در عالم صغیر، در طول تعامل ذرات بنیادی - اتم ها، مولکول ها - برهمکنش های هسته ای و الکترومغناطیسی غالب است. مشاهده برهم کنش گرانشی ذرات بنیادی تقریبا غیرممکن است. دانشمندان برای اندازه گیری برهمکنش گرانشی اجسامی که جرم آنها صدها هزار کیلوگرم است، باید به ترفندهای بسیار بزرگ متوسل شوند. با این حال، در مقیاس کیهانی، همه فعل و انفعالات دیگر، به جز برهم کنش های گرانشی، عملا غیر قابل توجه هستند. حرکت سیارات، ماهواره ها، سیارک ها، دنباله دارها، ستارگان در کهکشان به طور کامل توسط تعامل گرانشی توصیف می شود.
او قرار دادن زمین را در مرکز کیهان پیشنهاد کرد و حرکات سیارات توسط دایره های بزرگ و کوچک توصیف شد که به آنها حماسه بطلمیوسی می گفتند.
تنها در قرن شانزدهم، کوپرنیک پیشنهاد جایگزینی مدل زمین‌مرکزی بطلمیوس از جهان را با مدل خورشیدمرکزی داد. یعنی خورشید را در مرکز کیهان قرار دهید و فرض کنید که تمام سیارات و زمین به همراه آنها به دور خورشید حرکت می کنند (شکل 2).
برنج. 2. مدل هلیوسنتری N. Copernicus ()
در آغاز قرن هفدهم، یوهانس کپلر، ستاره شناس آلمانی، با پردازش حجم عظیمی از اطلاعات نجومی که توسط ستاره شناس دانمارکی تیکو براهه به دست آمده بود، قوانین تجربی خود را پیشنهاد کرد که از آن زمان به بعد قوانین کپلر نامیده می شوند.
تمام سیارات منظومه شمسی در امتداد منحنی هایی به نام بیضی حرکت می کنند.بیضی یکی از ساده ترین منحنی های ریاضی است که به آن منحنی مرتبه دوم می گویند. در قرون وسطی، آنها را تقاطع مخروطی می نامیدند - اگر یک مخروط یا استوانه را با صفحه خاصی قطع کنید، همان منحنی را خواهید داشت که سیارات منظومه شمسی در امتداد آن حرکت می کنند.
برنج. 3. منحنی حرکت سیاره ای ()
این منحنی (شکل 3) دارای دو نقطه برجسته است که به آنها کانون می گویند. برای هر نقطه از بیضی، مجموع فواصل آن تا کانون ها یکسان است. مرکز خورشید (F) در یکی از این کانون ها قرار دارد؛ نزدیک ترین نقطه منحنی به خورشید (P) حضیض و دورترین نقطه (A) را آفلیون می نامند. فاصله حضیض تا مرکز بیضی را محور نیمه اصلی و فاصله عمودی از مرکز بیضی تا بیضی، محور نیمه‌مینور بیضی است.
همانطور که یک سیاره در امتداد یک بیضی حرکت می کند، بردار شعاع که مرکز خورشید را به این سیاره متصل می کند، منطقه خاصی را توصیف می کند. به عنوان مثال، در طول مدت زمانی که ∆t سیاره از یک نقطه به نقطه دیگر حرکت کرد، بردار شعاع ناحیه مشخصی ∆S را توصیف کرد.
برنج. 4. قانون دوم کپلر ()
قانون دوم کپلر می گوید: در بازه های زمانی مساوی، بردارهای شعاع سیارات مساحت مساوی را توصیف می کنند.
شکل 4 زاویه ΔΘ را نشان می دهد، این زاویه چرخش بردار شعاع در طول مدت زمانی Δt و ضربه سیاره () است که به طور مماس به مسیر هدایت می شود، به دو جزء تجزیه می شود - جزء ضربه در امتداد بردار شعاع. () و جزء ضربه در جهت، عمود بر بردار شعاع (⊥).
اجازه دهید محاسبات مربوط به قانون دوم کپلر را انجام دهیم. گفته کپلر مبنی بر اینکه مساحت های مساوی در فواصل مساوی طی می شوند به این معنی است که نسبت این کمیت ها ثابت است. نسبت این کمیت ها را اغلب سرعت بخشی می نامند؛ این نرخ تغییر در موقعیت بردار شعاع است. مساحت ∆S که بردار شعاع در طول زمان ∆t می‌گیرد چقدر است؟ این مساحت مثلثی است که ارتفاع آن تقریباً برابر با بردار شعاع و پایه تقریباً برابر با r ∆ω است، با استفاده از این عبارت مقدار ∆S را به صورت ½ ارتفاع می نویسیم. در هر پایه و تقسیم بر ∆t، عبارت زیر را بدست می آوریم:
، این نرخ تغییر زاویه است، یعنی سرعت زاویه ای.
نتیجه نهایی:
,
مربع فاصله تا مرکز خورشید، ضرب در سرعت زاویه ای حرکت در یک لحظه معین از زمان، یک مقدار ثابت است.
اما اگر عبارت r 2 ω را در جرم بدن m ضرب کنیم، مقداری به دست می‌آید که می‌توان آن را حاصل ضرب طول بردار شعاع و تکانه در جهت عرضی بردار شعاع نشان داد:
این کمیت برابر با حاصلضرب بردار شعاع و مولفه عمود بر ضربه، "تکانه زاویه ای" نامیده می شود.
قانون دوم کپلر بیانیه ای است مبنی بر اینکه تکانه زاویه ای در یک میدان گرانشی یک کمیت حفظ شده است. این منجر به یک جمله ساده اما بسیار مهم می شود: در نقاط کوچکترین و بزرگترین فاصله تا مرکز خورشید، یعنی آفلیون و حضیض، سرعت عمود بر بردار شعاع است، بنابراین حاصل ضرب بردار شعاع است. و سرعت در یک نقطه با این محصول در نقطه دیگر برابر است.
قانون سوم کپلر بیان می کند که نسبت مربع دوره چرخش یک سیاره به دور خورشید به مکعب نیم محور اصلی برای تمام سیارات منظومه شمسی یکسان است.
برنج. 5. مسیرهای خودسرانه سیارات ()
شکل 5 دو مسیر دلخواه سیارات را نشان می دهد. یکی شکل صریح یک بیضی با طول نیم محور (a) دارد، دومی شکل دایره ای با شعاع (R) دارد، زمان چرخش در امتداد هر یک از این مسیرها، یعنی دوره چرخش، با طول نیم محور یا با شعاع مرتبط است. و اگر بیضی به دایره تبدیل شود، آنگاه محور نیمه اصلی شعاع این دایره می شود. قانون سوم کپلر بیان می کند که در صورتی که طول نیم محور اصلی برابر با شعاع دایره باشد، دوره های چرخش سیارات به دور خورشید یکسان خواهد بود.
در مورد دایره، این نسبت را می توان با استفاده از قانون دوم نیوتن و قانون حرکت جسم در یک دایره محاسبه کرد، این ثابت برابر است با 4π 2 تقسیم بر ثابت گرانش جهانی (G) و جرم خورشید ( م).
بنابراین، واضح است که اگر ما فعل و انفعالات گرانشی را تعمیم دهیم، همانطور که نیوتن انجام داد، و فرض کنیم که همه اجسام در برهمکنش های گرانشی شرکت می کنند، قوانین کپلر را می توان به حرکت ماهواره ها در اطراف زمین، به حرکت ماهواره ها به دور هر سیاره دیگری تعمیم داد. و حتی به حرکت ماهواره ها در اطراف مرکز ماه. فقط در سمت راست این فرمول حرف M به معنای جرم بدنی است که ماهواره ها را جذب می کند. همه ماهواره های یک جسم فضایی معین نسبت مربع دوره مداری (T2) به مکعب محور نیمه اصلی (a3) یکسان خواهند داشت. این قانون را می توان به همه اجرام در کیهان و حتی ستارگانی که کهکشان ما را تشکیل می دهند تعمیم داد.
در نیمه دوم قرن بیستم، مشاهده شد که برخی از ستارگان که بسیار دور از مرکز کهکشان ما هستند، از قانون کپلر پیروی نمی کنند. این بدان معناست که ما همه چیز را در مورد نحوه عملکرد گرانش در اندازه کهکشان خود نمی دانیم. یک توضیح احتمالی برای اینکه چرا ستارگان دور سریعتر از آنچه قانون سوم کپلر لازم است حرکت می کنند، این است: ما کل جرم کهکشان را نمی بینیم. بخش قابل توجهی از آن ممکن است از ماده ای تشکیل شود که توسط ابزار ما قابل مشاهده نیست، برهمکنش الکترومغناطیسی ندارد، نور ساطع یا جذب نمی کند، و فقط در برهم کنش گرانشی شرکت می کند. این ماده را جرم پنهان یا ماده تاریک می نامیدند. مسائل ماده تاریک یکی از مشکلات اصلی فیزیک قرن بیست و یکم است.
موضوع درس بعدی: سیستم نقاط مادی، مرکز جرم، قانون حرکت مرکز جرم.
کتابشناسی - فهرست کتب
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. فیزیک (سطح پایه) - M.: Mnemosyne، 2012.
- Kabardin O.F., Orlov V.A., Evenchik E.E. Physics-10. م.: آموزش و پرورش، 2010.
- فیزیک باز ()
- Elementy.ru ().
- Physics.ru ().
- Ency.info().
مشق شب
- قانون اول کپلر را تعریف کنید.
- قانون دوم کپلر را تعریف کنید.
- قانون سوم کپلر را تعریف کنید.
از آنجایی که در این سایت "دونکرها" وجود دارد که ادعا می کنند ریاضیات بدعت است و جاذبه گرانشی بین سیارات اصلا وجود ندارد، بیایید ببینیم چگونه قانون گرانش جهانی به ما اجازه می دهد تا پدیده هایی را که به طور تجربی ایجاد شده اند توصیف کنیم. در زیر مبنای ریاضی قانون اول کپلر آمده است.
1. گشت و گذار تاریخی
ابتدا به یاد بیاوریم که این قانون چگونه به وجود آمد. در سال 1589، یوهانس کپلر (1571 - 1630) - که از یک خانواده فقیر آلمانی بود - از مدرسه فارغ التحصیل شد و وارد دانشگاه توبینگن شد. در آنجا ریاضیات و نجوم می خواند. علاوه بر این، استاد او پروفسور مستلین، که تحسین کننده پنهان ایده های کوپرنیک (نظام جهان هلیومرکزی) است، در دانشگاه نظریه "صحیح" - سیستم جهان بطلمیوسی (یعنی زمین مرکزی) را تدریس می کند. اما این امر مانع از آن نمی شود که شاگردش را با ایده های کوپرنیک آشنا کند و به زودی خود نیز به حامی قانع این نظریه تبدیل می شود.
در سال 1596، کپلر راز کیهان شناسی خود را منتشر کرد. اگرچه این کار حتی در آن زمان دارای ارزش علمی مشکوکی بود، اما با این وجود از دید اخترشناس دانمارکی تیکو براهه که برای ربع قرن مشاهدات و محاسبات نجومی انجام می داد، غافل نماند. او متوجه تفکر مستقل و دانش دانشمند جوان از نجوم می شود.
از سال 1600، یوهان به عنوان دستیار براهه کار می کرد. پس از مرگ او در سال 1601، کپلر شروع به مطالعه نتایج کارهای تیکو براهه - داده های چندین سال مشاهدات نجومی کرد. واقعیت این است که در پایان قرن شانزدهم، جداول پروس (جدول حرکت اجرام آسمانی، محاسبه شده بر اساس آموزه های کوپرنیک) شروع به ایجاد اختلافات قابل توجهی با داده های مشاهده شده کرد: خطا در موقعیت سیارات به 4-5 0 رسیدند.
برای حل این مشکل، کپلر مجبور شد نظریه کوپرنیک را پیچیده کند. او این ایده را که سیارات در مدارهای دایره‌ای حرکت می‌کنند کنار می‌گذارد، که در نهایت به او اجازه می‌دهد تا مشکل اختلاف بین نظریه و داده‌های مشاهده‌شده را حل کند. طبق یافته های او، سیارات در مدارهای بیضی شکل حرکت می کنند و خورشید در یکی از کانون های آن قرار دارد. بنابراین فاصله بین سیاره و خورشید به صورت دوره ای تغییر می کند. این خروجی به عنوان شناخته شده است قانون اول کپلر.
2. توجیه ریاضی
اکنون بیایید ببینیم که چگونه قانون اول کپلر با قانون گرانش جهانی مطابقت دارد. برای این کار، قانون حرکت جسمی را در میدان گرانشی که دارای تقارن کروی است استخراج می کنیم. در این حالت، قانون بقای تکانه زاویه ای جسم $\vec(L)=[\vec(r),\vec(p)]$ برآورده می شود. این بدان معناست که جسم در صفحه ای عمود بر بردار $\vec(L)$ حرکت می کند و جهت این صفحه در فضا بدون تغییر است. در این حالت، استفاده از سیستم مختصات قطبی $(r, \phi)$ با مبدأ در منبع میدان گرانشی راحت است (یعنی بردار $\vec(r)$ عمود بر بردار $\ است. vec(L)$). آن ها یکی از اجرام (خورشید) را در مبدأ مختصات قرار می دهیم و در زیر قانون حرکت جسم دوم (سیاره) را در این مورد استخراج می کنیم.
مولفه های عادی و مماسی بردار سرعت جسم دوم در سیستم مختصات انتخاب شده با روابط زیر بیان می شوند (از این پس نقطه به معنای مشتق زمان است):
$$ V_(r)=\dot(r); V_(n)=r\dot(\phi) $$
قانون بقای انرژی و تکانه زاویه ای در این مورد به شکل زیر است:
$$E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(m(r\dot(\phi))^2)(2)-\frac(GMm)(r)=const \hspace(3cm)(2.1)$$$$L = mr^2\dot(\phi)=const \hspace(3cm)(2.2)$$
در اینجا $G$ ثابت گرانشی است، $M$ جرم جسم مرکزی، $m$ جرم "ماهواره"، $E$ کل انرژی مکانیکی "ماهواره" است، $L$ برابر است با مقدار تکانه زاویه ای آن
با بیان $\dot(\phi)$ از (2.2) و جایگزینی آن با (2.1)، به دست می آوریم:
$$ E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(L^2)(2mr^2)-\frac(GMm)(r) \hspace(3cm)(2.3) $ $
اجازه دهید رابطه حاصل را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
$$ dt=\frac(dr)(\sqrt(\frac(2)(m)(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r)))) \hspace (3 سانتی متر) (2.4) $$
از رابطه (2.2) چنین می شود:
$$ d\phi=\frac(L)(mr^2)dt $$
با جایگزینی عبارت (2.4) به جای $dt$، به دست می آوریم:
$$ d\phi=\frac(L)(r^2)\frac(dr)(\sqrt(2m(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r) ))) \hspace(3cm)(2.5) $$
برای ادغام عبارت به دست آمده، عبارت زیر ریشه داخل پرانتز را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:
$$ E-((\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2 - \frac(GMm)(r) + \frac(L^2)(2mr^2) ) + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$$$ =E-(\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2 )L)-\frac(L)(r\sqrt(2mr)))^2 + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ = \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)(L^ 2)-\frac(1)(r))^2) $$
اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
$$ \frac(GMm^2)(L^2)\equiv\frac(1)(p) $$
با ادامه دگرگونی ها به این موارد می رسیم:
$$ \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)( L^2)-\frac(1)(r))^2)=$$$$\frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2) + \frac(1)( p^2)-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2)=$$$$\frac(L^2)(2m)(\frac(1)(p ^2)(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2) $$
اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:
$$ 1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3) \ معادل e^2 $$
در این مورد، عبارت تبدیل شده به شکل زیر است:
$$ \frac(L^2e^2)(2mp^2)(1-(\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)))^2 ) $$
برای راحتی کار، متغیر زیر را معرفی می کنیم:
$$ z=\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)) $$
حال معادله (2.5) به شکل زیر است:
$$ d\phi=\frac(p)(er^2)\frac(dr)(\sqrt(1-z^2))=\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))\ hspace(3cm)(2.6) $$
بیایید عبارت حاصل را ادغام کنیم:
$$ \phi(r)=\int\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))=\arcsin(z)-\phi_0 $$
در اینجا $\phi_0$ ثابت ادغام است.
در نهایت قانون حرکت را بدست می آوریم:
$$ r(\phi)=\frac(p)(1-e\sin((\phi+\phi_0))) $$
با تنظیم ثابت یکپارچه سازی $\phi_0=\frac(3\pi)(2)$ (این مقدار مربوط به حداکثر تابع $r(\phi)$ است)، در نهایت به دست می آوریم:
| $$r(\phi)=\frac(p)(1+e\cos(\phi)) \hspace(3cm)(2.7)$$$$p=\frac(L^2)(GMm^2) $$ $$e=\sqrt(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))$$ |
از دوره هندسه تحلیلی مشخص می شود که عبارت به دست آمده برای تابع $r(\phi)$ منحنی های مرتبه دوم را توصیف می کند: بیضی، سهمی و هذلولی. پارامترهای $p$ و $e$ به ترتیب پارامتر کانونی و خروج از مرکز منحنی نامیده می شوند. پارامتر کانونی می تواند هر مقدار مثبتی را بگیرد و مقدار خروج از مرکز نوع مسیر را تعیین می کند: اگر $e\in)
