Z historii trygonometrii. Historia rozwoju trygonometrii Trygonometria i historia ludzkości

01.09.2021

Zwierzęta

Sinus, cosinus, tangens – wypowiadając te słowa w obecności licealistów, możesz być pewien, że dwie trzecie z nich straci zainteresowanie dalszą rozmową. Powodem jest to, że podstaw trygonometrii w szkole uczy się w całkowitej izolacji od rzeczywistości, dlatego uczniowie nie widzą sensu w studiowaniu wzorów i twierdzeń.

W rzeczywistości, po bliższym przyjrzeniu się, ta dziedzina wiedzy okazuje się bardzo interesująca, a także stosowana - trygonometria znajduje zastosowanie w astronomii, budownictwie, fizyce, muzyce i wielu innych dziedzinach.

Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami i podajmy kilka powodów do studiowania tej gałęzi matematyki.

Historia

Nie wiadomo, w którym momencie ludzkość zaczęła od podstaw tworzyć przyszłą trygonometrię. Udokumentowano jednak, że już w II tysiącleciu pne Egipcjanie znali podstawy tej nauki: archeolodzy znaleźli papirus z zadaniem, w którym wymagane jest znalezienie kąta nachylenia piramidy z dwóch znanych stron.

Poważniejsze sukcesy odnieśli naukowcy starożytnego Babilonu. Na przestrzeni wieków, zajmując się astronomią, opanowali szereg twierdzeń, wprowadzili specjalne metody pomiaru kątów, których, nawiasem mówiąc, używamy dzisiaj: stopnie, minuty i sekundy zostały zapożyczone przez europejską naukę w kulturze grecko-rzymskiej, do której jednostki te pochodziły od Babilończyków.

Uważa się, że słynne twierdzenie Pitagorasa, związane z podstawami trygonometrii, było znane Babilończykom prawie cztery tysiące lat temu.

Nazwa

Dosłownie termin „trygonometria” można przetłumaczyć jako „pomiar trójkątów”. Przez wiele stuleci głównym przedmiotem badań w tej części nauki był trójkąt prostokątny, a raczej związek między kątami a długościami jego boków (dziś w tym dziale rozpoczyna się badanie trygonometrii od podstaw). W życiu często zdarzają się sytuacje, w których nie da się praktycznie zmierzyć wszystkich wymaganych parametrów obiektu (lub odległości do obiektu), a wtedy konieczne staje się uzyskanie brakujących danych za pomocą obliczeń.

Na przykład w przeszłości człowiek nie mógł zmierzyć odległości do obiektów kosmicznych, ale próby obliczenia tych odległości mają miejsce na długo przed początkiem naszej ery. Trygonometria również odgrywała ważną rolę w nawigacji: przy pewnej wiedzy kapitan mógł zawsze orientować się w nocy na gwiazdach i korygować kurs.

Podstawowe koncepcje

Aby opanować trygonometrię od podstaw, musisz zrozumieć i zapamiętać kilka podstawowych pojęć.

Sinus pewnego kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej. Wyjaśnijmy, że przeciwległa noga jest stroną przeciwną do kąta, który rozważamy. Tak więc, jeśli kąt wynosi 30 stopni, sinus tego kąta będzie zawsze wynosił ½ dla dowolnego rozmiaru trójkąta. Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej nogi (lub stosunek sinusa do cosinusa). Cotangens to jednostka podzielona przez tangens.

Warto wspomnieć o słynnej liczbie Pi (3,14…), która jest połową obwodu koła o promieniu jednej jednostki.

Popularne błędy

Osoby uczące się trygonometrii od podstaw popełniają szereg błędów – głównie poprzez nieostrożność.

Po pierwsze, przy rozwiązywaniu problemów z geometrii należy pamiętać, że użycie sinusów i cosinusów jest możliwe tylko w trójkącie prostokątnym. Zdarza się, że uczeń „automatycznie” przyjmuje najdłuższy bok trójkąta jako przeciwprostokątną i otrzymuje błędne wyniki obliczeń.

Po drugie, na początku łatwo jest pomylić wartości sinusa i cosinusa dla wybranego kąta: przypomnijmy, że sinus 30 stopni jest liczbowo równy cosinusowi 60 i odwrotnie. Jeśli podstawisz nieprawidłową liczbę, wszystkie dalsze obliczenia okażą się błędne.

Po trzecie, dopóki problem nie zostanie całkowicie rozwiązany, nie należy zaokrąglać żadnych wartości, wyciągać pierwiastków, zapisywać zwykłego ułamka w postaci dziesiętnej. Często uczniowie dążą do uzyskania „ładnej” liczby w zadaniu trygonometrii i natychmiast wyodrębniają pierwiastek z trzech, chociaż po dokładnie jednej akcji pierwiastek ten można skrócić.

Etymologia słowa „sinus”

Historia słowa „sine” jest naprawdę niezwykła. Faktem jest, że dosłowne tłumaczenie tego słowa z łaciny oznacza „depresję”. Dzieje się tak, ponieważ prawidłowe zrozumienie słowa zostało utracone podczas tłumaczenia z jednego języka na inny.

Nazwy podstawowych funkcji trygonometrycznych wywodzą się z Indii, gdzie pojęcie sinusa oznaczano w sanskrycie słowem „cięciwa” – faktem jest, że segment wraz z łukiem koła, na którym spoczywał, przypominał łuk. W czasach rozkwitu cywilizacji arabskiej zapożyczono indyjskie postępy w trygonometrii, a termin ten został przepisany na język arabski. Tak się złożyło, że w tym języku istniało już podobne słowo oznaczające wgłębienie, a jeśli Arabowie rozumieli różnicę fonetyczną między słowem rodzimym a zapożyczonym, to Europejczycy tłumacząc traktaty naukowe na łacinę przez pomyłkę dosłownie przetłumaczyli słowo arabskie, które nie ma nic wspólnego z pojęciem sinus... Używamy go do dziś.

Tabele wartości

Są tabele, w których wprowadzane są wartości liczbowe dla sinusów, cosinusów i tangensów wszystkich możliwych kątów. Poniżej przedstawiamy dane dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni, których należy się nauczyć jako obowiązkowej części trygonometrii dla "manekinów", ponieważ łatwo je zapamiętać.

Jeśli zdarzyło się, że wartość liczbowa sinusa lub cosinusa kąta „wyleciała mi z głowy”, jest sposób na samodzielne jej wyprowadzenie.

Reprezentacja geometryczna

Rysujemy okrąg, przez jego środek rysujemy odcięte i osie rzędnych. Oś odciętych jest pozioma, oś rzędnych jest pionowa. Zazwyczaj są one podpisane odpowiednio jako „X” i „Y”. Teraz narysuj prostą linię od środka okręgu, aby uzyskać potrzebny kąt między nią a osią X. Wreszcie od punktu, w którym prosta przecina okrąg, opuszczamy prostopadłą do osi X. Długość powstałego odcinka będzie równa wartości liczbowej sinusa naszego kąta.

Ta metoda jest bardzo istotna, jeśli zapomniałeś żądanej wartości, na przykład na egzaminie, a nie masz pod ręką podręcznika trygonometrii. Nie uzyskasz w ten sposób dokładnej liczby, ale na pewno zobaczysz różnicę między ½ a 1,73 / 2 (sinus i cosinus kąta 30 stopni).

Podanie

Niektórzy z pierwszych specjalistów używających trygonometrii byli żeglarzami, którzy nie mają innego punktu odniesienia na pełnym morzu niż niebo nad ich głowami. Dziś kapitanowie statków (samolotów i innych środków transportu) nie szukają najkrótszej drogi przez gwiazdy, ale aktywnie korzystają z nawigacji GPS, co bez zastosowania trygonometrii byłoby niemożliwe.

W prawie każdym dziale fizyki czekają na Ciebie obliczenia przy użyciu sinusów i cosinusów: czy będzie to zastosowanie siły w mechanice, obliczenia drogi obiektów w kinematyce, oscylacje, propagacja fali, załamanie światła - po prostu nie możesz się bez tego obejść podstawowa trygonometria we wzorach.

Innym zawodem, który jest nie do pomyślenia bez trygonometrii, jest geodeta. Za pomocą teodolitu i niwelatora lub bardziej wyrafinowanego instrumentu, tachyometru, ludzie ci mierzą różnicę wysokości między różnymi punktami na powierzchni Ziemi.

Powtarzalność

Trygonometria zajmuje się nie tylko kątami i bokami trójkąta, chociaż od tego zaczęła się jego egzystencja. We wszystkich obszarach, w których występuje cykliczność (biologia, medycyna, fizyka, muzyka itp.), napotkasz wykres, którego nazwa prawdopodobnie jest ci znana - jest to sinusoida.

Taki wykres jest kołem rozłożonym wzdłuż osi czasu i wygląda jak fala. Jeśli kiedykolwiek pracowałeś z oscyloskopem na zajęciach z fizyki, wiesz, o co w tym chodzi. Zarówno korektor muzyczny, jak i czujnik tętna wykorzystują w swojej pracy wzory trygonometrii.

Wreszcie

Myśląc o tym, jak nauczyć się trygonometrii, większość gimnazjalistów i licealistów zaczyna uważać to za naukę trudną i niepraktyczną, ponieważ poznają tylko nudne informacje z podręcznika.

Jeśli chodzi o niepraktyczność, widzieliśmy już, że w takim czy innym stopniu umiejętność posługiwania się sinusami i stycznymi jest wymagana w prawie każdej dziedzinie działalności. Co do złożoności… Pomyśl: jeśli ludzie korzystali z tej wiedzy ponad dwa tysiące lat temu, kiedy dorosły miał mniej wiedzy niż dzisiejszy uczeń liceum, czy realistyczne jest studiowanie tej dziedziny nauki na poziomie podstawowym ? Kilka godzin przemyślanych ćwiczeń rozwiązywania problemów – a osiągniesz swój cel, ucząc się podstawowego kursu tzw. trygonometrii dla manekinów.

Historia trygonometrii jako nauki

Trygonometria, jak każda inna dyscyplina naukowa, powstała z potrzeby praktycznej działalności człowieka. Różne zadania astronomii, nawigacji, geodezji, architektury doprowadziły do konieczności opracowania metody obliczania elementów o kształtach geometrycznych ze znanych wartości ich innych elementów, znalezionych za pomocą bezpośrednich pomiarów. Sama nazwa „trygonometria” jest pochodzenia greckiego, co oznacza „pomiar trójkątów”: (trygon) - trójkąt, (metrain) - pomiar.

Początki trygonometrii sięgają czasów starożytnych. Na długo przed nową erą babilońscy naukowcy byli w stanie przewidzieć zaćmienia Słońca i Księżyca. To pozwala nam wnioskować, że znali niektóre z najprostszych informacji z trygonometrii. Stopniowo pojęcia sinusa, cosinusa i tangensa kąta zostały ustalone w geometrii i astronomii. Zasadniczo obsługiwali je starożytni matematycy, biorąc pod uwagę stosunek segmentów w trójkątach i kołach.

Zgromadzony materiał obserwacji astronomicznych wymagał obróbki matematycznej. Jednym z twórców trygonometrii jest starożytny grecki astronom Hipparch, który żył w II wieku. PNE. Hipparchus jest autorem pierwszych tablic trygonometrycznych. Tablice te nie zachowały się do nas, ale zostały włączone (w ulepszonej formie) do dzieła „Wielka konstrukcja” (Almagest) słynnego aleksandryjskiego astronoma Klaudiusza Ptolemeusza żyjącego w drugiej połowie II wieku. OGŁOSZENIE W tych tabelach, które przez wiele stuleci służyły jako środek do rozwiązywania trójkątów, podano wartości cięciw koła dla różnych wartości odpowiedniego kąta środkowego. Jednostką miary cięciw była część promienia.

Tabele te, we współczesnym języku, są tablicami wartości podwojonego sinusa połowy odpowiedniego kąta środkowego. Podali wartości akordów dla wszystkich kątów (co pół stopnia) od 00 do 1800. Trzeba jednak pamiętać, że w starożytnej Grecji trygonometria nie wyróżniała się jako samodzielna nauka, lecz była uważana za część astronomia.

Ważny wkład w rozwój trygonometrii wniosła matematyka indyjska w V-XII wieku. OGŁOSZENIE Indyjscy matematycy zaczęli obliczać nie cały akord, jak robili to Grecy, ale jego połowę (czyli „linię sinusów”). Linia sinusów została przez nich nazwana „arhajiva”, co dosłownie znaczyło „połowa cięciwy”. Indianie sporządzili tabelę sinusów, w której podano wartości półakordów mierzone w częściach (minutach) koła dla wszystkich kątów od 00 do 900 (każdy). Tabele te były dokładniejsze niż te Ptolemeusza. O ich wysokiej dokładności świadczy fakt, że dla wartości sinus i cosinus zostały obliczone, które różnią się od prawdziwych o mniej niż.

Indyjscy matematycy znali proporcje, które we współczesnej notacji zapisuje się następująco:

W XI - XIII wieku. W pracach matematyków Azji Środkowej, Zakaukazia, Bliskiego Wschodu i Indii rozpoczęło się formowanie trygonometrii jako odrębnej nauki. A w przyszłości potrzeby geografii, geodezji, spraw wojskowych przyczyniły się do rozwoju trygonometrii jako nauki. Trygonometria rozwijała się szczególnie intensywnie w średniowieczu, głównie na południowym wschodzie: w Indiach (Aryabhata, Bramagupta, Bhaskara), w Uzbekistanie, Azerbejdżanie i Tadżykistanie (Nasirad-Din at-Tusi, al-Kashi, al-Biruni), w Arabii ( Ahmad, ibn-Abdallah, al-Battani). Wiele zasług w tworzeniu trygonometrii jako odrębnej nauki należy do azerbejdżańskiego naukowca Nasirad-Din Mukhamad at-Tusi (1201 - 1274), który napisał „Traktat o kompletnym czworokątu”. Prace naukowców tego okresu doprowadziły do wyodrębnienia trygonometrii jako nowej niezależnej gałęzi matematyki. Jednak ich pisma nie miały jeszcze niezbędnej symboliki, dlatego rozwój trygonometrii był powolny.

Od XV wieku. aw Europie istnieją prace poświęcone zagadnieniom trygonometrii. Niemiecki naukowiec Johann Müller (1436 - 1476), znany w nauce pod nazwą Regiomontanus, opublikował pracę „Pięć ksiąg o wszelkiego rodzaju trójkątach”, która odegrała ważną rolę w rozwoju trygonometrii. Zapewnia systematyczną prezentację trygonometrii jako niezależnej dyscypliny naukowej. Regiomontanus skompilował tabele zatok z dokładnością do tej pory. W jego tabelach promień okręgu był przyjmowany zamiast wielokrotności 60, czyli w rzeczywistości dokonano przejścia z sześćdziesiątego systemu miar na dziesiętny. W 1595 roku ukazała się praca Bartłomieja Pitiscusa „Trygonometria, czyli krótki przegląd traktatu o rozwiązaniu trójkątów”.

W XV - XVII wieku. w Europie opracowano i opublikowano kilka tabel trygonometrycznych. Nad ich opracowaniem pracowali najważniejsi naukowcy: N. Kopernik (1473 - 1543) oraz. Kepler (1571 - 1630), F. Viet (1540 - 1603) i inni W Rosji pierwsze tablice trygonometryczne zostały opublikowane w 1703 roku z udziałem L.F. Magnickiego.

W ten sposób trygonometria powstała na podstawie geometrycznej, miała język geometryczny i była stosowana do rozwiązywania problemów geometrycznych. Rozwój symboliki algebraicznej umożliwił zapisywanie relacji trygonometrycznych w postaci formuł; zastosowanie liczb ujemnych umożliwiło uwzględnienie kątów skierowanych i łuków oraz rozszerzenie pojęcia linii trygonometrycznych (zdefiniowanych odcinków w okręgu) o dowolne kąty. W tym okresie powstała podstawa do badania funkcji trygonometrycznych jako funkcji argumentu liczbowego, podstawa analitycznej teorii funkcji trygonometrycznych (kołowych). Aparat analityczny pozwalający na obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych z dowolnym stopniem dokładności został opracowany przez Newtona.

Współczesną formę trygonometrii uzyskał w pracach wielkiego naukowca, członka Rosyjskiej Akademii Nauk L. Eulera (1707-1783). Euler zaczął traktować wartości funkcji trygonometrycznych jako liczby - wartości linii trygonometrycznych w kole, których promień jest traktowany jako jednostka („okrąg trygonometryczny” lub „okrąg jednostkowy”). Euler wydał ostateczną decyzję o znakach funkcji trygonometrycznych w różnych ćwiartkach, wyprowadził wszystkie wzory trygonometryczne z kilku podstawowych, ustalił kilka nieznanych mu wzorów, wprowadził jednolity zapis. To w jego pismach po raz pierwszy pojawiają się zapisy. Odkrył również związek między funkcjami trygonometrycznymi i wykładniczymi złożonego argumentu. Na podstawie prac L. Eulera opracowano podręczniki trygonometrii, przedstawiając je w ścisłej sekwencji naukowej.

Analityczna (niezależna od geometrii) konstrukcja teorii funkcji trygonometrycznych, zapoczątkowana przez Eulera, została ukończona w pracach wielkiego rosyjskiego naukowca N.I. Łobaczewski.

Współczesny punkt widzenia na funkcje trygonometryczne jako funkcje argumentu liczbowego wynika w dużej mierze z rozwoju fizyki, mechaniki i technologii. Funkcje te stanowiły podstawę aparatu matematycznego, za pomocą którego badane są różne procesy okresowe: ruchy oscylacyjne, propagacja fal, ruch mechanizmów, oscylacja przemiennego prądu elektrycznego. Jak pokazał J. Fourier (1768 - 1830), każdy ruch okresowy o dowolnym stopniu dokładności można przedstawić jako sumę najprostszych oscylacji sinusoidalnych (harmonicznych). Jeśli na początku rozwoju trygonometrii stosunek

wyrażono jedynie zależność pomiędzy polami kwadratów zbudowanych na bokach zmiennego trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej 1, później stosunek ten zaczął odzwierciedlać również dodanie dwóch ruchów oscylacyjnych z wynikającą z tego interferencją.

Tak więc na początkowych etapach rozwoju trygonometria służyła jako środek rozwiązywania problemów geometrycznych obliczeniowych. Jego treść uznano za obliczenie elementów najprostszych kształtów geometrycznych, czyli trójkątów. Ale we współczesnej trygonometrii niezależne i równie ważne jest badanie właściwości funkcji trygonometrycznych. Ten okres w rozwoju trygonometrii został przygotowany przez cały rozwój mechaniki ruchów oscylacyjnych, fizyki dźwięku, światła i fal elektromagnetycznych.

W tym okresie dokonano uogólnień na wiele terminów trygonometrii, a w szczególności wyprowadzono relacje dla, gdzie n jest liczbą naturalną itp. Funkcje i są obecnie uważane za sumy szeregów potęgowych:

Równolegle rozwijana jest teoria funkcji trygonometrycznych zmiennej zespolonej.

Trygonometria jako przedmiot akademicki

Historia nauki trygonometrii w szkole jest niezwykle pouczająca dla specjalistów w dziedzinie nauczania matematyki. To historia jednej z gałęzi nauk matematycznych, dopiero w drugiej połowie XVIII wieku. który uzyskał raczej smukły i kompletny wygląd.

Współczesnemu nauczycielowi już teraz dość trudno jest znaleźć materiały, które ujawniają idee i strukturę poprzednich programów nauczania matematyki. Jednocześnie w nowoczesnej szkole, w warunkach pewnej swobody akademickiej nauczyciela, informacje te mogą być przydatne do uzasadnienia planowania studiów trygonometrycznych, ponieważ ilustrują inne podejścia do studiowania tego kierunku, które różnią się od tych oferowane dzisiaj w wielu podręcznikach.

Przypomnijmy, że w związku z odkryciem N.I. Łobaczewski z nowej geometrii odkrył, że trygonometria składa się z dwóch różnych części:

a) pierwsza (zwykle nazywana goniometrią) - część analizy matematycznej, w której niezależnie od rozważań geometrycznych ujawnia się analitycznie doktryna transcendentalnych funkcji trygonometrycznych wraz z ich właściwościami;
b) drugi to właściwa trygonometria, gdzie łączy się analizę matematyczną i geometrię danej przestrzeni.

Goniometria nie zależy od aksjomatu równoległego, a trygonometria we właściwym sensie zależy od tego aksjomatu. Stosunek charakteryzuje w ogólnym przypadku działania z odpowiednimi szeregami i tylko w przestrzeni euklidesowej wyraża stosunek pól kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej 1.

Znany stosunek boków do kątów trójkąta

Nierówności trygonometryczne

Przykład 1. Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie. Oznaczając, przepisujemy nierówność (1) w postaci

Zbiór rozwiązań nierówności (2) to ciąg przedziałów

dlatego znajdujemy wszystkie rozwiązania nierówności (1), rozwiązując podwójną nierówność

skąd bierzemy?

czyli zbiór rozwiązań nierówności (1) składa się z szeregu przedziałów

Przykład 2. Rozwiążmy nierówność

Rozwiązanie. Przepisujemy nierówność (3) jako

Oznaczmy. Ponieważ nierówność ma wiele rozwiązań, znajdujemy rozwiązania nierówności (3) rozwiązując nierówność podwójną.

Nierówność

Odnosi się to do dowolnego x, a zbiór rozwiązań nierówności jest serią przedziałów

Jest to zestaw rozwiązań nierówności (3).

Przykład 3. Zdefiniujmy wszystko, dla każdego z których nierówność

ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie. Dzielimy nierówność (4) przez liczbę, otrzymujemy nierówność

co jest równoznaczne z nierównością (4).

Od tego czasu istnieje taki kąt jak. Przepisujemy nierówność (5) jako

Ostatnia nierówność, a więc nierówność (4), ma co najmniej jedno rozwiązanie dla każdej takiej, czyli dla każdej.

Wysyłanie dobrej pracy do bazy wiedzy jest proste. Skorzystaj z poniższego formularza

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy, którzy wykorzystują bazę wiedzy w swoich studiach i pracy będą Ci bardzo wdzięczni.

Opublikowano na http://www.allbest.ru/

Departament Edukacji miasta Moskwy

Państwowa instytucja edukacyjna budżetowa

Wykształcenie średnie zawodowe

Kolegium Budowlane №38

Raport matematyczny

Na temat: „Historia rozwoju trygonometrii”

Wypełnia student:

Udalova Evgeniya

Grupy: 1-T-1

Moskwa 2012

Słowo trygonometria po raz pierwszy pojawia się w 1505 roku w tytule książki niemieckiego matematyka Pitiscusa.

Trygonometria to greckie słowo i dosłownie oznacza pomiar trójkątów (trigwnon to trójkąt, a metrew jest mierzony).

W tym przypadku przez pomiar trójkątów należy rozumieć rozwiązanie trójkątów, czyli wyznaczenie boków, kątów i innych elementów trójkąta, jeśli niektóre z nich są podane. Wiele problemów praktycznych, a także problemów planimetrii, stereometrii, astronomii i innych sprowadza się do problemu rozwiązywania trójkątów.

Pojawienie się trygonometrii wiąże się z geodezją, astronomią i budownictwem.

Chociaż nazwa nauki pojawiła się stosunkowo niedawno, wiele pojęć i faktów, które obecnie przypisuje się trygonometrii, było znanych dwa tysiące lat temu.

Po raz pierwszy metody rozwiązywania trójkątów oparte na zależnościach między bokami i kątami trójkąta odkryli starożytni greccy astronomowie Hipparch (II wpne) i Klaudiusz Ptolemeusz (II wne). Później zależność między stosunkami boków trójkąta a jego kątami zaczęto nazywać funkcjami trygonometrycznymi

Znaczący wkład w rozwój trygonometrii wnieśli arabscy naukowcy Al-Batani (850-929) i Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998), którzy zestawili tablice sinusów i tangensów co 10” z dokładność 1/604 Twierdzenie Indyjski naukowiec Bhaskara (ur. 1114, rok śmierci nie jest znany) oraz azerbejdżański astronom i matematyk Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) znali już dyscyplinę sinus.

Pojęcie zatok ma długą historię. W rzeczywistości różne stosunki odcinków trójkąta i koła (a właściwie funkcje trygonometryczne) występują już w III wieku p.n.e. NS. w dziełach wielkich matematyków starożytnej Grecji - Euklidesa, Archimedesa, Apoloniusza z Pergi. W okresie rzymskim stosunki te były dość systematycznie badane przez Menelaosa (I wiek n.e.), choć nie zyskały one specjalnej nazwy. Na przykład współczesny sinus a był badany jako półakord, na którym opiera się środkowy kąt wartości, lub jako akord o zdwojonym łuku.

W IV-V wieku w pracach astronomicznych wielkiego indyjskiego naukowca Aryabhaty, od którego imienia został nazwany pierwszy indyjski satelita Ziemi, pojawił się szczególny termin. Nazwał segment AM ardhajiva (ardha – pół, jiva – cięciwa, która przypomina akord). Później pojawiła się krótsza nazwa jiva. Arabscy matematycy w IX wieku zastąpili to słowo arabskim słowem jayb (wypukłość). Tłumacząc arabskie teksty matematyczne w stuleciu, zastąpiono go łacińskim sinusem (sinus - zginanie, krzywizna).

Styczne powstały w związku z rozwiązaniem problemu określenia długości cienia. Tangent (podobnie jak cotangens) został wprowadzony w X wieku przez arabskiego matematyka Abu al-Wafę, który sporządził również pierwsze tablice do znajdowania tangensów i cotangensów. Jednak odkrycia te przez długi czas pozostawały nieznane europejskim naukowcom, a styczne zostały ponownie odkryte dopiero w XIV wieku przez niemieckiego matematyka, astronoma Regimontana (1467). Udowodnił twierdzenie o stycznej. Regiomontanus opracował również szczegółowe tabele trygonometryczne; dzięki jego pracom trygonometria płaska i sferyczna stała się samodzielną dyscypliną w Europie.

Nazwa „styczna”, wywodząca się z łacińskiego tanger (dotykać), pojawiła się w 1583 roku. Tangens tłumaczy się jako „dotykanie” (linia stycznych jest styczna do okręgu jednostkowego).

Trygonometria była dalej rozwijana w pracach wybitnych astronomów Mikołaja Kopernika (1473-1543) - twórcy heliocentrycznego systemu świata, Tycho Brahe (1546-1601) i Johannesa Keplera (1571-1630), a także w prace matematyka François Vieta (1540-1603), który całkowicie rozwiązał problem wyznaczenia wszystkich elementów płaszczyzny lub trójkąta kulistego z trzech danych.

Przez długi czas trygonometria miała charakter czysto geometryczny, to znaczy fakty, które teraz formułujemy w kategoriach funkcji trygonometrycznych, były formułowane i udowadniane za pomocą pojęć i twierdzeń geometrycznych. Tak było w średniowieczu, choć czasami stosowano w nim także metody analityczne, zwłaszcza po pojawieniu się logarytmów. Być może największe bodźce do rozwoju trygonometrii pojawiły się w związku z rozwiązywaniem problemów astronomii, która miała duże znaczenie praktyczne (np. przy rozwiązywaniu problemów określania położenia statku, przewidywania zaciemnienia itp.). Astronomów interesowały relacje między bokami i kątami trójkątów sferycznych. I należy zauważyć, że matematycy starożytności z powodzeniem poradzili sobie z postawionymi zadaniami.

Począwszy od XVII wieku funkcje trygonometryczne zaczęto stosować do rozwiązywania równań, problemów mechaniki, optyki, elektryczności, radiotechniki, do opisu procesów oscylacyjnych, propagacji fal, ruchu różnych mechanizmów, do badania przemiennego prądu elektrycznego itp. Dlatego funkcje trygonometryczne są wszechstronne i głęboko zbadane i stały się niezbędne dla całej matematyki.

Teoria analityczna funkcji trygonometrycznych została stworzona głównie przez wybitnego XVIII-wiecznego matematyka Leonarda Eulera (1707-1783), członka Akademii Nauk w Petersburgu. Ogromna spuścizna naukowa Eulera obejmuje wspaniałe wyniki związane z analizą matematyczną, geometrią, teorią liczb, mechaniką i innymi zastosowaniami matematyki. To Euler jako pierwszy wprowadził znane definicje funkcji trygonometrycznych, zaczął rozważać funkcje dowolnego kąta i uzyskał wzory redukcyjne. Po Eulerze trygonometria przybrała formę rachunku różniczkowego: różne fakty zaczęto dowodzić poprzez formalne zastosowanie wzorów trygonometrycznych, dowody stały się znacznie bardziej zwarte i prostsze.

Tak więc trygonometria, która powstała jako nauka o rozwiązywaniu trójkątów, ostatecznie przekształciła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Później część trygonometrii, która bada właściwości funkcji trygonometrycznych i relacje między nimi, zaczęto nazywać goniometrią (w tłumaczeniu - nauka o mierzeniu kątów, z greckiego gwnia - kąt, metrew - mierzę). Termin goniometria praktycznie nie był ostatnio używany.

trygonometria matematyka pitiscus

Opublikowano na Allbest.ru

...

Podobne dokumenty

Pojęcie trygonometrii, jej istota i cechy, historia jej powstania i rozwoju. Struktura trygonometrii, jej elementy i charakterystyka. Stworzenie i rozwój analitycznej teorii funkcji trygonometrycznych, rola w niej akademika Leonarda Eulera.

praca twórcza, dodano 15.02.2009

Zapoznanie z cechami pojawienia się trygonometrii, uwzględnienie etapów rozwoju. Analiza sposobów rozwiązywania trójkątów na podstawie zależności między bokami i kątami trójkąta. Charakterystyka analitycznej teorii funkcji trygonometrycznych.

prezentacja dodana 24.06.2014

Matematyka starożytnych i średniowiecznych Chin. Zasada dwóch fałszywych pozycji. Układy równań liniowych z wieloma niewiadomymi. Początkowe etapy rozwoju trygonometrii. Tworzenie pozycyjnej numeracji dziesiętnej. Arytmetyka liczb i ułamków naturalnych.

praca dyplomowa, dodana 22.12.2012

Rozwój myślenia analitycznego, logicznego, konstruktywnego uczniów i kształtowanie ich czujności matematycznej. Studiowanie trygonometrii na toku geometrii szkoły głównej, metody rozwiązywania niestandardowych problemów z klasy ósmej oraz z podręczników alternatywnych.

praca semestralna, dodana 03.01.2014

Renesansowa matematyka europejska. Stworzenie rachunku alfabetycznego François Vieta i metody rozwiązywania równań. Poprawa obliczeń na przełomie XVI i XVII wieku: ułamki dziesiętne, logarytmy. Ustalenie związku między trygonometrią a algebrą.

prezentacja dodana 20.09.2015

Koncepcje geometrii sferycznej, zgodność geometrii sferycznej z planimetrią. Zastosowanie trygonometrii sferycznej w nawigacji. Sferyczne kąty wielokątów, planimetryczna analiza aksjomatów. Twierdzenie cosinusowe dla trójkątów sferycznych.

praca semestralna dodana 12.06.2011 r.

Historia rozwoju trygonometrii, charakterystyka jej podstawowych pojęć i formuł. Pytania ogólne, cele badań i metody wyznaczania funkcji trygonometrycznych argumentu numerycznego w toku szkolnym. Zalecenia i metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

praca semestralna, dodana 19.10.2011

Rekonstrukcja struktury i treści programu nauczania matematyki w procesie przeprowadzania reform edukacji matematycznej. Definicje cosinusa, sinusa i tangensa kąta ostrego. Podstawowe wzory trygonometryczne. Pojęcie i podstawowe własności wektorów.

praca dyplomowa, dodana 01/11/2011

Cechy okresu matematyki o wartościach stałych. Twórz arytmetykę, algebrę, geometrię i trygonometrię. Ogólna charakterystyka kultury matematycznej starożytnej Grecji. Szkoła Pitagorasa. Odkrycie niewspółmierności, tablice pitagorejskie. „Początki” Euklidesa.

prezentacja dodana 20.09.2015

Historia pojawienia się i rozwoju cyfr arabskich, osobliwości ich pisania, wygoda w porównaniu z innymi systemami. Zapoznanie z liczebnością różnych ludów: system liczbowy starożytnego Rzymu, chińskiego, dewanagari i ich rozwój od starożytności do współczesności.

Historia trygonometrii

Trygonometria to greckie słowo i dosłownie oznacza pomiar trójkątów ( to trójkąt, a  to ja mierzę).

W tym przypadku pomiar trójkątów należy rozumieć jako rozwiązanie trójkątów, tj. definicja boków, kątów i innych elementów trójkąta, jeśli niektóre z nich są podane. Wiele problemów praktycznych, a także problemów planimetrii, stereometrii, astronomii i innych sprowadza się do problemu rozwiązywania trójkątów.

Pojawienie się trygonometrii wiąże się z geodezją, astronomią i budownictwem.

Chociaż nazwa nauki pojawiła się stosunkowo niedawno, wiele pojęć i faktów, które obecnie przypisuje się trygonometrii, było znanych dwa tysiące lat temu.

Znaczący wkład w rozwój trygonometrii wnieśli arabscy naukowcy Al-Batani (850-929) i Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998), którzy sporządzili tablice sinusów i tangensów w 10’ dokładność do 1/60 4 ... Twierdzenie o sinusach znał już indyjski naukowiec Bhaskara (ur. 1114, rok śmierci nie jest znany) oraz azerbejdżański astronom i matematyk Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). Ponadto Nasireddin Tusi w swojej pracy „A Treatise on the Complete Quadripartite” przedstawił trygonometrię płaską i sferyczną jako niezależną dyscyplinę.

Pojęcie zatok ma długą historię. W rzeczywistości różne stosunki odcinków trójkąta i koła (a w rzeczywistości funkcje trygonometryczne) są już spotykane wIIIwiek p.n.e. w dziełach wielkich matematyków starożytnej Grecji - Euklidesa, Archimedesa, Apoloniusza z Pergi. W okresie rzymskim stosunki te dość systematycznie badał Menelaos (iwieku naszej ery), choć nie zyskały specjalnej nazwy. Na przykład współczesny sinus  był badany jako półcięciwa, na której opiera się środkowy kąt , lub jako cięciwa podwójnego łuku.

 m

Ryż. 1

V IV- VJuż od wieków w pracach astronomicznych wielkiego indyjskiego naukowca Aryabhaty, od którego imienia pochodzi nazwa pierwszego indyjskiego satelity Ziemi, pojawia się szczególny termin. Segment AM (ryc. 1) nazwał ardhajiva (ardha - pół, jiva - cięciwa, która przypomina akord). Później pojawiła się krótsza nazwa jiva. Arabscy matematycyIXW wieku słowo to zostało zastąpione arabskim słowem jayb (wybrzuszenie). Tłumacząc arabskie teksty matematyczne w stuleciu, zastąpiono go łacińskim sinusem (Zatoka- zginanie, krzywizna).

Słowo cosinus jest znacznie młodsze. Cosinus to skrót od łacińskiego wyrażeniacałkowicieZatoka, czyli „dodatkowy sinus” (lub inaczej „sinus dodatkowego łuku”;cos = grzech(90  -  )).

Styczne powstały w związku z rozwiązaniem problemu określenia długości cienia. Tangent (a także cotangens) wprowadzony wxarabskiego matematyka Abu al-Wafy, który sporządził również pierwsze tablice do znajdowania stycznych i kotangensów. Jednak odkrycia te przez długi czas pozostawały nieznane europejskim naukowcom, a styczne zostały ponownie odkryte dopiero wXIVwieku niemieckiego matematyka, astronoma Regimontana (1467). Udowodnił twierdzenie o stycznej. Regiomontanus opracował również szczegółowe tabele trygonometryczne; dzięki jego pracom trygonometria płaska i sferyczna stała się samodzielną dyscypliną w Europie.

Nazwa „styczna”, wywodząca się z łacinyTanger(dotyk), pojawił się w 1583 r.Tangenstłumaczy się jako „styczna” (linia stycznych - styczna do okręgu jednostkowego).

Zaczynając od XVIIin., funkcje trygonometryczne zaczęto stosować do rozwiązywania równań, problemów mechaniki, optyki, elektryczności, inżynierii radiowej, do opisywania procesów oscylacyjnych, propagacji fal, ruchu różnych mechanizmów, do badania przemiennego prądu elektrycznego itp. Dlatego trygonometryczne funkcje zostały wszechstronnie i głęboko zbadane i stały się niezbędne dla całej matematyki.

Teoria analityczna funkcji trygonometrycznych została stworzona głównie przez wybitnego matematykaXviiiw. Leonard Euler (1707-1783) członek Petersburskiej Akademii Nauk. Ogromna spuścizna naukowa Eulera obejmuje wspaniałe wyniki związane z analizą matematyczną, geometrią, teorią liczb, mechaniką i innymi zastosowaniami matematyki. To Euler jako pierwszy wprowadził znane definicje funkcji trygonometrycznych, zaczął rozważać funkcje dowolnego kąta i uzyskał wzory redukcyjne. Po Eulerze trygonometria przybrała postać rachunku różniczkowego: różne fakty zaczęto dowodzić formalnym zastosowaniem formuł trygonometrycznych, dowody stały się znacznie bardziej zwarte, prostsze,

Tak więc trygonometria, która powstała jako nauka o rozwiązywaniu trójkątów, ostatecznie przekształciła się w naukę o funkcjach trygonometrycznych.

Później część trygonometrii, która bada właściwości funkcji trygonometrycznych i relacje między nimi, zaczęto nazywać goniometrią (w tłumaczeniu - nauka o mierzeniu kątów, z greckiego  - kąt,   - mierzę). Termin goniometria praktycznie nie był ostatnio używany.

Mini - praca projektowa na temat „Historia rozwoju trygonometrii”

uczeń 11 „a” klasa MBOU „Kilemarskaya gimnazjum” Kilemarski okręg miejski Republiki Mari El Ivantsova Wasilij

Nauczyciel: I.P. Konyushkova

Cele i cele:

Znajdź informacje o rozwoju trygonometrii
Zapoznaj się z literaturą na ten temat

Plan:

6. Rozwój nowoczesnej trygonometrii

W swojej pracy rozważam historię rozwoju trygonometrii.

1. Pojawienie się trygonometrii jako nauki

Trygonometria powstała i rozwinęła się w starożytności jako jedna z gałęzi astronomii, jako jej aparat obliczeniowy. Niektóre informacje trygonometryczne były znane starożytnym Babilończykom i Egipcjanom, ale podwaliny tej nauki zostały położone w starożytnej Grecji. Starożytni greccy astronomowie z powodzeniem rozwiązali pewne kwestie związane z trygonometrią związaną z astronomią. Jednak nie brali pod uwagę linii sinusa, cosinusa itp., ale akordy. Pierwsze tablice trygonometryczne opracował Hipparch z Nicei (180-125 pne). Hipparch jako pierwszy zestawił odpowiednie wartości łuków i cięciw dla szeregu kątów.

Więcej informacji na temat trygonometrii zawiera „Almagest” Ptolemeusza. Ptolemeusz podzielił okrąg na 360 stopni, a średnicę na 120 części. Obliczył promień jako 60 części i użył systemu liczb sześćdziesiętnych. Dla trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej równej średnicy koła napisał na podstawie twierdzenia Pitagorasa: (cięciwa α) ² + (cięciwa / 180-α /) ² = (średnica) ², co odpowiada do nowoczesnego wzoru sin²α + cos²α = 1. Tablica Ptolemeusza, która przetrwała do naszych czasów, jest odpowiednikiem tablicy sinusów z pięcioma prawidłowymi miejscami po przecinku.

2. Rozwój trygonometrii w Indiach

W IV wieku centrum rozwoju matematyki przeniosło się do Indii. Indyjscy matematycy dobrze znali pisma greckich astronomów i geometrów. Ich wkład w astronomię stosowaną i obliczeniowe aspekty trygonometrii jest bardzo znaczący. Przede wszystkim Indianie zmienili niektóre koncepcje trygonometrii, zbliżając je do współczesnych. W Indiach trygonometria została zapoczątkowana jako ogólna doktryna stosunków w trójkącie, chociaż w przeciwieństwie do akordów greckich podejście indyjskie ograniczało się jedynie do funkcji kąta ostrego. Indianie zdefiniowali sinus nieco inaczej niż we współczesnej matematyce, ale jako pierwsi wprowadzili do użytku cosinus.

3. Dalszy rozwój trygonometrii w krajach Bliskiego i Bliskiego Wschodu

Trygonometria otrzymała dalszy rozwój w IX-XV wieku. w krajach Bliskiego i Bliskiego Wschodu. Najwcześniejsze zachowane prace należą do al-Khorezmi i al-Marvazi (IX w.), którzy oprócz sinusa i cosinusa znanego Indianom rozważali nowe funkcje trygonometryczne: tangens, cotangens, secans i cosecans. Khorezmi (al-Khorezmi) Muhammad bin Musa skompilował tablice sinusów i cotangensów. Jest autorem szeregu prac astronomicznych: prace nad zegarem słonecznym, astrolabium; opracował szereg tabel matematycznych i astronomicznych. Zachował się także jego rękopis „Obraz Ziemi” (opublikowany w 1878 r.), poświęcony geografii. Naukowiec zasłynął jednak przede wszystkim swoją pracą w dziedzinie matematyki. Abu-l-Wafa osiągnął wspaniałe wyniki w rozwoju trygonometrii w drugiej połowie X wieku, który jako pierwszy wykorzystał okrąg o jednostkowym promieniu do wyznaczenia funkcji trygonometrycznych, jak to ma miejsce we współczesnej matematyce.

Jednym z najważniejszych zadań ówczesnej nauki było zestawienie tablic trygonometrycznych z możliwie najmniejszym krokiem. W IX wieku al-Khorezmi skompilował tablice sinusów z krokiem 1°, jego współczesny al-Marvazi dodał do nich pierwsze tablice tangensów, cotangensów i cosecans z tym samym krokiem. Na początku X wieku al-Battani opublikował tabele z krokiem 30 ", pod koniec tego samego wieku Ibn Yunis skompilował tabele z krokiem 1". Podczas kompilacji tabel kluczem było obliczenie wartości... Al-Biruni wraz z Ibn Yunisem i Abu-l-Wafą wymyślili zręczne metody obliczania tej wartości. Pierwszym specjalistycznym traktatem o trygonometrii była jego książka „Księga kluczy nauki astronomicznej” (995-996). Al-Kashi odniósł największy sukces w XV wieku, w jednej ze swoich prac obliczył, że(wszystkie znaki są poprawne). Jego tablice trygonometryczne 1 nie mają sobie równych od 250 lat. At-Tusi Nasir ad-Din (1201-1274) w swoim „Treatise on the Complete Quadripartite” po raz pierwszy przedstawił informację trygonometryczną jako niezależny wydział matematyki, a nie dodatek do astronomii.

4. Kontynuacja rozwoju trygonometrii w Europie

Po przetłumaczeniu traktatów arabskich na łacinę w XII-XIII wieku wiele idei matematyków indyjskich i perskich stało się własnością nauki europejskiej. W Europie kontynuowano rozwój trygonometrii. Początkowo informacje o trygonometrii były podawane w esejach o astronomii, ale w dziele Fibonacciego „Praktyka geometrii”, napisanym około 1220 roku, trygonometria jest przedstawiana jako część geometrii. Pierwsza europejska praca w całości poświęcona trygonometrii jest często określana jako „Cztery traktaty o akordach bezpośrednich i odwróconych” przez angielskiego astronoma Richarda Wallingforda (około 1320 r.).

Najwybitniejszym przedstawicielem Europy tej epoki był Regiomontanus. Jego prace przedstawione w dziele matematycznym „Pięć ksiąg o trójkątach wszelkiego rodzaju” miały ogromne znaczenie w dalszym rozwoju trygonometrii w XVI-XVII wieku.

U progu XVII wieku. w rozwoju trygonometrii zarysowuje się nowy kierunek - analityczny. Jeśli wcześniej głównym celem trygonometrii było rozwiązanie trójkątów, obliczenia elementów figur geometrycznych i doktryna funkcji trygonometrycznych zostały zbudowane na podstawie geometrycznej, to w XVII-XIX wieku. trygonometria stopniowo staje się jednym z rozdziałów analizy matematycznej. Znajduje szerokie zastosowanie w mechanice, fizyce i technice, zwłaszcza w badaniu ruchów oscylacyjnych i innych procesów okresowych. Viet wiedział o okresowości funkcji trygonometrycznych, których pierwsze badania matematyczne dotyczyły trygonometrii. Szwajcarski matematyk Johann Bernoulli (1642-1727) używał już symboli dla funkcji trygonometrycznych. Rozszerzenie pojęcia funkcji trygonometrycznych doprowadziło do ich uzasadnienia na nowej, analitycznej podstawie: funkcje trygonometryczne wyznaczane są niezależnie od geometrii za pomocą szeregów potęgowych i innych koncepcji analizy matematycznej.

I. Newton i L. Euler przyczynili się do rozwoju analitycznej teorii funkcji trygonometrycznych. Leonard Euler wprowadził zarówno samo pojęcie funkcji, jak i przyjętą dziś symbolikę. Nadał całej trygonometrii nowoczesny wygląd. W traktacie „Wprowadzenie do analizy nieskończoności” (1748) Euler podał definicję funkcji trygonometrycznych równoważną współczesnej oraz zdefiniował funkcje odwrotne. Podejście Eulera stało się od tego czasu ogólnie przyjęte i weszło do podręczników.

5. Rozwój trygonometrii w Rosji

W Rosji pierwsza informacja o trygonometrii została opublikowana w zbiorze „Tablice logarytmów, sinusów i tangensów do badania mądrych kochających opiekunów”, opublikowanym z udziałem L.F.Magnitsky'ego w 1703 roku. W 1714 roku ukazał się podręcznik informacyjny „Geometria praktyki”, pierwszy rosyjski podręcznik trygonometrii, skupiający się na stosowanych problemach artylerii, nawigacji i geodezji. Zakończenie okresu opanowania wiedzy trygonometrycznej w Rosji można uznać za podstawowy podręcznik akademika ME Golovina (ucznia Eulera) „Trygonometria płaska i sferyczna z dowodami algebraicznymi” (1789).

Pod koniec XVIII wieku w Petersburgu pojawiła się autorytatywna szkoła trygonometryczna, która wniosła wielki wkład w trygonometrię płaską i sferyczną.

Dalszy rozwój teorii trygonometrii kontynuował w XIX wieku NI Łobaczewski i inni naukowcy.

Na początku XIX wieku NI Lobachevsky dodał trzecią sekcję do trygonometrii płaskiej i sferycznej - hiperboliczną. W XIX-XX wieku szybko rozwinęła się teoria serii trygonometrycznych i pokrewne dziedziny matematyki, na przykład kodowanie informacji audio i wideo oraz inne.

W dzisiejszych czasach najważniejsza część trygonometrii - doktryna funkcji trygonometrycznych jest uwzględniana w analizie matematycznej, a rozwiązanie trójkątów jest częścią geometrii

Pracując nad tym tematem, przestudiowałem szereg źródeł i znalazłem informacje o rozwoju trygonometrii.

Literatura: 1.Gleizer G.I. Historia matematyki w szkole: klasy IX-X. Przewodnik dla nauczycieli - M .: Edukacja, 1983.

2. Zasoby internetowe