Teoría de logaritmos con ejemplos. Definición de logaritmo, identidad logarítmica básica

21.03.2022

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Vamos a explicarlo más fácil. Por ejemplo, \(\log_(2)(8)\) es igual a la potencia a la que se debe elevar \(2\) para obtener \(8\). De esto queda claro que \(\log_(2)(8)=3\).

Ejemplos:	\(\log_(5)(25)=2\)	porque \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	porque \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	porque \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumento y base del logaritmo

Cualquier logaritmo tiene la siguiente "anatomía":

El argumento del logaritmo generalmente se escribe en su nivel, y la base se escribe en subíndice más cerca del signo del logaritmo. Y esta entrada se lee así: "el logaritmo de veinticinco en base de cinco".

¿Cómo calcular el logaritmo?

Para calcular el logaritmo, debe responder la pregunta: ¿hasta qué punto se debe elevar la base para obtener el argumento?

Por ejemplo, calcula el logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) ¿A qué potencia se debe elevar \(4\) para obtener \(16\)? Obviamente el segundo. Es por eso:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(5)\) para obtener \(1\)? ¿Y qué grado hace que cualquier número sea una unidad? ¡Cero, por supuesto!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ¿A qué potencia se debe elevar \(\sqrt(7)\) para obtener \(\sqrt(7)\)? En el primero, cualquier número en el primer grado es igual a sí mismo.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ¿A qué potencia se debe elevar \(3\) para obtener \(\sqrt(3)\)? De sabemos que es una potencia fraccionaria, y por lo tanto la raíz cuadrada es la potencia de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Ejemplo : Calcula el logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solución :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Necesitamos encontrar el valor del logaritmo, denotemoslo como x. Ahora usemos la definición del logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\raíz cuadrada(2))^(x)=8\)		¿Qué vincula \(4\sqrt(2)\) y \(8\)? Dos, porque ambos números se pueden representar por dos: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A la izquierda, usamos las propiedades de grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) y \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Las bases son iguales, se procede a la igualdad de indicadores
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplica ambos lados de la ecuación por \(\frac(2)(5)\)
		La raíz resultante es el valor del logaritmo

Responder : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

¿Por qué se inventó el logaritmo?

Para entender esto, resolvamos la ecuación: \(3^(x)=9\). Simplemente haga coincidir \(x\) para que la igualdad funcione. Por supuesto, \(x=2\).

Ahora resuelve la ecuación: \(3^(x)=8\) ¿A qué es igual x? Ese es el punto.

Los más ingeniosos dirán: "X es un poco menos que dos". ¿Cómo se escribe exactamente este número? Para responder a esta pregunta, se les ocurrió el logaritmo. Gracias a él, la respuesta aquí se puede escribir como \(x=\log_(3)(8)\).

Quiero enfatizar que \(\log_(3)(8)\), así como cualquier logaritmo es solo un numero. Sí, parece inusual, pero es corto. Porque si quisiéramos escribirlo como decimal, se vería así: \(1.892789260714.....\)

Ejemplo : Resuelve la ecuación \(4^(5x-4)=10\)

Solución :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) y \(10\) no se pueden reducir a la misma base. Así que aquí no puedes prescindir del logaritmo. Usemos la definición del logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Voltear la ecuación para que x esté a la izquierda
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Antes que nosotros. Mueve \(4\) a la derecha. Y no tengas miedo del logaritmo, trátalo como un número regular.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divide la ecuación por 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Aquí está nuestra raíz. Sí, parece inusual, pero la respuesta no es elegida.

Responder : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmos decimales y naturales

Como se indica en la definición del logaritmo, su base puede ser cualquier número positivo excepto uno \((a>0, a\neq1)\). Y entre todas las bases posibles, hay dos que ocurren con tanta frecuencia que con ellas se inventó una notación abreviada especial para los logaritmos:

Logaritmo natural: un logaritmo cuya base es el número de Euler \(e\) (igual a aproximadamente \(2.7182818…\)), y el logaritmo se escribe como \(\ln(a)\).

Es decir, \(\ln(a)\) es lo mismo que \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimal: Un logaritmo cuya base es 10 se escribe \(\lg(a)\).

Es decir, \(\lg(a)\) es lo mismo que \(\log_(10)(a)\), donde \(a\) es un número.

Identidad logarítmica básica

Los logaritmos tienen muchas propiedades. Uno de ellos se llama "Identidad logarítmica básica" y se ve así:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Esta propiedad se deriva directamente de la definición. Veamos cómo apareció exactamente esta fórmula.

Recuerde la definición corta del logaritmo:

si \(a^(b)=c\), entonces \(\log_(a)(c)=b\)

Es decir, \(b\) es lo mismo que \(\log_(a)(c)\). Entonces podemos escribir \(\log_(a)(c)\) en lugar de \(b\) en la fórmula \(a^(b)=c\) . Resultó \(a^(\log_(a)(c))=c\) - la identidad logarítmica principal.

Puedes encontrar el resto de las propiedades de los logaritmos. Con su ayuda, puede simplificar y calcular los valores de las expresiones con logaritmos, que son difíciles de calcular directamente.

Ejemplo : Encuentra el valor de la expresión \(36^(\log_(6)(5))\)

Solución :

Responder : \(25\)

¿Cómo escribir un número como un logaritmo?

Como se mencionó anteriormente, cualquier logaritmo es solo un número. Lo contrario también es cierto: cualquier número se puede escribir como un logaritmo. Por ejemplo, sabemos que \(\log_(2)(4)\) es igual a dos. Entonces puedes escribir \(\log_(2)(4)\) en lugar de dos.

Pero \(\log_(3)(9)\) también es igual a \(2\), por lo que también puedes escribir \(2=\log_(3)(9)\) . Similarmente con \(\log_(5)(25)\), y con \(\log_(9)(81)\), etc. Es decir, resulta

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Por lo tanto, si lo necesitamos, podemos escribir los dos como un logaritmo con cualquier base en cualquier lugar (incluso en una ecuación, incluso en una expresión, incluso en una desigualdad); solo escribimos la base cuadrada como argumento.

Es lo mismo con un triple: se puede escribir como \(\log_(2)(8)\), o como \(\log_(3)(27)\), o como \(\log_(4)( 64) \) ... Aquí escribimos la base en el cubo como argumento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Y con cuatro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Y con menos uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Y con un tercio:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Cualquier número \(a\) se puede representar como un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Ejemplo : Encuentra el valor de una expresión \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solución :

Responder : \(1\)

propiedades básicas.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

mismos motivos

log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si hay un grado en la base o argumento del logaritmo? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa el logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Transición a una nueva fundación

Sea dado el logaritmo logax. Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo

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El exponente es 2.718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Tolstoi.

Propiedades básicas de los logaritmos

Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Toma el logaritmo de las expresiones.

Ejemplo 1
pero). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Por propiedades 3,5 calculamos

Ejemplo 2 Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea dado el valor de los logaritmos

Calcula log(x) si

Propiedades básicas de los logaritmos

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y convertir de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son números del todo ordinarios, aquí hay reglas, que se llaman propiedades básicas.

Estas reglas deben conocerse; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con la misma base: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Entonces, la suma de los logaritmos es igual al logaritmo del producto, y la diferencia es el logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es: mismos motivos. ¡Si las bases son diferentes, estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas ayudarán a calcular la expresión logarítmica incluso cuando no se consideren sus partes individuales (vea la lección "Qué es un logaritmo"). Echa un vistazo a los ejemplos y verás:

Como las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de la suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de la diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

De nuevo, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puede ver, las expresiones originales están formadas por logaritmos "malos", que no se consideran por separado. Pero después de las transformaciones resultan números bastante normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, control: en el examen se ofrecen expresiones similares con toda seriedad (a veces, prácticamente sin cambios).

Quitando el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa el logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprenda a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también viceversa, es decir puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el logaritmo mismo. Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento según la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Nótese que el denominador es un logaritmo cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo necesita aclaración. ¿Dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador.

Fórmulas de logaritmos. Los logaritmos son ejemplos de soluciones.

Presentaron la base y el argumento del logaritmo que estaba allí en forma de grados y sacaron los indicadores: obtuvieron una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador tienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerán en el denominador. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo cual se hizo. El resultado es la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las bases son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema:

Sea dado el logaritmo logax. Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que es posible intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero en este caso se "invierte" toda la expresión, es decir el logaritmo está en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto moviéndose a una nueva base. Consideremos un par de estos:

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos son exponentes exactos. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora volteemos el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia con la permutación de factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego calculamos los logaritmos.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Escribámoslo y eliminemos los indicadores:

Ahora deshagámonos del logaritmo decimal pasando a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución se requiere representar un número como un logaritmo en una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así:

En efecto, ¿qué sucederá si el número b se eleva a tal grado que el número b en este grado da el número a? Así es: este es el mismo número a. Lea este párrafo detenidamente nuevamente: muchas personas "se cuelgan" de él.

Al igual que las nuevas fórmulas de conversión de bases, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8 - acaba de sacar el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no está al tanto, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado 🙂

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que son difíciles de llamar propiedades; más bien, estas son consecuencias de la definición del logaritmo. Se encuentran constantemente en problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para estudiantes "avanzados".

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo a cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque a0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo del número b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar tal potencia x () en la que la igualdad sea verdadera

Propiedades básicas del logaritmo

Las propiedades anteriores deben conocerse, ya que, sobre su base, casi todos los problemas y ejemplos se resuelven en base a logaritmos. Las propiedades exóticas restantes se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.

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Al calcular las fórmulas para la suma y la diferencia de logaritmos (3.4) se encuentran con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es par diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele llamarse logaritmo en base diez y se denota simplemente como lg(x).

Se puede ver en el registro que los conceptos básicos no están escritos en el registro. Por ejemplo

El logaritmo natural es el logaritmo cuya base es el exponente (denotado ln(x)).

El exponente es 2.718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro importante logaritmo en base dos es

La derivada del logaritmo de la función es igual a uno dividido por la variable

El logaritmo integral o antiderivada está determinado por la dependencia

El material anterior es suficiente para resolver una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para asimilar el material, daré solo algunos ejemplos comunes del currículo escolar y universitario.

Ejemplos de logaritmos

Toma el logaritmo de las expresiones.

Ejemplo 1
pero). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Por propiedades 3,5 calculamos

2.
Por la propiedad de diferencia de los logaritmos, tenemos

3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos

Una expresión aparentemente compleja que usa una serie de reglas se simplifica a la forma

Encontrar valores logarítmicos

Ejemplo 2 Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos las propiedades 5 y 13 hasta el último término

Sustituir en el registro y llorar

Como las bases son iguales, igualamos las expresiones

Logaritmos. Primer nivel.

Sea el valor de los logaritmos

Calcula log(x) si

Solución: Tomar el logaritmo de la variable para escribir el logaritmo a través de la suma de los términos

Este es solo el comienzo del conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas: pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver tales ecuaciones, ampliaremos su conocimiento para otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas ...

Propiedades básicas de los logaritmos

Estas reglas deben conocerse; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con la misma base: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Como las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de la suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de la diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

De nuevo, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Quitando el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si hay un grado en la base o argumento del logaritmo? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo de acuerdo con las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

como resolver logaritmos

Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento según la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Nótese que el denominador es un logaritmo cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo necesita aclaración. ¿Dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento, trabajamos solo con el denominador. Presentaron la base y el argumento del logaritmo que estaba allí en forma de grados y sacaron los indicadores: obtuvieron una fracción de "tres pisos".

Transición a una nueva fundación

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema:

Sea dado el logaritmo logax. Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que es posible intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero en este caso se "invierte" toda la expresión, es decir el logaritmo está en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto moviéndose a una nueva base. Consideremos un par de estos:

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos son exponentes exactos. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora volteemos el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia con la permutación de factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego calculamos los logaritmos.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Escribámoslo y eliminemos los indicadores:

Ahora deshagámonos del logaritmo decimal pasando a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución se requiere representar un número como un logaritmo en una base dada. En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así:

Al igual que las nuevas fórmulas de conversión de bases, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8 - acaba de sacar el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no está al tanto, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado 🙂

Unidad logarítmica y cero logarítmico

logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo a cualquier base a de esa base es igual a uno.
loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque a0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Logaritmo de b (b > 0) en base a (a > 0, a ≠ 1) es el exponente al que necesitas elevar el número a para obtener b.

El logaritmo en base 10 de b se puede escribir como registro (b), y el logaritmo en base e (logaritmo natural) - en (b).

A menudo se usa al resolver problemas con logaritmos:

Propiedades de los logaritmos

Hay cuatro principales propiedades de los logaritmos.

Sean a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.

Propiedad 1. Logaritmo del producto

Logaritmo del producto es igual a la suma de logaritmos:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Propiedad 2. Logaritmo del cociente

Logaritmo del cociente es igual a la diferencia de logaritmos:

log a (x / y) = log a x – log a y

Propiedad 3. Logaritmo del grado

logaritmo de grados es igual al producto del grado y el logaritmo:

Si la base del logaritmo está en el exponente, se aplica otra fórmula:

Propiedad 4. Logaritmo de la raíz

Esta propiedad se puede obtener a partir de la propiedad del logaritmo del grado, ya que la raíz del grado n es igual a la potencia de 1/n:

La fórmula para pasar de un logaritmo en una base a un logaritmo en otra base

Esta fórmula también se usa a menudo al resolver varias tareas para logaritmos:

Caso especial:

Comparación de logaritmos (desigualdades)

Supongamos que tenemos 2 funciones f(x) y g(x) bajo logaritmos con las mismas bases y hay un signo de desigualdad entre ellas:

Para compararlos, primero debes mirar la base de los logaritmos a:

Si a > 0, entonces f(x) > g(x) > 0
Si 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cómo resolver problemas con logaritmos: ejemplos

Tareas con logaritmos incluido en el USE en matemáticas para el grado 11 en la tarea 5 y la tarea 7, puede encontrar tareas con soluciones en nuestro sitio web en las secciones correspondientes. Además, las tareas con logaritmos se encuentran en el banco de tareas de matemáticas. Puede encontrar todos los ejemplos buscando en el sitio.

que es un logaritmo

Los logaritmos siempre se han considerado un tema difícil en el curso de matemáticas escolares. Hay muchas definiciones diferentes del logaritmo, pero por alguna razón la mayoría de los libros de texto usan las más complejas y desafortunadas.

Definiremos el logaritmo de manera simple y clara. Vamos a crear una tabla para esto:

Entonces, tenemos potencias de dos.

Logaritmos: propiedades, fórmulas, cómo resolver

Si toma el número de la línea inferior, puede encontrar fácilmente la potencia a la que tiene que elevar un dos para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, debes elevar dos a la cuarta potencia. Y para obtener 64, debes elevar dos a la sexta potencia. Esto se puede ver en la tabla.

Y ahora, de hecho, la definición del logaritmo:

la base a del argumento x es la potencia a la que se debe elevar el número a para obtener el número x.

Notación: log a x \u003d b, donde a es la base, x es el argumento, b es en realidad lo que equivale al logaritmo.

Por ejemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (el logaritmo en base 2 de 8 es tres porque 2 3 = 8). También podría log 2 64 = 6, ya que 2 6 = 64.

La operación de encontrar el logaritmo de un número en una base dada se llama. Así que agreguemos una nueva fila a nuestra tabla:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
registro 2 2 = 1	registro 2 4 = 2	registro 2 8 = 3	registro 2 16 = 4	registro 2 32 = 5	registro 2 64 = 6

Desafortunadamente, no todos los logaritmos se consideran tan fácilmente. Por ejemplo, trate de encontrar log 2 5. El número 5 no está en la tabla, pero la lógica dicta que el logaritmo estará en algún lugar del segmento. porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tales números se llaman irracionales: los números después del punto decimal se pueden escribir indefinidamente y nunca se repiten. Si el logaritmo resulta irracional, es mejor dejarlo así: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es importante entender que el logaritmo es una expresión con dos variables (base y argumento). Al principio, mucha gente confunde dónde está la base y dónde está el argumento. Para evitar malentendidos molestos, solo eche un vistazo a la imagen:

Ante nosotros no hay nada más que la definición del logaritmo. Recordar: el logaritmo es la potencia, a la que debe elevar la base para obtener el argumento. Es la base la que está elevada a una potencia - en la imagen está resaltada en rojo. ¡Resulta que la base siempre está en la parte inferior! Les digo esta regla maravillosa a mis alumnos en la primera lección, y no hay confusión.

Cómo contar logaritmos

Descubrimos la definición: queda por aprender a contar logaritmos, es decir. deshacerse del signo de "registro". Para empezar, notemos que dos hechos importantes se derivan de la definición:

El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto se sigue de la definición del grado por un exponente racional, al que se reduce la definición del logaritmo.
La base debe ser diferente de la unidad, ya que una unidad para cualquier potencia sigue siendo una unidad. Debido a esto, la pregunta "a qué potencia debe elevarse uno para obtener dos" no tiene sentido. ¡No existe tal grado!

Tales restricciones se denominan rango válido(ODZ). Resulta que la ODZ del logaritmo se ve así: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tenga en cuenta que no hay restricciones en el número b (el valor del logaritmo) no se impone. Por ejemplo, el logaritmo bien puede ser negativo: log 2 0.5 = −1, porque 0,5 = 2 −1 .

Sin embargo, ahora estamos considerando solo expresiones numéricas, donde no se requiere conocer la ODZ del logaritmo. Los compiladores de los problemas ya han tenido en cuenta todas las restricciones. Pero cuando entran en juego las ecuaciones logarítmicas y las desigualdades, los requisitos del DHS serán obligatorios. De hecho, en la base y el argumento pueden existir construcciones muy fuertes que no necesariamente se corresponden con las restricciones anteriores.

Ahora considere el esquema general para calcular logaritmos. Consta de tres pasos:

Expresar la base a y el argumento x como una potencia con la menor base posible mayor que uno. En el camino, es mejor deshacerse de las fracciones decimales;
Resuelve la ecuación para la variable b: x = a b ;
El número resultante b será la respuesta.

¡Eso es todo! Si el logaritmo resulta ser irracional, esto ya se verá en el primer paso. El requisito de que la base sea mayor que uno es muy relevante: esto reduce la probabilidad de error y simplifica mucho los cálculos. De manera similar con las fracciones decimales: si las convierte inmediatamente a fracciones ordinarias, habrá muchas veces menos errores.

Veamos cómo funciona este esquema con ejemplos específicos:

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 5 25

Representemos la base y el argumento como una potencia de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 5 25 = segundo ⇒(5 1) segundo = 5 2 ⇒5 segundo = 5 2 ⇒ segundo = 2;

Recibió una respuesta: 2.

Una tarea. Calcula el logaritmo:

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 4 64

Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Recibió una respuesta: 3.

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 16 1

Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Recibió una respuesta: 0.

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 7 14

Representemos la base y el argumento como una potencia de siete: 7 = 7 1 ; 14 no se representa como una potencia de siete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
Del párrafo anterior se desprende que no se considera el logaritmo;
La respuesta es sin cambios: log 7 14.

Una pequeña nota sobre el último ejemplo. ¿Cómo asegurarse de que un número no es una potencia exacta de otro número? Muy simple, simplemente descompóngalo en factores primos. Si hay al menos dos factores distintos en la expansión, el número no es una potencia exacta.

Una tarea. Averigüe si las potencias exactas del número son: 8; 48; 81; 35; catorce.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - el grado exacto, porque solo hay un multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 no es una potencia exacta porque hay dos factores: 3 y 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado exacto;
35 = 7 5 - nuevamente no es un grado exacto;
14 \u003d 7 2 - nuevamente no es un grado exacto;

Tenga en cuenta también que los números primos en sí mismos son siempre potencias exactas de sí mismos.

logaritmo decimal

Algunos logaritmos son tan comunes que tienen un nombre y una designación especiales.

del argumento x es el logaritmo en base 10, es decir la potencia a la que se debe elevar 10 para obtener x. Designación: lgx.

Por ejemplo, log 10 = 1; registro 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc

De ahora en adelante, cuando aparezca una frase como "Buscar lg 0.01" en el libro de texto, sepa que no se trata de un error tipográfico. Este es el logaritmo decimal. Sin embargo, si no está acostumbrado a tal designación, siempre puede reescribirla:
registro x = registro 10 x

Todo lo que es cierto para los logaritmos ordinarios también lo es para los decimales.

logaritmo natural

Hay otro logaritmo que tiene su propia notación. En cierto sentido, es incluso más importante que el decimal. Este es el logaritmo natural.

del argumento x es el logaritmo en base e, es decir la potencia a la que se debe elevar el número e para obtener el número x. Designación: lnx.

Muchos se preguntarán: ¿qué es el número e? Este es un número irracional, su valor exacto no se puede encontrar ni anotar. Estos son solo los primeros números:
e = 2.718281828459…

No profundizaremos en qué es este número y por qué es necesario. Solo recuerda que e es la base del logaritmo natural:
ln x = log e x

Así ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Por otro lado, ln 2 es un número irracional. En general, el logaritmo natural de cualquier número racional es irracional. Excepto, por supuesto, la unidad: ln 1 = 0.

Para los logaritmos naturales, todas las reglas que son verdaderas para los logaritmos ordinarios son válidas.

Ver también:

Logaritmo. Propiedades del logaritmo (potencia del logaritmo).

¿Cómo representar un número como un logaritmo?

Usamos la definición de un logaritmo.

El logaritmo es un indicador de la potencia a la que se debe elevar la base para obtener el número bajo el signo del logaritmo.

Así, para representar un cierto número c como un logaritmo en base a, es necesario poner un grado bajo el signo del logaritmo con la misma base que la base del logaritmo, y escribir este número c en el exponente :

En forma de logaritmo, puede representar absolutamente cualquier número: positivo, negativo, entero, fraccionario, racional, irracional:

Para no confundir a y c en condiciones estresantes de una prueba o examen, puede usar la siguiente regla para recordar:

lo que está abajo baja, lo que está arriba sube.

Por ejemplo, desea representar el número 2 como un logaritmo en base 3.

Tenemos dos números: 2 y 3. Estos números son la base y el exponente, que escribiremos bajo el signo del logaritmo. Queda por determinar cuál de estos números debe escribirse, en la base del grado, y cuál, arriba, en el exponente.

La base 3 en el registro del logaritmo está en la parte inferior, lo que significa que cuando representamos el dos como un logaritmo en base 3, también escribiremos 3 en la base.

2 es mayor que 3. Y en la notación del grado, escribimos el dos encima del tres, es decir, en el exponente:

Logaritmos. Primer nivel.

logaritmos

logaritmo numero positivo B por razon a, donde a > 0, a ≠ 1, es el exponente al que debe elevarse el número. a, Para obtener B.

Definición de logaritmo puede escribirse brevemente así:

Esta igualdad es válida para b > 0, a > 0, a ≠ 1. Suele llamarse identidad logarítmica.
La acción de hallar el logaritmo de un número se llama logaritmo.

Propiedades de los logaritmos:

El logaritmo del producto:

Logaritmo del cociente de la división:

Reemplazando la base del logaritmo:

Logaritmo de grados:

logaritmo raíz:

Logaritmo con base potencia:

Logaritmos decimales y naturales.

logaritmo decimal números llama al logaritmo en base 10 de ese número y escribe lg B
logaritmo natural números llaman al logaritmo de este número a la base mi, donde mi es un número irracional, aproximadamente igual a 2,7. Al mismo tiempo, escriben ln B.

Otras notas sobre álgebra y geometría

Propiedades básicas de los logaritmos

Estas reglas deben conocerse; ningún problema logarítmico serio puede resolverse sin ellas. Además, hay muy pocos: todo se puede aprender en un día. Entonces empecemos.

Suma y resta de logaritmos

Considere dos logaritmos con la misma base: log a x y log a y. Luego se pueden sumar y restar, y:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

logaritmo 6 4 + logaritmo 6 9.

Como las bases de los logaritmos son las mismas, usamos la fórmula de la suma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 2 48 − log 2 3.

Las bases son las mismas, usamos la fórmula de la diferencia:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 3 135 − log 3 5.

De nuevo, las bases son las mismas, por lo que tenemos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Quitando el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

como resolver logaritmos

Esto es lo que se requiere con mayor frecuencia.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 7 49 6 .

Eliminemos el grado en el argumento según la primera fórmula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Nótese que el denominador es un logaritmo cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Tenemos:

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador tienen el mismo número: log 2 7. Dado que log 2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerán en el denominador. De acuerdo con las reglas de la aritmética, los cuatro se pueden transferir al numerador, lo cual se hizo. El resultado es la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Los formulamos en forma de teorema:

Sea el logaritmo log a x dado. Entonces para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si ponemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que es posible intercambiar la base y el argumento del logaritmo, pero en este caso se "invierte" toda la expresión, es decir el logaritmo está en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar cuán convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay tareas que no se pueden resolver en absoluto, excepto moviéndose a una nueva base. Consideremos un par de estos:

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 5 16 log 2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos son exponentes exactos. Saquemos los indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; registro 2 25 = registro 2 5 2 = 2 registro 2 5;

Ahora volteemos el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia con la permutación de factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego calculamos los logaritmos.

Una tarea. Encuentra el valor de la expresión: log 9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Escribámoslo y eliminemos los indicadores:

Ahora deshagámonos del logaritmo decimal pasando a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de resolución se requiere representar un número como un logaritmo en una base dada.

En este caso, las fórmulas nos ayudarán:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es solo el valor del logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Se llama así:

Al igual que las nuevas fórmulas de conversión de bases, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Una tarea. Encuentre el valor de la expresión:

Tenga en cuenta que log 25 64 = log 5 8 - acaba de sacar el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Dadas las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no está al tanto, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado 🙂

Unidad logarítmica y cero logarítmico

log a a = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo a cualquier base a de esa base es igual a uno.
log a 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento es uno, ¡el logaritmo es cero! Porque un 0 = 1 es una consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Rango aceptable (ODZ) del logaritmo

Ahora hablemos de restricciones (ODZ - el área de valores admisibles de variables).

Recordemos que, por ejemplo, no se puede sacar la raíz cuadrada de números negativos; o si tenemos una fracción, entonces el denominador no puede ser igual a cero. Hay restricciones similares para los logaritmos:

Es decir, tanto el argumento como la base deben ser mayores que cero y la base no puede ser igual.

¿Porqué es eso?

Comencemos simple: digamos eso. Entonces, por ejemplo, el número no existe, ya que da igual el grado que subamos, siempre resulta. Además, no existe para ninguno. Pero al mismo tiempo puede ser igual a cualquier cosa (por la misma razón, es igual a cualquier grado). Por lo tanto, el objeto no tiene interés, y simplemente fue descartado de las matemáticas.

Tenemos un problema similar en el caso: en cualquier grado positivo, esto, pero no se puede elevar a una potencia negativa en absoluto, ya que resultará la división por cero (te lo recuerdo).

Cuando nos encontramos ante el problema de elevar a una potencia fraccionaria (que se representa como raíz:. Por ejemplo, (es decir), pero no existe.

Por lo tanto, las razones negativas son más fáciles de desechar que meterse con ellas.

Bueno, dado que la base a solo es positiva para nosotros, entonces no importa en qué grado la elevemos, siempre obtendremos un número estrictamente positivo. Entonces el argumento debe ser positivo. Por ejemplo, no existe, ya que no será un número negativo en ninguna medida (e incluso cero, por lo tanto, tampoco existe).

En problemas con logaritmos, el primer paso es escribir la ODZ. Daré un ejemplo:

Resolvamos la ecuación.

Recordemos la definición: el logaritmo es la potencia a la que se debe elevar la base para obtener un argumento. Y por la condición, este grado es igual a: .

Obtenemos la ecuación cuadrática habitual: . Lo resolvemos usando el teorema de Vieta: la suma de las raíces es igual, y el producto. Fácil de recoger, estos son números y.

Pero si inmediatamente toma y anota estos dos números en la respuesta, puede obtener 0 puntos por la tarea. ¿Por qué? Pensemos en lo que sucede si sustituimos estas raíces en la ecuación inicial.

Esto es claramente falso, ya que la base no puede ser negativa, es decir, la raíz es "tercero".

Para evitar trucos tan desagradables, debe anotar la ODZ incluso antes de comenzar a resolver la ecuación:

Luego, habiendo recibido las raíces y, inmediatamente descartamos la raíz y escribimos la respuesta correcta.

Ejemplo 1(trata de resolverlo tu mismo) :

Encuentra la raíz de la ecuación. Si hay varias raíces, indica la más pequeña en tu respuesta.

Solución:

En primer lugar, escribamos la ODZ:

Ahora recordamos qué es un logaritmo: ¿a qué potencia necesitas elevar la base para obtener un argumento? En el segundo. Es decir:

Objeciones por las que parece que la raíz menor es igual. Pero esto no es así: según la ODZ, la raíz es de terceros, es decir, no es la raíz de esta ecuación en absoluto. Por lo tanto, la ecuación tiene una sola raíz: .

Responder: .

Identidad logarítmica básica

Recordemos la definición de un logaritmo en términos generales:

Sustituye en la segunda igualdad en lugar del logaritmo:

Esta igualdad se llama identidad logarítmica básica. Aunque en esencia esta igualdad se escribe de otra manera definicion del logaritmo:

Este es el poder al que necesitas elevar para poder obtener.

Por ejemplo:

Resuelve los siguientes ejemplos:

Ejemplo 2

Encuentra el valor de la expresión.

Solución:

Recuerda la regla de la sección: es decir, al elevar un grado a una potencia, los indicadores se multiplican. Vamos a aplicarlo:

Ejemplo 3

Pruebalo.

Solución:

Propiedades de los logaritmos

Desafortunadamente, las tareas no siempre son tan simples: a menudo, primero debe simplificar la expresión, llevarla a la forma habitual y solo entonces será posible calcular el valor. Es más fácil hacer esto sabiendo propiedades de los logaritmos. Así que aprendamos las propiedades básicas de los logaritmos. Probaré cada una de ellas, porque cualquier regla es más fácil de recordar si sabes de dónde viene.

Todas estas propiedades deben recordarse; sin ellas, la mayoría de los problemas con logaritmos no pueden resolverse.

Y ahora sobre todas las propiedades de los logaritmos con más detalle.

Propiedad 1:

Prueba:

Deja, entonces.

Tenemos: , h.t.d.

Propiedad 2: Suma de logaritmos

La suma de logaritmos con la misma base es igual al logaritmo del producto: .

Prueba:

Deja, entonces. Deja, entonces.

Ejemplo: Halla el valor de la expresión: .

Solución: .

La fórmula que acabas de aprender ayuda a simplificar la suma de los logaritmos, no la diferencia, de modo que estos logaritmos no se pueden combinar de inmediato. Pero puedes hacer lo contrario - "romper" el primer logaritmo en dos: Y aquí está la simplificación prometida:
.
¿Por qué es necesario? Bueno, por ejemplo: ¿qué importa?

Ahora es obvio que.

Ahora ponlo fácil para ti:

Tareas:

Respuestas:

Propiedad 3: Diferencia de logaritmos:

Prueba:

Todo es exactamente igual que en el párrafo 2:

Deja, entonces.

Deja, entonces. Tenemos:

El ejemplo del último punto es ahora aún más simple:

Ejemplo más complicado: . ¿Adivina cómo decidir?

Aquí cabe señalar que no tenemos una fórmula única sobre logaritmos al cuadrado. Esto es algo parecido a una expresión: no se puede simplificar de inmediato.

Por lo tanto, desviémonos de las fórmulas sobre logaritmos y pensemos qué fórmulas usamos generalmente en matemáticas con más frecuencia. ¡Desde el séptimo grado!

Esta - . ¡Tienes que acostumbrarte al hecho de que están en todas partes! Y en problemas exponenciales, trigonométricos e irracionales, se encuentran. Por lo tanto, deben ser recordados.

Si observa detenidamente los dos primeros términos, queda claro que esto es diferencia de cuadrados:

Respuesta para comprobar:

Simplificate a ti mismo.

Ejemplos

respuestas

Propiedad 4: Derivación del exponente a partir del argumento del logaritmo:

Prueba: Y aquí también usamos la definición del logaritmo: let, entonces. Tenemos: , h.t.d.

Puedes entender esta regla así:

Es decir, el grado del argumento se adelanta al logaritmo, como un coeficiente.

Ejemplo: Encuentra el valor de la expresión.

Solución: .

Decide por ti mismo:

Ejemplos:

Respuestas:

Propiedad 5: Derivación del exponente a partir de la base del logaritmo:

Prueba: Deja, entonces.

Tenemos: , h.t.d.
Recuerda: de jardines grado se representa como contrarrestar número, a diferencia del caso anterior!

Propiedad 6: Derivación del exponente a partir de la base y el argumento del logaritmo:

O si los grados son los mismos: .

Propiedad 7: Transición a la nueva base:

Prueba: Deja, entonces.

Tenemos: , h.t.d.

Propiedad 8: Intercambiando la base y el argumento del logaritmo:

Prueba: Este es un caso especial de la fórmula 7: si sustituimos, obtenemos: , p.t.d.

Veamos algunos ejemplos más.

Ejemplo 4

Encuentra el valor de la expresión.

Usamos la propiedad de los logaritmos No. 2: la suma de los logaritmos con la misma base es igual al logaritmo del producto:

Ejemplo 5

Encuentra el valor de la expresión.

Solución:

Usamos la propiedad de los logaritmos No. 3 y No. 4:

Ejemplo 6

Encuentra el valor de la expresión.

Solución:

Usando la propiedad número 7, vaya a la base 2:

Ejemplo 7

Encuentra el valor de la expresión.

Solución:

¿Qué te parece el artículo?

Si estás leyendo estas líneas, entonces has leído el artículo completo.

¡Y mola!

Ahora cuéntanos ¿Qué te parece el artículo?

¿Has aprendido a resolver logaritmos? Si no, ¿cuál es el problema?

Escríbanos en los comentarios a continuación.

Y sí, buena suerte con tus exámenes.

En el Examen Estatal Unificado y OGE y en general en la vida.

Entonces, tenemos potencias de dos. Si toma el número de la línea inferior, puede encontrar fácilmente la potencia a la que tiene que elevar un dos para obtener este número. Por ejemplo, para obtener 16, debes elevar dos a la cuarta potencia. Y para obtener 64, debes elevar dos a la sexta potencia. Esto se puede ver en la tabla.

Y ahora, de hecho, la definición del logaritmo:

El logaritmo en base a del argumento x es la potencia a la que se debe elevar el número a para obtener el número x.

Notación: log a x \u003d b, donde a es la base, x es el argumento, b es en realidad lo que equivale al logaritmo.

Por ejemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (el logaritmo en base 2 de 8 es tres porque 2 3 = 8). También podría log 2 64 = 6, ya que 2 6 = 64.

La operación de encontrar el logaritmo de un número en una base dada se llama logaritmo. Así que agreguemos una nueva fila a nuestra tabla:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
registro 2 2 = 1	registro 2 4 = 2	registro 2 8 = 3	registro 2 16 = 4	registro 2 32 = 5	registro 2 64 = 6

Descubrimos la definición: queda por aprender a contar logaritmos, es decir. deshacerse del signo de "registro". Para empezar, notemos que dos hechos importantes se derivan de la definición:

El argumento y la base siempre deben ser mayores que cero. Esto se sigue de la definición del grado por un exponente racional, al que se reduce la definición del logaritmo.
La base debe ser diferente de la unidad, ya que una unidad para cualquier potencia sigue siendo una unidad. Debido a esto, la pregunta "a qué potencia debe elevarse uno para obtener dos" no tiene sentido. ¡No existe tal grado!

Tales restricciones se denominan rango válido(ODZ). Resulta que la ODZ del logaritmo se ve así: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tenga en cuenta que no hay restricciones en el número b (el valor del logaritmo) no se impone. Por ejemplo, el logaritmo bien puede ser negativo: log 2 0.5 = −1, porque 0,5 = 2 −1 .

Ahora considere el esquema general para calcular logaritmos. Consta de tres pasos:

Expresar la base a y el argumento x como una potencia con la menor base posible mayor que uno. En el camino, es mejor deshacerse de las fracciones decimales;
Resuelve la ecuación para la variable b: x = a b ;
El número resultante b será la respuesta.

Veamos cómo funciona este esquema con ejemplos específicos:

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 5 25

Representemos la base y el argumento como una potencia de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 5 25 = segundo ⇒ (5 1) segundo = 5 2 ⇒ 5 segundo = 5 2 ⇒ segundo = 2;
Recibió una respuesta: 2.

Una tarea. Calcula el logaritmo:

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 4 64

Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
Recibió una respuesta: 3.

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 16 1

Representemos la base y el argumento como una potencia de dos: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Hagamos y resolvamos la ecuación:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
Recibió una respuesta: 0.

Una tarea. Calcula el logaritmo: log 7 14

Representemos la base y el argumento como una potencia de siete: 7 = 7 1 ; 14 no se representa como una potencia de siete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
Del párrafo anterior se desprende que no se considera el logaritmo;
La respuesta es sin cambios: log 7 14.

Una pequeña nota sobre el último ejemplo. ¿Cómo asegurarse de que un número no es una potencia exacta de otro número? Muy simple, simplemente descompóngalo en factores primos. Y si dichos factores no se pueden recopilar en un grado con los mismos indicadores, entonces el número original no es un grado exacto.

Una tarea. Averigüe si las potencias exactas del número son: 8; 48; 81; 35; catorce.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 es el grado exacto, porque solo hay un multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 no es una potencia exacta porque hay dos factores: 3 y 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado exacto;
35 \u003d 7 5 - nuevamente no es un grado exacto;
14 \u003d 7 2 - nuevamente no es un grado exacto;

Tenga en cuenta también que los números primos en sí mismos son siempre potencias exactas de sí mismos.

logaritmo decimal

Algunos logaritmos son tan comunes que tienen un nombre y una designación especiales.

El logaritmo decimal del argumento x es el logaritmo en base 10, es decir la potencia a la que necesitas elevar el número 10 para obtener el número x. Designación: lg x .

Por ejemplo, log 10 = 1; registro 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc

Todo lo que es cierto para los logaritmos ordinarios también lo es para los decimales.

logaritmo natural

Hay otro logaritmo que tiene su propia notación. En cierto sentido, es incluso más importante que el decimal. Este es el logaritmo natural.

El logaritmo natural del argumento x es el logaritmo en base e, es decir la potencia a la que se debe elevar el número e para obtener el número x. Designación: ln x .

Muchos se preguntarán: ¿qué más es el número e? Este es un número irracional, su valor exacto no se puede encontrar ni anotar. Estos son solo los primeros números:
e = 2.718281828459...

No profundizaremos en qué es este número y por qué es necesario. Solo recuerda que e es la base del logaritmo natural:
ln x = log e x

Para los logaritmos naturales, todas las reglas que son verdaderas para los logaritmos ordinarios son válidas.