V mikrokozme pri interakcii elementárnych častíc - atómov, molekúl - dominujú jadrové a elektromagnetické interakcie. Pozorovať gravitačnú interakciu elementárnych častíc je takmer nemožné. Vedci sa musia uchýliť k veľmi veľkým trikom, aby zmerali gravitačnú interakciu telies, ktorých hmotnosť je stovky, tisíce kilogramov. V kozmickom meradle sú však všetky ostatné interakcie, okrem gravitačných, prakticky nepostrehnuteľné. Pohyb planét, satelitov, asteroidov, komét, hviezd v galaxii je kompletne opísaný gravitačnou interakciou.
Navrhol umiestniť Zem do stredu vesmíru a pohyby planét boli opísané veľkými a malými kruhmi, ktoré sa nazývali ptolemaiovské epicykly.
Až v 16. storočí Koperník navrhol nahradiť Ptolemaiov geocentrický model sveta heliocentrickým. To znamená, že umiestnite Slnko do stredu vesmíru a predpokladajte, že všetky planéty a spolu s nimi aj Zem sa pohybujú okolo Slnka (obr. 2).
Ryža. 2. Heliocentrický model N. Koperníka ()
Začiatkom 17. storočia nemecký astronóm Johannes Kepler po spracovaní obrovského množstva astronomických informácií získaných dánskym astronómom Tychom Brahe navrhol svoje vlastné empirické zákony, ktoré sa odvtedy nazývajú Keplerove zákony.
Všetky planéty slnečnej sústavy sa pohybujú pozdĺž kriviek nazývaných elipsa. Elipsa je jedna z najjednoduchších matematických kriviek, takzvaná krivka druhého rádu. V stredoveku sa im hovorilo kužeľové priesečníky – ak pretnete kužeľ alebo valec určitou rovinou, získate rovnakú krivku, po ktorej sa pohybujú planéty slnečnej sústavy.
Ryža. 3. Krivka pohybu planét ()
Táto krivka (obr. 3) má dva zvýraznené body, ktoré sa nazývajú ohniská. Pre každý bod elipsy je súčet vzdialeností od nej k ohniskám rovnaký. Stred Slnka (F) sa nachádza v jednom z týchto ohnísk; bod krivky najbližšie k Slnku (P) sa nazýva perihélium a najvzdialenejší bod (A) sa nazýva afélium. Vzdialenosť od perihélia k stredu elipsy sa nazýva hlavná poloos a vertikálna vzdialenosť od stredu elipsy k elipse je vedľajšia os elipsy.
Keď sa planéta pohybuje po elipse, vektor polomeru spájajúci stred Slnka s touto planétou opisuje určitú oblasť. Napríklad počas času ∆t sa planéta pohybovala z jedného bodu do druhého, vektor polomeru opísal určitú oblasť ∆S.
Ryža. 4. Druhý Keplerov zákon ()
Druhý Keplerov zákon hovorí: v rovnakých časových úsekoch opisujú vektory polomerov planét rovnaké oblasti.
Obrázok 4 ukazuje uhol ∆Θ, to je uhol rotácie vektora polomeru za určitý čas ∆t a impulz planéty (), smerujúci tangenciálne k trajektórii, rozložený na dve zložky - impulznú zložku pozdĺž vektora polomeru () a zložku impulzu v smere , kolmom na vektor polomeru (⊥).
Urobme výpočty týkajúce sa druhého Keplerovho zákona. Keplerov výrok, že rovnaké plochy sa prechádzajú v rovnakých intervaloch, znamená, že pomer týchto veličín je konštantný. Pomer týchto veličín sa často nazýva sektorová rýchlosť; je to rýchlosť zmeny polohy vektora polomeru. Aká je plocha ∆S, ktorú prenesie vektor polomeru v priebehu času ∆t? Toto je plocha trojuholníka, ktorého výška je približne rovná vektoru polomeru a základňa je približne rovná r ∆ω, pomocou tohto tvrdenia zapíšeme hodnotu ∆S v tvare ½ výšky na základ a vydelíme ∆t, dostaneme výraz:
, to je rýchlosť zmeny uhla, teda uhlová rýchlosť.
Konečný výsledok:
,
Druhá mocnina vzdialenosti od stredu Slnka, vynásobená uhlovou rýchlosťou pohybu v danom časovom okamihu, je konštantná hodnota.
Ak však vynásobíme výraz r 2 ω telesnou hmotnosťou m, dostaneme hodnotu, ktorú môžeme vyjadriť ako súčin dĺžky vektora polomeru a hybnosti v smere priečnom k vektoru polomeru:
Táto veličina, ktorá sa rovná súčinu vektora polomeru a kolmej zložky impulzu, sa nazýva „uhlová hybnosť“.
Druhý Keplerov zákon je tvrdenie, že moment hybnosti v gravitačnom poli je zachovaná veličina. To vedie k jednoduchému, ale veľmi dôležitému konštatovaniu: v bodoch najmenšej a najväčšej vzdialenosti od stredu Slnka, teda afélia a perihélia, rýchlosť smeruje kolmo na vektor polomeru, teda súčin vektora polomeru a rýchlosť v jednom bode sa rovná tomuto produktu v inom bode.
Tretí Keplerov zákon hovorí, že pomer druhej mocniny periódy rotácie planéty okolo Slnka ku tretej mocnine hlavnej poloosi je rovnaký pre všetky planéty Slnečnej sústavy.
Ryža. 5. Ľubovoľné trajektórie planét ()
Obrázok 5 zobrazuje dve ľubovoľné trajektórie planét. Jedna má explicitný tvar elipsy s dĺžkou poloosi (a), druhá má tvar kruhu s polomerom (R), časom otáčania pozdĺž ktorejkoľvek z týchto trajektórií, to znamená periódou otáčky, súvisí s dĺžkou poloosi alebo s polomerom. A ak sa elipsa zmení na kruh, potom sa hlavná os stane polomerom tohto kruhu. Tretí Keplerov zákon hovorí, že v prípade, keď sa dĺžka hlavnej poloosi rovná polomeru kružnice, periódy otáčania planét okolo Slnka budú rovnaké.
Pre prípad kruhu možno tento pomer vypočítať pomocou druhého Newtonovho zákona a zákona o pohybe telesa po kruhu, táto konštanta je 4π 2 delená konštantou univerzálnej gravitácie (G) a hmotnosťou Slnka ( M).
Je teda jasné, že ak zovšeobecníme gravitačné interakcie, ako to urobil Newton, a predpokladáme, že na gravitačných interakciách sa zúčastňujú všetky telesá, Keplerove zákony sa dajú rozšíriť aj na pohyb satelitov okolo Zeme, na pohyb satelitov okolo akejkoľvek inej planéty, na pohyb satelitov okolo Zeme a na pohyb satelitov okolo akejkoľvek inej planéty. a dokonca aj k pohybu satelitov Mesiacov okolo stredu Mesiaca. Iba na pravej strane tohto vzorca bude písmeno M znamenať hmotnosť telesa, ktoré priťahuje satelity. Všetky satelity daného vesmírneho objektu budú mať rovnaký pomer druhej mocniny obežnej doby (T 2) ku tretej mocnine hlavnej poloosi (a 3). Tento zákon možno rozšíriť na všetky telá vo vesmíre a dokonca aj na hviezdy, ktoré tvoria našu Galaxiu.
V druhej polovici dvadsiateho storočia sa zistilo, že niektoré hviezdy, ktoré sú dosť ďaleko od stredu našej Galaxie, nedodržiavajú tento Keplerov zákon. To znamená, že nevieme všetko o tom, ako funguje gravitácia v celej veľkosti našej Galaxie. Jedným z možných vysvetlení, prečo sa vzdialené hviezdy pohybujú rýchlejšie, ako vyžaduje tretí Keplerov zákon, je nasledovné: nevidíme celú hmotu Galaxie. Jeho významnú časť môže tvoriť hmota, ktorá nie je pozorovateľná našimi prístrojmi, neinteraguje elektromagneticky, nevyžaruje ani neabsorbuje svetlo a zúčastňuje sa iba gravitačnej interakcie. Táto látka sa nazývala skrytá hmota alebo temná hmota. Problémy temnej hmoty sú jedným z hlavných problémov fyziky 21. storočia.
Téma nasledujúcej hodiny: sústavy hmotných bodov, ťažisko, pohybový zákon ťažiska.
Bibliografia
- Tikhomirova S.A., Yavorsky B.M. Fyzika (základná úroveň) - M.: Mnemosyne, 2012.
- Kabardin O.F., Orlov V.A., Evenchik E.E. Physics-10. M.: Vzdelávanie, 2010.
- Otvoriť fyziku ()
- Elementy.ru ().
- Physics.ru ().
- Ency.info().
Domáca úloha
- Definujte prvý Keplerov zákon.
- Definujte druhý Keplerov zákon.
- Definujte tretí Keplerov zákon.
Keďže na stránke sú „debunkers“, ktorí tvrdia, že matematika je heréza a že gravitačná príťažlivosť medzi planétami vôbec neexistuje, pozrime sa, ako nám zákon univerzálnej gravitácie umožňuje opísať empiricky stanovené javy. Nižšie je uvedený matematický základ prvého Keplerovho zákona.
1. Historický exkurz
Najprv si pripomeňme, ako tento zákon vznikol. V roku 1589 istý Johannes Kepler (1571 - 1630) - pochádzajúci z chudobnej nemeckej rodiny - ukončil školu a nastúpil na univerzitu v Tübingene. Tam študuje matematiku a astronómiu. Navyše jeho učiteľ profesor Mestlin, ktorý je tajným obdivovateľom myšlienok Koperníka (heliocentrický svetový systém), vyučuje na univerzite „správnu“ teóriu – ptolemaiovský svetový systém (t. j. geocentrický). Čo mu však nebráni v tom, aby svojho žiaka zoznámil s myšlienkami Kopernika a čoskoro sa sám stáva presvedčeným zástancom tejto teórie.
V roku 1596 Kepler publikoval svoje Kozmografické tajomstvo. Dielo má síce aj v tej dobe pochybnú vedeckú hodnotu, no napriek tomu nezostalo bez povšimnutia dánskeho astronóma Tycha Brahe, ktorý sa už štvrťstoročie venoval astronomickým pozorovaniam a výpočtom. Všíma si samostatné myslenie a znalosti astronómie mladého vedca.
Od roku 1600 Johann pracoval ako Braheho asistent. Po jeho smrti v roku 1601 začal Kepler študovať výsledky prác Tycha Brahe - údaje z dlhoročných astronomických pozorovaní. Faktom je, že na konci 16. storočia začali pruské tabuľky (tabuľky pohybu nebeských telies, vypočítané na základe Kopernikovho učenia) dávať značné nezrovnalosti s pozorovanými údajmi: chyba v polohe planéty dosiahli 4-50.
Na vyriešenie problému bol Kepler nútený skomplikovať Koperníkovu teóriu. Opúšťa myšlienku, že planéty sa pohybujú po kruhových dráhach, čo mu v konečnom dôsledku umožňuje vyriešiť problém nesúladu medzi teóriou a pozorovanými údajmi. Podľa jeho zistení sa planéty pohybujú po eliptických dráhach, pričom Slnko sa nachádza v jednom z jeho ohnísk. Takže vzdialenosť medzi planétou a Slnkom sa pravidelne mení. Tento výstup je známy ako Keplerov prvý zákon.
2. Matematické zdôvodnenie
Pozrime sa teraz, ako sa prvý Keplerov zákon zhoduje so zákonom univerzálnej gravitácie. Aby sme to dosiahli, odvodíme zákon pohybu telesa v gravitačnom poli, ktoré má sférickú symetriu. V tomto prípade je splnený zákon zachovania momentu hybnosti telesa $\vec(L)=[\vec(r),\vec(p)]$. To znamená, že teleso sa bude pohybovať v rovine kolmej na vektor $\vec(L)$ a orientácia tejto roviny v priestore je nezmenená. V tomto prípade je vhodné použiť polárny súradnicový systém $(r, \phi)$ s počiatkom v zdroji gravitačného poľa (t.j. vektor $\vec(r)$ je kolmý na vektor $\ vec(L)$). Tie. Jedno z telies (Slnko) umiestnime do počiatku súradníc a nižšie odvodíme v tomto prípade zákon pohybu druhého telesa (planéty).
Normálová a tangenciálna zložka vektora rýchlosti druhého telesa vo vybranom súradnicovom systéme sú vyjadrené nasledujúcimi vzťahmi (ďalej bodka znamená deriváciu času):
$$ V_(r)=\bodka(r); V_(n)=r\bodka(\phi) $$
Zákon zachovania energie a momentu hybnosti má v tomto prípade nasledujúci tvar:
$$E = \frac(m\bodka(r)^2)(2)+\frac(m(r\bodka(\phi))^2)(2)-\frac(GMm)(r)=konst \hspace(3cm)(2.1)$$ $$L = mr^2\bodka(\phi)=const \hspace(3cm)(2.2)$$
$G$ je gravitačná konštanta, $M$ je hmotnosť centrálneho telesa, $m$ je hmotnosť „satelitu“, $E$ je celková mechanická energia „satelitu“, $L$ je hodnotu jeho momentu hybnosti.
Vyjadrením $\bodka(\phi)$ z (2.2) a jeho dosadením do (2.1) dostaneme:
$$ E = \frac(m\bodka(r)^2)(2)+\frac(L^2)(2mr^2)-\frac(GMm)(r) \hspace(3cm)(2,3) $ $
Prepíšme výsledný vzťah takto:
$$ dt=\frac(dr)(\sqrt(\frac(2)(m)(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r)))) \hspace (3 cm) (2,4) $$
Zo vzťahu (2.2) vyplýva:
$$ d\phi=\frac(L)(mr^2)dt $$
Nahradením výrazu (2.4) namiesto $dt$ dostaneme:
$$ d\phi=\frac(L)(r^2)\frac(dr)(\sqrt(2m(E-\frac(L^2)(2mr^2)+\frac(GMm)(r) ))) \hspace(3cm)(2,5) $$
Na integráciu výsledného výrazu prepíšeme výraz pod koreň v zátvorkách v nasledujúcom tvare:
$$ E-((\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2 - \frac(GMm)(r) + \frac(L^2)(2mr^2) ) + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ =E-(\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2 )L)-\frac(L)(r\sqrt(2mr)))^2 + (\frac(GMm^(3/2))(\sqrt(2)L))^2=$$ $$ = \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)(L^ 2)-\frac(1)(r))^2) $$
Predstavme si nasledujúci zápis:
$$ \frac(GMm^2)(L^2)\equiv\frac(1)(p) $$
Pokračovaním v transformáciách dostaneme:
$$ \frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2)+(\frac(GMm^2)(L^2))^2-(\frac(GMm^2)( L^2)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(2mE)(L^2) + \frac(1)( p^2)-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2)=$$ $$\frac(L^2)(2m)(\frac(1)(p ^2)(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))-(\frac(1)(p)-\frac(1)(r))^2) $$
Predstavme si notáciu:
$$ 1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3) \ekviv e^2 $$
V tomto prípade má prevedený výraz nasledujúcu formu:
$$ \frac(L^2e^2)(2mp^2)(1-(\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)))^2 ) $$
Pre pohodlie uvádzame nasledujúcu premennú:
$$ z=\frac(p)(e) (\frac(1)(p)-\frac(1)(r)) $$
Teraz má rovnica (2.5) tvar:
$$ d\phi=\frac(p)(er^2)\frac(dr)(\sqrt(1-z^2))=\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))\ hspace (3 cm) (2,6) $ $
Integrujme výsledný výraz:
$$ \phi(r)=\int\frac(dz)(\sqrt(1-z^2))=\arcsin(z)-\phi_0 $$
Tu je $\phi_0$ integračná konštanta.
Nakoniec dostaneme zákon pohybu:
$$ r(\phi)=\frac(p)(1-e\sin((\phi+\phi_0))) $$
Nastavením integračnej konštanty $\phi_0=\frac(3\pi)(2)$ (táto hodnota zodpovedá extrému funkcie $r(\phi)$) nakoniec dostaneme:
| $$r(\phi)=\frac(p)(1+e\cos(\phi)) \hspace(3cm)(2,7)$$ $$p=\frac(L^2)(GMm^2) $$ $$e=\sqrt(1+\frac(2EL^2)((GM)^2m^3))$$ |
Z priebehu analytickej geometrie je známe, že výraz získaný pre funkciu $r(\phi)$ popisuje krivky druhého rádu: elipsu, parabolu a hyperbolu. Parametre $p$ a $e$ sa nazývajú ohniskový parameter a excentricita krivky. Ohniskový parameter môže mať akúkoľvek kladnú hodnotu a hodnota excentricity určuje typ trajektórie: ak $e\in)
