W mikrokosmosie, podczas oddziaływania cząstek elementarnych – atomów, cząsteczek – dominują oddziaływania jądrowe i elektromagnetyczne. Obserwacja grawitacyjnego oddziaływania cząstek elementarnych jest prawie niemożliwa. Naukowcy muszą uciekać się do bardzo wielkich sztuczek, aby zmierzyć oddziaływanie grawitacyjne ciał o masie setek, tysięcy kilogramów. Jednak w skali kosmicznej wszystkie inne oddziaływania, z wyjątkiem grawitacyjnych, są praktycznie niezauważalne. Ruch planet, satelitów, asteroid, komet i gwiazd w galaktyce jest całkowicie opisywany przez oddziaływanie grawitacyjne.
Zaproponował umieszczenie Ziemi w centrum Wszechświata, a ruchy planet opisywano za pomocą dużych i małych okręgów, które nazwano epicyklami ptolemejskimi.
Dopiero w XVI wieku Kopernik zaproponował zastąpienie geocentrycznego modelu świata Ptolemeusza heliocentrycznym. Oznacza to, że umieść Słońce w centrum Wszechświata i załóż, że wszystkie planety i Ziemia wraz z nimi poruszają się wokół Słońca (ryc. 2).
Ryż. 2. Heliocentryczny model N. Kopernika ()
Na początku XVII wieku niemiecki astronom Johannes Kepler, po przetworzeniu ogromnej ilości informacji astronomicznych uzyskanych przez duńskiego astronoma Tycho Brahe, zaproponował własne prawa empiryczne, które odtąd nazwano prawami Keplera.
Wszystkie planety Układu Słonecznego poruszają się po krzywych zwanych elipsami. Elipsa to jedna z najprostszych krzywych matematycznych, tzw. krzywa drugiego rzędu. W średniowieczu nazywano je przecięciami stożkowymi - jeśli przetniesz stożek lub walec z określoną płaszczyzną, otrzymasz tę samą krzywą, po której poruszają się planety Układu Słonecznego.
Ryż. 3. Krzywa ruchu planet ()
Krzywa ta (ryc. 3) ma dwa wyróżnione punkty, które nazywane są ogniskami. Dla każdego punktu elipsy suma odległości od niego do ognisk jest taka sama. W jednym z tych ognisk znajduje się środek Słońca (F), punkt krzywej położony najbliżej Słońca (P) nazywany jest peryhelium, a najdalszy punkt (A) nazywany jest aphelium. Odległość od peryhelium do środka elipsy nazywa się półosią wielką, a odległość pionowa od środka elipsy do elipsy nazywa się półosią małą elipsy.
Gdy planeta porusza się po elipsie, wektor promienia łączący środek Słońca z tą planetą opisuje pewien obszar. Przykładowo, w czasie ∆t planeta przemieszczała się z jednego punktu do drugiego, wektor promienia opisywał pewien obszar ∆S.
Ryż. 4. Drugie prawo Keplera ()
Drugie prawo Keplera stwierdza: w równych okresach wektory promieni planet opisują równe obszary.
Rysunek 4 przedstawia kąt ∆Θ, jest to kąt obrotu wektora promienia w pewnym czasie ∆t oraz impuls planety (), skierowany stycznie do trajektorii, rozłożony na dwie składowe - składową impulsu wzdłuż wektora promienia () i składową impulsu w kierunku , prostopadle do wektora promienia (⊥).
Wykonajmy obliczenia związane z drugim prawem Keplera. Stwierdzenie Keplera, że równe obszary przemierzane są w równych odstępach czasu, oznacza, że stosunek tych wielkości jest stały. Stosunek tych wielkości nazywany jest często prędkością sektorową; jest to szybkość zmiany położenia wektora promienia. Jaka jest powierzchnia ∆S, którą wektor promienia rozciąga się w czasie ∆t? Jest to obszar trójkąta, którego wysokość jest w przybliżeniu równa wektorowi promienia, a podstawa jest w przybliżeniu równa r ∆ω, korzystając z tego stwierdzenia, zapisujemy wartość ∆S w postaci ½ wysokości na podstawę i podziel przez ∆t, otrzymamy wyrażenie:
, jest to szybkość zmiany kąta, czyli prędkość kątowa.
Ostateczny wynik:
,
Kwadrat odległości do środka Słońca pomnożony przez prędkość kątową ruchu w danym momencie jest wartością stałą.
Ale jeśli pomnożymy wyrażenie r 2 ω przez masę ciała m, otrzymamy wartość, którą można przedstawić jako iloczyn długości wektora promienia i pędu w kierunku poprzecznym do wektora promienia:
Wielkość ta, równa iloczynowi wektora promienia i składowej prostopadłej impulsu, nazywa się „pędem pędu”.
Drugie prawo Keplera to stwierdzenie, że moment pędu w polu grawitacyjnym jest wielkością zachowaną. Prowadzi to do prostego, ale bardzo ważnego stwierdzenia: w punktach najmniejszej i największej odległości od środka Słońca, czyli aphelium i peryhelium, prędkość jest kierowana prostopadle do wektora promienia, a więc iloczynu wektora promienia a prędkość w jednym punkcie jest równa temu iloczynowi w innym punkcie.
Trzecie prawo Keplera stwierdza, że stosunek kwadratu okresu obrotu planety wokół Słońca do sześcianu półosi wielkiej jest taki sam dla wszystkich planet Układu Słonecznego.
Ryż. 5. Dowolne trajektorie planet ()
Rysunek 5 przedstawia dwie dowolne trajektorie planet. Jedna ma wyraźną postać elipsy o długości półosi (a), druga ma postać koła o promieniu (R), czas obrotu po dowolnej z tych trajektorii, czyli okres obrotu, jest powiązany z długością półosi lub promieniem. A jeśli elipsa zamienia się w okrąg, wówczas półoś wielka staje się promieniem tego okręgu. Trzecie prawo Keplera mówi, że w przypadku, gdy długość półosi wielkiej jest równa promieniowi koła, okresy obrotu planet wokół Słońca będą takie same.
W przypadku koła stosunek ten można obliczyć, korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa ruchu ciała po okręgu, stała ta wynosi 4π 2 podzielone przez stałą powszechnego ciążenia (G) i masę Słońca ( M).
Zatem jasne jest, że jeśli uogólnimy oddziaływania grawitacyjne, tak jak zrobił to Newton, i założymy, że wszystkie ciała uczestniczą w oddziaływaniach grawitacyjnych, prawa Keplera można rozszerzyć na ruch satelitów wokół Ziemi, na ruch satelitów wokół dowolnej innej planety, a nawet do ruchu satelitów Księżyców wokół środka Księżyca. Dopiero po prawej stronie tego wzoru litera M będzie oznaczać masę ciała przyciągającego satelity. Wszystkie satelity danego obiektu kosmicznego będą miały taki sam stosunek kwadratu okresu obiegu (T 2) do sześcianu półosi wielkiej (a 3). Prawo to można rozszerzyć na wszystkie ciała we Wszechświecie, a nawet na gwiazdy tworzące naszą Galaktykę.
W drugiej połowie XX wieku zauważono, że niektóre gwiazdy położone dość daleko od centrum naszej Galaktyki nie przestrzegają tego prawa Keplera. Oznacza to, że nie wiemy wszystkiego o działaniu grawitacji w całej naszej Galaktyce. Jedno z możliwych wyjaśnień, dlaczego odległe gwiazdy poruszają się szybciej, niż wymaga tego trzecie prawo Keplera, jest następujące: nie widzimy całej masy Galaktyki. Znaczna jej część może składać się z materii, której nie można zaobserwować za pomocą naszych instrumentów, która nie oddziałuje elektromagnetycznie, nie emituje i nie pochłania światła, a jedynie uczestniczy w oddziaływaniu grawitacyjnym. Substancję tę nazwano ukrytą masą lub ciemną materią. Problematyka ciemnej materii to jeden z głównych problemów fizyki XXI wieku.
Temat następnej lekcji: Układy punktów materialnych, środek masy, prawo ruchu środka masy.
Bibliografia
- Tikhomirova SA, Yavorsky B.M. Fizyka (poziom podstawowy) - M.: Mnemosyne, 2012.
- Kabardin O.F., Orłow VA, Evenchik EE Physics-10. M.: Edukacja, 2010.
- Otwarta fizyka ()
- Elementy.ru ().
- Fizyka.ru ().
- Ency.info().
Praca domowa
- Zdefiniuj pierwsze prawo Keplera.
- Zdefiniuj drugie prawo Keplera.
- Zdefiniuj trzecie prawo Keplera.
Skoro na stronie znajdują się „obalający” twierdzenia, że matematyka jest herezją i że przyciąganie grawitacyjne między planetami w ogóle nie istnieje, zobaczmy, jak prawo powszechnego ciążenia pozwala nam opisać zjawiska ustalone empirycznie. Poniżej znajduje się matematyczna podstawa pierwszego prawa Keplera.
1. Wycieczka historyczna
Na początek przypomnijmy sobie, jak powstało to prawo. W 1589 roku niejaki Johannes Kepler (1571 - 1630) - pochodzący z biednej rodziny niemieckiej - ukończył szkołę i wstąpił na uniwersytet w Tybindze. Tam studiuje matematykę i astronomię. Co więcej, jego nauczyciel, profesor Mestlin, będąc cichym wielbicielem idei Kopernika (heliocentryczny system świata), wykłada na uniwersytecie „właściwą” teorię – ptolemejskiego systemu świata (czyli geocentrycznego). Co jednak nie przeszkadza mu w zapoznawaniu swojego ucznia z ideami Kopernika, a wkrótce sam staje się zagorzałym zwolennikiem tej teorii.
W 1596 roku Kepler opublikował swoją tajemnicę kosmograficzną. Choć już wówczas praca ta miała wątpliwą wartość naukową, nie uszła ona jednak uwadze duńskiego astronoma Tycho Brahe, który od ćwierć wieku prowadził obserwacje i obliczenia astronomiczne. Dostrzega niezależne myślenie i wiedzę astronomiczną młodego naukowca.
Od 1600 roku Johann pracował jako asystent Brahe. Po jego śmierci w 1601 roku Kepler zaczął studiować wyniki prac Tycho Brahe – dane z wieloletnich obserwacji astronomicznych. Faktem jest, że już pod koniec XVI w. tablice pruskie (tablice ruchu ciał niebieskich obliczone na podstawie nauk Kopernika) zaczęły wykazywać znaczne rozbieżności z obserwowanymi danymi: błąd w położeniu ciała niebieskiego planety osiągnęły 4-5 0.
Aby rozwiązać ten problem, Kepler był zmuszony skomplikować teorię Kopernika. Porzuca pogląd, że planety poruszają się po orbitach kołowych, co ostatecznie pozwala mu rozwiązać problem rozbieżności między teorią a obserwowanymi danymi. Według jego ustaleń planety poruszają się po orbitach eliptycznych, a w jednym z jej ognisk znajduje się Słońce. Zatem odległość między planetą a Słońcem zmienia się okresowo. To wyjście jest znane jako Pierwsze prawo Keplera.
2. Uzasadnienie matematyczne
Zobaczmy teraz, jak pierwsze prawo Keplera zgadza się z prawem powszechnego ciążenia. W tym celu wyprowadzimy prawo ruchu ciała w polu grawitacyjnym o symetrii kulistej. W tym przypadku spełniona jest zasada zachowania momentu pędu ciała $\vec(L)=[\vec(r),\vec(p)]$. Oznacza to, że ciało będzie poruszało się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora $\vec(L)$, a orientacja tej płaszczyzny w przestrzeni nie ulegnie zmianie. W tym przypadku wygodnie jest zastosować biegunowy układ współrzędnych $(r, \phi)$ z początkiem w źródle pola grawitacyjnego (tzn. wektor $\vec(r)$ jest prostopadły do wektora $\ vec(L)$). Te. Ustawiamy jedno z ciał (Słońce) na początku współrzędnych, a poniżej wyprowadzamy prawo ruchu drugiego ciała (planety) w tym przypadku.
Składowe normalne i styczne wektora prędkości drugiego ciała w wybranym układzie współrzędnych wyrażają się następującymi zależnościami (w dalszej części kropka oznacza pochodną czasu):
$$ V_(r)=\kropka(r); V_(n)=r\kropka(\phi) $$
Prawo zachowania energii i momentu pędu ma w tym przypadku następującą postać:
$$E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(m(r\dot(\phi))^2)(2)-\frac(GMm)(r)=stała \hspace(3cm)(2.1)$$ $$L = mr^2\dot(\phi)=stała \hspace(3cm)(2.2)$$
Tutaj $G$ to stała grawitacji, $M$ to masa ciała centralnego, $m$ to masa „satelity”, $E$ to całkowita energia mechaniczna „satelity”, $L$ to wartość jego momentu pędu.
Wyrażając $\dot(\phi)$ z (2.2) i podstawiając je do (2.1), otrzymujemy:
$$ E = \frac(m\dot(r)^2)(2)+\frac(L^2)(2mr^2)-\frac(GMm)(r) \hspace(3cm)(2.3) $ $
Zapiszmy powstałą zależność w następujący sposób:
$$ dt=\frac(dr)(\sqrt(\frac(2)(m)(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r)))) \hspace (3cm)(2,4)$$
Z zależności (2.2) wynika:
$$ d\phi=\frac(L)(mr^2)dt $$
Podstawiając wyrażenie (2.4) zamiast $dt$ otrzymujemy:
$$ d\phi=\frac(L)(r^2)\frac(dr)(\sqrt(2m(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r) ))) \hspace(3cm)(2,5) $$
Aby zintegrować powstałe wyrażenie, przepisujemy wyrażenie pod pierwiastkiem w nawiasach w następującej formie:
$$ E-((\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2 - \frac(GMm)(r) + \frac(L^2)(2mr^2) ) + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ =E-(\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2 )L)-\frac(L)(r\sqrt(2mr)))^2 + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ = \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)(L^ 2)-\frac(1)(r))^2) $$
Wprowadźmy następującą notację:
$$ \frac(GMm^2)(L^2)\equiv\frac(1)(p) $$
Kontynuując przekształcenia otrzymujemy:
$$ \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)( L^2)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2) + \frac(1)( p^2)-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(1)(p ^2)(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2) $$
Wprowadźmy oznaczenie:
$$ 1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3) \równoważnik e^2 $$
W tym przypadku przekonwertowane wyrażenie przyjmuje następującą postać:
$$ \frac(L^2e^2)(2mp^2)(1-(\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)))^2 ) $$
Dla wygody wprowadzamy następującą zmienną:
$$ z=\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)) $$
Teraz równanie (2.5) przyjmuje postać:
$$ d\phi=\frac(p)(er^2)\frac(dr)(\sqrt(1-z^2))=\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))\ hspace(3cm)(2,6) $$
Całkujmy otrzymane wyrażenie:
$$ \phi(r)=\int\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))=\arcsin(z)-\phi_0 $$
Tutaj $\phi_0$ jest stałą całkowania.
Ostatecznie otrzymujemy zasadę ruchu:
$$ r(\phi)=\frac(p)(1-e\sin((\phi+\phi_0))) $$
Ustawiając stałą całkowania $\phi_0=\frac(3\pi)(2)$ (wartość ta odpowiada ekstremum funkcji $r(\phi)$), ostatecznie otrzymujemy:
| $$r(\phi)=\frac(p)(1+e\cos(\phi)) \hspace(3cm)(2.7)$$ $$p=\frac(L^2)(GMm^2) $$ $$e=\sqrt(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))$$ |
Z przebiegu geometrii analitycznej wiadomo, że wyrażenie otrzymane dla funkcji $r(\phi)$ opisuje krzywe drugiego rzędu: elipsę, parabolę i hiperbolę. Parametry $p$ i $e$ nazywane są odpowiednio parametrem ogniskowym i mimośrodem krzywej. Parametr ogniskowy może przyjmować dowolną wartość dodatnią, a wartość mimośrodu określa rodzaj trajektorii: if $e\in)
