientes condiciones:
1. para cualquier elemento hay un elemento adyacente que lo sigue;
2. para cualquier elemento que no sea el más pequeño, hay un elemento vecino que lo precede.
Hay otros enfoques para definir el sistema de números naturales, en los que no nos detendremos aquí.
2. NÚMEROS INTEGRALES Y RACIONALES.
2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NÚMEROS INTEGRALES.
Se sabe que el conjunto de números enteros en su sentido intuitivo es un anillo con respecto a la suma y la multiplicación, y este anillo contiene todos los números naturales. También está claro que no existe un subanillo adecuado en el anillo de números enteros que contendría todos los números naturales. Resulta que estas propiedades se pueden utilizar como base para una definición rigurosa de un sistema de números enteros. En las Secciones 2.2 y 2.3, se probará la exactitud de tal definición.
Definiciones 1. Un sistema de números enteros es un sistema algebraico para el que se cumplen las siguientes condiciones:
1. Un sistema algebraico es un anillo;
2. El conjunto de números naturales está contenido en, y la suma y la multiplicación en un anillo en un subconjunto coinciden con la suma y multiplicación de números naturales, es decir
3. (condición de mínima). Z es un conjunto mínimo con respecto a la inclusión con las propiedades 1 y 2. En otras palabras, si un subanillo del anillo contiene todos los números naturales, entonces Z0 = Z.
A la definición 1 se le puede dar un carácter axiomático detallado. Los conceptos iniciales de esta teoría axiomática serán:
1) El conjunto Z, cuyos elementos se denominan enteros.
2) Un número entero especial llamado cero y denotado por 0.
3) Relaciones ternarias + y (.
Como de costumbre, N denota el conjunto de números naturales con suma (y multiplicación (. De acuerdo con la Definición 1, un sistema de números enteros es un sistema algebraico (Z; +, (, N)) para el cual se satisfacen los siguientes axiomas:
1. (Axiomas del anillo).
1.1.
Este axioma significa que + es una operación algebraica binaria en el conjunto Z.
1.2. ((a, segundo, c (Z) (a + segundo) + c = a + (segundo + c).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a.
1.4. ((a (Z) a + 0 = a, es decir, el número 0 es un elemento neutro con respecto a la suma.
1.5. ((a (Z) ((a ((Z) a + a (= 0, es decir, para cada entero hay un número opuesto a (.
1.6. ((a, b (Z) ((! d (Z) a (b = d.
Este axioma significa que la multiplicación es una operación algebraica binaria en el conjunto Z.
1.7. ((a, b, c (Z) (a (b) (c = a ((b (c).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b) = c (a + c (b.
2. (Axiomas de la conexión entre el anillo Z y el sistema de números naturales).
2.1. N (Z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b.
2.3. ((a, b (N) a (b = a (b.
3. (Axioma de minimidad).
Si Z0 es un subanillo del anillo Z y N (Z0, entonces Z0 = Z.
Observemos algunas propiedades del sistema de números enteros.
1. Cada número entero se puede representar como la diferencia de dos números naturales. Esta representación es ambigua, y z = a-b y z = c-d, donde a, b, c, d (N, si y solo si a + d = b + c.
Prueba. Denotamos por Z0 el conjunto de todos los números enteros, cada uno de los cuales puede representarse como la diferencia de dos números naturales. Obviamente, ((a (N) a = a-0, y por lo tanto N (Z0.
Además, sea x, y (Z0, es decir, x = ab, y = cd, donde a, b, c, d (N.Entonces xy = (ab) - (cd) = (a + d) - (b + c) = (a (re) - (segundo (c), x (y = (ab) (cd) = (ac + bd) - (ad + bc) = (a (c (b (re)) - ( a (d (b (c)). Por tanto, vemos que xy, x (y (Z0 y, por tanto, Z0 es un subanillo del anillo Z que contiene el conjunto N. El segundo enunciado de esta propiedad es obvio.
2. El anillo de números enteros es un anillo conmutativo con unidad, y el cero de este anillo es un número natural 0, y la unidad de este anillo es un número natural 1.
Prueba. Sea x, y (Z. De acuerdo con la propiedad 1, x = ab, y = cd, donde a, b, c, d (N.Entonces x (y = (ab) ((cd) = (ac + bd) - (ad + bc) = (a (c (b (d) - (a (d (b (c), y (x = (cd) (ab) = (ca + db) - (da + cb) = ( c (a (d (b) - (d (a (c (b). Por lo tanto, dado que la multiplicación de números naturales es conmutativa), llegamos a la conclusión de que xy = yx. Se demuestra la conmutatividad de la multiplicación en el anillo Z. La Los enunciados restantes de la propiedad 2 se derivan de las siguientes igualdades obvias, donde 0 y 1 denotan los números naturales cero y uno: x + 0 = (ab) + 0 = (a + (- b)) + 0 = (a + 0) + (- b) = (a (0) + (-b) = ab = x. x (1 = (ab) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 = ab = x) .
2.2. LA EXISTENCIA DE UN SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS.
El sistema de números enteros se define en 2.1 como el anillo mínimo (con respecto a la inclusión) que contiene todos los números naturales. Surge la pregunta: ¿existe tal anillo? En otras palabras, ¿es consistente el sistema de axiomas de 2.1? Para probar la consistencia de este sistema de axiomas, es necesario construir su interpretación en una teoría obviamente consistente. Tal teoría puede considerarse la aritmética de los números naturales.
Entonces, procedemos a la construcción de la interpretación del sistema de axiomas 2.1. Consideraremos el conjunto como el inicial. En este conjunto, definimos dos operaciones binarias y una relación binaria. Dado que la suma y multiplicación de pares se reduce a la suma y multiplicación de números naturales, entonces, como en el caso de los números naturales, la suma y la multiplicación de pares son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Comprobemos, por ejemplo, que la suma de pares: + === + es conmutativa.
Considere las propiedades de la relación ~. Dado que a + b = b + a, entonces ~, es decir, la relación ~ es reflexiva. Si ~, es decir, a + b1 = b + a1, entonces a1 + b = b1 + a, es decir, ~. Por tanto, la relación ~ es simétrica. Dejemos más ~ y ~. Entonces las igualdades a + b1 = b + a1 y a1 + b2 = b1 + a2 son verdaderas. Sumando estas igualdades, obtenemos a + b2 = b + a2, es decir, ~. Por tanto, la relación ~ es también transitiva y, por tanto, es una equivalencia. La clase de equivalencia que contiene un par se indicará con. Por tanto, una clase de equivalencia puede ser denotada por cualquiera de sus pares, y al mismo tiempo
(1)
El conjunto de todas las clases de equivalencia se indicará con. Nuestra tarea es mostrar que este conjunto, con una definición adecuada de las operaciones de suma y multiplicación, será una interpretación del sistema de axiomas de 2.1. Las operaciones en un conjunto se definen por las igualdades:
(2)
(3)
Si y, es decir, en el conjunto N, las igualdades a + b (= b + a (, c + d (= a + c () también son válidas, entonces la igualdad (a + c) + (b (+ d () = (b + d) + (a (+ c (), de donde, en virtud de (1), obtenemos y la unicidad de la multiplicación de clases Así, las igualdades (2) y (3) definen algebraico binario operaciones en el plató.
Dado que la suma y multiplicación de clases se reduce a la suma y multiplicación de pares, estas operaciones son conmutativas, asociativas y la multiplicación de clases es distributiva con respecto a la suma. De las igualdades, concluimos que la clase es un elemento neutral con respecto a la suma y para cada clase hay una clase opuesta. Por tanto, el conjunto es un anillo, es decir, se satisfacen los axiomas del grupo 1 de 2.1.
Considere un subconjunto en el ring. Si a (b, entonces en virtud de (1), y si a
En el conjunto, definimos una relación binaria (sigue (; es decir, la clase es seguida por una clase, donde x (es un número natural que sigue a x. La clase siguiente se denota naturalmente por (. Está claro que la clase no sigue cualquier clase y cada clase, hay una clase que la sigue y, además, solo una, lo que significa que la relación (sigue (es una operación algebraica unaria sobre el conjunto N.
Considere un mapeo. Obviamente, este mapeo es biyectivo y las condiciones f (0) =, f (x () == (= f (x) (. Esto significa que el mapeo f es un isomorfismo del álgebra (N; 0, ()) en el álgebra (;, (). En otras palabras, el álgebra (;, () es una interpretación del sistema de axiomas de Peano. = a + c, a (c = ac, lo que significa que la suma y la multiplicación en un anillo sobre el subconjunto N coinciden con la suma y multiplicación de números naturales, por lo que hemos establecido que se cumplen los axiomas del grupo 2. Queda por verificar que se cumpla el axioma de mínimaidad.
Sea Z0 cualquier subanillo del anillo que contiene el conjunto N y. Tenga en cuenta que y, por lo tanto ,. Pero como Z0 es un anillo, la diferencia de estas clases también pertenece al anillo Z0. De las igualdades - = (=, se concluye que (Z0 y, por tanto, Z0 =. Se demuestra la consistencia del sistema de axiomas del ítem 2.1.
2.3. UNICIDAD DEL SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS.
Solo hay un sistema de números enteros en su sentido intuitivo. Esto significa que el sistema de axiomas que define los números enteros debe ser categórico, es decir, dos interpretaciones cualesquiera de este sistema de axiomas son isomórficas. Categoricalidad significa que, hasta el isomorfismo, solo hay un sistema de números enteros. Asegurémonos de que este sea el caso.
Sean (Z1; +, (, N) y (Z2; (, (, N) dos interpretaciones cualesquiera del sistema de axiomas en el ítem 2.1. Es suficiente para probar la existencia de un mapeo biyectivo f: Z1®Z2) para que los números naturales permanecen fijos y, además de, para cualquier elemento xey del anillo Z1, las igualdades
(1)
. (2)
Tenga en cuenta que dado que N (Z1 y N (Z2, entonces
, a (b = a (segundo) (3)
Sea x (Z1 y x = ab, donde a, b (N.Asocie este elemento x = ab con el elemento u = a (b, donde (resta en el anillo Z2. Si ab = cd, entonces a + d = b + c, de donde, en virtud de (3), a (d = b (c y, por tanto, a (b = c (d) Esto significa que nuestra correspondencia no depende del representante del elemento x en la forma de la diferencia de dos números naturales) y así define el mapeo f: Z1®Z2, f (ab) = a (b. Es claro que si v (Z2 y v = c (d, entonces v = f (cd)). Por tanto, cada elemento de Z2 es una imagen bajo el mapeo f y, por tanto, el mapeo f es sobreyectivo.
Si x = ab, y = cd, donde a, b, c, d (N y f (x) = f (y), entonces a (b = c (d. Pero entonces a (d = b (d, in en virtud de (3) a + d = b + c, es decir, ab = cd. Hemos probado que la igualdad f (x) = f (y) implica la igualdad x = y, es decir, el mapeo f es inyectable.
Si a (N, entonces a = a-0 y f (a) = f (a-0) = a (0 = a. Por lo tanto, los números naturales están fijos bajo el mapeo f. Además, si x = ab, y = cd, donde a, b, c, d (N, entonces x + y = (a + c) - y f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c) ( (b (d) = (a (b) ((c (d) = f (x) + f (y). Se demuestra la igualdad (1). Verificar la igualdad (2). Dado que f (xy) = (ac + bd) ((ad + bc) = (a (c (b (d) ((a (d (b (c)), y por otro lado f (x) (f (y) = (a (b) ( (c (d) = (a (c (b (d) ((a (d (b (c)). Por lo tanto, f (xy) = f (x) (f (y))), que completa la demostración de la categoricidad del sistema de axiomas en la sección 2.1.
2.4. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES.
El conjunto Q de números racionales en su sentido intuitivo es un campo para el que el conjunto Z de números enteros es un subanillo. Además, es obvio que si Q0 es un subcampo del campo Q que contiene todos los números enteros, entonces Q0 = Q. Usaremos estas propiedades como base para una definición rigurosa de un sistema de números racionales.
Definición 1. Un sistema de números racionales es un sistema algebraico (Q; +, (; Z) para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
1. el sistema algebraico (Q; +, () es un campo;
2. el anillo Z de números enteros es un subanillo del campo Q;
3. (condición de mínima) si el subcampo Q0 del campo Q contiene un subanillo Z, entonces Q0 = Q.
En resumen, un sistema de números racionales es un campo mínimo con respecto a la inclusión que contiene un subanillo de números enteros. Se puede dar una definición axiomática más detallada de un sistema de números racionales.
Teorema. Cada número racional x se puede representar como un cociente de dos enteros, es decir
, donde a, b (Z, b (0. (1)
Esta representación es ambigua y, donde a, b, c, d (Z, b (0, d (0.
Prueba. Sea Q0 el conjunto de todos los números racionales representables en la forma (1). Basta verificar que Q0 = Q. Sea, donde a, b, c, d (Z, b (0, d (0. Entonces, por las propiedades del campo, tenemos:, y para c (0. Entonces Q0 es cerrado con respecto a la resta y la división por números distintos de cero), y, por lo tanto, es un subcampo del campo Q.Como cualquier número entero a puede representarse en la forma, se sigue que Z (Q0. Por lo tanto, por la condición de minimidad, se sigue que Q0 = Q La demostración de la segunda parte del teorema es obvia.
2.5. LA EXISTENCIA DE UN SISTEMA NUMÉRICO RACIONAL.
El sistema de números racionales se define como el campo mínimo que contiene un subanillo de números enteros. La pregunta surge naturalmente: ¿existe tal campo, es decir, es consistente el sistema de axiomas que define los números racionales? Para probar la coherencia, es necesario construir una interpretación de este sistema de axiomas. En este caso, se puede confiar en la existencia de un sistema de números enteros. Al construir la interpretación, consideraremos el conjunto Z (Z \ (0) como el punto de partida. Sobre este conjunto definimos dos operaciones algebraicas binarias
, (1)
(2)
y relación binaria
(3)
La conveniencia de tal definición de operaciones y relaciones se deriva del hecho de que en la interpretación que estamos construyendo, el par expresará el cociente.
Es fácil comprobar que las operaciones (1) y (2) son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Todas estas propiedades se verifican en función de las propiedades correspondientes de suma y multiplicación de números enteros. Comprobemos, por ejemplo, la asociatividad de la multiplicación de pares :.
Se verifica de manera similar que la relación ~ es una equivalencia y, por lo tanto, el conjunto Z (Z \ (0) se divide en clases de equivalencia. El conjunto de todas las clases se denota por, y la clase que contiene un par se denota por. Así, una clase puede ser denotada por cualquiera de sus pares y en virtud de la condición (3), obtenemos:
. (4)
Nuestra tarea es definir la operación de suma y multiplicación en un conjunto para que sea un campo. Definimos estas operaciones por igualdades:
, (5)
(6)
Si, es decir, ab1 = ba1 y, es decir, cd1 = dc1, entonces multiplicando estas igualdades, obtenemos (ac) (b1d1) = (bd) (a1c1), lo que significa que Esto nos convence de que la igualdad (6) efectivamente define una operación inequívoca en un conjunto de clases, independiente de la elección de representantes en cada clase. La unicidad de la operación (5) se comprueba de forma similar.
Dado que la suma y multiplicación de clases se reduce a la suma y multiplicación de pares, las operaciones (5) y (6) son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma.
De las igualdades, concluimos que la clase es neutra con respecto a la suma y para cada clase hay un elemento opuesto. De manera similar, de las igualdades se deduce que una clase es un elemento neutral con respecto a la multiplicación, y para cada clase hay una clase inversa. Por tanto, es un campo con respecto a las operaciones (5) y (6); se cumple la primera condición de la definición del punto 2.4.
Considere más el conjunto. Obviamente, . El conjunto es cerrado con respecto a la resta y la multiplicación y, por lo tanto, es un subanillo del campo. En realidad, . Considere más el mapeo. La sobrejetividad de este mapeo es obvia. Si f (x) = f (y), es decir, entonces x (1 = y (1 o x = y. Por tanto, el mapeo f es inyectivo. Además,. Por lo tanto, el mapeo f es un isomorfismo de un anillo en un Al identificar estos anillos isomorfos, podemos suponer que el anillo Z es un subanillo del campo, es decir, se cumple la condición 2 en la definición del ítem 2.4. Queda por demostrar la minimidad del campo. Sea cualquier subcampo campos y, y permitir. Desde, a, entonces. Pero como es un campo, el cociente de estos elementos también pertenece al campo. Esto prueba que si, entonces, eso es. Se prueba la existencia de un sistema de números racionales.
2.6. LA UNICIDAD DEL SISTEMA NUMÉRICO RACIONAL.
Dado que solo hay un sistema de números racionales en su comprensión intuitiva, la teoría axiomática de los números racionales, que se presenta aquí, debe ser categórica. Categoricalidad significa que, hasta el isomorfismo, solo hay un sistema de números racionales. Demostremos que este es efectivamente el caso.
Sean (Q1; +, (; Z) y (Q2; (, (; Z) cualesquiera dos sistemas de números racionales. Es suficiente para probar la existencia de tal mapeo biyectivo bajo el cual todos los enteros permanecen fijos y, además, las condiciones
(1)
(2)
para cualquier elemento xey del campo Q1.
El cociente de los elementos ayb en el campo Q1 se indicará con, y en el campo Q2, con a: b. Dado que Z es un subanillo de cada uno de los campos Q1 y Q2, entonces, para cualquier número entero ayb, las igualdades
, . (3)
Dejemos y, donde. Asociemos este elemento x con el elemento y = a: b del campo Q2. Si una igualdad se cumple en el campo Q1, donde, entonces, por el teorema de la Sección 2.4, la igualdad ab1 = ba1 se cumple en el anillo Z, o en virtud de (3), la igualdad se mantiene, y luego, por el mismo teorema , la igualdad a: b = a1: b1 ... Esto significa que al asociar un elemento del campo Q1 con un elemento y = a: b del campo Q2, definimos un mapeo ,.
Cualquier elemento del campo Q2 se puede representar como a: b, donde y, por lo tanto, es la imagen de un elemento del campo Q1. Por tanto, el mapeo f es sobreyectivo.
Si, entonces en el campo Q1 y luego. Por tanto, f es biyectiva y todos los enteros permanecen fijos. Queda por demostrar la validez de las igualdades (1) y (2). Sea y, donde a, b, c, d (Z, b (0, d (0. Entonces y, de ahí, en virtud de (3)) f (x + y) = f (x) (f (y) Del mismo modo, y dónde.
Se prueba el isomorfismo de las interpretaciones (Q1; +, (; Z) y (Q2; (, (; Z)).
RESPUESTAS, INSTRUCCIONES, SOLUCIONES.
1.1.1. Solución. Sea la condición del Axioma 4 verdadera (una propiedad de los números naturales tal que ((0) y. Put. Entonces M satisface la premisa del Axioma 4, ya que ((0) (0 (M número posee la propiedad (. Inversamente. Suponga que para cualquier propiedad (del hecho de que ((0) y,) se sigue. Sea M un subconjunto de N tal que 0 (M y. Demostremos que M = N. Introduzca la propiedad (, ajuste. Entonces ( (0), ya que, y. Por lo tanto, por lo tanto, M = N.
1.1.2. Respuesta: Las afirmaciones del primer y cuarto axiomas de Peano son verdaderas. El segundo axioma es falso.
1.1.3. Respuesta: las afirmaciones 2, 3, 4 de los axiomas de Peano son verdaderas. El primer axioma es falso.
1.1.4. Las afirmaciones 1, 2, 3 de los axiomas de Peano son verdaderas. El cuarto axioma es falso. Sugerencia: demuestre que el conjunto satisface la premisa del axioma 4, formulada en términos de la operación, pero.
1.1.5. Sugerencia: para probar la verdad del axioma 4, considere un subconjunto M de A que satisfaga las condiciones: a) 1 ((M, b), y un conjunto. Demuestre eso. Entonces M = A.
1.1.6. Las afirmaciones de los axiomas 1, 2, 3-ésimo de Peano son verdaderas. El cuarto axioma de Peano es falso.
1.6.1. a) Solución: Primero, demuestre que si es 1am. Atrás. Déjame
1.6.2. a) Solución: Suponga lo contrario. Por M denotamos el conjunto de todos los números que no poseen la propiedad (. Por supuesto, M ((. Por el teorema 1, en M existe un elemento más pequeño n (0. Cualquier número x
1.8.1. f) Utilice el elemento e) y el elemento c): (a-c) + (c-b) = (a + c) - (c + b) = a-b, por lo tanto (a-b) - (c-b) = a-c.
h) Utilizar la propiedad.
k) Utilice el artículo b).
l) Utilice b) yh).
1.8.2. c) Tenemos, por tanto ,. Tan, .
d) Tenemos. Por eso, .
gramo).
1.8.3. a) Si (y (son soluciones diferentes de la ecuación ax2 + bx = c, entonces a (2 + b (= a (2 + b (. Por otro lado, si, por ejemplo, (b))) Sea (y (ser diferentes soluciones de la ecuación. Si ((. Sin embargo, (2 = a (+ b> a (, por lo tanto, (> a. Tenemos una contradicción.
c) Sean (y (raíces diferentes de la ecuación y (> (. Entonces 2 ((- () = (a (2 + b) - (a (2 + b) = a ((- () (((( + (Entonces, a ((+ () = 2, pero (+ (> 2, por lo tanto, a ((+ ()> 2, lo cual es imposible.
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2. Sugerencia: desde y, tenemos x = y; c) x = y (y + 2), y - cualquier número natural; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Hasta permutaciones x = 1, y = 2, z = 3. Solución: Sea, por ejemplo, x (y (z. Entonces xyz = x + y + z (3z, es decir, xy (3. Si xy = 1, entonces x = y = 1 y z = 2 + z, eso es imposible . Si xy = 2, entonces x = 1, y = 2. En este caso 2z = 3 + z, es decir, z = 3. Si xy = 3, entonces x = 1, y = 3. Entonces 3z = 4 + z, es decir, z = 2, lo que contradice el supuesto y (z.
1.8.5. b) Si x = a, y = b es una solución a la ecuación, entonces ab + b = a, es decir a> ab, que es imposible. d) Si x = a, y = b es una solución a la ecuación, entonces b
1.8.6. a) x = ky, donde k, y son números naturales arbitrarios e y (1. b) x es un número natural arbitrario, y = 1. c) x es un número natural arbitrario, y = 1. d) No hay solución. e) x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3. f) x> 5.
1.8.7. a) Si a = b, entonces 2ab = a2 + b2. Sea, por ejemplo, un
LITERATURA
1. Redkov M.I. Sistemas numéricos. / Recomendaciones metódicas para el estudio de la asignatura "Sistemas numéricos". Parte 1.- Omsk: OmGPI, 1984.- 46p.
2. Ershova T.I. Sistemas numéricos. / Desarrollo metódico para la formación práctica.- Sverdlovsk: SGPI, 1981.- 68s.
Este sistema de axiomas para la teoría de números enteros no es independiente, como se señaló en el ejercicio 3.1.4.
Teorema 1. La teoría axiomática de los números enteros es consistente.
Prueba. Demostraremos la consistencia de la teoría axiomática de los números enteros suponiendo que la teoría axiomática de los números naturales es consistente. Para ello, construiremos un modelo sobre el que se cumplan todos los axiomas de nuestra teoría.
Primero construyamos un anillo. Considere el conjunto
norte´ norte = {(a, b)ï a, bÎ norte}.
a, b) números naturales. Por tal par nos referimos a la diferencia de números naturales a - b... Pero hasta que no se haya probado la existencia de un sistema de números enteros en el que no exista tal diferencia, no tenemos derecho a utilizar tal designación. Al mismo tiempo, esta comprensión nos brinda la oportunidad de establecer las propiedades de los pares según sea necesario.
Sabemos que diferentes diferencias de números naturales pueden ser iguales a un mismo número entero. En consecuencia, presentamos en el set norte´ norte relación de igualdad:
(a, b) = (CD) Û a + d = b + c.
Es fácil ver que esta relación es reflexiva, simétrica y transitiva. Por tanto, es una relación de equivalencia y tiene derecho a llamarse igualdad. Conjunto de factores de un conjunto norte´ norte Z... Sus elementos se llamarán enteros. Representan clases de equivalencia en un conjunto de pares. La clase que contiene el par
(a, b), denotamos por [ a, b].
Z a, b] como una diferencia a - b
[a, b] + [CD] = [a + c, b + d];
[a, b] × [ CD] = [ac + bd, ad + bc].
Debe tenerse en cuenta que, estrictamente hablando, el uso de símbolos de operación no es del todo correcto aquí. El mismo símbolo + denota la suma de números naturales y pares. Pero dado que siempre está claro en qué conjunto se realiza una operación determinada, aquí no introduciremos designaciones separadas para estas operaciones.
Se requiere verificar la exactitud de las definiciones de estas operaciones, es decir, que los resultados no dependen de la elección de los elementos. a y B definiendo la pareja [ a, b]. De hecho, deja
[a, b] = [a 1 , B 1 ], [Dakota del Sur] = [con 1 , D 1 ].
Esto significa que a + b 1 = b + a 1 , c + d 1 =D + con 1. Sumando estas igualdades, obtenemos
a + b 1 + c + d 1 = b + a 1 +D + con 1 Þ [ a + b, c + d] = [a 1 +con 1 , B 1 + D 1] Þ
Þ [ a, b] + [CD] = [a 1 , B 1 ] + [C 1 , D 1 ].
La exactitud de la definición de multiplicación se determina de manera similar. Pero aquí es necesario comprobar primero que [ a, b] × [ CD] = [a 1 , B 1] × [ CD].
Ahora deberíamos comprobar que el álgebra resultante es un anillo, es decir, axiomas (Z1) - (Z6).
Comprobemos, por ejemplo, la conmutatividad de la suma, es decir, el axioma (Z2). Tenemos
[CD] + [a, b] = = [a + c, b + d] = [a, b] + [CD].
La conmutatividad de la suma de números enteros se deriva de la conmutatividad de la suma de números naturales, que se considera ya conocida.
Los axiomas (Z1), (Z5), (Z6) se verifican de manera similar.
El papel del cero lo juega un par. Lo denotamos por 0 ... En realidad,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [a + 1, b + 1] = [a, b].
Finalmente, -[ a, b] = [b, a]. En realidad,
[a, b] + [b, a] = [a + b, b + a] = = 0 .
Ahora revisemos los axiomas de extensión. Debe tenerse en cuenta que en el anillo construido no existen números naturales como tales, ya que los elementos del anillo son clases de pares de números naturales. Por lo tanto, se requiere encontrar una subálgebra isomórfica al semiring de números naturales. Aquí nuevamente la idea de la pareja [ a, b] como una diferencia a - b... Número natural norte se puede representar como la diferencia de dos valores naturales, por ejemplo, de la siguiente manera: norte = (norte+ 1) - 1. Por tanto surge la proposición para establecer la correspondencia F: norte ® Z por regla
F(norte) = [norte + 1, 1].
Esta coincidencia es inyectiva:
F(norte) = F(metro) Þ [ norte + 1, 1]= [metro+ 1, 1] Þ ( norte + 1) + 1= 1 + (metro+ 1) Þ n = m.
Por lo tanto, tenemos una correspondencia uno a uno entre norte y algún subconjunto Z, que denotamos por N *... Comprobemos que guarda operaciones:
F(norte) + F(metro) = [norte + 1, 1]+ [metro + 1, 1] = [norte + m + 2, 2]= [norte + metro+ 1, 1] = F(n + m);
F(norte) × F(metro) = [norte+ 1, 1] × [ metro + 1, 1] = [nm + n + m + 2, n + m + 2]= [Nuevo Méjico+ 1, 1] = F(Nuevo Méjico).
Así, se estableció que N * formas en Z con respecto a las operaciones de suma y multiplicación, la subálgebra isomorfa norte
Denotamos un par [ norte+ 1, 1] de N * norte, a través de norte a, b] tenemos
[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [B + 1, 1] = a – B .
Así, finalmente, el concepto del par [ a, b] como la diferencia de números naturales. Al mismo tiempo, se estableció que cada elemento del conjunto construido Z se representa como la diferencia de dos valores naturales. Esto ayudará a comprobar el axioma de minimidad.
Permitir M - subconjunto Z, conteniendo N * y junto con cualquier elemento a y B su diferencia a - b... Demostremos que en este caso M =Z... De hecho, cualquier elemento de Z se representa como la diferencia de dos números naturales, que, por condición, pertenecen a METRO junto con su diferencia.
Z
Teorema 2. La teoría axiomática de los enteros es categórica.
Prueba. Demostremos que dos modelos cualesquiera sobre los que se sostienen todos los axiomas de esta teoría son isomórficos.
Deja b Z 1, +, ×, norte 1 ñ y á Z 2, +, ×, norte 2 ñ - dos modelos de nuestra teoría. Estrictamente hablando, las operaciones en ellos deben indicarse con diferentes símbolos. Nos alejaremos de este requisito para no enredar los cálculos: cada vez queda claro de qué tipo de operación estamos hablando. Los elementos pertenecientes a los modelos considerados se suministrarán con los índices 1 o 2 correspondientes.
Vamos a definir un mapeo isomorfo del primer modelo al segundo. Porque norte 1 y norte 2 son semirríos de números naturales, entonces hay un mapeo isomórfico j del primer semirriado al segundo. Definimos un mapeo F: Z 1 ® Z 2. Cada entero NS 1 Î Z 1 se representa como la diferencia de dos valores naturales:
NS 1 = un 1 - B 1. Creemos
F (X 1) = j ( a 1) – j ( B 1).
Demostremos que F- isomorfismo. El mapeo está definido correctamente: si NS 1 = a 1, donde y 1 = C 1 – D 1, luego
a 1 - B 1 = C 1 – D 1 Þ a 1 + d 1 = B 1 + C 1 Þ j ( a 1 + d 1) = j ( B 1 + C 1) Þ
Þ j ( a 1) + j ( D 1) = j ( B 1) + j ( C 1) Þ j ( a 1) - j ( B 1) = j ( C 1) - j ( D 1) Þ F(X 1) =F (y 1).
De ahí se sigue que f - mapeo inequívoco Z 1 en Z 2. Pero para cualquiera NS 2 de Z Se pueden encontrar 2 elementos naturales a 2 y B 2 tal que NS 2 = un 2 - B 2. Dado que j es un isomorfismo, estos elementos tienen imágenes inversas a 1 y B 1. Medio, X 2 = j ( a 1) –
j ( B 1) =
= F (a 1 - B 1), y cada elemento de Z 2 es un prototipo. De ahí la correspondencia F doce y cincuenta y nueve de la noche. Comprobemos que guarda operaciones.
Si NS 1 = un 1 - B 1 , y 1 = c 1 - D 1, luego
NS 1 + y 1 = (a 1 + C 1) – (B 1 +D 1),
F(NS 1 + y 1) = j ( a 1 + C 1) – j ( B 1 +D 1) = j ( a 1) + j ( C 1) – j ( B 1) – j ( D 1) =
J ( a 1) – j ( B 1) + j ( C 1)– j ( D 1) =F(NS 1) + F(y 1).
Asimismo, se comprueba que se conserve la multiplicación. Así, se estableció que F Es un isomorfismo, y el teorema está probado.
Ejercicios
1. Demuestre que cualquier anillo que incluya un sistema de números naturales también incluye un anillo de números enteros.
2. Demuestre que todo anillo conmutativo mínimo ordenado con unidad es isomorfo al anillo de números enteros.
3. Demuestre que todo anillo ordenado con unidad y sin divisores cero contiene y solo un subanillo isomorfo al anillo de números enteros.
4. Demuestre que el anillo de matrices de segundo orden sobre el campo de números reales contiene un número infinito de subanillos isomórficos al anillo de números enteros.
El campo de los números racionales
La definición y construcción del sistema de números racionales se realiza de la misma forma que se hace para el sistema de números enteros.
Definición. Un sistema de números racionales es un campo mínimo que es una extensión del anillo de números enteros.
De acuerdo con esta definición, obtenemos la siguiente construcción axiomática de un sistema de números racionales.
Términos primarios:
Q- un conjunto de números racionales;
0, 1 - constantes;
+, × - operaciones binarias en Q;
Z- subconjunto Q, un conjunto de números enteros;
Е, Д - operaciones binarias en Z.
Axiomas:
I. Axiomas de campo.
(Q1) a+ (b + c) = (a + b) + C.
(Q2) a + b = b + a.
(Q3) (" a) a + 0 = a.
(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.
(Q5) a× ( B× C) = (a× B) × C.
(P6) a× b = b× a.
(P7) a× 1 = a.
(P8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.
(P9) ( a + b) × c = a × c + b× C.
II. Axiomas de extensión.
(Q10) á Z, M, L, 0, 1ñ es el anillo de números naturales.
(P11) Z Í Q.
(P12) (" a, bÎ Z) a + b = aÅ B.
(P13) (" a, bÎ Z) a× b = aÄ B.
III. Axioma de minimidad.
(P14) METROÍ Q, ZÍ METRO, ("a, bÎ METRO)(B ¹ 0 ® a× B–1 Î METRO)Þ METRO = Q.
Número a× B-1 se llama cociente a y B, denotado a/B o .
Teorema 1. Cualquier número racional se representa como un cociente de dos números enteros.
Prueba. Permitir METRO- un conjunto de números racionales, representado como un cociente de dos números enteros. Si norte- entero, entonces n = n/ 1 pertenece a METRO, por eso, ZÍ METRO... Si a, bÎ METRO, luego a = k/l, b = m/norte, dónde k, l, m, nÎ Z... Por eso, a/B=
= (kn) / (lm)Î METRO... Por axioma (Q14) METRO= Q, y se demuestra el teorema.
Teorema 2. El campo de los números racionales puede ordenarse lineal y estrictamente de una manera única. El orden en el campo de los números racionales es Arquímedes y continúa el orden en el anillo de los números enteros.
Prueba. Denotemos por Q+ el conjunto de números representables como una fracción, donde kl> 0. Es fácil ver que esta condición no depende del tipo de fracción que representa el número.
Vamos a comprobar eso Q + – parte positiva del campo Q... Ya que para un entero kl son posibles tres casos: kl = 0, klÎ norte, –kl Î norte, entonces para a = obtenemos una de tres posibilidades: a = 0, aÎ Q+, –AÎ Q + ... Además, si a =, b = pertenecen a Q+ entonces kl > 0, Minnesota> 0. Entonces a + b =, y ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2> 0. Por lo tanto, a + bÎ Q + ... De manera similar se verifica que abÎ Q + ... Por lo tanto, Q + - parte positiva del campo Q.
Permitir Q++ - cualquier parte positiva de este campo. Tenemos
l = .l 2 Î Q ++ .
De aquí norteÍ Q++. Según el teorema 2.3.4, los números inversos a los números naturales también pertenecen a Q++. Luego Q + Í Q++. Según el teorema 2.3.6 Q + =Q++. Por tanto, los órdenes definidos por las partes positivas también coinciden. Q+ y Q ++ .
Porque Z + = norteÍ Q+, luego el orden en Q continúa el orden en Z.
Ahora sea a => 0, b => 0. Dado que el orden en el anillo de los enteros es Arquímedes, entonces para positivo kn y ml hay un natural con tal que con× kn>ml... De aquí con a = con> = b. Por tanto, el orden está en el campo de los números racionales de Arquímedes.
Ejercicios
1. Demuestre que el campo de los números racionales es denso, es decir, para cualquier número racional a < B hay un racional r tal que a < r < B.
2. Demuestre que la ecuación NS 2 = 2 no tiene soluciones en Q.
3. Demuestre que el conjunto Q contable.
Teorema 3. La teoría axiomática de los números racionales es consistente.
Prueba. La consistencia de la teoría axiomática de los números racionales se prueba de la misma forma que para los números enteros. Para ello, se construye un modelo sobre el que se cumplen todos los axiomas de la teoría.
Tomamos como base el conjunto
Z´ Z * = {(a, b)ï a, bÎ Z, B ¹ 0}.
Los elementos de este conjunto son pares ( a, b) enteros. Por tal par nos referimos al cociente de números enteros a/B... De acuerdo con esto, establecemos las propiedades de los pares.
Presentar en el set Z´ Z * relación de igualdad:
(a, b) = (CD) Û ad = bc.
Tenga en cuenta que es una relación de equivalencia y tiene derecho a llamarse igualdad. Conjunto de factores de un conjunto Z´ Z * con respecto a esta relación, denotamos igualdades por Q... Sus elementos se llamarán números racionales. La clase que contiene el par ( a, b), denotamos por [ a, b].
Introducir en el set construido Q operaciones de suma y multiplicación. La representación del elemento [ a, b] como privado a/B... De acuerdo con esto, asumimos por definición:
[a, b] + [CD] = [ad + bc, bd];
[a, b] × [ CD] = [ac, bd].
Verificamos la exactitud de las definiciones de estas operaciones, es decir, que los resultados no dependen de la elección de elementos. a y B definiendo la pareja [ a, b]. Esto se hace de la misma manera que en la demostración del teorema 3.2.1.
El papel del cero lo juega un par. Lo denotamos por 0 ... En realidad,
[a, b] + 0 = [a, b] + = [una × 1 + 0 × b, b × 1] = [a, b].
Opuesto a [ a, b] es un par - [ a, b] = [–a, b]. En realidad,
[a, b] + [–a, b]= [ab - ab, bb] = = 0 .
La unidad es un par = 1 ... La inversa del par [ a, b] - par [ b, a].
Ahora revisemos los axiomas de extensión. Establezcamos una correspondencia
F: Z ® Q por regla
F(norte) = [norte, 1].
Comprobamos que se trata de una correspondencia uno a uno entre Z y algún subconjunto Q, que denotamos por Z *... Además, comprobamos que conserva las operaciones, lo que significa que establece un isomorfismo entre Z y subring Z * v Q... Esto significa que se han verificado los axiomas de extensión.
Denotamos un par [ norte, 1] de Z * correspondiente al número natural norte, a través de norte ... Entonces, para un par arbitrario [ a, b] tenemos
[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [B, 1] = a /B .
Así, el concepto de par [ a, b] como el cociente de números enteros. Al mismo tiempo, se estableció que cada elemento del conjunto construido Q se representa como un cociente de dos totales. Esto ayudará a comprobar el axioma de minimidad. La verificación se realiza como en el teorema 3.2.1.
Por lo tanto, para el sistema construido Q Se cumplen todos los axiomas de la teoría de los enteros, es decir, hemos construido un modelo de esta teoría. Se demuestra el teorema.
Teorema 4. La teoría axiomática de los números racionales es categórica.
La demostración es similar a la demostración del teorema 3.2.2.
Teorema 5. Un campo ordenado de Arquímedes es una extensión del campo de los números racionales.
Prueba - como ejercicio.
Teorema 6. Permitir F- campo ordenado de Arquímedes, a > B, dónde a, bÎ F... Hay un número racional Î F tal que a > > B.
Prueba. Permitir a > B³ 0. Entonces a - b> 0 y ( a - b) –1> 0. Hay una T tal que metro× 1> ( a - b) –1, de donde metro –1 < a - b £ a... Además, hay un natural k tal que k× metro–1 ³ a... Permitir k Es el número más pequeño para el que se cumple esta desigualdad. Porque k> 1, entonces podemos poner k = n + 1, norte Î norte... Donde
(norte+ 1) × metro–1 ³ a, norte× metro –1 < a... Si norte× metro–1 £ B, luego a = B + (a - b) > b + m–1 ³ norte× metro –1 + metro –1 =
= (norte+ 1) × metro-1. Contradicción. Medio, a >norte× metro –1 > B.
Ejercicios
4. Demuestre que cualquier campo que incluya un anillo de números enteros también incluye el campo de números racionales.
5. Demuestre que todo campo mínimo ordenado es isomórfico al campo de los números racionales.
Numeros reales
En el curso de matemáticas de la escuela, los números reales se determinaron de manera constructiva, en función de la necesidad de tomar medidas. Esta definición era laxa y a menudo conducía a los investigadores a un callejón sin salida. Por ejemplo, la cuestión de la continuidad de los números reales, es decir, ¿existen vacíos en este conjunto? Por tanto, a la hora de realizar una investigación matemática, es necesario contar con una definición estricta de los conceptos en estudio, al menos en el marco de algunos supuestos intuitivos (axiomas) que son consistentes con la práctica.
DEFINICIÓN. Una colección de elementos x, y, z, ... que consta de más de un elemento, llamado el set R números reales si se establecen las siguientes operaciones y relaciones para estos objetos:
Yo grupo de axiomas- los axiomas de la operación de suma.
En el set R se introduce la operación de suma, es decir, para cualquier par de elementos a y B suma y designado a + B
Yo 1. a+B=B+a, a, b R
.
Yo 2. a+(b + c)=(a + b)+C,a, B, C R .
I 3. Hay un elemento llamado cero y denotado por 0, que para cualquier a R la condición está satisfecha a+0=a.
Yo 4. Para cualquier elemento a R hay un elemento llamado a eso opuesto y denotado - a, para cual a+(-a) = 0. Elemento a+(-B), a, B R se llama diferencia elementos a y B y denotado a - B.
II - grupo de axiomas - axiomas de multiplicación... En el set R operación introducida multiplicación, es decir, para cualquier par de elementos a y B se define un solo elemento llamado ellos producto y designado a b, para que se cumplan las siguientes condiciones:
II 1. ab=ba, a, B R
.
II 2 a(antes de Cristo)=(ab)C, a, B, C R .
II 3. Existe un elemento llamado unidad y denotado por 1, que para cualquier a R la condición está satisfecha a 1=a.
II 4. Para cualquiera a 0 hay un elemento llamado marcha atrás y denotado o 1 / a, para cual a= 1. Elemento a , B 0 se llama privado de la división a sobre B y denotado a:B o o a/B.
II 5. Conexión de operaciones de suma y multiplicación: para cualquier a, B, C R la condición ( ac + b) c=ac + bc.
Un conjunto de objetos que satisfacen los axiomas de los grupos I y II se denomina campo numérico o simplemente campo. Y los axiomas correspondientes se denominan axiomas de campo.
III - el tercer grupo de axiomas - axiomas de orden. Para los artículos R la relación de orden está definida. Es como sigue. Para dos elementos diferentes a y B se cumple una de dos relaciones: a B(leer " a Menos que o igual a B"), o a B(leer " a mas o igual B"). Se supone que se cumplen las siguientes condiciones:
III 1. a a para cada una. De a b, b deberían a = b.
III 2. Transitividad. Si a B y B C, luego a C.
III 3. Si a B, luego para cualquier elemento C ocurre a+C B+C.
III 4. Si a 0, b 0, luego ab 0 .
El grupo de axiomas IV consta de un axioma: el axioma de continuidad. Para cualquier conjunto que no esté vacío X y Y de R tal que para cada par de elementos X X y y Y la desigualdad se mantiene X < y, hay un elemento a R satisfaciendo la condición
| Arroz. 2 |
X < a < y, X X, y Y(Figura 2). Las propiedades enumeradas determinan completamente el conjunto de números reales en el sentido de que todas sus otras propiedades se derivan de estas propiedades. Esta definición especifica sin ambigüedad el conjunto de números reales hasta la naturaleza específica de sus elementos. La cláusula de que un conjunto contiene más de un elemento es necesaria porque un conjunto que consta de un solo cero obviamente satisface todos los axiomas. En lo que sigue, los elementos del conjunto R se denominarán números.
Definamos ahora los conceptos familiares de números naturales, racionales e irracionales. Los números 1, 2 1 + 1, 3 2 + 1, ... se llaman números naturales, y su conjunto se denota norte ... De la definición del conjunto de números naturales se desprende que tiene la siguiente propiedad característica: si
1) A norte ,
3) para cada elemento x A la inclusión x + 1 A, Entonces un=norte .
De hecho, de acuerdo con la condición 2), tenemos 1 A, por lo tanto, por propiedad 3) y 2 A, y luego, de acuerdo con la misma propiedad, obtenemos 3 A... Dado que cualquier número natural norte se obtiene a partir de 1 mediante la adición sucesiva del mismo 1, entonces norte A, es decir. norte A, y dado que por la condición 1 la inclusión A norte , luego A=norte .
El principio de prueba se basa en esta propiedad de los números naturales. por inducción matemática... Si hay muchas declaraciones, a cada una de las cuales se le asigna un número natural (su número) norte= 1, 2, ..., y si se demuestra que:
1) la declaración número 1 es verdadera;
2) de la validez de la declaración con cualquier número norte norte la validez de la declaración con el número norte+1;
entonces esto prueba la validez de todas las declaraciones, es decir cualquier declaración con un número arbitrario norte norte .
Números 0, + 1, + 2, ... se llaman números enteros, su conjunto denota Z .
Números como m / n, dónde metro y norte entero, y norte 0 se llaman numeros racionales... El conjunto de todos los números racionales denota Q .
Los números reales que no son racionales se llaman irracional, su conjunto se denota I .
Surge la pregunta de que, tal vez, los números racionales agotan todos los elementos del conjunto R? La respuesta a esta pregunta viene dada por el axioma de continuidad. De hecho, este axioma no se aplica a los números racionales. Por ejemplo, considere dos conjuntos:
Es fácil ver que la desigualdad es válida para cualquier elemento y. pero racional no hay ningún número que separe estos dos conjuntos. De hecho, este número solo puede ser, pero no es racional. Este hecho indica que hay Numeros irracionales en el set R.
Además de cuatro operaciones aritméticas sobre números, puede realizar las operaciones de elevar a una potencia y extraer una raíz. Para cualquier número a R y natural norte la licenciatura un definido como una obra norte factores iguales a a:
Priorato a 0 1, a>0, a- n 1 / a norte, a 0, norte- número natural.
Ejemplo. Desigualdad de Bernoulli: ( 1 + x) n> 1 + nx Demuestre por inducción.
Permitir a>0, norte- número natural. Número B llamado raíz n-th grado de entre a, si b n = a... En este caso, está escrito. Existencia y singularidad de una raíz positiva de cualquier grado. norte de cualquier número positivo se demostrará a continuación en la sección 7.3.
Incluso la raíz, a 0 tiene dos significados: si B = , k norte
, luego -B=. De hecho, desde b 2k = a sigue que
(-B)2k = ((-B) 2 )k = (b 2)k = b 2k
Un valor no negativo se llama valor aritmético.
Si r = p / q, dónde pag y q entero, q 0, es decir r es un número racional, entonces para a > 0
| (2.1) |
Entonces el grado un r definido para cualquier número racional r... De su definición se deduce que para cualquier r la igualdad se mantiene
a -r = 1/un r.
La licenciatura una x(número X llamado exponente) para cualquier número real X se obtiene usando una extensión continua de un grado con un exponente racional (ver sobre esto en la Sección 8.2). Para cualquier número a R número no negativo
lo llamó valor absoluto o módulo... Los valores absolutos de los números satisfacen las desigualdades
|a + B| <
|a| + |B|,
||a - B|| <
|a - B|, a, B R
Se prueban utilizando las propiedades I-IV de los números reales.
El papel del axioma de continuidad en la construcción del análisis matemático
El significado del axioma de continuidad es tal que sin él es imposible una construcción rigurosa del análisis matemático. [ fuente no especificada 1351 días] Para ilustrar, presentamos varios enunciados fundamentales de análisis, cuya prueba se basa en la continuidad de los números reales:
· (Teorema de Weierstrass). Cualquier secuencia acotada monótonamente creciente converge
· (Teorema de Bolzano-Cauchy). Una función continua en un segmento que toma valores en sus extremos. signo diferente, desaparece en algún punto interior del segmento
· (Existencia de funciones de potencia, exponenciales, logarítmicas y todas las funciones trigonométricas en todo el dominio de definición "natural"). Por ejemplo, se demuestra que para todos y el todo existe, es decir, una solución a la ecuación. Esto le permite determinar el significado de la expresión para todos los racionales:
Finalmente, nuevamente, gracias a la continuidad de la recta numérica, es posible determinar el valor de la expresión ya para una arbitraria. De manera similar, usando la propiedad de continuidad, se prueba la existencia de un número para cualquier.
Durante un largo período de tiempo histórico, los matemáticos han estado probando teoremas a partir del análisis, refiriéndose a la sustanciación geométrica en "lugares sutiles", y más a menudo saltándolos por completo porque era obvio. El concepto más importante de continuidad se ha utilizado sin una definición clara. Solo en el último tercio del siglo XIX el matemático alemán Karl Weierstrass realizó la aritmetización del análisis, construyendo la primera teoría rigurosa de los números reales como fracciones decimales infinitas. Propuso una definición clásica del límite en el lenguaje, probó una serie de afirmaciones que se consideraron "obvias" ante él y, por lo tanto, completó la construcción de la base del análisis matemático.
Posteriormente, se propusieron otros enfoques para determinar el número real. En el enfoque axiomático, la continuidad de los números reales se separa explícitamente en un axioma separado. En enfoques constructivos de la teoría de los números reales, por ejemplo, al construir números reales usando secciones de Dedekind, la propiedad de continuidad (en una formulación u otra) se demuestra como un teorema.
Otras formulaciones de la propiedad de continuidad y oraciones equivalentes [editar | editar texto wiki]
Hay varios enunciados diferentes que expresan la propiedad de la continuidad de los números reales. Cada uno de estos principios puede tomarse como base para la construcción de la teoría de un número real como axioma de continuidad, y todos los demás pueden derivarse de él. Este tema se analiza con más detalle en la siguiente sección.
Continuidad de Dedekind[editar | editar texto wiki]
Articulo principal:Teoría de secciones en el campo de los números racionales
Dedekind considera la cuestión de la continuidad de los números reales en su obra "Continuity and Irrational Numbers". En él, compara números racionales con puntos en línea recta. Como sabes, entre números racionales y puntos de una línea recta, puedes establecer una correspondencia cuando el punto de partida y la unidad de medida de los segmentos se eligen en la línea recta. Con la ayuda de este último, puedes construir un segmento correspondiente para cada número racional, y colocándolo a la derecha oa la izquierda, dependiendo de si hay un número positivo o negativo, puedes obtener un punto correspondiente al número. Así, cada número racional corresponde a uno y solo un punto en la línea recta.
Resulta que hay infinitos puntos en la recta que no corresponden a ningún número racional. Por ejemplo, un punto obtenido al trazar la longitud de la diagonal de un cuadrado construido sobre una línea unitaria. Por tanto, la región de los números racionales no tiene el mismo lo completo, o continuidad, que es inherente a una línea recta.
Para aclarar en qué consiste esta continuidad, Dedekind hace la siguiente observación. Si hay un cierto punto en una línea recta, entonces todos los puntos en la línea recta se dividen en dos clases: puntos ubicados a la izquierda y puntos ubicados a la derecha. El punto en sí puede asignarse arbitrariamente a la clase baja o alta. Dedekind ve la esencia de la continuidad en el principio opuesto:
Geométricamente, este principio parece obvio, pero no podemos probarlo. Dedekind enfatiza que, en esencia, este principio es un postulado, que expresa la esencia de la propiedad atribuida a lo directo, que llamamos continuidad.
Para comprender mejor la esencia de la continuidad de la recta numérica en el sentido de Dedekind, considere una intersección arbitraria del conjunto de números reales, es decir, la división de todos los números reales en dos clases no vacías, de modo que todos los números de una clase se encuentra en la recta numérica a la izquierda de todos los números de la segunda. Estas clases se nombran en consecuencia más bajo y clases superiores sección. En teoría, hay 4 posibilidades:
1. En la clase baja hay un elemento máximo, en la clase alta no hay un mínimo
2. En la clase baja no hay un elemento máximo, y en la clase alta hay un mínimo.
3. En la clase baja hay un máximo, y en la clase alta hay un elemento mínimo.
4. En la clase baja no hay un máximo y en la clase alta no hay un elemento mínimo.
En el primer y segundo caso, el elemento máximo de la parte inferior o el elemento mínimo de la superior, respectivamente, produce la sección dada. En el tercer caso, tenemos salto, y en el cuarto - espacio... Así, la continuidad de la recta numérica significa que no hay saltos ni espacios en el conjunto de números reales, es decir, en sentido figurado, no hay vacíos.
Si introducimos el concepto de una sección de un conjunto de números reales, entonces el principio de continuidad de Dedekind se puede formular de la siguiente manera.
Principio de continuidad (integridad) de Dedekind. Para cada sección del conjunto de números reales, hay un número que produce esta sección.
Comentario. La formulación del axioma de continuidad sobre la existencia de un punto que separa dos conjuntos es muy similar a la formulación del principio de continuidad de Dedekind. De hecho, estas declaraciones son equivalentes y, en esencia, son formulaciones diferentes de la misma cosa. Por lo tanto, ambas declaraciones se denominan el principio de continuidad de los números reales según Dedekind.
Lema en segmentos incrustados (principio de Cauchy-Cantor)[editar | editar texto wiki]
Articulo principal:Lema en segmentos anidados
Lema en segmentos anidados (Cauchy - Cantor). Cualquier sistema de segmentos de línea anidados
tiene una intersección no vacía, es decir, hay al menos un número que pertenece a todos los segmentos del sistema dado.
Si, además, la longitud de los segmentos de este sistema tiende a cero, es decir,
entonces la intersección de los segmentos de este sistema consta de un punto.
Esta propiedad se llama Continuidad del conjunto de números reales en el sentido de Cantor.... Se mostrará a continuación que para los campos ordenados de Arquímedes, la continuidad de Cantor es equivalente a la continuidad de Dedekind.
Principio supremo[editar | editar texto wiki]
El principio del supremum. Cualquier conjunto no vacío de números reales acotado arriba tiene un supremo.
En los cursos de análisis matemático, esta proposición suele ser un teorema y su demostración utiliza esencialmente la continuidad del conjunto de números reales de una forma u otra. Al mismo tiempo, es posible, por el contrario, postular la existencia de un supremum para cualquier conjunto no vacío acotado arriba, y apoyándose en esto para probar, por ejemplo, el principio de continuidad de Dedekind. Por tanto, el teorema superior es una de las formulaciones equivalentes de la propiedad de continuidad de los números reales.
Comentario. En lugar de supremum, se puede utilizar el concepto dual de infimum.
El principio infimum. Cualquier conjunto de números reales de límites inferiores no vacíos tiene un mínimo.
Esta oración también es equivalente al principio de continuidad de Dedekind. Además, se puede demostrar que la afirmación del teorema sobre el mínimo se sigue inmediatamente de la afirmación del teorema sobre el supremum, y viceversa (véase más adelante).
Lema de cubierta finita (principio de Heine-Borel)[editar | editar texto wiki]
Articulo principal:Lemma Heine - Borel
Lema de cubierta finita (Heine - Borel). En cualquier sistema de intervalos que cubre un segmento, existe un subsistema finito que cubre este segmento.
Lema del punto límite (principio de Bolzano-Weierstrass)[editar | editar texto wiki]
Articulo principal:Teorema de Bolzano-Weierstrass
Lema del punto límite (Bolzano - Weierstrass). Cualquier conjunto de números acotados infinitos tiene al menos un punto límite.
Equivalencia de oraciones que expresan la continuidad del conjunto de números reales [editar | editar texto wiki]
Hagamos algunas observaciones preliminares. De acuerdo con la definición axiomática de un número real, la totalidad de los números reales satisface tres grupos de axiomas. El primer grupo son los axiomas de campo. El segundo grupo expresa el hecho de que la colección de números reales es un conjunto ordenado linealmente y la relación de orden es consistente con las operaciones básicas del campo. Por tanto, el primer y segundo grupo de axiomas significan que la colección de números reales es un campo ordenado. El tercer grupo de axiomas consta de un axioma: el axioma de continuidad (o completitud).
Para mostrar la equivalencia de diferentes formulaciones de la continuidad de los números reales, se debe probar que si una de estas proposiciones se cumple para un campo ordenado, entonces todas las demás son válidas a partir de este.
Teorema. Sea un conjunto arbitrario linealmente ordenado. Las siguientes declaraciones son equivalentes:
1. Cualquier conjunto no vacío y tal que para dos elementos cualesquiera y la desigualdad se cumpla, existe un elemento tal que para todos y la relación
2. Para cualquier sección, hay un elemento que produce esta sección.
3. Cualquier conjunto no vacío acotado arriba tiene un supremo
4. Cualquier conjunto no vacío delimitado por debajo tiene el mínimo
Como puede verse en este teorema, estas cuatro proposiciones usan solo el hecho de que se introduce la relación de orden lineal y no usan la estructura del campo. Por tanto, cada uno de ellos expresa una propiedad como un conjunto ordenado linealmente. Esta propiedad (de un conjunto arbitrario ordenado linealmente, no necesariamente un conjunto de números reales) se llama continuidad, o integridad, según Dedekind.
La prueba de la equivalencia de otras proposiciones ya requiere la presencia de una estructura de campo.
Teorema. Sea un campo ordenado arbitrario. Las siguientes oraciones son equivalentes:
1. (como un conjunto ordenado linealmente) es Dedekind completo
2. Porque el principio de Arquímedes se cumple y principio de línea anidada
3. Porque se cumple el principio Heine - Borel
4. Para que se cumpla el principio Bolzano-Weierstrass
Comentario. Como puede verse en el teorema, el principio del segmento de línea anidado en sí mismo no equivalente Principio de continuidad de Dedekind. El principio de continuidad de Dedekind implica el principio de segmentos anidados; sin embargo, para lo contrario, se requiere requerir adicionalmente que el campo ordenado satisfaga el axioma de Arquímedes.
Las pruebas de los teoremas anteriores se pueden encontrar en los libros de la bibliografía siguiente.
· Kudryavtsev, L. D. El curso de análisis matemático. - 5ta ed. - M .: "Avutarda", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
· Fikhtengolts, G.M. Fundamentos del análisis matemático. - 7ª ed. - M.: "FIZMATLIT", 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
· Dedekind, R. Continuidad y números irracionales = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4ª edición revisada. - Odessa: Mathesis, 1923 .-- 44 p.
· Zorich, V.A. Análisis matemático. Parte I. - Ed. 4ª, rev .. - M.: "MCNMO", 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
· Continuidad de funciones y dominios numéricos: B. Bolzano, L.O. Cauchy, R. Dedekind, G. Kantor. - 3ª ed. - Novosibirsk: ANT, 2005 .-- 64 p.
4.5. Axioma de continuidad
Cualesquiera que sean dos conjuntos no vacíos de números reales A y
B para el cual, para cualquier elemento a ∈ A y b ∈ B, la desigualdad
a ≤ b, existe un número λ tal que, para todo a ∈ A, b ∈ B,
igualdad a ≤ λ ≤ b.
La propiedad de la continuidad de los números reales significa que en
no hay "vacíos" en la línea venosa, es decir, los puntos que representan los números se llenan
todo el eje real.
Démosle otra formulación del axioma de continuidad. Para hacer esto, presentamos
Definición 1.4.5. Dos conjuntos A y B se denominarán sección
conjuntos de números reales si
1) los conjuntos A y B no están vacíos;
2) la unión de los conjuntos A y B constituye el conjunto de todos los
números;
3) cada número del conjunto A es menor que el número del conjunto B.
Es decir, cada conjunto que forma una sección contiene al menos una
elemento, estos conjuntos no contienen elementos comunes y, si a ∈ A y b ∈ B, entonces
El conjunto A se denominará clase inferior y el conjunto B, el superior.
clase de sección. La sección se indicará con A B.
Los ejemplos más simples de secciones transversales son las secciones transversales obtenidas a continuación
en forma de soplo. Toma un número α y pon
A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-
intersecan y si a ∈ A y b ∈ B, entonces a< b , поэтому множества A и B образуют
sección. Del mismo modo, una sección puede estar formada por los conjuntos
A = (x x ≤ α), B = (x x> α).
Estas secciones se denominarán secciones generadas por el número α o
diremos que el número α produce esta sección. Esto se puede escribir como
Las secciones generadas por cualquier número tienen dos interesantes
propiedades:
Propiedad 1. O la clase alta contiene el número más pequeño, y en la clase baja
la clase no tiene el número más alto, o la clase inferior contiene el número más alto
he aquí, y la clase alta no es la más pequeña.
Propiedad 2. El número que produce una sección determinada es único.
Resulta que el axioma de continuidad mencionado anteriormente es equivalente a
se adhiere a la declaración, que se llama el principio de Dedekind:
Principio de Dedekind. Para cada sección, hay un número que genera
esta es la sección.
Demostremos la equivalencia de estas afirmaciones.
Suponga que el axioma de continuidad es válido, y algunos se-
leyendo A B. Entonces, dado que las clases A y B satisfacen las condiciones, formulamos
axioma, existe un número λ tal que a ≤ λ ≤ b para cualquier número
a ∈ A y b ∈ B. Pero el número λ debe pertenecer a uno y solo uno de
clases A o B; por lo tanto, una de las desigualdades a ≤ λ< b или
a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,
o el más pequeño de la clase alta y genera la sección dada.
Por el contrario, que se satisfaga el principio de Dedekind y dos no vacíos
establece A y B tal que para todo a ∈ A y b ∈ B la desigualdad
a ≤ b. Sea B el conjunto de números b tales que a ≤ b para cualquier
b ∈ B y todo a ∈ A. Entonces B ⊂ B. Para el conjunto A tomamos el conjunto de todos los números.
pueblos no incluidos en B.
Demostremos que los conjuntos A y B forman una sección.
De hecho, es obvio que el conjunto B no está vacío, ya que contiene
conjunto no vacío B. El conjunto A tampoco está vacío, ya que si un número a ∈ A,
entonces el número a - 1∉ B, ya que cualquier número incluido en B debe ser al menos
números a, por lo tanto, a - 1∈ A.
el conjunto de todos los números reales, debido a la elección de conjuntos.
Y finalmente, si a ∈ A y b ∈ B, entonces a ≤ b. De hecho, si alguno
el número c satisfará la desigualdad c> b, donde b ∈ B, entonces será incorrecto
igualdad c> a (a es un elemento arbitrario del conjunto A) y c ∈ B.
Entonces, A y B forman una sección, y en virtud del principio de Dedekind, hay un puro
lo λ generando esta sección, es decir, siendo la más grande de la clase
Demostremos que este número no puede pertenecer a la clase A. En realidad-
pero, si λ ∈ A, entonces hay un número a * ∈ A tal que λ< a* . Тогда существует
el número a ′ que se encuentra entre los números λ y a *. De la desigualdad a ′< a* следует, что
a ′ ∈ A, entonces la desigualdad λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в
clase A, que contradice el principio de Dedekind. Por lo tanto, el número λ es
es el más pequeño de la clase B y para todo a ∈ A y la desigualdad
a ≤ λ ≤ b, según se requiera.
Así, la propiedad formulada en el axioma y la propiedad,
formulados en el principio de Dedekind son equivalentes. En el futuro, estos
llamaremos a las propiedades del conjunto de números reales la continuidad
según Dedekind.
La continuidad del conjunto de números reales según Dedekind implica
dos teoremas importantes.
Teorema 1.4.3. (Principio de Arquímedes) Cualquiera que sea el número real
a, existe un número natural n tal que< n .
Supongamos que el enunciado del teorema es falso, es decir, existe un
algún número b0 tal que la desigualdad n ≤ b0 se cumple para todos los números naturales
norte. Dividimos el conjunto de números reales en dos clases: asignamos a la clase B
todos los números b satisfacen la desigualdad n ≤ b para cualquier número natural n.
Esta clase no está vacía, ya que le pertenece el número b0. La clase A incluye todos
números restantes. Esta clase tampoco está vacía, ya que cualquier número natural
está incluido en A. Las clases A y B no se cruzan y su unión es
el conjunto de todos los números reales.
Si tomamos números arbitrarios a ∈ A y b ∈ B, entonces hay una
número n0 tal que un< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы
A y B satisfacen el principio de Dedekind y hay un número α que
genera una sección A B, es decir, α es la más grande de la clase A, o
Bo es el más pequeño de la clase B. Si asumimos que α pertenece a la clase A, entonces
se puede encontrar un número natural n1 para el cual la desigualdad α< n1 .
Dado que n1 también está en A, el número α no será el más grande en esta clase,
por lo tanto, nuestra suposición es falsa y α es el más pequeño en
clase B.
Por otro lado, tome un número α - 1 que pertenece a la clase A. Seguir-
por lo tanto, existe un número natural n2 tal que α - 1< n2 , откуда получим
α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства
de ello se deduce que α ∈ A. La contradicción resultante prueba el teorema.
Consecuencia. Cualesquiera que sean los números ayb tales que 0< a < b , существует
número natural n para el que se cumple la desigualdad na> b.
Para la prueba, basta aplicar el principio de Arquímedes al número
y usa la propiedad de las desigualdades.
El corolario tiene un significado geométrico simple: cualesquiera que sean los dos
un segmento, si está en el mayor de ellos, desde uno de sus extremos secuencialmente
poner uno más pequeño, luego, para un número finito de pasos, puede ir más allá
segmento más grande.
Ejemplo 1. Demuestre que para cada número no negativo a existe
el único número real no negativo t tal que
t norte = una, norte ∈, n ≥ 2.
Este teorema sobre la existencia de una raíz aritmética de enésimo grado
de un número no negativo en el curso de álgebra de la escuela se toma sin prueba
compromiso.
☺Si a = 0, entonces x = 0, entonces la prueba de la existencia de aritmética
la raíz del número a se requiere solo para a> 0.
Suponga que a> 0 y divida el conjunto de todos los números reales
en dos clases. La clase B incluye todos los números positivos x que satisfacen
crea la desigualdad x n> a, para la clase A, todas las demás.
Según el axioma de Arquímedes, existen números naturales kym tales que
< a < k . Тогда k 2 ≥ k >ay 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс
A contiene números positivos.
Obviamente, A ∪ B = y si x1 ∈ A y x2 ∈ B, entonces x1< x2 .
Por tanto, las clases A y B forman una sección. El número que forma este
sección, denotar por t. Entonces t es el número más grande de la clase
ce A, o el más pequeño de la clase B.
Suponga que t ∈ A y t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-
matrimonio 0< h < 1 . Тогда
(t + h) n = t n + Cnt n - 1h + Cn t n - 2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =
T n + h (Cnt n - 1 + Cn t n - 2 + ... + Cn + Cn t n) - hCn t n = t n + h (t + 1) - ht n =
T n + h (t + 1) - t n
Entonces obtenemos (t + h)< a . Это означает,
Por tanto, si tomamos h<
que t + h ∈ A, lo que contradice el hecho de que t es el elemento más grande de la clase A.
De manera similar, suponiendo que t es el elemento más pequeño de la clase B,
luego, tomando un número h que satisfaga las desigualdades 0< h < 1 и h < ,
obtenemos (t - h) = t n - Cnt n - 1h + Cn t n - 2 h 2 - ... + (−1) Cn h n>
> t norte - Cnt norte - 1h + Cn t norte - 2h + ... + Cn h = t norte - h (t + 1) - t norte> a.
Esto significa que t - h ∈ B y t no pueden ser el elemento más pequeño
clase B. Por lo tanto, t n = a.
La unicidad se deriva del hecho de que si t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n
Ejemplo 2. Demuestre que si un< b , то всегда найдется рациональное число r
tal que un< r < b .
☺Si los números ayb son racionales, entonces el número es racional y satisfactorio.
satisface las condiciones requeridas. Suponga que al menos uno de los números a o b
irracional, por ejemplo, suponga que el número b es irracional. Presumiblemente
también asumimos que a ≥ 0, entonces b> 0. Escribamos las representaciones de los números ayb en la forma
fracciones decimales: a = α 0, α1α 2α 3 .... y b = β 0, β1β 2 β3 ..., donde la segunda fracción es infinita
impares y no periódicos. En cuanto a la representación del número a, consideraremos
Cabe señalar que si el número a es racional, entonces su notación es finita o es
Una fracción periódica con un período no igual a 9.
Dado que b> a, entonces β 0 ≥ α 0; si β 0 = α 0, entonces β1 ≥ α1; si β1 = α1, entonces β 2 ≥ α 2
y así sucesivamente, y existe tal valor de i, en el que por primera vez habrá
se satisface la desigualdad estricta βi> α i. Entonces el número β 0, β1β 2 ... βi será racional
nal y estará entre los números ay b.
Si un< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и
b + n, donde n es un número natural tal que n ≥ a. La existencia de tal número
se sigue del axioma de Arquímedes. ☻
Definición 1.4.6. Sea dado una secuencia de segmentos del eje numérico
([an; bn]), una< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-
segmentos si para cualquier n las desigualdades an ≤ an + 1 y
Para tal sistema, las inclusiones se realizan
[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ ... ⊃ [an; bn] ⊃ ...,
es decir, cada segmento siguiente está contenido en el anterior.
Teorema 1.4.4. Para cualquier sistema de segmentos anidados, hay
al menos un punto que se incluye en cada uno de estos segmentos.
Tome dos conjuntos A = (an) y B = (bn). No estan vacíos y para cualquier
nym la desigualdad an< bm . Докажем это.
Si n ≥ m, entonces un< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .
Por tanto, las clases A y B satisfacen el axioma de continuidad y,
por lo tanto, existe un número λ tal que un ≤ λ ≤ bn para cualquier n, es decir, este es
número pertenece a cualquier segmento [an; bn] .◄
En lo que sigue (Teorema 2.1.8) refinaremos este teorema.
El enunciado formulado en el teorema 1.4.4 se llama principio
Cantor, y un conjunto que satisfaga esta condición se llamará no
discontinuo según Cantor.
Hemos demostrado que si un conjunto ordenado es Dedede continuo
Kindu, entonces el principio de Arquímedes se cumple en él y es continuo según Cantor.
Puede demostrarse que un conjunto ordenado en el que el principio
tsip de Arquímedes y Cantor, será continuo según Dedekind. Prueba
este hecho está contenido, por ejemplo, en.
El principio de Arquímedes permite que cada segmento de línea asocie un
que es el único número positivo que satisface las condiciones:
1. números iguales corresponden a segmentos iguales;
2. Si el punto del segmento AC y los segmentos AB y BC corresponden a los números ay
b, entonces el segmento AC corresponde al número a + b;
3. cierto segmento corresponde al número 1.
El número correspondiente a cada segmento y que cumple las condiciones 1-3 para
se llama la longitud de este segmento.
El principio de Cantor nos permite probar que para cada positivo
números, puede encontrar un segmento cuya longitud sea igual a este número. Por lo tanto,
entre el conjunto de números reales positivos y el conjunto de puntos de corte
kov, que se depositan desde un punto en una línea recta a lo largo de un lado dado
a partir de este punto, se puede establecer una correspondencia uno a uno.
Esto le permite definir el eje numérico e introducir una correspondencia entre
Espero con números reales y puntos en una línea. Para hacer esto, toma un poco
Dibujo una línea recta y elijo un punto O en ella, que dividirá esta línea recta en dos
rayo. Uno de estos rayos se llamará positivo y el segundo negativo.
nym. Entonces diremos que hemos elegido una dirección en esta línea recta.
Definición 1.4.7. El eje numérico es la línea en la que
a) punto O, llamado origen u origen de coordenadas;
b) dirección;
c) un segmento de longitud unitaria.
Ahora, a cada número real a, asociamos un punto M con un número-
aúlla directo para que
a) el origen de las coordenadas correspondía al número 0;
b) OM = a - la longitud del segmento desde el origen hasta el punto M era igual a
el módulo del número;
c) si a es positivo, entonces el punto se toma en el rayo positivo y,
si es negativo, entonces es negativo.
Esta regla establece una correspondencia uno a uno entre
un conjunto de números reales y un conjunto de puntos en una línea.
La recta numérica (eje) también se denominará recta real.
Esto también implica el significado geométrico del módulo del número real.
la: el módulo de un número es igual a la distancia desde el origen hasta el punto que está
presionando este número en el eje numérico.
Ahora podemos dar una interpretación geométrica a las propiedades 6 y 7.
módulo de un número real. Para un número C positivo x, satisfaciendo
propiedad 6 llene el intervalo (−C, C), y los números x satisfacen
propiedad 7 se encuentran en los rayos (−∞, C) o (C, + ∞).
Observamos una propiedad geométrica más notable del módulo de una sustancia.
número natural.
El módulo de la diferencia entre dos números es igual a la distancia entre los puntos, respectivamente.
correspondiente a estos números en el eje real.
muchos conjuntos de números estándar.
Muchos números naturales;
Muchos números enteros;
El conjunto de números racionales;
Muchos números reales;
Los conjuntos, respectivamente, de total, racional y real.
números no negativos;
Muchos números complejos.
Además, el conjunto de números reales se denota como (−∞, + ∞).
Subconjuntos de este conjunto:
(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;
[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) es un segmento;
(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-
ly o medias longitudes;
(una, + ∞) = (x | x ∈ R, una< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;
[a, + ∞) = (x | x ∈ R, a ≤ x) o (−∞, b] = (x | x ∈ R, x ≤ b) son rayos cerrados.
Finalmente, a veces necesitaremos espacios que no nos importan,
si sus fines pertenecen a esta brecha o no. Tal intervalo será
denotar a, b.
§ 5 Delimitación de conjuntos numéricos
Definición 1.5.1. El conjunto de números X se llama acotado
desde arriba si existe un número M tal que x ≤ M para cualquier elemento x de
el conjunto X.
Definición 1.5.2. El conjunto de números X se llama acotado
desde abajo si existe un número m tal que x ≥ m para cualquier elemento x de
el conjunto X.
Definición 1.5.3. El conjunto de números X se llama acotado,
si está delimitado por encima y por debajo.
Notación simbólica, estas definiciones se verán así
el conjunto X está acotado arriba si ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,
está acotado por debajo si ∃m ∀x ∈ X: x ≥ my
acotado si ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M.
Teorema 1.5.1. El conjunto de números X está acotado si y solo si
cuando hay un número C tal que para todos los elementos x de este conjunto
la desigualdad x ≤ C se cumple.
Sea el conjunto X acotado. Ponemos C = max (m, M) - lo más
el mayor de los números my M. Luego, usando las propiedades del módulo de real
números, obtenemos las desigualdades x ≤ M ≤ M ≤ C yx ≥ m ≥ - m ≥ −C, de donde se sigue que
que x ≤ C.
Por el contrario, si se cumple la desigualdad x ≤ C, entonces −C ≤ x ≤ C. Esta es la tercera
es decir, si ponemos M = C y m = −C.
El número M que delimita el conjunto X desde arriba se llama superior
el límite del conjunto. Si M es el límite superior del conjunto X, entonces cualquier
el número M ′, que es mayor que M, también será el límite superior de este conjunto.
Así, podemos hablar del conjunto de límites superiores del conjunto
X. Denotamos el conjunto de límites superiores por M. Entonces, ∀x ∈ X y ∀M ∈ M
la desigualdad x ≤ M se cumple, por lo tanto, por el axioma,
Existe un número M 0 tal que x ≤ M 0 ≤ M. Este número se llama punto
el límite superior del conjunto numérico X o el límite superior de este
el conjunto o el supremo del conjunto X y se denota por M 0 = sup X.
Por lo tanto, hemos demostrado que todo conjunto de números no vacíos,
acotado en la parte superior siempre tiene un límite superior exacto.
Evidentemente, la igualdad M 0 = sup X equivale a dos condiciones:
1) ∀x ∈ X la desigualdad x ≤ M 0 se cumple, es decir, M 0 - el límite superior del conjunto
2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X de modo que la desigualdad xε> M 0 - ε se cumple, es decir, esta gra-
no se puede mejorar (reducir).
Ejemplo 1. Considere el conjunto X = ⎨1 - ⎬. Demostremos que sup X = 1.
☺ De hecho, en primer lugar, la desigualdad 1 -< 1 выполняется для любого
n ∈; segundo, si tomamos un número positivo arbitrario ε, entonces por
Según el principio de Arquímedes, se puede encontrar un número natural nε tal que nε>. Ese-
donde se cumple la desigualdad 1 -> 1 - ε, es decir, había un conjunto de elementos xnε
propiedad X mayor que 1 - ε, lo que significa que 1 es el límite superior más pequeño
De manera similar, se puede probar que si el conjunto está acotado por debajo, entonces
tiene un límite inferior preciso, que también se denomina límite inferior.
un nuevo o mínimo de un conjunto X y se denota por inf X.
La igualdad m0 = inf X es equivalente a las condiciones:
1) ∀x ∈ X se cumple la desigualdad x ≥ m0;
2) ∀ε> 0 ∃xε ∈ X de modo que la desigualdad xε< m0 + ε .
Si el conjunto X contiene el elemento más grande x0, lo llamaremos
el elemento máximo del conjunto X y denotar x0 = max X. Luego
sup X = x0. De manera similar, si el conjunto contiene el elemento más pequeño, entonces
se llamará mínimo, denotado por min X y será
fimum del conjunto X.
Por ejemplo, el conjunto de números naturales tiene el elemento más pequeño:
unidad, que también es el mínimo del conjunto. Supre-
muma, este conjunto no tiene, ya que no está acotado desde arriba.
Las definiciones de límites superiores e inferiores precisos se pueden ampliar a
establece ilimitado arriba o abajo, configurando sup X = + ∞ o, respectivamente,
respectivamente, inf X = −∞.
En conclusión, formulamos varias propiedades de los límites superior e inferior.
Propiedad 1. Sea X un conjunto numérico. Denotemos por
- X es el conjunto (- x | x ∈ X). Entonces sup (- X) = - inf X e inf (- X) = - sup X.
Propiedad 2. Sea X un conjunto numérico λ - real
número. Sea λ X el conjunto (λ x | x ∈ X). Entonces, si λ ≥ 0, entonces
sup (λ X) = λ sup X, inf (λ X) = λ inf X y, si λ< 0, то
sup (λ X) = λ inf X, inf (λ X) = λ sup X.
Propiedad 3. Sean X1 y X 2 conjuntos numéricos. Denotemos por
X1 + X 2 el conjunto (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2) y a través de X1 - X 2 el conjunto
(x1 - x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2). Entonces sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2,
inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 y
inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2.
Propiedad 4. Sean X1 y X 2 conjuntos numéricos, todos los elementos de los cuales son
rykh no son negativos. Luego
sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2.
Demostremos, por ejemplo, la primera igualdad en la propiedad 3.
Deje x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 y x = x1 + x2. Entonces x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 y
x ≤ sup X1 + sup X 2, de donde sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2.
Para demostrar la desigualdad opuesta, tome el número
y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,
que x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство
y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент
x = + x1 x2 ∈ X1 + X2, que es mayor que y y
sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄
Las pruebas del resto de propiedades se realizan de forma similar y proporcionan
están dirigidos al lector.
§ 6 Conjuntos contables e incontables
Definición 1.6.1. Considere el conjunto de los primeros n números naturales
n = (1,2, ..., n) y algunos conjuntos A. Si es posible establecer mutuo
una correspondencia uno a uno entre A y n, entonces el conjunto A se llamará
final.
Definición 1.6.2. Dejemos que se dé algún conjunto A. Si puedo
establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto A y
conjunto de números naturales, entonces el conjunto A se llamará contable
Definición 1.6.3. Si el conjunto A es finito o contable, entonces
decir que no es más que contable.
Por tanto, un conjunto será contable si sus elementos se pueden calcular
poner como una secuencia.
Ejemplo 1. El conjunto de números pares es contable, ya que el mapeo n ↔ 2n
es una correspondencia biunívoca entre el conjunto de
números y un conjunto de números pares.
Evidentemente, esta correspondencia se puede establecer de más de una forma.
zoom. Por ejemplo, puede establecer una correspondencia entre un conjunto y un conjunto
(enteros) haciendo coincidir de esta manera
En la construcción axiomática de cualquier teoría matemática, ciertas regulaciones:
· Algunos conceptos de la teoría se eligen como básicos y se aceptan sin definición;
· Cada concepto de la teoría, que no figura en la lista de los básicos, recibe una definición;
· Se formulan axiomas: oraciones que se aceptan en esta teoría sin prueba; revelan las propiedades de conceptos básicos;
· Toda proposición de una teoría que no esté contenida en la lista de axiomas debe probarse; tales proposiciones se llaman teoremas y las prueban sobre la base de axiomas y teoremas.
Con la construcción axiomática de una teoría, todos los enunciados se deducen de los axiomas a modo de prueba.
Por tanto, el sistema de axiomas está sujeto a especiales requisitos:
• consistencia (un sistema de axiomas se llama consistente si es imposible deducir lógicamente de él dos oraciones mutuamente excluyentes);
· Independencia (un sistema de axiomas se llama independiente si ninguno de los axiomas de este sistema es consecuencia de otros axiomas).
Un conjunto con una relación dada en él se llama modelo de un sistema dado de axiomas si todos los axiomas de este sistema se cumplen en él.
Hay muchas formas de construir un sistema de axiomas para el conjunto de números naturales. Para el concepto básico, puede tomar, por ejemplo, la suma de números o la relación de orden. En cualquier caso, es necesario establecer un sistema de axiomas que describan las propiedades de los conceptos básicos.
Démosle un sistema de axiomas, aceptando el concepto básico de operación de adición.
Conjunto no vacío norte se llama conjunto de números naturales si la operación está definida en él (a; b) → a + b, llamado suma y que tiene las propiedades:
1.La adición es conmutativa, es decir a + b = b + a.
2.La adición es asociativa, es decir (a + b) + c = a + (b + c).
4.en cualquier conjunto A que es un subconjunto del conjunto norte, dónde A hay un número tal que todos Decir ah son iguales a + b, dónde bN.
Los axiomas 1 - 4 son suficientes para construir toda la aritmética de números naturales. Pero con tal construcción ya no es posible confiar en las propiedades de conjuntos finitos que no se reflejan en estos axiomas.
Tomemos como concepto básico la relación "seguir directamente ...", dada en un conjunto no vacío norte... Entonces la serie natural de números será el conjunto N, en el que se define la relación "inmediatamente sigue", y todos los elementos de N se llamarán números naturales, y lo siguiente Axiomas de Peano:
AXIOMA 1.
En el setnortehay un elemento que no sigue inmediatamente a ningún elemento de este conjunto. Lo llamaremos unidad y lo denotaremos con el símbolo 1.
AXIOMA 2.
Para cada elemento a denortesolo hay un elemento a inmediatamente siguiente a.
AXIOMA 3.
Para cada elemento a denortehay como máximo un elemento seguido inmediatamente de a.
AXOIM 4.
Cualquier subconjunto M del conjuntonortecoincide connortesi tiene las siguientes propiedades: 1) 1 está contenido en M; 2) del hecho de que a está contenido en M, se deduce que a también está contenido en M.
Un montón de NORTE, para los elementos de los cuales se establece la relación "seguir directamente ...", que satisface los axiomas 1 - 4, se llama conjunto de números naturales y sus elementos son números naturales.
Si como un conjunto norte elegir algún conjunto específico, en el que se especifica una relación específica "seguir directamente ...", satisfaciendo los axiomas 1 - 4, entonces obtenemos diferentes interpretaciones (modelos) dado sistemas de axiomas.
El modelo estándar del sistema de axiomas de Peano es una serie de números que surgieron en el proceso del desarrollo histórico de la sociedad: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Cualquier conjunto contable puede ser un modelo de los axiomas de Peano.
Por ejemplo, I, II, III, IIII, ...
ooo ooo oooo, ...
uno dos tres CUATRO, …
Considere una secuencia de conjuntos en la que el conjunto (oo) es el elemento inicial, y cada conjunto posterior se obtiene del anterior asignando un círculo más (Fig. 15).
Luego norte hay un conjunto que consta de conjuntos del tipo descrito, y es un modelo del sistema de axiomas de Peano.
De hecho, en el set norte hay un elemento (oo) que no sigue inmediatamente a ningún elemento del conjunto dado, es decir El axioma 1 es válido. Para cada conjunto A el conjunto en consideración, hay un conjunto único que se obtiene de A agregando un círculo, es decir El axioma 2 es válido. Para cada conjunto A hay como máximo un conjunto a partir del cual se forma el conjunto A agregando un círculo, es decir El axioma 3 es válido. Si METROnorte y se sabe que el conjunto A contenida en METRO, se deduce que el conjunto en el que hay un círculo más que en el conjunto A, también contenido en METRO, luego M =norte y, por lo tanto, se cumple el axioma 4.
En la definición de un número natural, no se puede omitir ninguno de los axiomas.
Establezcamos cuál de los conjuntos mostrados en la Fig. 16 son un modelo de los axiomas de Peano.
|
Solución. En la figura 16 a) se muestra un conjunto en el que se cumplen los axiomas 2 y 3. En efecto, para cada elemento hay uno único que le sigue inmediatamente, y un único elemento le sigue. Pero en este conjunto, el Axioma 1 no se cumple (el Axioma 4 no tiene sentido, ya que no hay ningún elemento en el conjunto que no siga inmediatamente a otro). Por tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.
La Figura 16 b) muestra un conjunto en el que se cumplen los axiomas 1, 3 y 4, pero detrás del elemento a inmediatamente siguen dos elementos, y no uno, como se requiere en el axioma 2. Por lo tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.
En la Fig. 16 c) muestra un conjunto en el que se satisfacen los axiomas 1, 2, 4, pero el elemento con inmediatamente sigue dos elementos inmediatamente. Por tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.
En la Fig. 16 d) representa un conjunto que satisface los axiomas 2, 3, y si tomamos el número 5 como elemento inicial, entonces este conjunto satisfará los axiomas 1 y 4. Es decir, en este conjunto para cada elemento hay uno único inmediatamente. siguiéndolo, y solo hay un elemento que sigue. También hay un elemento que no sigue inmediatamente a ningún elemento de este conjunto, este es 5 , aquellos. Se cumple el axioma 1. En consecuencia, también se cumple el axioma 4. Por lo tanto, este conjunto es un modelo de los axiomas de Peano.
Usando los axiomas de Peano, podemos probar una serie de afirmaciones. Por ejemplo, demostraremos que para todos los números naturales la desigualdad x x.
Prueba. Denotemos por A el conjunto de números naturales para los que Automóvil club británico Número 1 pertenece a A ya que no sigue ningún número de norte, y por lo tanto no sigue por sí mismo: 1 1. Permitir Automóvil club británico, luego Automóvil club británico Nosotros denotamos a a través de B... En virtud del axioma 3, aB, aquellos. b b y bА.
