Teoría de probabilidad. Resolución de problemas (2020)

22.10.2021

Ya sabemos que la probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento aleatorio, es decir, un evento que puede ocurrir o no bajo un cierto conjunto de condiciones. Cuando cambia el conjunto de condiciones, la probabilidad de un evento aleatorio puede cambiar. Como condición adicional, podemos considerar la ocurrencia de otro evento. Entonces, si el complejo de condiciones bajo las cuales ocurre un evento aleatorio A, agregue uno más, consistente en la ocurrencia de un evento aleatorio V, entonces la probabilidad de que ocurra el evento A se llamará condicional.

Probabilidad condicional del evento A- la probabilidad de que ocurra el evento A, siempre que el evento B. La probabilidad condicional se denota (A).

Ejemplo 16. La caja contiene 7 bolas blancas y 5 negras, que solo se diferencian en el color. La experiencia consiste en que se saca una bola al azar y, sin bajarla, se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola extraída sea negra si se extrae una blanca en la primera retirada?

Solución.

Tenemos dos eventos aleatorios ante nosotros: un evento A- la primera bola sacada resultó ser blanca, V- la segunda bola extraída es negra. A y B son eventos inconsistentes, usaremos la definición clásica de probabilidad. El número de resultados elementales al sacar la primera bola es 12 y el número de resultados favorables para obtener la bola blanca es 7. Por lo tanto, la probabilidad P (A) = 7/12.

Si la primera bola resultó ser blanca, entonces la probabilidad condicional del evento V- la aparición de la segunda bola negra (siempre que la primera bola fuera blanca) - igual a (V)= 5/11, ya que antes de sacar la segunda bola quedan 11 bolas, de las cuales 5 son negras.

Nótese que la probabilidad de que aparezca una bola negra en la segunda extracción no dependería del color de la primera bola extraída si, después de sacar la primera bola, la volvemos a poner en la caja.

Considere dos eventos aleatorios A y B. Sean conocidas las probabilidades P (A) y (B). Determinemos a qué es igual la probabilidad de que ocurra tanto el evento A como el evento B, es decir, obras de estos eventos.

Teorema de multiplicación de probabilidades. La probabilidad del producto de dos eventos es igual al producto de la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicional del otro, calculada bajo la condición de que ocurrió el primer evento:

P (A × B) = P (A) × (B).

Dado que para calcular la probabilidad de un producto no importa cuál de los eventos considerados A y V fue el primero y cuál fue el segundo, luego puede escribir:

P (A × B) = P (A) × (B) = P (B) × (A).

El teorema se puede extender al producto de n eventos:

P (A 1 A 2. A p) = P (A x) P (A 2 / A 1) .. P (A p / A 1 A 2 ... A p-1).

Ejemplo 17. Para las condiciones del ejemplo anterior, calcule la probabilidad de sacar dos bolas: a) la bola blanca primero y la negra segunda; b) dos bolas negras.

Solución.

a) A partir del ejemplo anterior, conocemos las probabilidades de sacar la bola blanca de la caja primero y la bola negra en segundo lugar, siempre que la bola blanca se retire primero. Para calcular la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos, usamos el teorema de multiplicación de probabilidades: P (A × B) = P (A) × (B) = .

b) Del mismo modo, calculamos la probabilidad de sacar dos bolas negras. Probabilidad de conseguir primero la bola negra . La probabilidad de obtener la bola negra por segunda vez, siempre que no volvamos a colocar la primera bola negra extraída en la caja. (quedan 4 bolas negras y hay 11 bolas en total). La probabilidad resultante se puede calcular mediante la fórmula P (A × B) = P (A) × (B) 0,152.

El teorema de la multiplicación de probabilidades tiene una forma más simple si los eventos A y B son independientes.

El evento B se llama independiente del evento A si la probabilidad del evento B no cambia de si el evento A ha ocurrido o no. Si el evento B es independiente del evento A, entonces su condicional (B) es igual a la probabilidad habitual P (B):

Resulta que si el evento V será independiente del evento A, luego el evento A será independiente de V, es decir. (A) = P (A).

Vamos a demostrarlo. Sustituir la igualdad de la definición de independencia del evento. V del evento A en el teorema de la multiplicación de probabilidades: P (A × B) = P (A) × (B) = P (A) × (B). Pero del otro lado P (A × B)= P (B) × (A). Medio P (A) × (B) = P (B) × (A) y (A) = P (A).

Así, la propiedad de independencia (o dependencia) de los eventos es siempre mutua y se puede dar la siguiente definición: dos eventos se llaman independiente si la aparición de uno de ellos no cambia la probabilidad de aparición del otro.

Cabe señalar que la independencia de los eventos se basa en la independencia de la naturaleza física de su origen. Esto significa que los conjuntos de factores aleatorios que conducen a uno u otro resultado de probar uno y otro evento aleatorio son diferentes. Entonces, por ejemplo, golpear un objetivo con un tirador no influye de ninguna manera (a menos que, por supuesto, se presenten razones exóticas) sobre la probabilidad de golpear el objetivo del segundo tirador. En la práctica, los eventos independientes son muy comunes, ya que la relación causal de los fenómenos en muchos casos está ausente o es insignificante.

El teorema de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes. La probabilidad del producto de dos eventos independientes es igual al producto de la probabilidad de estos eventos: P (A × B) = P (A) × P (B).

El siguiente corolario se deriva del teorema de la multiplicación de probabilidades para eventos independientes.

Si los eventos A y B son inconsistentes y P (A) ¹0, P (B) ¹0, entonces son dependientes.

Demostremos esto por contradicción. Suponga eventos inconsistentes A y V independiente. Luego P (A × B) = P (A) × P (B). Y desde P (A) ¹0, P (B) ¹0, es decir. desarrollos A y V no son imposibles, entonces P (A × B) ¹0. Pero, por otro lado, el evento Až V es imposible como producto de eventos incompatibles (esto se discutió anteriormente). Medio P (A × B) = 0. tiene una contradicción. Por tanto, nuestra suposición inicial es incorrecta. Desarrollos A y V- dependiente.

Ejemplo 18... Volvamos ahora al problema no resuelto de dos tiradores que disparan a un objetivo. Recuerde que con la probabilidad de dar en el blanco por el primer tirador es de 0,8, y el segundo es de 0,7, es necesario encontrar la probabilidad de dar en el blanco.

Desarrollos A y V- golpear el objetivo, respectivamente, por el primer y segundo tirador - articulación, por lo tanto, para encontrar la probabilidad de la suma de eventos A + V- golpear el objetivo con al menos un tirador - debes usar la fórmula: P (A+B) = P (A) + P (B)–P (Až V). Desarrollos A y V independiente, por lo tanto P (A × B) = P (A) × P (B).

Entonces, P (A+B) = P (A) + P (B) - P (A) × P (B).

P (A+B) = 0,8 + 0,7 - 0,8 × 0,7 = 0,94.

Ejemplo 19.

Se disparan dos tiros independientes al mismo objetivo. La probabilidad de acertar en el primer disparo es de 0,6 y en el segundo de 0,8. Calcula la probabilidad de dar en el blanco con dos disparos.

1) Designemos el golpe en el primer disparo como un evento.
A 1, con el segundo - como evento A 2.

Golpear el objetivo supone al menos un golpe: ya sea solo en el primer disparo, o solo en el segundo, o ambos en el primero y en el segundo. Por lo tanto, en el problema se requiere determinar la probabilidad de la suma de dos eventos conjuntos A 1 y A 2:

P (UNA 1 + UNA 2) = P (UNA 1) + P (UNA 2) -P (UNA 1 UNA 2).

2) Dado que los eventos son independientes, entonces P (A 1 A 2) = P (A 1) P (A 2).

3) Obtenemos: P (A 1 + A 2) = 0.6 + 0.8 - 0.6 0.8 = 0.92.
Si los eventos son inconsistentes, entonces P (AB) = 0 y P (A + B) = = P (A) + P (B).

Ejemplo 20.

La urna contiene 2 bolas blancas, 3 rojas y 5 azules del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de que una bola extraída al azar de una urna sea de color (no blanca)?

1) Sea el evento A la remoción de la bola roja de la urna,
evento B - la extracción de la bola azul. Entonces el evento (A + B)
hay una extracción de una bola de color de una urna.

2) P (A) = 3/10, P (B) = 5/10.

3) Los eventos A y B son inconsistentes, ya que solo
una bola. Entonces: P (A + B) = P (A) + P (B) = 0.3 + 0.5 = 0.8.

Ejemplo 21.

La urna contiene 7 bolas blancas y 3 negras. ¿Cuál es la probabilidad de: 1) sacar una bola blanca de la urna (evento A); 2) sacar una bola blanca de la urna después de sacar una bola de ella, que es blanca (evento B); 3) ¿sacar una bola blanca de la urna después de sacar una bola de ella, que es negra (evento C)?

1) P (A) = = 0,7 (ver probabilidad clásica).

2) Р В (А) = = 0, (6).

3) Р С (А) = | = 0, (7).

Ejemplo 22.

El mecanismo se ensambla a partir de tres partes idénticas y se considera inoperante si las tres partes están averiadas. Quedan 15 piezas en el taller de montaje, 5 de las cuales no son estándar (defectuosas). ¿Cuál es la probabilidad de que un mecanismo ensamblado con las partes restantes tomadas al azar no funcione?

1) Denotamos el evento deseado a través de A, la elección de la primera parte no estándar a través de A 1, la segunda a través de A 2, la tercera a través de A 3

2) El evento A ocurrirá si ocurren tanto el evento A 1 como el evento A 2 y el evento A 3, es decir,

UNA = UNA 1 UNA 2 UNA 3,

ya que el "y" lógico corresponde al producto (ver la sección "Álgebra de proposiciones. Operaciones lógicas").

3) Los eventos A 1, A 2, A 3 son dependientes, por lo tanto P (A 1 A 2 A 3) =
= P (A 1) P (A 2 / A 1) P (A 3 / A 1 A 2).

4) P (UNA 1) =, P (UNA 2 / UNA 1) =, P (UNA 3 / UNA 1 UNA 2) =. Luego

P (UNA 1 UNA 2 UNA 3) = 0.022.

Para eventos independientes: P (A B) = P (A) P (B).

Con base en lo anterior, el criterio de independencia de dos eventos A y B:

P (A) = P B (A) = P (A), P (B) = P A (B) = P (B).

Ejemplo 23.

La probabilidad de dar en el blanco por el primer tirador (evento A) es 0,9 y la probabilidad de dar en el blanco por el segundo tirador (evento B) es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado por al menos un tirador?

1) Sea C el evento que nos interesa; lo contrario es que ambos tiradores fallan.

3) Dado que un tirador no interfiere con el otro al disparar, los eventos son independientes.

Tenemos: P () = P () P () = = (1 - 0.9) (1 - 0.8) =

0,1 0,2 = 0,02.

4) P (C) = 1 -P () = 1 -0,02 = 0,98.

Fórmula de probabilidad total

Supongamos que el evento A puede ocurrir como resultado de la manifestación de uno y solo un evento H i (i = 1,2, ... n) de algún grupo completo de eventos incompatibles H 1, H 2, ... H n . Los eventos de este grupo se denominan comúnmente hipótesis.

Fórmula de probabilidad total. La probabilidad del evento A es igual a la suma de los productos emparejados de las probabilidades de todas las hipótesis que forman el grupo completo por las probabilidades condicionales correspondientes del evento A dado:

P (A) = , donde = 1.

Ejemplo 24.

Hay 3 urnas idénticas. En la primera - 2 bolas blancas y 1 negra, en la segunda - 3 bolas blancas y 1 negra, en la tercera urna - 2 bolas blancas y 2 negras. Se elige 1 bola de la urna elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que resulte ser blanco?

Todas las urnas se consideran iguales, por lo tanto, la probabilidad de elegir la i-ésima urna es

Р (H i) = 1/3, donde i = 1, 2, 3.

2) La probabilidad de sacar la bola blanca de la primera urna: (A) =.

La probabilidad de sacar la bola blanca de la segunda urna: (A) =.

La probabilidad de sacar la bola blanca de la tercera urna: (A) =.

3) Probabilidad de búsqueda:

P (A) = =0.63(8)

Ejemplo 25.

La tienda recibe productos de tres fábricas para la venta, cuyas participaciones relativas son: I - 50%, II - 30%, III - 20%. Para los productos de las fábricas, el matrimonio es respectivamente: I - 2%, P - 2%, III - 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto de este producto, comprado accidentalmente en una tienda, sea de buena calidad (evento A)?

1) Las siguientes tres hipótesis son posibles aquí: H 1, H 2, H 3 -
el artículo comprado se elaboró en las fábricas I, II, III, respectivamente; el sistema de estas hipótesis está completo.

Probabilidades: P (H 1) = 0,5; P (H2) = 0,3; P (H 3) = 0,2.

2) Las probabilidades condicionales correspondientes del evento A son: (A) = 1-0.02 = 0.98; (A) = 1-0,03 = 0,97; (A) = = 1-0,05 = 0,95.

3) Según la fórmula de probabilidad total, tenemos: P (A) = 0.5 0.98 + + 0.3 0.97 + 0.2 0.95 = 0.971.

Fórmula de probabilidad posterior (fórmula de Bayes)

Consideremos la situación.

Existe un grupo completo de hipótesis inconsistentes H 1, H 2, ... H n, cuyas probabilidades (i = 1, 2, ... p) se conocen antes del experimento (las probabilidades son a priori). Se realiza un experimento (prueba), como resultado del cual se registró la ocurrencia del evento A, y se sabe que nuestras hipótesis atribuían ciertas probabilidades a este evento (i = 1, 2, ... n). ¿Cuáles son las probabilidades de estas hipótesis después del experimento (probabilidades a posteriori)?

La respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula de probabilidad a posteriori (fórmula de Bayes):

, donde i = 1,2, ... p.

Ejemplo 26.

La probabilidad de impactar un avión con un solo disparo para el primer sistema de misiles (evento A) es 0.2, y para el segundo (evento B) - 0.1. Cada uno de los complejos dispara un tiro y se registra un impacto al avión (evento C). ¿Cuál es la probabilidad de que el disparo exitoso pertenezca al primer sistema de misiles?

Solución.

1) Antes del experimento, son posibles cuatro hipótesis:

H 1 = А В - el avión es golpeado por el primer complejo y el avión es golpeado por el segundo complejo (el producto corresponde al "y" lógico),

H 2 = А В - el avión es golpeado por el primer complejo y el avión no es golpeado por el segundo complejo,

H 3 = А В - el avión no es golpeado por el primer complejo y el avión es golpeado por el segundo complejo,

H 4 = А В - el avión no es impactado por el primer complejo y el avión no es impactado por el segundo complejo.

Estas hipótesis forman un grupo completo de eventos.

2) Las probabilidades correspondientes (con la acción independiente de los complejos):

P (H 1) = 0,2 0,1 = 0,02;

P (H2) = 0,2 (1-0,1) = 0,18;

P (H3) = (1-0,2) 0,1 = 0,08;

P (H 4) = (1-0,2) (1-0,1) = 0,72.

3) Dado que las hipótesis forman un grupo completo de eventos, se debe cumplir la igualdad = 1.

Comprobamos: P (H 1) + P (H 2) + P (H 3) + P (H 4) = 0.02 + 0.18 + + 0.08 + 0.72 = 1, por lo que la hipótesis del grupo en cuestión es correcta.

4) Las probabilidades condicionales para el evento observado С bajo estas hipótesis serán: (С) = 0, ya que según la condición del problema se registró un acierto y la hipótesis H 1 asume dos aciertos:

(С) = 0, ya que se registró un acierto de acuerdo con el enunciado del problema, y la hipótesis H 4 asume que no hay aciertos. En consecuencia, las hipótesis H 1 y H 4 desaparecen.

5) Las probabilidades de las hipótesis H 2 y H 3 se calculan mediante la fórmula bayesiana:

0,7, 0,3.

Así, con una probabilidad de aproximadamente el 70% (0,7), se puede argumentar que un disparo exitoso pertenece al primer sistema de misiles.

5.4. Variables aleatorias. Ley de distribución de una variable aleatoria discreta

Muy a menudo, en la práctica, se consideran tales pruebas, como resultado de la implementación de la cual se obtiene al azar un cierto número. Por ejemplo, al lanzar un dado, la cantidad de puntos cae de 1 a 6, al tomar 6 cartas de la baraja, puede obtener de 0 a 4 ases. Durante un cierto período de tiempo (digamos, un día o un mes), se registra un cierto número de delitos en la ciudad, se produce un cierto número de accidentes de tráfico. Se dispara un tiro de la pistola. El alcance del proyectil también adquiere algún valor al azar.

En todas estas pruebas, nos enfrentamos a las llamadas variables aleatorias.

Un valor numérico que toma un valor particular como resultado de la implementación de la prueba de forma aleatoria se llama variable aleatoria.

El concepto de variable aleatoria juega un papel muy importante en la teoría de la probabilidad. Si la teoría "clásica" de la probabilidad estudió principalmente eventos aleatorios, entonces la teoría moderna de la probabilidad se ocupa principalmente de las variables aleatorias.

En lo que sigue, denotaremos variables aleatorias con letras latinas mayúsculas X, Y, Z, etc., y sus posibles valores, con las correspondientes minúsculas x, y, z. Por ejemplo, si una variable aleatoria tiene tres valores posibles, los denotaremos de la siguiente manera: ,,.

Entonces, ejemplos de variables aleatorias pueden ser:

1) el número de puntos caídos en el borde superior de los dados:

2) el número de ases, al tomar 6 cartas de la baraja;

3) el número de delitos registrados por día o mes;

4) el número de impactos en el objetivo con cuatro disparos de pistola;

5) la distancia a la que volará el proyectil cuando se dispare el arma;

6) el crecimiento de una persona elegida al azar.

Se puede observar que en el primer ejemplo la variable aleatoria puede tomar uno de seis valores posibles: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En el segundo y cuarto ejemplo, el número de valores posibles de la variable aleatoria es cinco: 0, 1, 2, 3, 4 En el tercer ejemplo, el valor de la variable aleatoria puede ser cualquier número natural (teóricamente) o 0. En los ejemplos quinto y sexto, la variable aleatoria puede tomar cualquier valor real de un cierto intervalo a, B).

Si una variable aleatoria puede tomar un conjunto de valores finito o contable, entonces se llama discreto(distribuido discretamente).

Continuo Una variable aleatoria es una variable aleatoria que puede tomar todos los valores de un determinado intervalo finito o infinito.

Para especificar una variable aleatoria, no es suficiente enumerar sus diversos valores. Por ejemplo, en el segundo y tercer ejemplo, las variables aleatorias podrían tomar los mismos valores: 0, 1, 2, 3 y 4. Sin embargo, las probabilidades con las que estas variables aleatorias toman sus valores serán completamente diferentes. Por lo tanto, para especificar una variable aleatoria discreta, además de una lista de todos sus valores posibles, también debe indicar sus probabilidades.

La correspondencia entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades se llama ley de distribución variable aleatoria discreta. , ..., X =

El polígono de distribución, así como la serie de distribución, caracteriza completamente la variable aleatoria. Es una forma de la ley de distribución.

Ejemplo 27. Se lanza una moneda al azar. Construya una serie y un polígono de la distribución del número de emblemas caídos.

Una variable aleatoria igual al número de escudos de armas arrojados puede tomar dos valores: 0 y 1. El valor 1 corresponde a un evento - se eliminó un escudo de armas, un valor de 0 - a una cruz. Las probabilidades de golpear el escudo de armas y caer las colas son las mismas e iguales. Aquellos. las probabilidades con las que la variable aleatoria toma los valores 0 y 1 son iguales. La serie de distribución es la siguiente:

X
pag

Ejemplo 1. En la primera urna: tres bolas rojas, una blanca. En la segunda urna: una roja, tres bolas blancas. Se lanza una moneda al azar: si el escudo de armas se elige de la primera urna, de lo contrario, de la segunda.
Solución:
a) la probabilidad de que la bola roja fuera sacada
A - tengo una bola roja
P 1 - el escudo de armas cayó, P 2 - en caso contrario

b) Se selecciona una bola roja. Encuentre la probabilidad de que se tome de la primera urna, de la segunda urna.
B 1 - de la primera urna, B 2 - de la segunda urna
,

Ejemplo 2. Hay 4 bolas en una caja. Puede ser: solo blanco, solo negro o blanco y negro. (Composición desconocida).
Solución:
A - la probabilidad de una bola blanca
a) Todo blanco:
(la probabilidad de que se haya atrapado una de las tres opciones, donde hay blancas)
(la probabilidad de que aparezca una bola blanca donde todos son blancos)

b) Sacado donde todos son negros

c) sacó una variante donde todos son blancos y / o negros

- al menos uno de ellos es blanco

P a + P b + P c =

Ejemplo 3. Hay 5 bolas blancas y 4 negras en la urna. Se sacan 2 bolas seguidas. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean blancas.
Solución:
5 bolas blancas, 4 negras
P (A 1) - sacó la bola blanca

P (A 2) - la probabilidad de que la segunda bola también sea blanca

P (A): las bolas blancas se eligieron en una fila

Ejemplo 3a. El paquete contiene 2 billetes falsos y 8 billetes reales. Se sacaron 2 billetes seguidos del paquete. Encuentra la probabilidad de que ambos sean falsos.
Solución:
P (2) = 2/10 * 1/9 = 1/45 = 0.022

Ejemplo 4. Hay 10 urnas. Hay 9 urnas con 2 bolas negras y 2 blancas. Hay 5 blancos y 1 negro en 1 urna. Se sacó una bola de una urna tomada al azar.
Solución:
P (A) -? la bola blanca se saca de la urna, donde 5 son blancas
B - la probabilidad de ser sacado de la urna, donde 5 son blancas
, - eliminado de otros
C 1 - la probabilidad de que aparezca una bola blanca en el nivel 9.

С 2 - la probabilidad de la aparición de una bola blanca, donde hay 5

P (A 0) = P (B 1) P (C 1) + P (B 2) P (C 2)

Ejemplo 5. 20 rodillos cilíndricos y 15 cónicos. El recolector toma 1 rodillo y luego otro.
Solución:
a) ambos rodillos son cilíndricos
P (C 1) =; P (C 2) =
Ц 1 - el primer cilindro, Ц 2 - el segundo cilindro
P (A) = P (C 1) P (C 2) =
b) Al menos un cilindro
K 1 - el primer cono.
K 2 - segundo cono.
P (B) = P (C 1) P (K 2) + P (C 2) P (K 1) + P (C 1) P (C 2)
;

c) el primer cilindro, y el segundo no es
P (C) = P (C 1) P (K 2)

e) Ni un solo cilindro.
P (D) = P (K 1) P (K 2)

f) Exactamente 1 cilindro
P (E) = P (C 1) P (K 2) + P (K 1) P (K 2)

Ejemplo 6. Hay 10 piezas estándar y 5 piezas defectuosas en una caja.
Tres partes se extraen al azar
a) De estos, uno es defectuoso
P norte (K) = C norte k p k q norte-k,
P - la probabilidad de productos defectuosos

q es la probabilidad de piezas estándar

n = 3, tres piezas

b) dos de las tres partes del P defectuoso (2)
c) al menos un estándar
P (0) -no defectuoso

P = P (0) + P (1) + P (2) - la probabilidad de que al menos una parte sea estándar

Ejemplo 7. En la 1ª urna hay 3 bolas blancas y negras, y en la 2ª - 3 bolas blancas y 4 negras. De la 1ª a la 2ª urna, se mueven 2 bolas sin mirar, y luego se extraen 2 bolas de la 2ª. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de diferentes colores?
Solución:
Al transferir bolas de la primera urna, son posibles las siguientes opciones:
a) sacó 2 bolas blancas seguidas
P BB 1 =
En el segundo paso, siempre habrá una bola menos, ya que en el primer paso ya se ha sacado una bola.
b) sacó una bola blanca y una negra
La situación en la que se sacó primero la bola blanca y luego la negra
Ojiva P =
La situación en la que se sacó primero la bola negra y luego la blanca
P BW =
Total: P ojiva 1 =
c) sacó 2 bolas negras seguidas
P HH 1 =
Dado que se transfirieron 2 bolas de la primera urna a la segunda urna, el número total de bolas en la segunda urna será 9 (7 + 2). En consecuencia, buscaremos todas las opciones posibles:
a) primero se sacó una bola blanca, luego una negra de la segunda urna

P БЧ 2 P ББ 1 - significa la probabilidad de que primero se saque una bola blanca y luego una negra, siempre que se saquen 2 bolas blancas de la primera urna consecutiva. Por eso el número de bolas blancas en este caso es 5 (3 + 2).
P CU 2 P CU 1 - significa la probabilidad de que hayan sacado primero la bola blanca y luego la negra, siempre que las bolas blancas y negras se hayan sacado de la primera urna. Es por eso que el número de bolas blancas en este caso es 4 (3 + 1) y el número de bolas negras es cinco (4 + 1).
P BCH 2 P HH 1 - significa la probabilidad de que primero se saque una bola blanca y luego una negra, siempre que ambas bolas negras se saquen de la primera urna consecutiva. Por eso el número de bolas negras en este caso es 6 (4 + 2).

La probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean de diferentes colores es igual a:

Respuesta: P = 0.54

Ejemplo 7a. De la 1ª urna que contiene 5 bolas blancas y 3 negras, 2 bolas se transfirieron aleatoriamente a la 2ª urna que contiene 2 bolas blancas y 6 negras. Luego, de la 2ª urna, se tomó 1 bola al azar.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola tomada de la 2ª urna resulte ser blanca?
2) La bola extraída de la 2ª urna resultó ser blanca. Calcula la probabilidad de que se hayan transferido bolas de diferentes colores de la 1ª a la 2ª urna.
Solución.
1) Evento A: la bola tomada de la 2ª urna resultó ser blanca. Considere las siguientes opciones para la ocurrencia de este evento.
a) De la primera urna, se colocaron dos bolas blancas en la segunda: P1 (bb) = 5/8 * 4/7 = 20/56.
Hay 4 bolas blancas en la segunda urna. Entonces la probabilidad de sacar la bola blanca de la segunda urna es P2 (4) = 20/56 * (2 + 2) / (6 + 2) = 80/448
b) Se colocaron bolas blancas y negras de la primera urna a la segunda: P1 (bch) = 5/8 * 3/7 + 3/8 * 5/7 = 30/56.
Hay 3 bolas blancas en total en la segunda urna. Entonces, la probabilidad de sacar la bola blanca de la segunda urna es P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
c) Se colocaron dos bolas negras de la primera urna a la segunda: P1 (hh) = 3/8 * 2/7 = 6/56.
Hay 2 bolas blancas en la segunda urna. Entonces, la probabilidad de sacar la bola blanca de la segunda urna es P2 (2) = 6/56 * 2 / (6 + 2) = 12/448
Entonces, la probabilidad de que la bola tomada de la 2a urna resulte ser blanca es igual a:
P (A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) La bola tomada de la 2a urna resultó ser blanca, es decir. la probabilidad total es P (A) = 13/32.
La probabilidad de que bolas de diferentes colores (blanco y negro) fueran transferidas a la segunda urna y se eligió la blanca: P2 (3) = 30/56 * (2 + 1) / (6 + 2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Ejemplo 7b. En la primera urna hay 8 bolas blancas y 3 negras, en la segunda hay 5 bolas blancas y 3 negras. Se elige una bola al azar de la primera y dos bolas de la segunda. Después de eso, de las tres bolas seleccionadas, se toma una bola al azar. Esta última bola resultó ser negra. Encuentre la probabilidad de que se eligiera una bola blanca de la primera urna.
Solución.
Considere todas las variantes del evento A: de tres bolas, la bola eliminada resultó ser negra. ¿Cómo pudo pasar que entre las tres bolas había una negra?
a) Se sacó una bola negra de la primera urna, se sacaron dos bolas blancas de la segunda urna.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
b) Se sacó una bola negra de la primera urna, se sacaron dos bolas negras de la segunda urna.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
c) Se sacó una bola negra de la primera urna, se sacó una bola blanca y una negra de la segunda urna.
P3 = (3/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 45/308
d) Se sacó una bola blanca de la primera urna, se sacaron dos bolas negras de la segunda urna.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
e) Se sacó una bola blanca de la primera urna, se sacó una bola blanca y una negra de la segunda urna.
P5 = (8/11) (3/8 * 5/7 + 5/8 * 3/7) = 30/77
La probabilidad total es: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154 + 9/308 + 45/308 + 6/77 + 30/77 = 57/77
La probabilidad de que se haya elegido una bola blanca de una urna blanca es:
Pb (1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Entonces, la probabilidad de que se haya elegido una bola blanca de la primera urna, siempre que se haya elegido una bola negra entre tres bolas, es igual a:
Ph = Pb (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Ejemplo 7c. La primera urna contiene 12 bolas blancas y 16 negras, la segunda contiene 8 bolas blancas y 10 negras. Al mismo tiempo, se saca una bola de la 1ª y 2ª urna, se mezcla y se devuelve, una a cada urna. Luego se saca una bola de cada urna. Resultaron ser del mismo color. Determina la probabilidad de que queden tantas bolas blancas en la primera urna como al principio.

Solución.
Evento A: se saca una bola de la 1ª y 2ª urnas al mismo tiempo.
Probabilidad de sacar la bola blanca de la primera urna: P1 (B) = 12 / (12 + 16) = 12/28 = 3/7
La probabilidad de sacar una bola negra de la primera urna: P1 (H) = 16 / (12 + 16) = 16/28 = 4/7
Probabilidad de sacar la bola blanca de la segunda urna: P2 (B) = 8/18 = 4/9
La probabilidad de sacar una bola negra de la segunda urna: P2 (H) = 10/18 = 5/9

El evento A ha ocurrido. Evento B: se saca una bola de cada urna. Después de mezclar, la probabilidad de que la bola regrese a la urna de una bola blanca o negra es ½.
Consideremos variantes del evento B: resultaron ser del mismo color.

Para la primera urna
1) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una blanca, siempre que una bola blanca haya sido sacada antes, P1 (BB / A = B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una blanca, siempre que una bola negra haya sido sacada antes, P1 (BB / A = H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) se colocó una bola blanca en la primera urna y se sacó una negra, siempre que se hubiera sacado antes una bola blanca, P1 (BCH / A = B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola negra haya sido sacada antes, P1 (BCH / A = H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15 / 98
5) poner una bola negra en la primera urna y sacar una blanca, siempre que se haya sacado antes una bola blanca, P1 (BW / A = B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33 / 392
6) poner una bola negra en la primera urna y sacar una blanca, siempre que una bola negra haya sido sacada antes, P1 (BW / A = H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6 / 49
7) poner una bola negra en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola blanca haya sido sacada antes, P1 (HH / A = B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51 / 392
8) poner una bola negra en la primera urna y sacar una bola negra, siempre que una bola negra haya sido sacada antes, P1 (HH / A = H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8 / 49

Para la segunda urna
1) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una bola blanca, siempre que previamente se haya sacado una bola blanca, P1 (BB / A = B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2 / 21
2) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una blanca, siempre que la bola negra haya sido sacada antes, P1 (BB / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola blanca haya sido sacada antes, P1 (BCH / A = B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5 / 42
4) poner una bola blanca en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola negra haya sido sacada antes, P1 (BCH / A = H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1 / 7
5) poner una bola negra en la primera urna y sacar una bola blanca, siempre que una bola blanca haya sido sacada antes, P1 (BW / A = B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1 / 12
6) poner una bola negra en la primera urna y sacar una blanca, siempre que una bola negra haya sido sacada antes, P1 (BW / A = H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8 / 63
7) poner una bola negra en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola blanca haya sido sacada antes, P1 (HH / A = B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11 / 84
8) poner una bola negra en la primera urna y sacar una negra, siempre que la bola negra haya sido sacada antes, P1 (HH / A = H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10 / 63

Las bolas resultaron ser del mismo color:
un blanco
P1 (B) = P1 (BB / A = B) + P1 (BB / A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 9/98 + 13 / 98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2 (B) = P1 (BB / A = B) + P1 (BB / A = H) + P1 (BW / A = B) + P1 (BW / A = H) = 2/21 + 1 / 7 + 1/12 + 8/63 = 113/252
b) negro
P1 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2 (H) = P1 (BCH / A = B) + P1 (BCH / A = H) + P1 (HH / A = B) + P1 (HH / A = H) = 5/42 + 1/7 + 11 / 84 + 10/63 = 139/252

P = P1 (B) * P2 (B) + P1 (H) * P2 (H) = 169/392 * 113/252 + 223/392 * 139/252 = 5/42

Ejemplo 7d. En el primer cuadro hay 5 bolas blancas y 4 azules, en el segundo 3 y 1, y en el tercero, 4 y 5, respectivamente. Se eligió una caja al azar y una bola que se extrajo resultó ser azul. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea de la segunda caja?

Solución.
A - evento de extracción de bola azul. Considere todas las opciones para el resultado de tal evento.
H1 - la bola sacada de la primera caja,
H2 - la bola extraída de la segunda caja,
H3: la bola extraída del tercer cuadro.
P (H1) = P (H2) = P (H3) = 1/3
Según la condición del problema, las probabilidades condicionales del evento A son iguales:
P (A | H1) = 4 / (5 + 4) = 4/9
P (A | H2) = 1 / (3 + 1) = 1/4
P (A | H3) = 5 / (4 + 5) = 5/9
P (A) = P (H1) * P (A | H1) + P (H2) * P (A | H2) + P (H3) * P (A | H3) = 1/3 * 4/9 + 1 / 3 * 1/4 + 1/3 * 5/9 = 5/12
La probabilidad de que esta bola de la segunda casilla sea igual a:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4/5/12 = 1/5 = 0.2

Ejemplo 8. Cinco cajas con 30 bolas cada una contienen 5 bolas rojas (esta es una caja de composición H1), otras seis cajas con 20 bolas cada una contienen 4 bolas rojas (esta es una caja de composición H2). Encuentre la probabilidad de que una bola roja aleatoria esté contenida en una de las primeras cinco casillas.
Solución: La tarea de aplicar la fórmula de probabilidad total.

La probabilidad de que alguna la bola tomada está contenida en una de las primeras cinco casillas:
P (H 1) = 5/11
La probabilidad de que alguna la bola tomada está contenida en una de las seis casillas:
P (H 2) = 6/11
El evento sucedió: sacaron una bola roja. Por tanto, esto podría suceder en dos casos:
a) sacado de las primeras cinco cajas.
P 5 = 5 bolas rojas * 5 cajas / (30 bolas * 5 cajas) = 1/6
P (P 5 / H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) sacado de otras seis cajas.
P 6 = 4 bolas rojas * 6 cajas / (20 bolas * 6 cajas) = 1/5
P (P 6 / H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Total: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Por lo tanto, la probabilidad de que una bola roja aleatoria esté contenida en una de las primeras cinco casillas es:
P k.sh. (H1) = P (P 5 / H 1) / (P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Ejemplo 9. La urna contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Saca tres bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos bolas sean del mismo color?
Solución. En total, hay tres posibles resultados de los eventos:
a) hay al menos dos bolas blancas entre las tres bolas extraídas.
P b (2) = P 2b
El número total de posibles resultados elementales para estas pruebas es igual al número de formas en que se pueden extraer 3 bolas de 9:

Encuentre la probabilidad de que entre las 3 bolas seleccionadas, 2 sean blancas.

Número de opciones a elegir entre 2 bolas blancas:

Número de opciones a elegir entre otras 7 bolas tercera bola:

b) entre las tres bolas extraídas, al menos dos son negras (es decir, 2 negras o 3 negras).
Encuentre la probabilidad de que entre las 3 bolas seleccionadas, 2 sean negras.

Número de opciones de 3 bolas negras:

Número de opciones a elegir entre otras 6 bolas de la misma bola:

P 2h = 0,214
Hallemos la probabilidad de que todas las bolas seleccionadas sean negras.

P h (2) = 0,214 + 0,0119 = 0,2259

c) había al menos dos bolas rojas entre las tres bolas extraídas (es decir, 2 rojas o 3 rojas).
Encuentre la probabilidad de que entre las 3 bolas seleccionadas, 2 sean rojas.

Número de opciones de 4 bolas negras:

El número de opciones para elegir entre 5 bolas blancas, la 1 blanca restante:

Encontremos la probabilidad de que todas las bolas seleccionadas sean rojas.

P k (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Entonces, la probabilidad de que al menos dos bolas sean del mismo color es: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Ejemplo 10. La primera urna contiene 10 bolas, de las cuales 7 son blancas; en la segunda urna hay 20 bolas, de las cuales 5 son blancas. Se tomó una bola al azar de cada urna, y luego se tomó una bola al azar de estas dos bolas. Calcula la probabilidad de que se saque una bola blanca.
Solución. La probabilidad de que se retire una bola blanca de la primera urna es P (b) 1 = 7/10. En consecuencia, la probabilidad de sacar la bola negra es P (h) 1 = 3/10.
La probabilidad de que se retire una bola blanca de la segunda urna es P (b) 2 = 5/20 = 1/4. En consecuencia, la probabilidad de sacar la bola negra es P (h) 2 = 15/20 = 3/4.
Evento A: se saca una bola blanca de dos bolas
Considere las opciones para el resultado del evento A.

sacaron una bola blanca de la primera urna y sacaron una bola blanca de la segunda urna. Luego se sacó una bola blanca de estas dos bolas. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
sacaron una bola blanca de la primera urna y sacaron una bola negra de la segunda urna. Luego se sacó una bola blanca de estas dos bolas. P2 = 7/10 * 3/4 = 21/40
se sacó una bola negra de la primera urna, se sacó una bola blanca de la segunda urna. Luego se sacó una bola blanca de estas dos bolas. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Por lo tanto, la probabilidad se puede encontrar como la suma de las probabilidades anteriores.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Ejemplo 11. Hay n pelotas de tenis en la caja. De estos, jugó m. Para el primer juego, se tomaron dos bolas al azar y después del juego se volvieron a colocar. Para el segundo juego, también eligieron dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo juego se juegue con pelotas nuevas?
Solución. Considere el evento A: el juego se jugó por segunda vez con bolas nuevas. Veamos qué eventos pueden llevar a esto.
Denotemos por g = n-m, el número de bolas nuevas antes de ser extraídas.
a) Se sacaron dos bolas nuevas para el primer juego.
P1 = g / n * (g-1) / (n-1) = g (g-1) / (n (n-1))
b) para el primer juego, se extrajo una bola nueva y una ya jugada.
P2 = g / n * m / (n-1) + m / n * g / (n-1) = 2 mg / (n (n-1))
c) para el primer juego, se sacaron dos bolas.
P3 = m / n * (m-1) / (n-1) = m (m-1) / (n (n-1))

Considere los eventos del segundo juego.
a) Sacamos dos bolas nuevas, sujeto a la condición P1: dado que ya habíamos sacado bolas nuevas para el primer juego, luego para el segundo juego su número disminuyó en 2, g-2.
P (A / P1) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * P1 = (g-2) / n * (g-2-1) / (n- 1) * g (g-1) / (n (n-1))
b) Sacamos dos bolas nuevas, con la condición P2: dado que ya habíamos sacado una bola nueva para el primer juego, luego para el segundo juego su número disminuyó en 1, g-1.
P (A / P2) = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * P2 = (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2 mg / (n (n-1))
c) Sacamos dos bolas nuevas, siempre que P3: dado que no se usaron bolas nuevas para el primer juego, su número no cambió para el segundo juego g.
P (A / P3) = g / n * (g-1) / (n-1) * P3 = g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1))

Probabilidad total P (A) = P (A / P1) + P (A / P2) + P (A / P3) = (g-2) / n * (g-2-1) / (n-1) * g (g-1) / (n (n-1)) + (g-1) / n * (g-2) / (n-1) * 2 mg / (n (n-1)) + g / n * (g-1) / (n-1) * m (m-1) / (n (n-1)) = (n-2) (n-3) (nm-1) (nm) / (( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Respuesta: P (A) = (n-2) (n-3) (n-m-1) (n-m) / ((n-1) ^ 2 * n ^ 2)

Ejemplo 12. En el primer, segundo y tercer recuadro hay 2 bolas blancas y 3 negras, en el cuarto y quinto recuadro hay 1 bola blanca y 1 negra. Se selecciona una casilla al azar y se saca una bola de ella. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que se seleccione la cuarta o quinta casilla si la bola extraída es blanca?
Solución.
La probabilidad de elegir cada casilla es P (H) = 1/5.
Considere las probabilidades condicionales del evento A: la extracción de la bola blanca.
P (A | H = 1) = 2/5
P (A | H = 2) = 2/5
P (A | H = 3) = 2/5
P (A | H = 4) = ½
P (A | H = 5) = ½
Probabilidad total de sacar una bola blanca:
P (A) = 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 2/5 * 1/5 + 1/2 * 1/5 + 1/2 * 1/5 = 0.44
La probabilidad condicional de que se seleccione la cuarta casilla.
P (H = 4 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
Probabilidad condicional de que se seleccione la quinta casilla
P (H = 5 | A) = 1/2 * 1/5 / 0.44 = 0.2273
En total, la probabilidad condicional de que se seleccione la cuarta o quinta casilla es
P (H = 4, H = 5 | A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Ejemplo 13. Había 7 bolas blancas y 4 rojas en la urna. Luego se puso otra bola blanca o roja o negra en la urna y después de mezclar, se sacó una bola. Resultó ser rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que a) se coloque una bola roja? b) bola negra?
Solución.
a) bola roja
Evento A: sacó una bola roja. Evento H: deja la bola roja. La probabilidad de que la bola roja se coloque en la urna P (H = K) = 1/3
Entonces P (A | H = K) = 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0.139
b) bola negra
Evento A: sacó una bola roja. Evento H: pon la bola negra.
La probabilidad de que se coloque una bola negra en la urna P (H = H) = 1/3
Entonces P (A | H = H) = 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

Ejemplo 14. Hay dos urnas con bolas. Uno tiene 10 bolas rojas y 5 azules, el segundo tiene 5 bolas rojas y 7 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que se saque al azar una bola roja de la primera urna y una bola azul de la segunda?
Solución. Sea el evento A1: se saca una bola roja de la primera urna; A2 - se saca una bola azul de la segunda urna:
,
Los eventos A1 y A2 son independientes. La probabilidad de ocurrencia de los eventos A1 y A2 juntos es

Ejemplo 15. Hay una baraja de cartas (36 piezas). Se extraen dos cartas seguidas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas extraídas sean rojas?
Solución. Sea el evento A 1 la primera carta robada de un palo rojo. Evento A 2 - Se roba la segunda tarjeta roja. B - ambas cartas robadas de un palo rojo. Dado que tanto el evento A 1 como el evento A 2 deben ocurrir, entonces B = A 1 · A 2. Los eventos A 1 y A 2 son dependientes, por lo tanto, P (B):
,
De aquí

Ejemplo 16. En dos urnas hay bolas que solo se diferencian en el color, y en la primera urna hay 5 bolas blancas, 11 bolas negras y 8 rojas, y en la segunda, respectivamente, 10, 8, 6 bolas. Se saca una bola al azar de ambas urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color?
Solución. Deje que el índice 1 signifique blanco, el índice 2 - negro; 3 - rojo. Supongamos que el evento A i - una bola del i-ésimo color se eliminó de la primera urna; evento B j - una bola de j -th color fue removida de la segunda urna; evento A - ambas bolas del mismo color.
A = UNA 1 B 1 + UNA 2 B 2 + UNA 3 B 3. Los eventos A i y B j son independientes, y A i B i y A j B j son inconsistentes para i ≠ j. Por eso,
P (A) = P (A 1) P (B 1) + P (A 2) P (B 2) + P (A 3) P (B 3) =

Ejemplo 17. De la urna con 3 bolas blancas y 2 negras se sacan una a una hasta que aparece la negra. Calcule la probabilidad de que se saquen 3 bolas de la urna. 5 bolas?
Solución.
1) la probabilidad de que se saquen 3 bolas de la urna (es decir, la tercera bola será negra y las dos primeras serán blancas).
P = 3/5 * 2/4 * 2/3 = 1/5
2) la probabilidad de que se saquen 5 bolas de la urna
tal situación no es posible, ya que solo 3 bolas blancas.
P = 0

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Teoría de probabilidad

Hay 12 niños y 8 niñas en el grupo. Se seleccionaron al azar 5 estudiantes de la revista. Encuentre la probabilidad de que haya exactamente 3 niñas entre los estudiantes seleccionados.

Número de alumnos seleccionados por revista.

La probabilidad de elegir una niña al azar de todo el grupo.

La probabilidad de no elegir una niña al azar de todo el grupo (la probabilidad de elegir un niño).

k = 3 - el número de chicas seleccionadas.

La probabilidad de que haya exactamente 3 niñas entre los 5 estudiantes seleccionados.

Hay 4 piezas estándar en un lote de 6 piezas. Tomamos 3 partes al azar. Encuentre la probabilidad de que al menos una de las partes seleccionadas no sea estándar.

El número de partes del lote.

El número de piezas estándar en un lote.

La probabilidad de tomar al azar una parte no estándar del lote.

La probabilidad de no tomar al azar una parte no estándar del lote (la probabilidad de tomar una parte estándar del lote al azar).

La probabilidad de no tomar dos partes no estándar de un lote al azar (la probabilidad de tomar dos partes estándar de un lote al azar).

La probabilidad de no tomar tres partes no estándar del lote al azar (la probabilidad de tomar tres partes estándar del lote al azar).

La probabilidad de que al menos una de las partes seleccionadas no sea estándar.

La máquina consta de 3 partes que trabajan de forma independiente. La probabilidad de falla de las piezas es respectivamente igual a 0,1; 0,2; 0,15. Encuentre la probabilidad de avería de la máquina si la falla de al menos una parte es suficiente para esto.

La probabilidad de que falle la primera parte.

La probabilidad de que falle la segunda parte.

La probabilidad de que falle la tercera parte.

La probabilidad de que la primera parte no falle.

La probabilidad de que la segunda parte no falle.

La probabilidad de que la tercera parte no falle.

La probabilidad de avería de la máquina si la avería de al menos una pieza es suficiente para ello.

Dos tiradores disparan al objetivo. La probabilidad de dar en el blanco con un disparo para el primer tirador es de 0,5 y para el segundo, 0,6. Calcule la probabilidad de que con una sola descarga solo uno de los tiradores dé en el blanco.

La probabilidad de que el primer tirador dé en el blanco.

La probabilidad de que el segundo tirador dé en el blanco.

La probabilidad de que el primer tirador no alcance el objetivo.

La probabilidad de que el segundo tirador no alcance el objetivo.

La probabilidad de que con una sola volea solo uno de los tiradores dé en el blanco.

Hay 6 dispositivos en la caja, de los cuales 4 están funcionando. Tomamos 3 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que todos los dispositivos tomados funcionen.

Número de dispositivos tomados al azar.

La probabilidad de sacar un dispositivo funcional de una caja.

La probabilidad de no sacar un dispositivo que funcione de la caja.

Usemos la fórmula de Bernoulli:

k = 3 - el número de dispositivos en funcionamiento, tomado al azar.

La probabilidad de que todos los dispositivos tomados funcionen.

En la primera urna hay 4 bolas blancas y 1 negra, en la segunda urna hay 2 bolas blancas y 5 negras. Se transfirieron 2 bolas de la primera a la segunda, luego se sacó una bola de la segunda urna. Encuentre la probabilidad de que la bola elegida de la segunda urna sea negra.

Decidamos los posibles resultados de los eventos al transferir 2 bolas de la 1ª urna a la 2ª.

Н1 - la hipótesis de que se sacaron 2 bolas blancas de la primera urna.

H2: la hipótesis de que se sacaron 1 bola blanca y 1 negra de la primera urna.

La probabilidad de obtener una bola negra de la 1ª urna.

La probabilidad de obtener una bola blanca de la 1ª urna.

Probabilidad de hipótesis H1.

Probabilidad de hipótesis H2.

Ahora considere la probabilidad de un evento cuando sucedió cada hipótesis.

La probabilidad de sacar una bola negra de la 2ª urna si ocurre la hipótesis H1.

La probabilidad de sacar una bola negra de la segunda urna si ocurre la hipótesis H2.

La probabilidad de que la bola seleccionada de la segunda urna sea negra.

La probabilidad de que la pieza fabricada en la fábrica n. ° 1 sea de excelente calidad.

La probabilidad de que la pieza fabricada en la fábrica n. ° 2 sea de excelente calidad.

La probabilidad de que la pieza fabricada en la fábrica n. ° 3 sea de excelente calidad.

La probabilidad de sacar de la caja una pieza fabricada en la fábrica n. ° 1.

Probabilidad de sacar de la caja, una pieza fabricada en la fábrica n. ° 2.

Probabilidad de sacar de la caja, una pieza fabricada en la fábrica n. ° 3.

Según la fórmula de probabilidad total:

La probabilidad de que una parte tomada al azar sea de excelente calidad.

Hay tres lotes de artículos, 25 artículos cada uno. El número de productos estándar es respectivamente igual a 20, 21, 22. De un lote seleccionado al azar, se tomó al azar un producto que resultó ser estándar. Encuentre la probabilidad de que se haya extraído de 1 lote.

La probabilidad de que la pieza elegida al azar del 1er lote sea estándar.

La probabilidad de que una parte elegida al azar del segundo lote sea estándar.

La probabilidad de que una parte elegida al azar del 3er lote sea estándar.

La probabilidad de elegir una de las tres partes al azar.

Por la fórmula de Bayes:

La probabilidad de que un artículo recuperado aleatoriamente se haya eliminado de 1 lote.

Dos máquinas automáticas producen piezas. El rendimiento de la segunda máquina es el doble que el de la primera. La primera máquina produce el 80% de las piezas de excelente calidad y la segunda, el 90%. La parte tomada al azar resultó ser de excelente calidad. Encuentre la probabilidad de que esta pieza sea producida por 1 máquina.

teoría probabilidad hallazgo elección acertar

La probabilidad de que la pieza producida por la 1ª máquina automática sea de excelente calidad.

La probabilidad de que la pieza producida por la 2ª máquina automática sea de excelente calidad.

Dado que la productividad de la segunda máquina es el doble que la de la primera, de las 3 piezas fabricadas condicionalmente, dos son piezas de la segunda máquina y una de la primera.

La probabilidad de elegir al azar una pieza fabricada por la 1ª máquina automática.

La probabilidad de elegir al azar una pieza fabricada por la 2ª máquina automática.

Por la fórmula de Bayes:

La probabilidad de una pieza elegida al azar de excelente calidad resultó ser una pieza producida por la primera máquina automática.

La moneda se lanza 9 veces. Encuentre la probabilidad de que se dibuje el "escudo de armas": a.) Menos de 4 veces; b.) al menos 4 veces.

La probabilidad de que se elimine el "escudo de armas".

La probabilidad de que no se elimine el "escudo de armas".

Usemos la fórmula de Bernoulli:

Número de lanzamientos de monedas.

La probabilidad de obtener una moneda con el "escudo de armas" es menos de 4 veces.

k = 0, 1, 2, 3 - el número de veces que se ha dibujado el "escudo de armas".

La probabilidad de obtener una moneda "escudo de armas" es 0 de 9 veces.

La probabilidad de obtener una moneda "escudo de armas" 1 vez de cada 9.

La probabilidad de caerse de la moneda "escudo de armas" 2 de cada 9 veces.

La probabilidad de caer de la moneda "escudo de armas" 3 de cada 9 veces.

La probabilidad de caerse de la moneda con el "escudo de armas" es de al menos 4 veces.

k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - el número de veces que se ha dibujado el "escudo de armas".

La probabilidad de obtener una moneda con el "escudo de armas" es 4 veces de 9.

La probabilidad de caerse de la moneda "escudo de armas" 5 de cada 9 veces.

La probabilidad de obtener una moneda con el "escudo de armas" 6 veces de 9.

La probabilidad de caerse de la moneda "escudo de armas" 7 de cada 9 veces.

La probabilidad de caerse de la moneda "escudo de armas" 8 de cada 9 veces.

La probabilidad de caerse de la moneda "escudo de armas" 9 de cada 9 veces.

La probabilidad de tener un hijo es de 0,51. Encuentre la probabilidad de que entre 100 recién nacidos haya 50 niños.

La probabilidad de que nazca un niño.

La probabilidad de no tener un niño (la probabilidad de tener una niña).

El número de recién nacidos.

El número de niños nacidos.

Usaremos el teorema local de Moivre-Laplace, ya que

Tabulado incluso función gaussiana,

De la tabla encontramos el valor

La probabilidad de que entre 100 recién nacidos haya 50 niños.

La probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de los 100 ensayos independientes es 0,8. Encuentre la probabilidad de que el evento aparezca: a.) Al menos 75 veces y no más de 90 veces; b.) al menos 90 veces.

La probabilidad de que ocurra un evento.

La probabilidad de que el evento no ocurra.

El número total de pruebas.

Numero de pruebas.

De la tabla encontramos el valor

La probabilidad de que el evento aparezca al menos 75 veces y no más de 90 veces.

Numero de pruebas.

Usaremos el teorema integral de Moivre-Laplace ya que

Función de Laplace impar tabulada,

De la tabla encontramos el valor

La probabilidad de que el evento aparezca al menos 90 veces.

Una variable aleatoria discreta viene dada por la ley de distribución:

a) construya un polígono de distribución y encuentre la función de distribución F (x);

b.) Encuentre M (X), D (X) ,.

Valor esperado.

Dispersión.

Desviación Estándar.

Se da la densidad de distribución f (x) de una variable aleatoria continua X.

a.) encuentre A y la función de distribución F (x);

b.) encuentre M (x), D (x),

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¿Qué es probabilidad?

Ante este término por primera vez, no entendería de qué se trata. Por tanto, intentaré explicarlo de forma accesible.

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra el evento que necesitamos.

Por ejemplo, decidiste visitar a un amigo, recordar la entrada e incluso el piso en el que vive. Pero olvidé el número y la ubicación del apartamento. Y aquí estás parado en la escalera, y frente a ti están las puertas para elegir.

¿Cuál es la posibilidad (probabilidad) de que si toca la primera puerta, su amigo le abra? Todo el apartamento, y el amigo vive solo para uno de ellos. Podemos elegir cualquier puerta con las mismas posibilidades.

Pero, ¿cuál es esta oportunidad?

Puertas, la puerta correcta. Probabilidad de adivinar llamando a la primera puerta :. Es decir, una de cada tres veces lo adivinarás definitivamente.

Queremos saber llamando una vez, ¿con qué frecuencia adivinaremos la puerta? Consideremos todas las opciones:

Llamaste 1er una puerta
Llamaste 2do una puerta
Llamaste Tercero una puerta

Ahora veamos todas las opciones donde puede estar un amigo:

una. Por 1er por la puerta
B. Por 2do por la puerta
v. Por Tercero por la puerta

Comparemos todas las opciones en forma de tabla. Una marca marca las opciones cuando su elección coincide con la ubicación de un amigo, una cruz, cuando no coincide.

Como ves todo Quizás opciones la ubicación del amigo y su elección de qué puerta llamar.

A resultados favorables de todos . Es decir, lo adivinará de vez en cuando al tocar el timbre. ...

Esta es la probabilidad: la relación entre un resultado favorable (cuando su elección coincidió con la ubicación de un amigo) y la cantidad de eventos posibles.

La definición es una fórmula. La probabilidad generalmente se denota p, por lo tanto:

No es muy conveniente escribir tal fórmula, por lo tanto, tomaremos por - el número de resultados favorables y por - el número total de resultados.

La probabilidad se puede escribir como un porcentaje, para esto es necesario multiplicar el resultado resultante por:

Probablemente la palabra "resultados" llamó su atención. Dado que los matemáticos llaman experimentos a diversas acciones (en nuestro caso, tal acción es un toque de timbre), se acostumbra llamar al resultado de tales experimentos.

Bueno, los resultados son favorables y desfavorables.

Volvamos a nuestro ejemplo. Digamos que tocamos una de las puertas, pero un extraño nos abrió. No lo adivinamos. ¿Cuál es la probabilidad de que si tocamos una de las puertas restantes, nuestro amigo nos abra?

Si pensaba eso, entonces esto es un error. Vamos a averiguarlo.

Nos quedan dos puertas. Así, tenemos posibles pasos:

1) Llamar 1er una puerta
2) Llamar 2do una puerta

Un amigo, con todo esto, definitivamente está detrás de uno de ellos (al fin y al cabo, no estaba detrás del que llamamos):

a) Amigo para 1er por la puerta
b) Amigo para 2do por la puerta

Dibujemos la mesa de nuevo:

Como puede ver, hay todas las opciones, de las cuales son favorables. Es decir, la probabilidad es igual.

¿Por qué no?

La situación que hemos considerado - ejemplo de eventos dependientes. El primer evento es el primer timbre, el segundo evento es el segundo timbre.

Y se les llama dependientes porque afectan las siguientes acciones. Después de todo, si un amigo abre la puerta después del primer toque, ¿cuál sería la probabilidad de que esté detrás de uno de los otros dos? Derecha, .

Pero si hay eventos dependientes, entonces debe haber independiente? Es cierto que los hay.

Un ejemplo de libro de texto es lanzar una moneda.

Lanza una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que, por ejemplo, salgan cabezas? Así es, porque las opciones para todo (ya sea cara o cruz, descuidamos la probabilidad de que una moneda esté en un borde), pero solo nos conviene.
Pero salió colas. Bien, lancémoslo una vez más. ¿Cuál es la probabilidad actual de sacar cara? Nada ha cambiado, todo sigue igual. Cuantas opciones? Dos. ¿Cuánto nos conviene? Uno.

Y deja que salga colas mil veces seguidas. La probabilidad de que salga cara al mismo tiempo será la misma. Siempre hay opciones, pero favorables.

Es fácil distinguir los eventos dependientes de los independientes:

Si el experimento se realiza una vez (una vez que tiran una moneda, tocan el timbre una vez, etc.), entonces los eventos son siempre independientes.
Si el experimento se realiza varias veces (la moneda se lanza una vez, el timbre suena varias veces), entonces el primer evento es siempre independiente. Y luego, si el número de resultados favorables o el número de todos los resultados cambia, entonces los eventos son dependientes, y si no, son independientes.

Practiquemos un poco la determinación de la probabilidad.

Ejemplo 1.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de golpear cara dos veces seguidas?

Solución:

Consideremos todas las opciones posibles:

Águila-águila
Cabezas-colas
Cabezas-colas
Colas-colas

Como puede ver, toda la opción. De estos, solo nos conviene. Es decir, la probabilidad:

Si se pide a la condición que simplemente encuentre la probabilidad, entonces la respuesta debe darse en forma de fracción decimal. Si se indicara que la respuesta debe darse como un porcentaje, entonces multiplicaríamos por.

Respuesta:

Ejemplo 2.

En una caja de bombones, todos los bombones se envasan en el mismo envoltorio. Sin embargo, de los dulces, con nueces, coñac, cerezas, caramelo y turrón.

¿Cuál es la probabilidad, tomando un caramelo, de obtener un caramelo con nueces? Dé su respuesta como porcentaje.

Solución:

¿Cuántos resultados posibles hay? ...

Es decir, cogiendo un caramelo, será uno de los de la caja.

¿Cuántos resultados favorables?

Porque la caja solo contiene bombones con nueces.

Respuesta:

Ejemplo 3.

En una caja de bolas. de ellos blanco, - negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola blanca?
Agregamos más bolas negras a la caja. ¿Cuál es ahora la probabilidad de sacar la bola blanca?

Solución:

a) Hay todas las bolas en la caja. De estos, blanco.

La probabilidad es igual a:

b) Ahora hay bolas en la caja. Y quedó el mismo número de blancos -.

Respuesta:

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es ().

Digamos en una caja de bolas rojas y verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar la bola roja? ¿Bola verde? ¿Bola roja o verde?

Posibilidad de sacar una bola roja.

Bola verde:

Bola roja o verde:

Como puede ver, la suma de todos los eventos posibles es (). Comprender este momento te ayudará a resolver muchos problemas.

Ejemplo 4.

La caja contiene marcadores: verde, rojo, azul, amarillo, negro.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un rotulador que NO sea rojo?

Solución:

Contemos la cantidad resultados favorables.

NO es un marcador rojo, significa verde, azul, amarillo o negro.

La probabilidad de todos los eventos. Y la probabilidad de eventos que consideramos desfavorables (cuando sacamos el rotulador rojo) -.

Por lo tanto, la probabilidad de sacar un rotulador NO rojo es.

Respuesta:

La probabilidad de que el evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

La regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

Ya sabes qué son los eventos independientes.

Pero, ¿qué sucede si necesita encontrar la probabilidad de que ocurran dos (o más) eventos independientes seguidos?

Digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que cuando lanzamos una moneda una vez, veamos un águila dos veces.

Ya hemos contado -.

¿Y si lanzamos una moneda una vez? ¿Cuál es la probabilidad de ver un águila en fila?

Todas las opciones posibles:

Águila-águila-águila
Cabezas-cabezas-colas
Cabezas-colas-cabezas
Cabezas-colas-colas
Colas-cabezas-cabezas
Colas-cabezas-colas
Colas-colas-cabezas
Colas-Colas-Colas

No sé ustedes, pero una vez cometí un error al hacer esta lista. ¡Guau! Y la única opción (la primera) nos conviene.

Para 5 lanzamientos, usted mismo puede hacer una lista de posibles resultados. Pero los matemáticos no son tan trabajadores como tú.

Por lo tanto, primero notaron y luego demostraron que la probabilidad de una cierta secuencia de eventos independientes disminuye cada vez por la probabilidad de un evento.

En otras palabras,

Considere el ejemplo de la misma moneda desafortunada.

¿La probabilidad de sacar cabezas en un desafío? ... Ahora lanzamos una moneda una vez.

¿Cuál es la probabilidad de golpear cara una vez seguidas?

Esta regla funciona no solo si se nos pide que encontremos la probabilidad de que el mismo evento ocurra varias veces seguidas.

Si quisiéramos encontrar la secuencia GRIP-EAGLE-GRILLE para lanzamientos seguidos, haríamos lo mismo.

La probabilidad de que salga cruz -, cara -.

Probabilidad de salirse de la secuencia REJILLA-ÁGUILA-REJILLA-REJILLA:

Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una mesa.

La regla para sumar las probabilidades de eventos inconsistentes.

¡Así que deja de! Nueva definición.

Vamos a averiguarlo. Tome nuestra moneda gastada y tírela una vez.
Posibles opciones:

Águila-águila-águila
Cabezas-cabezas-colas
Cabezas-colas-cabezas
Cabezas-colas-colas
Colas-cabezas-cabezas
Colas-cabezas-colas
Colas-colas-cabezas
Colas-Colas-Colas

Entonces, los eventos incompatibles son una secuencia de eventos definida y predeterminada. son eventos incompatibles.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de dos (o más) eventos incompatibles, agregamos las probabilidades de estos eventos.

Debe comprender que la caída de cara o cruz son dos eventos independientes.

Si queremos determinar cuál es la probabilidad de una secuencia) (o cualquier otra), usamos la regla de multiplicación de probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de que salga cara en el primer lanzamiento y en la segunda y tercera cruz?

Pero si queremos saber cuál es la probabilidad de obtener una de varias secuencias, por ejemplo, cuando las cabezas se caen exactamente una vez, es decir, opciones y, luego, tenemos que sumar las probabilidades de estas secuencias.

Todas las opciones son adecuadas para nosotros.

Podemos obtener lo mismo sumando las probabilidades de cada secuencia:

Por lo tanto, agregamos probabilidades cuando queremos determinar las probabilidades de algunas secuencias de eventos inconsistentes.

Existe una gran regla general para ayudarlo a evitar confusiones sobre cuándo multiplicar y cuándo sumar:

Volvamos al ejemplo en el que lanzamos una moneda una vez y queremos saber la probabilidad de ver cara una vez.
Que es lo que va a pasar?

Debería caer:
(caras Y colas Y colas) O (colas Y caras Y colas) O (colas Y colas Y caras).
Entonces resulta:

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 5.

La caja contiene lápices. rojos, verdes, naranjas y amarillos y negros. ¿Cuál es la probabilidad de sacar lápices rojos o verdes?

Solución:

Que es lo que va a pasar? Tenemos que sacar (rojo O verde).

Ahora está claro, sumamos las probabilidades de estos eventos:

Respuesta:

Ejemplo 6.

Los dados se lanzan dos veces, ¿cuál es la probabilidad de un total de 8 puntos?

Solución.

¿Cómo podemos conseguir puntos?

(y) o (y) o (y) o (y) o (y).

La probabilidad de caerse de una (cualquier) cara -.

Calculamos la probabilidad:

Respuesta:

Ejercicio.

Creo que ahora te quedó claro cuándo contar las probabilidades, cuándo sumarlas y cuándo multiplicarlas. ¿No lo es? Practiquemos un poco.

Tareas:

Tomemos una baraja de cartas, en la que las cartas, incluidas espadas, corazones, 13 tréboles y 13 diamantes. Desde el as de cada palo.

¿Cuál es la probabilidad de sacar tréboles seguidos (volvemos a poner la primera carta extraída en el mazo y la barajamos)?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta negra (espadas o tréboles)?
¿Cuál es la probabilidad de sacar una imagen (sota, reina, rey o as)?
¿Cuál es la probabilidad de hacer dos dibujos seguidos (quitamos la primera carta extraída del mazo)?
¿Cuál es la probabilidad, habiendo tomado dos cartas, de recolectar una combinación - (jota, reina o rey) y un as? La secuencia en la que se sacarán las cartas no importa.

Respuestas:

En la baraja, las cartas de cada rango significan:
Los eventos son dependientes, ya que después de robar la primera carta, el número de cartas en la baraja ha disminuido (así como el número de "imágenes"). Total de jotas, reinas, reyes y ases en la baraja inicialmente, lo que significa la probabilidad de que la primera carta saque la "imagen":
Dado que estamos quitando la primera carta de la baraja, significa que ya hay una carta en la baraja, de la cual hay imágenes. La probabilidad de sacar una imagen con la segunda carta:
Ya que estamos interesados en la situación cuando obtenemos del mazo: "imagen" Y "imagen", entonces necesitamos multiplicar las probabilidades:
Respuesta:
Después de robar la primera carta, la cantidad de cartas en la baraja disminuirá, por lo que tenemos dos opciones:
1) Con la primera carta sacamos el As, la segunda - la jota, la reina o el rey
2) Con la primera carta sacamos una jota, reina o rey, la segunda - un as. (as y (jota o reina o rey)) o ((jota o reina o rey) y as). ¡No te olvides de reducir la cantidad de cartas en la baraja!

Si pudiste resolver todos los problemas tú mismo, ¡entonces eres un gran compañero! ¡Ahora hará clic en problemas sobre la teoría de la probabilidad en el examen!

TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES. NIVEL PROMEDIO

Veamos un ejemplo. Digamos que tiramos un dado. ¿Qué tipo de hueso es este, sabes? Este es el nombre de un cubo con números en los bordes. ¿Cuántas caras, tantos números: de a cuántos? Antes.

Entonces, tiramos el dado y queremos tirar o. Y nos toca a nosotros.

La probabilidad dice lo que pasó evento favorable(no confundir con los prósperos).

Si cayera, el evento también sería favorable. En total, solo pueden ocurrir dos eventos favorables.

¿Y cuántos son desfavorables? Dado que hay todos los eventos posibles, significa que los eventos desfavorables están entre ellos (esto es si se cae o).

Definición:

La probabilidad es la razón entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.... Es decir, la probabilidad muestra qué proporción de todos los eventos posibles es favorable.

La probabilidad se denota con la letra latina (aparentemente, de la palabra inglesa probabilidad).

Se acostumbra medir la probabilidad como un porcentaje (ver temas y). Para hacer esto, el valor de probabilidad debe multiplicarse por. En el ejemplo de los dados, la probabilidad.

Y como porcentaje :.

Ejemplos (decida usted mismo):

¿Cuál es la probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda? ¿Qué posibilidades hay de que salga colas?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par en un dado? ¿Y con cuál ... extraño?
En una caja de lápices, lápices azules y rojos. Dibuja un lápiz al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar uno simple?

Soluciones:

Cuantas opciones hay? Cara y cruz son solo dos. ¿Cuántos de ellos son favorables? Solo uno es un águila. Entonces la probabilidad
Es lo mismo con las colas :.
Opciones totales: (cuántos lados tiene el cubo, tantas opciones diferentes). Favorables: (todos estos son números pares :).
Probabilidad. Con extraño, por supuesto, lo mismo.
Total:. Favorable:. Probabilidad: .

Probabilidad total

Todos los lápices del cajón son verdes. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz rojo? No hay posibilidad: probabilidad (después de todo, eventos favorables -).

Tal evento se llama imposible.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz verde? Hay exactamente el mismo número de eventos favorables que eventos totales (todos los eventos son favorables). Por tanto, la probabilidad es igual a o.

Tal evento se llama confiable.

Si hay lápices verdes y rojos en la caja, ¿cuál es la probabilidad de sacar el verde o el rojo? Una vez más. Tenga en cuenta esto: la probabilidad de tirar del verde es igual y el rojo es.

En resumen, estas probabilidades son exactamente iguales. Es decir, la suma de las probabilidades de todos los eventos posibles es igual a o.

Ejemplo:

En una caja de lápices, entre ellos azul, rojo, verde, liso, amarillo, y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de no tirar de verde?

Solución:

Recuerda que todas las probabilidades se suman. Y la probabilidad de sacar verde es igual a. Esto significa que la probabilidad de no tirar verde es igual a.

Recuerda este truco: la probabilidad de que el evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

Eventos independientes y la regla de la multiplicación

Lanzas una moneda una vez y quieres que las caras caigan en ambas ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda?

Repasemos todas las opciones posibles y determinemos cuántas hay:

Cabezas-Cabezas, Cabezas-Cabezas, Cabezas-Cabezas, Cabezas-Cabezas. ¿Qué otra cosa?

Toda la opción. De estos, solo uno es adecuado para nosotros: Eagle-Eagle. Total, la probabilidad es.

Bueno. Y ahora lanzamos una moneda una vez. Cuéntelo usted mismo. ¿Sucedió? (respuesta).

Es posible que haya notado que con la suma de cada siguiente lanzamiento, la probabilidad disminuye en tiempos. La regla general se llama regla de multiplicación:

Las probabilidades de eventos independientes cambian.

¿Qué son los eventos independientes? Todo es lógico: estos son los que no dependen unos de otros. Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda varias veces, cada vez que se hace un nuevo lanzamiento, el resultado del cual no depende de todos los lanzamientos anteriores. También podemos lanzar dos monedas diferentes al mismo tiempo.

Más ejemplos:

Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan las dos veces?
La moneda se lanza una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cara primero y luego cruz dos veces?
El jugador lanza dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en ellos sea igual?

Respuestas:

Los eventos son independientes, lo que significa que la regla de multiplicación funciona :.
La probabilidad de un águila es. La probabilidad de que aparezcan colas también lo es. Multiplicamos:
12 solo se puede obtener si se obtienen dos -ki :.

Eventos incompatibles y la regla de adición

Los eventos incompatibles se denominan eventos que se complementan entre sí con total probabilidad. Como sugiere el nombre, no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, si lanzamos una moneda, puede salir cara o cruz.

Ejemplo.

En una caja de lápices, entre ellos azul, rojo, verde, liso, amarillo, y el resto son naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga verde o rojo?

Solución.

La probabilidad de sacar un lápiz verde es. Rojo - .

Eventos auspiciosos en todos: verde + rojo. Esto significa que la probabilidad de sacar verde o rojo es igual a.

La misma probabilidad se puede representar de la siguiente manera:

Esta es la regla de la suma: las probabilidades de eventos inconsistentes se suman.

Problemas mixtos

Ejemplo.

La moneda se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado de los lanzamientos sea diferente?

Solución.

Esto significa que si el primer golpe es cara, el segundo debe ser cruz y viceversa. Resulta que hay dos pares de eventos independientes y estos pares son incompatibles entre sí. Cómo no confundirse, dónde multiplicar y dónde sumar.

Existe una regla general sencilla para estas situaciones. Trate de describir lo que va a suceder conectando los eventos con AND u OR. Por ejemplo, en este caso:

Deben aparecer (caras y colas) o (colas y caras).

Donde hay una conjunción "y", habrá multiplicación, y donde "o" - suma:

Inténtalo tú mismo:

¿Cuál es la probabilidad de que el mismo lado caiga en dos lanzamientos de una moneda en ambas ocasiones?
Los dados se lanzan dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el total sea puntos?

Soluciones:

(Las cabezas cayeron y las cabezas cayeron) o (las colas cayeron y las colas cayeron) :.
¿Cuales son las opciones? y. Luego:
Abandonó (y) o (y) o (y) :.

Otro ejemplo:

Lanzamos una moneda una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan cabezas al menos una vez?

Solución:

Oh, cómo no quieres pasar por las opciones ... Cara-cruz-cruz, Cara-cara-cruz, ... ¡Y no lo hagas! Recordamos la probabilidad completa. ¿Recordado? ¿Cuál es la probabilidad de que un águila no se dejará caer ni una sola vez? Es simple: las colas vuelan todo el tiempo, entonces.

TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES. BREVEMENTE SOBRE EL PRINCIPAL

La probabilidad es la relación entre el número de eventos favorables y el número de todos los eventos posibles.

Eventos independientes

Dos eventos son independientes si al ocurrir uno la probabilidad de que ocurra el otro no cambia.

Probabilidad total

La probabilidad de todos los eventos posibles es ().

La probabilidad de que el evento no ocurra es igual a menos la probabilidad de que ocurra el evento.

La regla para multiplicar las probabilidades de eventos independientes.

La probabilidad de una cierta secuencia de eventos independientes es igual al producto de las probabilidades de cada uno de los eventos.

Eventos incompatibles

Los eventos incompatibles se denominan eventos que no pueden suceder simultáneamente como resultado de un experimento. Varios eventos inconsistentes forman un grupo completo de eventos.

Las probabilidades de eventos inconsistentes se suman.

Habiendo descrito lo que debería suceder, usando las conjunciones "Y" u "O", en lugar de "Y" ponemos el signo de multiplicación, y en lugar de "O" - suma.

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La probabilidad de que la pieza requerida no esté en ninguna casilla es igual a:

La probabilidad buscada es

Fórmula de probabilidad total.

Supongamos que algún evento A puede ocurrir junto con uno de los eventos incompatibles que componen el grupo completo de eventos. Sean las probabilidades de estos eventos y las probabilidades condicionales de que ocurra el evento A cuando ocurre el evento Hola .

Teorema. La probabilidad del evento A, que puede ocurrir junto con uno de los eventos, es igual a la suma de los productos emparejados de las probabilidades de cada uno de estos eventos por las probabilidades condicionales correspondientes de la ocurrencia del evento A.

De hecho, esta fórmula probabilidad total ya se ha utilizado para resolver los ejemplos anteriores, por ejemplo, en el problema con un revólver.

Prueba.

Porque Los eventos forman un grupo completo de eventos, luego el evento A se puede representar como la siguiente suma:

Porque los eventos son inconsistentes, entonces los eventos AH yo también son inconsistentes. Entonces podemos aplicar el teorema sobre la suma de las probabilidades de eventos inconsistentes:

Donde

Finalmente, obtenemos:

Se demuestra el teorema.

Ejemplo. Uno de los tres tiradores dispara dos tiros. La probabilidad de dar en el blanco con un disparo para el primer tirador es de 0,4, para el segundo - 0,6, para el tercero - 0,8. Calcula la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado dos veces.

La probabilidad de que el primer, segundo o tercer tirador dispare es igual.

Las probabilidades de que uno de los tiradores haga dos tiros da en el blanco son iguales:

Para el primer tirador:

Para el segundo tirador:

Para el tercer tirador:

La probabilidad buscada es:

CONFERENCIA 2.

Fórmula de Bayes. (fórmula de hipótesis)

Sea un grupo completo de hipótesis inconsistentes con probabilidades conocidas de que ocurran. Dejemos que el experimento dé como resultado el evento A, cuyas probabilidades condicionales se conocen para cada una de las hipótesis, es decir, se conocen las probabilidades.

Se requiere determinar qué probabilidades tienen las hipótesis con respecto al evento A, es decir, probabilidades condicionales.

Teorema. La probabilidad de una hipótesis después de la prueba es igual al producto de la probabilidad de una hipótesis antes de la prueba por la probabilidad condicional correspondiente de un evento que ocurrió durante la prueba, dividida por la probabilidad total de este evento.

Esta fórmula se llama por la fórmula bayesiana.

Prueba.

Por el teorema de la multiplicación de probabilidad, obtenemos:

Entonces sí.

Para encontrar la probabilidad P (A), usamos la fórmula de probabilidad total.

Si, antes de la prueba, todas las hipótesis son igualmente probables con probabilidad, entonces la fórmula de Bayes toma la forma:

Repetición de pruebas.

La fórmula de Bernoulli.

Si se realiza un cierto número de pruebas, como resultado de las cuales el evento A puede ocurrir o no, y la probabilidad de que ocurra este evento en cada una de las pruebas no depende de los resultados de las pruebas restantes, entonces dichas pruebas son llamado independiente con respecto al evento A.

Supongamos que el evento A ocurre en cada prueba con probabilidad P (A) = p... Definamos la probabilidad P t, n que como resultado NS el evento de prueba A vino exactamente T una vez.

Esta probabilidad puede, en principio, calcularse utilizando los teoremas de suma y multiplicación de probabilidades, como se hizo en los ejemplos discutidos anteriormente. Sin embargo, con un número suficientemente grande de pruebas, esto conduce a cálculos muy grandes. Por lo tanto, es necesario desarrollar un enfoque general para resolver el problema. Este enfoque se implementa en la fórmula de Bernoulli. (Jacob Bernoulli (1654-1705) - matemático suizo)

Deje como resultado NS pruebas independientes realizadas en las mismas condiciones, el evento A ocurre con una probabilidad P (A) = p, y el evento opuesto con probabilidad.

Nosotros denotamos A yo- ocurrencia del evento A en el ensayo numerado I... Porque las condiciones de los experimentos son las mismas, entonces estas probabilidades son iguales.

Si como resultado NS experimentos, el evento A ocurre exactamente T veces, luego el resto p-t una vez que este evento no ocurre. Puede aparecer el evento A T una vez en NS pruebas en varias combinaciones, cuyo número es igual al número de combinaciones de NS elementos por T... Este número de combinaciones se calcula mediante la fórmula:

La probabilidad de cada combinación es igual al producto de las probabilidades:

Aplicando el teorema de la suma de las probabilidades de eventos inconsistentes, obtenemos La fórmula de Bernoulli:

La fórmula de Bernoulli es importante porque es válida para cualquier número de pruebas independientes, es decir, el mismo caso en el que las leyes de la teoría de la probabilidad se manifiestan con mayor claridad.

Ejemplo. Se disparan 5 tiros al objetivo. La probabilidad de acierto de cada disparo es de 0,4. Calcula la probabilidad de que el objetivo haya sido alcanzado al menos tres veces.

La probabilidad de al menos tres aciertos es la suma de la probabilidad de cinco aciertos, cuatro aciertos y tres aciertos.

Porque disparos son independientes, entonces puede aplicar la fórmula de Bernoulli para la probabilidad de que en T evento de prueba en probabilidad R viene exactamente NS una vez.

En caso de cinco aciertos de los cinco posibles:

Cuatro hits de cinco tiros:

Tres de cada cinco aciertos:

Finalmente, obtenemos la probabilidad de al menos tres golpes de cada cinco disparos:

Variables aleatorias.

Anteriormente, se consideraron los eventos aleatorios, que son una característica cualitativa de un resultado aleatorio de un experimento. Para obtener una característica cuantitativa, se introduce el concepto de variable aleatoria.

Definición. Un valor aleatorio Se llama cantidad que, como resultado de la experiencia, puede tomar uno u otro valor, y se sabe de antemano cuál.

Las variables aleatorias se pueden dividir en dos categorías.

Definición. Variable aleatoria discreta es una cantidad que, fruto de la experiencia, puede tomar ciertos valores con cierta probabilidad, formando un conjunto contable (un conjunto cuyos elementos pueden ser numerados).

Este conjunto puede ser tanto finito como infinito.

Por ejemplo, el número de disparos antes del primer impacto en el objetivo es una variable aleatoria discreta, ya que este valor puede tomar un número infinito, aunque contable, de valores.

Definición. Variable aleatoria continua se llama tal cantidad que puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo finito o infinito.

Obviamente, el número de valores posibles de una variable aleatoria continua es infinito.

Para configurar una variable aleatoria, no basta con indicar su valor, también debe indicar la probabilidad de este valor.

Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.

Definición. La relación entre los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades se llama ley de distribución discreta variable aleatoria.

La ley de distribución se puede establecer analíticamente, en forma de tabla o gráficamente.

La tabla de correspondencia entre los valores de una variable aleatoria y sus probabilidades se llama cerca de la distribución.

La representación gráfica de esta tabla se llama polígono de distribución. En este caso, la suma de todas las ordenadas del polígono de distribución representa la probabilidad de todos los valores posibles de la variable aleatoria y, por lo tanto, es igual a uno.

Ejemplo. Se disparan 5 tiros al objetivo. La probabilidad de acierto de cada disparo es de 0,4. Encuentre las probabilidades del número de aciertos y trace el polígono de distribución.

Las probabilidades de cinco aciertos de cinco posibles, cuatro de cinco y tres de cinco se encontraron arriba usando la fórmula de Bernoulli y son iguales, respectivamente:

Del mismo modo, encontramos:

Representemos gráficamente la dependencia del número de aciertos de sus probabilidades.

Al construir un polígono de distribución, hay que recordar que la conexión de los puntos obtenidos es condicional. En los intervalos entre los valores de una variable aleatoria, la probabilidad no toma ningún valor. Los puntos están conectados solo para mayor claridad.

Ejemplo. La probabilidad de al menos un impacto en el objetivo por parte de un tirador con tres disparos es de 0,875. Calcula la probabilidad de acertar en un objetivo de un solo disparo.

Si denotamos R Si la probabilidad de que un tirador dé en el blanco con un disparo, entonces la probabilidad de fallar con un disparo es obviamente igual a (1 - R).

La probabilidad de tres fallos de tres tiros es (1 - R) 3. Esta probabilidad es 1 - 0,875 = 0,125, es decir no dan en el blanco ni una sola vez.

Obtenemos:

Ejemplo. La primera caja contiene 10 bolas, de las cuales 8 son blancas; en la segunda casilla hay 20 bolas, de las cuales 4 son blancas. Se saca una bola al azar de cada caja, y luego se saca una bola al azar de estas dos bolas. Calcula la probabilidad de que esta bola sea blanca.

La probabilidad de que la bola sacada de la primera casilla sea blanca - que no sea blanca -.

La probabilidad de que la bola sacada de la segunda casilla sea blanca - que no sea blanca -

La probabilidad de que se vuelva a seleccionar una bola extraída de la primera casilla y la probabilidad de que se vuelva a seleccionar una bola extraída de la segunda casilla es de 0,5.

La probabilidad de que la bola sacada de la primera casilla sea re-seleccionada y sea blanca -

La probabilidad de que la bola sea re-seleccionada de la segunda casilla y sea blanca -

La probabilidad de que se vuelva a seleccionar la bola blanca es

Ejemplo. Hay cinco rifles, tres de los cuales están equipados con una mira telescópica. La probabilidad de que el tirador dé en el blanco cuando se dispara con un rifle con mira telescópica es 0,95, para un rifle sin mira telescópica, esta probabilidad es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado si el tirador dispara un tiro de un rifle seleccionado al azar.

Denotamos la probabilidad de que se seleccione un rifle con mira telescópica y denotamos la probabilidad de que se seleccione un rifle sin mira óptica.

La probabilidad de que haya elegido un rifle con mira telescópica y haya alcanzado el objetivo, donde R (PC / O) - la probabilidad de alcanzar un objetivo con un rifle con una mira telescópica.

De manera similar, la probabilidad de elegir un rifle sin mira telescópica y el objetivo fue alcanzado, donde R (PC / BO) - la probabilidad de alcanzar un objetivo con un rifle sin mira óptica.

La probabilidad final de dar en el blanco es igual a la suma de las probabilidades R 1 y R 2 ya que es suficiente que ocurra uno de estos eventos incompatibles para dar en el blanco.

Ejemplo. Tres cazadores dispararon simultáneamente contra el oso, que fue asesinado por una bala. Determine la probabilidad de que el primer tirador mató al oso si las probabilidades de impacto de estos tiradores son 0.3, 0.4, 0.5, respectivamente.

En esta tarea, se requiere determinar la probabilidad de una hipótesis después de que el evento ya haya tenido lugar. Para determinar la probabilidad deseada, debe utilizar la fórmula de Bayes. En nuestro caso, se ve así:

En esta fórmula H 1, H 2, H 3- hipótesis de que el oso será asesinado por el primer, segundo y tercer tiradores, respectivamente. Antes de que se disparen los disparos, estas hipótesis son igualmente probables y su probabilidad es igual.

P (H 1 / A)- la probabilidad de que el primer tirador haya matado al oso, siempre que los disparos ya hayan sido efectuados (evento A).

Las probabilidades de que el primer, segundo o tercer tirador mate al oso, calculadas antes de los disparos, son iguales, respectivamente:

Aquí q 1= 0,7; q 2 = 0,6; q 3= 0.5 - probabilidades de fallar para cada uno de los tiradores, calculadas como q = 1 - p, dónde R- probabilidades de acierto para cada uno de los tiradores.

Sustituya estos valores en la fórmula de Bayes:

Ejemplo. Se enviaron cuatro señales de radio en serie. Las probabilidades de recibir cada una de ellas no dependen de si se reciben o no el resto de señales. Las probabilidades de recibir señales son 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, respectivamente. Determine la probabilidad de recibir tres señales de radio.

El evento de recibir tres señales de cuatro es posible en cuatro casos:

Para recibir tres señales se debe realizar uno de los eventos A, B, C o D. Así, encontramos la probabilidad deseada:

Ejemplo. Veinte boletos de examen contienen dos preguntas que no se repiten. El examinador conoce las respuestas a solo 35 preguntas. Determine la probabilidad de que se apruebe el examen si es suficiente responder dos preguntas en un boleto o una pregunta en un boleto y la pregunta adicional especificada de otro boleto.

Hay un total de 40 preguntas (2 en cada una de las 20 entradas). La probabilidad de que haya una pregunta para la que se conoce la respuesta es obviamente igual.

Para aprobar el examen, se requiere uno de tres eventos:

1) Evento A: respondió la primera pregunta (probabilidad) y respondió la segunda pregunta (probabilidad). Porque después de una respuesta satisfactoria a la primera pregunta, quedan todavía 39 preguntas, de las cuales se conocen 34 respuestas.

2) Evento B - se respondió la primera pregunta (probabilidad), la segunda - no (probabilidad), la tercera - se respondió (probabilidad).

3) Evento C: la primera pregunta no fue respondida (probabilidad), la segunda fue respondida (probabilidad), la tercera fue respondida (probabilidad).

La probabilidad de que en las condiciones dadas se apruebe el examen es igual a:

Ejemplo. Hay dos lotes de piezas homogéneas. El primer lote consta de 12 piezas, 3 de las cuales están defectuosas. El segundo lote consta de 15 partes, 4 de las cuales están defectuosas. Se extraen dos partes del primer y segundo lote. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya piezas defectuosas entre ellos?

La probabilidad de no estar defectuosa para la primera parte extraída del primer lote es igual, para la segunda parte extraída del primer lote, siempre que la primera parte no estuviera defectuosa -.

La probabilidad de no estar defectuosa para la primera parte extraída del segundo lote es igual, para la segunda parte extraída del segundo lote, siempre que la primera parte no estuviera defectuosa -.

La probabilidad de que no haya piezas defectuosas entre las cuatro piezas recuperadas es:

Consideremos el mismo ejemplo, pero con una condición ligeramente diferente.

Ejemplo. Hay dos lotes de piezas homogéneas. El primer lote consta de 12 piezas, 3 de las cuales están defectuosas. El segundo lote consta de 15 partes, 4 de las cuales están defectuosas. Se toman al azar 5 partes del primer lote y 7 partes del segundo. Estas partes forman un nuevo lote. ¿Cuál es la probabilidad de sacarles una pieza defectuosa?

Para que una pieza elegida al azar sea defectuosa, se debe cumplir una de dos condiciones incompatibles:

1) La pieza seleccionada era del primer lote (probabilidad -) y al mismo tiempo estaba defectuosa (probabilidad -). Finalmente:

2) La pieza seleccionada era del segundo lote (probabilidad -) y al mismo tiempo estaba defectuosa (probabilidad -). Finalmente:

Finalmente, obtenemos :.

Ejemplo. La urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se sacan dos bolas de la urna al azar. Calcula la probabilidad de que estas bolas no sean del mismo color.

El evento de que las bolas seleccionadas de diferentes colores ocurrirá en uno de dos casos:

1) La primera bola es blanca (probabilidad -) y la segunda es negra (probabilidad -).

2) La primera bola es negra (probabilidad -) y la segunda es blanca (probabilidad -).

Finalmente, obtenemos:

Distribución binomial.

Si se produce NS ensayos independientes, en cada uno de los cuales el evento A puede aparecer con la misma probabilidad R en cada uno de los ensayos, entonces la probabilidad de que el evento no aparezca es q = 1 - pág.

Tomemos el número de ocurrencias de un evento en cada una de las pruebas como un valor aleatorio X.

Para encontrar la ley de distribución de esta variable aleatoria, es necesario determinar los valores de esta cantidad y sus probabilidades.

Los valores son fáciles de encontrar. Obviamente, como resultado NS El evento puede no aparecer en absoluto, puede aparecer una, dos, tres veces, etc. antes de NS una vez.

La probabilidad de cada valor de esta variable aleatoria se puede encontrar usando la fórmula de Bernoulli.

Esta fórmula expresa analíticamente la ley de distribución deseada. Esta ley de distribución se llama binomio.

Ejemplo. El lote contiene un 10% de piezas no estándar. Se seleccionaron 4 partes al azar. Escriba la ley binomial de distribución de una variable aleatoria discreta X - el número de partes no estándar entre las cuatro seleccionadas y construya un polígono de la distribución resultante.

La probabilidad de que aparezca una pieza no estándar en cada caso es de 0,1.

Encontremos las probabilidades de que entre las partes seleccionadas:

1) En general, no existen los no estándar.

2) Uno no estándar.

3) Dos piezas no estándar.

4) Tres piezas no estándar.

5) Cuatro piezas no estándar.

Construyamos un polígono de distribución.

Ejemplo. Se lanzan dos dados simultáneamente 2 veces. Escriba la ley binomial de distribución de una variable aleatoria discreta X: el número de gotas de un número par de puntos en dos dados.

Cada dado tiene tres variantes de puntos pares: 2, 4 y 6 de los seis posibles, por lo que la probabilidad de obtener un número par de puntos en un dado es de 0,5.

La probabilidad de obtener puntos pares en dos dados al mismo tiempo es de 0,25.

La probabilidad de que en dos pruebas en ambas ocasiones incluso los puntos cayeran en ambos dados es igual.