Consideremos un ejemplo:
El precio de un frigorífico en una tienda ha subido. ¿Cuál era el precio si el frigorífico costaba inicialmente RUB?
Solución:
Para empezar, determinemos cuántos rublos han cambiado (en este caso, aumentado) el costo del refrigerador.
Por condición: activado.
¿Pero de qué?
Por supuesto, desde el costo inicial del refrigerador: rublos.
Resulta que necesitamos encontrar de frotar:
Ahora sabemos que el precio ha aumentado en RUB.
Solo queda, de acuerdo con la regla, agregar la cantidad de cambio al costo inicial:
El nuevo precio de los rublos.
Otro ejemplo(intenta resolverlo tú mismo):
El libro "Matemáticas para tontos" en la tienda cuesta RUB. Durante la promoción, todos los libros se venden con descuento.
¿Cuánto tendrás que pagar ahora por este libro?
Solución:
¿Qué es un descuento, probablemente lo sepa? Un descuento en significa que el costo de los bienes se ha reducido en
¿Cuánto ha disminuido el costo del libro (en rublos)?
Debe encontrar a partir de su costo inicial en rublos:
El precio ha disminuido, lo que significa que debe restar del costo inicial cuánto ha disminuido:
El nuevo precio de los rublos.
Simple, ¿no es así?
¡Pero hay una manera de hacer que esta solución sea aún más fácil y más corta!
Consideremos un ejemplo:
Aumente el número en.
¿Qué es igual a desde?
Como descubrimos antes, lo será.
Ahora aumentemos el número x en sí mismo en esta cantidad:
Resulta que, como resultado, agregamos a la notación decimal y multiplicamos por un número.
Generalicemos esta regla:
Supongamos que necesitamos aumentar el número en.
del número es.
Entonces el nuevo número será :.
Por ejemplo, aumentemos el número en:
Ahora pruébelo usted mismo:
- Aumentar el número en
- Aumentar el número en
- ¿Cuánto porcentaje es mayor el número que el número?
Soluciones:
3) Deje que la cantidad requerida por ciento es igual.
Esto significa que si aumenta el número en, obtiene:
Respuesta para.
Si es necesario reducir el número x en, todo es igual:
Entonces la regla es:
Ejemplos:
1) Disminuya el número en.
2) Encendido cuanto porcentaje es el número menor que el número?
3) El precio del producto con descuento es igual ap. ¿Cuál es el precio sin descuento?
Soluciones:
2) El número se ha reducido en x por ciento y consiguió:
Respuesta para.
3) Sea el precio sin descuento. Resulta que x se redujo en y obtuvo:
Finalmente, consideremos otro tipo de tareas que a menudo causan confusión.
Resolver problemas complejos por interés
El número es mayor que el número en. Sobre cuanto porcentaje es el número menor que el número?
Qué pregunta más extraña: ¡por supuesto!
¿Derecha?
Pero no.
Si, por ejemplo, la masa de un gabinete es 25 kg más que la masa de otro, entonces, sin duda, la masa del segundo gabinete es 25 kg menos que la masa del primero.
Nariz por ciento¡así que no funcionará!
De hecho, en el primer caso, cuando decimos que el número es mayor que el número, contamos a partir del número; y en el segundo caso, cuando decimos que el número es menor que el número, contamos a partir del número. Y dado que los números son diferentes, ¡estos números también serán diferentes!
Para resolver este problema correctamente, escribamos la condición en forma de ecuación:
El número es mayor que el número en. Esto significa que si el número se incrementa en, obtenemos el número:
Ahora escribamos la pregunta de esta forma: si el número a se reduce en por ciento, obtenemos el número:
Expresemos el número de igualdad (1):
Y sustituir en (2):
Resulta que:
Entonces, ¡obtenemos que el número es menor que el número!
Estas tareas suelen aparecer en el examen.
Por ejemplo:
El lunes, las acciones de la compañía han subido de precio en un cierto número. por ciento, y el martes bajó en el mismo número por ciento... Como resultado, comenzaron a costar menos que en la apertura de operaciones del lunes. Sobre cuanto porcentaje¿Las acciones de la compañía subieron de precio el lunes?
Solución:
Sea igual el precio de las acciones el lunes y la cantidad requerida por ciento, escrito como una fracción decimal (es decir, ya dividido por) es igual.
Anotemos la fórmula, cuál es el valor de la acción después de la subida de precio:
Además, se sabe que este precio final es menor que el precio inicial. Es decir, si disminuimos en, obtenemos:
Sustituir expresado anteriormente:
Según el sentido común, solo una decisión positiva es adecuada:
Recordemos ahora que esto es hasta ahora solo la notación decimal de la cantidad requerida por ciento, es decir, esta cantidad por ciento dividido por. Para traducir en interesar, debes multiplicar por 100%:
¿Dónde usamos el interés en la vida?
Bueno, por ejemplo, en productos bancarios: depósitos, préstamos, hipotecas, etc.
Si comprende bien qué es el interés y sabe cómo resolver ecuaciones, entonces puede calcular fácilmente, por ejemplo, el monto del pago mensual del préstamo.
O cuánto tiene que pagar de más tomando una hipoteca. Hay tal tarea en el examen en el número 17.
Interesar. Brevemente sobre lo principal
El uno por ciento de cualquier número es la centésima parte de ese número.
1. Porcentajes y decimales
2. Cambie el número en un porcentaje.
Digamos que desea aumentar el número en.
del número es.
Entonces, el nuevo número será :.
Para aumentar un número en, debes multiplicarlo por.
Si es necesario reducir el número en, entonces:
Disminuir un número en cierta cantidad significa restarle este valor:
Para disminuir un número en, debes multiplicarlo por.
Seguimos estudiando problemas elementales en matemáticas. Esta lección trata sobre problemas de intereses. Consideraremos varias tareas, y también tocaremos aquellos puntos que no fueron mencionados anteriormente en el estudio de interés, considerando que en un principio crean dificultades para el aprendizaje.
La mayoría de las tareas sobre porcentajes se reducen a encontrar un porcentaje de un número, encontrar un número por porcentaje, expresar cualquier parte como porcentaje o expresar una relación entre varios objetos, números, cantidades como porcentaje.
Habilidades preliminares Contenido de la lecciónMétodos para encontrar interés
El porcentaje se puede encontrar de varias formas. La forma más popular es dividir el número por 100 y multiplicar el resultado por el porcentaje deseado.
Por ejemplo, para encontrar el 60% de 200 rublos, primero debe dividir estos 200 rublos en cien partes iguales:
200 rublos: 100 = 2 rublos.
Cuando dividimos un número por 100, encontramos el uno por ciento de ese número. Entonces, dividiendo 200 rublos en 100 partes, encontramos automáticamente el 1% de doscientos rublos, es decir, descubrimos cuántos rublos se necesitan para una parte. Como puede ver en el ejemplo, una parte (uno por ciento) representa 2 rublos.
1% de 200 rublos - 2 rublos
Sabiendo cuántos rublos hay en una parte (1%), puede averiguar cuántos rublos hay en dos partes, tres, cuatro, cinco, etc. Es decir, puede encontrar cualquier número de porcentajes. Para hacer esto, basta con multiplicar estos 2 rublos por la cantidad requerida de partes (porcentaje). Busquemos sesenta piezas (60%)
2 rublos × 60 = 120 rublos.
2 rublos × 5 = 10 rublos.
Calcula el 90%
2 rublos × 90 = 180 rublos.
Encontrar 100%
2 rublos × 100 = 200 rublos.
El 100% son cien partes y todas son 200 rublos.
La segunda forma es representar el porcentaje como una fracción ordinaria y encontrar esta fracción a partir del número del que desea encontrar el porcentaje.
Por ejemplo, encontremos el mismo 60% de 200 rublos. Primero, representemos el 60% como fracción. 60% son sesenta partes de cien, es decir, sesenta centésimas:
Ahora la tarea puede entenderse como « encontrar de 200rublos " ... Este es el que estudiamos antes. Recuerda que para encontrar la fracción de un número, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción.
200: 100 = 2
2 × 60 = 120
O multiplica el número por la fracción ():
La tercera forma es representar el porcentaje como decimal y multiplicar el número por ese decimal.
Por ejemplo, encontremos el mismo 60% de 200 rublos. Primero, representamos el 60% como fracción. 60% por ciento es sesenta partes de cien
Dividamos en esta fracción. Mueva la coma en el número 60 dos dígitos a la izquierda:
Ahora encontramos 0,60 de 200 rublos. Para encontrar la fracción decimal de un número, debes multiplicar este número por una fracción decimal:
200 × 0,60 = 120 rublos.
El método dado para encontrar el porcentaje es el más conveniente, especialmente si una persona está acostumbrada a usar una calculadora. Este método le permite encontrar el porcentaje en un solo paso.
Como regla general, no es difícil expresar un porcentaje en una fracción decimal. Basta con poner el prefijo "cero enteros" antes del porcentaje si el porcentaje es un número de dos dígitos, o agregar "cero enteros" y otro cero si el porcentaje es de un solo dígito. Ejemplos:
60% = 0.60 - asignados cero enteros antes de 60, ya que 60 es de dos dígitos
6% = 0.06 - se asignaron números enteros cero y un cero más antes del número 6, ya que el número 6 es de un solo dígito.
Al dividir por 100, usamos el método de mover una coma dos dígitos hacia la izquierda. En la respuesta 0,60 se conserva el cero después del número 6. Pero si realiza esta división con una esquina, el cero desaparece, la respuesta es 0.6
Debe recordarse que las fracciones decimales 0.60 y 0.6 son iguales al mismo valor:
0,60 = 0,6
En la misma "esquina", puedes seguir dividiendo sin fin, cada vez asignando cero al resto, pero esta será una acción sin sentido:
Puede expresar porcentajes como decimal no solo dividiendo por 100, sino también multiplicando. El signo de porcentaje (%) en sí mismo reemplaza al multiplicador de 0.01. Y si tenemos en cuenta que el número de porcentaje y el signo de porcentaje están escritos juntos, entonces entre ellos hay un signo de multiplicación "invisible" (×).
Entonces, la entrada del 45% en realidad se ve así:
Reemplaza el signo de porcentaje con un factor de 0.01
Esta multiplicación por 0.01 se realiza moviendo la coma dos dígitos a la izquierda:
Problema 1... El presupuesto de la familia es de 75 mil rublos al mes. El 70% de ellos son dinero ganado por papá. ¿Cuánto ganó mamá?
Solución
Sólo el 100 por ciento. Si papá ganó el 70% del dinero, entonces mamá ganó el 30% restante del dinero.
Tarea 2... El presupuesto de la familia es de 75 mil rublos al mes. De estos, el 70% es dinero ganado por papá y el 30% es dinero ganado por mamá. ¿Cuánto dinero ganó cada uno?
Solución
Encontremos el 70 y el 30 por ciento de 75 mil rublos. Esto determinará cuánto dinero ganó cada uno. Por conveniencia, el 70% y el 30% se escribirán como fracciones decimales:
75 × 0,70 = 52,5 (mil rublos ganó papá)
75 × 0,30 = 22,5 (mil rublos, madre ganada)
Examen
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Respuesta: 52,5 mil rublos. papá ganó, 22,5 rublos. Mamá ganó.
Problema 3... Cuando se enfría, el pan pierde hasta un 4% de su peso como resultado de la evaporación del agua. ¿Cuántos kilogramos se evaporarán cuando se enfríen 12 toneladas de pan?
Solución
Traduzcamos 12 toneladas a kilogramos. Hay mil kilogramos en una tonelada y 12 veces más en 12 toneladas:
1000 × 12 = 12.000 kg
Ahora encontraremos el 4% de 12000. El resultado obtenido será la respuesta al problema:
12.000 × 0,04 = 480 kg
Respuesta: cuando se enfríen 12 toneladas de pan, se evaporarán 480 kilogramos.
Problema 4... Las manzanas pierden el 84% de su peso cuando se secan. ¿Cuántas manzanas secas se obtendrán de 300 kg de manzanas frescas?
Hallar 84% de 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
Como resultado del secado, 300 kg de manzanas frescas perderán 252 kg de su peso. Para responder a la pregunta de cuántas manzanas secas obtienes, debes restar 252 de 300
300 - 252 = 48 kg
Respuesta: 300 kg de manzanas frescas producirán 48 kg de manzanas secas.
Problema 5... Las semillas de soja contienen un 20% de aceite. ¿Cuánto aceite hay en 700 kg de soja?
Solución
Hallar el 20% de 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Respuesta: 700 kg de soja contienen 140 kg de aceite
Problema 6... El trigo sarraceno contiene un 10% de proteínas, un 2,5% de grasas y un 60% de carbohidratos. ¿Cuántos de estos productos están contenidos en 14,4 quintales de trigo sarraceno?
Solución
Convierte 14,4 céntimos en kilogramos. En un céntimo, 100 kilogramos, en 14,4 céntimos, 14,4 veces más
100 × 14,4 = 1440 kg
Encuentre 10%, 2.5% y 60% de 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg de proteínas)
1440 × 0.025 = 36 (kg de grasa)
1440 × 0.60 = 864 (kg de carbohidratos)
Respuesta: 14,4 cc de trigo sarraceno contienen 144 kg de proteínas, 36 kg de grasa, 864 kg de carbohidratos.
Problema 7... Para el vivero de árboles, los estudiantes recolectaron 60 kg de semillas de roble, acacia, tilo y arce. Las bellotas representaron el 60%, las semillas de arce el 15%, las semillas de tilo el 20% de todas las semillas y el resto fueron semillas de acacia. ¿Cuántos kilogramos de semillas de acacia recolectaron los estudiantes?
Solución
Tomemos las semillas de roble, acacia, tilo y arce al 100%. Reste de este 100% los porcentajes que expresan semillas de roble, tilo y arce. Entonces averiguamos cuántos por ciento son semillas de acacia:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Ahora encontramos las semillas de la acacia:
60 × 0,05 = 3 kg
Respuesta: Los escolares recogieron 3 kg de semillas de acacia.
Examen:
60 x 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 x 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Problema 8... Un hombre compró comida. La leche cuesta 60 rublos, que es el 48% del costo de todas las compras. Determine la cantidad total de dinero gastada en comestibles.
Solución
Esta es la tarea de encontrar un número por su porcentaje, es decir, por su parte conocida. Este problema se puede solucionar de dos formas. La primera es expresar el número conocido de porcentajes como una fracción decimal y encontrar el número desconocido de esta fracción.
Expresar 48% como decimal
48% : 100 = 0,48
Sabiendo que 0.48 son 60 rublos, podemos determinar la suma de todas las compras. Para hacer esto, necesita encontrar un número desconocido por fracción decimal:
60: 0,48 = 125 rublos
Esto significa que la cantidad total de dinero gastada en comestibles es de 125 rublos.
La segunda forma es averiguar primero cuánto dinero hay en el uno por ciento, luego multiplicar el resultado por 100
48% son 60 rublos. Si dividimos 60 rublos por 48, descubriremos cuántos rublos son el 1%.
60: 48% = 1,25 rublos
El 1% representa 1,25 rublos. Porcentaje total 100. Si multiplicamos 1,25 rublos por 100, obtenemos la cantidad total de dinero gastada en alimentos.
1,25 × 100 = 125 rublos
Problema 9... El 35% de las ciruelas secas provienen de ciruelas frescas. ¿Cuántas ciruelas frescas necesitas tomar para obtener 140 kg de ciruelas secas? ¿Cuántas ciruelas secas se obtendrán de 600 kg de ciruelas frescas?
Solución
Expresamos 35% como fracción decimal y encontramos el número desconocido de esta fracción:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Para obtener 140 kg de ciruelas secas, debe tomar 400 kg de ciruelas frescas.
Respondamos a la segunda pregunta del problema: ¿cuántas ciruelas secas resultarán de 600 kg de frescas? Si el 35% de las ciruelas secas salen de ciruelas frescas, entonces basta con encontrar este 35% de 600 kg de ciruelas frescas
600 × 0,35 = 210 kg
Respuesta: para obtener 140 kg de ciruelas secas, es necesario tomar 400 kg de ciruelas frescas. De 600 kg de ciruelas frescas, resultarán 210 kg de ciruelas secas.
Problema 10... La asimilación de grasas por el cuerpo humano es del 95%. Durante el mes, el alumno consumió 1,2 kg de grasa. ¿Cuánta grasa puede absorber su cuerpo?
Solución
Convertir 1.2 kg a gramos
1,2 × 1000 = 1200g
Calcula el 95% de 1200 g
1200 x 0,95 = 1140 g
Respuesta: El cuerpo del alumno puede absorber 1140 g de grasa.
Expresar números como porcentajes
El porcentaje, como se mencionó anteriormente, se puede representar como una fracción decimal. Para ello, basta con dividir el número de estos porcentajes por 100. Por ejemplo, representamos el 12% como fracción decimal:
Comentario. Ahora no encontramos un porcentaje de algo, simplemente lo escribimos como una fracción decimal..
Pero el proceso inverso también es posible. La fracción decimal se puede representar como porcentaje. Para hacer esto, necesita multiplicar esta fracción por 100 y poner un signo de porcentaje (%)
Reescribir el decimal 0.12 como porcentaje
0,12 x 100 = 12%
Esta acción se llama como porcentaje o expresar números en centésimas.
La multiplicación y la división son operaciones inversas. Por ejemplo, si 2 × 5 = 10, entonces 10: 5 = 2
Del mismo modo, la división se puede escribir en orden inverso. Si 10: 5 = 2, entonces 2 × 5 = 10:
Lo mismo sucede cuando expresamos la fracción decimal como porcentaje. Entonces, el 12% se expresó como una fracción decimal de la siguiente manera: 12: 100 = 0.12, pero luego el mismo 12% se “devolvió” usando la multiplicación, escribiendo la expresión 0.12 × 100 = 12%.
Del mismo modo, puede expresar como porcentaje cualquier otro número, incluidos los números enteros. Por ejemplo, expresemos el número 3 como un porcentaje. Multiplique este número por 100 y agregue un signo de porcentaje al resultado:
3 × 100 = 300%
Grandes porcentajes como el 300% pueden resultar confusos al principio, ya que la gente está acostumbrada a contar el 100% como máximo. A partir de información adicional sobre fracciones, sabemos que un objeto completo se puede denotar por uno. Por ejemplo, si hay un pastel entero sin cortar, entonces se puede denotar con 1
La misma torta puede denominarse torta 100%. En este caso, tanto el 1 como el 100% significarán el mismo pastel completo:
Corta el bizcocho por la mitad. En este caso, uno se convertirá en un número decimal 0.5 (ya que es la mitad de uno), y el 100% se convertirá en un 50% (ya que 50 es la mitad de cien)
Regresemos todo el pastel, una unidad y el 100%
Dibujemos dos pasteles más con las mismas designaciones:
Si un pastel es una unidad, entonces tres pasteles son tres unidades. Cada pastel está cien por ciento entero. Si suma estos trescientos, obtiene el 300%.
Por lo tanto, al convertir números enteros en porcentajes, multiplicamos estos números por 100.
Tarea 2... Expresa el número 5 como porcentaje.
5 × 100 = 500%
Problema 3... Expresa el número 7 como porcentaje.
7 × 100 = 700%
Problema 4... Expresa el número 7.5 como porcentaje
7.5 × 100 = 750%
Problema 5... Expresa el número 0.5 como porcentaje
0.5 × 100 = 50%
Problema 6... Expresa el número 0.9 como porcentaje
0,9 × 100 = 90%
Ejemplo 7... Expresa el número 1.5 como porcentaje
1,5 × 100 = 150%
Ejemplo 8... Expresa el número 2.8 como porcentaje
2.8 × 100 = 280%
Problema 9... George camina a casa desde la escuela. Durante los primeros quince minutos, recorrió 0,75 caminos. El resto del tiempo, cubrió los 0,25 caminos restantes. Exprese como porcentaje las partes del camino que ha recorrido George.
Solución
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Problema 10... John recibió media manzana. Exprese esta mitad como porcentaje.
Solución
La mitad de una manzana se escribe como una fracción de 0,5. Para expresar esta fracción como porcentaje, multiplíquela por 100 y agregue un signo de porcentaje al resultado.
0.5 × 100 = 50%
Análogos fraccionales
El valor, expresado como porcentaje, tiene su contraparte en forma de fracción regular. Entonces, un análogo del 50% es una fracción. El cincuenta por ciento también se puede llamar la mitad.
El análogo del 25% es una fracción. El veinticinco por ciento también se puede llamar un cuarto.
El análogo del 20% es una fracción. El veinte por ciento también se puede llamar un quinto.
El análogo del 40% es una fracción.
El análogo del 60% es la fracción
Ejemplo 1... Cinco centímetros es el 50% de un decímetro, o solo la mitad. En todos los casos, estamos hablando del mismo valor: cinco centímetros de cada diez
Ejemplo 2... Dos centímetros y medio es el 25% de un decímetro, o solo un cuarto
Ejemplo 3... Dos centímetros es el 20% de un decímetro o
Ejemplo 4... Cuatro centímetros es el 40% de un decímetro o
Ejemplo 5... Seis centímetros es el 60% de un decímetro o
Disminución y aumento de interés
Al aumentar o disminuir el valor, expresado en porcentaje, se utiliza la preposición "on".
Ejemplos de:
- Aumentar en un 50% significa aumentar el valor en 1,5 veces;
- Aumentar en un 100%: significa aumentar el valor en 2 veces;
- Aumentar en un 200% significa aumentar en 3 veces;
- Disminuir en un 50%: significa disminuir el valor en 2 veces;
- Reducir en un 80% significa reducir en 5 veces.
Ejemplo 1... Se han aumentado diez centímetros en un 50%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?
Para resolver estos problemas, debe tomar el valor inicial como 100%. El valor inicial es de 10 cm. El 50% de ellos es de 5 cm.
Los 10 cm originales se incrementaron en un 50% (en 5 cm), lo que significa que resultó 10 + 5 cm, es decir, 15 cm
Un análogo de aumentar diez centímetros en un 50% es un multiplicador de 1,5. Si multiplicas 10 cm por él, obtienes 15 cm.
10 × 1,5 = 15 cm
Por tanto, las expresiones "aumentar en un 50%" y "aumentar en 1,5 veces" dicen lo mismo.
Ejemplo 2... Se han aumentado cinco centímetros en un 100%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?
Tomemos los cinco centímetros originales como 100%. El cien por cien de estos cinco centímetros serán 5 cm ellos mismos, si aumentas 5 cm en los mismos 5 cm, obtienes 10 cm
Un análogo de un aumento de cinco centímetros por 100% es un factor de 2. Si multiplicas 5 cm por él, obtienes 10 cm.
5 × 2 = 10 cm
Por lo tanto, las expresiones "aumentar en un 100%" y "aumentar en 2 veces" significan lo mismo.
Ejemplo 3... Cinco centímetros han aumentado en un 200%. ¿Cuántos centímetros obtuviste?
Tomemos los cinco centímetros originales como 100%. El doscientos por ciento es dos con veintidos veces ciento por ciento. Es decir, el 200% de 5 cm serán 10 cm (5 cm por cada 100%). Si aumentas 5 cm en estos 10 cm, obtienes 15 cm
Un análogo de un aumento de cinco centímetros en un 200% es un factor de 3. Si multiplicas 5 cm por él, obtienes 15 cm.
5 × 3 = 15 cm
Por lo tanto, las expresiones "aumentar en un 200%" y "aumentar en 3 veces" dicen lo mismo.
Ejemplo 4... Diez centímetros se han reducido en un 50%. ¿Cuántos centímetros quedan?
Tomemos los 10 cm originales como 100%. El cincuenta por ciento de 10 cm es 5 cm. Si reduce 10 cm en estos 5 cm, habrá 5 cm
El análogo de reducir diez centímetros en un 50% es el divisor 2. Si divides 10 cm por él, obtienes 5 cm
10: 2 = 5 cm
Por lo tanto, las expresiones "reducir en un 50%" y "reducir en 2 veces" dicen lo mismo.
Ejemplo 5... Diez centímetros se han reducido en un 80%. ¿Cuántos centímetros quedan?
Tomemos los 10 cm originales como 100%. El ochenta por ciento de 10 cm es 8 cm. Si reduce 10 cm en estos 8 cm, tendrá 2 cm
El análogo de reducir diez centímetros en un 80% es el divisor 5. Si divides 10 cm por él, obtienes 2 cm.
10: 5 = 2 cm
Por lo tanto, las expresiones "reducir en un 80%" y "reducir en 5 veces" dicen lo mismo.
Al resolver problemas de porcentajes crecientes y decrecientes, puede multiplicar / dividir el valor por el multiplicador especificado en el problema.
Problema 1... ¿Cuánto ha cambiado el valor como porcentaje, si ha aumentado 1,5 veces?
El valor al que se hace referencia en la tarea se puede designar como 100%. Luego multiplique este 100% por un factor de 1,5
100% × 1,5 = 150%
Ahora, reste el 100% inicial del 150% recibido y obtenga la respuesta al problema:
150% − 100% = 50%
Tarea 2... ¿Cuánto ha cambiado el valor como porcentaje si ha disminuido 4 veces?
Esta vez, el valor disminuirá, por lo que realizaremos una división. El valor al que se hace referencia en el problema se indica como 100%. Luego, divide este 100% entre un divisor de 4
Reste el 25% recibido del 100% inicial y obtenga la respuesta al problema:
100% − 25% = 75%
Esto significa que con una disminución en el valor de 4 veces, disminuyó en un 75%.
Problema 3... ¿Cuánto ha cambiado el valor como porcentaje si ha disminuido 5 veces?
El valor al que se hace referencia en el problema se indica como 100%. Luego, divide este 100% entre el divisor 5
Reste el 20% resultante del 100% inicial y obtenga la respuesta al problema:
100% − 20% = 80%
Esto significa que con una disminución del valor en 5 veces, disminuyó en un 80%.
Problema 4... ¿Cuánto ha cambiado el valor como porcentaje si ha disminuido 10 veces?
El valor al que se hace referencia en el problema se indica como 100%. Luego, divide este 100% por un divisor de 10
Reste el 10% recibido del 100% inicial y obtenga la respuesta al problema:
100% − 10% = 90%
Esto significa que con una disminución del valor en 10 veces, disminuyó en un 90%.
El problema de encontrar el porcentaje
Para expresar algo como porcentaje, primero debes escribir una fracción que muestre cuánto es el primer número del segundo, luego dividir en esta fracción y expresar el resultado como porcentaje.
Por ejemplo, digamos que hay cinco manzanas. En este caso, dos manzanas son rojas, tres son verdes. Expresemos las manzanas rojas y verdes como porcentaje.
Primero necesitas averiguar qué parte son las manzanas rojas. Hay cinco manzanas en total y dos rojas. Esto significa que dos de cada cinco o dos quintos son manzanas rojas:
Hay tres manzanas verdes. Esto significa que tres de cada cinco o tres quintos son manzanas verdes:
Tenemos dos fracciones y. Dividamos en estas fracciones
Tenemos decimales 0.4 y 0.6. Ahora expresemos estas fracciones decimales como porcentaje:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Esto significa que el 40% son manzanas rojas, el 60% son verdes.
Y las cinco manzanas son 40% + 60%, es decir, 100%
Tarea 2... La madre le dio a dos hijos 200 rublos. Mamá le dio al hermano menor 80 rublos y al mayor 120 rublos. Exprese como porcentaje el dinero entregado a cada hermano.
Solución
El hermano menor recibió 80 rublos de 200 rublos. Escribimos la fracción ochenta y dos centésimas:
El hermano mayor recibió 120 rublos de 200 rublos. Escribimos la fracción ciento veintidós centésimas:
Tenemos fracciones y. Dividamos en estas fracciones
Expresemos los resultados obtenidos como porcentaje:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Esto significa que el hermano menor recibió el 40% del dinero y el hermano mayor recibió el 60%.
Algunas fracciones, que muestran cuánto es el primer número del segundo, se pueden abreviar.
Entonces las fracciones podrían reducirse. A partir de esto, la respuesta al problema no cambiaría:
Problema 3... El presupuesto de la familia es de 75 mil rublos al mes. De estos, 52,5 mil rublos. - dinero ganado por papá. 22,5 mil rublos - dinero ganado por mamá. Exprese como porcentaje del dinero que ganaron mamá y papá.
Solución
Esta tarea, como la anterior, es la tarea de encontrar el porcentaje.
Expresemos como porcentaje el dinero que ganó papá. Ganó 52,5 mil rublos de 75 mil rublos.
Dividamos en esta fracción:
0,7 × 100 = 70%
Esto significa que papá ganó el 70% del dinero. Además, es fácil adivinar que la madre ganó el 30% restante del dinero. Después de todo, 75 mil rublos es el 100% del dinero. Para estar seguro, haremos una verificación. Mamá ganó 22,5 mil rublos. desde 75 mil rublos. Escribimos la fracción, realizamos la división y expresamos el resultado como porcentaje:
Problema 4... El alumno está practicando haciendo dominadas en la barra. El mes pasado, pudo hacer 8 dominadas por serie. Este mes, puede hacer 10 dominadas por serie. ¿En qué porcentaje aumentó el número de dominadas?
Solución
Averigüe cuántas dominadas más hace el estudiante en el mes actual que en el pasado.
Descubre qué son las dominadas de la segunda parte de ocho dominadas. Para hacer esto, encontramos la razón de 2 a 8
Dividamos en esta fracción
Expresemos el resultado como porcentaje:
0,25 × 100 = 25%
Esto significa que el alumno ha aumentado el número de dominadas en un 25%.
Este problema se puede resolver con el segundo método más rápido: averigüe cuántas veces 10 dominadas son más que 8 dominadas y exprese el resultado como un porcentaje.
Para saber cuántas veces diez dominadas son más que ocho dominadas, necesita encontrar una proporción de 10 a 8
Divide la fracción resultante
Expresemos el resultado como porcentaje:
1,25 × 100 = 125%
La tasa de pull-up este mes es del 125%. Esta declaración debe entenderse exactamente como "Es 125%", no como "El indicador aumentó en un 125%"... Estas son dos declaraciones diferentes que expresan cantidades diferentes.
La afirmación "es 125%" debe entenderse como "ocho dominadas, que son 100% más dos dominadas, que son el 25% de las ocho dominadas". Gráficamente, se ve así:
Y el dicho "incrementado en un 125%" debe entenderse como "a las ocho dominadas actuales, que fueron 100%, se agregó otro 100% (8 dominadas más) más otro 25% (2 dominadas). " Se obtienen un total de 18 dominadas.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 dominadas
Gráficamente, esta declaración se ve así:
Con todo, resulta ser del 225%. Si encontramos el 225% de ocho dominadas, obtenemos 18 dominadas.
8 × 2,25 = 18.
Problema 5... El mes pasado, el salario fue de 19,2 mil rublos. En el mes en curso, ascendió a 20,16 mil rublos. ¿Cuánto aumentó el salario?
Este problema, como el anterior, se puede solucionar de dos formas. La primera es averiguar primero cuántos rublos ha aumentado el salario. A continuación, averigüe qué parte de este aumento es del salario del último mes
Descubra cuántos rublos ha aumentado el salario:
20,16 - 19,2 = 0,96 mil rublos.
Averigüe qué parte de 0,96 mil rublos. oscila entre 19,2. Para hacer esto, encontramos la razón de 0.96 a 19.2
Realicemos la división en la fracción resultante. En el camino, recuerda:
Expresemos el resultado como porcentaje:
0,05 × 100 = 5%
Esto significa que el salario se ha incrementado en un 5%.
Resolvamos el problema de la segunda forma. Averigüe cuántas veces 20,16 mil rublos. más de 19,2 mil rublos. Para hacer esto, encontramos la razón de 20.16 a 19.2
Realicemos la división en la fracción resultante:
Expresemos el resultado como porcentaje:
1,05 × 100 = 105%
El salario es del 105%. Es decir, esto incluye el 100%, que ascendió a 19,2 mil rublos, más el 5%, que es 0,96 mil rublos.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Problema 6... El precio de una computadora portátil ha subido un 5% este mes. ¿Cuál es su precio si el mes pasado costó 18,3 mil rublos?
Solución
Hallar el 5% de 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Agregue este 5% a 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 mil rublos.
Respuesta: el precio de una computadora portátil es de 19.215 mil rublos.
Problema 7... El precio de una computadora portátil ha bajado un 10% este mes. ¿Cuál es su precio si el mes pasado costó 16,3 mil rublos?
Solución
Calcula el 10% de 16,3:
16,3 x 0,10 = 1,63
Reste este 10% de 16,3:
16,3 - 1,63 = 14,67 (mil rublos)
Se pueden escribir tareas similares brevemente:
16,3 - (16,3 × 0,10) = 14,67 (miles de rublos)
Respuesta: el precio de una computadora portátil es de 14.67 mil rublos.
Problema 8... El mes pasado, el precio de una computadora portátil fue de 21 mil rublos. Este mes el precio ha subido a 22,05 mil rublos. ¿Cuánto ha aumentado el precio?
Solución
Determinar cuánto rublos ha aumentado el precio.
22.05 - 21 = 1.05 (mil rublos)
Averigüe qué parte de 1.05 mil rublos. es de 21 mil rublos.
Expresa el resultado como porcentaje
0,05 × 100 = 5%
Respuesta: el precio de la computadora portátil aumentó en un 5%
Problema 8... El trabajador tenía que fabricar 600 piezas según el plan y 900 piezas. ¿En qué porcentaje ha cumplido el plan?
Solución
Averiguamos cuántas veces 900 piezas son más de 600 piezas. Para hacer esto, encontramos la razón de 900 a 600
El valor de esta fracción es 1,5. Expresemos este valor como un porcentaje:
1,5 × 100 = 150%
Esto significa que el trabajador cumplió con el plan en un 150%. Es decir, lo completó al 100%, habiendo producido 600 piezas. Luego hizo otras 300 piezas, que es el 50% del plan original.
Respuesta: el trabajador cumplió el plan en un 150%.
Comparación de porcentaje
Hemos comparado valores muchas veces de diferentes formas. Nuestra primera herramienta marcó la diferencia. Entonces, por ejemplo, para comparar 5 rublos y 3 rublos, anotamos la diferencia 5-3. Habiendo recibido la respuesta 2, se podría decir que "cinco rublos es más que tres rublos por dos rublos".
La respuesta obtenida como resultado de la resta en la vida cotidiana no se llama "diferencia", sino "diferencia".
Entonces, la diferencia entre cinco y tres rublos es de dos rublos.
La siguiente herramienta que usamos para comparar valores fue la razón. La razón nos permitió averiguar cuántas veces el primer número es mayor que el segundo (o cuántas veces el primer número contiene el segundo).
Entonces, por ejemplo, diez manzanas son cinco veces más que dos manzanas. O dicho de otra manera, diez manzanas contienen dos manzanas cinco veces. Esta comparación se puede escribir usando la relación
Pero los valores también se pueden comparar en porcentajes. Por ejemplo, para comparar el precio de dos bienes no en rublos, pero para estimar cuánto el precio de un bien es mayor o menor que el precio del otro en porcentaje.
Para comparar los valores en porcentaje, uno de ellos debe designarse como 100% y el segundo en función de las condiciones del problema.
Por ejemplo, averigüemos cuánto por ciento diez manzanas son más que ocho manzanas.
Para el 100%, debe designar el valor con el que comparamos algo. Comparamos 10 manzanas con 8 manzanas. Entonces, para el 100% designamos 8 manzanas:
Ahora nuestra tarea es comparar en qué porcentaje son más 10 manzanas que estas 8 manzanas. 10 manzanas son 8 + 2 manzanas. Esto significa que al agregar dos manzanas más a ocho manzanas, aumentaremos el 100% en una cierta cantidad de por ciento. Para averiguar cuál, determinemos cuánto por ciento de ocho manzanas son dos manzanas.
Al agregar este 25% a ocho manzanas, obtenemos 10 manzanas. Y 10 manzanas son 8 + 2, es decir, 100% y otro 25%. En total, obtenemos 125%
Esto significa que diez manzanas son más de ocho manzanas en un 25%.
Ahora resolvamos el problema inverso. Averigüemos cuánto por ciento ocho manzanas son menos de diez manzanas. La respuesta se sugiere de inmediato que ocho manzanas son un 25% menos. Sin embargo, no lo es.
Comparamos ocho manzanas con diez manzanas. Acordamos que al 100% tomaremos lo que comparamos. Por tanto, esta vez tomamos 10 manzanas al 100%:
Ocho manzanas es 10-2, es decir, al disminuir 10 manzanas en 2 manzanas, las disminuiremos en una cierta cantidad de porcentaje. Para averiguar cuál, determinemos cuánto por ciento de diez manzanas son dos manzanas
Restando este 20% de diez manzanas, obtenemos 8 manzanas. Y 8 manzanas son 10−2, es decir, 100% y menos 20%. En total, obtenemos el 80%
Esto significa que ocho manzanas son menos de diez manzanas en un 20%.
Tarea 2... ¿En qué porcentaje 5000 rublos son más de 4000 rublos?
Solución
Tomemos 4000 rublos por 100%. 5 mil más de 4 mil por mil. Esto significa que al aumentar cuatro mil por mil, aumentaremos cuatro mil en una cierta cantidad de porcentaje. Averigüemos cuál. Para hacer esto, determinemos qué parte mil es de cuatro mil:
Expresemos el resultado como porcentaje:
0,25 × 100 = 25%
1000 rublos de 4000 rublos son 25%. Si agrega este 25% a 4000, obtiene 5000 rublos. Esto significa que 5000 rublos es un 25% más que 4000 rublos.
Problema 3... ¿Cuánto por ciento son 4000 rublos menos que 5000 rublos?
Esta vez comparamos 4000 con 5000. Tomemos 5000 como 100%. Cinco mil son más de cuatro mil por mil rublos. Averigüe qué parte mil es de cinco mil
Mil de cinco mil es el 20%. Si restamos este 20% a 5.000 rublos, obtenemos 4.000 rublos.
Esto significa que 4000 rublos es menos de 5000 rublos en un 20%.
Problemas de concentración, aleaciones y mezclas.
Digamos que hay ganas de hacer algún tipo de jugo. Tenemos agua y sirope de frambuesa a nuestra disposición
Vierta 200 ml de agua en un vaso:
Agregue 50 ml de sirope de frambuesa y revuelva el líquido resultante. Como resultado, obtenemos 250 ml de jugo de frambuesa. (200 ml de agua + 50 ml de jarabe = 250 ml de jugo)
¿Cuánto del jugo resultante es jarabe de frambuesa?
El jarabe de frambuesa constituye el jugo. Calculamos esta razón, obtenemos el número 0.20. Este número muestra la cantidad de jarabe disuelto en el jugo resultante. Llamemos a este número concentración de jarabe.
La concentración de un soluto es la relación entre la cantidad de soluto o su masa y el volumen de una solución.
La concentración generalmente se expresa como porcentaje. Expresemos la concentración del jarabe como porcentaje:
0,20 × 100 = 20%
Por lo tanto, la concentración de almíbar en el jugo de frambuesa es del 20%.
Las sustancias en solución pueden ser heterogéneas. Por ejemplo, mezcle 3 litros de agua y 200 g de sal.
La masa de 1 litro de agua es 1 kg. Entonces la masa de 3 litros de agua será de 3 kg. Traducimos 3 kg a gramos, obtenemos 3 kg = 3000 g.
Ahora ponga 200 g de sal en 3000 g de agua y mezcle el líquido resultante. El resultado es una solución salina, cuya masa total será 3000 + 200, es decir, 3200 g. Encontremos la concentración de sal en la solución resultante. Para hacer esto, encontramos la relación entre la masa de la sal disuelta y la masa de la solución.
Esto significa que al mezclar 3 litros de agua y 200 g de sal, se obtiene una solución salina al 6.25%.
De manera similar, se puede determinar la cantidad de sustancia en la aleación o en la mezcla. Por ejemplo, la aleación contiene estaño con una masa de 210 gy plata con una masa de 90 g. Entonces la masa de la aleación será 210 + 90, es decir, 300 g. La aleación contendrá estaño y plata. El porcentaje de estaño será del 70% y de plata del 30%.
Cuando se mezclan dos soluciones, se obtiene una nueva solución, que consta de la primera y la segunda solución. Una nueva solución puede tener una concentración diferente de la sustancia. Una habilidad útil es la capacidad para resolver problemas de concentración, aleaciones y mezclas. En general, el significado de tales tareas es rastrear los cambios que ocurren cuando se mezclan soluciones de diferentes concentraciones.
Mezcle dos jugos de frambuesa. Los primeros 250 ml de zumo contienen un 12,8% de jarabe de frambuesa. Y el segundo jugo con un volumen de 300 ml contiene un 15% de jarabe de frambuesa. Vierta estos dos jugos en un vaso grande y mezcle. Como resultado, obtenemos un nuevo jugo de 550 ml.
Ahora determinemos la concentración de almíbar en el jugo resultante. El primer jugo escurrido con un volumen de 250 ml contenía 12,8% de jarabe. Y el 12,8% de 250 ml son 32 ml. Esto significa que el primer jugo contenía 32 ml de almíbar.
El segundo jugo escurrido con un volumen de 300 ml contenía un 15% de jarabe. Y el 15% de 300 ml son 45 ml. Esto significa que el segundo jugo contenía 45 ml de almíbar.
Agreguemos las cantidades de jarabes:
32 ml + 45 ml = 77 ml
Estos 77 ml de almíbar están contenidos en el nuevo jugo, que tiene un volumen de 550 ml. Determinamos la concentración de almíbar en este jugo. Para hacer esto, encontramos la relación de 77 ml de jarabe disuelto al volumen de jugo de 550 ml:
Esto significa que al mezclar zumo de frambuesa al 12,8% con un volumen de 250 ml y zumo de frambuesa al 15% con un volumen de 300 ml, se obtiene zumo de frambuesa al 14% con un volumen de 550 ml.
Problema 1... Hay 3 soluciones de sal marina en agua: la primera solución contiene 10% de sal, la segunda contiene 15% de sal y la tercera contiene 20% de sal. Mezclar 130 ml de la primera solución, 200 ml de la segunda solución y 170 ml de la tercera solución. Determine el porcentaje de sal marina en la solución resultante.
Solución
Determine el volumen de la solución resultante:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Dado que la primera solución contenía 130 × 0,10 = 13 ml de sal marina, en la segunda solución 200 × 0,15 = 30 ml de sal marina, y en la tercera - 170 × 0,20 = 34 ml de sal marina, la solución resultante contendrá 13 + 30 + 34 = 77 ml de sal marina.
Determinamos la concentración de sal marina en la solución resultante. Para hacer esto, encontramos la proporción de 77 ml de sal marina al volumen de una solución de 500 ml.
Esto significa que la solución resultante contiene un 15,4% de sal marina.
Tarea 2... ¿Cuántos gramos de agua se deben agregar a una solución de 50 g que contiene un 8% de sal para obtener una solución al 5%?
Solución
Tenga en cuenta que si agrega agua a la solución existente, la cantidad de sal que contiene no cambiará. Solo cambiará su porcentaje, ya que la adición de agua a la solución provocará un cambio en su masa.
Necesitamos agregar tal cantidad de agua que el ocho por ciento de la sal se convierta en cinco por ciento.
Determina cuántos gramos de sal hay en 50 g de solución. Para esto encontramos el 8% de 50
50 g × 0.08 = 4 g
El 8% de 50 g son 4 g, es decir, para ocho partes de cien, hay 4 gramos de sal. Asegurémonos de que estos 4 gramos no estén en ocho partes, sino en cinco partes, es decir, 5%
4 gramos - 5%
Ahora, sabiendo que hay 4 gramos por solución al 5%, podemos encontrar la masa de la solución completa. Para esto necesitas:
4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g
80 gramos de solución es la masa a la que estarán 4 gramos de sal en una solución al 5%. Y para obtener estos 80 gramos, debe agregar 30 gramos de agua a los 50 gramos originales.
Esto significa que para obtener una solución salina al 5%, debe agregar 30 g de agua a la solución existente.
Tarea 2... Las uvas contienen un 91% de humedad y las pasas un 7%. ¿Cuántos kilogramos de uvas se necesitan para obtener 21 kilogramos de pasas?
Solución
Las uvas están compuestas de humedad y sustancia pura. Si las uvas frescas contienen 91% de humedad, entonces el 9% restante será la sustancia pura de estas uvas:
Las pasas contienen 93% de sustancia pura y 7% de humedad:
Tenga en cuenta que en el proceso de convertir las uvas en pasas, solo desaparece la humedad de estas uvas. La sustancia pura permanece sin cambios. Después de que las uvas se conviertan en pasas, las pasas resultantes tendrán un 7% de humedad y un 93% de sustancia pura.
Determinamos cuánta sustancia pura hay en 21 kg de pasas. Para esto encontramos el 93% de 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Ahora volvamos a la primera imagen. Nuestra tarea era determinar cuántas uvas se necesitaban para obtener 21 kg de pasas. La sustancia pura que pesa 19,53 kg supondrá el 9% de las uvas:
Ahora, sabiendo que el 9% de la sustancia pura son 19,53 kg, podemos determinar cuántas uvas se necesitan para obtener 21 kg de pasas. Para hacer esto, necesita encontrar el número por su porcentaje:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
Esto significa que para obtener 21 kg de pasas, es necesario tomar 217 kg de uvas.
Problema 3... En la aleación de estaño y cobre, el cobre es del 85%. ¿Cuánta aleación se debe tomar para contener 4,5 kg de estaño?
Solución
Si la aleación contiene un 85% de cobre, el 15% restante será estaño:
La pregunta es cuánta aleación debe tomarse para que contenga 4,5 estaño. Dado que la aleación contiene un 15% de estaño, 4,5 kg de estaño representarán este 15%.
Y sabiendo que 4,5 kg de aleación son 15%, podemos determinar la masa de toda la aleación. Para hacer esto, necesita encontrar el número por su porcentaje:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
Esto significa que debe tomar 30 kg de la aleación para que contenga 4,5 kg de estaño.
Problema 4... Se mezcló una cierta cantidad de una solución de ácido clorhídrico al 12% con la misma cantidad de una solución al 20% del mismo ácido. Encuentre la concentración del ácido clorhídrico resultante.
Solución
Representemos la primera solución en forma de línea recta en la figura y seleccionemos 12% en ella
Dado que el número de soluciones es el mismo, puede dibujar la misma figura a su lado, ilustrando la segunda solución con un contenido de ácido clorhídrico del 20%.
Obtuvimos doscientas partes de la solución (100% + 100%), treinta y dos partes de las cuales son ácido clorhídrico (12% + 20%)
Determine qué parte 32 partes son de 200 partes
Esto significa que al mezclar una solución al 12% de ácido clorhídrico con la misma cantidad de una solución al 20% del mismo ácido, se obtendrá una solución al 16% de ácido clorhídrico.
Para comprobarlo, imaginemos que la masa de la primera solución fuera de 2 kg. La masa de la segunda solución también será de 2 kg. Luego, cuando se mezclan estas soluciones, se obtendrán 4 kg de solución. En la primera solución de ácido clorhídrico había 2 × 0,12 = 0,24 kg, y en la segunda - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Luego, en una nueva solución de ácido clorhídrico habrá 0.24 + 0.40 = 0.64 kg. La concentración de ácido clorhídrico será del 16%.
Tareas para una solución independiente
en adelante, encontraremos el 60% del número
Ahora aumentaremos el número en el 60% encontrado, es decir por el numero
Respuesta: el nuevo valor es
Problema 12. Responda las siguientes preguntas:
1) Gastó el 80% de la cantidad. ¿Cuánto porcentaje de esta cantidad queda?
2) Los hombres constituyen el 75% de todos los trabajadores de las fábricas. ¿Qué porcentaje de los trabajadores de la planta son mujeres?
3) Las niñas constituyen el 40% de la clase. ¿Qué porcentaje de la clase son niños?
A Solución
Usemos una variable. Permitir PAG este es el número original al que se hace referencia en el problema. Tomemos este número inicial PAG por 100%
Reducir este número original PAG en un 50%
El nuevo número es ahora el 50% del número original. Averigüe cuántas veces el número original PAG más que el nuevo número. Para hacer esto, encontramos la proporción de 100% a 50%
El número original es el doble del nuevo. Esto se puede ver incluso en la imagen. Y para que el nuevo número sea igual al original, debe duplicarlo. Y duplicar el número significa aumentarlo en un 100%.
Esto significa que el nuevo número, que es la mitad del número original, debe aumentarse en un 100%.
Considerando el nuevo número, también se toma como 100%. Entonces, en la figura anterior, el nuevo número es la mitad del número original y está firmado como 50%. En relación con el número original, el nuevo número es la mitad. Pero si lo consideramos por separado del original, debe tomarse como 100%.
Por lo tanto, en la figura, el nuevo número, que se representa como una línea, se designó inicialmente como 50%. Pero luego designamos este número como 100%.
Respuesta: para obtener el número original, el nuevo número debe incrementarse en un 100%.
Problema 16. El mes pasado ocurrieron 15 accidentes en la ciudad.
Este mes, este indicador ha bajado a 6. ¿En qué porcentaje ha disminuido el número de accidentes?
Solución
Hubo 15 accidentes el mes pasado. Este mes 6. Esto significa que el número de accidentes disminuyó en 9.
Tomemos 15 accidentes como 100%. Al reducir 15 accidentes en 9, los reduciremos en un cierto porcentaje. Para saber cuál, averiguamos qué parte de los 9 accidentes es de 15 accidentes
Respuesta: la concentración de la solución resultante es del 12%.
Problema 18. Se mezcló una cierta cantidad de una solución al 11% de una determinada sustancia con la misma cantidad de una solución al 19% de la misma sustancia. Encuentre la concentración de la solución resultante.
Solución
La masa de ambas soluciones es la misma. Cada solución se puede tomar al 100%. Después de agregar las soluciones, obtiene una solución al 200%. La primera solución contenía el 11% de la sustancia y la segunda el 19% de la sustancia. Luego, en la solución al 200% resultante habrá 11% + 19% = 30% de la sustancia.
Determine la concentración de la solución resultante. Para hacer esto, averiguamos qué parte treinta partes de una sustancia se componen de doscientas partes de una sustancia:
1,10. Esto significa que el precio del primer mes se convertirá en 1,10.
En el segundo mes, el precio también aumentó un 10%. Agregue el diez por ciento de este precio al precio actual de 1.10, obtenemos 1.10 + 0,10 x 1,10. Esta suma es igual a la expresión 1.21 . Esto significa que el precio del segundo mes se convertirá en 1,21.
En el tercer mes, el precio también aumentó un 10%. Agregue al precio actual 1.21 diez por ciento de este precio, obtenemos 1.21 + 0,10 x 1,21. Esta suma es igual a 1.331 . Entonces, el precio del tercer mes se convertirá en 1.331.
Calculemos la diferencia entre los precios nuevos y antiguos. Si el precio original era 1, entonces aumentó en 1.331 - 1 = 0.331. Exprese este resultado como un porcentaje, obtenemos 0.331 × 100 = 33.1%
Respuesta: durante 3 meses los precios de los alimentos aumentaron un 33,1%.
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El dinero está tan firmemente arraigado en nuestras vidas que todos, independientemente de la edad, el género y la forma de obtener ingresos, de vez en cuando nos encontramos en una situación en la que nos vemos obligados a tomar decisiones que requieren cálculos financieros. Y luego depende de nuestra capacidad para operar con categorías financieras específicas qué tan rentable será la opción que hemos elegido. En este artículo, veremos las principales categorías de matemáticas financieras y le mostraremos cómo usarlas para tomar las decisiones correctas en una amplia variedad de situaciones.
Interesar. Interés compuesto. Capitalización de intereses (Compaunding)
Los intereses son los ingresos recibidos como pago por prestar dinero en cualquier forma. Los porcentajes se pueden expresar en términos absolutos y relativos. La forma absoluta es una cantidad específica para un período específico. Relativo: en forma de tasa de interés vinculada a un período específico (año, mes o día). Para calcular el (los) monto (S) devengado, por lo que nos referimos al monto de capital más los intereses devengados, debe utilizar la siguiente fórmula:
(1) S = P * (1 + i * n),
donde P es la cantidad sobre la que se devengan los intereses, i es la tasa de interés, N es el número de períodos de acumulación.
Ejemplo
Le diste a tu amigo un préstamo de $ 10,000 por 3 meses, bajo los términos de los cuales él promete pagarte el 2% mensual. Es necesario calcular la cantidad que recibirá al final del plazo del préstamo. Obtenemos 10,000 * (1 + 2% * 3) = 10,600 $.
A menudo es posible afrontar una situación en la que no se pagan intereses, sino que se suman al monto invertido y, a partir de un nuevo período, se realiza el devengo sobre el monto, teniendo en cuenta el interés previamente agregado. Dicho interés se llama complejo y el proceso de calcular el interés sobre el interés se denomina capitalización del interés. En el caso del interés compuesto, el importe devengado se calcula de forma diferente:
(2) S = P * (1 + i) ^ n,
donde el significado de las letras es el mismo que en la fórmula anterior, y el signo "^" significa exponenciación.
¿Cuál es la diferencia entre interés compuesto y simple? Si el crecimiento del interés simple ocurre linealmente (en la misma cantidad en cada período), entonces el interés compuesto crece exponencialmente (en cada período subsiguiente, la cantidad de interés es mayor que el anterior). Debido a este efecto, la cantidad colocada a interés compuesto durante un período prolongado excede muchas veces el crecimiento de la cantidad colocada a interés simple. A continuación se muestran los resultados del crecimiento del depósito (6% anual) con interés simple y compuesto. Si al principio la diferencia sigue siendo pequeña, luego se alcanza un valor crítico. Entonces, durante 80 años, un depósito con un interés simple alcanzará $ 58,000, mientras que un depósito con uno complejo, $ 1,057,960.
En la práctica, a menudo existe una práctica en la que el período para calcular el interés difiere de un número entero. En tal situación, la fórmula para calcular el monto acumulado con un porcentaje simple toma la forma:
(3) S = P * (1 + i * d / 365),
donde d es el período de devengo de intereses, expresado en días.
También hay situaciones en las que la tasa de interés se expresa en términos anuales, pero los intereses se devengan mensualmente. En tales casos, la fórmula para calcular el monto acumulado (como regla, en este caso, se usa interés compuesto) se verá así:
(4) S = P * (1 + yo / m) ^ (n * m),
donde m es el número de períodos de cálculo de intereses dentro de un período (generalmente se usa 12 para el número de meses en un año).
Y finalmente, observemos que independientemente del tipo de interés, todas las fórmulas para calcular el monto devengado se pueden reducir a una forma general:
(5) S = P * k,
donde k es el coeficiente de devengo, que se calcula de diversas formas, según el tipo de interés utilizado. Esta conclusión facilitará enormemente nuestra comprensión de las operaciones matemáticas posteriores.
El descuento y su esencia
El concepto de interés, que discutimos anteriormente, refleja el valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, debido a que el dinero que poseemos hoy puede traernos un ingreso mañana como resultado de su colocación en un cierto porcentaje, los recibos de efectivo futuros tienen un valor presente menor. Una operación matemática llamada descuento se basa en este principio. Descontar significa llevar los pagos futuros al valor presente y, en su significado, es una operación inversa al devengo de intereses. Es decir, el descuento considera los pagos futuros como un monto acumulado (S) y la tarea del inversionista es calcular su valor presente (P) con base en la tasa de interés disponible para él (i). Dependiendo del tipo de interés, la fórmula de descuento se verá así: o
(6) P = S / (1 + i * n)
(7) P = S / (1 + i)^ n
La tarea de descontar es mostrarnos cuánto dinero vamos a recibir en el futuro vale hoy, para no pagar de más por pagos futuros en términos de la alternativa de inversión disponible para nosotros. Echemos un vistazo a algunas operaciones comunes que utilizan el descuento.
Adquisición de un flujo de pagos futuros (transacciones contables)
Se propone la compra de un bono con un valor nominal de $ 1000 con una tasa de interés del 6% anual, el interés que se paga trimestralmente y el rescate, al final del año. La tarea es calcular el valor presente del pasivo con base en la tasa de descuento 15% anualmente.
Solución
Calculemos los ingresos por intereses trimestrales y construyamosen un programa Sobresalir tabla de flujo de efectivo. Encuentre el valor presente usando la fórmula NPV incorporada. Por lo tanto, a una tasa de descuento del 15% anual, el valor presente de este pasivo financiero es de $ 916.22
Nota
2) En la fórmula del VPN, en lugar de la tasa de interés, colocamos el porcentaje anual dividido por 12
Equivalencia financiera
Las partes acuerdan las condiciones de pago del espacio de oficina. El precio del local es de $ 24.000. El vendedor acepta el pago a plazos en las siguientes condiciones: 8.000$ inmediatamente, el resto en cuotas iguales dentro de 4 meses. Sin embargo, está dispuesto a considerar un plan de pago a plazos más largo si el vendedor le ofrece una gran cantidad por el local que se vende.
Solución
Reflejaremos los términos iniciales del plan de cuotas en forma de tabla en Excel. Simulemos en la misma tabla una oferta con pagos mensuales crecientes, por lo que el precio del local aumentará a $ 24.400. Calculemos el valor presente de cada opción para comparar su equivalencia con base en una tasa de interés igual al 10% anual. El cálculo muestra que la segunda opción, incluso con un precio de compra más alto, es más rentable para el comprador que la primera.
Consolidación de pagos
La consolidación de pagos es una operación para combinar varias obligaciones de pago en un solo pago (S0) en un momento determinado (T0). La peculiaridad de esta operación radica en el hecho de que todos los pagos que se espera que lleguen antes de esta fecha se calculan por acumulación, y los que se esperan después de ella, por descuento. Dependiendo del tipo de interés utilizado, la fórmula de consolidación se ve así:
(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 - Тn))
(9) S = ∑ Pn * (1 + i) ^ (T0 - Ta))
Ejemplo
Abrió un depósito bancario de $ 10,000 durante 12 meses al 10% anual. ¿Cuánto dinero necesita poner en la cuenta durante 14 meses para que después de 3 años tenga $ 15,000 en su cuenta?
Solución
Imaginemos el problema en forma de consolidación de pagos, donde la contribución existente se expresará como un número positivo y el monto esperado en el futuro será negativo. Considerando que el interés se calcula a la tasa de interés compuesta, obtenemos el siguiente cálculo 10,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 - 12,496 = $ -1,264.
Determinación de la tasa interna de rendimiento.
En los negocios y la inversión, a menudo hay situaciones en las que el inversor conoce los pagos futuros y el monto de las inversiones, y necesita calcular la tasa de aumento, a la cual el monto de los pagos futuros, reducido al valor presente, será numéricamente igual a la cantidad de inversiones. El coeficiente de acumulación para el que se cumple esta condición se denomina retorno interno de retorno (TIR). Para calcular la tasa interna de rendimiento, se utiliza la función incorporada del programa Excel: TIR.
Ejemplo
El inversor está considerando una propuesta de inversión, que es una participación de capital en la apertura de una pizzería (ver aquí). Conocemos: a) el monto de la inversión solicitada; b) plan financiero (pronóstico de flujo de caja); c) un esquema de distribución de flujos de efectivo. El resumen de la propuesta de inversión (ver tabla) contiene 6 opciones de rendimiento. Es necesario determinar la rentabilidad total de la propuesta de inversión paracomparación con otras opciones de inversión.
Solución
Construyamos en Excel una tabla de flujos de efectivo que recibirá el inversor de acuerdo con el plan financiero (ver tabla). Calculemos la tasa interna de rendimiento utilizando la fórmula de TIR incorporada, donde indicamos todos los valores de pago, incluida la inversión inicial, como un rango de valores. El valor resultante de la tasa interna de rendimiento (TIR) = 38,47%. Por tanto, el rendimiento total esperado de la propuesta de inversión considerada es del 38,47% anual.
Nota
1) En los períodos en los que no hay pagos, ponga "0".
2) Para obtener la tasa de TIR anual, el valor resultante se multiplica por 12.
Anualidad (renta financiera)
Un flujo de pagos, cuyos componentes son positivos, y los intervalos de tiempo entre los pagos son los mismos, se denomina anualidad o renta financiera. Por ejemplo, una anualidad es una secuencia de recibir intereses sobre un bono, pagos de un préstamo de consumo, contribuciones regulares bajo contratos de seguro de dotación y pago de pensiones. Las anualidades se caracterizan por los siguientes parámetros: 1) el monto de cada pago individual; 2) el intervalo entre pagos; 3) la duración de los pagos (existen anualidades perpetuas); 4) tasa de interés. Debido a la complejidad de la fórmula de cálculo, es mejor utilizar las fórmulas integradas de Excel para calcular los diversos componentes de la anualidad. Consideremos los principales.
Al calcular el préstamo, se utilizan las fórmulas: PMT (calcula el monto de un pago mensual), OSPLT (calcula el monto de reembolso de la deuda principal como parte de un pago mensual específico), PRPLT (calcula el monto de interés como parte de un pago mensual específico).
Ejemplo
Es necesario calcular el pago mensual y elaborar un cronograma de pago del préstamo, el monto de $ 10,000, la tasa de interés es del 20%, el plazo es de 20 meses.
Solución
Para calcular el pago, utilizamos la fórmula PMT. En lugar de la tasa de interés, sustituimos el valor mensual (valor anual dividido por 12), como valor presente indicamos el monto del préstamo, el valor futuro - indicamos 0. Usamos los mismos valores para OSPLT y PRPLT fórmulas, en las que sólo cambia el número ordinal del período. Los valores obtenidos se presentan en forma de tabla:
La misma fórmula de PMT se puede utilizar para calcular las cuotas mensuales para acumular el monto hasta un momento determinado. Para hacer esto, en el lugar del valor presente colocamos el monto del pago inicial y en el lugar del valor futuro, el monto requerido.
Ejemplo
Tienes 25 años. Abrió una cuenta de ahorros para la jubilación con una tasa de interés del 6% anual y depositó sus ahorros por un monto de $ 10,000 en ella. Calcularemos el monto del pago mensual que debe apartar para recibir un monto de $ 100,000 a la edad de 45 años.
Solución
Usamos la función PMT. Indicamos 6% / 12 como tasa de interés, el número de períodos es 20 * 12, el valor presente es $ 10,000, el valor futuro es $ 100,000. En este caso, la fórmula completa se verá así = PAGO (6% / 12; 20 * 12; 10000; 100.000). Obtenemos el monto de una tarifa mensual de $ 288.
Como notó, en los ejemplos anteriores, calculamos el monto del pago mensual, conocíamos otros parámetros de la anualidad. Excel nos permite calcular otros parámetros de la anualidad: valor presente, valor futuro, el número de pagos recurrentes. Echemos un vistazo a cómo funcionan estas fórmulas.
Un ejemplo de cálculo del valor actual.
Al cumplir los 10 años de su hijo, decidió abrir una cuenta de ahorros para ahorrar $ 10,000 en su cumpleaños número 18. ¿Cuál es el pago inicial que debe realizar a esta cuenta si las cuotas mensuales planificadas son de $ 50?
Solución
Usamos la función PS. Como tasa de interés, indicamos 6% / 12, el número de pagos es 8 * 12, el pago periódico es $ 50, el valor futuro es menos $ 10,000. En este caso, la fórmula completa se verá así = PS (6% / 12; 8 * 12; 50; -10000). El valor resultante del pago inicial es de $ 2390.
Nota
Un valor negativo en las fórmulas PS y BS significa "Recibiré", un valor positivo significa "Estoy llorando".
Un ejemplo de cálculo del valor futuro y el número de pagos.
Dos amigos decidieron asegurarse su pensión complementaria. Para hacer esto, cada uno de ellos abrió una cuenta de ahorros con un rendimiento del 6% anual, uno hizo una contribución inicial de $ 3,000 y el segundo, $ 5,000. El primero es 25, el segundo es 30, ambos quieren jubilarse a los 45. Ambos están dispuestos a deducir $ 50 mensuales. Es necesario calcular el monto de sus ahorros para la jubilación y la cantidad de meses que se acumula la pensión de los fondos acumulados, si los pagos de la pensión se planean en la cantidad de $ 150.
Solución
Primero, calculemos la cantidad de ahorros para la pensión. Para ello utilizamos la fórmula BS. En el primer caso, el número de pagos será 20 * 12, en el segundo - 15 * 12, el valor presente en el primer caso es $ 3000, en el segundo - $ 5000, la tasa de interés en ambos casos será 6 % / 12, y el pago periódico - $ 50 ... La fórmula ensamblada en el primer caso se verá como = BS (6% / 12; 20 * 12; 50; 3000), en el segundo = BS (6% / 12; 15 * 12; 50; 5000). En el primer caso, los ahorros de pensiones serán de $ 33,032, en el segundo, $ 26,811. Ahora calculemos el período durante el cual la cantidad acumulada puede proporcionar los pagos de pensión anteriores. Para ello usaremos la función NPER, donde indicamos 6% / 12 como tasa de interés, establecemos $ 150 como monto de pago y sustituimos los valores obtenidos como valor presente. Obtenemos la cantidad en meses: 149 para el primero y 128 para el segundo.
Nota
Un valor negativo en la fórmula indica que recibimos pagos, en caso de que se use la fórmula para calcular los pagos que deben pagarse, el valor resultante será positivo.
La anualidad perpetua (perpetuidad) y el modelo de Gordon
Un caso especial de una anualidad es una secuencia de pagos, cuya duración no se determina condicionalmente y, por lo tanto, esta anualidad se considera eterna. Un ejemplo de anualidad perpetua pueden ser las consolas, un tipo de valores (bonos) sobre los que se cobran intereses de forma indefinida, pero el valor nominal no se reembolsa. En la práctica, estos valores son raros. Un ejemplo más común de anualidad perpetua son los pagos de dividendos, que algunas empresas pagan a sus accionistas durante mucho tiempo. Para calcular el costo de una anualidad perpetua, se utiliza el modelo de Gordon:
(10) S = P * (1 + g) / (r - g) , donde S es el costo de la anualidad, P es el pago actual, g es la tasa de crecimiento del pago actual, r es la tasa de rendimiento.
Las fórmulas anteriores son la lista principal de herramientas para cálculos de varios tipos y le permiten realizar cálculos en relación con cualquier situación. En los comentarios de este artículo, puede describir situaciones que requieren cálculos financieros, y trataré de mostrar cómo el aparato matemático anterior lo ayudará a resolverlas.
Al preparar el artículo, Shirshova E.V., N.I. utilizó materiales del libro de texto "Matemáticas financieras". Petrik, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moscú, ed. Knorus, 2010
Interés por las matemáticas. Tareas de interés.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")
Interés por las matemáticas.
Qué interés en las matemáticas? Cómo resolver tareas de interés? Estas preguntas surgen, por desgracia, de repente ... Cuando un graduado lee la tarea USE. Y lo desconciertan. Pero en vano. Estos son conceptos muy simples.
Lo único que hay que recordar es el hierro: lo que es uno porciento ... Este concepto es llave maestra a resolver problemas con interés ya trabajar con interés en general.
El uno por ciento es la centésima parte de un número ... Y eso es todo. No hay más sabiduría.
Pregunta razonable - y la centésima parte qué fecha ? Pero el número al que se hace referencia en la asignación. Si dice sobre el precio, el uno por ciento es la centésima parte del precio. Hablando de velocidad, el uno por ciento es la centésima parte de la velocidad. Etc. Está claro que el número en cuestión es siempre del 100%. Y si el número en sí no está ahí, entonces los porcentajes tampoco tienen sentido ...
Otra cosa es que en problemas complejos el número en sí estará oculto tanto que no lo encontrará. Pero todavía no apuntamos a lo difícil. Nos ocupamos de por ciento en matemáticas.
No acentúo las palabras para nada uno por ciento, un centésimo... Recordando lo que es uno porciento, puedes encontrar fácilmente dos por ciento, treinta y cuatro, diecisiete y ciento veintiséis. Encontrarás todo lo que necesites.
Y esta, por cierto, es la principal habilidad para resolver problemas con interés.
¿Intentemos?
Encontremos el 3% de 400. Primero, encuentre uno porciento... Será un centésimo, es decir. 400/100 = 4. El uno por ciento es 4. ¿Y cuánto por ciento necesitamos? Tres. Entonces multiplicamos 4 por tres. Obtenemos 12. Eso es todo. El tres por ciento de 400 es 12.
5% de 20 es 20 dividido por 100 (una centésima - 1%) y multiplicado por cinco (5%):
El 5% de 20 será 1. Eso es todo.
No podría ser más sencillo. ¡Rápido, antes de que nos olvidemos, practiquemos!
Encuentre cuánto será:
5% de 200 rublos.
8% desde 350 kilómetros.
120% a partir de 10 litros.
15% de 60 grados.
4% son excelentes estudiantes de 25 estudiantes.
10% de estudiantes pobres sobre 20 personas.
Respuestas (en completo desorden): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Estos números son el número de rublos, títulos, estudiantes, etc. No escribí cuántas cosas, por lo que fue más interesante decidir ...
Y si necesitamos escribir NS% de algún número, por ejemplo, de 50? Sí, todo es igual. ¿Cuánto es el uno por ciento de 50? Así es, 50/100 = 0,5. Y tenemos este porcentaje - NS... Bueno, multipliquemos 0.5 por NS! Lo entendemos NS% de 50 es - 0.5x.
Espero que sea interés en las matemáticas usted lo consigue. Y puede encontrar fácilmente cualquier número de porcentaje de cualquier número. Es simple. ¡Ahora eres capaz de realizar aproximadamente el 60% de todas las tareas por interés! Más de la mitad ya. Bueno, ¿estamos terminando el resto? Está bien, ¡lo que digas!
En los problemas de intereses, a menudo se encuentra la situación opuesta. Se nos da magnitudes (lo que sea), pero necesitas encontrar interesar ... También dominaremos este sencillo proceso.
3 personas de 120: ¿cuál es el porcentaje? ¿No lo sé? Bueno, entonces déjalo ser NS por ciento.
Vamos a calcular NS% desde 120 personas. Inhumanos. Podemos hacer esto. 120 dividir por 100 (calcular 1%) y multiplicar por NS(calcular NS%). Obtenemos 1.2 NS.
Comprendamos el resultado.
NS por ciento de 120 personas, eso es 1.2 NS humano ... Y tenemos tres personas así. Queda por equiparar:
Recordamos que para la X tomamos el número de porcentaje. Entonces 3 personas de 120 personas es 2.5%.
Eso es todo.
Se puede hacer de otra forma. Llevarse bien con ingenio simple, sin ecuaciones. Nosotros pensamos cuantas veces 3 personas menos de 120? Divida 120 entre 3 y obtenga 40. Entonces, 3 es 40 veces menos que 120.
El número requerido de personas en porcentaje será por la misma cantidad menos de 100%. Después de todo, 120 personas es el 100%. Dividir 100 entre 40, 100/40 = 2,5
Eso es todo. Recibido 2.5%.
También hay una forma de proporciones, pero esto es, en esencia, lo mismo en una versión reducida. Todos estos métodos son correctos. Como es más conveniente para usted, es más familiar, es más comprensible, considérelo.
Entrenamos de nuevo.
Calcule cuántos por ciento son:
3 personas de cada 12.
10 rublos de 800.
4 libros de texto de 160 libros.
24 respuestas correctas a 32 preguntas.
2 respuestas adivinadas a 32 preguntas.
9 hits de 10 tiros.
Respuestas (en desorden): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
En el proceso de cálculos, es muy posible que te encuentres con fracciones. Incluidos los inconvenientes, como 1.333333 ... ¿Y quién te dijo que usaras la calculadora? ¿Por tí mismo? No. Contar sin calculadora como está escrito en el tema "Fracciones". Hay todo tipo de interés ...
Así que dominamos la transición de valores a porcentajes y viceversa. Puedes asumir las tareas.
Tareas de interés.
En el examen, los problemas de interés son muy populares. De lo más simple a lo más complejo. En esta sección trabajamos con tareas sencillas. En tareas simples, como regla general, debe pasar del porcentaje a los valores que se analizan en la tarea. A rublos, kilogramos, segundos, metros, etc. O viceversa. Ya sabemos cómo. Después de eso, la tarea se vuelve clara y fácil de resolver. ¿No me crees? Ver por ti mismo.
Tengamos tal tarea.
“Un viaje en autobús cuesta 14 rublos. En los días de vacaciones escolares, se introdujo un descuento del 25% para los estudiantes. ¿Cuánto cuesta el autobús durante las vacaciones escolares? "
¿Cómo decidir? Si averiguamos cuánto 25% en rublos- entonces no hay nada que decidir. Reste el descuento del precio original, ¡y listo!
¡Pero ya sabemos reconocerlo! Cuanto sera uno porciento de 14 rublos? Una centésima parte. Es decir, 14/100 = 0,14 rublos. Y tenemos 25 de esos porcentajes, así que multipliquemos 0,14 rublos por 25. Obtenemos 3,5 rublos. Eso es todo. Hemos establecido el monto del descuento en rublos, queda por conocer la nueva tarifa:
14 – 3,5 = 10,5.
Diez rublos y medio. Esta es la respuesta.
Tan pronto como pasaron del interés a los rublos, todo se volvió simple y claro. Este es un enfoque general para resolver problemas con interés.
Por supuesto, no todas las tareas son igualmente elementales. Los hay más complicados. ¡Solo piensa! Los resolveremos ahora. La dificultad es que ocurre todo lo contrario. Se nos dan algunos valores, pero necesitamos encontrar porcentajes. Por ejemplo, una tarea como esta:
“Anteriormente, Vasya resolvió dos problemas correctamente para un porcentaje de veinte. Después de estudiar el tema en un sitio útil, Vasya comenzó a resolver correctamente 16 de los 20 problemas. ¿En qué porcentaje Vasya se volvió más sabio? Consideramos 20 problemas resueltos para un cien por ciento de inteligencia ".
Dado que la pregunta es sobre el interés (y no sobre rublos, kilogramos, segundos, etc.), pasamos al interés. Averigua cuántos por ciento resolvió Vasya antes de preguntándose qué porcentaje después - ¡y está en la bolsa!
Nosotros contamos. Dos tareas de 20: ¿cuánto por ciento? 2 es menos de 20 10 veces, ¿verdad? Por tanto, la cantidad de tareas en porcentajes será 10 veces menor al 100%. Es decir, 100/10 = 10.
diez%. Sí, Vasya decidió un poco ... No hay nada que hacer en el examen. Pero ahora se ha vuelto más inteligente y resuelve 16 problemas de 20. Consideramos cuánto será. ¿Cuántas veces es 16 menos que 20? De improviso y no lo dirás ... Tendremos que dividirnos.
5/4 veces. Bueno, ahora dividimos 100 entre 5/4:
Aquí. El 80% ya es sólido. ¡Y lo principal no es el límite!
¡Pero esa no es la respuesta todavía! Volvemos a leer el problema para no cometer un error inesperado. Si, nos preguntan cuánto Vasya por ciento más sabio? Bueno, es simple. 80% - 10% = 70%. 70%.
70% es la respuesta correcta.
Como puede ver, en tareas simples basta con traducir los valores dados en porcentajes, o los porcentajes dados en valores, ya que todo se aclara. Está claro que bien puede haber campanas y silbidos adicionales en la tarea. Lo cual, a menudo, no tiene nada que ver con los porcentajes. Aquí, lo principal es leer cuidadosamente la condición y, paso a paso, lentamente, desdobla el rompecabezas. Hablaremos de esto en el próximo tema.
¡Pero hay una seria emboscada en los problemas de intereses! Muchos caen en ella, sí ... Esta emboscada parece bastante inocente. Por ejemplo, aquí hay un rompecabezas.
“Un hermoso cuaderno cuesta 40 rublos en verano. Antes del inicio del año escolar, el vendedor subió el precio en un 25%. Sin embargo, la compra de portátiles se volvió tan pobre que redujo el precio en un 10%. ¡No lo aceptan de todos modos! Tuvo que reducir el precio en otro 15%. ¡Aquí empezó el comercio! ¿Cuál fue el precio final del portátil? "
¿Bueno cómo? ¿Elemental?
Si respondiste pronta y alegremente “¡40 rublos!”, Entonces te tendieron una emboscada ...
El truco es que los porcentajes siempre se calculan a partir de alguna cosa .
Entonces contamos. Cuánto rublos¿El vendedor infló el precio? 25% de 40 rublos - esto es 10 rublos. Es decir, un portátil que ha subido de precio empezó a costar 50 rublos. Esto es comprensible, ¿verdad?
Y ahora tenemos que bajar el precio en un 10% de 50 rublos. ¡A partir de los 50, no los 40! El 10% de 50 rublos son 5 rublos. En consecuencia, después de la primera reducción de precio, el portátil comenzó a costar 45 rublos.
Consideramos la segunda reducción de precio. 15% de 45 rublos ( de 45, no 40, o 50! ) Es de 6,75 rublos. Por tanto, el precio final del portátil es:
45 - 6,75 = 38,25 rublos.
Como ves, la emboscada es que el interés se calcula cada vez a partir del nuevo precio. De este último. Este es casi siempre el caso. Si la tarea para un aumento-disminución secuencial del valor no se indica en texto sin formato, de qué contar porcentajes, debe contarlos desde el último valor. Y eso es cierto. ¿Cómo sabe el vendedor cuántas veces este portátil subió de precio, bajó de precio antes que él y cuánto costó al principio ...
Por cierto, ahora podrías estar pensando por qué se escribió la última frase en el rompecabezas sobre el inteligente Vasya. Éste: " Contamos 20 problemas resueltos al cien por cien de inteligencia ”? Parece, y así todo está claro ... Uh-uh ... Cómo decirlo. Si esta frase no existe, Vasya bien puede contar sus éxitos iniciales como 100%. Es decir, dos problemas resueltos. Y 16 tareas es ocho veces más. Aquellos. 800%! ¡Vasya podrá hablar con bastante razón de su propia sabiduría hasta en un 700%!
También puede tomar 16 tareas al 100%. Y obtén una nueva respuesta. También correcto ...
De ahí la conclusión: lo más importante en las tareas de interés es definir claramente de qué porcentaje se debe contar.
Esto, por cierto, también es necesario en la vida. Donde se usa el interés. En comercios, bancos, en todo tipo de promociones. Y luego esperas un 70% de descuento y obtienes un 7%. Y no descuentos, sino precios más altos ... Y, sinceramente, calculó mal.
Bueno, tienes una idea de los porcentajes en matemáticas. Señalemos lo más importante.
Consejo practico:
1. En tareas de interés: pase del interés a valores específicos. O, si es necesario, de valores específicos a porcentajes. Leemos atentamente la tarea!
2. Estudiamos con mucho cuidado de qué necesitas contar los porcentajes. Si esto no se indica en texto plano, necesariamente está implícito. Cuando el valor cambia secuencialmente, los porcentajes se asumen a partir del último valor. ¡Leemos atentamente el problema!
3. Habiendo terminado de resolver el problema, lo volvemos a leer. Es posible que haya encontrado una respuesta intermedia, no definitiva. ¡Leemos atentamente el problema!
Resuelve varios problemas de interés. Para la consolidación, por así decirlo. En estas tareas, traté de recopilar todas las principales dificultades que aguardan a las decisivas. Aquellos rastrillos que se pisan con mayor frecuencia. Aquí están:
1. Lógica elemental en el análisis de problemas simples.
2. La elección correcta del valor a partir del cual desea contar el porcentaje. ¡Cuántas personas tropezaron con esto! Pero hay una regla muy simple ...
3. Porcentaje de interés. Es una nimiedad, pero es realmente vergonzoso ...
4. Y una horquilla más. Conexión de porcentajes con fracciones y partes. Traducirlos el uno al otro.
“50 personas participaron en la Olimpiada de Matemáticas. El 68% de los estudiantes resolvió pocos problemas. El 75% del resto resolvió el problema moderadamente, y el resto, muchos problemas. ¿Cuántas personas han resuelto muchos problemas? "
Inmediato. Si obtiene estudiantes fraccionarios, esto está mal. Lee el problema con atención, hay una palabra importante ... Otro problema:
“Vasya (¡sí, esa!) Es muy aficionada a las rosquillas con mermelada. Que se hornean en una panadería, a una parada de casa. Las donas cuestan 15 rublos cada una. Con 43 rublos disponibles, Vasya fue a la panadería en autobús por 13 rublos. Y en la panadería hubo una acción "¡¡¡Descuento para todo - 30% !!!". Pregunta: ¿cuántas donas adicionales no pudo comprar Vasya debido a su pereza (podría haber caminado a pie, verdad?) "
Tareas cortas.
¿Cuánto porcentaje es 4 menos que 5?
¿Cuánto por ciento es 5 más que 4?
Tarea larga ...
Kolya consiguió un trabajo en un trabajo simple relacionado con el cálculo de intereses. Durante la entrevista, el jefe con una sonrisa maliciosa le ofreció a Kolya dos opciones de remuneración. Según la primera opción, a Kolya se le asignó inmediatamente una tasa de 15,000 rublos por mes. Según el segundo Kolya, si está de acuerdo, los primeros 2 meses se pagará un salario reducido en un 50%. Como un principiante. ¡Pero luego aumentarán su salario reducido hasta en un 80%!
Kolya visitó un sitio útil en Internet ... Por lo tanto, después de pensar durante seis segundos, con una leve sonrisa, eligió la primera opción. El jefe le devolvió la sonrisa y fijó un salario permanente para Kolya en 17.000 rublos.
Pregunta: ¿Cuánto dinero por año (en miles de rublos) ganó Kolya en esta entrevista? ¿Comparado con el peor de los casos? Y una cosa más: ¿¡que estaban sonriendo todo el tiempo!?)
Nuevamente, una tarea corta.
Encuentre el 20% del 50%.
Largo de nuevo.)
El tren expreso №205 "Krasnoyarsk - Anapa" hizo una parada en la estación "Syzran-Gorod". Vasily y Kirill fueron a la tienda de la estación a comprar helado para Lena y una hamburguesa para ellos. Cuando compraron todo lo que necesitaban, el limpiador de la tienda dijo que su tren ya había comenzado ... Vasily y Kirill corrieron rápida y rápidamente y lograron saltar al vagón. Pregunta: ¿un campeón del mundo de running tendría tiempo de subirse al carruaje en estas condiciones?
Creemos que en condiciones normales el campeón del mundo corre un 30% más rápido que Vasily y Kirill. Sin embargo, las ganas de alcanzar el coche (era el último), tratar a Lena con helado y comerse una hamburguesa, aumentaron su velocidad en un 20%. Y un helado con una hamburguesa en manos de un campeón y zapatillas en los pies reduciría su velocidad en un 10% ...
Pero el problema sin interés ... me pregunto ¿por qué está aquí?)
Determina cuánto pesa 3/4 de una manzana si la manzana entera pesa 200 gramos.
Y el último.
En el tren rápido №205 "Krasnoyarsk - Anapa", compañeros de viaje resolvieron el rompecabezas de la palabra clave. Lena adivinó 2/5 de todas las palabras y Vasily adivinó un tercio de las restantes. ¡Entonces Kirill se unió y resolvió el 30% de toda la palabra de exploración! Seryozha adivinó las últimas 5 palabras. ¿Cuántas palabras había en la palabra clave? ¿Es cierto que Lena adivinó la mayor cantidad de palabras?
Las respuestas están en un lío tradicional y sin nombres de unidades. Dónde están las rosquillas, dónde están los estudiantes, dónde están los rublos con interés, eres tú mismo ...
diez; 50; Sí; 4; 20; No; 54; 2; 25; 150.
¿Así que cómo? Si todo encaja, ¡enhorabuena! El interés no es tu problema. Puede ir a trabajar con seguridad en el banco).
¿Algo está mal? ¿No funciona? ¿No sabe cómo calcular rápidamente los porcentajes de un número? ¿No conoce reglas muy simples y directas? ¿De qué contar el interés, por ejemplo? ¿O cómo conviertes fracciones a porcentajes?
Si te gusta este sitio ...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Al enviar a un niño a la escuela, muchos padres se preocupan de que no podrán ayudarlos a resolver un problema simple, cayendo así en los ojos de sus hijos. No debe tener miedo de esto, y para evitar tales situaciones, tendrá que recordar el conocimiento que adquirió una vez, y tal vez aprender de una manera nueva. Si aún puede resolver los problemas que se ofrecen en los grados primarios, entonces no todos pueden hacer frente al programa de quinto grado, y es en esta etapa que el niño tendrá que aprender qué es el interés y usted tendrá que pensar en cómo Explique el porcentaje en matemáticas al niño. Habiendo hurgado en su memoria, muchos encontrarán una solución a la pregunta, pero si olvidó cómo calcular los porcentajes, tendrá que sentarse a leer los libros de texto.
Enseñarle a su hijo a calcular porcentajes
Un profesor de matemáticas sabe exactamente cómo explicarle a un niño los porcentajes en matemáticas, le enseñará otras operaciones aritméticas, pero no todos los niños están dotados de la capacidad de percibir información de oído o de libros por sí mismos. En este caso, acudirán a sus padres, quienes deberán explicarles cómo calcular el porcentaje de algo. Si no sabe cómo explicar el interés a un estudiante, intente traducir la lección en un juego emocionante. Puede que necesites dibujar 100 formas para esto, pero vale la pena, porque de esta manera puedes explicar todo claramente. Debe decir que las cien figuras son 100%, y si pinta 50 figuras en cualquier color, entonces quedará exactamente la mitad de las figuras sin colorear, y la mitad es 50%.
Lo más probable es que al niño le guste este juego, mientras que usted tiene margen de maniobra: puede colorear cualquier número de formas y pedirle al niño que las cuente. Después de todo, aquí todo es simple: 30 figuras de colores, 30% y así sucesivamente. Una vez que el niño se ha dado cuenta de qué porcentaje es a través de ejemplos ilustrativos, puede decidir cómo calcular el porcentaje del número. Si no sabe cómo explicarle a su hijo el tema del 5.6 por ciento, pídale que resuelva un problema simple calculando el 50 por ciento de cualquier número de personas. Para hacer esto, le basta con dividir 50 por 100 y multiplicar por el número total de personas. Hay otras posibilidades, pero no olvides las proporciones algo olvidadas, que son las más adecuadas para calcular el porcentaje.
Aplicamos interés por la vida
Para que el niño domine mejor el interés, y si aún no ha entendido cómo explicarle los problemas del 5.6 por ciento, primero trate de explicarle por qué lo necesita, en principio. Para hacer esto, tendrás que ser creativo. Tomemos, por ejemplo, a un niño en un banco e intente explicarle qué intereses están usando el ejemplo de la tasa de interés de un préstamo. El niño debería estar interesado en esto y comprenderá que el conocimiento del porcentaje es importante, y ahora puede comenzar a estudiar el porcentaje con seguridad. Puedes usar los porcentajes para recordar en otras situaciones de la vida, lo principal es que al niño le interesa, y entiende que si no entiende el porcentaje, perderá mucho.
Lo primero que debe aprender un niño es que el porcentaje es una centésima parte de un número. Puede convertir el porcentaje a decimal dividiendo el número requerido por 100, y para convertir un decimal a porcentaje, debe hacer lo contrario: multiplicar el número fraccionario por 100. Si el niño está interesado en estudiar porcentajes, invítelo memorizar la tabla en la que se indican los ratios fracciones y porcentajes, facilitando la asimilación de información con la ayuda de dibujos interesantes.
Al pasar al quinto grado, los escolares se enfrentan a un nuevo tipo de problema matemático: los problemas de interés. Para muchos de ellos, este tema es bastante difícil. ¿Cómo explicar el hallazgo de interés?
Instrucciones
El niño generalmente comprende rápidamente los problemas de los números primos. Por ejemplo, si hay 100 kopeks en un rublo, 50 kopeks es el 50 por ciento. Es mucho más difícil explicar que los porcentajes se pueden encontrar en cualquier valor. Habiendo tratado con cantidades simples: gramos y kilogramos, centímetros y metros, pase a preguntas más complejas.
1200 trajes - 100%
X trajes - 30%
X (1200 * 30) / 100.
Solo necesitas multiplicar los números de forma cruzada y resolver la ecuación resultante. No se preocupe si su hijo parece estar tomando una decisión de forma mecánica. Si bien no necesita pensar profundamente en la esencia, lo más importante es que memorice el algoritmo de acciones, esto es suficiente para resolver problemas escolares. Sea paciente, no le grite al niño ni se enoje con él. Después de todo, le parece que esta información es muy compleja, incomprensible y completamente innecesaria. Intente ofrecerle tareas prácticas, por ejemplo, para el presupuesto familiar.
Al pasar al quinto grado, los escolares se enfrentan a un nuevo tipo de problema matemático: los problemas de interés. Para muchos de ellos, este tema es bastante difícil. ¿Cómo explicar el hallazgo de interés?
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Instrucciones
Cuéntele a su hijo una historia sobre cómo surgió realmente la palabra porcentaje. Viene del latín "pro centum", que se traduce como "centésima parte". Posteriormente, en el libro de texto de Mathieu de la Porta sobre aritmética comercial, se realizó un error tipográfico, por lo que apareció el signo%. Por lo tanto, lo más importante es aprender que un porcentaje es una centésima parte de cualquier número.
Por lo general, el niño comprende rápidamente los problemas de los números primos. Por ejemplo, si hay 100 kopeks en un rublo, 50 kopeks es el 50 por ciento. Es mucho más difícil explicar que los porcentajes se pueden encontrar en cualquier valor. Habiendo tratado con cantidades simples: gramos y kilogramos, centímetros y metros, pase a preguntas más complejas.
Si el niño no puede comprender la esencia misma del interés, enséñele a resolver problemas de acuerdo con el algoritmo, asegurándose de que no se pierda ni un solo paso de la solución. Por ejemplo, una tarea: una fábrica de ropa producía 1200 trajes en un año. De estos, el 30% son trajes azules. ¿Cuántos trajes azules hizo la fábrica? Primero, averigüe cuántos trajes son el 1%. Para hacer esto, divida el total por 100. 1200/100 = 12. Es decir, cada 12 palos es el 1 por ciento. Luego, multiplique 12 por 30% para obtener la respuesta que desea.
Puede utilizar el antiguo método de proporción "abuelo". Por alguna razón, ahora rara vez se muestra en las escuelas, pero funciona a la perfección. De la misma tarea:
1200 trajes - 100%
X trajes - 30%
X (1200 * 30) / 100.
Solo necesitas multiplicar los números de forma cruzada y resolver la ecuación resultante. No se preocupe si su hijo parece estar tomando una decisión de forma mecánica. Si bien no necesita pensar profundamente en la esencia, lo más importante es que memorice el algoritmo de acciones, esto es suficiente para resolver problemas escolares. Sea paciente, no le grite al niño ni se enoje con él. Después de todo, le parece que esta información es muy compleja, incomprensible y completamente innecesaria. Intente ofrecerle tareas prácticas, por ejemplo, para el presupuesto familiar.
Que simple
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El porcentaje de un número es la centésima parte de este número, denotado por 1%. El cien por ciento (100%) es igual al número en sí, y el 10% del número es igual a una décima parte de ese número. Resta porcentual significa una disminución en un número en alguna fracción. Necesitará una calculadora, una hoja de papel, un bolígrafo y habilidades para contar verbales. Patrocinador
Los economistas y técnicos a menudo tienen que calcular porcentajes de un número. Los contadores deben calcular correctamente los impuestos, los banqueros - los ingresos (intereses) de los depósitos, los ingenieros - las desviaciones permitidas de los parámetros. En todos estos casos, es necesario contar el porcentaje de algún valor conocido. Para ti
Todo es relativo. La relación de algunos valores entre sí se puede expresar como un porcentaje. Por ejemplo, al calcular qué porcentaje de líquido de la masa principal está contenido en 1 kg de tomates y pepinos, descubrirá cuál será más jugoso. Necesitará 1) Papel 2) Bolígrafo 3) Calculadora Patrocinador de colocación
El uno por ciento del número se llama la centésima parte de este número y denota el 1%. Por lo tanto, el 100% de este número es igual al número en sí, así como el 20% del número es igual a veinte centésimas de este número. Necesitarás una calculadora, conocimientos básicos de matemáticas. Patrocinado colocando artículos de P & G sobre "Cómo encontrar el porcentaje
La palabra "porcentaje" significa una centésima parte de un número y, en consecuencia, una fracción es parte de algo. Por lo tanto, para determinar el porcentaje del número, es necesario encontrar la fracción, dado que el número original es un centenar entero. Para realizar esta acción, debe poder resolver proporciones. Patrocinador
Una persona se enfrenta constantemente a la necesidad de calcular porcentajes, a veces sin siquiera darse cuenta. Y no solo en el examen de matemáticas, sino también, por ejemplo, tratando de determinar qué parte del ingreso familiar total se compone de facturas de servicios públicos o pagos de jardín de infancia. Y muchos
Los problemas de interés no se limitan solo al estudiante. Como regla general, en las asignaciones escolares, debe encontrar la expresión numérica de un cierto número de porcentajes, o cuánto porcentaje es un número en particular. Para hacer frente con éxito a tales tareas, primero debe
Con la experiencia se sabe con certeza qué temor suscitan algunos temas entre los escolares, independientemente de la clase en la que se encuentren, y cuánto conocimiento han logrado acumular en sus “tesoros”.
Uno de estos temas es estudio de intereses... ¿Por qué los estudiantes intentan pasarlos por alto? También es comprensible, para ellos es una noción tan “terrible” que, en cuanto escuchan este término en el texto del problema, casi se arrastran debajo de los escritorios para esconderse.
Hay varias razones.
Naturalmente, ignorancia del material, esto es en primer lugar. En segundo lugar…
Podríamos detenernos en esto. Porque incluso la primera razón es suficiente para entender: los estudiantes no han formado la comprensión CORRECTA de lo que es “porcentaje”. Esto significa que la percepción de más material será contraria a sus conocimientos sobre este tema.
Pero, ¿de dónde viene el malentendido? Muy simple. Imagino una especie de cadena lógica que finalmente conduce a una falta de motivación y orientación práctica del tema de interés explicado en la lección.
En resumen, ¡el interés lo es todo!
Habrá interés, habrá atención y, por lo tanto, un incentivo para estudio de intereses... Y a partir de ahí, el deseo de comprender y comprender. Y memorizar el material (si es necesario; personalmente, no estoy seguro de esto) vendrá por sí solo.
Y en este artículo quiero dar algunos hechos de la vida cotidiana, pero con un sesgo matemático sobre el tema "Porcentaje". Porque creo que absolutamente cada uno de nosotros se enfrenta a este concepto todos los días, pero quizás ni siquiera lo sepa.
¿Dónde podemos "encontrar" interesar? ABSOLUTAMENTE en todas partes. Ver por ti mismo.
1) El 80% de la harina se obtiene del trigo.
2) La leche proporciona un 25% de crema agria y la crema agria un 20% de mantequilla.
3) La remolacha azucarera contiene un 20% de azúcar.
4) Las setas pierden un 79% de humedad cuando se secan.
5) Una abeja transporta el 60% de 1 gramo de néctar a la vez.
6) Una persona tiene un 7,5% de sangre del peso corporal total.
7) El pino crece un 15% cada año.
8) El latón es una aleación de zinc y cobre en una proporción de 40% y 60%, respectivamente.
9) 1 metro cúbico el trigo pesa el 70% de 1 tonelada, la nieve el 14,3% de 1 tonelada y el aire el 0,13% de una tonelada.
10) La velocidad de vuelo del cuervo es el 68% de la velocidad de vuelo de la torre.
Con suerte, los hechos anteriores, al menos de alguna manera, le dieron una idea para asegurarse de que nos encontremos con interés en cada paso.
Incluso usamos cada vez más este término en el habla coloquial.
- "Trabajar por interés": trabaje por una tarifa calculada en función de las ganancias o el volumen de negocios.
- "Te garantizo cien por ciento" - confiable en todos los aspectos; puede ser completamente confiable.
- "En el banco a interés": poner dinero en un depósito con la perspectiva de obtener un aumento del dinero invertido.
La pregunta ahora es diferente: cómo entender lo que significan estos datos. Por así decirlo,
Tratemos de la teoría por ahora.
Por ciento - (lat. "Pro centum") cien. Se indica con un signo "%". Se usa para indicar la proporción de algo en relación con el todo. Por ejemplo, el 17% de 500 kg significa 17 piezas de 5 kg cada una, es decir, 85 kg.
Aquellos. si el todo se divide en 100 partes iguales, entonces 1 parte significará 1%. 1% = 1/100
Por tanto, es fácil entender que:
Está claro que esto no acaba ahí estudio de intereses... Al contrario, apenas comienza. Hay diferentes tipos de problemas sobre este tema. Y en los siguientes artículos definitivamente los analizaremos. Y al final de este artículo, una vez más propongo sumergirnos en el mundo donde el "protagonista" es el interés.
- Sabías que allá por los siglos XV-XVI, los indígenas de la cultura Chonos (Ecuador) fundían cobre con un contenido del 99,5%.
- Aproximadamente el 10 por ciento de las amas de casa estadounidenses visten a sus mascotas con disfraces navideños para Hellowin, yEl 99 por ciento de las calabazas vendidas en los Estados Unidos tienen un solo propósito: la decoración para esta festividad.
- El 14% come sandía con semillas.
- La lengua del camaleón es un 200% más larga que su cuerpo.
- Solo el 1% de las bacterias causan enfermedades en los seres humanos.
- Las medusas son agua en un 95 por ciento.
- Solo el 55% de los estadounidenses saben que el sol es una estrella.
- El 10 por ciento de los hombres y el 8 por ciento de las mujeres del mundo son zurdos.
- Los principales temores de los residentes de la UE: guerra atómica - 49%, desastres climáticos - 43%, contaminación ambiental - 36%, accidentes en reactores nucleares - 35%, clonación humana - 28%, peligro de fuga de bacterias letales de laboratorios de genes - 26 %, desaparición de bosques - 20%, desaparición de animales y especies vegetales - 17%, agotamiento de las reservas de petróleo - 7%, exceso de información - 5%, caída de meteoritos - 3%, invasión extraterrestre - 1%.
- Y finalmente, otro hecho sorprendente: la pupila de una persona aumenta en un 45 por ciento cuando una persona mira algo agradable.
Espero que a usted también, querido lector, le haya complacido estar en el artículo dedicado al estudio de interés y aprender algo nuevo y útil para usted.
Las tareas de interés específico se discutirán en un artículo separado.
Deje su comentario sobre este problema a continuación.
Estudiante de grado 9B
Directora: Drobkova Olga Sergeevna, profesora de matemáticas
INTRODUCCIÓN
El porcentaje es uno de los temas más difíciles de las matemáticas, y a muchos estudiantes les resulta difícil o incluso incapaz de resolver problemas con porcentajes. Y la comprensión del interés y la capacidad de realizar cálculos de interés son necesarias para todas las personas. Creo que este tema es relevante en nuestro tiempo. De hecho, en casi todas las áreas de la actividad humana existen porcentajes. No se puede prescindir del concepto de "interés" ni en contabilidad, ni en finanzas, ni en estadística. Para calcular el salario de un empleado, debe conocer el porcentaje de las deducciones fiscales; para abrir una cuenta en un Sberbank o tomar un préstamo, nuestros padres están interesados en el monto de interés sobre el monto del depósito y el interés del préstamo; Para conocer la subida aproximada de precios el próximo año, nos interesa el porcentaje de inflación. En el comercio, el concepto de "porcentaje" se utiliza con mayor frecuencia. A menudo escuchamos sobre descuentos, recargos, rebajas, ganancias, préstamos, etc. - todo esto es interés. Una persona moderna necesita navegar bien en un gran flujo de información, tomar las decisiones correctas en diferentes situaciones de la vida. Para hacer esto, necesita hacer buenos cálculos de intereses.
Así, estudiando este tema, descubriremos qué sentido tiene el interés en nuestra vida.
Propósito del estudio: mostrar la amplitud de la aplicación de los cálculos porcentuales en la vida real.
Tareas:estudiar la literatura sobre este tema; considere la necesidad de interés; explorar áreas de la actividad humana en las que se utiliza el interés.
CONCEPTO DE PORCENTAJE
El porcentaje es una centésima parte del número. El porcentaje se escribe con el signo%.
Para convertir porcentajes en fracciones, debe eliminar el signo% y dividir el número por 100.
Para convertir una fracción decimal en un porcentaje, debe multiplicar la fracción por 100 y agregar un signo de%.
Para convertir una fracción ordinaria en un porcentaje, primero debe convertirla en una fracción decimal y luego multiplicar por 100 y agregar un signo de%.
Como puede imaginar, los porcentajes están estrechamente relacionados con fracciones y decimales. Por lo tanto, vale la pena recordar algunas simples igualdades. En la vida cotidiana, debe conocer la relación numérica entre fracciones y porcentajes. Entonces, la mitad - 50%, un cuarto - 25%, tres cuartos - 75%, un quinto - 20% y tres quintos - 60%.
Conocer de memoria las proporciones de la tabla siguiente le facilitará la resolución de muchos problemas.
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2. PRINCIPALES TIPOS DE PROBLEMAS DE INTERÉS
Los principales objetivos de interés son los siguientes:
Ejemplo 1. La escuela tiene 940 estudiantes. De estos, el 15% asiste a una escuela de música. ¿Cuántos estudiantes asisten a la escuela de música?
Solución : porque 15% = 0.15, entonces para resolver el problema necesitas multiplicar 940 por 0.15. Obtenemos
Esto significa que 141 estudiantes asisten a la escuela de música.
Respuesta: 141 estudiantes.
Encontrar un número por porcentaje
Ejemplo 2.
La biblioteca de la escuela tiene 2,100 libros de texto, que es el 40% de todos los libros. ¿Cuántos libros hay en la colección de la biblioteca de la escuela?
Solución: Denotemos el número total de libros hasta x; esto es 100%. Según la condición, el 40% son libros de texto, hay 2.100 de ellos. Hagamos la proporción: Entonces,
Respuesta: 5250 libros están en la biblioteca de la escuela.
Ejemplo 3. La escuela tiene 800 estudiantes, 16 de ellos son excelentes estudiantes. ¿Cuántos por ciento de los estudiantes de la escuela están en quinto grado?
Solución: En total, hay 800 estudiantes en la escuela, que es el 100%. El porcentaje de estudiantes matriculados en "5" se indica con x. Hagamos una proporción... Medio,
Respuesta: el 2% de los estudiantes son excelentes estudiantes.
3 . INVESTIGACIÓN DE INTERÉS
Para saber qué lugar ocupa el interés en nuestra vida, decidimos averiguar dónde podemos encontrar interés:
1. Los descuentos aparecen en las tiendas durante las vacaciones, que se expresan como un porcentaje, por ejemplo, en una tienda de ropa, al comprar 2 artículos, un 10% de descuento, etc.
Tarea ... En la venta de temporada, la tienda de ropa de abrigo redujo los precios de los abrigos de piel, primero en un 20% y luego en otro 10%. ¿Cuánto rublos puede ahorrar al comprar un abrigo de piel si cuestan 18,000 rublos antes de la reducción del precio?
Solución:
1 forma de resolver:
El costo de un abrigo de piel es de 18,000 rublos, es decir, el 100%. Encontremos cuántos rublos habrá un 20% de descuento :, Entonces, frotar. Por lo tanto, el precio de un abrigo de piel será de 18,000-3600 = 14,400 rublos.Después de la segunda rebaja, el nuevo precio de los abrigos de piel disminuyó otro 10%, que ascenderá a 1.440 rublos. Como resultado, los abrigos de piel bajaron de precio en 5040 rublos;
2 formas de resolver:
18000-18000 ● 0.2 = 14400 (rub) - el precio de un abrigo de piel después de un descuento del 20%
14400-14400 ● 0.1 = 12960 (frotar) - el precio de un abrigo de piel después del segundo descuento del 10%
18000-12960 = 5040 (frotar): el comprador ahorrará.
2. El porcentaje indica la composición de la tela, por ejemplo, al comprar un traje en el que 60% algodón y 40% sintéticos, etc.;
3. En porcentaje, se expresan diversos datos estadísticos sobre la población, sobre la producción de determinados productos, etc.;
4. Al comprar un producto a crédito, debe poder calcular el interés;
5. En la escuela, en porcentaje, se calcula el progreso y la calidad del conocimiento de los estudiantes;
6. Contadores a la hora de calcular los salarios. Por ejemplo, en el pueblo de Shira, hay un pago adicional del 30% de los del norte y del 30% de los rurales.
Tarea ... Al contratar, el director de la empresa le ofrece un salario de 14,000 rublos. ¿Cuánto recibirá después de pagos adicionales: 30% del norte y 30% del rural, y retención del impuesto sobre la renta de las personas físicas?
Solución:
1 forma de resolver:
V este recargo es del 60%, es decir... Medio, los rublos son asignaciones. Así, el devengo con recargos será igual a 14000 + 8400 = 22400 (14000 * 1,6 = 22400). Ahora calculemos cuánto tendrá en sus manos después de retener el impuesto sobre la renta personal (este impuesto es del 13%) :
frotar. - compensa el impuesto
22400-2912 = 19488 rublos.
2 formas de resolver:
en contabilidad,
en la vida cotidiana, etc.
Es difícil nombrar el área donde se usa el interés. Es muy difícil considerar completamente la aplicación de los cálculos de interés en la vida, ya que el interés se usa en todas las esferas de la actividad humana.
En mi trabajo, mostré el uso del concepto de porcentaje en la resolución de varios problemas, considerados los principales tipos de problemas de interés.
Este tema deja un amplio campo para futuras investigaciones. Los problemas de interés son de gran importancia práctica y espero que los conocimientos adquiridos me ayuden en la vida futura. Planeo desarrollar este tema, considerar con más detalle el interés en el sector bancario. Para ser una persona moderna, debe poder calcular usted mismo los posibles pagos del préstamo, o al menos saber aproximadamente si debe obtener un préstamo o un préstamo.
BIBLIOGRAFÍA
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- I. I. Zubareva Matemáticas. Grado 5: libro de texto. para estudiantes de educación general. instituciones / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - 12ª edición, rev. y añadir. - M.: Mnemosina, 2012 .-- 270 p.;
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- Tumasheva O.V. La lección de matemáticas en los grados 5-6: material didáctico / O.V. Tumasheva; Krasnoyar. Estado Ped. Universidad que lleva el nombre V.P. Astafieva. - Krasnoyarsk, 2007 - 104 p.
