روش مونت کارلو(روش‌های مونت کارلو، MMC) نام کلی گروهی از روش‌های عددی است که بر اساس به دست آوردن تعداد زیادی از تحقق‌های یک فرآیند تصادفی (تصادفی) است که به گونه‌ای شکل می‌گیرد که ویژگی‌های احتمالی آن با مقادیر مشابه منطبق باشد. از مشکل در حال حل شدن برای حل مسائل در زمینه های مختلف فیزیک، شیمی، ریاضیات، اقتصاد، بهینه سازی، تئوری کنترل و غیره استفاده می شود.

داستان

الگوریتم بوفون برای تعیین پی

متغیرهای تصادفی برای مدت طولانی برای حل مسائل مختلف کاربردی استفاده شده اند. یک مثال روش تعیین عدد Pi است که توسط بوفون در سال 1777 ارائه شد. ماهیت روش پرتاب طول سوزن بود Lبر روی صفحه ای که توسط خطوط موازی که در یک فاصله قرار دارند ترسیم شده است rاز یکدیگر (نگاه کنید به شکل 1).

تصویر 1.روش بوفون

احتمال (همانطور که از زمینه بعدی مشاهده می شود، ما در مورد احتمال صحبت نمی کنیم، بلکه در مورد انتظار ریاضی تعداد تقاطع ها در یک آزمایش است؛ این فقط در صورتی به یک احتمال تبدیل می شود که r>L) اینکه قطعه خط را قطع می کند به عدد Pi مربوط می شود:

، جایی که

آ- فاصله از ابتدای سوزن تا نزدیکترین خط مستقیم؛

θ زاویه سوزن نسبت به خطوط مستقیم است.

گرفتن این انتگرال آسان است: (به شرط آن r>Lبنابراین، با شمارش نسبت قطعات متقاطع خطوط، می توانیم تقریباً این عدد را تعیین کنیم. با افزایش تعداد تلاش ها، دقت نتیجه به دست آمده افزایش می یابد.

در سال 1864، کاپیتان فاکس در حالی که از یک جراحت در حال بهبود بود، برای اینکه به نوعی خود را مشغول کند، آزمایشی را در مورد پرتاب یک سوزن انجام داد. نتایج در جدول زیر ارائه شده است:

	تعداد پرتاب ها	تعداد تقاطع ها	طول سوزن	فاصله بین خطوط	چرخش	مقدار پی
اولین تلاش					غایب
تلاش دوم					حاضر
تلاش سوم					حاضر

نظرات:

چرخش صفحه (و همانطور که نتایج نشان می دهد، با موفقیت) به منظور کاهش خطای سیستماتیک استفاده شد.

در تلاش سوم، طول سوزن بیشتر از فاصله بین خطوط بود که این امکان را فراهم کرد که بدون افزایش تعداد پرتاب ها، به طور موثر تعداد رویدادها را افزایش داد و دقت را بهبود بخشید.

رابطه بین فرآیندهای تصادفی و معادلات دیفرانسیل

ایجاد دستگاه ریاضی روش های تصادفی در پایان قرن نوزدهم آغاز شد. در سال 1899، لرد ریلی نشان داد که یک راه رفتن تصادفی یک بعدی روی یک شبکه بی نهایت می تواند یک راه حل تقریبی برای یک معادله دیفرانسیل سهموی بدهد. آندری کولموگروف در سال 1931 انگیزه زیادی به توسعه رویکردهای تصادفی برای حل مسائل مختلف ریاضی داد، زیرا او توانست ثابت کند که زنجیره های مارکوف با معادلات انتگرال دیفرانسیل خاصی مرتبط هستند. در سال 1933، ایوان پتروفسکی نشان داد که راه رفتن تصادفی تشکیل زنجیره مارکوف به طور مجانبی با حل یک معادله دیفرانسیل جزئی بیضوی مرتبط است. پس از این اکتشافات، مشخص شد که فرآیندهای تصادفی را می توان با معادلات دیفرانسیل توصیف کرد و بر این اساس، با استفاده از روش های ریاضی به خوبی توسعه یافته برای حل این معادلات در آن زمان مطالعه کرد.

تولد روش مونت کارلو در لوس آلاموس

ابتدا انریکو فرمی در دهه 1930 در ایتالیا و سپس جان فون نویمان استانیسلاو اولام در دهه 1940 در لوس آلاموس پیشنهاد کردند که می توان از ارتباط بین فرآیندهای تصادفی و معادلات دیفرانسیل "در جهت مخالف" استفاده کرد. آنها پیشنهاد کردند از یک رویکرد تصادفی برای تقریب انتگرال های چند بعدی در معادلات انتقال که در ارتباط با مسئله حرکت نوترون در یک محیط ویزوتروپیک به وجود آمده است استفاده شود.

این ایده توسط اولام ایجاد شد، که از قضا، مانند فاکس، هنگام نقاهت از بیماری با بیکاری اجباری دست و پنجه نرم می کرد، و در حالی که بازی یک نفره بازی می کرد، به این فکر می کرد که چقدر احتمال دارد که بازی یک نفره «به نتیجه برسد». او به این ایده رسید که به جای استفاده از ملاحظات معمول ترکیبیات برای چنین مسائلی، می تواند به سادگی "آزمایش" را چندین بار انجام دهد و بنابراین، با شمارش تعداد نتایج موفق، احتمال آنها را تخمین بزند. او همچنین استفاده از رایانه برای محاسبات مونت کارلو را پیشنهاد کرد.

ظهور اولین رایانه های الکترونیکی که می توانستند اعداد شبه تصادفی را با سرعت بالا تولید کنند، به طور چشمگیری دامنه مسائلی را که رویکرد تصادفی برای آنها مؤثرتر از سایر روش های ریاضی بود، گسترش داد. پس از این، پیشرفت بزرگی رخ داد و روش مونت کارلو در بسیاری از مسائل مورد استفاده قرار گرفت، اما استفاده از آن به دلیل تعداد زیاد محاسبات مورد نیاز برای به دست آوردن یک پاسخ با دقت معین، همیشه توجیه پذیر نبود.

سال تولد روش مونت کارلو را سال 1949 می دانند که مقاله متروپلیس و علم "روش مونت کارلو" منتشر شد. نام این روش از نام شهری در شاهزاده موناکو گرفته شده است، که به دلیل کازینوهای متعددش شناخته شده است، زیرا رولت یکی از شناخته شده ترین مولدهای اعداد تصادفی است. استانیسلاو اولام در زندگی نامه خود، ماجراهای یک ریاضیدان، می نویسد که این نام توسط نیکلاس متروپلیس به افتخار عمویش که یک قمارباز بود، پیشنهاد شد.

هواپیما با خطوط موازی کشیده شده است. فاصله بین هر دو خط مستقیم مجاور برابر با 1 است. یک سوزن با طول ثابت روی یک صفحه می افتد. ل (ل ≤ 1).

پیدا کردناحتمال قطع سوزن حداقل یکی از خطوط (یعنی دارای نقاط مشترک حداقل با یکی از خطوط).
فرض می کنیم که سوزن ضخامت ندارد (فقط یک قطعه است) و می افتد و صاف روی هواپیما می افتد و به آن نمی چسبد.

نکته 1

منظور از احتمال یک رویداد چیست؟

1. اول، اجازه دهید در مورد آنچه که ما از آن صحبت می کنیم به توافق برسیم رویداد. اجازه دهید یک سری آزمایش - آزمایشات یکسان انجام دهیم که در هر یک از آنها از شرایط اولیه یکسان استفاده می شود و نتیجه آزمایش بعدی به هیچ وجه به نتایج آزمایش های قبلی بستگی ندارد. مثال‌های کتاب درسی: انداختن یک سکه "عالی"، انداختن یک تاس "عالی". یا، مانند مشکل ما، پرتاب یک سوزن روی هواپیمای خط دار.

هر آزمون متفاوت است نتایج ابتدایی. به عنوان مثال، در مثال تاس، عددی از 1 تا 6 را پرتاب کنید. رویدادزیرمجموعه ای از مجموعه پیامدهای ابتدایی نامیده می شود. به عنوان مثال، "رول 2". یا «قرار دادن یک عدد فرد» (یعنی چرخاندن 1، 3 یا 5). می توانید تست های پیچیده تری مانند پرتاب پنج سکه را در نظر بگیرید. در اینجا نتایج اولیه این خواهد بود: "پنج سر افتاد"، "چهار سر و یک دم افتاد" و غیره. به عنوان یک رویداد، می توانیم به عنوان مثال موارد زیر را در نظر بگیریم: "حداقل سه سر سقوط کرد."

در مشکل ما، یک آزمایش یک پرتاب یک سوزن است، و رویدادی که ما نیاز داریم، تقاطع حداقل یک خط است.

2. زیر احتمال وقوع یک رویدادشما می توانید نسبت تعداد نتایج مطلوب برای این رویداد را به تعداد تمام نتایج ممکن درک کنید (از این رو معلوم می شود که احتمال همیشه عددی از 0 تا 1 است). به عنوان مثال، احتمال رخداد "پرتاب یک عدد فرد" هنگام پرتاب یک قالب 1/2 است، زیرا دقیقاً نیمی از تمام نتایج ممکن مطابقت دارند. احتمال وقوع "حداقل سه سر" هنگام پرتاب 5 سکه نیز 1/2 است.

این تعریف از احتمال زمانی به خوبی جواب می دهد که مجموعه نتایج ممکن محدود باشد. اما در مشکل ما نتایج بی نهایت زیادی وجود دارد - موقعیت های سوزن افتاده. و همچنین بی نهایت نتایج مناسب وجود دارد. چگونه بودن؟ بیایید "تعریف" خود را کمی تنظیم کنیم: احتمال وقوع یک رویداد- این سهمی است که نتایج مطلوب در مجموعه همه پیامدها «تسخیر» می کند. با این "تعریف" می توان احتمال مورد نیاز در مسئله را محاسبه کرد.

صادقانه بگویم، همه چیزهایی که در بالا گفته شد یک توضیح "دستی" است و نمی توان آن را با تمام دقت ریاضی در نظر گرفت. اما برای اهداف ما این رویکرد کاملاً کافی است.

3. فقط یک مثال دیگر برای وضوح. بیایید یک مربع در نظر بگیریم و نقاط میانی دو ضلع مجاور را با یک قطعه به هم وصل کنیم و به این ترتیب یک گوشه را قطع کنیم. بعد از این کار، سوزن را به صورت تصادفی در مربع فرو می کنیم. با چه احتمالی قرار است وارد گوشه شویم؟ در اینجا، نتیجه هر آزمایش جایی است که انتهای سوزن، یعنی یک نقطه در داخل مربع فرود می آید. واضح است که نتایج بی نهایت زیادی وجود دارد و همچنین بی نهایت نتایج مناسب برای رویداد ما وجود دارد - وارد شدن به گوشه. بنابراین، صحبت در مورد تعداد نتایج برای محاسبه احتمال بی معنی است. اما کسری را می توان محاسبه کرد - این به سادگی نسبت مساحت های گوشه و مربع است. برابر با 1/8 است. توجه داشته باشید که مرزهای شکل ها مساحت صفر دارند، بنابراین لازم نیست به آنها فکر کنید. به طور خاص، سوزن به قسمتی که گوشه را قطع می کند با احتمال 0 برخورد می کند.

نکته 2

آخرین مثال از اولین اشاره ممکن است اشاره ای به یک راه ممکن برای حل مشکل بدهد. لازم است پارامترهایی را وارد کنیم که موقعیت سوزن را تعیین می کند و به ما امکان می دهد تمام مواردی را که از خطوط عبور می کند توصیف کنیم. دو پارامتر در اینجا کاملاً کافی است. پس از این، باید بفهمیم که این پارامترها چه مقادیری می توانند داشته باشند و چه مقادیری رویداد ما را توصیف می کنند. اگر پارامترها را به خوبی انتخاب کنید، این شرایط بسیار ساده خواهند بود و حتی می توانید آنها را "تصویر کنید": یک صفحه مختصات را بگیرید که محورهای آن با پارامترها مطابقت دارد و منطقه ای را رسم کنید که نقاط آن شرایط به دست آمده را برآورده کند. پس از این، تنها چیزی که باقی می ماند محاسبه مساحت کل منطقه و مساحت آن قسمت از آن است که با تقاطع سوزن و خطوط مطابقت دارد. و سپس نسبت این مناطق را پیدا کنید.

راه حل

اجازه دهید موافقت کنیم که خطوط مستقیم از شرط به صورت افقی می روند. بنابراین سوزن را روی هواپیما انداختیم. چگونه محل آن را توصیف کنیم تا بتوان تقاطع را با خطوط مستقیم در نظر گرفت؟ بیایید به یک تقارن عجیب توجه کنیم: برای ما چندان مهم نیست که سوزن روی کدام نوار (یا اگر دو نوار وجود دارد) بین خطوط مستقیم بیفتد - نوارها همه یکسان هستند. همچنین واضح است که جابجایی های افقی نیز تأثیری ندارند. اما آنچه واقعاً مهم است این است که سوزن چقدر از خطوط مستقیم فاصله دارد و از چه زاویه ای به آنها متمایل است. بنابراین، به عنوان پارامترهای اشاره دوم، می توانید زاویه شیب α سوزن را به خطوط مستقیم و فاصله بگیرید. داز وسط سوزن تا نزدیکترینمستقیم (شکل 1). بنابراین، ما از "تقارن" دیگری که در مسئله به وجود آمده است استفاده می کنیم.

این پارامترها چه مقادیری می توانند داشته باشند؟ اندازه گیری رادیانی زاویه α از 0 تا π متغیر است دمقادیر را از 0 (اگر وسط سوزن روی یک خط مستقیم قرار دارد) تا 1/2 (وسط سوزن نمی تواند از یک خط مستقیم دورتر باشد) می گیرد. در هواپیما با مختصات (α، د) این محدودیت ها یک مستطیل را تعریف می کنند (شکل 2).

از شکل 3 مشخص است که تحت چه شرایطی در α و دسوزن حداقل یک خط مستقیم را قطع می کند: برآمدگی نیمی از سوزن در جهت عمود بر خطوط مستقیم باید بیشتر باشد. د. یعنی نابرابری باید ارضا شود.

بنابراین ما توصیفی از تمام مواردی داریم که سوزن حداقل یک خط را قطع می کند (فقط در صورتی که تساوی α = π/2 و یک تقاطع با دو خط وجود داشته باشد. د= 1/2، که می تواند فقط یک نقطه در مستطیل ما بدهد - مجموعه ای بی نهایت از همه مقادیر ممکن از یک جفت پارامتر). باقی مانده است که مساحت زیر نمودار سینوسی را محاسبه کرده و آن را بر مساحت کل مستطیل، که برابر با π/2 است، تقسیم کنیم (شکل 4).

همانطور که مشخص است، مساحت زیر نمودار یک تابع برابر است با انتگرال معینی از این تابع در بازه مورد نیاز: .

در نتیجه متوجه می شویم که احتمال مورد نظر برابر است با .

پس گفتار

اعتقاد بر این است که این مشکل برای اولین بار توسط دانشمند فرانسوی قرن هجدهم Count de Buffon - یک فرد نسبتاً خارق العاده با طیف گسترده ای از علایق، که کارهای مفید زیادی در زمینه های مختلف دانش انجام داد - مطرح و کاملاً مورد مطالعه قرار گرفت. بنابراین، اغلب به آن مشکل سوزن بوفون می گویند. ظاهراً این اولین مشکل احتمال هندسی بود. همانطور که دیدیم، ماهیت این رویکرد این است که مجموعه ای از نتایج ابتدایی یک آزمایش را در قالب یک شکل هندسی نشان دهد و مسئله یافتن احتمال یک رویداد خاص را به محاسبه نسبت مساحت اشکال مناسب کاهش دهد. . به این ترتیب، می توانید چندین مشکل نسبتاً شناخته شده دیگر را حل کنید - شاید بعداً در اینجا در "Elements" با برخی از آنها آشنا شوید. بنابراین، ما فقط یک کار ساده دیگر را به عنوان تمرین ارائه خواهیم کرد:

با چه احتمالی یک سکه گرد به قطر d که روی صفحه شطرنجی (تقسیم شده به مربع های واحد) پرتاب می شود، هیچ یک از خطوط شبکه را نمی پوشاند، یعنی به طور کامل در داخل یکی از مربع ها قرار می گیرد؟

توجه داشته باشید که هنگام حل مشکل بوفون، می توان کمی متفاوت استدلال کرد. روند چنین تصمیمی به تفصیل توضیح داده شده است (البته به زبان انگلیسی).

حالا کمی در مورد معنای پاسخی که دریافت کردیم. در ل = 1 جواب تقریباً 0.6366197 است... این عدد دقیقاً نشان دهنده چیست؟ طبق معمول، در تئوری احتمال این باید به صورت زیر درک شود. فرض کنید یک سری آزمایشات بسیار طولانی انجام دادیم. فرض کنید ما حوصله داشتیم در هر آزمایش یک میلیون بار یک سوزن پرتاب کنیم و به یاد بیاوریم که چند بار در هواپیما از خطوط مستقیم عبور کرده است. و همچنین یک میلیون آزمایش از این دست انجام دادیم. به نظر می رسد که در اکثر آنها (به احتمال زیاد، تعداد بسیار زیاد) تعداد تقاطع ها نزدیک به 636619 است. و هر چه بیشتر چنین آزمایش هایی را انجام دهیم، نسبت نتایج موفقیت آمیز (زمانی که سوزن از خط عبور کرد) نزدیک تر خواهد بود. به. و در واقع، البته، اصلاً مهم نیست که چگونه تست ها را به سری تقسیم می کنید - فقط تعداد کل مهم است. در واقعیت، صبر کافی برای انجام چنین سری آزمایشات طولانی وجود ندارد. اما می‌توانید برنامه‌ای بنویسید (یا از برنامه‌های موجود مانند این استفاده کنید) که عملیات معمولی را انجام دهد و فقط تعداد تقاطع‌ها را برای تعداد زیادی پرتاب ارائه کند.

آنچه در پاراگراف قبل گفته شد رویکردی غیرعادی به مسئله مهم محاسبه دقیق عدد π = 3.1415926 می دهد... بیاد بیاوریم که این عدد به عنوان نسبت طول یک دایره به قطر آن (برای همه دایره ها) تعریف می شود. این نسبت یکسان است). عدد π یکی از ثابت های اصلی در ریاضیات و فیزیک است. این را می‌توان تا حدی با این واقعیت توضیح داد که دایره‌ها و بیضی‌ها در ریاضیات و فیزیک در مسائل و مدل‌های گوناگونی ظاهر می‌شوند - از هندسی خالص گرفته تا موارد عملی مانند محاسبات مدار سیارات و ماهواره‌ها. بنابراین، مهم است که بتوانیم مقدار عدد π را با دقت محاسبه کنیم. معلوم است که این عدد غیر منطقی است، یعنی نمی توان آن را به عنوان یک کسر گویا (نسبت دو عدد صحیح) نشان داد، اما کسری نزدیک به آن با مخرج کوچک وجود دارد. ارشمیدس همچنین می‌دانست که کسر 7/22 = 3, (142,857) حدود π به هزارم می‌رسد. در حدود قرن پنجم میلادی. ه. تقریب 355/113 = 3.14159292... قبلاً شناخته شده بود - خطا کمتر از یک میلیونیم است.

سوزن بوفون چه ربطی بهش داره؟ همانطور که قبلاً فهمیدیم، در یک سری آزمایشات طولانی، نسبت تقاطع ها از تعداد کل پرتاب های سوزن تقریباً برابر با 2/π خواهد بود. بنابراین، می‌توانیم به‌طور تجربی این کسر را پیدا کرده و یک مقدار تقریبی را محاسبه کنیم. هرچه پرتاب ها بیشتر باشد، کسر دقیق تر خواهد بود و بنابراین مقدار π. در قرن نوزدهم قهرمانانی بودند که آماده بودند چندین شب را صرف چنین فعالیتی کنند. آنها مقادیر متفاوتی در حدود 3.14 دریافت کردند. می توانید در این صفحه در ویکی پدیای انگلیسی بیشتر بخوانید.

اکنون، البته، هیچ کس سوزن پرتاب نمی کند، و عدد π در حال حاضر بسیار فراتر از 10 تریلیون رقم محاسبه شده است. خنده‌دار است که چنین دقتی تقریباً برای محاسبات عملی ضروری نیست - تخمین زده می‌شود که دانستن π تا حدود 40 رقم اعشار برای محاسبه دقیق حجم جهان مرئی تا یک اتم کافی است. بنابراین محاسبه π با چنین دقتی بیشتر مسابقه ای برای رکوردها و رقابت بین ابررایانه ها است.

محاسبات دقیق بر اساس فرمول های مختلف است. اساساً از دنباله های همگرا به π و جمع سری ها استفاده می شود؛ الگوریتم های زیادی را می توان در ویکی پدیا یافت. در اینجا ما فقط یک فرمول فوق العاده را ارائه می دهیم

که به شما امکان می دهد هر رقمی از π را بدون محاسبه ارقام باقی مانده محاسبه کنید.

مشکل بوفون

در مورد یک سوزن - یک مشکل کلاسیک در تئوری احتمالات هندسی،به درستی نقطه شروع توسعه این نظریه در نظر گرفته شده است. اولین بار توسط جی. بوفون در سال 1733 مورد توجه قرار گرفت و همراه با محلول در آن تکثیر شد. جی. بوفون وضعیت زیر را در نظر گرفت: یک سوزن به طول a به طور تصادفی روی خطی پرتاب می‌شود که با خطوط موازی که در فاصله a از هم فاصله دارند، کشیده می‌شود. این که سوزن از یکی از موازی های کشیده شده عبور می کند به چه معناست؟ بدیهی است که موقعیت سوزن با فاصله از مرکز آن تا نزدیکترین خط مستقیم و زاویه تند ایجاد شده توسط سوزن با عمود بر این خط تعیین می شود. مقدار بین صفر و - بین صفر و قرار دارد. فرض بر این است که نقطه به طور یکنواخت در مستطیل مربوطه توزیع شده است (این معادل این است که متغیرهای تصادفی xi مستقل و به طور یکنواخت بر روی و توزیع شده اند). سپس احتمال مورد نظر به عنوان مناطق مربوط به مطلوب و همه نتایج ممکن تعریف می شود و برابر است با

در یک زمان، B. z. به عنوان پایه ای برای تأیید آزمایشی خدمت کرد قضایای برنولیدر واقع، اگر سوزن به یکباره پرتاب شود و در مواردی که سوزن از یکی از خطوط عبور کند، فرکانس در مقادیر بزرگ طبق قضیه برنولی باید نزدیک به احتمال (*) باشد. این ملاحظات توسط بسیاری از محققین برای تعیین عدد i با روش تست های تصادفی استفاده شده است (نگاه کنید به،). جی. بوفون همچنین مشکلات مشابه دیگری را نیز در نظر گرفت، به ویژه مشکل احتمال متقاطع خطوط سوزنی متعلق به دو سیستم عمود بر یکدیگر، که صفحه را به مستطیل هایی با اضلاع تقسیم می کند. ببه ترتیب. پاسخ جی.بوفون به این مشکل نادرست است. پاسخ صحیح:

توسط P. Laplace (PLaplace) در سال 1812 نشان داده شد.

روشن شد: Buffon G., Essai d'arithmetique morale. Supplement a "1" Histoire Naturelle", v. 4 1777; Usрenskу J.V., Introduction to Mathematical Probability, N.Y.-L., 1937; کندال ام، موران پی، احتمالات هندسی، ترجمه. از انگلیسی، M.، 1972. A. V. Prokhorov.

روش جمع بندی دره پوسین- یکی از روش های جمع کردن سری اعداد. با علامت ( V.P.). عددی

با روش Ballet Poussin به عدد جمع می شود اس،اگر رابطه برقرار باشد

این روش توسط C. Ballet Poussin پیشنهاد شد. برای مجموعه عملکردهای فوریه، Ballet Poussin به معنای (همچنین رجوع کنید به Ballet Poussin مفرد. انتگرال).دارند

باصطلاح باله پوسین. V.P.m.s. است روش جمع بندی منظماین روش قوی تر از کل ترکیب است روش های جمع سزارو(سانتی متر. فعال کردن روش‌های جمع). با توجه به خواص تقریبی ضعیف V. G1. ام‌اس. عملاً در تئوری تقریب توابع کاربرد ندارد.

روشن شد: La Va11ee Poussin C h. J.، "Bull. Acad. de Belgique"، 1908، t. 3; Xapdi G.، سری واگرا، ترجمه. from English, M., 1951: Gronwall T., "J. reine und angew. Math.", 1917, Bd 147, S. 16-35. A. A. Zakharov.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید «مشکل BUFFON» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

1. مفهوم سبک. S. از نظر تاریخی وحدت زیبایی شناختی محتوا و جنبه های متنوع فرم هنری را تعیین کرده و محتوای اثر را آشکار می کند. S. در نتیجه "توسعه هنری" برخی از جنبه های اجتماعی به وجود می آید. دایره المعارف ادبی

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به مونت کارلو (معانی) مراجعه کنید. روش مونت کارلو (روش های مونت کارلو، MMK) نام کلی گروهی از روش های عددی است که بر اساس به دست آوردن تعداد زیادی از تحقق های تصادفی (تصادفی) ... ... ویکی پدیا

- (از Bio... و... Logia مجموعه ای از علوم در مورد طبیعت زنده است. موضوع مطالعه همه مظاهر حیات است: ساختار و عملکرد موجودات زنده و جوامع طبیعی آنها، توزیع، پیدایش و توسعه آنها، ارتباط با یکدیگر و با بی جان……

شاخه ای از ریاضیات که در آن برخی از ویژگی های عددی خاص ("اندازه گیری ها") برای مجموعه ای از نقاط، خطوط، هواپیماها و سایر اشیاء هندسی مورد مطالعه قرار می گیرد که به طور معمول با استفاده از ادغام محاسبه می شود. در این مورد، "میزان" باید ... دایره المعارف بزرگ شوروی

آناتومی مقایسه ای- به مطالعه تطبیقی ​​اندام های حیوانات می پردازد و 43S مورفولوژی آنها را تعیین می کند. شباهت بر اساس خاستگاه مشترک آنها (همسانی). بنابراین S. a. امکان تثبیت ماهیت تاریخی (طبیعت زایی) پیوندهای خانوادگی را فراهم می کند... دایره المعارف بزرگ پزشکی

- (از یونانی óikos سکونت، محل سکونت و ... Logia) علم بیولوژیکی که سازماندهی و عملکرد سیستم های فوق ارگانیسمی را در سطوح مختلف مطالعه می کند: جمعیت ها، گونه ها، بیوسنوزها (جوامع)، اکوسیستم ها، بیوژئوسنوزها و بیوسفر... . .. دایره المعارف بزرگ شوروی

ریاضیدان و فیزیکدان مشهور انگلیسی (1643 1727). چند ماه پس از مرگ پدرش در روستای Woolsthorpe، در نزدیکی Grantan در لینکلن شایر متولد شد. او که نارس به دنیا آمده بود، بسیار ضعیف بود و در ابتدا امید چندانی نداشت...

قانون نیوتن جهانی T. را می توان به صورت زیر فرموله کرد: هر اتم با هر اتم دیگری برهمکنش می کند، در حالی که نیروی برهمکنش (جاذب) همیشه در امتداد یک خط مستقیم است که اتم ها را به هم متصل می کند و مقدار آن تغییر می کند... ... فرهنگ لغت دایره المعارف F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

- (دیدرو) دنیس (1713 1784) فیلسوف و ایدئولوگ فرانسوی عصر روشنگری، نویسنده، نظریه پرداز هنر، رئیس دایره المعارف نویسان. آثار اصلی: ترجمه رایگان نویسنده و شرح بر اثر A.E.K. شفتسبری «پژوهشی در کرامت و... تاریخ فلسفه: دایره المعارف

- (دیدرو) دنیس (1713 1784) فیلسوف و ایدئولوگ فرانسوی عصر روشنگری، نویسنده، نظریه پرداز هنر، رئیس دایره المعارف نویسان. آثار اصلی: ترجمه رایگان نویسنده و شرح بر اثر A.E.K. شفتسبری "پژوهشی در کرامت و... جدیدترین فرهنگ لغت فلسفی

این پست به شما کمک می کند از یک موقعیت نسبتاً چسبنده خلاص شوید. فرض کنید در یک اتاق حبس شده اید، یک نخ و یک سوزن دارید، و دائماً از شما خواسته می شود که مقدار تقریبی یک عدد را محاسبه کنید. پی، فقط با استفاده از این اشیا، خوب، هر چیزی ممکن است اتفاق بیفتد، می دانید. بنابراین، امروز، هنگام گوش دادن به یک دوره آموزشی در مورد ماتان در دانشگاه پنسیلوانیا، ناگهان یاد گرفتم که چگونه این کار را انجام دهم. چیزی که من حتی نمی توانستم تصور کنم این عدد بود پیاینجا هم پنهان شده معلوم شد که ریشه‌های این سوال به قرن هجدهم بازمی‌گردد، زمانی که ژرژ لوئیس لکلرک دو بوفون وظیفه زیر را برای خود تعیین کرد: «فرض کنید کف از نوارهای چوبی دو رنگ ساخته شده است، آنها متناوب می‌شوند. احتمال اینکه یک سوزن پرتاب شده به گونه ای بیفتد که از خط اتصال دو نوار عبور کند چقدر است؟ شبیه سازی این فرآیند و پاسخ به سوال را می توان در زیر برش یافت.

شبیه سازی

برای اینکه فتنه را خراب نکنیم، بیایید با یک آزمایش شروع کنیم. بنابراین، ما تعداد زیادی سوزن با طول داریم Lو یک کلاف نخ سبز اجازه دهید تعداد معینی از قطعات موازی با طول مساوی را روی سطح در فاصله اعمال کنیم Lاز یکدیگر.

بیایید 100 سوزن در این زمین پرتاب کنیم.

شاید کافی نباشد. بیایید 900 تا دیگر اضافه کنیم و سوزن هایی را که روی نخ ها عبور می کنند را با رنگ قرمز مشخص کنیم.

فرض کنید همه سوزن ها را یکباره پرتاب نکردیم، بلکه یکی یکی پرتاب کردیم و در هر مرحله نسبت تعداد سوزن هایی که روی نخ ها فرود آمد به تعداد کل سوزن های پرتاب شده را ثبت کردیم، در نتیجه تقریبی بیشتر و بیشتر به دست آوردیم. احتمال اینکه سوزن در حال افتادن از نخ عبور کند.

اگر 10000 سوزن پرتاب کنید، تصویر دقیق تر خواهد بود.

حالا بیایید تبدیل زیر را انجام دهیم: دو را بر هر عدد در سری حاصل تقسیم کنید.

برای 10000 سوزن از قبل دقیق تر است.

اگر میانگین پنج هزار ترم آخر سریال را پیدا کنیم به دست می آوریم 3.141685 ، در حالی که پی برابر است با 3.141593 .

به طور کلی، دیگر بر کسی پوشیده نیست که آخرین سری به عدد همگرا می شود پی. اما چگونه ممکن است این اتفاق بیفتد؟ من در 28 سالگی از دوره فوق این موضوع را فهمیدم. بیایید به ماتان شیرجه بزنیم.

تئوری

ما سوزن و خط نزدیک به آن را در سمت راست در نظر خواهیم گرفت. اجازه دهید فاصله از انتهای سمت چپ سوزن را مشخص کنیم ساعت، زاویه انحراف از خط - آ.

بدیهی است که طول پای مخالف از زاویه آبرابر سینوس زاویه ضرب در طول هیپوتانوس خواهد بود. سپس می توانیم بیان کنیم که اگر ساعتکمتر یا مساوی با پای مقابل زاویه آ، سپس سوزن از نخ عبور می کند. بیایید یک نمودار رسم کنیم:

اگر برای هر سوزن پرتاب شده حساب کنیم ساعتو آو این نقاط را در نمودار قبلی علامت بزنید، تصویر به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، احتمال عبور سوزن از نخ برابر است با نسبت مساحت شکل زیر نمودار به مساحت مستطیل، یعنی پیضرب در طول سوزن.

از اینجا به تقریب مورد نظر عدد می رسیم پیهمانطور که تجربه قسمت اول نشان داد.