Una descripción vectorial del movimiento es útil, ya que en un dibujo siempre puede representar muchos vectores diferentes y obtener una "imagen" clara del movimiento ante sus ojos. Sin embargo, lleva mucho tiempo usar una regla y un transportador para realizar operaciones con vectores cada vez. Por lo tanto, estas acciones se reducen a acciones con números positivos y negativos: proyecciones de vectores.
La proyección del vector sobre el eje. llame a un valor escalar igual al producto del módulo del vector proyectado y el coseno del ángulo entre las direcciones del vector y el eje de coordenadas seleccionado.
El dibujo de la izquierda muestra un vector de desplazamiento, cuyo módulo es de 50 km, y su dirección forma ángulo obtuso 150° con la dirección del eje X. Usando la definición, encontramos la proyección del desplazamiento en el eje X:
sx = s cos(α) = 50 km cos( 150°) = –43 km
Dado que el ángulo entre los ejes es de 90°, es fácil calcular que la dirección del movimiento forma un ángulo agudo de 60° con la dirección del eje Y. Usando la definición, encontramos la proyección del desplazamiento sobre el eje Y:
sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km
Como puedes ver, si la dirección del vector forma un ángulo agudo con la dirección del eje, la proyección es positiva; si la dirección del vector forma un ángulo obtuso con la dirección del eje, la proyección es negativa.
El dibujo de la derecha muestra el vector velocidad, cuyo módulo es de 5 m/s, y la dirección forma un ángulo de 30° con la dirección del eje X. Hallemos las proyecciones:
υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2,5 m/s
Es mucho más fácil encontrar las proyecciones de vectores sobre los ejes si los vectores proyectados son paralelos o perpendiculares a los ejes seleccionados. Tenga en cuenta que para el caso de paralelismo, son posibles dos opciones: el vector está codirigido al eje y el vector es opuesto al eje, y para el caso de perpendicularidad, solo hay una opción.
La proyección de un vector perpendicular al eje siempre es cero (ver sy y ay en el dibujo de la izquierda y sx y υx en el dibujo de la derecha). En efecto, para un vector perpendicular al eje, el ángulo entre éste y el eje es de 90°, por lo que el coseno es cero, lo que significa que la proyección es cero.
La proyección del vector codirigido con el eje es positiva e igual a su módulo, por ejemplo, sx = +s (ver el dibujo de la izquierda). En efecto, para un vector codireccional con el eje, el ángulo entre él y el eje es cero, y su coseno es “+1”, es decir, la proyección es igual a la longitud del vector: sx = x – xo = +s .
La proyección de un vector opuesto al eje es negativa e igual a su módulo, tomado con signo menos, por ejemplo, sy = –s (ver dibujo de la derecha). En efecto, para un vector opuesto al eje, el ángulo entre él y el eje es de 180°, y su coseno es “–1”, es decir, la proyección es igual a la longitud del vector, tomada con signo negativo: sy = y – yo = –s .
Los lados derechos de ambos dibujos muestran otros casos donde los vectores son paralelos a uno de los ejes de coordenadas y perpendiculares al otro. Le invitamos a comprobar por sí mismo que en estos casos también se siguen las reglas formuladas en los párrafos anteriores.
Responder:
Propiedades de proyección:
Propiedades de proyección vectorial
Propiedad 1.
La proyección de la suma de dos vectores sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de vectores sobre el mismo eje: 
Esta propiedad le permite reemplazar la proyección de la suma de vectores con la suma de sus proyecciones y viceversa.
Propiedad 2. Si un vector se multiplica por el número λ, entonces su proyección sobre el eje también se multiplica por este número:
Propiedad 3.
La proyección de un vector sobre el eje l es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre el vector y el eje:
Eje orto. Descomposición de un vector en términos de vectores de coordenadas. Coordenadas vectoriales. Propiedades de coordenadas
Responder:
Horts de hachas.
Un sistema de coordenadas rectangulares (de cualquier dimensión) también se describe mediante un conjunto de vectores unitarios alineados con los ejes de coordenadas. El número de orts es igual a la dimensión del sistema de coordenadas y todos son perpendiculares entre sí.
En el caso tridimensional, los orts generalmente se denotan
Y Símbolos con flechas y también se pueden utilizar.
Además, en el caso de un sistema de coordenadas recto, son válidas las siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores:
Descomposición de un vector en términos de vectores de coordenadas.
El orto del eje de coordenadas se denota por , ejes - por , ejes - por (Fig. 1)
Para cualquier vector que se encuentre en un plano, se realiza la siguiente descomposición:
Si el vector 
está ubicado en el espacio, entonces la expansión en términos de vectores unitarios de los ejes de coordenadas tiene la forma:
Coordenadas vectoriales:
Para calcular las coordenadas de un vector, conociendo las coordenadas (x1; y1) de su inicio A y las coordenadas (x2; y2) de su final B, es necesario restar las coordenadas del inicio de las coordenadas del final: (x2 - x1; y2 - y1).
Propiedades de las coordenadas.
Considere una línea de coordenadas con el origen en el punto O y un vector unitario i. Entonces para cualquier vector a en esta línea: a = axi.
El número ax se llama la coordenada del vector a en el eje de coordenadas.
Propiedad 1. Al agregar vectores en el eje, se agregan sus coordenadas.
Propiedad 2. Cuando un vector se multiplica por un número, su coordenada se multiplica por ese número.
Producto escalar de vectores. Propiedades.
Responder:
El producto escalar de dos vectores distintos de cero es un número,
igual al producto de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.
Propiedades:
1. El producto escalar tiene una propiedad conmutativa: ab=ba
Producto escalar de vectores de coordenadas. Determinación del producto escalar de vectores dado por sus coordenadas.
Responder:
Producto escalar (×) orts
| (X) | yo | j | k |
| yo | |||
| j | |||
| k |
Determinación del producto escalar de vectores dado por sus coordenadas.
El producto escalar de dos vectores y dado por sus coordenadas se puede calcular mediante la fórmula
Producto vectorial de dos vectores. Propiedades del producto vectorial.
Responder:
Tres vectores no coplanares forman un triple recto si, desde el final del tercer vector, la rotación del primer vector al segundo es en sentido antihorario. Si en el sentido de las agujas del reloj, entonces a la izquierda. Si no, entonces en el sentido opuesto ( mostrar cómo mostró con "manijas")
producto cruz de un vector un por vector b llamado vector con la cual:
1. Perpendiculares a los vectores un y b
2. Tiene una longitud numéricamente igual al área del paralelogramo formado en un y b vectores
3. Vectores, a,b, y C formar el triple derecho de los vectores
Propiedades:
1. 
3. 
4. 
Producto vectorial de vectores de coordenadas. Determinación del producto vectorial de vectores dado por sus coordenadas.
Responder:
Producto vectorial de vectores de coordenadas.
Determinación del producto vectorial de vectores dado por sus coordenadas.
Sean los vectores a = (x1; y1; z1) y b = (x2; y2; z2) dados por sus coordenadas en el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O, i, j, k, y la triple i, j, k es derecho.
Desarrollamos a y b en términos de vectores base:
a = X 1 yo + y 1 j + z 1 k, segundo = X 2 yo + y 2 j + z 2 k.
Usando las propiedades del producto vectorial, obtenemos
[un; segundo] ==
= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +
+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +
+ z 1 X 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (uno)
Por la definición de un producto vectorial, encontramos
= 0, = k, = - j,
= - k, = 0, = yo,
= j, = - yo. = 0.
Dadas estas igualdades, la fórmula (1) se puede escribir de la siguiente manera:
[un; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 yo + z 1 x 2 j - z 1 y 2 yo
[un; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) yo + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)
La fórmula (2) da una expresión para el producto vectorial de dos vectores dada por sus coordenadas.
La fórmula resultante es engorrosa.Usando la notación de determinantes, puede escribirla en otra forma que sea más conveniente para recordar:
Por lo general, la fórmula (3) se escribe aún más corta:
CONCEPTOS BÁSICOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL
Magnitudes escalares y vectoriales
Del curso de física elemental se sabe que algunas magnitudes físicas, como la temperatura, el volumen, la masa corporal, la densidad, etc., están determinadas únicamente por un valor numérico. Tales cantidades se llaman escalares, o escalares.
Para determinar algunas otras cantidades, como la fuerza, la velocidad, la aceleración y similares, además de los valores numéricos, también es necesario establecer su dirección en el espacio. Las cantidades que, además de la magnitud absoluta, también se caracterizan por la dirección se denominan vector.
Definición Un vector es un segmento dirigido, que está definido por dos puntos: el primer punto define el comienzo del vector y el segundo, su final. Por eso, también dicen que un vector es un par ordenado de puntos.
En la figura, el vector se representa como un segmento de línea recta, en el que la flecha marca la dirección desde el comienzo del vector hasta su final. Por ejemplo, la figura. 2.1.
Si el comienzo del vector coincide con el punto 
, y terminar con un punto 
, entonces el vector se denota 
. Además, los vectores a menudo se indican con una letra pequeña con una flecha encima. 
. En los libros, a veces se omite la flecha, luego se usa negrita para indicar el vector.
Los vectores son vector nulo que tiene el mismo principio y fin. se denota 
o simplemente 
.
La distancia entre el inicio y el final de un vector se llama su longitud o módulo. El módulo vectorial se indica mediante dos barras verticales a la izquierda: 
, o sin flechas 
o 
.
Los vectores que son paralelos a una recta se llaman colineal.
Los vectores que se encuentran en el mismo plano o paralelos al mismo plano se llaman coplanario
El vector nulo se considera colineal a cualquier vector. Su longitud es 0.
Definición Dos vectores 
y 
se llaman iguales (Fig. 2.2) si: 
1)colineal; 2) codirigido 3) de igual duración.
Está escrito así: 
(2.1)
De la definición de igualdad de vectores se deduce que con una transferencia paralela de un vector se obtiene un vector igual al inicial, por lo tanto el comienzo del vector se puede colocar en cualquier punto del espacio. Dichos vectores (en mecánica teórica, geometría), cuyo comienzo se puede colocar en cualquier punto del espacio, se denominan gratis. Y son estos vectores los que consideraremos.
Definición sistema vectorial 
se llama linealmente dependiente si existen tales constantes 
, entre los cuales hay al menos uno distinto de cero, y para los cuales se cumple la igualdad.
Definición Tres vectores no coplanares arbitrarios, que se toman en una secuencia determinada, se denominan base en el espacio.
Definición
si un 
- base y vector, luego los números 
se llaman las coordenadas del vector 
en esta base.
Escribiremos las coordenadas del vector entre corchetes después de la designación del vector. Por ejemplo, 
significa que el vector 
en alguna base elegida tiene una descomposición: 
.
De las propiedades de la multiplicación de un vector por un número y de la suma de vectores se sigue una afirmación sobre las acciones lineales sobre vectores que vienen dadas por coordenadas.
Para encontrar las coordenadas de un vector, si se conocen las coordenadas de su inicio y final, es necesario restar la coordenada del inicio de la correspondiente coordenada de su final.
Operaciones lineales sobre vectores
Las operaciones lineales sobre vectores son las operaciones de sumar (restar) vectores y multiplicar un vector por un número. Considerémoslos.
Definición
Producto vectorial 
por número 
se llama vector que coincide en dirección con el vector 
, Si 
, que tiene la dirección opuesta, si 
negativo. La longitud de este vector es igual al producto de la longitud del vector 
por número de módulo 
.
PAG 
ejemplo
.
Vector de construcción 
, Si 
y 
(Figura 2.3).
Cuando un vector se multiplica por un número, sus coordenadas se multiplican por ese número..
En efecto, si , entonces
Producto vectorial
sobre el 
llamado vector 
;
- direccion opuesta 
.
Tenga en cuenta que un vector cuya longitud es 1 se llama soltero(u orto).
Usando la operación de multiplicar un vector por un número, cualquier vector puede expresarse en términos de un vector unitario de la misma dirección. De hecho, dividiendo el vector 
por su longitud 
(es decir, multiplicando 
sobre el 
), obtenemos un vector unitario de la misma dirección que el vector 
. Lo denotaremos 
. De ahí se sigue que 
.
Definición
La suma de dos vectores 
y 
llamado vector 
, que sale de su origen común y es la diagonal de un paralelogramo cuyos lados son vectores 
y 
(Figura 2.4).
.
Por definición de vectores iguales 
Es por eso 
-regla del triangulo. La regla del triángulo se puede extender a cualquier número de vectores y así obtener la regla del polígono: 
es el vector que conecta el comienzo del primer vector 
con el final del último vector 
(Figura 2.5).
Entonces, para construir el vector suma, es necesario adjuntar el comienzo del segundo al final del primer vector, al final del segundo para adjuntar el comienzo del tercero, y así sucesivamente. Entonces el vector suma será el vector que une el principio del primero de los vectores con el final del último.
Cuando se suman vectores, también se suman sus correspondientes coordenadas
En efecto, si y 
,
Si los vectores 
y 
no son coplanares, entonces su suma es una diagonal 
un paralelepípedo construido sobre estos vectores (Fig. 2.6)
,
donde
Propiedades:
- conmutatividad;
- asociatividad;
- distributividad con respecto a la multiplicación por un número
.
Aquellas. una suma vectorial se puede transformar según las mismas reglas que una algebraica.
DefiniciónLa diferencia de dos vectores. 
y 
se llama tal vector 
, que, cuando se suma al vector 
da un vector 
. Aquellas. 
Si 
. Geométricamente 
representa la segunda diagonal del paralelogramo construida sobre los vectores 
y 
con un comienzo común y dirigido desde el final del vector 
hasta el final del vector 
(Figura 2.7).
Proyección de un vector sobre un eje. Propiedades de proyección
Recuerda el concepto de recta numérica. Un eje numérico es una línea recta en la que:
dirección (→);
punto de referencia (punto O);
segmento, que se toma como unidad de escala.
Sea un vector 
y eje 
. Desde puntos 
y 
dejemos caer las perpendiculares sobre el eje 
. Saquemos los puntos 
y 
- proyecciones puntuales 
y 
(Fig. 2.8 a).
Definición
Proyección vectorial 
por eje 
llamado la longitud del segmento 
este eje, que se encuentra entre las bases de las proyecciones del principio y final del vector 
por eje 
. Se toma con signo más si la dirección del segmento 
coincide con la dirección del eje de proyección, y con un signo menos si estas direcciones son opuestas. Designacion: 
.
O 
definición
Ángulo entre vector 
y eje 
llamado el ángulo 
, por lo que es necesario girar el eje de la manera más corta 
para que coincida con la dirección del vector 
.
Encontremos 
:
La Figura 2.8a muestra: 
.
En la fig. 2.8b): .
La proyección de un vector sobre un eje es igual al producto de la longitud de este vector y el coseno del ángulo entre el vector y el eje de proyección: 
.
Propiedades de proyección:
si un 
, entonces los vectores se llaman ortogonales
Ejemplo
.
Se dan los vectores 
,
.Entonces
.
Ejemplo.
Si el principio del vector 
está en el punto 
y terminar en un punto 
, entonces el vector 
tiene coordenadas:
O 
definición
Ángulo entre dos vectores 
y 
llamado el ángulo más pequeño 
(Fig. 2.13) entre estos vectores, reducidos a un comienzo común 
.
Ángulo entre vectores 
y 
escrito simbólicamente así: 
.
De la definición se sigue que el ángulo 
entre vectores puede variar dentro 
.
si un 
, entonces los vectores se llaman ortogonales.
.
Definición. Los cosenos de los ángulos de un vector con los ejes de coordenadas se denominan cosenos directores del vector. Si el vector 
forma ángulos con los ejes de coordenadas 
.
Introducción……………………………………………………………………………………3
1. El valor de un vector y un escalar……………………………………………….4
2. Definición de proyección, eje y coordenada de un punto………………...5
3. Proyección del vector sobre el eje………………………………………………...6
4. La fórmula básica del álgebra vectorial………………………………..8
5. Cálculo del módulo del vector a partir de sus proyecciones……………………...9
Conclusión…………………………………………………………………………...11
Literatura…………………………………………………………………………...12
Introducción:
La física está indisolublemente unida a las matemáticas. Las matemáticas le dan a la física los medios y técnicas de una expresión general y precisa de la relación entre las cantidades físicas que se descubren como resultado del experimento o la investigación teórica.Después de todo, el principal método de investigación en física es experimental. Esto significa que el científico revela los cálculos con la ayuda de mediciones. Denota la relación entre diferentes cantidades físicas. Entonces, todo se traduce al lenguaje de las matemáticas. Se está formando un modelo matemático. La física es una ciencia que estudia las leyes más simples y al mismo tiempo las más generales. La tarea de la física es crear en nuestras mentes una imagen del mundo físico que refleje más plenamente sus propiedades y proporcione las relaciones entre los elementos del modelo que existen entre los elementos.
Entonces, la física crea un modelo del mundo que nos rodea y estudia sus propiedades. Pero cualquier modelo es limitado. Al crear modelos de un fenómeno particular, solo se tienen en cuenta las propiedades y conexiones que son esenciales para un rango dado de fenómenos. Este es el arte de un científico: de toda la variedad, elegir lo principal.
Los modelos físicos son matemáticos, pero las matemáticas no son su base. Las relaciones cuantitativas entre cantidades físicas se aclaran como resultado de mediciones, observaciones y estudios experimentales y solo se expresan en el lenguaje de las matemáticas. Sin embargo, no existe otro lenguaje para construir teorías físicas.
1. El valor de un vector y un escalar.
En física y matemáticas, un vector es una cantidad que se caracteriza por su valor numérico y dirección. En física, hay muchas cantidades importantes que son vectores, como la fuerza, la posición, la velocidad, la aceleración, el momento de torsión, el momento y los campos eléctricos y magnéticos. Se pueden contrastar con otras cantidades, como la masa, el volumen, la presión, la temperatura y la densidad, que se pueden describir mediante un número ordinario, y se denominan " escalares".
Están escritos en letras de una fuente regular o en números (a, b, t, G, 5, -7 ....). Los escalares pueden ser positivos o negativos. Al mismo tiempo, algunos objetos de estudio pueden tener tales propiedades, para una descripción completa de la cual el conocimiento de solo una medida numérica es insuficiente, también es necesario caracterizar estas propiedades por una dirección en el espacio. Tales propiedades se caracterizan por cantidades vectoriales (vectores). Los vectores, a diferencia de los escalares, se indican con letras en negrita: a, b, g, F, C ....
A menudo, un vector se denota con una letra normal (sin negrita), pero con una flecha encima:
Además, un vector a menudo se denota con un par de letras (generalmente en mayúsculas), donde la primera letra indica el comienzo del vector y la segunda letra indica su final.
El módulo del vector, es decir, la longitud del segmento de línea recta dirigido, se denota con las mismas letras que el vector mismo, pero con la escritura habitual (sin negrita) y sin una flecha encima, o simplemente como el vector (es decir, en negrita o regular, pero con flecha), pero luego la designación del vector está encerrada entre guiones verticales.
Un vector es un objeto complejo que se caracteriza por la magnitud y la dirección al mismo tiempo.
Tampoco hay vectores positivos y negativos. Pero los vectores pueden ser iguales entre sí. Esto es cuando, por ejemplo, a y b tienen los mismos módulos y están dirigidos en la misma dirección. En este caso, el registro un= segundo También se debe tener en cuenta que el símbolo del vector puede estar precedido por un signo menos, por ejemplo, -c, sin embargo, este signo indica simbólicamente que el vector -c tiene el mismo módulo que el vector c, pero está dirigido en el direccion opuesta.
El vector -c se llama el opuesto (o inverso) del vector c.
En física, sin embargo, cada vector está lleno de contenido específico, y cuando se comparan vectores del mismo tipo (por ejemplo, fuerzas), los puntos de su aplicación también pueden tener una importancia significativa.
2.Determinación de la proyección, eje y coordenada del punto.
Eje es una linea recta a la que se le da una direccion.
El eje se indica con cualquier letra: X, Y, Z, s, t ... Por lo general, se elige (arbitrariamente) un punto en el eje, que se llama origen y, por regla general, se indica con la letra O. Desde este punto se miden las distancias a otros puntos de nuestro interés.
punto de proyección sobre el eje se llama base de la perpendicular que cae de este punto al eje dado. Es decir, la proyección de un punto sobre el eje es un punto.
coordenada del punto en un eje dado se llama un número cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre el comienzo del eje y la proyección del punto sobre este eje. Este número se toma con signo más si la proyección del punto se sitúa en el sentido del eje desde su inicio y con signo menos si es en sentido contrario.
3.Proyección de un vector sobre un eje.
La proyección de un vector sobre un eje es un vector que se obtiene multiplicando la proyección escalar de un vector sobre este eje por el vector unitario de este eje. Por ejemplo, si a x es la proyección escalar del vector a sobre el eje X, entonces a x i es su proyección vectorial sobre este eje.
Denotemos la proyección del vector de la misma manera que el vector mismo, pero con el índice del eje sobre el que se proyecta el vector. Entonces, la proyección vectorial del vector a en el eje X se denota con una x (letra en negrita que indica el vector y el subíndice del nombre del eje) o
(letra no negrita que denota un vector, pero con una flecha en la parte superior (!) y un subíndice del nombre del eje).Proyección escalar vector por eje se llama número, cuyo valor absoluto es igual a la longitud del segmento del eje (en la escala seleccionada) encerrado entre las proyecciones del punto inicial y el punto final del vector. Por lo general, en lugar de la expresión proyección escalar simplemente di - proyección. La proyección se denota con la misma letra que el vector proyectado (en escritura normal, sin negrita), con un subíndice (normalmente) del nombre del eje sobre el que se proyecta este vector. Por ejemplo, si un vector se proyecta sobre el eje x un, entonces su proyección se denota a x . Al proyectar el mismo vector sobre otro eje, si el eje es Y, su proyección se denotará como y.
Para calcular la proyección vector en un eje (por ejemplo, el eje X) es necesario restar la coordenada del punto inicial a la coordenada de su punto final, es decir
y x \u003d x k - x n.
La proyección de un vector sobre un eje es un número. Además, la proyección puede ser positiva si el valor de x k es mayor que el valor de x n,
negativo si el valor de x k es menor que el valor de x n
e igual a cero si x k es igual a x n.
La proyección de un vector sobre un eje también se puede encontrar conociendo el módulo del vector y el ángulo que forma con ese eje.
De la figura se puede ver que a x = a Cos α
Es decir, la proyección del vector sobre el eje es igual al producto del módulo del vector y el coseno del ángulo entre la dirección del eje y dirección vectorial. Si el ángulo es agudo, entonces
Cos α > 0 y ax > 0, y si es obtuso, entonces el coseno de un ángulo obtuso es negativo, y la proyección del vector sobre el eje también será negativa.
Los ángulos contados desde el eje en sentido contrario a las agujas del reloj se consideran positivos y en la dirección, negativos. Sin embargo, dado que el coseno es una función par, es decir, Cos α = Cos (− α), al calcular las proyecciones, los ángulos se pueden contar tanto en sentido horario como antihorario.
Para encontrar la proyección de un vector sobre un eje, el módulo de este vector debe multiplicarse por el coseno del ángulo entre la dirección del eje y la dirección del vector.
4. Fórmula básica del álgebra vectorial.
Proyectamos un vector a en los ejes X e Y de un sistema de coordenadas rectangulares. Encuentre las proyecciones vectoriales del vector a en estos ejes:
y x = a x i, y y = a y j.
Pero de acuerdo con la regla de la suma de vectores
a \u003d ax + ay.
a = a x yo + a y j.
Así, hemos expresado un vector en términos de sus proyecciones y partes de un sistema de coordenadas rectangulares (o en términos de sus proyecciones vectoriales).
Las proyecciones vectoriales a x y a y se denominan componentes o componentes del vector a. La operación que hemos realizado se llama descomposición del vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares.
Si el vector está dado en el espacio, entonces
a = a x yo + a y j + a z k.
Esta fórmula se llama la fórmula básica del álgebra vectorial. Por supuesto, también se puede escribir así.
El eje es la dirección. Por lo tanto, la proyección sobre un eje o sobre una línea dirigida se considera la misma. La proyección puede ser algebraica o geométrica. En términos geométricos, la proyección de un vector sobre un eje se entiende como vector, y en términos algebraicos, es un número. Es decir, se utilizan los conceptos de proyección de un vector sobre un eje y proyección numérica de un vector sobre un eje.
Si tenemos un eje L y un vector distinto de cero A B → , entonces podemos construir un vector A 1 B 1 ⇀ , denotando las proyecciones de sus puntos A 1 y B 1 .
A 1 B → 1 será la proyección del vector A B → sobre L .
Definición 1
La proyección del vector sobre el eje. se llama un vector, cuyo principio y final son proyecciones del principio y final del vector dado. n p L A B → → es costumbre denotar la proyección de A B → sobre L . Para construir una proyección sobre L, suelte las perpendiculares sobre L.
Ejemplo 1
Un ejemplo de la proyección de un vector sobre un eje.
En el plano de coordenadas O x y, se especifica un punto M 1 (x 1, y 1). Es necesario construir proyecciones sobre O x y O y para la imagen del radio vector del punto M 1 . Obtengamos las coordenadas de los vectores (x 1 , 0) y (0 , y 1) .
Si hablamos de la proyección de a → sobre un b distinto de cero o de la proyección de a → sobre la dirección b → , entonces nos referimos a la proyección de a → sobre el eje con el que coincide la dirección b →. La proyección a → sobre la línea definida por b → se denota n p b → a → → . Se sabe que cuando el ángulo está entre a → y b → , podemos considerar n p b → a → → y b → codireccionales. En el caso de que el ángulo sea obtuso, n p b → a → → yb → tienen direcciones opuestas. En la situación de perpendicularidad a → y b → , y a → es cero, la proyección de a → a lo largo de la dirección b → es un vector cero.
La característica numérica de la proyección de un vector sobre un eje es la proyección numérica de un vector sobre un eje dado.
Definición 2
Proyección numérica del vector sobre el eje. llame a un número que es igual al producto de la longitud de un vector dado y el coseno del ángulo entre el vector dado y el vector que determina la dirección del eje.
La proyección numérica de A B → sobre L se denota n p L A B → , y a → sobre b → - n p b → a → .
Basándonos en la fórmula, obtenemos n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , donde a → es la longitud del vector a → , a ⇀ , b → ^ es el ángulo entre los vectores a → y segundo → .
Obtenemos la fórmula para calcular la proyección numérica: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Es aplicable para longitudes conocidas a → y b → y el ángulo entre ellas. La fórmula es aplicable para coordenadas conocidas a → y b → , pero existe una versión simplificada.
Ejemplo 2
Encuentra la proyección numérica a → sobre una línea recta en la dirección b → con la longitud a → igual a 8 y el ángulo entre ellos es de 60 grados. Por condición tenemos a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Entonces, sustituimos los valores numéricos en la fórmula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Responder: 4.
Con cos conocido (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , tenemos a → , b → como el producto escalar de a → y b → . Siguiendo la fórmula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , podemos encontrar la proyección numérica a → dirigida a lo largo del vector b → y obtener n p b → a → = a → , b → b → . La fórmula es equivalente a la definición dada al principio de la cláusula.
Definición 3
La proyección numérica del vector a → sobre el eje que coincide en dirección con b → es el cociente del producto escalar de los vectores a → y b → a la longitud b → . La fórmula n p b → a → = a → , b → b → es aplicable para encontrar la proyección numérica de a → sobre una línea recta que coincide en la dirección con b → , con coordenadas a → y b → conocidas.
Ejemplo 3
Dado b → = (- 3 , 4) . Encuentre la proyección numérica a → = (1 , 7) sobre L .
Decisión
En el plano de coordenadas n p b → a → = a → , b → b → tiene la forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , con a → = (a x , a y ) y segundo → = segundo X , segundo y . Para encontrar la proyección numérica del vector a → sobre el eje L, necesitas: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .
Responder: 5.
Ejemplo 4
Encuentra la proyección a → sobre L , coincidiendo con la dirección b → , donde hay a → = - 2 , 3 , 1 y b → = (3 , - 2 , 6) . Se da un espacio tridimensional.
Decisión
Dado a → = a x , a y , a z y b → = b x , b y , b z calcular el producto escalar: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Encontramos la longitud b → por la fórmula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. De ello se deduce que la fórmula para determinar la proyección numérica a → será: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Sustituimos los valores numéricos: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Respuesta: - 6 7 .
Veamos la conexión entre a → en L y la longitud de la proyección de a → en L . Dibuje un eje L agregando a → y b → desde un punto a L , después de lo cual dibujamos una línea perpendicular desde el final de a → a L y la proyectamos sobre L . Hay 5 variaciones de imagen:
Primero el caso cuando a → = n p b → a → → significa a → = n p b → a → → , por lo tanto n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → un → → .
Segundo caso implica el uso de n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , entonces n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
El tercero caso explica que cuando n p b → a → → = 0 → obtenemos n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, entonces n p b → a → → = 0 y n p b → un → = 0 = norte pags segundo → un → → .
Cuatro caso muestra n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , sigue n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - norte pag segundo → un → → .
Quinto caso muestra a → = n p b → a → → , lo que significa a → = n p b → a → → , por lo tanto tenemos n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - norte pags segundo → un → .
Definición 4
La proyección numérica del vector a → sobre el eje L , que está dirigido como b → , tiene el significado:
- la longitud de la proyección del vector a → sobre L siempre que el ángulo entre a → y b → sea inferior a 90 grados o igual a 0: n p b → a → = n p b → a → → con la condición 0 ≤ (a → , segundo →) ^< 90 ° ;
- cero bajo la condición de perpendicularidad a → y b → : n p b → a → = 0 cuando (a → , b → ^) = 90 ° ;
- la longitud de la proyección a → sobre L, multiplicada por -1 cuando existe un ángulo obtuso o plano de los vectores a → y b → : n p b → a → = - n p b → a → → con la condición de 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Ejemplo 5
Dada la longitud de la proyección a → sobre L , igual a 2 . Encuentra la proyección numérica a → dado que el ángulo es de 5 π 6 radianes.
Decisión
Se puede ver a partir de la condición de que este ángulo es obtuso: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Respuesta: - 2.
Ejemplo 6
Dado un plano O x y z con la longitud del vector a → igual a 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) con un ángulo de 30 grados. Encuentre las coordenadas de la proyección a → sobre el eje L.
Decisión
Primero, calculamos la proyección numérica del vector a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .
Por condición, el ángulo es agudo, entonces la proyección numérica a → = es la longitud de la proyección del vector a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Este caso muestra que los vectores n p L a → → y b → están codirigidos, lo que significa que hay un número t para el cual la igualdad es verdadera: n p L a → → = t · b → . De aquí vemos que n p L a → → = t b → , por lo que podemos encontrar el valor del parámetro t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Entonces n p L a → → = 3 b → con las coordenadas de la proyección del vector a → sobre el eje L son b → = (- 2 , 1 , 2) , donde es necesario multiplicar los valores por 3 Tenemos n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Respuesta: (- 6 , 3 , 6) .
Es necesario repetir la información previamente estudiada sobre la condición de colinealidad del vector.
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