Ejemplos de soluciones de la ecuación de conducción de calor. Método de Fourier para la ecuación del calor Ecuación del calor en línea

02.08.2021

Cría de aves

Al construir un modelo matemático de propagación de calor en una varilla, hacemos las siguientes suposiciones:

1) la varilla está hecha de un material conductor homogéneo con una densidad ρ ;

2) la superficie lateral de la varilla está aislada térmicamente, es decir, el calor solo puede propagarse a lo largo del eje OH;

3) la varilla es delgada: esto significa que la temperatura en todos los puntos de cualquier sección transversal de la varilla es la misma.

Considere una parte de la barra en el segmento [ x, x + ∆x] (ver Fig. 6) y utilizar la ley de conservación de la cantidad de calor:

La cantidad total de calor en el segmento [ x, x + ∆x] = cantidad total de calor que atraviesa los límites + cantidad total de calor generado por fuentes internas.

La cantidad total de calor que debe impartirse a una sección de la varilla para elevar su temperatura en ∆U, se calcula mediante la fórmula: ∆Q = CρS∆x∆U, dónde CON-capacidad calorífica específica del material (= la cantidad de calor que debe suministrarse a 1 kg de una sustancia para elevar su temperatura en 1 °), S- área de la sección transversal.

La cantidad de calor que pasó a través del extremo izquierdo de la sección de la varilla durante el tiempo ∆t(flujo de calor) se calcula mediante la fórmula: Q 1 = -kSU x (x, t) ∆t, dónde k- coeficiente de conductividad térmica del material (= la cantidad de calor que fluye por segundo a través de una varilla de longitud unitaria y área de sección transversal unitaria a una diferencia de temperatura en los extremos opuestos de 1 °). En esta fórmula, el signo menos requiere una explicación especial. El caso es que el flujo se considera positivo si se dirige hacia arriba NS, y esto, a su vez, significa que a la izquierda del punto NS la temperatura es más alta que a la derecha, es decir U x< 0 ... Por lo tanto, para Q 1 fue positivo, hay un signo menos en la fórmula.

De manera similar, el flujo de calor a través del extremo derecho de la sección de la barra se calcula usando la fórmula: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

Si asumimos que no hay fuentes de calor internas en la varilla y usamos la ley de conservación de calor, obtenemos:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t) ∆t.

Si esta igualdad se divide por S∆x∆t y directo ∆x y ∆t a cero, entonces tendremos:

Por tanto, la ecuación de conducción de calor tiene la forma

U t = a 2 U xx,

donde está la difusividad térmica.

En el caso de que haya fuentes de calor dentro de la varilla que se distribuyan continuamente con una densidad q (x, t), obtenemos la ecuación de conducción de calor no homogénea

U t = una 2 U xx + f (x, t),
dónde .

Condiciones iniciales y condiciones de contorno.

Para la ecuación de calor, solo una condición inicial U | t = 0 = φ (x)(o en otra entrada U (x, 0) = φ (x)) y físicamente significa que la distribución de temperatura inicial de la varilla tiene la forma φ (x)... Para las ecuaciones de conducción de calor en un plano o en el espacio, la condición inicial tiene la misma forma, solo que la función φ dependerá, respectivamente, de dos o tres variables.

Las condiciones de contorno en el caso de la ecuación de calor tienen la misma forma que para la ecuación de onda, pero su significado físico ya es diferente. Condiciones primera clase (5) significa que la temperatura se establece en los extremos de la varilla. Si no cambia con el tiempo, entonces g 1 (t) ≡ Т 1 y g 2 (t) ≡ Т 2, dónde T 1 y T 2- permanente. Si los extremos se mantienen a temperatura cero todo el tiempo, entonces T 1 = T 2 = 0 y las condiciones serán uniformes. Condiciones fronterizas segundo tipo (6) Determine el flujo de calor en los extremos de la varilla. En particular, si g 1 (t) = g 2 (t) = 0, entonces las condiciones se vuelven homogéneas. Físicamente, significan que el intercambio de calor con el entorno externo no se produce a través de los extremos (estas condiciones también se denominan condiciones para el aislamiento térmico de los extremos). Finalmente, las condiciones de contorno tercer tipo (7) Corresponden al caso en el que el intercambio de calor con el ambiente ocurre a través de los extremos de la varilla de acuerdo con la ley de Newton (recuerde que al derivar la ecuación de conducción de calor, consideramos que la superficie lateral está aislada térmicamente). Es cierto que en el caso de la ecuación de conducción de calor, las condiciones (7) se escriben de forma un poco diferente:

La ley física del intercambio de calor con el medio ambiente (ley de Newton) es que el flujo de calor a través de una unidad de superficie por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio ambiente. Por lo tanto, para el extremo izquierdo de la barra, es igual a Aquí h 1> 0- coeficiente de intercambio de calor con el medio ambiente, g 1 (t)- temperatura ambiente en el extremo izquierdo. El signo menos se coloca en la fórmula por la misma razón que en la derivación de la ecuación de conducción de calor. Por otro lado, debido a la conductividad térmica del material, el flujo de calor por el mismo extremo es igual, aplicando la ley de conservación de la cantidad de calor obtenemos:

La condición (14) se obtiene de manera similar en el extremo derecho de la varilla, solo la constante λ 2 puede ser diferente, ya que, en términos generales, los entornos que rodean los extremos izquierdo y derecho son diferentes.

Las condiciones de contorno (14) son más generales que las condiciones del primer y segundo tipo. Si asumimos que no hay intercambio de calor con el medio a través de ningún extremo (es decir, el coeficiente de transferencia de calor es cero), entonces se obtendrá una condición del segundo tipo. En otro caso, asumimos que el coeficiente de transferencia de calor, por ejemplo h 1, muy grande.

Reescribamos la condición (14) para x = 0 como y nos esforzaremos. Como resultado, tendremos una condición del primer tipo:

Las condiciones de contorno se formulan de manera similar para un mayor número de variables. Para el problema de la propagación del calor en una placa plana, la condición significa que la temperatura en sus bordes se mantiene a cero. De igual forma, las condiciones son muy similares en apariencia, pero en el primer caso significa que se considera una placa plana y sus bordes están aislados térmicamente, y en el segundo caso significa que el problema de la propagación del calor en el cuerpo es considerado y su superficie está aislada térmicamente.

Solución del primer problema de valor límite inicial para la ecuación de conducción de calor.

Considere el primer problema de valor límite inicial homogéneo para la ecuación de calor:

Encuentra una solución a la ecuación

U t = U xx, 0 0,

satisfaciendo las condiciones de contorno

U (0, t) = U (l, t) = 0, t> 0,

y la condición inicial

Resolvamos este problema por el método de Fourier.

Paso 1... Buscaremos soluciones a la ecuación (15) en la forma U (x, t) = X (x) T (t).

Encontremos las derivadas parciales:

Sustituya estas derivadas en la ecuación y divida las variables:

Por el lema principal, obtenemos

esto implica

Ahora puede resolver cada una de estas ecuaciones diferenciales ordinarias. Prestemos atención al hecho de que utilizando las condiciones de contorno (16), no se puede buscar una solución general de la ecuación b), sino soluciones particulares que satisfagan las condiciones de contorno correspondientes:

Paso 2. Resolvamos el problema de Sturm-Liouville

Este problema coincide con el problema de Sturm-Liouville considerado en conferencias 3. Recuerde que los valores propios y las funciones propias de este problema existen sólo para λ>0.

Los valores propios son iguales

Las funciones propias son iguales (Ver solución al problema)

La solución de la ecuación diferencial de conducción de calor bajo la acción de una fuente concentrada instantánea en un medio ilimitado se llama solución fundamental.

Fuente puntual instantánea

Para un cuerpo infinito, en cuyo origen actúa una fuente puntual instantánea, la solución a la ecuación diferencial de conducción de calor es la siguiente:

donde T es la temperatura de un punto con coordenadas x, y, z; Q es la cantidad de calor liberada en el momento t = 0 en el origen; t es el tiempo transcurrido desde la introducción del calor; R es la distancia desde el origen de las coordenadas, donde actúa la fuente, hasta el punto en cuestión (radio - vector). La ecuación (4) es una solución fundamental a la ecuación de conducción de calor bajo la acción de una fuente puntual instantánea en un cuerpo infinito.

En cualquier momento t? 0, la temperatura de la propia fuente (R = 0) es distinta de cero y disminuye con el tiempo de acuerdo con la ley t -3/2, permaneciendo por encima de las temperaturas de otros puntos del cuerpo. Con la distancia de la fuente, la temperatura disminuye de acuerdo con la ley de distribución normal exp (-R 2 / 4at). Las superficies isotérmicas son esferas centradas en la fuente y el campo de temperatura en un momento dado depende solo del radio. En el momento inicial de tiempo (t = 0), la temperatura no está determinada (T =?), Que está asociada con el esquema de una fuente concentrada, en la que una cantidad finita de calor Q está contenida en un volumen infinitamente pequeño en el momento inicial del tiempo.

Con base en la solución para un cuerpo infinito (4), es posible derivar la ecuación de campo de temperatura para un esquema de cuerpo semi-infinito, que se usa para describir procesos térmicos en productos masivos. Deje que una fuente puntual instantánea D actúe en un cuerpo semi-infinito limitado por la superficie S - S (Fig. 4). Para cuerpos masivos, los flujos de calor en el interior son mucho mayores que el flujo de transferencia de calor desde la superficie. Por lo tanto, la superficie de un cuerpo semi-infinito puede considerarse un límite adiabático, para lo cual (ver Sección 1.4)

Complementamos la región semiinfinita z> 0 a infinita agregando la región z< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

El límite isotérmico (condición de límite del 1er tipo) T S = 0 se simula de acuerdo con el mismo esquema, pero en este caso T = T D - T F. Se debe enfatizar que la fuente de calor no puede actuar sobre la superficie isotérmica.

La representación gráfica del campo de temperatura (6) requiere una comprensión clara de la posición espacial de la superficie sobre la que se traza la distribución de temperatura. En el sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z), las secciones de control de un cuerpo semi-infinito bajo la acción de una fuente puntual son los planos xy, xz e yz (Fig. 5, a). Para un cuerpo semi-infinito, las superficies isotérmicas son hemisferios (la temperatura depende del radio, el vector R). En las isotermas del plano xy, como una sección de la superficie por el plano

z = const, son círculos y, en otros planos, semicírculos (Fig.5, b). El campo de temperatura de una fuente puntual instantánea en diferentes momentos se muestra en la Fig. (6) (ver A 1.1.). En la figura, la temperatura está limitada gráficamente por el valor T = 1000K |.

La temperatura en cualquier punto fuera de la fuente primero aumenta y luego disminuye (Figura 1.3). El momento de alcanzar el valor máximo de temperatura en un punto dado se encuentra a partir de la condición

Diferenciando la expresión (6) con respecto al tiempo, obtenemos una fórmula para determinar el tiempo en el que la temperatura es máxima

Los temperamentos máximos de los puntos de un cuerpo semi-infinito bajo la acción de una fuente puntual disminuyen con la distancia como R 3.

Conductividad térmica- Este es uno de los tipos de transferencia de calor. La transferencia de calor se puede realizar mediante varios mecanismos.

Todos los cuerpos emiten ondas electromagnéticas. A temperatura ambiente, se trata principalmente de radiación infrarroja. así es como va transferencia de calor radiante.

En presencia de un campo de gravedad, otro mecanismo de transferencia de calor en fluidos puede ser convección... Si se suministra calor a un recipiente que contiene un líquido o gas a través del fondo, en primer lugar las porciones inferiores de la sustancia se calientan, su densidad disminuye, flotan hacia arriba y dan parte del calor recibido a las capas superiores.

Con la conductividad térmica, la transferencia de energía se produce como resultado de la transferencia directa de energía de partículas (moléculas, átomos, electrones) con mayor energía a partículas con menor energía.

Nuestro curso analizará la transferencia de calor por conducción.

Consideremos primero el caso unidimensional cuando la temperatura depende de una sola coordenada NS... Deje que dos medios estén separados por una partición plana de espesor l(figura 23.1). Temperaturas medias T 1 y T 2 se mantienen constantes. Se puede determinar empíricamente que la cantidad de calor Q transmitido a través de una sección de una partición con un área S durante t es igual a

, (23.1)

donde el coeficiente de proporcionalidad k depende del material de la pared.

A T 1 > T 2 el calor se transfiere en la dirección positiva del eje NS, a T 1 < T 2 - negativo. La dirección de propagación del calor se puede tener en cuenta si en la ecuación (23.1) reemplazamos ( T 1 - T 2)/l sobre (- dT/dx). En el caso unidimensional, la derivada dT/dx representa gradiente de temperatura... Recordemos que el gradiente es un vector cuya dirección coincide con la dirección del aumento más rápido en la función de coordenadas escalares (en nuestro caso T), y el módulo es igual a la relación entre el incremento de la función con un pequeño desplazamiento en esta dirección y la distancia a la que se produjo este incremento.

Para dar a las ecuaciones que describen la transferencia de calor una forma más general y universal, consideramos densidad de flujo de calor j - la cantidad de calor transferido a través de una unidad de área por unidad de tiempo

Entonces la relación (23.1) se puede escribir en la forma

Aquí, el signo menos refleja el hecho de que la dirección del flujo de calor es opuesta a la dirección del gradiente de temperatura (la dirección de su aumento). Por tanto, la densidad del flujo de calor es una cantidad vectorial. El vector de la densidad del flujo de calor se dirige hacia una disminución de la temperatura.

Si la temperatura del medio depende de las tres coordenadas, entonces la relación (23.3) toma la forma

dónde , es el gradiente de temperatura ( mi 1 ,mi 2 ,mi 3 - vectores unitarios de los ejes de coordenadas).

Las relaciones (23.3) y (23.4) representan la ley básica de conductividad térmica (ley de Fourier): la densidad del flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura. El coeficiente de proporcionalidad k se llama coeficiente de conductividad térmica(o simplemente conductividad térmica). Porque la dimensión de la densidad del flujo de calor [ j] = J / (m 2 s), y el gradiente de temperatura [ dT / dx] = K / m, entonces la dimensión del coeficiente de conductividad térmica [k] = J / (m × s × K).

En general, la temperatura en diferentes puntos de una sustancia calentada de manera desigual cambia con el tiempo. Considere el caso unidimensional cuando la temperatura depende de una sola coordenada espacial NS y tiempo t y obtenemos ecuación de calor- ecuación diferencial, que satisface la función T = T(X,t).

Seleccionemos mentalmente en el medio un elemento de pequeño volumen en forma de cilindro o prisma, cuyas generatrices son paralelas al eje. NS, y las bases son perpendiculares (Figura 23.2). Área de la base S y la altura dx... La masa de este volumen dm= r Sdx, y su capacidad calorífica c × dm donde r es la densidad de la sustancia, con- capacidad calorífica específica. Deje por un pequeño período de tiempo dt la temperatura en este volumen cambió por dT... Para ello, la sustancia en el volumen debe recibir una cantidad de calor igual al producto de su capacidad calorífica por el cambio de temperatura: ... Por otro lado, d Q puede ingresar al volumen solo a través de las bases del cilindro: (densidad de flujo de calor j puede ser tanto positivo como negativo). Ecuación de expresiones para d Q, obtenemos

Reemplazando las razones de pequeños incrementos con las derivadas correspondientes, llegamos a la relación

. (23.5)

Sustituir en la fórmula (23.5) la expresión (23.3) para la densidad de flujo de calor

. (23.6)

La ecuación resultante se llama ecuación de calor... Si el medio es homogéneo y la conductividad térmica k no depende de la temperatura, la ecuación toma la forma

, (23.7)

donde la constante se llama difusividad térmica Miércoles.

Las ecuaciones (23.6) - (23.8) son satisfechas por el innumerable conjunto de funciones T = T(X,t).

Para seleccionar la única solución a la ecuación de calor, es necesario agregar las condiciones iniciales y de contorno a la ecuación.

La condición inicial es especificar la distribución de temperatura en el medio. T(NS, 0) en el momento inicial del tiempo t = 0.

Las condiciones de los límites pueden ser diferentes según las condiciones de temperatura en los límites. Muy a menudo, hay situaciones en las que la temperatura o la densidad del flujo de calor se establecen en los límites en función del tiempo.

En algunos casos, puede haber fuentes de calor en el medio ambiente. El calor puede liberarse como resultado del paso de una corriente eléctrica, reacciones químicas o nucleares. La presencia de fuentes de calor se puede tener en cuenta introduciendo la densidad aparente de la liberación de energía. q(X,y,z), igual a la cantidad de calor liberado por las fuentes por unidad de volumen del ambiente por unidad de tiempo. En este caso, el término aparecerá en el lado derecho de la ecuación (23.5). q:

Derivación de la ecuación del calor

Imagine un cuerpo homogéneo y aísle de él un volumen elemental con lados (Figura 1).

Figura 1. Volumen de prueba en un sistema de coordenadas rectangular

Los flujos de calor entrantes ubicados perpendiculares a las superficies se denotarán como ,. Expresamos los flujos en superficies opuestas de la serie de Taylor:

También puede haber fuentes internas de calor dentro del cuerpo, si hay desagües, si:

Cambio en la energía interna:

Sustituya las ecuaciones (1.1.1) en la ecuación resultante (1.1.5):

Sustituyéndolos en la ecuación (1.1.6), obtenemos la ecuación de conducción de calor en forma general para el espacio tridimensional:

Introduzcamos el coeficiente de difusividad térmica:

y omitir las fuentes de calor internas. Obtenemos la ecuación de conducción de calor en un espacio tridimensional sin fuentes de calor internas:

Condiciones inequívocas

La ecuación (1.1) describe el proceso en términos generales. Para aplicarlo a un problema específico, se requieren condiciones adicionales, llamadas condiciones de unicidad. Estas condiciones incluyen condiciones geométricas (forma y tamaño del cuerpo), físicas (propiedades físicas del cuerpo), temporales (distribución de temperatura inicial) y condiciones de contorno (describir el proceso de intercambio de calor con el medio ambiente).

Las condiciones de contorno se pueden dividir en tres tipos principales:

1. Condiciones de frontera de Dirichlet: se da el valor de la función en la frontera.

En el caso del problema de conducción de calor, se establecen los valores de temperatura en la superficie del cuerpo.

2. Condiciones de frontera de Neumann: se da la derivada normal de la función en la frontera.

Establezca la densidad del flujo de calor en la superficie del cuerpo.

3. Condiciones de frontera de Robin: se da una combinación lineal del valor de la función y su derivada en la frontera.

Describe el intercambio de calor entre la superficie del cuerpo y el medio ambiente según la ley de Newton-Richman.

En este trabajo, solo se utilizarán las condiciones de contorno de Dirichlet, debido a la complejidad de la implementación de las condiciones de contorno restantes.

con condiciones iniciales

y condiciones de contorno

Buscaremos una solución a este problema en forma de serie de Fourier en el sistema de funciones propias (94)

aquellos. descomposición

considerando al mismo tiempo t parámetro.

Deje que las funciones F(X, t) es continua y tiene una derivada continua a trozos de primer orden con respecto a NS y para todos t> 0 se cumplen las condiciones

Supongamos ahora que las funciones F(X, t) y
ampliable en serie sinusoidal de Fourier

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Sustituyendo (116) en la ecuación (113) y teniendo en cuenta (117), obtenemos

Esta igualdad se mantiene cuando

, (121)

o si
, entonces esta ecuación (121) se puede escribir en la forma

. (122)

Utilizando la condición inicial (114), teniendo en cuenta (116), (117) y (119), obtenemos que

. (123)

Por lo tanto, para encontrar la función requerida
llegamos al problema de Cauchy (122), (123) para una ecuación diferencial de primer orden no homogénea ordinaria. Usando la fórmula de Euler, podemos escribir la solución general de la ecuación (122)

y teniendo en cuenta (123) la solución al problema de Cauchy

En consecuencia, cuando sustituimos el valor de esta función en la expresión (116), como resultado, obtenemos una solución al problema original.

(124)

donde las funciones F(X, t) y
se definen mediante las fórmulas (118) y (120).

Ejemplo 14. Encuentre una solución a la ecuación no homogénea de tipo parabólico

con la condición inicial

(14.2)

y condiciones de contorno

. (14.3)

▲ Primero seleccionemos una función de este tipo  para satisfacer las condiciones de contorno (14.3). Dejemos, por ejemplo,  = xt 2. Luego

Por tanto, la función se define como

satisface la ecuación

(14.5)

condiciones de contorno homogéneas

y cero condiciones iniciales

. (14.7)

Aplicar el método de Fourier para resolver la ecuación homogénea

en las condiciones (14.6), (14.7), ponemos

Llegamos al siguiente problema de Sturm-Liouville:

,
.

Resolviendo este problema, encontramos los valores propios

y sus correspondientes funciones propias

. (14.8)

Buscamos la solución del problema (14.5) - (14.7) en forma de serie

, (14.9)

(14.10)

Sustituyendo
de (14.9) a (14.5) obtenemos

. (14.11)

Para encontrar la función T norte (t) expandir la función (1- NS) en una serie de Fourier en el sistema de funciones (14.8) en el intervalo (0,1):

. (14.12)

y de (14.11) y (14.12) obtenemos la ecuación

, (14.13)

que es una ecuación diferencial lineal no homogénea ordinaria de primer orden. Encontramos su solución general por la fórmula de Euler

y teniendo en cuenta la condición (14.10), encontramos una solución al problema de Cauchy

. (14.14)

De (14.4), (14.9) y (14.14), encontramos la solución al problema original (14.1) - (14.3)

Tareas de autoaprendizaje

Resolver problemas de valor límite inicial

3.4. El problema de Cauchy para la ecuación del calor

En primer lugar, considere el problema de Cauchy para Ecuación de calor homogénea.

satisfactorio

Comencemos reemplazando las variables X y t sobre
e introducir la función
... Entonces las funciones
satisfará las ecuaciones

dónde
es la función de Green definida por la fórmula

, (127)

y poseer las propiedades

; (130)

. (131)

Multiplicando la primera ecuación por GRAMO* y el segundo en y y luego sumando los resultados obtenidos, obtenemos la igualdad

. (132)

Después de la integración por partes de igualdad (132) sobre dentro del rango de -∞ a + ∞ y por que van de 0 a t, obtenemos

Si asumimos que la función
y su derivado limitado en
, entonces, en virtud de las propiedades (131), la integral del lado derecho de (133) es igual a cero. Por tanto, podemos escribir

Reemplazando en esta igualdad por
, a
sobre
, obtenemos la proporción

Por lo tanto, usando la fórmula (127), finalmente obtenemos

. (135)

La fórmula (135) se llama Fórmula de Poisson y determina la solución del problema de Cauchy (125), (126) para la ecuación de calor homogénea con una condición inicial no homogénea.

La solucion es el problema de Cauchy para la ecuación de calor no homogénea

satisfactorio condición inicial no homogénea

es la suma de las soluciones:

¿Dónde está la solución al problema de Cauchy para la ecuación de calor homogénea? . Satisfacer la condición inicial no homogénea es una solución que satisface la condición inicial homogénea. Por tanto, la solución al problema de Cauchy (136), (137) está determinada por la fórmula

Ejemplo 15. Encuentra una solución a la ecuación

(15.1)