Sínus, kosínus, tangenta - pri vyslovovaní týchto slov v prítomnosti stredoškolákov si môžete byť istí, že dve tretiny z nich stratia záujem o ďalší rozhovor. Dôvod spočíva v tom, že základy trigonometrie v škole sa vyučujú úplne izolovane od reality, a preto študenti nevidia zmysel v štúdiu vzorcov a viet.
Po bližšom skúmaní sa táto oblasť znalostí ukazuje ako veľmi zaujímavá a rovnako aplikovaná - trigonometria nachádza uplatnenie v astronómii, stavebníctve, fyzike, hudbe a mnohých ďalších oblastiach.
Zoznámime sa so základnými pojmami a uvedieme niekoľko dôvodov na štúdium tohto odvetvia matematiky.
História
Nie je známe, v akom čase ľudstvo začalo vytvárať budúcu trigonometriu od nuly. Je však doložené, že už v druhom tisícročí pred Kristom boli Egypťania oboznámení so základmi tejto vedy: archeológovia našli papyrus s úlohou, pri ktorej je potrebné nájsť uhol sklonu pyramídy na dvoch známych stranách.
Vážnejšie úspechy dosiahli vedci starovekého Babylonu. Storočia, zaoberajúci sa astronómiou, zvládli množstvo viet, zaviedli špeciálne metódy merania uhlov, ktoré mimochodom dnes používame: stupne, minúty a sekundy si požičala európska veda v grécko-rímskej kultúre, do ktorej tieto jednotky pochádzali z Babylončanov.
Verí sa, že slávnu Pytagorovu vetu, súvisiacu so základmi trigonometrie, poznali Babylončania takmer pred štyrmi tisíckami rokov.
názov
Doslova možno výraz „trigonometria“ preložiť ako „meranie trojuholníkov“. Po mnoho storočí bol hlavným predmetom skúmania v tejto sekcii vedy pravouhlý trojuholník, respektíve vzťah medzi uhlami a dĺžkami jeho strán (dnes táto časť začína štúdiom trigonometrie od začiatku). V živote často existujú situácie, keď nie je možné prakticky zmerať všetky požadované parametre objektu (alebo vzdialenosť k objektu), a potom je potrebné získať chýbajúce údaje pomocou výpočtov.
V minulosti napríklad človek nedokázal zmerať vzdialenosť od vesmírnych predmetov, ale pokusy o výpočet týchto vzdialeností sa dejú dávno pred začiatkom našej éry. Trigonometria tiež zohrávala dôležitú úlohu v navigácii: s určitými znalosťami sa kapitán mohol vždy v noci orientovať podľa hviezd a korigovať kurz.
Základné pojmy
Aby ste zvládli trigonometriu od začiatku, musíte porozumieť a zapamätať si niekoľko základných pojmov.
Sínus určitého uhla je pomer opačnej nohy k prepone. Ujasnime si, že opačná noha je strana opačná k uhlu, ktorý zvažujeme. Ak je teda uhol 30 stupňov, sínus tohto uhla bude vždy ½ pre akúkoľvek veľkosť trojuholníka. Kosínus uhla je pomer priľahlej nohy k prepone.
Tangenta je pomer opačnej nohy k susednej nohe (alebo, čo je rovnaké, pomer sínuso -kosínus). Kotangens je jednotka delená dotyčnicou.
Za zmienku stojí slávne číslo Pi (3,14 ...), ktoré je polovicou obvodu kruhu s polomerom jednej jednotky.
Populárne chyby
Ľudia, ktorí sa učia trigonometrii od začiatku, robia množstvo chýb - väčšinou neopatrnosťou.
Po prvé, pri riešení problémov v geometrii je potrebné pamätať na to, že použitie sínusov a kosínusov je možné iba v pravouhlom trojuholníku. Stáva sa, že študent „automaticky“ vezme najdlhšiu stranu trojuholníka ako preponu a dostane nesprávne výsledky výpočtu.
Za druhé, na začiatku je ľahké zameniť hodnoty sínus a kosínus pre zvolený uhol: nezabudnite, že sínus 30 stupňov sa číselne rovná kosínusu 60 a naopak. Ak nahradíte nesprávne číslo, všetky ďalšie výpočty sa ukážu ako nesprávne.
Po tretie, kým sa problém úplne nevyrieši, nemali by ste zaokrúhľovať žiadne hodnoty, extrahovať korene, písať obyčajný zlomok v desatinnej forme. Študenti sa často snažia získať „pekné“ číslo v goniometrickom probléme a ihneď extrahujú koreň troch, aj keď presne po jednej akcii môže byť tento koreň skrátený.
Etymológia slova „sínus“
História slova „sine“ je skutočne neobvyklá. Faktom je, že doslovný preklad tohto slova z latinčiny znamená „depresia“. Pri preklade z jedného jazyka do druhého sa totiž stratilo správne pochopenie slova.
Názvy základných trigonometrických funkcií pochádzajú z Indie, kde bol pojem sínus v sanskrte označený slovom „bowstring“ - faktom je, že segment spolu s oblúkom kruhu, na ktorom spočíval, pripomínal luk. V čase rozkvetu arabskej civilizácie sa požičiavali indické pokroky v trigonometrii a tento výraz bol prepísaný do arabčiny. Stalo sa, že v tomto jazyku už existovalo podobné slovo pre dutinu, a ak Arabi rozumeli fonetickému rozdielu medzi pôvodným a požičaným slovom, potom Európania omylom prekladajúci vedecké pojednania do latinčiny doslova preložili arabské slovo, ktoré nemá nič spoločné s pojmom sínus ... Používame ho dodnes.
Tabuľky hodnôt
Existujú tabuľky, do ktorých sa zadávajú číselné hodnoty pre sínus, kosínus a tangens všetkých možných uhlov. Ďalej uvádzame údaje pre uhly 0, 30, 45, 60 a 90 stupňov, ktoré sa treba naučiť ako povinnú časť trigonometrie pre „atrapy“, pretože je celkom ľahké si ich zapamätať.
Ak sa stalo, že mi číselná hodnota sínusu alebo kosínu uhla „vyletela z hlavy“, existuje spôsob, ako ho odvodiť sami.
Geometrická reprezentácia
Nakreslíme kruh, cez jeho stred nakreslíme os x a osi osi. Os x je umiestnená vodorovne, os osi je zvislá. Obvykle sú podpísané ako „X“ a „Y“. Teraz nakreslite priamku zo stredu kruhu tak, aby medzi ním a osou X bol získaný požadovaný uhol. Nakoniec z bodu, kde priamka pretína kruh, pustíme kolmici na os X. Dĺžka výsledného segmentu sa bude rovnať číselnej hodnote sínusu nášho uhla.
Táto metóda je veľmi dôležitá, ak ste napríklad na skúške zabudli požadovanú hodnotu a ak nemáte po ruke učebnicu trigonometrie. Takto nezískate presný údaj, ale určite uvidíte rozdiel medzi ½ a 1,73 / 2 (sínus a kosínus s uhlom 30 stupňov).
Aplikácia
Niektorí z prvých špecialistov, ktorí používali trigonometriu, boli námorníci, ktorí na šírom mori nemali iný referenčný bod ako oblohu nad hlavou. Kapitáni lodí (lietadlá a iné druhy dopravy) dnes nehľadajú najkratšiu cestu medzi hviezdami, ale aktívne sa uchýlili k používaniu navigácie GPS, čo by bez použitia trigonometrie nebolo možné.
Takmer v každej časti fyziky na vás čakajú výpočty pomocou sínusov a kosínusov: či už ide o aplikáciu sily v mechanike, výpočty dráhy objektov v kinematike, oscilácie, šírenie vĺn, lom svetla - bez toho sa jednoducho nezaobídete. základná trigonometria vo vzorcoch.
Ďalšou profesiou, ktorá je bez trigonometrie nemysliteľná, je geodet. Títo ľudia pomocou teodolitu a vodováhy alebo sofistikovanejšieho zariadenia, tachyometra, merajú výškový rozdiel medzi rôznymi bodmi zemského povrchu.
Opakovateľnosť
Trigonometria sa zaoberá nielen uhlami a stranami trojuholníka, aj keď práve odtiaľ začala existovať. Vo všetkých oblastiach, kde je prítomná cyklickosť (biológia, medicína, fyzika, hudba atď.), Sa stretnete s grafom, ktorého názov vám je pravdepodobne známy - jedná sa o sínusoidu.
Takýto graf je kruh rozložený pozdĺž časovej osi a vyzerá ako vlna. Ak ste niekedy pracovali s osciloskopom na hodine fyziky, viete, o čo ide. Hudobný ekvalizér aj monitor srdcového tepu používajú vo svojej práci vzorce trigonometrie.
Konečne
Keď uvažujú o tom, ako sa naučiť trigonometriu, väčšina študentov stredných a vysokých škôl to začne považovať za ťažkú a nepraktickú vedu, pretože nudné informácie spoznajú iba z učebnice.
Pokiaľ ide o nepraktickosť, už sme videli, že do určitej miery je schopnosť zvládnuť sínus a tangens vyžadovaná takmer v akejkoľvek oblasti činnosti. Pokiaľ ide o zložitosť ... Zamyslite sa: ak ľudia tieto znalosti využili pred viac ako dvetisíc rokmi, keď mal dospelý menej znalostí ako dnešný stredoškolák, je pre vás realistické študovať túto prírodovednú oblasť na základnej úrovni ? Niekoľko hodín premyslených cvičení na riešenie problémov-a svoj cieľ dosiahnete štúdiom základného kurzu, takzvanej trigonometrie pre figuríny.
História trigonometrie ako vedy
Trigonometria, ako každá iná vedná disciplína, vychádzala z potrieb praktickej činnosti človeka. Rôzne úlohy astronómie, navigácie, geodézie, architektúry viedli k potrebe vyvinúť metódu výpočtu prvkov geometrických tvarov zo známych hodnôt ich ostatných prvkov, zistených priamymi meraniami. Samotný názov „trigonometria“ gréckeho pôvodu, ktorý znamená „meranie trojuholníkov“: (trigon) - trojuholník, (metrain) - meranie.
Pôvod trigonometrie sa datuje do staroveku. Babylonskí vedci dokázali dlho pred novou érou predpovedať zatmenie Slnka a Mesiaca. To nám umožňuje dospieť k záveru, že poznali niektoré z najjednoduchších informácií z trigonometrie. Postupne boli v geometrii a astronómii zavedené pojmy sínus, kosínus a tangenta uhla. V podstate ich prevádzkovali starovekí matematici, berúc do úvahy pomer segmentov v trojuholníkoch a kruhoch.
Nahromadený materiál astronomických pozorovaní si vyžadoval matematické spracovanie. Jeden zo zakladateľov trigonometrie je považovaný za starovekého gréckeho astronóma Hipparcha, ktorý žil v II. Pred Kr. Hipparchus je autorom prvých trigonometrických tabuliek. Tieto tabuľky sa nám nedochovali, ale boli zaradené (vo vylepšenej podobe) do diela „Veľká stavba“ (Almagest) od známeho alexandrijského astronóma Claudia Ptolemaia, ktorý žil v druhej polovici 2. storočia. AD V týchto tabuľkách, ktoré po mnoho storočí slúžili ako prostriedok na riešenie trojuholníkov, boli uvedené hodnoty akordov kruhu pre rôzne hodnoty zodpovedajúceho stredového uhla. Mernou jednotkou akordov bola časť polomeru.
Tieto tabuľky, v modernom jazyku, sú tabuľkami hodnôt zdvojeného sínusu polovice zodpovedajúceho stredového uhla. Udávali hodnoty akordov pre všetky uhly (každý pol stupeň) od 00 do 1800. Je však potrebné mať na pamäti, že v starovekom Grécku trigonometria nevynikla ako nezávislá veda, ale bola považovaná za súčasť astronómia.
Významný prínos k rozvoju trigonometrie priniesla indická matematika v priebehu 5. - 12. storočia. AD Indickí matematici začali počítať nie celý akord, ako to urobili Gréci, ale jeho polovicu (to znamená „líniu sínusov“). Rad dutín nimi nazývali „arhajiva“, čo doslova znamenalo „polovica tetivy“. Indiáni zostavili tabuľku sínusov, v ktorej boli uvedené hodnoty polovičných akordov, merané v častiach (minútach) kruhu pre všetky uhly od 00 do 900 (každý). Tieto tabuľky boli presnejšie ako u Ptolemaia. O ich vysokej presnosti svedčí fakt, že pre sínusové a kosínusové hodnoty boli vypočítané a líšia sa od skutočných o menej ako.
Indickí matematici poznali pomery, ktoré sú v modernej notácii zapísané takto:
V storočiach XI - XIII. V dielach matematikov strednej Ázie, Zakaukazska, Blízkeho východu a Indie sa začalo s formovaním trigonometrie ako samostatnej vedy. A v budúcnosti potreby geografie, geodézie a vojenských záležitostí prispeli k rozvoju trigonometrie ako vedy. Trigonometria sa obzvlášť intenzívne vyvíjala v stredoveku, predovšetkým na juhovýchode: v Indii (Aryabhata, Bramagupta, Bhaskara), v Uzbekistane, Azerbajdžane a Tadžikistane (Nasirad-Din at-Tusi, al-Kashi, al-Biruni), v Arábii ( Ahmad, ibn-Abdallah, al-Battani). Veľkú zásluhu na formovaní trigonometrie ako samostatnej vedy má azerbajdžanský vedec Nasirad-Din Mukhamad at-Tusi (1201-1274), ktorý napísal „Pojednanie o úplnom štvoruholníku“. Práce vedcov tohto obdobia viedli k izolácii trigonometrie ako nového nezávislého odvetvia matematiky. Ich spisy však ešte nemali potrebnú symboliku, a preto bol vývoj goniometrie pomalý.
Od XV storočia. a v Európe existujú práce venované problematike trigonometrie. Nemecký vedec Johann Müller (1436 - 1476), známy vo vede ako Regiomontanus, vydal dielo „Päť kníh o trojuholníkoch všetkého druhu“, ktoré zohralo významnú úlohu vo vývoji trigonometrie. Poskytuje systematickú prezentáciu trigonometrie ako nezávislej vednej disciplíny. Regiomontanus zostavil tabuľky dutín s presnosťou až. V jeho tabuľkách sa namiesto násobku 60 bral polomer kruhu, to znamená, že v skutočnosti sa uskutočnil prechod zo šesťdesiateho systému merania na desatinný. V roku 1595 sa objavila práca Bartolomeja Pitiscusa „Trigonometria alebo stručný prehľad pojednania o riešení trojuholníkov“.
V XV - XVII storočí. v Európe bolo zostavených a publikovaných niekoľko trigonometrických tabuliek. Na ich zostavení pracovali významní vedci: N. Copernicus (1473 - 1543), a. Kepler (1571 - 1630), F. Viet (1540 - 1603) a ďalší V Rusku boli prvé trigonometrické tabuľky publikované v roku 1703 za účasti L.F. Magnitský.
Trigonometria teda vznikla na geometrickom základe, mala geometrický jazyk a bola aplikovaná na riešenie geometrických úloh. Rozvoj algebraickej symboliky umožnil zapísať goniometrické vzťahy vo forme vzorcov; použitie záporných čísel umožnilo zvážiť smerované uhly a oblúky a rozšíriť koncept goniometrických čiar (definované segmenty v kruhu) pre akékoľvek uhly. V tomto období bol vytvorený základ pre štúdium goniometrických funkcií ako funkcií numerického argumentu, základ analytickej teórie goniometrických (kruhových) funkcií. Newton vyvinul analytický prístroj, ktorý umožňuje výpočet hodnôt goniometrických funkcií s akýmkoľvek stupňom presnosti.
Trigonometria dostala svoju modernú podobu v dielach veľkého vedca, člena Ruskej akadémie vied L. Eulera (1707 - 1783). Euler začal považovať hodnoty trigonometrických funkcií za čísla - hodnoty goniometrických čiar v kruhu, ktorého polomer sa berie ako jednotka („trigonometrický kruh“ alebo „jednotkový kruh“). Euler vydal konečné rozhodnutie o znakoch goniometrických funkcií v rôznych štvrtinách, odvodil všetky trigonometrické vzorce od niekoľkých základných, založil niekoľko pred ním neznámych vzorcov a zaviedol jednotný zápis. Práve v jeho spisoch sa prvýkrát stretávajú so záznamami. Pri komplexnom argumente tiež zistil súvislosť medzi goniometrickými a exponenciálnymi funkciami. Na základe prác L. Eulera boli zostavené učebnice trigonometrie, ktoré ju predstavili v prísnom vedeckom slede.
Analytická (na geometrii nezávislá) konštrukcia teórie goniometrických funkcií, ktorú začal Euler, bola dokončená v prácach veľkého ruského vedca N. I. Lobačevskij.
Moderný pohľad na goniometrické funkcie ako funkcie numerických argumentov je do značnej miery spôsobený vývojom fyziky, mechaniky a technológie. Tieto funkcie tvorili základ matematického aparátu, pomocou ktorého sa študujú rôzne periodické procesy: oscilačné pohyby, šírenie vĺn, pohyb mechanizmov, kmitanie striedavého elektrického prúdu. Ako ukazuje J. Fourier (1768 - 1830), každý periodický pohyb s akýmkoľvek stupňom presnosti môže byť reprezentovaný ako súčet najjednoduchších sínusových (harmonických) kmitov. Ak je na začiatku vývoja trigonometrie pomer
iba vyjadril vzťah medzi oblasťami štvorcov vybudovaných po stranách striedajúceho sa pravouhlého trojuholníka s preponou rovnajúcou sa 1, neskôr tento pomer začal odrážať aj sčítanie dvoch oscilačných pohybov s výslednou interferenciou.
V počiatočných fázach svojho vývoja teda trigonometria slúžila ako prostriedok na riešenie výpočtových geometrických problémov. Za jeho obsah sa považoval výpočet prvkov najjednoduchších geometrických tvarov, to znamená trojuholníkov. V modernej trigonometrii je nezávislou a rovnako dôležitou štúdiou vlastností trigonometrických funkcií. Toto obdobie vo vývoji trigonometrie pripravil celý priebeh vývoja mechaniky oscilačných pohybov, fyziky zvuku, svetla a elektromagnetických vĺn.
Počas tohto obdobia boli zovšeobecnené mnohé termíny trigonometrie a najmä boli odvodené vzťahy pre kde n je prirodzené číslo atď. Funkcie, ktoré sa teraz považujú za súčty mocninových radov:
Súčasne sa rozvíja teória trigonometrických funkcií komplexnej premennej.
Trigonometria ako akademický predmet
História štúdia trigonometrie v škole je pre špecialistov z oblasti výučby matematiky mimoriadne poučná. Toto je história jedného z odvetví matematickej vedy, iba v druhej polovici 18. storočia. ktorý získal pomerne štíhly a úplný vzhľad.
Pre moderného učiteľa je už dosť ťažké nájsť materiály, ktoré odhaľujú myšlienky a štruktúru predchádzajúcich programov výučby matematiky. Zároveň v modernej škole, v podmienkach určitej akademickej slobody učiteľa, môžu byť tieto informácie užitočné na odôvodnenie plánovania štúdia trigonometrie, pretože ilustrujú rôzne prístupy k štúdiu tohto kurzu, ktoré sa líšia od tých, ktoré ponúka sa dnes v mnohých učebniciach.
Pripomeňme, že v súvislosti s objavom N.I. Lobachevsky z novej geometrie zistil, že trigonometria pozostáva z dvoch rôznych častí:
- a) prvá (zvyčajne nazývaná goniometria) - časť matematickej analýzy, kde sa bez ohľadu na geometrické úvahy analyticky odhaľuje doktrína transcendentálnych trigonometrických funkcií s ich vlastnosťami;
- b) druhá je vlastná trigonometria, kde sa kombinuje matematická analýza a geometria konkrétneho priestoru.
Goniometria nezávisí od paralelnej axiómy a trigonometria vo vlastnom zmysle závisí od tejto axiómy. Pomer vo všeobecnom prípade charakterizuje operácie s príslušnými radami a iba v euklidovskom priestore vyjadruje pomer medzi oblasťami štvorcov postavených po stranách pravouhlého trojuholníka s preponou rovnajúcou sa 1.
Známy pomer medzi stranami a uhlami trojuholníka
Trigonometrické nerovnosti
Príklad 1. Vyriešte nerovnosť
Riešenie. Označením prepisujeme nerovnosť (1) do formulára
Súbor riešení nerovnosti (2) je rad intervalov
preto nájdeme všetky riešenia nerovnosti (1) riešením dvojitej nerovnosti
kde sa dostaneme?
to znamená, že súbor riešení nerovnosti (1) pozostáva zo série intervalov
Príklad 2. Vyriešime nerovnosť
Riešenie. Nerovnosť (3) prepíšeme ako
Označme. Pretože nerovnosť má mnoho riešení, nachádzame riešenia nerovnosti (3) riešením dvojitej nerovnosti.
Nerovnosť
To platí pre každé x a množina riešení nerovnosti je séria intervalov
Je to súbor riešení nerovnosti (3).
Príklad 3. Definujme všetko pre každý z nich nerovnosť
má aspoň jedno riešenie.
Riešenie. Vydeľte nerovnosť (4) číslom, získame nerovnosť
čo je ekvivalentom nerovnosti (4).
Odvtedy existuje taký uhol ako. Nerovnosť (5) prepíšeme ako
Posledná nerovnosť, a teda nerovnosť (4), má pre každé najmenej jedno riešenie, to znamená, že pre každé z nich.
Odoslanie dobrej práce do znalostnej základne je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár
Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.
Publikované na http://www.allbest.ru/
Ministerstvo školstva mesta Moskva
Štátna rozpočtová vzdelávacia inštitúcia
Stredné odborné vzdelanie
Stavebná škola č. 38
Matematická správa
Na tému: „História vývoja trigonometrie“
Vyplnil študent:
Udalova Evgeniya
Skupiny: 1-T-1
Moskva 2012
Slovo trigonometria sa prvýkrát vyskytuje v roku 1505 v názve knihy nemeckého matematika Pitiscusa.
Trigonometria je grécke slovo a doslova znamená meranie trojuholníkov (trigwnon - trojuholník a metrew - meriam).
V tomto prípade by sa meranie trojuholníkov malo chápať ako riešenie trojuholníkov, to znamená určenie strán, uhlov a ďalších prvkov trojuholníka, ak sú uvedené niektoré z nich. Veľký počet praktických problémov, ako aj problémov planimetrie, stereometrie, astronómie a ďalších, sa redukuje na problém riešenia trojuholníkov.
Vznik trigonometrie je spojený s geodetikou, astronómiou a staviteľstvom.
Aj keď názov vedy vznikol relatívne nedávno, mnoho konceptov a faktov, ktoré sa dnes pripisujú trigonometrii, bolo známych už pred dvetisíc rokmi.
Prvýkrát metódy riešenia trojuholníkov založené na závislostiach medzi stranami a uhlami trojuholníka našli starovekí grécki astronómovia Hipparchus (2. storočie pred n. L.) A Claudius Ptolemaios (2. storočie n. L.). Neskôr sa vzťah medzi pomermi strán trojuholníka a jeho uhlami začal nazývať goniometrické funkcie.
Významný príspevok k rozvoju trigonometrie urobili arabskí vedci Al-Batani (850-929) a Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998), ktorí každých 10 palcov zostavili tabuľky sínusov a dotyčníc s presnosť 1/604. Veta Indický vedec Bhaskara (nar. 1114, rok smrti nie je známy) a azerbajdžanský astronóm a matematik Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) už poznali sínusovú disciplínu.
Pojem sínus má dlhú históriu. V skutočnosti sa rôzne pomery segmentov trojuholníka a kruhu (a v skutočnosti goniometrické funkcie) nachádzajú už v 3. storočí pred naším letopočtom. NS. v dielach veľkých matematikov starovekého Grécka - Euclida, Archimeda, Apoloniusa z Pergy. V rímskej dobe tieto vzťahy celkom systematicky študoval Menelaus (1. storočie n. L.), Aj keď nezískali špeciálne meno. Moderný sine a bol napríklad skúmaný ako polkord, na ktorom spočíva stredový uhol hodnoty, alebo ako akord zdvojeného oblúka.
V 4.-5. storočí sa v prácach o astronómii objavil špeciálny termín veľkého indického vedca Aryabhatu, podľa ktorého bol pomenovaný prvý indický satelit Zeme. Segment AM nazval ardhajiva (ardha - polovica, jiva - tetiva, ktorá pripomína akord). Neskôr sa objavil kratší názov jiva. Arabskí matematici v 9. storočí nahradili toto slovo arabským slovom jayb (konvexita). Pri preklade arabských matematických textov v storočí bol nahradený latinským sine (sínus - ohýbanie, zakrivenie).
Tangenty vznikli v súvislosti s riešením problému určovania dĺžky tieňa. Tangens (rovnako ako kotangens) predstavil v 10. storočí arabský matematik Abu al-Wafa, ktorý zostavil aj prvé tabuľky na hľadanie tangens a kotangens. Tieto objavy však boli pre európskych vedcov dlho neznáme a dotyčnice boli znovu objavené až v XIV storočí nemeckým matematikom, astronómom Regimontanom (1467). Dokázal tangentovú vetu. Regiomontanus zostavil aj podrobné trigonometrické tabuľky; vďaka jeho dielam sa plochá a sférická trigonometria stala nezávislou disciplínou v Európe.
Názov „tangenta“, odvodený z latinského tangeru (na dotyk), sa objavil v roku 1583. Tangens sa prekladá ako „dotýkanie sa“ (priamka dotyčnice je dotyčnica k jednotkovému kruhu).
Trigonometria sa ďalej rozvíjala v dielach vynikajúcich astronómov Mikuláša Kopernika (1473-1543)-tvorcu heliocentrického systému sveta, Tycha Brahe (1546-1601) a Johannesa Keplera (1571-1630), ako aj práce matematika Françoisa Vietu (1540-1603), ktorý úplne vyriešil problém určovania všetkých prvkov roviny alebo sférického trojuholníka z troch údajov.
Trigonometria mala dlhý čas čisto geometrický charakter, to znamená, že skutočnosti, ktoré teraz formulujeme z hľadiska goniometrických funkcií, boli formulované a dokázané pomocou geometrických konceptov a vyhlásení. Bolo to tak v stredoveku, aj keď sa v ňom niekedy používali aj analytické metódy, najmä po objavení sa logaritmov. Asi najväčšie podnety pre rozvoj trigonometrie vznikli v súvislosti s riešením problémov v astronómii, o ktoré bol veľký praktický záujem (napríklad pri riešení problémov určovania polohy lode, predpovedania zatemnenia a podobne). Astronómov zaujímal vzťah medzi stranami a uhlami sférických trojuholníkov. A treba poznamenať, že starovekí matematici sa s úlohami úspešne vyrovnali.
Počnúc 17. storočím sa trigonometrické funkcie začali uplatňovať pri riešení rovníc, problémoch mechaniky, optiky, elektriny, rádiového inžinierstva, na popis oscilačných procesov, šírenie vĺn, pohyb rôznych mechanizmov, na štúdium striedavého elektrického prúdu atď. Preto sú goniometrické funkcie komplexné a podrobne preskúmané a stali sa základnými pre všetku matematiku.
Analytickú teóriu trigonometrických funkcií vytvoril predovšetkým vynikajúci matematik 18. storočia Leonard Euler (1707-1783), člen Petrohradskej akadémie vied. Eulerovo obrovské vedecké dedičstvo obsahuje vynikajúce výsledky súvisiace s matematickou analýzou, geometriou, teóriou čísel, mechanikou a ďalšími aplikáciami matematiky. Bol to Euler, ktorý ako prvý predstavil známe definície goniometrických funkcií, začal zvažovať funkcie ľubovoľného uhla a získal redukčné vzorce. Po Eulerovi mala trigonometria formu kalkulu: formálnou aplikáciou trigonometrických vzorcov sa začali dokazovať rôzne skutočnosti, dôkazy sa stali oveľa kompaktnejšími a jednoduchšími.
Trigonometria, ktorá vznikla ako veda o riešení trojuholníkov, sa nakoniec vyvinula do vedy o goniometrických funkciách.
Neskôr sa časť goniometrie, ktorá študuje vlastnosti goniometrických funkcií a vzťah medzi nimi, začala nazývať goniometria (v preklade - veda o meraní uhlov, z gréckeho gwnia - uhol, metrika - meriam). Pojem goniometria sa v poslednom čase prakticky nepoužíva.
trigonometria matematika pitiscus
Publikované na Allbest.ru
...Podobné dokumenty
Pojem trigonometria, jeho podstata a vlastnosti, história vzniku a vývoja. Štruktúra trigonometrie, jej prvky a charakteristiky. Tvorba a vývoj analytickej teórie trigonometrických funkcií, úloha akademika Leonarda Eulera v nej.
kreatívna práca, pridané 15.2.2009
Zoznámenie sa so znakmi vzniku trigonometrie, zváženie fáz vývoja. Analýza spôsobov riešenia trojuholníkov na základe závislostí medzi stranami a uhlami trojuholníka. Charakteristika analytickej teórie trigonometrických funkcií.
prezentácia pridaná 24. júna 2014
Matematika starovekej a stredovekej Číny. Pravidlo dvoch falošných polôh. Systémy lineárnych rovníc s mnohými neznámymi. Počiatočné fázy vývoja trigonometrie. Vytvorenie pozičného desatinného číslovania. Aritmetika prirodzených čísel a zlomkov.
práca, pridané 22.12.2012
Rozvoj analytického, logického, konštruktívneho myslenia študentov a formovanie ich matematickej bdelosti. Štúdium trigonometrie v kurze geometrie na základnej škole, metódy riešenia neštandardných úloh z kurzu 8. ročníka a z alternatívnych učebníc.
semestrálny príspevok, pridané 1. 1. 2014
Renesančná európska matematika. Vytvorenie abecedného počtu Françoisa Vietea a metódy riešenia rovníc. Vylepšenie výpočtov na konci 16. - začiatku 17. storočia: desatinné zlomky, logaritmy. Vytvorenie spojenia medzi trigonometriou a algebrou.
prezentácia pridaná 20. 9. 2015
Koncepty sférickej geometrie, korešpondencia medzi sférickou geometriou a planimetriou. Aplikácia sférickej trigonometrie v navigácii. Sférické polygónové uhly, planimetrická axiómová analýza. Kosínová veta pre sférické trojuholníky.
semestrálny príspevok pridaný 6. júna 2011
História vývoja trigonometrie, charakteristika jej základných pojmov a vzorcov. Všeobecné otázky, študijné ciele a metódy určovania goniometrických funkcií numerického argumentu v školskom kurze. Odporúčania a metódy na riešenie trigonometrických rovníc.
semestrálny príspevok, pridané 19.10.2011
Rekonštrukcia štruktúry a obsahu učiva v matematike v procese realizácie reforiem vo vzdelávaní matematiky. Definície kosínusu, sínusu a tangenty ostrého uhla. Základné trigonometrické vzorce. Pojem a základné vlastnosti vektorov.
práca, pridané 1. 11. 2011
Charakteristiky obdobia matematiky konštantných hodnôt. Vytvorte aritmetiku, algebru, geometriu a trigonometriu. Všeobecné charakteristiky matematickej kultúry starovekého Grécka. Pytagorova škola. Objav nesúmerateľnosti, Pytagorove tabuľky. „Začiatky“ Euclida.
prezentácia pridaná 20. 9. 2015
História vzniku a vývoja arabských číslic, zvláštnosti ich písania, pohodlie v porovnaní s inými systémami. Zoznámenie sa s počtom rôznych národov: číselný systém starovekého Ríma, Číny, Devanagari a ich vývoj od staroveku po súčasnosť.
História trigonometrie
Trigonometria je grécke slovo a doslova znamená meranie trojuholníkov ( je trojuholník a ja meriam).
V tomto prípade treba pod meraním trojuholníkov rozumieť riešenie trojuholníkov, t.j. definícia strán, uhlov a ďalších prvkov trojuholníka, ak sú uvedené niektoré z nich. Veľký počet praktických problémov, ako aj problémov planimetrie, stereometrie, astronómie a ďalších, sa redukuje na problém riešenia trojuholníkov.
Vznik trigonometrie je spojený s geodetikou, astronómiou a staviteľstvom.
Aj keď názov vedy vznikol relatívne nedávno, mnoho konceptov a faktov, ktoré sa dnes pripisujú trigonometrii, bolo známych už pred dvetisíc rokmi.
Prvýkrát metódy riešenia trojuholníkov založené na závislostiach medzi stranami a uhlami trojuholníka našli starovekí grécki astronómovia Hipparchus (2. storočie pred n. L.) A Claudius Ptolemaios (2. storočie n. L.). Neskôr sa vzťah medzi pomermi strán trojuholníka a jeho uhlami začal nazývať goniometrické funkcie.
Významný príspevok k rozvoju trigonometrie urobili arabskí vedci Al-Batani (850-929) a Abu-l-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998), ktorí zostavili tabuľky sínusov a dotyčníc v 10.’ s presnosťou na 1/60 4 ... Vetu o sínuse poznali už indický vedec Bhaskara (nar. 1114, rok smrti nie je známy) a azerbajdžanský astronóm a matematik Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). Nasireddin Tusi okrem toho vo svojej práci „Pojednanie o úplnej kvadripartite“ načrtol plochú a sférickú trigonometriu ako nezávislú disciplínu.
Pojem sínus má dlhú históriu. V skutočnosti sa už stretávame s rôznymi pomermi segmentov trojuholníka a kruhu (a v skutočnosti s goniometrickými funkciami) vIIIstoročia pred naším letopočtom v dielach veľkých matematikov starovekého Grécka - Euclida, Archimeda, Apoloniusa z Pergy. V rímskej dobe tieto vzťahy celkom systematicky študoval Menelaus (Jastoročia n. l.), aj keď nezískali špeciálne meno. Moderný sínus bol napríklad skúmaný ako polkord, na ktorom spočíva stredový uhol , alebo ako akord zdvojeného oblúka.
M
AA '
Ryža. 1
V. IV- V.Po stáročia sa v astronomických prácach veľkého indického vedca Aryabhatu, po ktorom je pomenovaná prvá indická družica Zeme, už vyskytuje špeciálny termín. Segment AM nazýval AM (obr. 1) ardhajiva (ardha - polovica, jiva - tetiva, ktorá pripomína akord). Neskôr sa objavil kratší názov jiva. Arabskí matematici vIXstoročia bolo toto slovo nahradené arabským slovom jayb (vydutie). Pri preklade arabských matematických textov v storočí bol nahradený latinským sine (sínus- ohýbanie, zakrivenie).
Slovo kosínus je oveľa mladšie. Cosine je skratka z latinského výrazuúplnesínus, to znamená „ďalší sínus“ (alebo inak „sínus dodatočného oblúka“;cos = hriech(90 - )).
Tangenty vznikli v súvislosti s riešením problému určovania dĺžky tieňa. Tangenta (ako aj kotangens) zavedená v rXstoročia arabským matematikom Abú al-Wafom, ktorý zostavil aj prvé tabuľky na hľadanie tangens a kotangens. Tieto objavy však boli pre európskych vedcov dlho neznáme a dotyčnice boli znovu objavené až v rXIVstoročia nemecký matematik, astronóm Regimontan (1467). Dokázal tangentovú vetu. Regiomontanus zostavil aj podrobné trigonometrické tabuľky; vďaka jeho dielam sa plochá a sférická trigonometria stala nezávislou disciplínou v Európe.
Názov „tangenta“ pochádza z latinčinytanger(dotyk), sa objavil v roku 1583.Tangenssa prekladá ako „dotyčnica“ (priamka dotyčníc - dotyčnica k jednotkovej kružnici).
Trigonometria bola ďalej rozvíjaná v dielach vynikajúcich astronómov Nicolausa Copernica (1473-1543)-tvorcu heliocentrického systému sveta, Tycha Brahe (1546-1601) a Johannesa Keplera (1571-1630), ako aj práce matematika Françoisa Vietta (1540-1603), ktorý úplne vyriešil problém určovania všetkých prvkov roviny alebo sférického trojuholníka z troch údajov.
Trigonometria mala dlhý čas čisto geometrický charakter, to znamená, že skutočnosti, ktoré teraz formulujeme z hľadiska goniometrických funkcií, boli formulované a dokázané pomocou geometrických konceptov a tvrdení. Bolo to tak v stredoveku, aj keď sa v ňom niekedy používali aj analytické metódy, najmä po objavení sa logaritmov. Asi najväčšie podnety pre rozvoj trigonometrie vznikli v súvislosti s riešením problémov v astronómii, o ktoré bol veľký praktický záujem (napríklad pri riešení problémov určovania polohy lode, predpovedania zatemnenia a podobne). Astronómov zaujímal vzťah medzi stranami a uhlami sférických trojuholníkov. A treba poznamenať, že starovekí matematici sa s úlohami úspešne vyrovnali.
Počnúc XVIIv., sa trigonometrické funkcie začali uplatňovať pri riešení rovníc, úloh mechaniky, optiky, elektriny, rádiotechniky, na popis oscilačných procesov, šírenie vĺn, pohyb rôznych mechanizmov, na štúdium striedavého elektrického prúdu atď. Preto je goniometrický funkcie boli komplexne a hĺbkovo študované a stali sa základnými pre všetku matematiku.
Analytickú teóriu trigonometrických funkcií vytvoril predovšetkým vynikajúci matematikXviiistoročia Leonard Euler (1707-1783) člen Petrohradskej akadémie vied. Eulerovo obrovské vedecké dedičstvo obsahuje vynikajúce výsledky súvisiace s matematickou analýzou, geometriou, teóriou čísel, mechanikou a ďalšími aplikáciami matematiky. Bol to Euler, ktorý ako prvý predstavil známe definície goniometrických funkcií, začal zvažovať funkcie ľubovoľného uhla a získal redukčné vzorce. Po Eulerovi mala trigonometria formu kalkulu: formálnou aplikáciou trigonometrických vzorcov sa začali dokazovať rôzne skutočnosti, dôkazy sa stali oveľa kompaktnejšími, jednoduchšími,
Trigonometria, ktorá vznikla ako veda o riešení trojuholníkov, sa nakoniec vyvinula do vedy o goniometrických funkciách.
Neskôr sa časť trigonometrie, ktorá študuje vlastnosti goniometrických funkcií a vzťah medzi nimi, začala nazývať goniometria (v preklade - veda o meraní uhlov, z gréčtiny - uhol, - merať). Pojem goniometria sa v poslednom čase prakticky nepoužíva.
Mini - projektová práca na tému „História vývoja trigonometrie“
študent 11 "a" trieda MBOU "Kilemarskaja stredná škola" Kilemarsky mestská časť republiky Mari El Ivantsova Vasily
Učiteľ: I.P. Konyushkova
Ciele a ciele:
- Vyhľadajte informácie o vývoji trigonometrie
- Pozrite sa na literatúru na túto tému
Plán:
6. Vývoj modernej trigonometrie
Vo svojej práci sa zaoberám históriou vývoja trigonometrie.
1. Vznik trigonometrie ako vedy
Trigonometria vznikla a vyvinula sa v staroveku ako jedna z vetiev astronómie ako jej výpočtový aparát. Niektoré trigonometrické informácie poznali už starovekí Babylončania a Egypťania, ale základy tejto vedy boli položené v starovekom Grécku. Starovekí grécki astronómovia úspešne vyriešili niektoré problémy z trigonometrie súvisiace s astronómiou. Neuvažovali však o líniách sínus, kosínus atď., Ale o akordoch. Prvé trigonometrické tabuľky zostavil Hipparchus z Nicey (180-125 pred n. L.). Hipparchus bol prvý, kto pre sériu uhlov tabuľkoval zodpovedajúce hodnoty oblúkov a akordov.
Podrobnejšie informácie o trigonometrii sú uvedené v „Almageste“ od Ptolemaia. Ptolemaios rozdelil kruh na 360 stupňov a priemer na 120 častí. Polomer napočítal ako 60 dielov a použil systém šesťmiestnych čísel. Pre pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa priemeru kruhu napísal na základe Pytagorovej vety: (akord α) ² + (akord / 180-α /) ² = (priemer) ², čo zodpovedá podľa moderného vzorca sin²α + cos²α = 1. Ptolemaiova tabuľka, ktorá prežila až do našej doby, je ekvivalentná tabuľke sínusov s piatimi správnymi desatinnými miestami.
2. Vývoj trigonometrie v Indii
V 4. storočí sa centrum pre rozvoj matematiky presťahovalo do Indie. Indickí matematici dobre poznali spisy gréckych astronómov a geometrov. Ich prínos k aplikovanej astronómii a výpočtovým aspektom trigonometrie je veľmi významný. Indiáni predovšetkým zmenili niektoré koncepty trigonometrie a priblížili ich k moderným. V Indii bol začiatok trigonometrie položený ako všeobecná doktrína pomerov v trojuholníku, aj keď na rozdiel od gréckych akordov bol indický prístup obmedzený iba na funkcie ostrého uhla. Indiáni definovali sínus trochu inak ako v modernej matematike, ale boli prví, ktorí uviedli do používania kosínus.
3. Ďalší vývoj trigonometrie v krajinách Blízkeho a Blízkeho východu
Trigonometria prešla ďalším vývojom v 9.-15. storočí. v krajinách Blízkeho a Stredného východu. Najstaršie dochované diela patria al-Khorezmimu a al-Marvazimu (IX. Storočie), ktorí spolu so sínusom a kosínom, ktoré sú Indiánom známe, zvažovali nové goniometrické funkcie: tangens, kotangens, secant a kosekans. Khorezmi (al-Khorezmi) Muhammad bin Musa zostavil tabuľky sínusov a kotangens. Je autorom niekoľkých astronomických prác: prác na slnečných hodinách, astrolábe; zostavil množstvo matematických a astronomických tabuliek. Zachoval sa aj jeho rukopis „Obraz Zeme“ (vydaný v roku 1878), venovaný geografii. Vedec bol však známy predovšetkým svojou prácou v oblasti matematiky. Skvelé výsledky vo vývoji trigonometrie dosiahol v druhej polovici 10. storočia Abú-l-Wafa, ktorý ako prvý použil na určenie trigonometrických funkcií kruh s polomerom jednotky, ako sa to robí v modernej matematike.
Jednou z najdôležitejších úloh vtedajšej vedy bolo zostavenie trigonometrických tabuliek s čo najmenším krokom. V 9. storočí al-Khwarizmi zostavil tabuľky sínusov s krokom 1 °, jeho súčasník al-Marvazi k nim pridal prvé tabuľky dotyčníc, kotangensov a kosekantov s rovnakým krokom. Začiatkom 10. storočia publikoval al-Battani tabuľky s krokom 30 ", na konci toho istého storočia Ibn Yunis zostavil tabuľky s krokom 1". Pri zostavovaní tabuliek bolo kľúčové vypočítať hodnotu... Al-Biruni spolu s Ibn Yunisom a Abú-l-Wafom vynašli šikovné metódy na výpočet tejto hodnoty. Prvým špecializovaným pojednaním o trigonometrii bola jeho kniha „Kniha kľúčov vedy o astronómii“ (995-996). Al-Kashi dosiahol najväčší úspech v 15. storočí, v jednom zo svojich diel to vypočítal(všetky znaky sú správne). Jeho 1 'triggery sú bezkonkurenčné už 250 rokov. At-Tusi, Nasir ad-Din (1201-1274) vo svojom „Pojednaní o úplnom kvartripartite“ prvýkrát predstavil trigonometrické informácie ako nezávislé oddelenie matematiky, a nie ako doplnok k astronómii.
4. Pokračovanie vývoja trigonometrie v Európe
Po preložení arabských pojednaní do latinčiny v 12.-13. storočí sa mnohé myšlienky indických a perzských matematikov stali majetkom európskej vedy. V Európe pokračoval vývoj trigonometrie. Informácie o trigonometrii boli pôvodne uvedené v esejoch o astronómii, ale v práci Fibonacciho „The Practice of Geometry“, napísanej okolo roku 1220, je trigonometria predstavená ako súčasť geometrie. Prvá európska práca venovaná trigonometrii je často nazývaná „Štyri pojednania o priamych a obrátených akordoch“ od anglického astronóma Richarda Wallingforda (asi 1320).
Najvýraznejším európskym predstaviteľom tejto éry bol Regiomontanus. Jeho práce uvedené v matematickej práci „Päť kníh o trojuholníkoch všetkého druhu“ mali veľký význam pre ďalší rozvoj trigonometrie v XVI-XVII.
Na prahu 17. storočia. vo vývoji trigonometrie je načrtnutý nový smer - analytický. Ak sa predtým za hlavný cieľ trigonometrie považovalo riešenie trojuholníkov, výpočet prvkov geometrických útvarov a doktrína goniometrických funkcií bola postavená na geometrickom základe, potom v 17. až 19. storočí. trigonometria sa postupne stáva jednou z kapitol matematickej analýzy. Nachádza široké uplatnenie v mechanike, fyzike a technológii, najmä pri štúdiu oscilačných pohybov a iných periodických procesov. Viet vedel o vlastnosti periodicity trigonometrických funkcií, ktorých prvé matematické štúdie sa týkali trigonometrie. Švajčiarsky matematik Johann Bernoulli (1642-1727) už používal symboly pre goniometrické funkcie. Rozšírenie koncepcie goniometrických funkcií viedlo k ich zdôvodneniu na novom analytickom základe: goniometrické funkcie sú určené nezávisle od geometrie pomocou mocninových radov a ďalších konceptov matematickej analýzy.
I. Newton a L. Euler prispeli k rozvoju analytickej teórie goniometrických funkcií. Leonard Euler predstavil samotný koncept funkcie a dnes akceptovanú symboliku. Dal všetkej trigonometrii moderný vzhľad. V pojednaní „Úvod do analýzy nekonečna“ (1748) Euler uviedol definíciu trigonometrických funkcií, ekvivalentných tej modernej, a definoval inverzné funkcie. Eulerov prístup sa odvtedy stal všeobecne akceptovaným a vstúpil do učebníc.
5. Vývoj trigonometrie v Rusku
V Rusku boli prvé informácie o trigonometrii publikované v zbierke „Tabuľky logaritmov, sínusov a tangens pre štúdium múdro milujúcich opatrovateľov“, vydanej za účasti L. F. Magnitského v roku 1703. V roku 1714 sa objavil informatívny manuál „Geometria praxe“, prvá ruská učebnica trigonometrie, zameraná na aplikované problémy delostrelectva, navigácie a geodézie. Ukončenie obdobia zvládania trigonometrických znalostí v Rusku možno považovať za základnú učebnicu akademika ME Golovina (študenta Eulera) „Rovina a sférická trigonometria s algebraickými dôkazmi“ (1789).
Koncom 18. storočia vznikla v Petrohrade autoritatívna trigonometrická škola, ktorá významne prispela k plochej a sférickej trigonometrii.
Ďalší vývoj teórie trigonometrie pokračoval v 19. storočí N.I.Lobachevsky a ďalší vedci.
Na začiatku 19. storočia N.I. Lobachevsky pridal k plochej a sférickej trigonometrii tretiu časť - hyperbolickú. V storočiach XIX-XX sa teória trigonometrických sérií a súvisiace oblasti matematiky, napríklad kódovanie zvukových a obrazových informácií a ďalšie, rýchlo rozvíjali.
V súčasnej dobe je v matematickej analýze považovaná za najdôležitejšiu časť trigonometrie - doktrína trigonometrických funkcií a riešenie trojuholníkov
Pri práci na tejto téme som študoval množstvo zdrojov a našiel som informácie o vývoji trigonometrie.
Literatúra: 1. Gleizer G.I. Dejiny matematiky v škole: ročníky IX-X. Príručka pre učiteľov. - M.: Education, 1983.
2. Internetové zdroje
