El número natural es el número que se utiliza al contar artículos. Surgió de las necesidades prácticas del hombre. El desarrollo del concepto de número natural se puede dividir en varias etapas: 1. personas antiguas, con el fin de comparar un conjunto, establecieron correspondencias: por ejemplo, lo mismo que un dedo en una mano. La desventaja es que los conjuntos comparados tenían que ser visibles al mismo tiempo. 2. Muchos: intermediarios, por ejemplo, piedras, conchas, palos. El concepto de número aún no se ha formado. Y los números están vinculados a temas específicos. 3. La aparición de un número (designación de un número en forma de números). El origen de la aritmética. La aritmética como ciencia se originó en los países del Antiguo Oriente: China, India, Egipto, mayor desarrollo en Grecia. El término "número natural" fue utilizado por primera vez por el científico romano Boecio. La cuenta es necesaria para determinar el número del conjunto. Dividimos todos los conjuntos cuantitativos en clases de equivalencia, por ejemplo, en una clase de equivalencia. incluirá muchos vértices de triángulos, lados de un cuadrado, muchas letras en la palabra paz. Si continuamos con este proceso, será debido a que en relación a la equivalencia, todo es igual en potencia. Los conjuntos finitos serán por clase. Ese. teóricamente, el significado plural de un número natural cuantitativo es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos e igualmente poderosos. Cada clase tiene su propio número cuantitativo. El cero se establece de acuerdo con el conjunto vacío.
Se dice que los números A y B son iguales si están determinados por conjuntos igualmente poderosos.
Este método se utiliza en la escuela primaria.
Metodología para trabajar problemas que revelen el significado específico de las operaciones aritméticas.
Los problemas aritméticos en el curso de matemáticas ocupan un lugar significativo. Casi la mitad del tiempo de las lecciones de matemáticas se dedica a resolver problemas. Esto se debe al gran papel educativo y educativo que desempeñan en la enseñanza de los niños. La solución de problemas aritméticos ayuda a revelar el significado básico de las operaciones aritméticas, a concretarlas, a conectarlas con una determinada situación de la vida. Las tareas contribuyen a la asimilación de conceptos, relaciones y patrones matemáticos. Al resolver problemas, los niños desarrollan atención voluntaria, observación, pensamiento lógico, habla, ingenio. La resolución de problemas contribuye al desarrollo de procesos de actividad cognitiva tales como análisis, síntesis, comparación, generalización.
En el proceso de resolución de problemas aritméticos, los estudiantes aprenden a planificar y controlar sus actividades, dominar las técnicas, el autocontrol (revisar el problema, estimar problemas, etc.), desarrollan la perseverancia, la voluntad y el interés por encontrar una solución al problema. el problema. El papel de resolver problemas en la preparación de los niños para la vida, para sus futuras actividades laborales, es excelente. Al resolver problemas de trama, los estudiantes aprenden a traducir la relación entre objetos y cantidades al "lenguaje de las matemáticas". En problemas aritméticos se utiliza material numérico que refleja el éxito del país en diversos sectores de la economía nacional, cultura, ciencia, etc. Esto ayuda a ampliar los horizontes de los estudiantes, enriquecerlos con nuevos conocimientos sobre la realidad circundante. Los alumnos dominan la capacidad de resolver problemas aritméticos con gran dificultad.
Las razones de las decisiones erróneas de los problemas por parte de los niños radican principalmente en las peculiaridades de su pensamiento. En el proceso de aprender a resolver problemas, se debe evitar el coaching para resolver problemas de cierto tipo, se debe enseñar un enfoque consciente para resolver problemas, enseñar a navegar en una determinada situación de la vida descrita en una tarea, enseñar una selección consciente de datos de la tarea, una elección consciente de acciones. En el proceso de trabajar en cualquier problema aritmético, se pueden distinguir las siguientes etapas:
1. Trabaja en el contenido del problema.
2. Busque una solución al problema.
3. Solución del problema.
4. La redacción de la respuesta.
5. Comprobando la solución al problema.
6. Trabajo posterior sobre el problema resuelto.
Se debe prestar mucha atención a trabajar en el contenido del problema, es decir sobre la comprensión de la situación planteada en la tarea, estableciendo la relación entre el dato y el deseado. La secuencia de trabajo sobre la asimilación del contenido del problema;
a) analizar palabras o expresiones incomprensibles;
b) lectura del texto del problema por parte del profesor y el alumno;
c) un registro del estado del problema;
d) repetición de la tarea sobre preguntas.
Se debe enseñar a los alumnos a leer el texto del problema de forma expresiva. Debe recordarse que a los niños se les debe enseñar especialmente la lectura expresiva, no pueden leer la tarea correctamente por sí mismos, no pueden poner énfasis lógico, etc.
Junto con la concretización del contenido del problema con la ayuda de objetos, esténciles y dibujos en la práctica de los profesores en las escuelas, se han generalizado las siguientes formas de registrar el contenido del problema:
1. Una forma abreviada de notación, en la que los datos numéricos y solo las palabras y expresiones que son necesarias para comprender el significado lógico del problema se escriben del texto del problema.
2. Forma de registro estructural abreviada, en la que cada parte lógica del problema se registra en una nueva línea.
3. Forma esquemática de grabación.
4. Forma gráfica de registro.
Dado que la función de control en los niños se debilita, la verificación de la solución al problema tiene valor no solo educativo, sino también educativo. En los grados inferiores es necesario:
1. Verifique las tareas formuladas verbalmente realizando una acción sobre los objetos.
2. Verifique la realidad de la respuesta.
3. Verificar la conformidad de la respuesta con la condición y la pregunta del problema. Verificar la solución del problema de otras formas para resolverlo es posible a partir del grado 4.
Para controlar la corrección de la solución del problema, también se utilizan algunos elementos de aprendizaje programado. Este elemento es muy útil porque el alumno recibe inmediatamente un refuerzo de la corrección o, a la inversa, de la equivocación de sus acciones. Si la decisión es incorrecta, busca nuevas soluciones.
Un maestro en la escuela a menudo no puede estar seguro de que todos los estudiantes comprenden la solución a un problema. Por tanto, es muy útil realizar trabajos para consolidar la solución a este problema. El trabajo para consolidar la solución al problema se puede realizar de diversas formas.
1. Se plantean preguntas clave sobre el contenido del problema.
2. Se propone contar todo el curso de la resolución del problema con la justificación de la elección de las acciones.
3. Se plantean preguntas para acciones o preguntas individuales. Para los estudiantes, no es el número de problemas similares resueltos lo que es importante, sino la comprensión de la situación de la asignatura en función de los datos. Este objetivo es servido por el trabajo posterior sobre el problema resuelto, que puede considerarse como una técnica importante que forma las habilidades de resolución de problemas de este tipo. Una mejor comprensión del contenido temático de las tareas, la relación entre los datos y los deseados, se facilita resolviendo problemas con datos numéricos innecesarios o faltantes, escritos no en números, sino en palabras. Las observaciones muestran que los mejores profesores utilizan ampliamente la resolución de problemas por los propios estudiantes como uno de los métodos de enseñanza de la resolución de problemas.
La composición de tareas ayuda a los niños a comprender mejor la importancia vital y práctica de la tarea, a comprender mejor su estructura y también a distinguir entre tareas de diferentes tipos, a comprender los métodos para resolverlas. La compilación de tareas se lleva a cabo en paralelo con la solución de tareas listas para usar. La experiencia y la observación muestran que es más fácil para los estudiantes componer problemas parcialmente. Se debe alentar a los estudiantes a redactar problemas con una variedad de argumentos. Esto contribuye al desarrollo de su imaginación, ingenio e iniciativa. Es muy útil cuando, para redactar problemas, los alumnos recurren a material "obtenido" por ellos durante las excursiones, de libros de referencia, periódicos, revistas, etc. Los estudiantes de secundaria deben aprender a completar y escribir documentos comerciales relacionados con ciertos cálculos. Por ejemplo, escriba un poder notarial, complete un formulario de transferencia de dinero, etc. Todas las técnicas anteriores se pueden utilizar ampliamente para resolver todo tipo de problemas.
Un problema aritmético simple es un problema que se puede resolver con una operación aritmética. Los problemas simples juegan un papel extraordinario en la enseñanza de matemáticas a los estudiantes. Se trata de tareas sencillas que permiten revelar el significado principal y concretar operaciones aritméticas, para formar ciertos conceptos matemáticos. Las tareas simples son parte integral de las tareas complejas y, por lo tanto, al formar la capacidad para resolverlas, el maestro prepara a los estudiantes para la resolución de problemas complejos.
En cada año académico, se presenta a los estudiantes nuevos tipos de problemas simples. Su introducción gradual se explica por el grado variable de dificultad de los conceptos matemáticos, el lugar de estudio de esas operaciones aritméticas, cuyo significado específico revelan. La especificación y el contenido no merecen menos atención por parte del profesor a la hora de elegir tareas de este tipo. Finalmente, el docente enseña a concretar el contenido del problema, revelando la relación entre los datos y lo buscado utilizando diversas formas de notación corta.
La experiencia de los mejores profesores muestra que la preparación para la resolución de problemas aritméticos debe comenzar por enriquecer y desarrollar la experiencia práctica de los estudiantes, orientándolos en la realidad circundante. Los discípulos necesitan ser guiados a eso situación de vida, en el que hay que contar, resolver problemas aritméticos, hacer cambios. Además, estas situaciones no deben crearse artificialmente al principio, solo deben ser dibujadas y dirigidas a la atención de los estudiantes. El profesor organiza la observación del cambio en el número de elementos de los conjuntos de asignaturas del contenido de los vasos, etc., lo que contribuye al desarrollo de las ideas de los estudiantes sobre el número para familiarizarlos con una terminología determinada, que posteriormente será encontrado en la formulación verbal de tareas: se ha vuelto, todo permanece, han tomado, aumentado, disminuido, etc. Es necesario organizar el juego y las actividades prácticas de los alumnos de tal forma que, siendo partícipes directos de esta actividad, además de observar, los propios alumnos puedan sacar conclusiones en cada caso individual; el número de elementos del conjunto ha aumentado o disminuido, y qué operación y expresión verbal corresponde a este aumento o disminución. Esta etapa del trabajo preparatorio coincide con el comienzo del trabajo sobre los números de los primeros diez y el conocimiento de las operaciones aritméticas, con la solución y compilación de ejemplos de operaciones con conjuntos de materias.
Antes de comenzar a enseñar la solución de problemas aritméticos, el profesor debe imaginar claramente qué conocimientos, habilidades y destrezas se deben brindar a los estudiantes. Para resolver un problema, los estudiantes deben resolver ejemplos aritméticos, escuchar y luego leer el problema, repetir el problema mediante preguntas, mediante notación corta, de memoria, seleccionar los componentes que componen el problema, resolver el problema y verificar que la solución sea correcta. En el primer grado, los estudiantes aprenden a resolver problemas para encontrar la suma y el resto. Estas tareas se introducen por primera vez al enseñar los números de los diez primeros. Al enseñar la solución de problemas para encontrar la suma de los mismos términos, para dividir en partes iguales o para dividir por contenido, uno debe confiar en la comprensión de los estudiantes de la esencia de las operaciones aritméticas de multiplicación y división. Antes de resolver el problema para una comparación diferente, los estudiantes deben dar el concepto de comparar objetos de un conjunto, dos conjuntos de objetos, cantidades, números, establecer relaciones de igualdad y desigualdad entre ellos. Un problema aritmético compuesto o complejo es un problema que se resuelve mediante dos o más operaciones aritméticas. Los estudios psicológicos sobre el estudio de las características de la resolución de problemas aritméticos compuestos muestran que los niños no reconocen los problemas simples familiares en el contexto de un nuevo problema compuesto. El trabajo preparatorio para la resolución de problemas compuestos debe ser un sistema de ejercicios, técnicas, que conduzcan a los estudiantes a dominar la solución de problemas compuestos. El docente puede pasar a la resolución de problemas compuestos cuando está convencido de que los alumnos han dominado las técnicas para la resolución de problemas simples que se incluirán en el problema compuesto, ellos mismos pueden componer un problema simple de cierto tipo. Al resolver problemas complejos, los estudiantes deben plantear preguntas a los datos o seleccionar datos para la pregunta. Por lo tanto, en el período preparatorio, es decir a lo largo del primer año y al comienzo del segundo año de estudio, a los estudiantes se les deben ofrecer asignaciones:
1. Recoja preguntas para una condición ya preparada.
2. En la pregunta, cree un problema, recogiendo los datos numéricos que faltan.
Al componer problemas simples y compuestos, el alumno aprenderá gradualmente a reconocer en un problema compuesto ejercicios simples que ya han tenido la experiencia de resolverlos, son ejercicios muy útiles para componer problemas complejos. Esto contribuirá a una mejor asimilación de los tipos de tareas simples, la capacidad de reconocerlas y aislarlas en una tarea compuesta, y ayudará a los estudiantes a analizar las tareas de manera más consciente. Al resolver problemas compuestos, los estudiantes deben aprender técnicas generales para trabajar en el problema; la capacidad de analizar el contenido del problema, destacando los datos conocidos que se están buscando (es decir, establecer lo que se necesita aprender en el problema), determinar qué datos faltan para responder la pregunta principal del problema. En la práctica de la escuela, el método de trabajar con tarjetas, tareas en las que se establece la secuencia de trabajo en la tarea, se ha justificado. Al resolver problemas, se registra el registro de su solución con preguntas o se registra y explica cada acción. El desarrollo de un método generalizado para resolver problemas de este tipo se proporciona resolviendo repetidamente problemas con varios tipos, diagramas, resolviendo problemas confeccionados y compilados por los propios estudiantes, comparando problemas de este tipo con tipos de problemas previamente resueltos, etc.
1. Explique la técnica computacional para los casos 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 todas las técnicas computacionales de cien.
1) 40+20= 4d + 2d = 6d = 60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d + 4d + 2d = 5d 4d = 54
4) 34+2 = 3d + 4unidades + 2unidades = 3d 6unidades = 36
5) 48-30 = 4d + 8unidad-3d = 1d 8unidad = 18
6) 48-3= 4d + 8ed-3ed = 4d 5ed = 45
Todas las técnicas de cálculo son orales y se realizan sobre la base de la suma y la resta de dígitos.
Como sabe, el conjunto de números naturales se puede ordenar usando la razón "menos". Pero las reglas para construir una teoría axiomática requieren que esta relación no solo se defina, sino que también se haga sobre la base de los conceptos ya definidos en la teoría dada. Esto se puede hacer definiendo la relación "menos" mediante la suma.
Definición. El número a es menor que el número b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = B.
En estas condiciones, también se dice que el número B más a y escribe b> a.
Teorema 12. Para cualquier número natural a y B hay una y solo una de las tres relaciones: a = b, a> b, a < B.
Omitimos la demostración de este teorema.... Este teorema implica que si
a ¹ b, entonces tambien a< b, o a> b, aquellos. la relación "menos" tiene la propiedad de estar conectada.
Teorema 13. Si a< b y B< с. luego a< с.
Prueba. Este teorema expresa la propiedad de transitividad de la relación "menos".
Porque a< b y B< с. entonces, según la definición de la relación "menos", existen tales números naturales Para y qué b = a + k y c = b + I. Pero entonces c = (a + k)+ / y en base a la propiedad de asociatividad de la suma, obtenemos: c = a + (k +/). En la medida en k + yo - número natural, entonces, según la definición "menos", a< с.
Teorema 14... Si a< b, no es cierto que B< а. Prueba. Este teorema expresa la propiedad antisimetría relación "menos".
Primero, demostremos que para ningún número natural a no tu -!>! ■) su actitud a< una. Supongamos lo contrario, es decir. qué a< а ocurre. Entonces, según la definición de la relación "menos", existe un número natural con, qué a+ con= a, y esto contradice el teorema 6.
Demostremos ahora que si a< B, entonces no es cierto que B < una. Supongamos lo contrario, es decir. Y si a< b , luego B< а realizado. Pero a partir de estas igualdades, según el Teorema 12, tenemos a< а, lo cual es imposible.
Dado que la relación "menos" definida por nosotros es antisimétrica y transitiva y tiene la propiedad de estar conectada, es una relación de orden lineal, y el conjunto de números naturales un conjunto ordenado linealmente.
Las conocidas propiedades del conjunto de números naturales se pueden derivar de la definición de "menos" y sus propiedades.
Teorema 15. De todos los números naturales, uno es el número más pequeño, es decir I< а для любого натурального числа a¹1.
Prueba. Permitir a - cualquier número natural. Entonces son posibles dos casos: a = 1 y un ¹ 1. Si a = 1, entonces hay un número natural B, seguido por a: a = b "= b + Yo = 1 + B, es decir, por definición de la relación "menos", 1< una. Por lo tanto, cualquier natural es igual a 1 o mayor que 1. O bien, uno es el número natural más pequeño.
La relación "menos" está asociada con la suma y multiplicación de números por las propiedades de la monotonicidad.
Teorema 16.
a = b => a + c = b + c y a c = b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a> b => a + c> b + c y ac> bc.
Prueba. 1) La validez de esta declaración se deriva de la unicidad de la suma y la multiplicación.
2) Si a< b,
entonces hay un número tan natural k, qué a
+ k = b.
Luego B+ c = (una + k) + c = una + (k + c) = una + (c+ Para)= (a + c) + k. Igualdad B+ c = (a + c) + k significa que a + c< b
+ con.
Se prueba de la misma forma que a< b =>as< bс.
3) La prueba es similar.
Teorema 17(recíproco al teorema 16).
1) a+ c = b + c o ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с o as< Antes de CristoÞ a< Ь:
3) a + c> b+ con o ac> bcÞ a> b.
Prueba. Demostremos, por ejemplo, que de as< bс deberían a< b Supongamos lo contrario, es decir. que la conclusión del teorema no es válida. Entonces no puede ser eso a = b. desde entonces la igualdad ac = bc(Teorema 16); no puede ser a> B, desde entonces ac> bc(teorema! 6). Por tanto, de acuerdo con el Teorema 12, a< b.
De los teoremas 16 y 17 se pueden deducir las bien conocidas reglas de la suma y multiplicación de desigualdades término por término. Los omitimos.
Teorema 18... Para cualquier número natural a y B; existe un número natural n tal que n b> a.
Prueba. Para cualquiera a hay tal numero NS, qué n> a. Para hacer esto, basta con tomar n = a + 1. Multiplicar desigualdades término por término NS> a y B> 1, obtenemos nótese bien > una.
De las propiedades consideradas de la relación "menos" se siguen características importantes del conjunto de números naturales, que presentamos sin prueba.
1. Para ningún número natural a no existe tal número natural NS, qué a< п < а +
1. Esta propiedad se llama propiedad
discreción conjuntos de números naturales y números a y a + 1 llamada vecino.
2.
Cualquier subconjunto no vacío de números naturales contiene
número más pequeño.
3. Si METRO- subconjunto no vacío del conjunto de números naturales
y hay tal numero B, que para todos los números x de METRO No realizado
igualdad x< B, luego en el set METRO hay el mayor número.
Ilustremos las propiedades 2 y 3 con un ejemplo. Permitir METRO- un conjunto de números de dos dígitos. Porque METRO es un subconjunto de números naturales y para todos los números de este conjunto la desigualdad x< 100, то в множестве METRO es el número más grande 99. El número más pequeño contenido en el conjunto dado M, - numero 10.
Así, la razón “menos” permitió considerar (y en algunos casos probar) un número significativo de propiedades del conjunto de números naturales. En particular, está ordenado linealmente, es discreto y tiene el número más pequeño 1.
Los escolares más jóvenes se familiarizan con la proporción "menos" ("más") de los números naturales al comienzo del entrenamiento. Y a menudo, junto con su interpretación de la teoría de conjuntos, se utiliza implícitamente la definición que hemos dado en el marco de la teoría axiomática. Por ejemplo, los estudiantes podrían explicar que 9> 7 porque 9 es 7 + 2. El uso implícito de las propiedades de monotonicidad de la suma y la multiplicación no es infrecuente. Por ejemplo, los niños explican que "6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Ejercicios
1. ¿Por qué no se puede ordenar el conjunto de números naturales usando la relación "inmediatamente siguiente"?
Formular la definición de relación a> b y demostrar que es transitivo y antisimétrico.
3. Demuestre que si a B C- números naturales, luego:
a) a< b Þ ас < bс;
B) a+ con< b + cÞ> a< Ь.
4. ¿Qué teoremas sobre la monotonicidad de la suma y la multiplicación pueden
utilice escolares más pequeños, realizando la tarea "Comparar sin realizar cálculos":
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. ¿Qué propiedades del conjunto de números naturales utilizan implícitamente los niños de primaria cuando realizan las siguientes tareas?
A) Escriba los números que son mayores que 65 y menores que 75.
B) Cuáles son los números anteriores y posteriores en relación con el número 300 (800.609.999).
C) ¿Cuál es el número de tres dígitos más pequeño y más grande?
Sustracción
En la construcción axiomática de la teoría de los números naturales, la resta se define generalmente como la inversa de la suma.
Definición. La resta de números naturales ayb es una operación que satisface la condición: a - b = c si y solo si b + c = a.
Número a - b se llama la diferencia de los números ay B, número a- reducido, y el número B - deducible.
Teorema 19. Diferencia de números naturales a- B existe si y solo si B< а.
Prueba. Deja la diferencia a- B existe. Entonces, por la definición de la diferencia, hay un número natural con, qué b + c = a, Lo que significa que B< а.
Si B< а, entonces, por la definición de la razón "menos", existe un número natural c tal que b + c = a. Entonces, por la definición de la diferencia, c = a - b, aquellos. diferencia a - b existe.
Teorema 20. Si la diferencia de números naturales a y B existe, entonces es único.
Prueba. Suponga que hay dos valores diferentes para la diferencia de números. a y B;: a - b= con₁ y a - b= con₂, y c₁ ¹ c₂. Entonces, por la definición de la diferencia, tenemos: a = b + c₁, y a = b + c₂ :. De ahí se sigue que B+ c ₁ = b + c₂: y sobre la base del teorema 17 llegamos a la conclusión de que c₁ = c₂ .. Llegamos a una contradicción con el supuesto, lo que significa que es incorrecto, pero este teorema es cierto.
Con base en la definición de la diferencia de números naturales y las condiciones para su existencia, es posible justificar las reglas bien conocidas para restar un número de una suma y una suma de un número.
Teorema 21... Permitir una. B y con- enteros.
Y si a> c, entonces (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Si b> c. luego (a + b) - c - a + (b - c).
c) Si a> c y b> c. entonces se puede utilizar cualquiera de estas fórmulas.
Prueba. En el caso a) la diferencia de números a y C existe desde a> c. Lo denotamos por x: a - c = x. dónde a = c + x... Si (a+ b) - c = y. entonces, por definición de la diferencia, a+ B = con+ a... Sustituimos en esta igualdad en lugar de a expresión c + x:(c + x) + b = c + y. Usemos la propiedad de asociatividad de adición: c + (x + b) = c+ a... Transformamos esta igualdad en base a la propiedad de monotonicidad de la suma, obtenemos:
x + b = a.. Reemplazando x en esta igualdad con la expresión a - c, tendrá (a - GRAMO) + b = y. Así, hemos probado que si a> c, entonces (a + b) - c = (a - c) + b
La prueba se realiza de forma similar en el caso b).
El teorema demostrado se puede formular como una regla conveniente para recordar: para restar un número a la suma, basta con restar este número a un término de la suma y agregar otro término al resultado obtenido.
Teorema 22. Permitir a, by c - enteros. Si a> b+ c, entonces a- (b + c) = (a - b) - c o a - (b + c) = (a - c) - b.
La prueba de esta teoría es similar a la prueba del Teorema 21.
El teorema 22 se puede formular como regla, para restar la suma de números del número, basta con restar de este número sucesivamente cada término uno tras otro.
En la enseñanza inicial de matemáticas, la definición de resta como la inversa de la suma generalmente no se da, como regla, pero se usa constantemente, comenzando con la realización de acciones con números de un solo dígito. Los estudiantes deben ser conscientes de la relación entre la resta y la suma y utilizar esta relación en sus cálculos. Restando, por ejemplo, el número 16 del número 40, los estudiantes razonan de la siguiente manera: “Reste el número 16 de 40 - ¿qué significa encontrar ese número? Cuando se suma al número 16, se obtiene 40; este número será 24, ya que 24 + 16 = 40. Entonces. 40 - 16 = 24 ".
Las reglas para restar un número de una suma y una suma de un número en un curso de matemáticas elemental son bases teóricas diversas técnicas de cálculo. Por ejemplo, el valor de la expresión (40 + 16) - 10 se puede encontrar no solo calculando la suma entre paréntesis y luego restando el número 10, sino también de esta manera;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
Ejercicios
1. ¿Es cierto que cada número natural se obtiene del inmediatamente siguiente restando uno?
2. ¿Cuál es la peculiaridad de la estructura lógica del teorema 19? ¿Puede formularse utilizando las palabras "necesario y suficiente"?
3. Demuestre que:
Y si b> c, luego (a + b) - c = a + (b - c);
b) si a> b + c, luego a - (b+ s) = (a B C.
4. ¿Es posible, sin realizar cálculos, decir qué expresiones serán iguales?
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16-14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; f) 50 - 16 - 14.
5. ¿Qué propiedades de la resta son la base teórica de los siguientes métodos de cálculo, estudiados en el curso elemental de matemáticas?
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6 - P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Describe formas posibles calcular el valor de una expresión de la forma. a - b- con e ilustrelos con ejemplos específicos.
7. Demuestre que para B< а y cualquier c natural, la igualdad (a - b) c = ac - bc.
Indicación. La prueba se basa en Axiom 4.
8. Determinar el significado de la expresión sin realizar cálculos escritos. Justifica las respuestas.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
División
En la construcción axiomática de la teoría de los números naturales, la división generalmente se define como la inversa de la multiplicación.
Definición. La división de números naturales ayb es una operación que satisface la condición: a: b = c si y solo si, Para cuando b× c = a.
Número a: b llamado privado números a y B, número a divisible, numero B- divisor.
Como saben, la división por el conjunto de números naturales no siempre existe, y no existe un criterio tan conveniente para la existencia de un cociente que exista para la diferencia. Solo hay condición necesaria existencia privada.
Teorema 23. Para que exista el cociente de dos números naturales a y B, Es necesario que B< а.
Prueba. Sea el cociente de números naturales a y B existe, es decir hay un número natural c tal que bc = a. Dado que para cualquier número natural 1 la desigualdad 1 £ con, luego, multiplicar sus dos partes por un número natural B, obtenemos B£ antes de Cristo. Pero bc = a, por eso, B£ una.
Teorema 24. Si el cociente de números naturales a y B existe, entonces es único.
La prueba de este teorema es similar a la prueba del teorema de unicidad para la diferencia de números naturales.
Con base en la definición del cociente de números naturales y las condiciones para su existencia, es posible justificar las conocidas reglas para dividir una suma (diferencia, producto) por un número.
Teorema 25. Si los numeros a y B dividido por numero con, entonces su suma a + b divisible por s, y el cociente obtenido al dividir la suma a+ B por el numero con, es igual a la suma de los cocientes obtenidos por división a sobre con y B sobre con, es decir. (a + b):c = a: c + b:con.
Prueba. Dado que el numero a dividido por con, entonces existe un número natural x = a; con ese a = cx. Del mismo modo, existe un número natural y = b:con, qué
B= su. Pero entonces a + b = cx+ su = - c (x + y). Esto significa que a + b es divisible por c, y el cociente obtenido al dividir la suma a+ B por el número c es igual ax + y, aquellos. ah + b: c.
El teorema demostrado se puede formular como una regla para dividir una suma por un número: para dividir la suma por un número, basta con dividir cada término por este número y sumar los resultados obtenidos.
Teorema 26. Si los números naturales a y B dividido por numero con y a> b, entonces la diferencia a - b es divisible por c, y el cociente obtenido al dividir la diferencia por el número c es igual a la diferencia de los cocientes obtenidos al dividir a sobre con y B ac, es decir (a - b): c = a: c - b: c.
La demostración de este teorema se realiza de forma similar a la demostración del teorema anterior.
Este teorema se puede formular como una regla para dividir la diferencia por un número: por para dividir la diferencia entre un número, basta con dividir el número a reducir y restar por este número y restar el segundo del primer cociente.
Teorema 27. Si un numero natural a es divisible por un número natural c, entonces para cualquier número natural B trabaja ab se divide en p. En este caso, el cociente obtenido al dividir el trabajo ab por número con , es igual al producto del cociente obtenido por división a sobre con, y numeros b: (a × b): c - (a: c) × b.
Prueba. Porque a dividido por con, entonces existe un número natural x tal que a: c= x, de donde a = cx. Multiplicar ambos lados de la igualdad por B, obtener ab = (cx) b. Dado que la multiplicación es asociativa, entonces (cx) b = c (x b). De aquí (a b): c = x b = (a: c) b. El teorema se puede formular como una regla para dividir un producto por un número: para dividir un producto por un número, basta con dividir uno de los factores por este número y multiplicar el resultado por el segundo factor.
En la enseñanza inicial de matemáticas, la definición de división como una operación inversa a la multiplicación, por regla general, no se da en forma general, pero se usa constantemente, comenzando con las primeras lecciones de familiarización con la división. Los estudiantes deben ser conscientes de que la división está relacionada con la multiplicación y utilizar esta relación en los cálculos. Al realizar la división, por ejemplo, 48 entre 16, los estudiantes razonan así: “Dividir 48 entre 16 significa encontrar ese número, cuando lo multiplicamos por 16, obtenemos 48; este número será 3, ya que 16 × 3 = 48. Por lo tanto, 48: 16 = 3.
Ejercicios
1. Demuestre que:
a) si el cociente de números naturales a y B existe, entonces es único;
b) si los números a y B están divididos en con y a> b, luego (a - b): c = a: c - b: c.
2. ¿Es posible afirmar que todas las igualdades dadas son correctas?
a) 48: (2 × 4) = 48: 2: 4; b) 56: (2 × 7) = 56: 7: 2;
c) 850: 170 = 850: 10: 17.
¿Cuál es la regla general para estos casos? Formúlalo y pruébalo.
3. ¿Qué propiedades de la fisión son la base teórica para
completar las siguientes tareas que se ofrecen a los estudiantes de la escuela primaria:
¿Es posible, sin realizar una división, decir qué expresiones tendrán los mismos valores:
a) (40 + 8): 2; c) 48: 3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 + 27): 3; f) 48: 2;
¿Son verdaderas las igualdades?
a) 48: 6: 2 = 48: (6: 2); b) 96: 4: 2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Describe las posibles formas de calcular el valor de la expresión.
amable:
a) (a+ antes de Cristo; B) a:B: con; v) ( a × b): con .
Ilustre los métodos propuestos con ejemplos específicos.
5. Encuentra los significados de la expresión de forma racional; su
justificar acciones:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Justifique los siguientes métodos de división por un número de dos dígitos:
a) 954: 18 = (900 + 54): 18 = 900: 18 + 54: 18 = 50 + 3 = 53;
b) 882: 18 = (900 - 18): 18 = 900: 18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480: 32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. Sin dividir con una esquina, encuentra el más racional
camino privado; justificar el método elegido:
a) 495: 15; c) 455: 7; e) 275: 55;
6) 425: 85; d) 225: 9; f) 455: 65.
Clase 34. Propiedades del conjunto de enteros no negativos
1. El conjunto de números enteros no negativos. Propiedades del conjunto de enteros no negativos.
2. El concepto de segmento de números naturales y elementos de conteo de un conjunto finito. Números naturales ordinales y cuantitativos.
PARA examen estatal por especialidad
1. Espacio lineal (vectorial) sobre un campo. Ejemplos. Subespacios, propiedades más simples. Dependencia lineal e independencia de vectores.
2. Base y dimensión del espacio vectorial. La matriz de coordenadas del sistema vectorial. Transición de una base a otra. Isomorfismo de espacios vectoriales.
3. Cerramiento algebraico de un campo números complejos.
4. Anillo de números enteros. El orden de los números enteros. Teoremas del entero "mayor" y "menor".
5. Grupo, ejemplos de grupos. Propiedades más simples de grupos. Subgrupos. Homomorfismo e isomorfismo de grupos.
6. Propiedades básicas de divisibilidad de números enteros. Números primos. Infinidad de números primos. Descomposición canónica de un número compuesto y su singularidad.
7. El teorema de Kronecker-Capelli (un criterio para la compatibilidad del sistema ecuaciones lineales).
8. Propiedades básicas de las comparaciones. Sistemas completos y reducidos de residuos modulo. Módulo de anillo de clase de residuo. Teoremas de Euler y Fermat.
9. Aplicación de la teoría de las comparaciones a la derivación de signos de divisibilidad. Convertir una fracción ordinaria en decimal y determinar la duración de su período.
10. Conjugado de raíces imaginarias de un polinomio con coeficientes reales. Polinomios irreductibles sobre el campo de los números reales.
11. Comparaciones lineales con una variable (criterio de solubilidad, soluciones).
12. Sistemas equivalentes de ecuaciones lineales. Método de eliminación sucesiva de incógnitas.
13. Anillo. Ejemplos de anillos. Las propiedades más simples de los anillos. Subring. Homomorfismos e isomorfismos de anillos. Campo. Ejemplos de campos. Propiedades más simples. Minimidad del campo de los números racionales.
14. Números naturales (fundamentos de la teoría axiomática de los números naturales). Teoremas sobre el número natural "mayor" y "menor".
15. Polinomios sobre el terreno. Teorema de división con resto. Máximo común divisor de dos polinomios, sus propiedades y métodos de cálculo.
16. Relaciones binarias. Relación de equivalencia. Clases de equivalencia, conjunto de cocientes.
17. Inducción matemática para números naturales y enteros.
18. Propiedades de los números coprimos. Mínimo común múltiplo de números enteros, sus propiedades y métodos de cálculo.
19. Campo de números complejos, campos numéricos. Representación geométrica y forma trigonométrica de un número complejo.
20. Teorema de división con resto para números enteros. Máximo común divisor de números enteros, sus propiedades y métodos de cálculo.
21. Operadores lineales del espacio vectorial. Kernel e imagen de un operador lineal. Álgebra operadores lineales espacio vectorial. Autovalores y autovectores de un operador lineal.
22. Transformaciones afines del plano, sus propiedades y métodos de montaje. El grupo de transformaciones afines del plano y sus subgrupos.
23. Polígonos. Área de polígono. Teorema de existencia y unicidad.
24. Igual tamaño e igual composición de polígonos.
25. Geometría de Lobachevsky. Coherencia del sistema de axiomas geométricos de Lobachevsky.
26. El concepto de paralelismo en la geometría de Lobachevsky. Disposición mutua de líneas rectas en el plano de Lobachevsky.
27. Fórmulas de movimientos. Clasificación de movimientos de aviones. Aplicaciones a la resolución de problemas.
28. Disposición mutua de dos planos, una línea recta y un plano, dos líneas rectas en el espacio (en una presentación analítica).
29. Transformaciones proyectivas. Teorema de existencia y unicidad. Fórmulas para transformaciones proyectivas.
30. Productos escalares, vectoriales y mixtos de vectores, su aplicación a la resolución de problemas.
31. El sistema de axiomas de Weyl del espacio euclidiano tridimensional y su consistencia significativa.
32. Movimientos planos y sus propiedades. Grupo de movimientos de aviones. Teorema de existencia y unicidad para el movimiento.
33. El plano proyectivo y sus modelos. Transformaciones proyectivas, sus propiedades. El grupo de transformaciones proyectivas.
34. Transformaciones de la semejanza del plano, sus propiedades. Grupo de transformaciones de similitud de planos y sus subgrupos.
35. Superficies lisas. La primera forma cuadrática de una superficie y sus aplicaciones.
36. Diseño paralelo y sus propiedades. Proyección paralela de figuras planas y espaciales.
37. Líneas suaves. La curvatura de una curva espacial y su cálculo.
38. Elipse, hipérbola y parábola como secciones cónicas. Ecuaciones canónicas.
39. Propiedad de directorio de elipse, hipérbola y parábola. Ecuaciones polares.
40. Relación doble de cuatro puntos de una línea recta, sus propiedades y cálculo. Separación armónica de pares de puntos. Un cuadrilátero completo y sus propiedades. Aplicación a la resolución de problemas de construcción.
41. Teoremas de Pascal y Brianchon. Polos y Polares.
Ejemplos de preguntas de análisis matemático
Teoremas del entero "mayor" y "menor"
Teorema 4 (sobre el entero "más pequeño"). Cualquier conjunto no vacío de enteros acotado desde abajo contiene el número más pequeño. (Aquí, como en el caso de los números naturales, se utiliza la palabra "conjunto" en lugar de la palabra "el subconjunto" E
Prueba. Sean О А С Z y А acotados desde abajo, es decir 36? ZVa? A (b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Ahora sea b A.
Entonces Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Formamos el conjunto M de todos los números de la forma a - b, donde a corre sobre el conjunto A, es decir M = (c [c = a - b, a E A)
Evidentemente, el conjunto M no está vacío, ya que A 74 0
Como se señaló anteriormente, M C N. En consecuencia, por el teorema de un número natural m Ah, y, dado que m es el más pequeño de M, ¿entonces ya? A< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Teorema 5 (sobre el entero "mayor"). Cualquier conjunto de enteros no vacío y limitado por clase contiene el número más grande.
Prueba. Dejemos que О 74 А С Z y А estén delimitados desde arriba por el número b, es decir, ? ZVa e A (a< Ь). Тогда -а >B para todos los números a? UNA.
En consecuencia, el conjunto M (con r = -a, a? A) no está vacío y está limitado desde abajo por el número (-6). Por tanto, según el teorema anterior, el conjunto M tiene el número más pequeño, es decir, ¿usted? MOUS? M (c< с).
¿Eso significa whoa? A (con< -а), откуда Уа? А(-с >a)
H. Varias formas del método de inducción matemática para números enteros. Teorema de la división del resto
Teorema 1 (la primera forma del método de inducción matemática). Sea P (c) un predicado de un lugar definido en el conjunto Z de enteros., 4. Entonces, si para algún NÚMERO a Z la proposición P (o) y Para un entero arbitrario K> a de P (K) sigue a P (K -4-1), entonces la proposición P (r) es verdadera Para todos números enteros, t c> a (es decir, en el conjunto Z, la siguiente fórmula del cálculo de predicados es verdadera:
P (a) arco> + 1)) Us> aP (c)
para cualquier entero fijo a
Prueba. Suponga que para la proposición P (c) todo lo que se dice en la condición del teorema es verdadero, es decir,
1) P (a) - verdadero;
2) UK Ш к + también es cierto.
Por contradicción. Supongamos que existe tal número
B> a, ese RF) es falso. Obviamente, b a, ya que P (a) es verdadero. Formamos el conjunto M = (z?> A, P (z) es falso).
Entonces el conjunto M 0, ya que b? M y M están delimitados desde abajo por el número a. En consecuencia, según el teorema del menor entero (Teorema 4, 2), el conjunto M contiene el menor entero c. Por tanto, c> a, que a su vez implica c - 1> a.
Demostremos que P (c-1) es verdadero. Si c-1 = a, entonces P (c-1) es verdadero debido a la condición.
Sea c - 1> a. Entonces, ¿la suposición de que P (c - 1) es falsa implica pertenecer a 1? M, que no puede ser, ya que el número c es el más pequeño del conjunto M.
Por tanto, c - 1> ay P (c - 1) es cierto.
Por tanto, en virtud de las condiciones de este teorema, la proposición P ((c - 1) + 1) es verdadera, es decir, P (c) es cierto. Esto contradice la elección del número c, ya que c? M Se demuestra el teorema.
Tenga en cuenta que este teorema generaliza el Corolario 1 de los axiomas de Peano.
Teorema 2 (la segunda forma del método de inducción matemática para números enteros). Sea P (c) un preestablecido de un lugar (definición) en el conjunto Z de enteros. Entonces, si la preposición P (c) es válida para algún número entero K y para un número entero arbitrario s K a partir de la validez de la proposición P (c) Para todos los enteros y que satisfacen la desigualdad K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >PARA.
La demostración de este teorema repite en gran medida la demostración de un teorema similar para los números naturales (Teorema 1, 55, Capítulo III).
Teorema 3 (la tercera forma del método de inducción matemática). Sea Р (с) un predicado único definido en el número entero del conjunto Z. Entonces, si P (c) es verdadero para todos los números de algún subconjunto infinito M del conjunto de números naturales y para un entero arbitrario a de la verdad de P (a) se sigue que P (a - 1) es verdadero, entonces el la proposición P (c) es verdadera para todos los números enteros.
La prueba es similar a la prueba del teorema correspondiente para números naturales.
Lo ofrecemos como un ejercicio interesante.
Tenga en cuenta que, en la práctica, la tercera forma de inducción matemática ocurre con menos frecuencia que las otras. Esto se debe a que para su aplicación es necesario conocer el subconjunto infinito M del conjunto de números naturales ”, que se menciona en el teorema. Encontrar un conjunto de este tipo puede resultar complicado.
Pero la ventaja de la tercera forma sobre las demás es que, con su ayuda, se prueba la proposición P (c) para todos los números enteros.
A continuación daremos un interesante ejemplo de la aplicación del tercer formulario ”. Pero primero, démosle un concepto muy importante.
Definición. El valor absoluto de un número entero a es un número determinado por la regla
0 si a 0 a si a> 0
A si un< 0.
Entonces, si es 0, entonces? NORTE.
Ofrecemos al lector como ejercicio para probar las siguientes propiedades del valor absoluto:
Teorema (sobre división con resto). Para cualquier número entero ayb, donde b 0, existe y, además, solo un par de números q U m tales que a r: bq + T A D.
Prueba.
1. La existencia de un par (q, m).
Deja a, b? Z y 0. Demostremos que existe un par de números q y que satisfacen las condiciones
Realizamos la demostración por inducción en tercera forma sobre el número a para un número fijo b.
М = (mlm = n lbl, n? N).
Obviamente, M C lm es un mapeo f: N M, definido por la regla f (n) = nlbl para cualquier n? N es una biyección. Esto significa que M N, es decir M - infinito.
Demostremos eso para un número arbitrario a? M (y b-fijo) la afirmación del teorema sobre la existencia de un par de números qym es verdadera.
De hecho, sea a (- M. Entonces a nf! Para algunos n? N.
Si b> 0, entonces a = n + O. Ahora estableciendo q = n y m 0, obtenemos el par requerido de números q y m. Pero si b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Hagamos ahora una suposición inductiva. Suponga que para un entero arbitrario c (y un b 0 fijo arbitrario) el enunciado del teorema es verdadero, es decir, existe un par de números (q, m) tal que
Demostremos que también es cierto para el número (c 1). De la igualdad c = bq -4- se sigue bq + (m - 1). (1)
Los casos son posibles.
1) m> 0. Entonces 7 "- 1> 0. En este caso, estableciendo - m - 1, obtenemos c - 1 - bq + Tl, donde el par (q, 7" 1,) obviamente satisface la condición
0. Entonces c - 1 bq1 + 711, donde q1
Podemos demostrar fácilmente que 0< < Д.
Por tanto, la afirmación también es cierta para el par de números
Se demuestra la primera parte del teorema.
P. Unicidad del par q, etc.
Suponga que para los números a y b 0 hay dos pares de números (q, m) y (q1, luego se satisfacen las condiciones (*)
Demostremos que coinciden. Entonces deja
y a bq1 L O< Д.
Por tanto, se sigue que b (q1 -q) m- 7 1 1. De esta igualdad se sigue que
Si ahora asumimos que q ql, entonces q - q1 0, de donde lq - q1l 1. Multiplicando estas desigualdades término por término por el número lbl, obtenemos φ! - q11 D. (3)
Al mismo tiempo, de las desigualdades 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Ejercicios:
1. Completa las demostraciones de los teoremas 2 y 3 de 5 1.
2. Demuestre el corolario 2 del teorema 3, 1.
3. Demuestre que el subconjunto Н С Z que consta de todos los números de la forma< п + 1, 1 >(n? N), es cerrado con respecto a la suma y la multiplicación.
4. Sea Н el mismo conjunto que en el ejercicio 3. Demuestre que el mapeo ј: М satisface las condiciones:
1) ј - biyección;
2) ј (n + m) = ј (n) + j (m) y j (nm) = ј (n) j (m) para cualquier número n, m (es decir, ј realiza un isomorfismo de álgebras (N, 4 y (H, +,).
5. Completa la demostración del teorema 1 de 2.
6. Demuestre que para cualquier número entero a, b, c se cumplen las siguientes implicaciones:
7. Demuestre el segundo y tercer teoremas de Z.
8. Demuestre que el anillo Z de números enteros no contiene divisores cero.
Literatura
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Edición educativa
Vladimir Konstantinovich Kartashov
CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICAS
Preparación editorial por O. I. Molokanova El diseño original fue preparado por A. P. Boschenko
„PR 020048 de 20.12.96
Firmado para imprimir el 28 de agosto de 1999. Formato 60x84 / 16. Prensa de oficina. Auge. tipo de. M 2. Uel. impresión l. 8.2. Uch.-ed. l. 8.3. La tirada es de 500 ejemplares. Orden 2
Editorial Peremena
Un segmento N de una serie natural es el conjunto de números naturales que no exceden a un número natural a, es decir, N = (x | x N yx a).
Por ejemplo, N es el conjunto de números naturales que no exceden de 7, es decir, N = (1,2,3,4,5,6,7).
Observemos dos propiedades más importantes de los segmentos de línea natural:
1) Cualquier segmento N contiene uno. Esta propiedad se deriva de la definición de un segmento de una serie natural.
2) Si el número x está contenido en el segmento N yx a, entonces el número x + 1 inmediatamente siguiente también está contenido en N.
Un conjunto A se llama finito si es equivalente a algún segmento N de una serie natural. Por ejemplo, el conjunto A de los vértices del triángulo, el conjunto B de letras en la palabra "mundo" son conjuntos finitos, ya que son iguales al segmento N = (1,2,3), es decir A ~ B ~ N.
Si un conjunto finito no vacío A es equivalente a un segmento N, entonces el número natural a se llama el número de elementos del conjunto A y escriben n (A) = a. Por ejemplo, si A es el conjunto de vértices de un triángulo, entonces n (A) = 3.
Cualquier conjunto finito no vacío es equivalente a uno y solo un segmento de la serie natural, es decir, cada conjunto finito A puede asociarse con un número definido de forma única a, de modo que el conjunto A es uno a uno mapeado en el segmento N .
Establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos de un conjunto finito no vacío A y un segmento de una serie natural se denomina recuento de elementos del conjunto A. Dado que cualquier conjunto finito no vacío corresponde a un solo número natural , toda la colección de conjuntos finitos se divide en clases de conjuntos igualmente poderosos. Una clase contendrá todos los conjuntos de un elemento, otra, conjuntos de dos elementos, etc. Y este número puede considerarse como una propiedad general de la clase de conjuntos equipotentes finitos. Por tanto, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, un número natural es una propiedad general de la clase de conjuntos finitos igualmente poderosos.
El número 0 también tiene una interpretación teórica de conjuntos: está asociado con un conjunto vacío: n () = 0.
Entonces, el número natural y como característica de la cantidad se puede considerar desde dos posiciones:
1) como el número de elementos del conjunto A, obtenido contando;
2) como propiedad general de la clase de conjuntos equipotentes finitos.
La conexión establecida entre conjuntos finitos y números naturales nos permite dar una interpretación teórica de conjuntos de la relación "menos".
Si a = n (A), b = n (B), entonces el número a es menor que el número b si y solo si el conjunto A es igual a un subconjunto propio del conjunto B, es decir A ~ B, donde B B, B B, B (Fig. 1). O cuando un segmento de una serie natural N es un subconjunto propio de un segmento N, es decir N N.
Los números ayb son iguales si están determinados por conjuntos igualmente poderosos: a = k A ~ B, donde n (A) = a, n (B) = k. Por ejemplo, 2 = 2, porque norte (A) = 2, norte (B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A ~ B.
Las propiedades de la relación "menos" para los números naturales también reciben una interpretación de la teoría de conjuntos: la transitividad y antisimetría de esta relación está asociada con el hecho de que la relación "ser un subconjunto" es transitiva y antisimétrica.
Demostremos, usando la interpretación de la teoría de conjuntos de la relación "menos" para los números naturales, que 2
Tome un conjunto A que contiene 2 elementos y un conjunto B que contiene 5 elementos, es decir n (A) = 2, n (B) = 5. Por ejemplo, A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Del conjunto B, se puede distinguir un subconjunto B, que es igual al conjunto A: por ejemplo, B = (c, d) y A ~ B. Según la definición de la relación "menos", 2
La validez de esta desigualdad también se deriva del hecho de que N
Esta desigualdad se puede considerar en la Figura 2. Sea 2 el número de círculos y 5 - el número de cuadrados. Si ponemos los círculos sobre los cuadrados, veremos que algunos de los cuadrados quedan abiertos.
Esto significa que el número de círculos es menor que el número de cuadrados, es decir 2
El significado de la teoría de conjuntos de la desigualdad 0
La comparación de números en el curso elemental de matemáticas se lleva a cabo de diferentes maneras: se basa en todos los enfoques que hemos considerado para la interpretación de la proporción "menos".
