Ilya Shchurov
El matemático Ilya Shchurov sobre fracciones decimales, trascendencia e irracionalidad de Pi.
¿Cómo se ayudó a construir las primeras ciudades y los grandes imperios? ¿Cómo inspiraste a las grandes mentes de la humanidad? ¿Qué papel jugó para ganar dinero? ¿Cómo se fusionó “uno” con cero para gobernar el mundo moderno? La historia de la unidad está indisolublemente ligada a la historia de la civilización europea. Terry Jones se embarca en un viaje divertido para reconstruir la asombrosa historia de nuestro número más simple. Con la ayuda de gráficos por computadora en este programa, la unidad cobra vida en una variedad de formas. A partir de la historia de la unidad, queda claro de dónde provienen los números modernos y cómo la invención del cero nos salvó de la necesidad de usar números romanos en la actualidad.
Jacques Sesiano
Sabemos poco sobre Diofanto. Parece que vivía en Alejandría. Ningún matemático griego lo menciona hasta el siglo IV, por lo que probablemente vivió a mediados del siglo III. La obra más importante de Diofanto, "Aritmética" (Ἀριθμητικά), tuvo lugar al comienzo de 13 "libros" (βιβλία), es decir, capítulos. Hoy tenemos 10 de ellos, a saber: 6 en el texto griego y otros 4 en la traducción árabe medieval, cuyo lugar está en el medio de los libros griegos: libros I-III en griego, IV-VII en árabe, VIII -X en griego ... "Aritmética" de Diofanto es principalmente una colección de problemas, alrededor de 260. A decir verdad, no hay teoría; sólo hay instrucciones generales en la introducción del libro y notas especiales en algunos problemas, cuando es necesario. La "aritmética" ya tiene las características de un tratado algebraico. Primero, Diofanto usa diferentes signos para expresar lo desconocido y sus poderes, también algunos cálculos; como todo simbolismo algebraico de la Edad Media, su simbolismo proviene de palabras matemáticas. Luego, Diofanto explica cómo resolver el problema de forma algebraica. Pero los problemas de Diofanto no son algebraicos en el sentido habitual, porque casi todo se reduce a resolver una ecuación o sistemas indefinidos de tales ecuaciones.
George Shabat
Programa del curso: Historia. Primeras estimaciones. El problema de la conmensurabilidad de la circunferencia de un círculo con su diámetro. Series infinitas, productos y otras expresiones para π. Convergencia y su calidad. Expresiones que contienen π. Secuencias que convergen rápidamente a π. Métodos modernos de cálculo de π, utilizando computadoras. Sobre la irracionalidad y trascendencia de π y algunos otros números. No se requieren conocimientos previos para comprender el curso.
Los científicos de la Universidad de Oxford afirmaron que el primer uso conocido del número 0 para denotar la ausencia de un valor de dígito (como en el número 101) debe considerarse el texto del manuscrito indio Bakhshali.
Vasily Pispanen
¿Quién no ha jugado al juego de nombrar el número más grande cuando era niño? Millones, billones y otros "-ons" ya son difíciles de imaginar en su mente, pero intentaremos distinguir el "mastodonte" en matemáticas: el número de Graham.
Victor Kleptsyn
El número real puede aproximarse arbitrariamente con precisión mediante números racionales. ¿Qué tan buena puede ser una aproximación así en comparación con su complejidad? Por ejemplo, rompiendo la notación decimal del número x por k-ésimo dígito después del punto decimal, obtenemos una aproximación x≈a / 10 ^ k con un error del orden de 1/10 ^ k. Y en general, habiendo fijado el denominador q de la fracción aproximada, definitivamente podemos obtener una aproximación con un error del orden de 1 / q. ¿Puedes hacerlo mejor? La familiar aproximación π≈22 / 7 da un error del orden de 1/1000, es decir, claramente mucho mejor de lo que cabría esperar. ¿Y por qué? ¿Tenemos suerte de que π tenga tal aproximación? Resulta que para cualquier ir número racional hay infinitas fracciones p / q que se aproximan mejor que 1 / q ^ 2. Esto lo establece el teorema de Dirichlet, y comenzaremos el curso con su demostración ligeramente no estándar.
En 1980, el Libro Guinness de los Récords repitió las afirmaciones de Gardner, lo que avivó aún más el interés público en este número. El número de Graham es un número inimaginable de veces mayor que otros números grandes conocidos como googol, googolplex e incluso más que los números de Skuse y Moser. De hecho, todo el universo observable es demasiado pequeño para contener la notación decimal ordinaria del número de Graham.
Dmitry Anosov
Las conferencias están a cargo de Dmitry Viktorovich Anosov, Doctor en Física y Matemáticas, Profesor, Académico de la Academia de Ciencias de Rusia. Escuela de verano "Matemáticas contemporáneas", Dubna. 16-18 de julio de 2002
Es imposible responder correctamente a esta pregunta, ya que serie de números no tiene límite superior. Entonces, a cualquier número es suficiente con agregar uno para obtener un número aún mayor. Aunque los números en sí son infinitos, no tienen muchos nombres propios, ya que la mayoría de ellos se contentan con nombres compuestos por números más pequeños. Está claro que en el conjunto finito de números que la humanidad ha otorgado nombre propio, debe haber un número mayor. Pero, ¿cómo se llama y a qué equivale? Intentemos resolverlo y, al mismo tiempo, descubramos qué tan grandes fueron los números que inventaron los matemáticos.
Ejemplos de
Historia
J. Liouville introdujo por primera vez el concepto de número trascendental en 1844, cuando demostró el teorema de que un número algebraico no puede aproximarse demasiado bien mediante una fracción racional.
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Extracto del número trascendental
- ¿Cómo puedes estar sano ... cuando sufres moralmente? ¿Es posible mantener la calma en nuestro tiempo cuando una persona tiene un sentimiento? - dijo Anna Pavlovna. - ¿Estarás toda la noche conmigo, espero?- ¿Y las vacaciones del enviado inglés? Hoy es Miercoles. Tengo que mostrarme allí ”, dijo el príncipe. - Mi hija me recogerá y me llevará.
- Pensé que las vacaciones actuales estaban canceladas. Je vous avoue que toutes ces fetes et tous ces feux d "artifice commencent a devenir insipides. [Lo confieso, todas estas fiestas y fuegos artificiales se están volviendo insoportables.]
"Si supieras que lo querías, la fiesta se habría cancelado", dijo el príncipe, por costumbre, como un reloj, diciendo cosas que no quería que le creyeran.
- Ne me tourmentez pas. Eh bien, qu "a t on decide par rapport a la dependche de Novosiizoff? Vous savez tout. [No me tortures. Bueno, ¿qué decidiste con motivo del envío de Novosiltsov? Todos lo saben].
- ¿Cómo puedo decírtelo? - dijo el príncipe en un tono frío y aburrido. - Qu "at on decide? On a decide que Buonaparte a brule ses vaisseaux, et je crois que nous sommes en train de bruler les notres". Anna Pavlovna Sherer, por el contrario, a pesar de sus cuarenta años, estaba llena de animación e impulsos.
Ser entusiasta se convirtió en su posición social y, a veces, cuando ni siquiera quería, para no engañar las expectativas de las personas que la conocían, se volvía entusiasta. La sonrisa contenida que jugaba constantemente en el rostro de Anna Pavlovna, aunque no iba a sus rasgos obsoletos, expresaba, como niños mimados, la constante conciencia de su dulce defecto, del que no quiere, no puede y no encuentra necesario correcto.
En medio de una conversación sobre acciones políticas, Anna Pavlovna estalló.
- ¡Oh, no me hables de Austria! No entiendo nada, tal vez, pero Austria nunca quiso y no quiere la guerra. Ella nos traiciona. Rusia sola debería ser la salvadora de Europa. Nuestro benefactor conoce su alta vocación y le será fiel. Esto es algo en lo que creo. Nuestro bondadoso y maravilloso soberano tendrá el papel más importante del mundo, y es tan virtuoso y bueno que Dios no lo dejará, y cumplirá su llamado de aplastar la hidra de la revolución, que ahora es aún más terrible en el mundo. Persona de este asesino y villano. Solo nosotros debemos expiar la sangre de los justos ... ¿A quién podemos esperar, te pregunto? ... Inglaterra, con su espíritu comercial, no comprenderá y no podrá comprender la plenitud del alma del emperador Alejandro. Ella se negó a limpiar Malta. Ella quiere ver, está buscando una idea tardía de nuestras acciones. ¿Qué le dijeron a Novosiltsov? ... Nada. No entendieron, no pueden comprender la abnegación de nuestro emperador, que no quiere nada para sí mismo y quiere todo por el bien del mundo. ¿Y qué prometieron? Nada. ¡Y lo que prometieron, y eso no sucederá! Prusia ya ha declarado que Bonaparte es invencible y que toda Europa no puede hacer nada contra él ... Y no creo en una sola palabra ni a Hardenberg ni a Gaugwitz. Cette fameuse neutralite prussienne, ce n "est qu" un piege. [Esta notoria neutralidad de Prusia es sólo una trampa.] Creo en un Dios y en el alto destino de nuestro querido emperador. ¡Él salvará a Europa! ... - De repente se detuvo con una sonrisa de burla ante su fervor.
Número trascendental— Número complejo que no es algebraico, es decir, no es una raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales.
La existencia de números trascendentales fue establecida por primera vez por J. Liouville en 1844; también construyó los primeros ejemplos de tales números. Liouville señaló que los números algebraicos no pueden aproximarse "demasiado bien" mediante números racionales. Es decir, el teorema de Liouville establece que si un número algebraico es la raíz de un polinomio de grado con coeficientes racionales, entonces para cualquier número racional la desigualdad
donde la constante depende solo de. Esta declaración implica suficiente indicación trascendencia: si el número es tal que para cualquier constante hay un conjunto infinito de números racionales que satisfacen las desigualdades
entonces es trascendental. Posteriormente, dichos números se denominaron números de Liouville. Un ejemplo de tal número es
Otra prueba de la existencia de números trascendentales fue obtenida por G. Cantor en 1874 sobre la base de la teoría de conjuntos que él mismo creó. Cantor demostró que el conjunto de números algebraicos es contable y el conjunto de números reales es incontable, lo que implica que el conjunto de números trascendentales es incontable. Sin embargo, a diferencia de la prueba de Liouville, este razonamiento no nos permite dar un ejemplo ni siquiera de uno de esos números.
El trabajo de Liouville dio lugar a toda una sección de la teoría de los números trascendentales: la teoría de la aproximación de números algebraicos por números racionales o, más generalmente, algebraicos. El teorema de Liouville se reforzó y generalizó en los trabajos de muchos matemáticos. Esto hizo posible construir nuevos ejemplos de números trascendentales. Así, K. Mahler demostró que si es un polinomio no constante que toma valores enteros no negativos para todos los números naturales, entonces para cualquier número natural, donde es un número en el sistema numérico base, es trascendental, pero no es un número de Liouville. Por ejemplo, para y obtenemos el siguiente resultado elegante: el número
es trascendental, pero no un número de Liouville.
En 1873 S. Hermit, utilizando otras ideas, demostró la trascendencia del número de Neper (la base del logaritmo natural):
Desarrollando las ideas de Hermite, F. Lindemann en 1882 demostró la trascendencia del número, poniendo así fin al antiguo problema de cuadrar un círculo: usando un compás y una regla es imposible construir un cuadrado de igual tamaño (es decir, teniendo la misma área) a un círculo dado. De manera más general, Lindemann demostró que para cualquier número algebraico el número es trascendental. Formulación equivalente: para cualquier número algebraico que no sea y, su logaritmo natural es un número trascendental.
En 1900, en un congreso de matemáticos en París, D. Hilbert, entre 23 problemas matemáticos no resueltos, señaló lo siguiente, formulado en una forma particular por L. Euler:
Permitir y - números algebraicos, y ¿trascendental? En particular, ¿son los números trascendentales ¿y?
Este problema puede reformularse de la siguiente forma, cercana a la formulación original de Euler:
Permitir y - números algebraicos distintos de y, además, la relación de sus logaritmos naturales irracional. Habrá un número ¿trascendental?
La primera solución parcial del problema la obtuvo en 1929 A.O. Gel'fond, quien, en particular, demostró la trascendencia del número. En 1930, RO Kuz'min mejoró el método de Gel'fond, en particular, pudo demostrar la trascendencia de un número. La solución completa del problema de Euler-Hilbert (en sentido afirmativo) fue obtenida en 1934 de forma independiente por A.O. Gel'fond y T. Schneider.
A. Baker en 1966 generalizó los teoremas de Lindemann y Gelfond-Schneider, demostrando, en particular, la trascendencia del producto de un número finito arbitrario de números de la forma y con los algebraicos bajo restricciones naturales.
En 1996. Yu.V. Nesterenko demostró la independencia algebraica de los valores de la serie de Eisenstein y, en particular, de los números y. Esto significa la trascendencia de cualquier número de la forma, donde una función racional distinta de cero con coeficientes algebraicos. Por ejemplo, la suma de la serie será trascendental
En 1929-1930. En una serie de artículos, K. Mahler propuso un nuevo método para probar la trascendencia de los valores de las funciones analíticas que satisfacen ecuaciones funcionales de una determinada forma (más tarde, dichas funciones se denominaron funciones de Mahler).
Los métodos de la teoría de los números trascendentales han encontrado aplicación en otras ramas de las matemáticas, en particular, en la teoría de las ecuaciones diofánticas.
La palabra "trascendental" generalmente se asocia con la meditación trascendental y el esoterismo variado. Pero para usarlo correctamente, debe al menos distinguirlo del término "trascendental" y, como máximo, recordar su papel en las obras de Kant y otros filósofos.
Este concepto proviene del latín trascendens: "sobrepasar", "superar", "ir más allá". En general, significa aquello que es fundamentalmente inaccesible para el conocimiento empírico o que no se basa en la experiencia. La premisa del término surgió incluso en la filosofía del neoplatonismo - el fundador de la dirección Plotino creó la doctrina del Uno - el principio de todo bien, que no puede ser conocido ni por el esfuerzo del pensamiento ni por medio de la experiencia sensorial. “Uno no es un ser, sino su padre”, explica el filósofo.
El término "trascendental" se reveló más plenamente en la filosofía de Immanuel Kant, donde se usó para caracterizar a aquellos que existían independientemente de la conciencia y actuaban sobre nuestros sentidos, mientras permanecían fundamentalmente incognoscibles, tanto en la práctica como en la teoría. Lo opuesto a trascendencia: significa inalienabilidad, conexión interna de cualquier cualidad del objeto con el objeto mismo, o la capacidad de conocimiento del objeto a través de la experiencia personal. Por ejemplo, si asumimos que el Universo fue creado de acuerdo con algún diseño superior, el diseño en sí es trascendental para nosotros; solo podemos formular hipótesis al respecto. Pero si este plan existe en la realidad, sus consecuencias son inmanentes para nosotros, manifestándose en las leyes físicas y las circunstancias en las que nos encontramos. Por tanto, en algunos conceptos teológicos, Dios es trascendental y está fuera del ser creado por él.
Algunas cosas en sí son todavía accesibles al conocimiento a priori: por ejemplo, el espacio y el tiempo, las ideas de Dios, la bondad y la belleza, las categorías lógicas. Es decir, los objetos trascendentales están, en sentido figurado, "predeterminados por defecto" en nuestra mente.
El concepto de trascendencia también existe en matemáticas: un número trascendental es un número que no puede calcularse usando álgebra o expresarse algebraicamente (es decir, no puede ser la raíz de un polinomio con coeficientes enteros que no sean idénticos a cero). Estos incluyen, por ejemplo, los números π y e.
Un concepto cercano a "trascendental", pero diferente en significado - "trascendental". Inicialmente, simplemente denotaba el área de las categorías mentales abstractas, y luego fue desarrollado por Kant, cayendo en su propia trampa: resultó imposible construir un sistema filosófico solo sobre datos empíricos, y no reconoció ninguna otras fuentes de experiencia excepto el empirismo. Para salir, el filósofo tuvo que admitir que algunas cosas en sí son todavía accesibles al conocimiento a priori: por ejemplo, el espacio y el tiempo, las ideas de Dios, la bondad y la belleza, las categorías lógicas. Es decir, los objetos trascendentales están, hablando en sentido figurado, "predeterminados por defecto" en nuestra mente, mientras que la información sobre ellos existe por sí misma y no se deriva de nuestra experiencia.
Hay otro concepto relacionado: la trascendencia. En el sentido más amplio de la palabra, significa la transición de la frontera entre dos áreas diferentes, en particular la transición del reino de este mundo al reino de otro mundo, trascendental. Para simplificar, tomemos un ejemplo de la fantasía: un mundo paralelo para una persona común es un fenómeno trascendental. Pero cuando el héroe entra en este mundo paralelo o es capaz de percibirlo de alguna manera, eso es trascendencia. O más ejemplo complejo de la filosofía existencial: Jean-Paul Sartre creía que el hombre es trascendental porque trasciende cualquier posible experiencia propia: podemos estudiarnos a nosotros mismos y el mundo desde diferentes ángulos, pero nunca nos acercaremos al conocimiento total de nosotros mismos. Pero al mismo tiempo, una persona tiene la capacidad de trascender: trasciende cualquier cosa, dándole algún significado. La trascendencia también es un elemento importante en la religión: ayuda a una persona a liberarse de su naturaleza material y tocar algo más allá.
De la filosofía, el concepto de trascendentalidad pasó a la psicología: el psicólogo suizo Carl Jung introdujo el concepto de "función trascendental", una función que une el consciente y el inconsciente. En particular, el psicoanalista puede realizar una función trascendental: ayuda al paciente a analizar las imágenes del inconsciente (por ejemplo, los sueños) y conectarlas con los procesos conscientes de su psique.
Cómo decir
Incorrecto "Me inscribí en una clase de meditación trascendental". Eso es correcto - "trascendental".
Así es, "Cuando voy al templo, tengo la sensación de fusionarme con algo trascendental".
Correctamente "El arte trasciende los objetos que nos son familiares del mundo material, llenándolos del significado más elevado".
Número trascendental un número (real o imaginario) que no satisface ninguna ecuación algebraica (ver Ecuación algebraica) con coeficientes enteros. Por lo tanto, los números T. se contrastan con los números algebraicos (ver Número algebraico). La existencia de T. ch. Fue establecida por primera vez por J. Liouville (1844). El punto de partida de Liouville fue su teorema, según el cual el orden de aproximación de una fracción racional con un denominador dado a un número algebraico irracional dado no puede ser arbitrariamente alto. Es decir, si el número algebraico a satisface la ecuación algebraica irreductible de grado norte con coeficientes enteros, entonces para cualquier número racional c depende solo de α
). Por lo tanto, si para un número irracional dado α, se puede indicar un conjunto infinito de aproximaciones racionales que no satisfacen la desigualdad anterior para cualquier con y norte(lo mismo para todas las aproximaciones), entonces α
es T. h. Un ejemplo de tal número da: Otra prueba de la existencia de T. ch. La dio G. Cantor (1874), señalando que el conjunto de todos los números algebraicos es contable (es decir, todos los números algebraicos pueden volver a numerarse; véase la teoría de conjuntos), mientras que el conjunto de todos los números reales son incontables. De ahí se sigue que el conjunto de T. ch. Es incontable y, además, que T. ch. Constituye la mayor parte del conjunto de todos los números. El problema más importante de la teoría de T. ch. Es averiguar si los T. ch. Son los valores de funciones analíticas que tienen ciertas propiedades aritméticas y analíticas para los valores algebraicos del argumento. Los problemas de este tipo se encuentran entre los más difíciles de las matemáticas modernas. En 1873 S. Hermite demostró que el número de Napier En 1882, el matemático alemán F. Lindemann obtuvo un resultado más general: si α es un número algebraico, entonces miα - T. h. El resultado de Lipdemann fue significativamente generalizado por el matemático alemán K. Siegel (1930), quien demostró, por ejemplo, la trascendencia del valor de una amplia clase de funciones cilíndricas para los valores algebraicos del argumento. En 1900, en un congreso matemático en París, D. Hilbert, entre 23 problemas matemáticos no resueltos, señaló lo siguiente: ¿es un número trascendental? α β
, dónde α
y β
- números algebraicos, y β
es un número irracional y, en particular, es el número e π trascendental (el problema de trascendencia para números de la forma α β
fue puesto por primera vez en forma privada por L. Euler, 1744). Una solución completa a este problema (en sentido afirmativo) fue obtenida solo en 1934 por A.O. Gel'fond u. Del descubrimiento de Gelfond, en particular, se sigue que todos los logaritmos decimales números naturales(es decir, "logaritmos tabulares") son la esencia de T. ch. Los métodos de la teoría de T. ch. se aplican a una serie de cuestiones de resolución de ecuaciones en números enteros. Iluminado .: Gel'fond A.O., Números trascendentales y algebraicos, Moscú, 1952. Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética.
1969-1978
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Vea qué es "Número trascendental" en otros diccionarios:
Un número que no satisface ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. Los números trascendentales son: número ?? 3.14159 ...; logaritmo decimal de cualquier número entero no representado por uno seguido de ceros; número e = 2.71828 ... y otros ... Diccionario enciclopédico grande
- (del latín trascendere pasar, exceder) es un número real o complejo que no es algebraico, es decir, un número que no puede ser raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Contenido 1 Propiedades 2 ... ... Wikipedia
Un número que no satisface ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. Los números trascendentales son: número π = 3,14159 ...; logaritmo decimal de cualquier número entero no representado por uno seguido de ceros; número e = 2.71828 ... y otros ... diccionario enciclopédico
Un número que no satisface ningún álgebra. nivel con coeficientes enteros. Esos son: el número de PI = 3,14159 ...; logaritmo decimal de cualquier número entero no representado por uno seguido de ceros; número e = 2.71828 ... y otros ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
Un número que no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El dominio de tales números son los ceros de números reales, complejos y radicales. La existencia y construcciones explícitas de T. ch. Real fueron fundamentadas por J. Liouville ... ... Enciclopedia de las matemáticas
Ecuación que no es algebraica. Por lo general, estas son ecuaciones que contienen funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, trigonométricas inversas, por ejemplo: Una definición más estricta es esta: Una ecuación trascendental es una ecuación ... Wikipedia
Un número aproximadamente igual a 2.718, que es común en matemáticas y ciencias. Por ejemplo, en la desintegración de una sustancia radiactiva después de un tiempo t, queda una fracción de la cantidad inicial de la sustancia, igual a e kt, donde k es un número, ... ... Enciclopedia de Collier
E es una constante matemática, base de logaritmo natural, número irracional y trascendental. A veces, el número e se llama número de Euler (que no debe confundirse con los llamados números de Euler del primer tipo) o número de Napier. Se designa con una letra latina minúscula "e". ... ... Wikipedia
E es una constante matemática, base de logaritmo natural, número irracional y trascendental. A veces, el número e se llama número de Euler (que no debe confundirse con los llamados números de Euler del primer tipo) o número de Napier. Se designa con una letra latina minúscula "e". ... ... Wikipedia
