Desigualdad es un registro en el que números, variables o expresiones están conectados por un signo<, >, o . Es decir, una desigualdad se puede llamar una comparación de números, variables o expresiones. Señales < , > , ⩽ y ⩾ son llamados signos de desigualdad.
Tipos de desigualdades y cómo se leen:
Como puede ver en los ejemplos, todas las desigualdades constan de dos partes: izquierda y derecha, conectadas por uno de los signos de desigualdad. Dependiendo del signo que conecta las partes de las desigualdades, se dividen en estrictas y no estrictas.
Desigualdades estrictas- desigualdades en las que las partes están conectadas por un signo< или >. Desigualdades laxas- desigualdades en las que las partes están conectadas por el signo o.
Consideremos las reglas básicas de comparación en álgebra:
- Cualquier número positivo es mayor que cero.
- Cualquier número negativo es menor que cero.
- De los dos números negativos, el mayor es el que tiene el valor absoluto más bajo. Por ejemplo, -1> -7.
- a y B positivo:
a - B > 0,
Ese a más B (a > B).
- Si la diferencia entre dos números desiguales a y B negativo:
a - B < 0,
Ese a menor B (a < B).
- Si el número es mayor que cero, entonces es positivo:
a> 0, por lo tanto a es un número positivo.
- Si el número es menor que cero, entonces es negativo:
a < 0, значит a- un número negativo.
Desigualdades equivalentes- desigualdades resultantes de otras desigualdades. Por ejemplo, si a menor B, luego B más a:
a < B y B > a- desigualdades equivalentes
Propiedades de las desigualdades
- Si suma el mismo número a ambos lados de la desigualdad o resta el mismo número de ambos lados, obtiene una desigualdad equivalente, es decir,
si a > B, luego a + C > B + C y a - C > B - C
De esto se deduce que es posible transferir los términos de la desigualdad de una parte a otra con el signo opuesto. Por ejemplo, sumar a ambos lados de la desigualdad a - B > C - D sobre D, obtenemos:
a - B > C - D
a - B + D > C - D + D
a - B + D > C
- Si ambos lados de la desigualdad se multiplican o se dividen por el mismo número positivo, obtenemos una desigualdad equivalente, es decir,
- Si ambos lados de la desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo, entonces la desigualdad es opuesta a la dada, es decir, al multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número negativo, es necesario cambiar el signo de la desigualdad al contrario.
Esta propiedad se puede usar para cambiar el signo de todos los miembros de una desigualdad multiplicando ambos lados por -1 e invirtiendo el signo de la desigualdad:
-a + B > -C
(-a + B) · -1< (-C) · -1
a - B < C
Desigualdad -a + B > -C equivalente a la desigualdad a - B < C
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En esta lección, comenzaremos a estudiar las desigualdades y sus propiedades. Consideraremos las desigualdades más simples: lineales y métodos para resolver sistemas y conjuntos de desigualdades.
A menudo comparamos ciertos objetos por sus características numéricas: bienes a su precio, personas por su altura o edad, teléfonos inteligentes por su diagonal o los resultados de los equipos por el número de goles marcados en un partido.
Relaciones del tipo o llamado desigualdades... Después de todo, en ellos está escrito que los números no son iguales, sino más o menos entre sí.
Para comparar números naturales en notación decimal, hemos ordenado los números: 
, y luego, con mayor frecuencia, utilizaron las ventajas de la notación decimal: comenzaron a comparar los dígitos de los números desde los dígitos más a la izquierda hasta la primera discrepancia.
Pero este método no siempre es conveniente.
La forma más sencilla de comparar números positivos es porque representan cantidades. De hecho, si un número se puede representar de manera equivalente como la suma de un número con algún otro número, entonces más :.
Notación equivalente :.
Esta definición puede extenderse no solo a números positivos, sino también a dos números cualesquiera: 
.
Númeromás números (escrito como o) si el número es positivo . En consecuencia, si el número es negativo, entonces.
Por ejemplo, comparemos dos fracciones: y. No se puede saber de inmediato cuál es más grande. Por lo tanto, pasamos a la definición y consideramos la diferencia:
Recibió un número negativo, entonces.
En el eje numérico, el número mayor siempre se ubicará a la derecha, el menor, a la izquierda (Fig. 1).
Arroz. 1. En el eje numérico, el número más grande se encuentra a la derecha, el más pequeño a la izquierda.
¿Por qué necesitamos tales definiciones formales? Nuestra comprensión es una cosa y la tecnología es otra. Si formulamos un algoritmo estricto para comparar números, entonces se puede confiar a una computadora. Esto es una ventaja: este enfoque nos evita realizar operaciones de rutina. Pero también hay un inconveniente: la computadora sigue exactamente el algoritmo dado. Si la computadora tiene la tarea: el tren debe salir de la estación en, entonces incluso si se encuentra en el andén en, no podrá tomar este tren. Por tanto, los algoritmos que le asignamos a la computadora para realizar diversos cálculos o resolver problemas deben ser muy precisos y lo más formalizados posible.
Como en el caso de las igualdades, se pueden realizar algunas acciones con desigualdades y obtener desigualdades equivalentes.
Echemos un vistazo a algunos de ellos.
1. Si, luegopara cualquier número. Aquellos. puedes sumar o restar el mismo número a ambos lados de la desigualdad.
Ya tenemos una buena imagen: la balanza. Si una de las básculas pesaba más, no importa cuánto agreguemos (o tomemos) a ambas básculas, esta situación no cambiará (Fig. 2).
Arroz. 2. Si las básculas no están equilibradas, luego de sumarles (restarles) el mismo número de pesos, permanecerán en la misma posición desequilibrada.
Esta acción se puede formular de otra manera: puedes transferir los términos de una parte de la desigualdad a otra, cambiando su signo al contrario :.
2.
Si, luegoy
para cualquier positivo.
Aquellos. ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar o dividir por un número positivo y su signo no cambia.
Para comprender esta propiedad, puede usar nuevamente la analogía con los pesos: si, por ejemplo, el tazón de la izquierda pesaba más, entonces si tomamos dos tazones de la izquierda y dos de la derecha, la ventaja definitivamente permanecerá. La misma situación es para cuencos, etc. Aunque tomemos la mitad de cada uno de los cuencos, la situación tampoco cambiará (Fig. 3).
Arroz. 3. Si las escalas no están equilibradas, luego de tomar la mitad de cada una de ellas, permanecerán en la misma posición desequilibrada.
Si multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por un número negativo, entonces el signo de la desigualdad cambiará al opuesto. La analogía para esta operación es un poco más complicada: no hay cantidades negativas. El hecho de que los números negativos tengan lo contrario ayudará aquí (cuanto mayor sea el módulo del número, menor será el número en sí): 
.
Para números de diferentes signos, es aún más fácil: 
... Es decir, multiplicando por, debemos cambiar el signo de desigualdad al contrario.
En cuanto a multiplicar por un número negativo, puede realizar una operación equivalente en dos partes: primero multiplique por el número positivo opuesto; como ya sabemos, el signo de desigualdad no cambiará :.
Más sobre suma y multiplicación
En la primera propiedad, escribimos :, pero al mismo tiempo dijimos que no solo se puede sumar, sino también restar. ¿Por qué? Porque restar un número es lo mismo que sumar el número opuesto: 
... Por eso hablamos no solo de suma, sino también de resta.
De manera similar, con la segunda propiedad: la división es una multiplicación por el recíproco :. Por lo tanto, en la segunda propiedad, estamos hablando no solo de multiplicación por un número, sino también de división.
3. Para números positivosy, si, luego.
Conocemos bien esta propiedad: si dividimos el pastel en una persona, cuanto más, menos obtendremos todos. Por ejemplo: por lo tanto (de hecho, la cuarta parte del pastel es claramente menor que la tercera parte del mismo pastel) (Fig. 4).
Arroz. 4. La cuarta parte del pastel es menos que la tercera parte del mismo pastel.
4. Siy, luego.
Continuando con la analogía con las escalas: si en algunas escalas el cuenco izquierdo pesa más que el derecho y en otras, la misma situación, luego, después de verter el contenido del izquierdo y por separado el contenido de los cuencos derechos, nuevamente obtenemos que el cuenco izquierdo pesa más (Fig. 5).
Arroz. 5. Si los tazones de la izquierda de las dos balanzas pesan más que los de la derecha, después de verter el contenido de la izquierda y por separado el contenido de los tazones de la derecha por separado, resulta que el tazón de la izquierda pesa más
5. Por positivo, siy, luego.
Aquí la analogía es un poco más complicada, pero también clara: si el cuenco izquierdo es más pesado que el derecho y tomamos más cuencos izquierdos que los derechos, entonces definitivamente obtendremos un cuenco más macizo (Fig.6).
Arroz. 6. Si el cuenco de la izquierda es más pesado que el de la derecha, si toma más cuencos de la izquierda que de los derechos, obtendrá un cuenco más grande
Las dos últimas propiedades son intuitivas: sumar o multiplicar números mayores dará como resultado un número mayor.
La mayoría de estas propiedades pueden demostrarse rigurosamente utilizando varios axiomas y definiciones algebraicos, pero no lo haremos. Para nosotros, el proceso de prueba no es tan interesante como el resultado obtenido directamente, que usaremos en la práctica.
Hasta ahora, hemos hablado de las desigualdades como una forma de escribir el resultado de comparar dos números: o. Pero las desigualdades también se pueden usar para registrar información diversa sobre las restricciones de un objeto en particular. En la vida, a menudo usamos tales restricciones para describir, por ejemplo: Rusia son millones de personas desde Kaliningrado hasta Vladivostok; no se pueden transportar más de kg en un elevador y no se pueden poner más de kg en un paquete. Las restricciones también se pueden utilizar para clasificar objetos. Por ejemplo, según la edad, se distinguen diferentes categorías de la población: niños, adolescentes, jóvenes, etc.
En todos los ejemplos considerados, se puede distinguir una idea general: un cierto valor está limitado desde arriba o desde abajo (o desde ambos lados a la vez). Si es la capacidad de elevación del elevador y es la masa permitida de mercancías que se pueden colocar en el paquete, entonces la información descrita anteriormente se puede escribir de la siguiente manera :, etc.
En los ejemplos revisados, fuimos un poco inexactos. La expresión "no más" implica que se pueden transportar exactamente kg en un elevador, y exactamente kg se pueden poner en un paquete. Por lo tanto, era más correcto escribirlo así: o. Naturalmente, es inconveniente escribir de esta manera, por lo que se les ocurrió un signo especial: que dice "menor o igual". Tal desigualdades son llamados no estricta(respectivamente, desigualdades con signos - estricto). Se utilizan cuando la variable no solo puede ser estrictamente mayor o menor, sino que también puede ser igual al valor límite.
Resolviendo la desigualdad todos estos valores de la variable se llaman, al sustituirlos, la desigualdad numérica obtenida será verdadera. Considere, por ejemplo, la desigualdad :. Los números son soluciones a esta desigualdad, ya que las desigualdades son verdaderas. Sin embargo, los números no son soluciones porque las desigualdades numéricas no son verdaderas. Resuelve la desigualdad, por lo tanto, encuentre todos los valores de las variables para las que la desigualdad será verdadera.
Volvamos a la desigualdad. Sus soluciones se pueden describir de manera equivalente de la siguiente manera: todos los números reales que son mayores. Está claro que hay un número infinito de tales números, ¿cómo, entonces, puede escribir la respuesta? Pasemos al eje numérico: todos los números, grandes, se encuentran a la derecha de. Sombreamos esta área, mostrando así que esta será la respuesta a nuestra desigualdad. Para mostrar que el número no es una solución, se encierra en un círculo vacío o, en otras palabras, se perfora un punto (Fig. 7).
Arroz. 7. El eje numérico muestra que el número no es una solución (punto de punción)
Si la desigualdad no es estricta y el punto elegido es una solución, entonces se encierra en un círculo relleno.
Arroz. 8. El eje numérico muestra que el número es una solución (punto relleno)
Es conveniente anotar la respuesta final usando intervalos... La brecha se registra de acuerdo con las siguientes reglas:
El signo denota infinito, es decir. muestra que el número puede ser arbitrariamente grande () o un valor arbitrariamente pequeño ().
Podemos escribir la respuesta a la desigualdad de la siguiente manera: o simplemente :. Esto significa que lo desconocido pertenece al intervalo especificado, es decir puede tomar cualquier valor de este rango.
Si ambos corchetes del intervalo son redondos, como en nuestro ejemplo, entonces dicho intervalo también se llama intervalo.
Por lo general, la solución a una desigualdad es una brecha, pero también son posibles otras opciones, por ejemplo, una solución puede ser un conjunto que consta de uno o más números. Por ejemplo, una desigualdad tiene solo una solución. De hecho, para cualquier otro valor, la expresión será positiva, lo que significa que no se cumplirá la desigualdad numérica correspondiente.
Puede que la desigualdad no tenga soluciones. En este caso, la respuesta se escribe como ("La variable pertenece al conjunto vacío"). El hecho de que la solución a una desigualdad pueda ser el conjunto vacío no es inusual. De hecho, en la vida real, las restricciones también pueden llevar al hecho de que no hay un solo elemento que cumpla con los requisitos. Por ejemplo, definitivamente no hay personas con una altura superior a los metros y que al mismo tiempo pesen hasta kg. Un conjunto de esas personas no contiene un solo elemento o, como dicen, es un conjunto vacío.
Las desigualdades se pueden utilizar no solo para registrar información conocida, sino también, como modelos matemáticos, para resolver varios problemas. Suponga que tiene rublos. ¿Cuántos rublos de helado puedes comprar con este dinero?
Otro ejemplo. Tenemos rublos y necesitamos comprar helado para amigos. ¿A qué precio podemos elegir helado para comprar?
En la vida, cada uno de nosotros puede resolver problemas tan simples en la mente, pero la tarea de las matemáticas es desarrollar una herramienta conveniente con la que pueda resolver no un problema específico, sino toda una clase de problemas diferentes, independientemente de lo que hagamos. estamos hablando: la cantidad de porciones de helado, automóviles para transportar mercancías o rollos de papel tapiz para la habitación.
Reescribamos la condición del primer problema sobre el helado en lenguaje matemático: una porción cuesta rublos, no sabemos el número de porciones que podemos comprar, lo denotamos como. Luego, el costo total de nuestra compra: rublos. Y, por condición, esta cantidad no debe exceder los rublos. Deshaciéndonos de los nombres, obtenemos un modelo matemático :.
De manera similar para el segundo problema (dónde está el costo de una porción de helado):. Las construcciones son los ejemplos más simples de desigualdades variables o desigualdades lineales.
Las desigualdades lineales se llaman del tipo 
, así como aquellos que pueden reducirse a esta forma mediante transformaciones equivalentes. Por ejemplo: ; ; 
.
No hay nada nuevo en esta definición para nosotros: la diferencia entre desigualdades lineales y ecuaciones lineales es solo en reemplazar el signo igual con el signo de desigualdad. El nombre también está asociado con la función lineal que aparece en el lado izquierdo de la desigualdad (Fig. 9).
Arroz. 9. Gráfico de función lineal
En consecuencia, el algoritmo para resolver desigualdades lineales es casi el mismo que el algoritmo para resolver ecuaciones lineales:
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad lineal :.
Solución
Mover el término con la incógnita del lado derecho de la desigualdad a la izquierda :.
Dividimos ambas partes por un número negativo, el signo de desigualdad cambia al opuesto :. Dibujemos un dibujo en el eje (Fig. 10).
Arroz. 10. Ilustración del ejemplo 1
El espacio no tiene borde izquierdo, así que escribimos. El borde izquierdo del intervalo, la desigualdad es estricta, así que lo escribimos entre paréntesis. Obtenemos el intervalo :.
Ejemplo 2. Resolver desigualdad lineal:
Solución
Expandamos los corchetes en los lados izquierdo y derecho de la desigualdad :.
Aquí hay términos similares:
Dibujemos un dibujo en el eje (Fig. 11).
Arroz. 11. Ilustración por ejemplo 2
Obtenemos el intervalo :.
¿Qué hacer si, después de unir esos términos, lo desconocido desapareció?
Ejemplo 1. Resolver desigualdad lineal: 
.
Solución
Expandamos los corchetes: 
.
Muevamos todos los términos con variable al lado izquierdo y sin variable al lado derecho:
Aquí hay términos similares: 
.
Obtenemos:.
No hay nada desconocido, ¿qué hacer? De hecho, nada nuevo de nuevo. Recuerde lo que hicimos en tales casos para las ecuaciones lineales: si se obtiene una igualdad correcta, entonces la solución es cualquier número real, si se obtiene una igualdad incorrecta, entonces la ecuación no tiene soluciones.
Hacemos lo mismo aquí. Si la desigualdad numérica resultante es verdadera, entonces la incógnita puede tomar cualquier valor: (es el conjunto de todos los números reales). Pero el eje numérico se puede representar de la siguiente manera (Fig.1):
Arroz. 1. Desconocido puede tomar cualquier valor
Y con la ayuda de un intervalo, anótelo así :.
Si la desigualdad numérica resultó ser incorrecta, entonces la desigualdad original no tiene soluciones :.
En nuestro caso, la desigualdad no es cierta, entonces la respuesta es.
En varias tareas, podemos encontrar no una, sino varias condiciones o restricciones a la vez. Por ejemplo, para resolver un problema de transporte, debe tener en cuenta la cantidad de automóviles, el tiempo de viaje, la capacidad de carga, etc. Cada una de las condiciones en lenguaje matemático será descrita por su propia desigualdad. En este caso, son posibles dos opciones:
1. Todas las condiciones se cumplen simultáneamente. Tal caso se describe sistema de desigualdades... Al escribir, se combinan con una llave (se puede leer como la conjunción Y) :.
2. Debe cumplirse al menos una de las condiciones. Esto se describe conjunto de desigualdades(se puede leer como un sindicato O) :.
Los sistemas y conjuntos de desigualdades pueden contener varias variables, su número y complejidad pueden ser cualquiera. Pero estudiaremos en detalle el caso más simple: sistemas y conjuntos de desigualdades con una variable.
¿Cómo solucionarlos? Es necesario resolver individualmente cada una de las desigualdades, y luego todo depende de si el sistema está frente a nosotros o la totalidad. Si este es un sistema, se deben cumplir todas las condiciones. Si Sherlock Holmes determinó que el perpetrador era rubio y tenía el tamaño de un pie, entonces entre los sospechosos solo debería haber rubios con el tamaño de un pie. Aquellos. sólo los valores que corresponden a una, y la segunda, y, en su caso, la tercera, y otras condiciones son adecuados para nosotros. Están en la intersección de todos los conjuntos obtenidos. Si usa un eje numérico, entonces - en la intersección de todas las partes sombreadas del eje (Fig. 12).
Arroz. 12. Solución del sistema: intersección de todas las partes sombreadas del eje
Si es una coleccion, entonces todos los valores que son soluciones de al menos una desigualdad son adecuados para nosotros. Si Sherlock Holmes determinó que el culpable podría ser un rubio o una persona con el tamaño de un pie, entonces todas las rubias (sin importar el tamaño de los zapatos) y todas las personas con un pie (sin importar el color del cabello) deberían estar entre los sospechosos. Aquellos. la solución al conjunto de desigualdades será la unión de los conjuntos de sus soluciones. Si usa un eje numérico, entonces - la unión de todas las partes sombreadas del eje (Fig.13).
Arroz. 13. Solución agregada: combinación de todas las piezas del eje sombreadas
Puede obtener más información sobre el cruce y la fusión a continuación.
Intersección y unión de conjuntos
Los términos "intersección" y "unión" se refieren al concepto de conjunto. Un montón de- un conjunto de elementos que cumplen algunos criterios. Puedes pensar en tantos ejemplos de sets como quieras: muchos compañeros de clase, muchos jugadores de fútbol de la selección rusa, muchos autos en un patio vecino, etc.
Ya está familiarizado con los conjuntos numéricos: el conjunto de números naturales, enteros, números racionales, números reales. También hay conjuntos vacíos, no contienen elementos. Las soluciones a las desigualdades también son conjuntos de números.
Intersección de dos conjuntosy Se denomina conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen tanto al conjunto como al conjunto (Fig. 1).
Arroz. 1. Intersección de conjuntos y
Por ejemplo, la intersección de una multitud de mujeres y una multitud de presidentas de todos los países serán todas presidentas.
La unión de dos conjuntosy Se denomina conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos o (Fig. 2).
Arroz. 2. Unión de conjuntos y
Por ejemplo, la unificación de muchos jugadores del Zenit en el equipo nacional ruso y los jugadores del Spartak en el equipo nacional ruso incluirá a todos los jugadores del Zenit y Spartak que juegan para el equipo nacional. Por cierto, la intersección de estos conjuntos será un conjunto vacío (un jugador no puede jugar con dos clubes al mismo tiempo).
Ya ha encontrado la unión y la intersección de conjuntos de números al buscar el LCM y el MCD de dos números. Si y son conjuntos que constan de factores primos obtenidos mediante la descomposición de números, entonces el MCD se obtiene de la intersección de estos conjuntos y el LCM se obtiene de la unión. Ejemplo: 
Ejemplo 3. Resuelve el sistema de desigualdades: 
.
Solución
Resolvamos las desigualdades por separado. En la primera desigualdad, trasladamos el término sin variable al lado derecho con el signo opuesto :.
Aquí hay términos similares:
Divida ambos lados de la desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad no cambia:
En la segunda desigualdad, transferimos el término con una variable al lado izquierdo y sin una variable al derecho: 
... Aquí hay términos similares:
Divida ambos lados de la desigualdad por un número positivo, el signo de desigualdad no cambia:
Representemos las soluciones de desigualdades individuales en el eje numérico. Por hipótesis, tenemos un sistema de desigualdades, por lo que buscamos la intersección de soluciones (Fig. 14).
Arroz. 14. Ilustración por ejemplo 3
De hecho, la primera parte de resolver sistemas y conjuntos de desigualdades con una variable se reduce a resolver desigualdades lineales individuales. Puede practicar esto por su cuenta (por ejemplo, con la ayuda de nuestras pruebas y simuladores), y nos detendremos con más detalle en la búsqueda de uniones e intersecciones de conjuntos de soluciones.
Ejemplo 4. Obtenga la siguiente solución de ecuaciones individuales del sistema:
Solución
Sombrear en el eje la región correspondiente a la solución de la primera ecuación (Fig. 15); la solución de la segunda ecuación es un conjunto vacío, nada le corresponde en el eje.
Arroz. 15. Ilustración por ejemplo 4
Este es un sistema, por lo que debe buscar la intersección de soluciones. Pero no lo son. Por lo tanto, la respuesta al sistema también es el conjunto vacío :.
Ejemplo 5. Otro ejemplo:.
Solución
La diferencia es que esto ya es un conjunto de desigualdades. Por lo tanto, debe elegir un área en el eje que corresponda a la solución de al menos una de las ecuaciones. Obtenemos la respuesta :.
¿Qué necesitas saber sobre los iconos de desigualdad? Desigualdad con icono más (> ), o menor (< ) son llamados estricto. Con iconos mas o igual (≥ ), Menos que o igual a (≤ ) son llamados no estricta. Icono no es igual (≠ ) se distingue, pero los ejemplos con un icono de este tipo también deben resolverse todo el tiempo. Y decidiremos.)
El icono en sí tiene poco efecto en el proceso de decisión. Pero al final de la solución, al elegir la respuesta final, ¡el significado del icono aparece con toda su fuerza! Lo que veremos a continuación, con ejemplos. Hay bromas ahí ...
Las desigualdades, como la igualdad, son fiel e infiel. Aquí todo es simple, sin trucos. Digamos 5 > 2 - corregir la desigualdad. 5 < 2 es incorrecto.
Este tipo de preparación funciona para las desigualdades. cualquier tipo y terriblemente simple.) Solo necesita realizar correctamente dos (¡solo dos!) acciones elementales. Estas acciones son familiares para todos. Pero, lo que es característico, las jambas en estas acciones son el principal error en la solución de desigualdades, sí ... Por eso, es necesario repetir estas acciones. Estas acciones se denominan de la siguiente manera:
Transformaciones idénticas de desigualdades.
Las transformaciones idénticas de desigualdades son muy similares a las transformaciones de identidad de ecuaciones. De hecho, este es el principal problema. Las diferencias pasan de la cabeza y ... han llegado.) Por lo tanto, destacaré estas diferencias. Entonces, la primera transformación idéntica de desigualdades:
1. A ambos lados de la desigualdad, puedes sumar (restar) el mismo número o expresión. Alguien. Esto no cambiará el signo de desigualdad.
En la práctica, esta regla se aplica como una transferencia de términos del lado izquierdo de la desigualdad al lado derecho (y viceversa) con un cambio de signo. ¡Con cambio de signo, no desigualdad! La regla de uno a uno es la misma que la regla para las ecuaciones. Pero las siguientes transformaciones idénticas en desigualdades difieren significativamente de las de las ecuaciones. Entonces los resalto en rojo:
2. Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar (dividir) por el mismopositivonúmero. Algunapositivo No cambiará.
3. Ambos lados de la desigualdad se pueden multiplicar (dividir) por el mismonegativo número. Algunanegativonúmero. Signo de desigualdad de estecambiará a lo contrario.
Recuerda (con suerte ...) que la ecuación se puede multiplicar / dividir por casi cualquier cosa. Y para cualquier número y para la expresión con x. Si solo no a cero. No hace frío ni calor para él, la ecuación). No cambia. Pero las desigualdades son más sensibles a la multiplicación / división.
Un buen ejemplo para una larga memoria. Escribamos una desigualdad que está fuera de toda duda:
5 > 2
Multiplica ambos lados por +3, obtenemos:
15 > 6
¿Alguna objeción? No hay objeciones.) Y si multiplicamos ambos lados de la desigualdad original por -3, obtenemos:
15 > -6
Y esto es una mentira descarada.) ¡Completas mentiras! ¡Engaño al pueblo! Pero vale la pena cambiar el signo de desigualdad por el contrario, ya que todo encaja:
15 < -6
Sobre mentiras y engaños, no solo estoy jurando.) "Olvidé cambiar el signo de desigualdad ..."- este es hogar Error al resolver desigualdades. ¡Esta regla trivial y sencilla ha lastimado a tanta gente! Olvidado ...) Así que lo juro. Tal vez se recuerde ...)
Aquellos que sean especialmente cuidadosos notarán que la desigualdad no se puede multiplicar por una expresión con una x. ¡Respeto atento!) ¿Por qué no? La respuesta es simple. No conocemos el signo de esta expresión con una x. Puede ser positivo, negativo ... Por tanto, no sabemos qué signo de desigualdad poner después de la multiplicación. ¿Debería cambiarlo o no? Desconocido. Por supuesto, esta limitación (prohibición de multiplicar / dividir la desigualdad por una expresión con x) se puede eludir. Si realmente lo necesitas. Pero este es un tema para otras lecciones.
Esas son todas las transformaciones idénticas de desigualdades. Déjame recordarte una vez más que trabajan para alguna desigualdades. Y ahora puede pasar a tipos específicos.
Desigualdades lineales. Solución, ejemplos.
Las desigualdades lineales son desigualdades en las que x está en primer grado y no hay división por x. Escribe:
x + 3 > 5x-5
¿Cómo se resuelven estas desigualdades? ¡Se pueden resolver muy fácilmente! A saber: con la ayuda reducimos la desigualdad lineal más confusa directo a la respuesta.Ésa es toda la solución. Destacaré los puntos principales de la solución. Para evitar errores estúpidos.)
Resolvemos esta desigualdad:
x + 3 > 5x-5
Resolvemos de la misma manera que para una ecuación lineal. Con una sola diferencia:
¡Seguimos de cerca el signo de la desigualdad!
El primer paso es el más común. Con x - a la izquierda, sin x - a la derecha ... Esta es la primera transformación idéntica, simple y sin problemas.) Solo los signos de los miembros transferidos no se olvidan de cambiar.
El signo de desigualdad permanece:
x-5x > -5-3
Aquí hay otros similares.
El signo de desigualdad permanece:
4x > -8
Queda por aplicar la última transformación idéntica: dividir ambos lados por -4.
Dividido por negativo número.
El signo de desigualdad se invertirá:
NS < 2
Esta es la respuesta.
Así es como se resuelven todas las desigualdades lineales.
¡Atención! El punto 2 se dibuja en blanco, es decir sin pintar. Vacío por dentro. ¡Esto significa que ella no está incluida en la respuesta! La dibujé a propósito tan saludable. Tal punto (¡vacío, no saludable!)) En matemáticas se llama punto de punción.
El resto de los números del eje se pueden marcar, pero no es necesario. Los números extraños que no están relacionados con nuestra desigualdad pueden ser confusos, sí ... Solo debes recordar que el aumento de números va a lo largo de la flecha, es decir, números 3, 4, 5, etc. están A la derecha dos y números 1, 0, -1, etc. - A la izquierda.
Desigualdad x < 2 - estricto. X es estrictamente menor que dos. En caso de duda, la comprobación es sencilla. Introducimos un número dudoso en la desigualdad y pensamos: "¿Es dos menos que dos? ¡Por supuesto que no!" Exactamente. Desigualdad 2 < 2 incorrecto. Un deuce no funciona como respuesta.
¿Es uno bueno? Por supuesto. Menos ... Y cero es bueno, y -17, y 0.34 ... Sí, ¡todos los números que son menores que dos son buenos! E incluso 1.9999 .... ¡Al menos un poco, pero menos!
Así que marquemos todos estos números en el eje numérico. ¿Cómo? Aquí hay opciones. La primera opción es el sombreado. Pase el mouse sobre la imagen (o toque la imagen en la tableta) y vea que el área sombreada de todas las x coincide con la condición x < 2 ... Eso es todo.
Consideremos la segunda opción usando el segundo ejemplo:
NS ≥ -0,5
Dibuja el eje, marca el número -0,5. Como esto:
¿Notaste la diferencia?) Bueno, sí, es difícil no notarlo ... ¡Este punto es negro! Pintado. Esto significa que -0,5 está incluido en la respuesta. Aquí, por cierto, alguien puede estar controlado y confundido. Sustituimos:
-0,5 ≥ -0,5
¿Cómo es eso? ¡-0,5 no es más que -0,5! Y hay más icono ...
Está bien. En una desigualdad no estricta, todo lo que se ajuste a la insignia es bueno. Y es igual a bueno y más bueno. Por lo tanto, se incluye -0,5 en la respuesta.
Entonces, marcamos -0.5 en el eje, queda marcar todos los números que son mayores que -0.5. Esta vez marco el área de valores x adecuados inclinarse(de la palabra arco) en lugar de eclosionar. Pase el cursor sobre la imagen y vea este arco.
No hay mucha diferencia entre sombreado y arcos. Haz lo que te dijo el maestro. Si no hay maestro, dibuja arcos. En tareas más complejas, el sombreado es menos claro. Puede confundirse.
Así es como se dibujan las desigualdades lineales en el eje. Pasamos a la siguiente característica de desigualdades.
Registrar la respuesta de las desigualdades.
Las ecuaciones eran buenas). Calculamos x y escribimos la respuesta, por ejemplo: x = 3. En las desigualdades, hay dos formas de registrar las respuestas. Uno: en forma de desigualdad final. Bueno para casos sencillos. Por ejemplo:
NS< 2.
Esta es una respuesta completa.
A veces se requiere escribir lo mismo, pero en una forma diferente, a intervalos numéricos. Entonces la grabación comienza a parecer muy científica):
х ∈ (-∞; 2)
Bajo el icono ∈ la palabra se esconde "pertenece".
El registro se lee así: x pertenece al intervalo de menos infinito a dos No incluído. Es bastante lógico. X puede ser cualquier número de todos los números posibles desde menos infinito hasta dos. No puede haber deuce X, que es lo que nos dice la palabra "No incluído".
¿Y dónde está la respuesta? Puedes ver que "No incluído"? Este hecho se nota en la respuesta ronda paréntesis inmediatamente después de los dos. Si se incluyen dos, el paréntesis sería cuadrado. Como esto:]. El siguiente ejemplo usa este paréntesis.
Escribamos la respuesta: x ≥ -0,5 a intervalos:
x ∈ [-0,5; + ∞)
Leer: x pertenece al intervalo de menos 0,5, incluso, a más el infinito.
Infinity nunca se puede encender. No es un número, es un símbolo. Por lo tanto, en tales registros, el infinito siempre está adyacente a un paréntesis.
Esta forma de escritura es conveniente para respuestas complejas que constan de varios intervalos. Pero, solo para las respuestas finales. En resultados intermedios, donde se espera una solución adicional, es mejor utilizar la forma habitual, en forma de desigualdad simple. Trataremos de esto en los temas relevantes.
Trabajos populares con desigualdades.
Las propias desigualdades lineales son simples. Por lo tanto, a menudo, las tareas se vuelven más complicadas. Entonces, pensar que era necesario. No es muy agradable, si no está acostumbrado). Pero es útil. Mostraré ejemplos de tales tareas. No es para que los aprendas, esto es superfluo. Y para no tener miedo al encontrarse con tales ejemplos. Piense un poco, ¡y todo es simple!)
1. Encuentra dos soluciones a la desigualdad 3x - 3< 0
Si no está muy claro qué hacer, recuerde la regla principal de las matemáticas:
Si no sabe lo que se necesita, ¡haga lo que pueda!)
NS < 1
¿Y qué? Nada especial. ¿Qué nos preguntan? Se nos pide que encontremos dos números específicos que resuelvan una desigualdad. Aquellos. encaja la respuesta. Dos alguna números. En realidad, esto es vergonzoso). Un par de 0 y 0,5 son adecuados. Un par de -3 y -8. ¡Sí, estas parejas son infinitas! Cuál es la respuesta correcta ?!
La respuesta es: ¡todo! Cualquier par de números, cada uno menos de uno, sería la respuesta correcta. Escribe lo que quieres. Vayamos más lejos.
2. Resuelve la desigualdad:
4x - 3 ≠ 0
Las misiones de esta forma son raras. Pero, como desigualdades auxiliares, al encontrar el GDV, por ejemplo, o al encontrar el dominio de definición de una función, a menudo se encuentran. Esta desigualdad lineal se puede resolver como una ecuación lineal ordinaria. Solo en todas partes, excepto por el signo "=" ( es igual a) poner el cartel " ≠ " (no es igual). Entonces llegará a la respuesta, con el signo de desigualdad:
NS ≠ 0,75
En ejemplos más complejos, es mejor hacerlo de otra manera. Igualar la desigualdad. Como esto:
4x - 3 = 0
Resuélvalo con calma, como se enseñó, y obtenga la respuesta:
x = 0,75
Lo principal es que, al final, al escribir la respuesta final, no olvides que hemos encontrado la X, que da igualdad. Y necesitamos - desigualdad. Por lo tanto, simplemente no necesitamos esta X.) Y debemos escribirlo con el ícono correcto:
NS ≠ 0,75
Este enfoque da como resultado menos errores. Aquellos que resuelven automáticamente las ecuaciones. Y para los que no resuelven las ecuaciones, las desigualdades, de hecho, son inútiles ...) Otro ejemplo de tarea popular:
3. Encuentra la solución entera más pequeña de la desigualdad:
3 (x - 1) < 5x + 9
Primero, simplemente resolvemos la desigualdad. Abrimos los paréntesis, los transferimos, damos parecidos ... Obtenemos:
NS > - 6
Incorrecto !? ¿Siguieron las señales? Y detrás de los signos de los miembros, y detrás del signo de la desigualdad ...
Pensando de nuevo. Necesitamos encontrar un número específico que coincida tanto con la respuesta como con la condición "entero más pequeño". Si no amanece de inmediato, puede tomar cualquier número y estimar. ¿Dos son más que menos seis? ¡Por supuesto! ¿Existe un número más pequeño adecuado? Por supuesto. Por ejemplo, cero es mayor que -6. ¿Y menos aún? ¡Necesitamos lo más pequeño posible! ¡Menos tres es más que menos seis! Ya puedes captar el patrón y dejar de ordenar números estúpidamente, ¿verdad?)
Llevamos un número más cercano a -6. Por ejemplo, -5. La respuesta se ejecuta, -5 > - 6. ¿Puedes encontrar otro número, menor que -5, pero mayor que -6? Puede, por ejemplo, -5,5 ... ¡Alto! Nos dijeron entero¡solución! ¡No rueda -5,5! ¿Y menos seis? ¡Uh-uh! La desigualdad es estricta, ¡menos 6 no es menos que menos 6!
Por lo tanto, la respuesta correcta es -5.
Espero que todo quede claro con la elección del valor de la solución general. Otro ejemplo:
4. Resuelve la desigualdad:
7 < 3x + 1 < 13
¡Cómo! Esta expresión se llama triple desigualdad. Estrictamente hablando, esta es una notación abreviada para un sistema de desigualdades. Pero todavía tienes que resolver desigualdades triples en algunas tareas ... Se resuelve sin ningún sistema. Para las mismas transformaciones idénticas.
Es necesario simplificar, llevar esta desigualdad a un xx puro. Pero ... ¿¡Qué es donde transferir !? Ahora es el momento de recordar que el cambio de izquierda a derecha es forma abreviada la primera transformación idéntica.
Y la forma completa suena así: Puede sumar / restar cualquier número o expresión a ambos lados de la ecuación (desigualdad).
Aquí hay tres partes. ¡Así que aplicaremos transformaciones idénticas a las tres partes!
Entonces, eliminemos el 1 en el medio de la desigualdad. Reste uno de toda la parte del medio. Para que la desigualdad no cambie, restamos 1 de las dos partes restantes. Como esto:
7 -1< 3 veces + 1-1 < 13-1
6 < 3 veces < 12
Mejor, ¿verdad?) Queda por dividir las tres partes en tres:
2 < NS < 4
Eso es todo. Esta es la respuesta. X puede ser cualquier número de dos (sin incluir) a cuatro (sin incluir). Esta respuesta también se escribe a intervalos, tales registros estarán en desigualdades cuadradas. Ahí están lo más común.
Al final de la lección, repetiré lo más importante. El éxito en la resolución de desigualdades lineales depende de la capacidad de transformar y simplificar ecuaciones lineales. Si al mismo tiempo cuidado con el signo de la desigualdad, no habrá problemas. Que es lo que te deseo. No hay problema.)
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Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
La desigualdad es la otra cara de la igualdad. El material de este artículo da la definición de desigualdad e información inicial sobre ella en el contexto de las matemáticas.
El concepto de desigualdad, como el concepto de igualdad, está asociado al momento en que se comparan dos objetos. Mientras que igualdad significa "lo mismo", la desigualdad, por otro lado, indica diferencias en los objetos que se comparan. Por ejemplo, y son los mismos objetos o iguales. y - objetos que son diferentes o desiguales entre sí.
La desigualdad de los objetos está determinada por la carga semántica de palabras como arriba - abajo (desigualdad basada en la altura); más grueso - más delgado (desigualdad basada en el grosor); más largo - más corto (desigualdad basada en la longitud) y así sucesivamente.
Es posible hablar de la igualdad-desigualdad de los objetos en su conjunto y de la comparación de sus características individuales. Digamos que se dan dos objetos: y. No hay duda de que estos objetos no son los mismos, es decir en general, no son iguales: en cuanto a tamaño y color. Pero, al mismo tiempo, podemos decir que sus formas son iguales: ambos objetos son círculos.
En el contexto de las matemáticas, la carga semántica de la desigualdad permanece. Sin embargo, en este caso estamos hablando de la desigualdad de objetos matemáticos: números, valores de expresiones, valores de cantidades (longitud, área, etc.), vectores, formas, etc.
No es igual, más, menos
Dependiendo de los objetivos del problema planteado, el mero hecho de conocer la desigualdad de los objetos puede resultar valioso, pero habitualmente, una vez establecido el hecho de la desigualdad, se aclara qué valor es aún mayor y cuál es menor.
El significado de las palabras "más" y "menos" nos resulta intuitivamente familiar desde el principio de nuestra vida. La habilidad obvia es determinar la superioridad de un objeto en términos de tamaño, cantidad, etc. Pero al final, cualquier comparación nos lleva a una comparación de números que determinan algunas de las características de los objetos comparados. Básicamente, estamos averiguando qué número es mayor y cuál es menor.
Ejemplo simple:
Ejemplo 1
Por la mañana la temperatura del aire era de 10 grados centígrados; a las dos de la tarde, esta cifra era de 15 grados. Con base en una comparación de números naturales, podemos afirmar que la temperatura de la mañana fue menor que su valor a las dos de la tarde (oa las dos de la tarde la temperatura aumentó, pasó a ser mayor que la temperatura de la mañana).
Escribir desigualdades usando signos
Existe una notación generalmente aceptada para escribir desigualdades:
Definición 1
- el signo no igual, que es un signo igual tachado: ≠. Este letrero se encuentra entre objetos desiguales. Por ejemplo: 5 ≠ 10 cinco no es igual a diez;
- signo mayor que:> y signo menor que:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | indica que el segmento A B es mayor que el segmento C D;
- signo mayor o igual: ≥ y signo menor o igual: ≤.
Analizaremos su significado con más detalle a continuación. Démosle una definición de desigualdades por la forma de su notación.
Definición 2
Desigualdades- expresiones algebraicas que tienen significado y se escriben con los signos ≠,>,< , ≤ , ≥ .
Desigualdades estrictas y laxas
Definición 3Signos de desigualdad estricta¿Son los signos "mayor que" y "menor":> y< Неравенства, составленные с их помощью – Desigualdades estrictas.
Signos de desigualdades no estrictas- estos son los signos "mayor o igual que" y "menor o igual": ≥ y ≤. Desigualdades compensadas con ellos - desigualdades laxas.
Hemos discutido anteriormente cómo se aplican las desigualdades estrictas. ¿Por qué se utilizan desigualdades laxas? En la práctica, estas desigualdades se pueden utilizar para definir casos descritos por las palabras "no más" y "no menos". La frase "no más" significa menos o igual - este nivel de comparación corresponde al signo "menor o igual" ≤. A su vez, "no menos" significa - igual o más, y este es el signo "mayor o igual" ≥. Así, las desigualdades laxas, en contraste con las estrictas, permiten la igualdad de objetos.
Desigualdades verdaderas y falsas
Definición 4Verdadera desigualdad- esa desigualdad que corresponde al significado anterior de desigualdad. De lo contrario, es infiel.
Aquí hay algunos ejemplos simples para mayor claridad:
Ejemplo 2
La desigualdad 5 ≠ 5 no es cierta, porque de hecho los números 5 y 5 son iguales.
O una comparación como esta:
Ejemplo 3
Suponga que S es el área de alguna figura, en este caso S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.
De significado similar al término "desigualdad correcta" son las frases "desigualdad justa", "la desigualdad tiene lugar", etc.
Propiedades de las desigualdades
Describamos las propiedades de las desigualdades. Es un hecho obvio que un objeto no puede ser desigual consigo mismo, y esta es la primera propiedad de la desigualdad. La segunda propiedad suena así: si el primer objeto no es igual al segundo, entonces el segundo no es igual al primero.
Describamos las propiedades correspondientes a los signos "mayor que" o "menor":
Definición 5
- antirreflectante... Esta propiedad se puede expresar de la siguiente manera: para cualquier objeto k, las desigualdades k> k y k< k неверны;
- antisimetría... Esta propiedad dice que si el primer objeto es mayor o menor que el segundo, entonces el segundo objeto, respectivamente, es menor o mayor que el primero. Escribimos: si m> n, entonces n< m . Или: если m < n , то n >metro;
- transitividad... En notación literal, la propiedad especificada se verá así: si se especifica que un< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >byb> c, lo que significa a> c. Esta propiedad es intuitivamente comprensible y natural: si el primer objeto es más grande que el segundo y el segundo es más grande que el tercero, entonces queda claro que el primer objeto es tanto más grande que el tercero.
Algunas propiedades también son inherentes a los signos de desigualdades no estrictas:
Definición 6
- reflexividad: a ≥ ay a ≤ a (esto también incluye el caso cuando a = a);
- antisimetría: si a ≤ b, entonces b ≥ a. Si a ≥ b, entonces b ≤ a;
- transitividad: si a ≤ byb ≤ c, entonces es obvio que a ≤ c. Y también: si a ≥ byb ≥ c, entonces a ≥ c.
Doble, triple, etc. desigualdades
La propiedad de transitividad permite escribir desigualdades dobles, triples, etc., que son esencialmente cadenas de desigualdades. Por ejemplo: desigualdad doble - e> f> go desigualdad triple k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.
Tenga en cuenta que es conveniente escribir la desigualdad como cadenas que incluyan varios signos: igual, no igual y los signos de desigualdades estrictas y no estrictas. Por ejemplo, x = 2< y ≤ z < 15 .
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