ในพิภพเล็ก ๆ ในระหว่างปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคมูลฐาน - อะตอม, โมเลกุล - ปฏิกิริยานิวเคลียร์และแม่เหล็กไฟฟ้ามีความโดดเด่น แทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะสังเกตปฏิกิริยาแรงโน้มถ่วงของอนุภาคมูลฐาน นักวิทยาศาสตร์ต้องใช้เทคนิคใหญ่ๆ เพื่อวัดปฏิกิริยาแรงโน้มถ่วงของวัตถุซึ่งมีมวลนับแสนกิโลกรัม อย่างไรก็ตาม ในระดับจักรวาล ปฏิสัมพันธ์อื่นๆ ทั้งหมด ยกเว้นแรงโน้มถ่วง แทบจะมองไม่เห็นเลย การเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ดาวเทียม ดาวเคราะห์น้อย ดาวหาง ดาวฤกษ์ในกาแล็กซีอธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยปฏิสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วง
เขาเสนอให้วางโลกไว้ที่ศูนย์กลางของจักรวาล และการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ถูกอธิบายเป็นวงกลมขนาดใหญ่และเล็ก ซึ่งเรียกว่าเอพิไซเคิลของปโตเลมี
เฉพาะในศตวรรษที่ 16 เท่านั้นที่โคเปอร์นิคัสเสนอให้เปลี่ยนแบบจำลองโลกเป็นศูนย์กลางของปโตเลมีด้วยแบบจำลองเฮลิโอเซนทริค นั่นคือ วางดวงอาทิตย์ไว้ที่ศูนย์กลางของจักรวาล และสมมติว่าดาวเคราะห์และโลกทั้งหมดเคลื่อนที่ไปรอบดวงอาทิตย์ด้วย (รูปที่ 2)
ข้าว. 2. แบบจำลองเฮลิโอเซนทริกของเอ็น. โคเปอร์นิคัส ()
ในตอนต้นของศตวรรษที่ 17 นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน โยฮันเนส เคปเลอร์ ได้ประมวลผลข้อมูลทางดาราศาสตร์จำนวนมหาศาลที่ได้รับจากนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก ไทโค บราเฮอ ได้เสนอกฎเชิงประจักษ์ของเขาเอง ซึ่งต่อมาถูกเรียกว่ากฎของเคปเลอร์
ดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งที่เรียกว่าวงรีวงรีคือเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุดเส้นหนึ่ง ซึ่งเรียกว่าเส้นโค้งลำดับที่สอง ในยุคกลาง พวกเขาถูกเรียกว่าทางแยกรูปกรวย - หากคุณตัดกรวยหรือทรงกระบอกด้วยระนาบใดระนาบหนึ่ง คุณจะได้เส้นโค้งเดียวกันกับที่ดาวเคราะห์ในระบบสุริยะเคลื่อนที่
ข้าว. 3. เส้นโค้งการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ()
เส้นโค้งนี้ (รูปที่ 3) มีจุดที่ไฮไลต์สองจุด ซึ่งเรียกว่าจุดโฟกัส สำหรับแต่ละจุดของวงรี ผลรวมของระยะทางจากจุดนั้นถึงจุดโฟกัสจะเท่ากัน จุดศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ (F) อยู่ที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง โดยจุดที่เส้นโค้งใกล้กับดวงอาทิตย์มากที่สุด (P) เรียกว่า ระยะเพริฮีเลียน และจุดที่ไกลที่สุด (A) เรียกว่า จุดไกลที่สุด ระยะห่างจากจุดกึ่งกลางวงรีถึงจุดศูนย์กลางของวงรีเรียกว่าแกนกึ่งเอก และระยะทางแนวตั้งจากจุดศูนย์กลางของวงรีถึงวงรีคือแกนกึ่งรองของวงรี
เมื่อดาวเคราะห์เคลื่อนที่ไปตามวงรี เวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมต่อศูนย์กลางของดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์ดวงนี้จะอธิบายพื้นที่หนึ่งๆ ตัวอย่างเช่น ในช่วงเวลาที่ ∆t ดาวเคราะห์เคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง เวกเตอร์รัศมีจะอธิบายพื้นที่บางจุด ∆S
ข้าว. 4. กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ ()
กฎข้อที่สองของเคปเลอร์ระบุว่า: ในระยะเวลาเท่ากัน เวกเตอร์รัศมีของดาวเคราะห์จะอธิบายพื้นที่ที่เท่ากัน
รูปที่ 4 แสดงมุม ∆Θ นี่คือมุมการหมุนของเวกเตอร์รัศมีในช่วงเวลาหนึ่ง ∆t และแรงกระตุ้นของดาวเคราะห์ () ซึ่งพุ่งเข้าหาแนวสัมผัสของวิถีโคจร โดยแบ่งออกเป็นสององค์ประกอบ - องค์ประกอบแรงกระตุ้นตามเวกเตอร์รัศมี () และองค์ประกอบแรงกระตุ้นในทิศทาง ตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมี (⊥)
ให้เราทำการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับกฎข้อที่สองของเคปเลอร์ คำกล่าวของเคปเลอร์ที่ว่าพื้นที่เท่ากันถูกเคลื่อนที่ในช่วงเวลาเท่ากัน หมายความว่าอัตราส่วนของปริมาณเหล่านี้เป็นค่าคงที่ อัตราส่วนของปริมาณเหล่านี้มักเรียกว่าความเร็วภาค (sectoral velocity) ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของเวกเตอร์รัศมี พื้นที่ ∆S ที่เวกเตอร์รัศมีกวาดเมื่อเวลาผ่านไป ∆t เป็นเท่าใด นี่คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมซึ่งมีความสูงประมาณเท่ากับเวกเตอร์รัศมีและฐานมีค่าประมาณเท่ากับ r ∆ω โดยใช้คำสั่งนี้เราเขียนค่า ∆S ในรูปของ ½ ความสูง ต่อฐานและหารด้วย ∆t เราจะได้นิพจน์:
นี่คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของมุม ซึ่งก็คือ ความเร็วเชิงมุม
ผลลัพธ์สุดท้าย:
,
กำลังสองของระยะห่างถึงศูนย์กลางดวงอาทิตย์คูณด้วยความเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนที่ในช่วงเวลาที่กำหนด จะเป็นค่าคงที่
แต่ถ้าเราคูณนิพจน์ r 2 ω ด้วยมวลกาย m เราจะได้ค่าที่สามารถแสดงเป็นผลคูณของความยาวของเวกเตอร์รัศมีและโมเมนตัมในทิศทางตามขวางกับเวกเตอร์รัศมี:
ปริมาณนี้ซึ่งเท่ากับผลคูณของเวกเตอร์รัศมีและองค์ประกอบตั้งฉากของแรงกระตุ้น เรียกว่า "โมเมนตัมเชิงมุม"
กฎข้อที่สองของเคปเลอร์คือข้อความที่ว่าโมเมนตัมเชิงมุมในสนามโน้มถ่วงเป็นปริมาณอนุรักษ์ สิ่งนี้นำไปสู่ข้อความที่เรียบง่ายแต่สำคัญมาก: ณ จุดที่ห่างจากศูนย์กลางดวงอาทิตย์น้อยที่สุดและไกลที่สุด ซึ่งก็คือจุดไกลดวงอาทิตย์และดวงอาทิตย์ที่สุด ความเร็วจะตั้งฉากกับเวกเตอร์รัศมี ดังนั้นผลคูณของเวกเตอร์รัศมี และความเร็ว ณ จุดหนึ่งเท่ากับผลคูณนี้ในอีกจุดหนึ่ง
กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ระบุว่าอัตราส่วนของกำลังสองของคาบการหมุนของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์ต่อกำลังสามของแกนกึ่งเอกภพจะเท่ากันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ
ข้าว. 5. วิถีโคจรของดาวเคราะห์ตามอำเภอใจ ()
รูปที่ 5 แสดงวิถีการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สองดวง อันหนึ่งมีรูปแบบที่ชัดเจนของวงรีที่มีความยาวกึ่งแกน (a) อันที่สองมีรูปแบบของวงกลมที่มีรัศมี (R) เวลาของการปฏิวัติตามวิถีโคจรเหล่านี้นั่นคือคาบ ของการหมุนสัมพันธ์กับความยาวของกึ่งแกนหรือรัศมี และถ้าวงรีกลายเป็นวงกลม แกนกึ่งเอกก็จะกลายเป็นรัศมีของวงกลมนี้ กฎข้อที่สามของเคปเลอร์ระบุว่าในกรณีที่ความยาวของกึ่งแกนเอกเท่ากับรัศมีของวงกลม คาบการปฏิวัติของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์จะเท่ากัน
สำหรับกรณีของวงกลม อัตราส่วนนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับกฎการเคลื่อนที่ของวัตถุในวงกลม ค่าคงที่นี้คือ 4π 2 หารด้วยค่าคงที่ของความโน้มถ่วงสากล (G) และมวลของดวงอาทิตย์ ( ม)
ดังนั้น จึงชัดเจนว่าถ้าเราสรุปปฏิสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วงเหมือนกับที่นิวตันทำ และสมมุติว่าวัตถุทั้งหมดมีส่วนร่วมในปฏิสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วง กฎของเคปเลอร์สามารถขยายไปถึงการเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบโลก ไปจนถึงการเคลื่อนที่ของดาวเทียมรอบดาวเคราะห์ดวงอื่นด้วย และแม้กระทั่งการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์บริวารรอบใจกลางดวงจันทร์ เฉพาะทางด้านขวาของสูตรนี้ ตัวอักษร M จะหมายถึงมวลของร่างกายที่ดึงดูดดาวเทียม ดาวเทียมทุกดวงของวัตถุอวกาศที่กำหนดจะมีอัตราส่วนของกำลังสองของคาบการโคจร (T 2) ต่อกำลังสามของแกนกึ่งเอกนัย (a 3) เท่ากัน กฎนี้สามารถขยายไปยังวัตถุทั้งหมดในจักรวาลและแม้แต่ดวงดาวที่ประกอบเป็นกาแล็กซีของเรา
ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 สังเกตว่าดาวฤกษ์บางดวงที่อยู่ค่อนข้างไกลจากใจกลางกาแล็กซีของเราไม่ปฏิบัติตามกฎเคปเลอร์นี้ ซึ่งหมายความว่าเราไม่รู้ทุกอย่างว่าแรงโน้มถ่วงทำงานอย่างไรในขนาดกาแล็กซีของเรา คำอธิบายที่เป็นไปได้ประการหนึ่งว่าทำไมดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกลจึงเคลื่อนที่เร็วกว่ากฎข้อที่สามของเคปเลอร์คือ เราไม่เห็นมวลทั้งหมดของดาราจักร ส่วนสำคัญอาจประกอบด้วยสสารที่เครื่องมือของเรามองไม่เห็น ไม่มีปฏิกิริยาทางแม่เหล็กไฟฟ้า ไม่ปล่อยหรือดูดซับแสง และมีส่วนร่วมในปฏิกิริยาแรงโน้มถ่วงเท่านั้น สารนี้เรียกว่ามวลที่ซ่อนอยู่หรือสสารมืด ปัญหาสสารมืดเป็นปัญหาหลักของฟิสิกส์แห่งศตวรรษที่ 21
หัวข้อของบทเรียนถัดไป: ระบบจุดวัสดุ จุดศูนย์กลางมวล กฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล
บรรณานุกรม
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. ฟิสิกส์ (ระดับพื้นฐาน) - อ.: Mnemosyne, 2012.
- Kabardin O.F. , Orlov V.A. , Evenchik E.E. ฟิสิกส์-10 อ.: การศึกษา, 2553.
- ฟิสิกส์แบบเปิด ()
- Elementy.ru ()
- Physics.ru ()
- Ency.info()
การบ้าน
- กำหนดกฎข้อแรกของเคปเลอร์
- กำหนดกฎข้อที่สองของเคปเลอร์
- กำหนดกฎข้อที่สามของเคปเลอร์
เนื่องจากมี "ผู้หักล้าง" บนไซต์ที่อ้างว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องนอกรีตและไม่มีแรงดึงดูดโน้มถ่วงระหว่างดาวเคราะห์อยู่เลย เรามาดูกันว่ากฎแรงโน้มถ่วงสากลช่วยให้เราสามารถอธิบายปรากฏการณ์ที่สร้างโดยเชิงประจักษ์ได้อย่างไร ด้านล่างนี้เป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับกฎข้อที่หนึ่งของเคปเลอร์
1. ทัศนศึกษาประวัติศาสตร์
ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่ากฎหมายนี้เกิดขึ้นได้อย่างไร ในปี ค.ศ. 1589 โยฮันเนส เคปเลอร์ (ค.ศ. 1571 - 1630) คนหนึ่งซึ่งมาจากครอบครัวชาวเยอรมันที่ยากจน สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนและเข้ามหาวิทยาลัยทูบิงเกน ที่นั่นเขาศึกษาคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ศาสตราจารย์เมสต์ลิน อาจารย์ของเขาซึ่งเป็นผู้ชื่นชมแนวคิดของโคเปอร์นิคัส (ระบบโลกเฮลิโอเซนทริก) อย่างลับๆ สอนที่มหาวิทยาลัยเกี่ยวกับทฤษฎีที่ "ถูกต้อง" - ระบบโลกของปโตเลมี (เช่น geocentric) อย่างไรก็ตาม ซึ่งไม่ได้ขัดขวางไม่ให้เขาแนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดของโคเปอร์นิคัส และในไม่ช้า เขาเองก็กลายเป็นผู้สนับสนุนทฤษฎีนี้อย่างมั่นใจ
ในปี ค.ศ. 1596 เคปเลอร์ได้ตีพิมพ์ความลับเกี่ยวกับจักรวาลของเขา แม้ว่างานนี้จะมีคุณค่าทางวิทยาศาสตร์ที่น่าสงสัยแม้ในขณะนั้น แต่ก็ไม่ได้ถูกมองข้ามโดยนักดาราศาสตร์ชาวเดนมาร์ก Tycho Brahe ซึ่งทำการสังเกตและคำนวณทางดาราศาสตร์เป็นเวลาหนึ่งในสี่ของศตวรรษ เขาสังเกตเห็นความคิดอิสระและความรู้ด้านดาราศาสตร์ของนักวิทยาศาสตร์รุ่นเยาว์รายนี้
ตั้งแต่ปี 1600 โยฮันน์ทำงานเป็นผู้ช่วยของ Brahe หลังจากที่เขาเสียชีวิตในปี 1601 เคปเลอร์เริ่มศึกษาผลงานของ Tycho Brahe ซึ่งเป็นข้อมูลจากการสำรวจทางดาราศาสตร์เป็นเวลาหลายปี ความจริงก็คือในตอนท้ายของศตวรรษที่ 16 ตารางปรัสเซียน (ตารางการเคลื่อนที่ของเทห์ฟากฟ้าคำนวณตามคำสอนของโคเปอร์นิคัส) เริ่มให้ความคลาดเคลื่อนอย่างมีนัยสำคัญกับข้อมูลที่สังเกตได้: ข้อผิดพลาดในตำแหน่งของ ดาวเคราะห์ถึง 4-5 0
เพื่อแก้ปัญหานี้ เคปเลอร์ถูกบังคับให้ทำให้ทฤษฎีของโคเปอร์นิคัสซับซ้อนขึ้น เขาละทิ้งความคิดที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงกลม ซึ่งท้ายที่สุดทำให้เขาสามารถแก้ปัญหาความคลาดเคลื่อนระหว่างทฤษฎีกับข้อมูลที่สังเกตได้ในที่สุด จากการค้นพบของเขา ดาวเคราะห์เคลื่อนที่ในวงโคจรเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์อยู่ที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง ดังนั้นระยะห่างระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์จึงเปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ผลลัพธ์นี้เรียกว่า กฎข้อแรกของเคปเลอร์.
2. การอ้างเหตุผลทางคณิตศาสตร์
ตอนนี้เรามาดูกันว่ากฎข้อแรกของเคปเลอร์สอดคล้องกับกฎแรงโน้มถ่วงสากลอย่างไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะได้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามโน้มถ่วงที่มีความสมมาตรทรงกลม ในกรณีนี้ เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุ $\vec(L)=[\vec(r),\vec(p)]$ ซึ่งหมายความว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ในระนาบที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\vec(L)$ และการวางแนวของระนาบนี้ในอวกาศไม่มีการเปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ จะสะดวกที่จะใช้ระบบพิกัดเชิงขั้ว $(r, \phi)$ โดยมีจุดกำเนิดที่แหล่งกำเนิดของสนามโน้มถ่วง (นั่นคือ เวกเตอร์ $\vec(r)$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $\ เวค(L)$) เหล่านั้น. เราวางวัตถุดวงหนึ่ง (ดวงอาทิตย์) ไว้ที่จุดกำเนิดของพิกัด และด้านล่างเราจะได้กฎการเคลื่อนที่ของวัตถุดวงที่สอง (ดาวเคราะห์) ในกรณีนี้
องค์ประกอบปกติและวงสัมผัสของเวกเตอร์ความเร็วของตัวที่สองในระบบพิกัดที่เลือกจะแสดงโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ (ต่อไปนี้จุดหมายถึงอนุพันธ์ของเวลา):
$$ V_(r)=\จุด(r); V_(n)=r\dot(\phi) $$
กฎการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมเชิงมุมในกรณีนี้มีรูปแบบดังต่อไปนี้:
$$E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(m(r\dot(\phi))^2)(2)-\frac(GMm)(r)=const \hspace(3cm)(2.1)$$ $$L = mr^2\dot(\phi)=const \hspace(3cm)(2.2)$$
โดยที่ $G$ คือค่าคงที่แรงโน้มถ่วง $M$ คือมวลของวัตถุที่อยู่ตรงกลาง $m$ คือมวลของ “ดาวเทียม” $E$ คือพลังงานกลทั้งหมดของ “ดาวเทียม” $L$ คือ ค่าของโมเมนตัมเชิงมุมของมัน
เมื่อแสดง $\dot(\phi)$ จาก (2.2) และแทนที่มันลงใน (2.1) เราจะได้:
$$ E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(L^2)(2mr^2)-\frac(GMm)(r) \hspace(3cm)(2.3) $ $
ให้เราเขียนความสัมพันธ์ผลลัพธ์ใหม่ดังนี้:
$$ dt=\frac(dr)(\sqrt(\frac(2)(m)(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r)))) \hspace (3ซม.)(2.4)$$
จากความสัมพันธ์ (2.2) จะได้ดังนี้
$$ d\phi=\frac(L)(mr^2)dt $$
แทนที่นิพจน์ (2.4) แทนที่จะเป็น $dt$ เราจะได้:
$$ d\phi=\frac(L)(r^2)\frac(dr)(\sqrt(2m(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r) ))) \hspace(3cm)(2.5) $$
เพื่อรวมนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะเขียนนิพจน์ใหม่ภายใต้รากในวงเล็บในรูปแบบต่อไปนี้:
$$ E-((\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2 - \frac(GMm)(r) + \frac(L^2)(2mr^2) ) + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ =E-(\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2 )L)-\frac(L)(r\sqrt(2mr)))^2 + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ = \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)(L^ 2)-\frac(1)(r))^2) $$
ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
$$ \frac(GMm^2)(L^2)\equiv\frac(1)(p) $$
เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงต่อไป เราได้รับ:
$$ \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)( L^2)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2) + \frac(1)( p^2)-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(1)(p ^2)(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2) $$
ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
$$ 1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3) \equiv e^2 $$
ในกรณีนี้ นิพจน์ที่แปลงแล้วจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
$$ \frac(L^2e^2)(2mp^2)(1-(\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)))^2 ) $$
เพื่อความสะดวก เราขอแนะนำตัวแปรต่อไปนี้:
$$ z=\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)) $$
ตอนนี้สมการ (2.5) อยู่ในรูปแบบ:
$$ d\phi=\frac(p)(เอ้อ^2)\frac(dr)(\sqrt(1-z^2))=\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))\ พื้นที่(3ซม.)(2.6) $$
มารวมนิพจน์ผลลัพธ์เข้าด้วยกัน:
$$ \phi(r)=\int\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))=\arcsin(z)-\phi_0 $$
โดยที่ $\phi_0$ คือค่าคงที่การรวมเข้า
ในที่สุดเราก็ได้กฎการเคลื่อนที่:
$$ r(\phi)=\frac(p)(1-e\sin((\phi+\phi_0))) $$
การตั้งค่าคงที่การรวม $\phi_0=\frac(3\pi)(2)$ (ค่านี้สอดคล้องกับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน $r(\phi)$) ในที่สุดเราก็ได้:
| $$r(\phi)=\frac(p)(1+e\cos(\phi)) \hspace(3cm)(2.7)$$ $$p=\frac(L^2)(GMm^2) $$ $$e=\sqrt(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))$$ |
จากหลักสูตรเรขาคณิตวิเคราะห์ เป็นที่ทราบกันว่านิพจน์ที่ได้รับสำหรับฟังก์ชัน $r(\phi)$ อธิบายเส้นโค้งลำดับที่สอง ได้แก่ วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา พารามิเตอร์ $p$ และ $e$ เรียกว่าพารามิเตอร์โฟกัสและความเยื้องศูนย์ของเส้นโค้งตามลำดับ พารามิเตอร์โฟกัสสามารถรับค่าบวกใดๆ ก็ได้ และค่าความเยื้องศูนย์จะกำหนดประเภทของวิถี: ถ้า $e\in)
