ความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาดอกเบี้ย

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ราคาตู้เย็นในร้านค้าเพิ่มขึ้นด้วย ราคาเท่าไหร่ถ้าตู้เย็นเริ่มต้น RUB?

สารละลาย:

เริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่ามีการเปลี่ยนแปลงกี่รูเบิล (ในกรณีนี้เพิ่มขึ้น) ราคาของตู้เย็น

ตามเงื่อนไข-เปิด

แต่จากอะไร?

แน่นอนจากราคาเริ่มต้นของตู้เย็น - รูเบิล

ปรากฎว่าเราต้องหาจากการถู:

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าราคาเพิ่มขึ้น RUB

ตามกฎแล้วจะเพิ่มจำนวนการเปลี่ยนแปลงในต้นทุนเริ่มต้นเท่านั้น:

ราคาใหม่ของรูเบิล

ตัวอย่างอื่น(ลองแก้เอง) :

หนังสือ "Mathematics for Dummies" ในร้านค้าราคา RUB ในช่วงโปรโมชั่น หนังสือลดราคาทุกเล่ม

ต้องจ่ายเท่าไหร่สำหรับหนังสือเล่มนี้ตอนนี้?

สารละลาย:

ส่วนลดคืออะไร คุณอาจจะรู้? ส่วนลดหมายความว่าต้นทุนของสินค้าลดลงโดย

ราคาของหนังสือ (เป็นรูเบิล) ลดลงเท่าไหร่?

คุณต้องค้นหาจากต้นทุนเริ่มต้นในรูเบิล:

ราคาลดลง ซึ่งหมายความว่าคุณต้องลบออกจากต้นทุนเริ่มต้นด้วยจำนวนเงินที่ลดลง:

ราคาใหม่ของรูเบิล

ง่ายใช่มั้ย?

แต่มีวิธีที่จะทำให้การแก้ปัญหานี้ง่ายยิ่งขึ้นและสั้นลง!

ลองพิจารณาตัวอย่าง:

เพิ่มจำนวนโดย

เท่ากับจากอะไร?

อย่างที่เราทราบก่อนหน้านี้ก็จะเป็น

ทีนี้มาเพิ่มจำนวน x กันด้วยจำนวนนี้:

ปรากฎว่าด้วยเหตุนี้เราจึงเพิ่มเครื่องหมายทศนิยมและคูณด้วยตัวเลข

มาสรุปกฎนี้กัน:

สมมุติว่าเราต้องเพิ่มจำนวนขึ้นอีก

จากจำนวนคือ

จากนั้นหมายเลขใหม่จะเป็น:.

ตัวอย่างเช่น มาเพิ่มจำนวนโดย:

ตอนนี้ลองด้วยตัวคุณเอง:

1. เพิ่มจำนวนโดย
2. เพิ่มจำนวนโดย
3. จำนวนที่มากกว่าจำนวนเป็นกี่เปอร์เซ็นต์?

โซลูชั่น:

3) ให้ปริมาณที่ต้องการ เปอร์เซ็นต์เท่ากับ

ซึ่งหมายความว่าหากคุณเพิ่มจำนวนขึ้น คุณจะได้รับ:

ตอบไป.

หากจำเป็นต้องลดจำนวน x ทุกอย่างจะเหมือนเดิม:

ดังนั้นกฎคือ:

ตัวอย่าง:

1) ลดจำนวนโดย

2) เปิด กี่เปอร์เซ็นต์เป็นจำนวนที่น้อยกว่าจำนวน?

3) ราคาสินค้าลดราคาเท่ากับ p. ราคาไม่มีส่วนลดเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

2) จำนวนลดลง x เปอร์เซ็นต์และได้รับ:

ตอบไป.

3) ให้ราคาที่ไม่มีส่วนลดเป็น ปรากฎว่า x ลดลงและได้รับ:

สุดท้าย ลองพิจารณางานประเภทอื่นที่มักทำให้เกิดความสับสน

การแก้ปัญหาที่ซับซ้อนเพื่อความสนใจ

จำนวนมากกว่าจำนวนโดย บน กี่เปอร์เซ็นต์เป็นจำนวนที่น้อยกว่าจำนวน?

ช่างเป็นคำถามที่แปลกมาก: แน่นอน!

ถูกต้อง?

แต่ไม่มี.

ตัวอย่างเช่น ถ้ามวลของตู้หนึ่งมากกว่ามวลของอีกตู้หนึ่ง 25 กก. ดังนั้น มวลของตู้ที่สองจะน้อยกว่ามวลของตู้แรกอย่างไม่ต้องสงสัย 25 กก.

จมูก เปอร์เซ็นต์ดังนั้นมันจะไม่ทำงาน!

อันที่จริง ในกรณีแรก เมื่อเรากล่าวว่าจำนวนมากกว่าจำนวนนั้น เราจะนับจากจำนวนนั้น และในกรณีที่สอง เมื่อเราบอกว่าจำนวนน้อยกว่าตัวเลข เราก็นับจากจำนวนนั้น และเนื่องจากตัวเลขต่างกัน ตัวเลขเหล่านี้ก็จะต่างกันด้วย!

เพื่อแก้ปัญหานี้ให้ถูกต้อง ลองเขียนเงื่อนไขในรูปของสมการ:

จำนวนมากกว่าจำนวนโดย ซึ่งหมายความว่าหากจำนวนเพิ่มขึ้นเราได้รับจำนวน:

ตอนนี้ให้เราเขียนคำถามในรูปแบบนี้: ถ้าจำนวน a ลดลงโดย เปอร์เซ็นต์, เราได้รับหมายเลข:

ให้เราแสดงจำนวนจากความเท่าเทียมกัน (1):

และแทนที่ใน (2):

ดังต่อไปนี้:

ดังนั้นเราจึงได้รับว่าจำนวนน้อยกว่าจำนวน!

งานดังกล่าวมักจะเจอในการสอบ

ตัวอย่างเช่น:

ในวันจันทร์ หุ้นของบริษัทขึ้นราคาเป็นจำนวนหนึ่ง เปอร์เซ็นต์และวันอังคารก็ตกเลขเดิม เปอร์เซ็นต์... เป็นผลให้พวกเขาเริ่มมีต้นทุนน้อยกว่าตอนเปิดการซื้อขายในวันจันทร์ บน กี่เปอร์เซ็นต์หุ้นของบริษัทขึ้นราคาในวันจันทร์หรือไม่?

สารละลาย:

ให้ราคาหุ้นวันจันทร์เท่ากันและปริมาณที่ต้องการ เปอร์เซ็นต์เขียนเป็นเศษส่วนทศนิยม (คือหารด้วย) เท่ากับ

ให้เราเขียนสูตรว่ามูลค่าหุ้นหลังจากราคาเพิ่มขึ้นเป็นเท่าใด:

นอกจากนี้ เป็นที่ทราบกันว่าราคาสุดท้ายนี้ต่ำกว่าราคาเริ่มต้น นั่นคือถ้าเราลดลงเราได้รับ:

แทนแสดงก่อนหน้านี้:

ตามสามัญสำนึกมีเพียงการตัดสินใจเชิงบวกเท่านั้นที่เหมาะสม:

ให้เราระลึกว่านี่เป็นเพียงสัญกรณ์ทศนิยมของปริมาณที่ต้องการเท่านั้น เปอร์เซ็นต์นั่นคือจำนวนเงินนี้ เปอร์เซ็นต์แบ่งตาม. แปลเป็น น่าสนใจคุณต้องคูณด้วย 100%:

เราใช้ความสนใจในชีวิตที่ไหน?

ตัวอย่างเช่น ในผลิตภัณฑ์ธนาคาร: เงินฝาก สินเชื่อ จำนอง ฯลฯ

หากคุณเข้าใจดีว่าดอกเบี้ยคืออะไรและรู้วิธีแก้สมการ คุณก็คำนวณได้ง่ายๆ เช่น ขนาดของเงินกู้รายเดือน

หรือเท่าไหร่ที่คุณต้องจ่ายมากเกินไปโดยการจำนอง มีงานดังกล่าวในการสอบที่หมายเลข 17

ความสนใจ. สั้น ๆ เกี่ยวกับหลัก

หนึ่งเปอร์เซ็นต์ของจำนวนใดๆ เท่ากับหนึ่งในร้อยของจำนวนนั้น

1. เปอร์เซ็นต์และทศนิยม

2. เปลี่ยนตัวเลขเป็นเปอร์เซ็นต์

สมมติว่าคุณต้องการเพิ่มจำนวนโดย

จากจำนวนคือ

จากนั้นหมายเลขใหม่จะเป็น:.

หากต้องการเพิ่มจำนวน คุณต้องคูณมันด้วย

หากจำเป็นต้องลดจำนวนลง ให้ทำดังนี้

การลดจำนวนด้วยจำนวนหนึ่งหมายถึงการลบค่านี้ออกจากมัน:

หากต้องการลดจำนวนลง คุณต้องคูณมันด้วย

เรายังคงศึกษาปัญหาเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์ต่อไป บทเรียนนี้เกี่ยวกับปัญหาดอกเบี้ย เราจะพิจารณางานหลายอย่างและพิจารณาประเด็นที่ไม่ได้กล่าวถึงก่อนหน้านี้ในการศึกษาที่สนใจ โดยพิจารณาว่าในตอนแรกพวกเขาสร้างความยากลำบากในการเรียนรู้

งานส่วนใหญ่เกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ต้องอาศัยการหาเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข การค้นหาตัวเลขเป็นเปอร์เซ็นต์ การแสดงส่วนใดๆ เป็นเปอร์เซ็นต์ หรือการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ ตัวเลข ปริมาณเป็นเปอร์เซ็นต์

ทักษะเบื้องต้น เนื้อหาบทเรียน

วิธีการหาความสนใจ

สามารถหาเปอร์เซ็นต์ได้หลายวิธี วิธีที่นิยมมากที่สุดคือการหารตัวเลขด้วย 100 แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยเปอร์เซ็นต์ที่ต้องการ

ตัวอย่างเช่น หากต้องการหา 60% ของ 200 rubles คุณต้องแบ่ง 200 rubles เหล่านี้ออกเป็นหนึ่งร้อยส่วนเท่า ๆ กัน:

200 รูเบิล: 100 = 2 รูเบิล

เมื่อเราหารจำนวนด้วย 100 เราจะหาหนึ่งเปอร์เซ็นต์ของจำนวนนั้น ดังนั้นเมื่อแบ่ง 200 rubles เป็น 100 ส่วนเราพบ 1% ของสองร้อย rubles โดยอัตโนมัตินั่นคือเราพบว่าหนึ่งส่วนต้องใช้ rubles กี่รู ดังที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ส่วนหนึ่ง (หนึ่งเปอร์เซ็นต์) คิดเป็น 2 รูเบิล

1% ของ 200 rubles - 2 rubles

เมื่อทราบจำนวนรูเบิลในส่วนหนึ่ง (1%) คุณสามารถค้นหาจำนวนรูเบิลในสองส่วน สาม สี่ ห้า เป็นต้น นั่นคือคุณสามารถหาเปอร์เซ็นต์ได้จำนวนเท่าใดก็ได้ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะคูณ 2 rubles เหล่านี้ด้วยจำนวนชิ้นส่วนที่ต้องการ (เปอร์เซ็นต์) มาหากันหกสิบชิ้น (60%)

2 rubles × 60 = 120 rubles

2 rubles × 5 = 10 rubles

ค้นหา 90%

2 rubles × 90 = 180 rubles

ค้นหา 100%

2 rubles × 100 = 200 rubles

100% คือทั้งหมดหนึ่งร้อยส่วนและทั้งหมดคือ 200 รูเบิล

วิธีที่สองคือแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนธรรมดาและหาเศษส่วนนี้จากตัวเลขที่คุณต้องการหาเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างเช่น ลองหา 60% ของ 200 rubles ที่เหมือนกัน ก่อนอื่น ให้แทน 60% เป็นเศษส่วน 60% เป็นหกสิบส่วนของร้อย นั่นคือ หกสิบในร้อย:

ตอนนี้งานสามารถเข้าใจได้ว่า « หาจาก 200รูเบิล " ... นี่คือสิ่งที่เราศึกษาก่อนหน้านี้ จำไว้ว่าในการหาเศษส่วนของตัวเลข คุณต้องหารตัวเลขนี้ด้วยตัวส่วนของเศษส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยตัวเศษของเศษส่วน

200: 100 = 2

2 × 60 = 120

หรือคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน ():

วิธีที่สามคือการแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมและคูณตัวเลขด้วยทศนิยมนั้น

ตัวอย่างเช่น ลองหา 60% ของ 200 rubles ที่เหมือนกัน อันดับแรก เราแทน 60% เป็นเศษส่วน 60% เปอร์เซ็นต์คือหกสิบส่วนจากร้อย

ลองหารในส่วนนี้ ย้ายเครื่องหมายจุลภาคเป็นตัวเลข 60 สองหลักไปทางซ้าย:

ตอนนี้เราพบ 0.60 จาก 200 rubles ในการหาเศษส่วนทศนิยมของตัวเลข คุณต้องคูณตัวเลขนี้ด้วยเศษส่วนทศนิยม:

200 × 0.60 = 120 รูเบิล

วิธีการหาเปอร์เซ็นต์ที่ให้มาเป็นวิธีที่สะดวกที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากบุคคลคุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลข วิธีนี้ช่วยให้คุณหาเปอร์เซ็นต์ได้ในขั้นตอนเดียว

ตามกฎแล้ว การแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วนทศนิยมไม่ใช่เรื่องยาก พอเพียงเพื่อนำหน้า "จำนวนเต็มศูนย์" ก่อนเปอร์เซ็นต์หากเปอร์เซ็นต์เป็นตัวเลขสองหลัก หรือเพิ่ม "จำนวนเต็มศูนย์" และอีกศูนย์หากเปอร์เซ็นต์เป็นตัวเลขหลักเดียว ตัวอย่าง:

60% = 0.60 - กำหนดจำนวนเต็มศูนย์ก่อน 60 เนื่องจาก 60 เป็นตัวเลขสองหลัก

6% = 0.06 - กำหนดจำนวนเต็มศูนย์และอีกหนึ่งศูนย์ก่อนหมายเลข 6 เนื่องจากหมายเลข 6 เป็นตัวเลขหลักเดียว

เมื่อหารด้วย 100 เราใช้วิธีการย้ายเครื่องหมายจุลภาคสองหลักไปทางซ้าย ในคำตอบ 0.60 ศูนย์หลังจากหมายเลข 6 ถูกรักษาไว้ แต่ถ้าคุณทำการหารด้วยมุมศูนย์จะหายไป - คำตอบคือ 0.6

ต้องจำไว้ว่าเศษส่วนทศนิยม 0.60 และ 0.6 มีค่าเท่ากัน:

0,60 = 0,6

ใน "มุม" เดียวกัน คุณสามารถหารต่อไปเรื่อยๆ ได้ไม่จำกัด ทุกครั้งที่กำหนดศูนย์ให้กับเศษที่เหลือ แต่นี่จะเป็นการกระทำที่ไม่มีความหมาย:

คุณสามารถแสดงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมไม่เพียงแค่หารด้วย 100 แต่ยังคูณด้วยการคูณด้วย เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ (%) แทนที่ตัวคูณ 0.01 และถ้าเราพิจารณาว่าจำนวนเปอร์เซ็นต์และเครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ถูกเขียนเข้าด้วยกัน เครื่องหมายคูณ (×) ที่ "มองไม่เห็น" ระหว่างกันจะมี

ดังนั้นรายการ 45% จึงมีลักษณะดังนี้:

แทนที่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ด้วยตัวประกอบ 0.01

การคูณด้วย 0.01 ทำได้โดยการย้ายเครื่องหมายจุลภาคสองหลักไปทางซ้าย:

ปัญหา 1... งบประมาณของครอบครัวคือ 75,000 รูเบิลต่อเดือน 70% เป็นเงินที่พ่อหามาได้ แม่ได้เงินเท่าไหร่?

สารละลาย

100 เปอร์เซ็นต์เท่านั้น ถ้าพ่อได้เงิน 70% แล้วแม่จะได้เงินอีก 30% ที่เหลือ

งาน2... งบประมาณของครอบครัวคือ 75,000 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ 70% เป็นเงินที่พ่อหามาได้ และ 30% เป็นเงินที่แม่หามาได้ แต่ละคนทำเงินได้เท่าไหร่?

สารละลาย

มาหา 70 และ 30 เปอร์เซ็นต์ของ 75,000 rubles นี้จะกำหนดจำนวนเงินที่ได้รับ เพื่อความสะดวก 70% และ 30% จะถูกเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยม:

75 × 0.70 = 52.5 (พันรูเบิลที่พ่อได้รับ)

75 × 0.30 = 22.5 (พันรูเบิลแม่ได้รับ)

การตรวจสอบ

52,5 + 22,5 = 75

75 = 75

ตอบ: 52.5 พันรูเบิล พ่อได้รับ 22.5 รูเบิล แม่ได้รับ

ปัญหา3... เมื่อเย็นตัวลง ขนมปังจะสูญเสียน้ำหนักมากถึง 4% อันเป็นผลมาจากการระเหยของน้ำ กี่กิโลกรัมจะระเหยเมื่อขนมปัง 12 ตันเย็นลง

สารละลาย

มาแปล 12 ตันเป็นกิโลกรัมกัน หนึ่งตันมีหนึ่งพันกิโลกรัมและมากกว่า 12 เท่าใน 12 ตัน:

1,000 × 12 = 12,000 กก.

ตอนนี้เราจะพบ 4% ของ 12000 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นคำตอบของปัญหา:

12,000 × 0.04 = 480 กก.

ตอบ: เมื่อขนมปัง 12 ตันเย็นตัวลง 480 กิโลกรัมจะระเหยไป

ปัญหา 4... แอปเปิ้ลสูญเสียน้ำหนัก 84% เมื่อแห้ง แอปเปิ้ลสด 300 กก. จะได้แอปเปิลแห้งกี่ผล?

พบ 84% ของ 300 กก.

300: 100 × 84 = 252 กก.

ผลจากการทำให้แห้ง แอปเปิลสด 300 กก. จะลดน้ำหนักได้ 252 กก. ตอบคำถามว่าได้แอปเปิ้ลแห้งกี่ผล คุณต้องลบ 252 จาก 300

300 - 252 = 48 กก.

ตอบ: แอปเปิ้ลสด 300 กก. จะทำให้แอปเปิ้ลแห้ง 48 กก.

ปัญหา 5... เมล็ดถั่วเหลืองมีน้ำมัน 20% น้ำมันถั่วเหลือง 700 กิโลกรัมมีเท่าไหร่?

สารละลาย

หา 20% ของ 700 กก.

700 × 0.20 = 140 กก.

ตอบ: ถั่วเหลือง 700 กก. มีน้ำมัน 140 กก.

ปัญหา 6... บัควีทมีโปรตีน 10% ไขมัน 2.5% และคาร์โบไฮเดรต 60% ผลิตภัณฑ์เหล่านี้มีอยู่กี่ชิ้นใน 14.4 quintals ของบัควีท?

สารละลาย

แปลง 14.4 เซ็นต์เข้าไปกิโลกรัม. ในหนึ่งเซ็นต์ 100 กิโลกรัม ใน 14.4 เซ็นต์ มากกว่า 14.4 เท่า

100 × 14.4 = 1440 กก.

ค้นหา 10%, 2.5% และ 60% ของ 1440 กก.

1440 × 0.10 = 144 (โปรตีนกิโลกรัม)

1440 × 0.025 = 36 (ไขมันกก.)

1440 × 0.60 = 864 (คาร์โบไฮเดรตกิโลกรัม)

ตอบ: บัควีท 14.4 ซีซี มีโปรตีน 144 กก. ไขมัน 36 กก. คาร์โบไฮเดรต 864 กก.

ปัญหา7... สำหรับเรือนเพาะชำ นักเรียนเก็บเมล็ดโอ๊ก อะคาเซีย ลินเด็น และเมเปิ้ล 60 กก. โอ๊กคิดเป็น 60% เมล็ดเมเปิ้ล 15% เมล็ดลินเด็น 20% ของเมล็ดทั้งหมดและส่วนที่เหลือเป็นเมล็ดอะคาเซีย นักเรียนเก็บเมล็ดกระถินเทศได้กี่กิโลกรัม

สารละลาย

มาดูเมล็ดโอ๊ค อะคาเซีย ลินเด็น และเมเปิลกัน 100% ลบเปอร์เซ็นต์ที่แสดงเมล็ดโอ๊ค ลินเด็น และเมเปิ้ลออกจาก 100% เหล่านี้ ดังนั้นเราจึงหาว่าเมล็ดอะคาเซียมีกี่เปอร์เซ็นต์:

100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%

ตอนนี้เราพบเมล็ดของกระถิน:

60 × 0.05 = 3 กก.

ตอบ: เด็กนักเรียนเก็บเมล็ดกระถินเทศ 3 กก.

การตรวจสอบ:

60 x 0.60 = 36

60 × 0.15 = 9

60 x 0.20 = 12

60 × 0.05 = 3

36 + 9 + 12 + 3 = 60

60 = 60

ปัญหา8... ชายคนหนึ่งซื้ออาหาร นมมีราคา 60 รูเบิลซึ่งคิดเป็น 48% ของต้นทุนของการซื้อทั้งหมด กำหนดจำนวนเงินทั้งหมดที่ใช้ไปกับร้านขายของชำ

สารละลาย

นี่คืองานในการหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์ ซึ่งก็คือส่วนที่ทราบอยู่แล้ว ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้สองวิธี อย่างแรกคือการแสดงจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่ทราบเป็นเศษส่วนทศนิยมและหาจำนวนที่ไม่รู้จักจากเศษส่วนนี้

แสดง 48% เป็นทศนิยม

48% : 100 = 0,48

เมื่อรู้ว่า 0.48 คือ 60 รูเบิล เราสามารถกำหนดผลรวมของการซื้อทั้งหมดได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาจำนวนที่ไม่รู้จักด้วยเศษส่วนทศนิยม:

60: 0.48 = 125 รูเบิล

ซึ่งหมายความว่าจำนวนเงินทั้งหมดที่ใช้ไปกับร้านขายของชำคือ 125 รูเบิล

วิธีที่สองคือการหาจำนวนเงินในหนึ่งเปอร์เซ็นต์ก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วย 100

48% คือ 60 รูเบิล ถ้าเราหาร 60 rubles ด้วย 48 เราจะหาจำนวน rubles ที่ 1%

60: 48% = 1.25 รูเบิล

1% คิดเป็น 1.25 รูเบิล เปอร์เซ็นต์ทั้งหมด 100 ถ้าเราคูณ 1.25 รูเบิลด้วย 100 เราจะได้จำนวนเงินทั้งหมดที่ใช้ไปกับอาหาร

1.25 × 100 = 125 รูเบิล

ปัญหา 9... 35% ของลูกพลัมแห้งมาจากลูกพลัมสด ต้องใช้ลูกพลัมสดกี่ลูกจึงจะได้ลูกพลัมตากแห้ง 140 กก. จะได้รับลูกพลัมแห้งจำนวนเท่าใดจากลูกพลัมสด 600 กิโลกรัม?

สารละลาย

เราแสดง 35% เป็นเศษส่วนทศนิยมและค้นหาจำนวนที่ไม่รู้จักจากเศษส่วนนี้:

35% = 0,35

140: 0.35 = 400 กก.

เพื่อให้ได้ลูกพลัมแห้ง 140 กก. คุณต้องกินลูกพลัมสด 400 กก.

มาตอบคำถามที่สองของปัญหากัน - ลูกพลัมแห้งจำนวน 600 กิโลกรัมจะออกมาเป็นลูกพลัมแห้งกี่กิโลกรัม? หาก 35% ของลูกพลัมแห้งออกมาจากลูกพลัมสด ก็เพียงพอแล้วที่จะหาลูกพลัมสด 35% ของ 600 กิโลกรัมเหล่านี้

600 × 0.35 = 210 กก.

ตอบ: เพื่อให้ได้ลูกพลัมแห้ง 140 กก. คุณต้องกินลูกพลัมสด 400 กก. จากพลัมสด 600 กก. ลูกพลัมแห้ง 210 กก. จะปรากฏขึ้น

ปัญหา 10... การดูดซึมของไขมันโดยร่างกายมนุษย์คือ 95% ในช่วงเดือนที่นักเรียนบริโภคไขมัน 1.2 กก. ร่างกายของเขาสามารถดูดซับไขมันได้มากแค่ไหน?

สารละลาย

แปลง 1.2 กิโลกรัมเข้าไปกรัม

1.2 × 1,000 = 1200g

ค้นหา 95% ของ 1200 g

1200 x 0.95 = 1140 กรัม

ตอบ: ไขมัน 1140 กรัม ร่างกายของนักเรียนดูดซึมได้

การแสดงตัวเลขเป็นเปอร์เซ็นต์

เปอร์เซ็นต์ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะหารจำนวนเปอร์เซ็นต์เหล่านี้ด้วย 100 ตัวอย่างเช่น เราแทน 12% เป็นเศษส่วนทศนิยม:

ความคิดเห็น ตอนนี้เราไม่พบเปอร์เซ็นต์ของบางสิ่ง แต่เขียนมันเป็นเศษส่วนทศนิยม.

แต่กระบวนการย้อนกลับก็เป็นไปได้เช่นกัน เศษส่วนทศนิยมสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณเศษส่วนนี้ด้วย 100 และใส่เครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ (%)

เขียนทศนิยม 0.12 เป็นเปอร์เซ็นต์

0.12 x 100 = 12%

การกระทำนี้เรียกว่า เป็นเปอร์เซ็นต์หรือ แสดงตัวเลขเป็นร้อย.

การคูณและการหารเป็นการดำเนินการผกผัน ตัวอย่างเช่น ถ้า 2 × 5 = 10 แล้ว 10: 5 = 2

ในทำนองเดียวกัน การหารสามารถเขียนในลำดับที่กลับกัน ถ้า 10: 5 = 2 แล้ว 2 × 5 = 10:

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นเมื่อเราแสดงเศษส่วนทศนิยมเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้น 12% ถูกแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมดังนี้: 12: 100 = 0.12 แต่จากนั้น 12% เดียวกันก็ "ส่งคืน" โดยใช้การคูณโดยเขียนนิพจน์ 0.12 × 100 = 12%

ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขอื่นๆ รวมทั้งจำนวนเต็มได้ ตัวอย่างเช่น ให้แสดงตัวเลข 3 เป็นเปอร์เซ็นต์ คูณตัวเลขนี้ด้วย 100 และเพิ่มเครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ลงในผลลัพธ์:

3 × 100 = 300%

เปอร์เซ็นต์ขนาดใหญ่เช่น 300% อาจทำให้สับสนในตอนแรก เนื่องจากผู้คนมักนับ 100% เป็นค่าสูงสุด จากข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเศษส่วน เรารู้ว่าวัตถุทั้งหมดหนึ่งชิ้นสามารถแทนด้วยวัตถุหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น หากมีเค้กที่ยังไม่ได้เจียระไนทั้งชิ้น สามารถเขียนแทนด้วย 1

เค้กชนิดเดียวกันสามารถเรียกได้ว่าเป็นเค้ก 100% ในกรณีนี้ ทั้ง 1 และ 100% จะหมายถึงเค้กทั้งหมดเหมือนกัน:

ตัดเค้กครึ่งหนึ่ง ในกรณีนี้ หนึ่งจะกลายเป็นเลขทศนิยม 0.5 (เนื่องจากเป็นครึ่งหนึ่ง) และ 100% จะกลายเป็น 50% (เนื่องจาก 50 เป็นครึ่งหนึ่งของร้อย)

ขอคืนเค้กทั้งก้อนหนึ่งหน่วยและ 100%

ลองวาดเค้กอีกสองชิ้นที่มีการกำหนดเหมือนกัน:

ถ้าเค้กหนึ่งชิ้นเป็นหน่วย เค้กสามชิ้นก็จะเป็นสามหน่วย เค้กแต่ละชิ้นมีทั้งหมดร้อยเปอร์เซ็นต์ หากคุณบวกสามร้อยนี้ คุณจะได้ 300%

ดังนั้น เมื่อแปลงจำนวนเต็มเป็นเปอร์เซ็นต์ เราจะคูณตัวเลขเหล่านี้ด้วย 100

งาน2... แสดงตัวเลข 5 เป็นเปอร์เซ็นต์

5 × 100 = 500%

ปัญหา3... แสดงเลข 7 เป็นเปอร์เซ็นต์

7 × 100 = 700%

ปัญหา 4... แสดงตัวเลข 7.5 เป็นเปอร์เซ็นต์

7.5 × 100 = 750%

ปัญหา 5... แสดงตัวเลข 0.5 เป็นเปอร์เซ็นต์

0.5 × 100 = 50%

ปัญหา 6... แสดงตัวเลข 0.9 เป็นเปอร์เซ็นต์

0.9 × 100 = 90%

ตัวอย่าง 7... แสดงตัวเลข 1.5 เป็นเปอร์เซ็นต์

1.5 × 100 = 150%

ตัวอย่างที่ 8... แสดงตัวเลข 2.8 เป็นเปอร์เซ็นต์

2.8 × 100 = 280%

ปัญหา 9... จอร์จเดินกลับบ้านจากโรงเรียน ในช่วงสิบห้านาทีแรก เขาครอบคลุมเส้นทาง 0.75 เวลาที่เหลือ เขาครอบคลุมเส้นทาง 0.25 ที่เหลือ แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของเส้นทางที่จอร์จเดินทางไป

สารละลาย

0.75 × 100 = 75%

0.25 × 100 = 25%

ปัญหา 10... จอห์นได้รับการปฏิบัติให้เป็นแอปเปิ้ลครึ่งลูก แสดงครึ่งนี้เป็นเปอร์เซ็นต์

สารละลาย

แอปเปิ้ลครึ่งลูกเขียนเป็นเศษส่วนของ 0.5 หากต้องการแสดงเศษส่วนนี้เป็นเปอร์เซ็นต์ ให้คูณด้วย 100 แล้วบวกเครื่องหมายเปอร์เซ็นต์ลงในผลลัพธ์

0.5 × 100 = 50%

อะนาล็อกเศษส่วน

ค่าที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์จะมีค่าที่เหมือนกันในรูปของเศษส่วนปกติ ดังนั้น อะนาล็อกสำหรับ 50% จึงเป็นเศษส่วน ห้าสิบเปอร์เซ็นต์สามารถเรียกได้ว่าครึ่งหนึ่ง

แอนะล็อก 25% เป็นเศษส่วน ร้อยละยี่สิบห้าสามารถเรียกได้ว่าเป็นหนึ่งในสี่

แอนะล็อก 20% เป็นเศษส่วน ยี่สิบเปอร์เซ็นต์สามารถเรียกได้ว่าเป็นหนึ่งในห้า

อะนาล็อกสำหรับ 40% เป็นเศษส่วน

แอนะล็อกสำหรับ 60% คือเศษส่วน

ตัวอย่าง 1... ห้าเซนติเมตรเท่ากับ 50% ของเดซิเมตรหรือเพียงครึ่งเดียว ในทุกกรณี เรากำลังพูดถึงค่าเดียวกัน - ห้าเซนติเมตรจากสิบ

ตัวอย่างที่ 2... สองเซนติเมตรครึ่งคือ 25% ของเดซิเมตรหรือเพียงหนึ่งในสี่

ตัวอย่างที่ 3... สองเซนติเมตรคือ 20% ของเดซิเมตรหรือ

ตัวอย่างที่ 4... สี่เซนติเมตรคือ 40% ของเดซิเมตรหรือ

ตัวอย่างที่ 5... หกเซนติเมตรเท่ากับ 60% ของเดซิเมตรหรือ

ลดและเพิ่มดอกเบี้ย

เมื่อเพิ่มหรือลดค่า ซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ จะใช้คำบุพบท "เปิด"

ตัวอย่างของ:

• เพิ่มขึ้น 50% หมายถึงเพิ่มมูลค่า 1.5 เท่า;
• เพิ่มขึ้น 100% - หมายถึงเพิ่มมูลค่า 2 เท่า;
• เพิ่มขึ้น 200% หมายถึงเพิ่มขึ้น 3 เท่า;
• ลดลง 50% - หมายถึงลดค่าลง 2 เท่า;
• ลด 80% หมายถึงลด 5 เท่า

ตัวอย่าง 1... สิบเซนติเมตรเพิ่มขึ้น 50% คุณได้กี่เซนติเมตร?

ในการแก้ปัญหาดังกล่าว คุณต้องใช้ค่าเริ่มต้นเป็น 100% ค่าเริ่มต้นคือ 10 ซม. 50% คือ 5 ซม

เดิม 10 ซม. เพิ่มขึ้น 50% (โดย 5 ซม.) ซึ่งหมายความว่าเปิดออก 10 + 5 ซม. นั่นคือ 15 ซม.

อะนาล็อกของการเพิ่มสิบเซนติเมตร 50% เป็นตัวคูณ 1.5 ถ้าคุณคูณ 10 ซม. คุณจะได้ 15 ซม

10 × 1.5 = 15 ซม.

ดังนั้นนิพจน์ "เพิ่มขึ้น 50%" และ "เพิ่มขึ้น 1.5 เท่า" พูดในสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 2... ห้าเซนติเมตรเพิ่มขึ้น 100% คุณได้กี่เซนติเมตร?

ลองเอาห้าเซนติเมตรเดิมเป็น 100% หนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ของห้าเซนติเมตรนี้จะสูง 5 ซม. ถ้าคุณเพิ่มขึ้น 5 ซม. จาก 5 ซม. เท่ากัน คุณจะได้ 10 ซม.

อะนาล็อกของการเพิ่มขึ้น 5 ซม. 100% เท่ากับ 2 หากคุณคูณ 5 ซม. คุณจะได้ 10 ซม.

5 × 2 = 10 ซม.

ดังนั้นนิพจน์ "เพิ่มขึ้น 100%" และ "เพิ่มขึ้น 2 เท่า" จึงมีความหมายเหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 3... ห้าเซนติเมตรเพิ่มขึ้น 200% คุณได้กี่เซนติเมตร?

ลองเอาห้าเซนติเมตรเดิมเป็น 100% สองร้อยเปอร์เซ็นต์เป็นสองเท่าของหนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ นั่นคือ 200% ของ 5 ซม. จะเป็น 10 ซม. (5 ซม. สำหรับทุก ๆ 100%) หากคุณเพิ่ม 5 ซม. ด้วย 10 ซม. คุณจะได้ 15 ซม

อะนาล็อกของการเพิ่มขึ้น 5 เซนติเมตร 200% มีค่าเท่ากับ 3 หากคุณคูณ 5 ซม. คุณจะได้ 15 ซม.

5 × 3 = 15 ซม.

ดังนั้นนิพจน์ "เพิ่มขึ้น 200%" และ "เพิ่มขึ้น 3 เท่า" พูดในสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 4... สิบเซนติเมตรลดลง 50% เหลืออีกกี่เซ็นติเมตร?

เอา 10 ซม. เดิมเป็น 100% ห้าสิบเปอร์เซ็นต์ของ 10 ซม. เท่ากับ 5 ซม. ถ้าคุณลด 10 ซม. ด้วย 5 ซม. นี้ จะได้ 5 ซม

อะนาล็อกของการลด 10 เซนติเมตร 50% เป็นตัวหาร 2 ถ้าคุณหาร 10 ซม. ด้วยมัน คุณจะได้ 5 ซม.

10: 2 = 5 ซม.

ดังนั้นนิพจน์ "ลด 50%" และ "ลด 2 เท่า" จึงพูดในสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 5... สิบเซนติเมตรลดลง 80% เหลืออีกกี่เซ็นติเมตร?

เอา 10 ซม. เดิมเป็น 100% ร้อยละแปดสิบของ 10 ซม. เท่ากับ 8 ซม. ถ้าคุณลด 10 ซม. ด้วย 8 ซม. นี้ คุณจะมี 2 ซม

อะนาล็อกของการลด 10 เซนติเมตร 80% เป็นตัวหาร 5 ถ้าคุณหาร 10 ซม. ด้วยมัน คุณจะได้ 2 ซม

10: 5 = 2 ซม.

ดังนั้นนิพจน์ "ลด 80%" และ "ลด 5 เท่า" พูดในสิ่งเดียวกัน

เมื่อแก้ปัญหาการลดและเพิ่มเปอร์เซ็นต์ คุณสามารถคูณ/หารค่าด้วยตัวคูณที่ระบุในปัญหาได้

ปัญหา 1... ค่าการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าใดหากเพิ่มขึ้น 1.5 เท่า?

ค่าที่อ้างถึงในงานสามารถกำหนดเป็น 100% จากนั้นคูณ 100% ด้วยตัวประกอบของ 1.5

100% × 1.5 = 150%

ตอนนี้ลบ 100% เริ่มต้นจาก 150% ที่ได้รับและรับคำตอบของปัญหา:

150% − 100% = 50%

งาน2... ค่าการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าใดหากลดลง 4 เท่า?

คราวนี้ค่าจะลดลง ดังนั้นเราจะทำการหาร ค่าที่อ้างถึงในปัญหาจะแสดงเป็น 100% ต่อไป หาร 100% ด้วยตัวหารของ 4

ลบ 25% ที่ได้รับจาก 100% เริ่มต้นและรับคำตอบของปัญหา:

100% − 25% = 75%

ซึ่งหมายความว่าเมื่อมูลค่าลดลง 4 เท่าก็ลดลง 75%

ปัญหา3... ค่าเปลี่ยนเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าไหร่ถ้าลดลง 5 เท่า?

ค่าที่อ้างถึงในปัญหาจะแสดงเป็น 100% ต่อไป หาร 100% ด้วยตัวหาร 5

ลบผลลัพธ์ 20% จาก 100% เริ่มต้นและรับคำตอบของปัญหา:

100% − 20% = 80%

ซึ่งหมายความว่าเมื่อมูลค่าลดลง 5 เท่าก็ลดลง 80%

ปัญหา 4... ค่าเปลี่ยนเป็นเปอร์เซ็นต์เท่าไหร่ถ้าลดลง 10 เท่า ?

ค่าที่อ้างถึงในปัญหาจะแสดงเป็น 100% ต่อไป หาร 100% ด้วยตัวหารของ 10

ลบ 10% ที่ได้รับจาก 100% เริ่มต้นและรับคำตอบของปัญหา:

100% − 10% = 90%

ซึ่งหมายความว่าเมื่อมูลค่าลดลง 10 เท่าก็ลดลง 90%

ปัญหาการหาเปอร์เซ็นต์

ในการแสดงค่าบางอย่างเป็นเปอร์เซ็นต์ ก่อนอื่นคุณต้องเขียนเศษส่วนที่แสดงว่าจำนวนแรกมาจากค่าที่สอง จากนั้นหารเศษส่วนนี้และแสดงผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์

ตัวอย่างเช่น สมมติว่ามีแอปเปิ้ลห้าลูก ในกรณีนี้ แอปเปิ้ลสองผลเป็นสีแดง สามผลเป็นสีเขียว ลองแสดงแอปเปิ้ลสีแดงและสีเขียวเป็นเปอร์เซ็นต์

ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาว่าส่วนใดของแอปเปิ้ลแดง มีแอปเปิลทั้งหมด 5 ผล และแอปเปิลสีแดง 2 ผล ซึ่งหมายความว่าสองในห้าหรือสองในห้าเป็นแอปเปิ้ลสีแดง:

มีแอปเปิ้ลเขียวสามลูก ซึ่งหมายความว่าสามในห้าหรือสามในห้าเป็นแอปเปิ้ลเขียว:

เรามีเศษส่วนสองตัวและ. มาหารเศษส่วนเหล่านี้กัน

เราได้ทศนิยม 0.4 กับ 0.6 ทีนี้ลองแสดงเศษส่วนทศนิยมเหล่านี้เป็นเปอร์เซ็นต์:

0.4 × 100 = 40%

0.6 × 100 = 60%

ซึ่งหมายความว่า 40% เป็นแอปเปิ้ลสีแดง 60% เป็นสีเขียว

และแอปเปิ้ลทั้งห้าลูกมี 40% + 60% นั่นคือ 100%

งาน2... แม่ให้ลูกชายสองคน 200 รูเบิล แม่ให้น้องชาย 80 rubles และพี่ชาย 120 rubles แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของเงินที่มอบให้พี่น้องแต่ละคน

สารละลาย

น้องชายได้รับ 80 rubles จาก 200 rubles เราเขียนเศษส่วนแปดสิบสองร้อย:

พี่ชายได้รับ 120 rubles จาก 200 rubles เราเขียนเศษส่วนหนึ่งร้อยยี่สิบสองร้อย:

เรามีเศษส่วนและ. มาหารเศษส่วนเหล่านี้กัน

ให้เราแสดงผลที่ได้รับเป็นเปอร์เซ็นต์:

0.4 × 100 = 40%

0.6 × 100 = 60%

ซึ่งหมายความว่าน้องชายได้รับเงิน 40% และพี่ชายได้รับ 60%

เศษส่วนบางตัวที่แสดงจำนวนตัวแรกจากตัวที่สองสามารถย่อได้

จึงสามารถลดเศษส่วนได้ จากนี้ คำตอบของปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง:

ปัญหา3... งบประมาณของครอบครัวคือ 75,000 รูเบิลต่อเดือน ในจำนวนนี้ 52.5 พันรูเบิล - เงินที่พ่อหามาได้ 22.5 พันรูเบิล - เงินที่แม่หามาได้ แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของเงินที่แม่และพ่อได้รับ

สารละลาย

งานนี้เหมือนกับงานก่อนหน้านี้คืองานในการหาเปอร์เซ็นต์

มาแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของเงินที่พ่อได้รับ เขาได้รับ 52.5,000 rubles จาก 75,000 rubles

ลองหารด้วยเศษส่วนนี้:

0.7 × 100 = 70%

ซึ่งหมายความว่าพ่อได้รับเงิน 70% นอกจากนี้ เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าแม่ได้รับเงินส่วนที่เหลืออีก 30% ท้ายที่สุดแล้ว 75,000 rubles เป็นเงินทั้งหมด 100% เพื่อให้แน่ใจว่าเราจะทำการตรวจสอบ แม่ได้รับ 22.5 พันรูเบิล จาก 75,000 รูเบิล เราเขียนเศษส่วนทำการหารและแสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

ปัญหา 4... นักเรียนกำลังฝึกทำท่าดึงบาร์ เมื่อเดือนที่แล้ว เขาสามารถทำพูลอัพได้ 8 ครั้งต่อเซ็ต เดือนนี้เขาสามารถทำพูลอัพได้ 10 ชุดต่อชุด เขาเพิ่มจำนวนการดึงขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์?

สารละลาย

ค้นหาว่านักเรียนทำดึงขึ้นกี่ครั้งในเดือนปัจจุบันมากกว่าในอดีต

ค้นหาว่าส่วนที่สอง pull-ups มาจากแปด pull-ups ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอัตราส่วน 2 ถึง 8

มาหารเศษส่วนนี้กัน

แสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

0.25 × 100 = 25%

ซึ่งหมายความว่านักเรียนได้เพิ่มจำนวนการดึงขึ้น 25%

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยวิธีที่สองที่เร็วกว่า - ค้นหาว่าการดึง 10 ครั้งมากกว่า 8 ครั้งและแสดงผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์

หากต้องการทราบว่าการดึงสิบครั้งมากกว่าแปดครั้ง คุณต้องหาอัตราส่วน 10 ถึง 8

หารเศษส่วนผลลัพธ์

แสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

1.25 × 100 = 125%

อัตราการดึงขึ้นในเดือนนี้คือ 125% คำสั่งนี้ต้องเข้าใจตรงกันว่า "คือ 125%"ไม่ได้อย่างไร "ตัวบ่งชี้เพิ่มขึ้น 125%"... นี่เป็นข้อความสองคำที่แตกต่างกันซึ่งแสดงปริมาณที่ต่างกัน

คำสั่ง "คือ 125%" ควรเข้าใจว่าเป็น "การดึงแปดครั้งซึ่งเป็น 100% บวกสองครั้งที่ดึงขึ้นซึ่งเป็น 25% ของการดึงแปดครั้ง" กราฟิกดูเหมือนว่านี้:

และคำว่า "เพิ่มขึ้น 125%" ควรเข้าใจว่าเป็น "สำหรับแปด pull-ups ในปัจจุบันซึ่งเป็น 100% อีก 100% (8 pull-ups เพิ่มเติม) และอีก 25% (2 pull-ups) ถูกเพิ่มเข้ามา " ดึงขึ้นทั้งหมด 18 ครั้ง

100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 พูลอัพ

กราฟิกคำสั่งนี้มีลักษณะดังนี้:

โดยรวมแล้ว มันกลายเป็น 225% หากเราพบ 225% ของ 8 pull-ups เราจะได้ 18 pull-ups

8 × 2.25 = 18

ปัญหา 5... เมื่อเดือนที่แล้วเงินเดือนอยู่ที่ 19.2,000 รูเบิล ในเดือนปัจจุบันมีจำนวน 20.16,000 รูเบิล เงินเดือนขึ้นเท่าไหร่?

ปัญหานี้เช่นเดียวกับปัญหาก่อนหน้านี้สามารถแก้ไขได้สองวิธี อย่างแรกคือค้นหาว่าเงินเดือนเพิ่มขึ้นกี่รูเบิล ต่อไปหาว่าส่วนไหนที่เพิ่มขึ้นนี้จากเงินเดือนเดือนที่แล้ว

ค้นหาว่าเงินเดือนเพิ่มขึ้นกี่รูเบิล:

20.16 - 19.2 = 0.96 พันรูเบิล

ค้นหาส่วนใดของ 0.96 พันรูเบิล ช่วงตั้งแต่ 19.2 ในการทำเช่นนี้ เราพบอัตราส่วน 0.96 ถึง 19.2

มาทำการหารในส่วนของผลลัพธ์กัน ระหว่างทาง จำไว้ว่า:

แสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

0.05 × 100 = 5%

ซึ่งหมายความว่าเงินเดือนเพิ่มขึ้น 5%

มาแก้ปัญหาด้วยวิธีที่สองกัน ค้นหาว่า 20.16,000 rubles กี่ครั้ง มากกว่า 19.2 พันรูเบิล ในการทำเช่นนี้ เราพบอัตราส่วน 20.16 ถึง 19.2

ทำการหารในส่วนของผลลัพธ์:

แสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

1.05 × 100 = 105%

เงินเดือนอยู่ที่ 105% นั่นคือ 100% ซึ่งมีจำนวน 19.2,000 rubles บวก 5% ซึ่งเป็น 0.96 พัน rubles

100% + 5% = 19,2 + 0,96

ปัญหา 6... ราคาของแล็ปท็อปเพิ่มขึ้น 5% ในเดือนนี้ ราคาเท่าไหร่ถ้าเดือนที่แล้วราคา 18.3 พันรูเบิล?

สารละลาย

หา 5% ของ 18.3:

18.3 × 0.05 = 0.915

เพิ่ม 5% เป็น 18.3:

18.3 + 0.915 = 19.215,000 รูเบิล

ตอบ: ราคาของแล็ปท็อปคือ 19.215,000 rubles

ปัญหา7... ราคาของแล็ปท็อปลดลง 10% ในเดือนนี้ ราคาของมันคืออะไรถ้าเดือนที่แล้วราคา 16.3 พันรูเบิล?

สารละลาย

ค้นหา 10% ของ 16.3:

16.3 x 0.10 = 1.63

ลบ 10% จาก 16.3:

16.3 - 1.63 = 14.67 (พันรูเบิล)

งานที่คล้ายกันสามารถเขียนสั้น ๆ ได้:

16.3 - (16.3 × 0.10) = 14.67 (พันรูเบิล)

ตอบ: ราคาของแล็ปท็อปคือ 14.67,000 รูเบิล

ปัญหา8... เมื่อเดือนที่แล้วราคาของแล็ปท็อปอยู่ที่ 21,000 รูเบิล เดือนนี้ราคาเพิ่มขึ้นเป็น 22.05,000 รูเบิล ราคาขึ้นเท่าไหร่?

สารละลาย

กำหนดว่าราคารูเบิลเพิ่มขึ้นเท่าใด

22.05 - 21 = 1.05 (พันรูเบิล)

ค้นหาส่วนใดของ 1.05,000 rubles มาจาก 21,000 rubles

แสดงผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์

0.05 × 100 = 5%

ตอบ: ราคาแล็ปท็อปเพิ่มขึ้น 5%

ปัญหา8... คนงานต้องทำ 600 ส่วนตามแผน และเขาสร้าง 900 ส่วน เขาทำตามแผนสำเร็จกี่เปอร์เซ็นต์?

สารละลาย

เราพบว่า 900 ส่วนมากกว่า 600 ส่วนกี่ครั้ง ในการทำเช่นนี้ เราพบอัตราส่วน 900 ถึง 600

ค่าของเศษส่วนนี้คือ 1.5 ให้แสดงค่านี้เป็นเปอร์เซ็นต์:

1.5 × 100 = 150%

ซึ่งหมายความว่าคนงานปฏิบัติตามแผน 150% นั่นคือเขาทำให้เสร็จ 100% โดยผลิตได้ 600 ชิ้น จากนั้นเขาก็ทำอีก 300 ส่วน ซึ่งเป็น 50% ของแผนเดิม

ตอบ: คนงานปฏิบัติตามแผน 150%

การเปรียบเทียบเปอร์เซ็นต์

เราได้เปรียบเทียบค่าต่างๆ หลายครั้งในรูปแบบต่างๆ เครื่องมือแรกของเราคือความแตกต่าง ตัวอย่างเช่น เพื่อเปรียบเทียบ 5 rubles กับ 3 rubles เราเขียนความแตกต่าง 5−3 เมื่อได้รับคำตอบที่ 2 เราสามารถพูดได้ว่า "ห้ารูเบิลมากกว่าสามรูเบิลสำหรับสองรูเบิล"

คำตอบที่ได้จากการลบในชีวิตประจำวันเรียกว่า "ความแตกต่าง" ไม่ใช่ "ความแตกต่าง"

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างห้าถึงสามรูเบิลคือสองรูเบิล

เครื่องมือต่อไปที่เราใช้ในการเปรียบเทียบค่าคืออัตราส่วน อัตราส่วนช่วยให้เราสามารถหาจำนวนครั้งที่ตัวเลขแรกมากกว่าวินาที (หรือจำนวนครั้งที่ตัวเลขแรกมีที่สอง)

ตัวอย่างเช่น แอปเปิลสิบลูกมีแอปเปิลมากกว่าสองผลห้าเท่า หรือพูดอีกอย่างก็คือ แอปเปิลสิบลูกมีแอปเปิลสองลูกห้าครั้ง การเปรียบเทียบนี้สามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์

แต่สามารถเปรียบเทียบค่าเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ ตัวอย่างเช่น เพื่อเปรียบเทียบราคาของสินค้าสองรายการที่ไม่ใช่รูเบิล แต่ให้ประเมินว่าราคาของสินค้าชิ้นหนึ่งมีค่ามากหรือน้อยกว่าราคาของสินค้าอีกชิ้นหนึ่งเป็นเปอร์เซ็นต์

ในการเปรียบเทียบค่าเป็นเปอร์เซ็นต์ต้องกำหนดให้ค่าใดค่าหนึ่งเป็น 100% และค่าที่สองตามเงื่อนไขของปัญหา

ตัวอย่างเช่น ลองหาว่ากี่เปอร์เซ็นต์ของแอปเปิ้ลสิบผลมีมากกว่าแปดแอปเปิ้ล

สำหรับ 100% คุณต้องกำหนดมูลค่าที่เราเปรียบเทียบบางอย่าง เรากำลังเปรียบเทียบ 10 แอปเปิ้ลกับ 8 แอปเปิ้ล ดังนั้นสำหรับ 100% เรากำหนด 8 แอปเปิ้ล:

ตอนนี้งานของเราคือการเปรียบเทียบว่าแอปเปิ้ล 10 ผลมากกว่า 8 แอปเปิ้ลเหล่านี้มีกี่เปอร์เซ็นต์ แอปเปิล 10 ผล เท่ากับ 8+2 แอปเปิล ซึ่งหมายความว่าโดยการเพิ่มแอปเปิ้ลอีกสองแอปเปิ้ลในแปดแอปเปิ้ล เราจะเพิ่มขึ้น 100% ตามจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอน ในการหาว่าอันไหน ลองหาว่าแอปเปิ้ลแปดลูกเป็นแอปเปิลสองลูกกี่เปอร์เซ็นต์

โดยการเพิ่ม 25% ถึงแปดแอปเปิ้ลนี้ เราจะได้ 10 แอปเปิ้ล และแอปเปิล 10 ลูก เท่ากับ 8 + 2 นั่นคือ 100% และอีก 25% รวมแล้วได้ 125%

ซึ่งหมายความว่าแอปเปิ้ลสิบผลมีมากกว่าแปดแอปเปิ้ล 25%

ทีนี้มาแก้ปัญหาผกผันกัน มาดูกันว่าแอปเปิลแปดผลมีแอปเปิลน้อยกว่าสิบผลกี่เปอร์เซ็นต์ คำตอบแนะนำตัวเองทันทีว่าแอปเปิ้ลแปดลูกนั้นน้อยกว่า 25% อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่

เรากำลังเปรียบเทียบแอปเปิ้ลแปดลูกกับแอปเปิ้ลสิบลูก เราตกลงกันว่าสำหรับ 100% เราจะใช้สิ่งที่เราเปรียบเทียบ ดังนั้นคราวนี้เราใช้ 10 แอปเปิ้ล 100%:

แอปเปิ้ลแปดลูกคือ 10−2 นั่นคือการลดแอปเปิ้ล 10 ลูกด้วยแอปเปิ้ล 2 ลูกเราจะลดจำนวนลงเป็นเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอน ในการหาว่าอันไหน ลองหาว่าแอปเปิ้ลสิบลูกเป็นแอปเปิลสองลูกกี่เปอร์เซ็นต์

ลบ 20% นี้จากแอปเปิ้ลสิบผล เราได้ 8 แอปเปิ้ล และแอปเปิ้ล 8 ลูกคือ 10−2 นั่นคือ 100% และลบ 20% รวมแล้วได้ 80%

ซึ่งหมายความว่าแอปเปิ้ลแปดผลมีแอปเปิ้ลน้อยกว่าสิบผล 20%

งาน2... 5,000 rubles มากกว่า 4,000 rubles เป็นเปอร์เซ็นต์เท่าใด

สารละลาย

ลองใช้ 4000 rubles กัน 100% 5 พัน มากกว่า 4 พัน ต่อ 1 พัน ซึ่งหมายความว่าโดยการเพิ่มสี่พันหนึ่งพัน เราจะเพิ่มสี่พันเป็นเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอน ลองหาว่าอันไหน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เรามาพิจารณาว่าส่วนใดที่หนึ่งพันมาจากสี่พัน:

แสดงผลเป็นเปอร์เซ็นต์:

0.25 × 100 = 25%

1,000 rubles จาก 4,000 rubles คือ 25% หากคุณเพิ่ม 25% เป็น 4000 คุณจะได้รับ 5,000 รูเบิล ซึ่งหมายความว่า 5,000 rubles คือ 25% มากกว่า 4000 rubles

ปัญหา3... 4,000 rubles น้อยกว่า 5,000 rubles กี่เปอร์เซ็นต์?

คราวนี้เราเปรียบเทียบ 4000 กับ 5000 ลองเอา 5000 เป็น 100% ห้าพันเป็นมากกว่าสี่พันสำหรับหนึ่งพันรูเบิล ค้นหาว่าส่วนที่หนึ่งพันมาจากห้าพัน

พันจากห้าพันคือ 20% หากเราลบ 20% นี้จาก 5,000 rubles เราจะได้ 4,000 rubles

ซึ่งหมายความว่า 4,000 rubles น้อยกว่า 5,000 rubles โดย 20%

ปัญหาความเข้มข้น โลหะผสมและสารผสม

สมมติว่ามีความปรารถนาที่จะทำน้ำผลไม้บางชนิด เรามีน้ำและน้ำเชื่อมราสเบอร์รี่ไว้บริการ

เทน้ำ 200 มล. ลงในแก้ว:

เติมน้ำเชื่อมราสเบอร์รี่ 50 มล. แล้วคนของเหลวที่ได้ เป็นผลให้เราได้รับน้ำราสเบอร์รี่ 250 มล. (น้ำ 200 มล. + น้ำเชื่อม 50 มล. = น้ำผลไม้ 250 มล.)

น้ำผลไม้ที่ได้คือน้ำเชื่อมราสเบอร์รี่เท่าไหร่?

น้ำเชื่อมราสเบอร์รี่ทำขึ้นเป็นน้ำผลไม้ เราคำนวณอัตราส่วนนี้ เราได้ตัวเลข 0.20 ตัวเลขนี้แสดงปริมาณน้ำเชื่อมที่ละลายในน้ำที่ได้ ให้โทรไปเบอร์นี้ ความเข้มข้นของน้ำเชื่อม.

ความเข้มข้นของตัวถูกละลายคืออัตราส่วนของปริมาณตัวถูกละลายหรือมวลต่อปริมาตรของสารละลาย

ความเข้มข้นมักจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ แสดงความเข้มข้นของน้ำเชื่อมเป็นเปอร์เซ็นต์:

0.20 × 100 = 20%

ดังนั้นความเข้มข้นของน้ำเชื่อมในน้ำราสเบอร์รี่จึงอยู่ที่ 20%

สารในสารละลายสามารถแตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น ผสมน้ำ 3 ลิตรกับเกลือ 200 กรัม

มวลของน้ำ 1 ลิตรคือ 1 กิโลกรัม จากนั้นมวลของน้ำ 3 ลิตรจะเป็น 3 กิโลกรัม เราแปล 3 กิโลกรัมเป็นกรัมเราได้ 3 กิโลกรัม = 3000 กรัม

ตอนนี้ใส่เกลือ 200 กรัมในน้ำ 3000 กรัมแล้วผสมของเหลวที่ได้ ผลที่ได้คือสารละลายน้ำเกลือซึ่งมวลรวมจะเท่ากับ 3000 + 200 นั่นคือ 3200 กรัม เราจะหาความเข้มข้นของเกลือในสารละลายที่ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอัตราส่วนของมวลของเกลือที่ละลายได้ต่อมวลของสารละลาย

ซึ่งหมายความว่าเมื่อผสมน้ำ 3 ลิตรกับเกลือ 200 กรัม คุณจะได้สารละลายเกลือ 6.25%

ในทำนองเดียวกัน สามารถกำหนดปริมาณของสารในโลหะผสมหรือในส่วนผสมได้ ตัวอย่างเช่น โลหะผสมประกอบด้วยดีบุกที่มีมวล 210 กรัม และเงินที่มีมวล 90 กรัม จากนั้นมวลของโลหะผสมจะเท่ากับ 210 + 90 นั่นคือ 300 กรัม โลหะผสมจะประกอบด้วยดีบุกและเงิน เปอร์เซ็นต์ของดีบุกจะเป็น 70% และเงิน 30%

เมื่อผสมสารละลายสองชนิดเข้าด้วยกัน จะได้สารละลายใหม่ซึ่งประกอบด้วยสารละลายที่หนึ่งและที่สอง สารละลายใหม่อาจมีความเข้มข้นของสารต่างกัน ทักษะที่มีประโยชน์คือความสามารถในการแก้ปัญหาสมาธิ โลหะผสมและสารผสม โดยทั่วไป ความหมายของงานดังกล่าวคือการติดตามการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเมื่อผสมสารละลายที่มีความเข้มข้นต่างกัน

ผสมน้ำราสเบอร์รี่สองน้ำ น้ำผลไม้ 250 มล. แรกประกอบด้วยน้ำเชื่อมราสเบอร์รี่ 12.8% และน้ำผลไม้ที่สองที่มีปริมาตร 300 มล. ประกอบด้วยน้ำเชื่อมราสเบอร์รี่ 15% เทน้ำผลไม้ทั้งสองนี้ลงในแก้วขนาดใหญ่แล้วผสม เป็นผลให้เราได้รับน้ำผลไม้ 550 มล. ใหม่

ทีนี้มาดูความเข้มข้นของน้ำเชื่อมในน้ำผลไม้ที่ได้ น้ำผลไม้คั้นครั้งแรกที่มีปริมาตร 250 มล. มีน้ำเชื่อม 12.8% และ 12.8% ของ 250 มล. คือ 32 มล. ซึ่งหมายความว่าน้ำผลไม้แรกมีน้ำเชื่อม 32 มล.

น้ำผลไม้คั้นที่สองที่มีปริมาตร 300 มล. มีน้ำเชื่อม 15% และ 15% ของ 300 มล. คือ 45 มล. ซึ่งหมายความว่าน้ำผลไม้ที่สองมีน้ำเชื่อม 45 มล.

เพิ่มปริมาณน้ำเชื่อม:

32 มล. + 45 มล. = 77 มล.

น้ำเชื่อม 77 มล. นี้บรรจุอยู่ในน้ำผลไม้ใหม่ซึ่งมีปริมาตร 550 มล. ลองกำหนดความเข้มข้นของน้ำเชื่อมในน้ำผลไม้นี้ ในการทำเช่นนี้เราพบอัตราส่วนของน้ำเชื่อมที่ละลายน้ำได้ 77 มล. ต่อปริมาตรของน้ำผลไม้ 550 มล.:

ซึ่งหมายความว่าเมื่อผสมน้ำราสเบอร์รี่ 12.8% กับปริมาตร 250 มล. และน้ำราสเบอร์รี่ 15% ‍ กับปริมาตร 300 มล. คุณจะได้น้ำราสเบอร์รี่ 14% ปริมาตร 550 มล.

ปัญหา 1... เกลือทะเลในน้ำมี 3 สารละลาย: สารละลายแรกประกอบด้วยเกลือ 10% สารละลายที่สองประกอบด้วยเกลือ 15% และเกลือที่สามประกอบด้วยเกลือ 20% ผสมสารละลายแรก 130 มล. สารละลายที่สอง 200 มล. และสารละลายที่สาม 170 มล. กำหนดเปอร์เซ็นต์ของเกลือทะเลในสารละลายที่ได้

สารละลาย

กำหนดปริมาตรของผลลัพธ์ที่ได้:

130 มล. + 200 มล. + 170 มล. = 500 มล.

เนื่องจากสารละลายแรกมีเกลือทะเล 130 × 0.10 = 13 มล. ในสารละลายที่สอง 200 × 0.15 = เกลือทะเล 30 มล. และเกลือทะเลที่สาม - 170 × 0.20 = 34 มล. สารละลายที่ได้จะมี 13 + 30 + 34 = 77 มล. ของเกลือทะเล

ลองกำหนดความเข้มข้นของเกลือทะเลในสารละลายที่ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอัตราส่วนของเกลือทะเล 77 มล. ต่อปริมาตรของสารละลาย 500 มล.

ซึ่งหมายความว่าสารละลายที่ได้มีเกลือทะเล 15.4%

งาน2... ควรเติมน้ำกี่กรัมในสารละลาย 50 กรัมที่มีเกลือ 8% เพื่อให้ได้สารละลาย 5%

สารละลาย

โปรดทราบว่าหากคุณเติมน้ำลงในสารละลายที่มีอยู่ ปริมาณเกลือในนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลง เฉพาะเปอร์เซ็นต์เท่านั้นที่จะเปลี่ยนแปลงเนื่องจากการเติมน้ำลงในสารละลายจะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงมวล

เราจำเป็นต้องเติมน้ำในปริมาณที่เกลือแปดเปอร์เซ็นต์จะกลายเป็นห้าเปอร์เซ็นต์

กำหนดจำนวนเกลือที่มีอยู่ในสารละลาย 50 กรัม สำหรับสิ่งนี้ เราพบ 8% ของ 50

50g × 0.08 = 4g

8% ของ 50 กรัมคือ 4 กรัม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือแปดส่วนในร้อยมีเกลือ 4 กรัม ตรวจสอบให้แน่ใจว่า 4 กรัมเหล่านี้ไม่ได้อยู่ในแปดส่วน แต่ในห้าส่วนนั่นคือ 5%

4 กรัม - 5%

ตอนนี้รู้ว่ามี 4 กรัมต่อสารละลาย 5% เราก็สามารถหามวลของสารละลายทั้งหมดได้ สำหรับสิ่งนี้คุณต้อง:

4g: 5 = 0.8g
0.8g × 100 = 80g

สารละลาย 80 กรัมคือมวลที่เกลือ 4 กรัมจะอยู่ในสารละลาย 5% และเพื่อให้ได้ 80 กรัมเหล่านี้ คุณต้องเติมน้ำ 30 กรัมลงใน 50 กรัมดั้งเดิม

ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้ได้สารละลายเกลือ 5% คุณต้องเติมน้ำ 30 กรัมลงในสารละลายที่มีอยู่

งาน2... องุ่นมีความชื้น 91% และลูกเกด 7% ต้องใช้องุ่นกี่กิโลกรัมจึงจะได้ลูกเกด 21 กิโลกรัม?

สารละลาย

องุ่นประกอบด้วยความชื้นและสารบริสุทธิ์ หากองุ่นสดมีความชื้น 91% ส่วนที่เหลืออีก 9% จะเป็นสารบริสุทธิ์ขององุ่นเหล่านี้:

ลูกเกดมีสารบริสุทธิ์ 93% และความชื้น 7%:

โปรดทราบว่าในกระบวนการเปลี่ยนองุ่นให้เป็นลูกเกด ความชื้นขององุ่นเหล่านี้จะหายไปเท่านั้น สารบริสุทธิ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง หลังจากที่ผลองุ่นกลายเป็นลูกเกด ผลที่ได้จะมีความชื้น 7% และสารบริสุทธิ์ 93%

มาดูกันว่ามีสารบริสุทธิ์มากแค่ไหนในลูกเกด 21 กก. สำหรับสิ่งนี้ เราพบ 93% ของ 21 กก.

21 กก. × 0.93 = 19.53 กก.

ทีนี้กลับไปที่ภาพแรกกัน งานของเราคือกำหนดจำนวนองุ่นที่คุณต้องกินเพื่อให้ได้ลูกเกด 21 กก. สารบริสุทธิ์ที่มีน้ำหนัก 19.53 กก. จะคิดเป็น 9% ขององุ่น:

ตอนนี้ เมื่อรู้ว่า 9% ของสารบริสุทธิ์คือ 19.53 กก. เราก็สามารถระบุจำนวนองุ่นที่ต้องใช้เพื่อให้ได้ลูกเกด 21 กก. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์:

19.53 กก.: 9 = 2.17 กก.
2.17 กก. × 100 = 217 กก.

ซึ่งหมายความว่าเพื่อให้ได้ลูกเกด 21 กก. คุณต้องกินองุ่น 217 กก.

ปัญหา3... ในโลหะผสมของดีบุกและทองแดง ทองแดงเป็น 85% ต้องใช้โลหะผสมเท่าไรจึงจะบรรจุกระป๋องได้ 4.5 กก.

สารละลาย

หากโลหะผสมมีทองแดง 85% ส่วนที่เหลืออีก 15% จะเป็นดีบุก:

คำถามคือต้องใช้โลหะผสมเท่าไรจึงจะบรรจุได้ 4.5 ดีบุก เนื่องจากโลหะผสมประกอบด้วยดีบุก 15% ดีบุก 4.5 กก. จะคิดเป็น 15% เหล่านี้

และเมื่อรู้ว่าโลหะผสม 4.5 กก. เป็น 15% เราสามารถกำหนดมวลของโลหะผสมทั้งหมดได้ ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์:

4.5 กก.: 15 = 0.3 กก.
0.3 กก. × 100 = 30 กก.

ซึ่งหมายความว่าคุณต้องใช้โลหะผสม 30 กก. เพื่อให้มีกระป๋อง 4.5 กก.

ปัญหา 4... สารละลายกรดไฮโดรคลอริก 12% จำนวนหนึ่งถูกผสมกับสารละลาย 20% ของกรดเดียวกันในปริมาณเท่ากัน ค้นหาความเข้มข้นของกรดไฮโดรคลอริกที่เกิดขึ้น

สารละลาย

ลองอธิบายวิธีแก้ปัญหาแรกในรูปแบบของเส้นตรงในรูปและเลือก 12% กับมัน

เนื่องจากจำนวนสารละลายเท่ากัน คุณสามารถวาดรูปเดียวกันข้างๆ ได้ โดยแสดงตัวอย่างสารละลายที่สองที่มีปริมาณกรดไฮโดรคลอริก 20%

เราได้สารละลายสองร้อยส่วน (100% + 100%) สามสิบสองส่วนเป็นกรดไฮโดรคลอริก (12% + 20%)

กำหนดว่าส่วนใด32ส่วนมาจาก200ส่วน

ซึ่งหมายความว่าเมื่อผสมสารละลายกรดไฮโดรคลอริก 12% กับสารละลาย 20% ของกรดเดียวกันในปริมาณเท่ากัน จะได้สารละลายกรดไฮโดรคลอริก 16%

ในการตรวจสอบ ลองจินตนาการว่ามวลของสารละลายแรกคือ 2 กก. มวลของสารละลายที่สองก็จะเท่ากับ 2 กก. เมื่อผสมสารละลายเหล่านี้แล้ว จะได้สารละลาย 4 กิโลกรัม ในสารละลายแรกของกรดไฮโดรคลอริกมี 2 × 0.12 = 0.24 กก. และในวินาที - 2 × 0.20 = 0.40 กก. จากนั้นในสารละลายกรดไฮโดรคลอริกใหม่จะมี 0.24 + 0.40 = 0.64 กก. ความเข้มข้นของกรดไฮโดรคลอริกจะอยู่ที่ 16%

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

ต่อไปเราจะหา 60% ของจำนวน

ตอนนี้เราจะเพิ่มจำนวนขึ้นอีก 60% ที่พบนั่นคือ ตามหมายเลข

ตอบ:ค่าใหม่คือ

ปัญหาที่ 12. ตอบคำถามต่อไปนี้:

1) ใช้จ่าย 80% ของจำนวนเงิน เงินจำนวนนี้จะเหลือกี่เปอร์เซ็นต์?
2) ผู้ชายคิดเป็น 75% ของคนงานในโรงงานทั้งหมด คนงานในโรงงานเป็นผู้หญิงกี่เปอร์เซ็นต์
3) เด็กผู้หญิงคิดเป็น 40% ของชั้นเรียน เด็กผู้ชายมีกี่ชั้นเรียน

NS สารละลาย

ลองใช้ตัวแปร ปล่อยให้เป็น NSนี่คือหมายเลขเดิมที่อ้างถึงในปัญหา มาเริ่มกันที่ตัวเลขนี้ NSสำหรับ 100%

ลดจำนวนเดิมนี้ลง NSโดย 50%

ตัวเลขใหม่ในขณะนี้คือ 50% ของจำนวนเดิม หาว่าเลขเดิมกี่ครั้ง NSมากกว่าจำนวนใหม่ ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอัตราส่วน 100% ถึง 50%

หมายเลขเดิมเป็นสองเท่าของหมายเลขใหม่ สามารถมองเห็นได้จากภาพ และในการทำให้จำนวนใหม่เท่ากับจำนวนเดิม คุณต้องเพิ่มเป็นสองเท่า และการเพิ่มจำนวนเป็นสองเท่าหมายถึงการเพิ่มขึ้น 100%

ซึ่งหมายความว่าหมายเลขใหม่ซึ่งเท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนเดิมจะต้องเพิ่มขึ้น 100%

เมื่อพิจารณาจากตัวเลขใหม่แล้ว ก็ถือว่า 100% เช่นกัน ดังนั้น ในรูปด้านบน ตัวเลขใหม่คือครึ่งหนึ่งของจำนวนเดิมและลงนามเป็น 50% เมื่อเทียบกับตัวเลขเดิม ตัวเลขใหม่จะเป็นครึ่งหนึ่ง แต่ถ้าพิจารณาแยกจากเดิมต้องถือเป็นแบบ 100%

ดังนั้น ในรูป ตัวเลขใหม่ซึ่งแสดงเป็นเส้น ถูกกำหนดเป็น 50% ในขั้นต้น แต่เรากำหนดจำนวนนี้เป็น 100%

ตอบ:เพื่อให้ได้หมายเลขเดิม ต้องเพิ่มจำนวนใหม่ 100%

ปัญหาที่ 16 เมื่อเดือนที่แล้ว เกิดอุบัติเหตุ 15 ครั้งในเมือง
เดือนนี้ตัวบ่งชี้นี้ลดลงเหลือ 6 จำนวนอุบัติเหตุลดลงกี่เปอร์เซ็นต์?

สารละลาย

เดือนที่แล้วมีอุบัติเหตุ 15 ครั้ง เดือนที่ 6 ซึ่งหมายความว่าจำนวนอุบัติเหตุลดลง 9
เอา 15 อุบัติเหตุเป็น 100% โดยการลดอุบัติเหตุ 15 ครั้งลง 9 ครั้ง เราจะลดจำนวนลงเป็นเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอน เราจะหาว่าส่วนไหนของอุบัติเหตุทั้ง 9 อันมาจากอุบัติเหตุ 15 ครั้ง

ตอบ:ความเข้มข้นของสารละลายที่ได้คือ 12%

ปัญหาที่ 18 สารละลาย 11% ของสารบางชนิดจำนวนหนึ่งผสมกับสารละลาย 19% ของสารเดียวกันในปริมาณเท่ากัน หาความเข้มข้นของสารละลายที่ได้

สารละลาย

มวลของสารละลายทั้งสองมีค่าเท่ากัน แต่ละโซลูชันสามารถรับได้ 100% หลังจากเพิ่มโซลูชันแล้ว คุณจะได้รับโซลูชัน 200% สารละลายแรกประกอบด้วย 11% ของสารและ 19% ของสารที่สอง จากนั้นในสารละลาย 200% ที่ได้จะมี 11% + 19% = 30% ของสาร

กำหนดความเข้มข้นของสารละลายที่ได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาว่าส่วนใดของสารสามสิบส่วนประกอบขึ้นจากสารสองร้อยส่วน:

1,10. ซึ่งหมายความว่าราคาสำหรับเดือนแรกจะกลายเป็น 1.10

ในเดือนที่สอง ราคาก็เพิ่มขึ้น 10% ด้วย เพิ่มสิบเปอร์เซ็นต์ของราคานี้ไปยังราคาปัจจุบัน 1.10 เราจะได้ 1.10 + 0.10 x 1.10 ผลรวมนี้เท่ากับนิพจน์1.21 . ซึ่งหมายความว่าราคาสำหรับเดือนที่สองจะกลายเป็น 1.21

ในเดือนที่สาม ราคาก็เพิ่มขึ้น 10% ด้วย บวกกับราคาปัจจุบัน 1.21 สิบเปอร์เซ็นต์ของราคานี้ เราจะได้ 1.21 + 0.10 x 1.21 ผลรวมนี้เท่ากับ 1.331 . จากนั้นราคาสำหรับเดือนที่สามจะกลายเป็น 1.331

มาคำนวณส่วนต่างระหว่างราคาใหม่กับราคาเก่ากัน หากราคาเดิมคือ 1 ก็จะเพิ่มขึ้น 1.331 - 1 = 0.331 แสดงผลลัพธ์นี้เป็นเปอร์เซ็นต์ เราได้ 0.331 × 100 = 33.1%

ตอบ:ราคาอาหาร 3 เดือนเพิ่มขึ้น 33.1%

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม Vkontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

เงินฝังแน่นในชีวิตของเราจนเราทุกคน ไม่ว่าจะอายุ เพศ และวิธีการหารายได้ในบางครั้ง จะพบว่าตัวเองอยู่ในสถานการณ์ที่เราถูกบังคับให้ต้องตัดสินใจที่ต้องใช้การคำนวณทางการเงิน และจากนั้นก็ขึ้นอยู่กับความสามารถของเราในการดำเนินการกับหมวดหมู่ทางการเงินเฉพาะว่าตัวเลือกที่เราเลือกนั้นทำกำไรได้มากน้อยเพียงใด ในบทความนี้ เราจะพิจารณาหมวดหมู่หลักของคณิตศาสตร์ทางการเงิน และแสดงวิธีใช้หมวดหมู่เหล่านี้เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้องในสถานการณ์ต่างๆ ที่หลากหลาย

ความสนใจ. ดอกเบี้ยทบต้น. ดอกเบี้ยเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ (Compaunding)

ดอกเบี้ยคือรายได้ที่ได้รับจากการกู้ยืมเงินในรูปแบบใด ๆ เปอร์เซ็นต์สามารถแสดงได้ด้วยเงื่อนไขแบบสัมบูรณ์และแบบสัมพัทธ์ แบบฟอร์มสัมบูรณ์คือจำนวนเงินเฉพาะในช่วงเวลาหนึ่ง ญาติ - อยู่ในรูปของอัตราดอกเบี้ยที่ผูกกับระยะเวลาที่กำหนด (ปี เดือน หรือวัน) ในการคำนวณจำนวนเงินค้างจ่าย (S) โดยที่เราหมายถึงจำนวนเงินต้นบวกดอกเบี้ยค้างรับ คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

(1) S = P * (1 + ผม * n),
โดยที่ P คือจำนวนเงินที่เกิดดอกเบี้ย i คืออัตราดอกเบี้ย N คือจำนวนงวดคงค้าง

ตัวอย่าง
คุณให้เงินกู้ 10,000 ดอลลาร์แก่เพื่อนของคุณเป็นเวลา 3 เดือน ภายใต้เงื่อนไขที่เขาสัญญาว่าจะจ่ายให้คุณ 2% ต่อเดือน จำเป็นต้องคำนวณจำนวนเงินที่คุณจะได้รับเมื่อสิ้นสุดระยะเวลาเงินกู้ เราได้รับ 10,000 * (1 + 2% * 3) = 10,600 ดอลลาร์

มักจะเป็นไปได้ที่จะพบกับสถานการณ์เมื่อไม่ได้จ่ายดอกเบี้ย แต่ถูกเพิ่มเข้าไปในจำนวนเงินที่ลงทุน และจากงวดใหม่ เงินคงค้างจะทำกับจำนวนเงินโดยคำนึงถึงดอกเบี้ยที่เพิ่มไว้ก่อนหน้านี้ ดอกเบี้ยดังกล่าวเรียกว่าซับซ้อน และกระบวนการคำนวณดอกเบี้ยจากดอกเบี้ยเรียกว่าการแปลงดอกเบี้ยเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ ในกรณีของดอกเบี้ยทบต้น ยอดเงินคงค้างคำนวณแตกต่างกัน:

(2) S = P * (1 + ผม) ^ n,
โดยที่ความหมายของตัวอักษรเหมือนกับในสูตรด้านบน และเครื่องหมาย "^" หมายถึงการยกกำลัง

อะไรคือความแตกต่างระหว่างดอกเบี้ยทบต้นและดอกเบี้ยธรรมดา? หากการเติบโตของดอกเบี้ยธรรมดาเกิดขึ้นแบบเส้นตรง (ด้วยจำนวนเท่ากันในแต่ละงวด) ดอกเบี้ยทบต้นจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ (แต่ละงวดต่อๆ มา จำนวนดอกเบี้ยจะมากกว่างวดก่อนหน้า) ด้วยเหตุนี้ จำนวนเงินที่วางที่ดอกเบี้ยทบต้นเป็นระยะเวลานานเกินการเติบโตของจำนวนเงินที่วางด้วยดอกเบี้ยธรรมดาหลายครั้ง ด้านล่างนี้คือผลลัพธ์ของการเติบโตของเงินฝาก (6% ต่อปี) ด้วยดอกเบี้ยทบต้นและดอกเบี้ยทบต้น หากในตอนแรกความแตกต่างยังคงน้อย ต่อมาก็ถึงค่าวิกฤต ดังนั้น เป็นเวลา 80 ปี เงินฝากที่มีดอกเบี้ยง่าย ๆ จะสูงถึง $ 58,000 ในขณะที่เงินฝากที่ซับซ้อน - $ 1,057,960

ในทางปฏิบัติมักมีแนวปฏิบัติที่ระยะเวลาในการคำนวณดอกเบี้ยแตกต่างจากจำนวนเต็ม ในสถานการณ์เช่นนี้ สูตรสำหรับการคำนวณยอดเงินคงค้างด้วยเปอร์เซ็นต์อย่างง่ายจะอยู่ในรูปแบบ:

(3) S = P * (1 + i * d / 365),
โดยที่ d คืองวดดอกเบี้ยคงค้าง แสดงเป็นวัน

นอกจากนี้ยังมีสถานการณ์ที่อัตราดอกเบี้ยแสดงเป็นรายปี แต่ดอกเบี้ยจะคิดดอกเบี้ยเป็นรายเดือน ในกรณีเช่นนี้ สูตรสำหรับคำนวณยอดค้างชำระ (ตามกฎ ในกรณีนี้ จะใช้ดอกเบี้ยทบต้น) จะมีลักษณะดังนี้:

(4) S = P * (1 + i / m) ^ (n * m)
โดยที่ m คือจำนวนงวดการคำนวณดอกเบี้ยภายในระยะเวลาหนึ่ง (โดยปกติ 12 ใช้สำหรับจำนวนเดือนในหนึ่งปี)

และสุดท้าย ให้เราทราบว่าโดยไม่คำนึงถึงประเภทของดอกเบี้ย สูตรทั้งหมดสำหรับการคำนวณจำนวนเงินคงค้างสามารถลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป:

(5) S = P * k,
โดยที่ k คือสัมประสิทธิ์เงินคงค้าง ซึ่งคำนวณได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับประเภทของดอกเบี้ยที่ใช้ ข้อสรุปนี้จะช่วยให้เราเข้าใจการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ตามมาอย่างมาก

ส่วนลดและสาระสำคัญ

แนวคิดเรื่องดอกเบี้ยที่เรากล่าวถึงข้างต้น สะท้อนถึงมูลค่าของเงินตามเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง เนื่องจากเงินที่เราเป็นเจ้าของในวันนี้สามารถนำรายได้มาให้เราในวันพรุ่งนี้อันเป็นผลมาจากการจัดตำแหน่งที่เปอร์เซ็นต์ที่แน่นอน การรับเงินสดในอนาคตมีมูลค่าปัจจุบันที่ต่ำกว่า การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการลดราคานั้นใช้หลักการนี้ การลดราคาหมายถึงการนำการชำระเงินในอนาคตมาสู่มูลค่าปัจจุบัน และในความหมายของมันคือการดำเนินการผกผันกับดอกเบี้ยคงค้าง นั่นคือการลดราคาพิจารณาการชำระเงินในอนาคตเป็นยอดสะสม (S) และงานของนักลงทุนคือการคำนวณมูลค่าปัจจุบัน (P) ตามอัตราดอกเบี้ยที่มีให้เขา (i) สูตรส่วนลดจะมีลักษณะดังนี้: หรือ . ขึ้นอยู่กับประเภทของดอกเบี้ย

(6) ป = S / (1 + ฉัน * n)

(7) ป = S / (1 + ผม)^ น

งานของการลดราคาคือการแสดงให้เราเห็นว่าเงินที่เราจะได้รับในอนาคตมีค่าเท่าไรในวันนี้ เพื่อไม่ให้จ่ายเงินมากเกินไปสำหรับการชำระเงินในอนาคตในแง่ของทางเลือกการลงทุนที่มีให้เรา มาดูการดำเนินการทั่วไปบางอย่างที่ใช้การลดราคากัน

การได้มาซึ่งกระแสการชำระเงินในอนาคต (ธุรกรรมทางบัญชี)
มีการเสนอซื้อพันธบัตรมูลค่า 1,000 ดอลลาร์พร้อมอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี ดอกเบี้ยที่จ่ายเป็นรายไตรมาส และการไถ่ถอน - ณ สิ้นปี งานคือการคำนวณมูลค่าปัจจุบันของหนี้สินตามอัตราคิดลด 15% ต่อปี.

สารละลาย
มาคำนวณรายรับดอกเบี้ยรายไตรมาสและสร้างกันในโปรแกรม Excel ตารางกระแสเงินสด ค้นหาค่าปัจจุบันโดยใช้สูตร NPV ในตัว ดังนั้น ในอัตราคิดลด 15% ต่อปี มูลค่าปัจจุบันของหนี้สินทางการเงินนี้คือ 916.22 เหรียญสหรัฐ

บันทึก

2) ในสูตร NPV แทนอัตราดอกเบี้ย เราใส่เปอร์เซ็นต์รายปีหารด้วย 12

ความเท่าเทียมกันทางการเงิน
คู่สัญญาตกลงเงื่อนไขการชำระเงินค่าพื้นที่สำนักงาน ราคาของสถานที่คือ $ 24,000 ผู้ขายตกลงผ่อนชำระตามเงื่อนไข 8,000$ ทันที ส่วนที่เหลือผ่อนชำระเท่ากันภายใน 4 เดือน อย่างไรก็ตาม เขาพร้อมที่จะพิจารณาแผนการผ่อนชำระที่ยาวขึ้น หากผู้ขายเสนอราคาที่ดินจำนวนมากให้กับเขา

สารละลาย
เราจะสะท้อนเงื่อนไขเริ่มต้นของแผนการผ่อนชำระในรูปแบบของตารางใน Excel ลองจำลองข้อเสนอในตารางเดียวกันด้วยการชำระเงินรายเดือนที่เพิ่มขึ้นซึ่งเป็นผลมาจากราคาสถานที่จะเพิ่มขึ้นเป็น 24,400 ดอลลาร์ ลองคำนวณมูลค่าปัจจุบันของแต่ละตัวเลือกเพื่อเปรียบเทียบความเท่าเทียมกันตามอัตราดอกเบี้ยที่เท่ากับ 10% ต่อปี การคำนวณแสดงให้เห็นว่าตัวเลือกที่สอง แม้ว่าจะมีราคาซื้อที่สูงกว่า แต่ก็ให้ผลกำไรสำหรับผู้ซื้อมากกว่าตัวเลือกแรก

การรวมการชำระเงิน
การรวมการชำระเงินเป็นการดำเนินการเพื่อรวมภาระผูกพันในการชำระเงินหลายรายการเข้าเป็นการชำระเงินครั้งเดียว (S0) ณ เวลาหนึ่ง (T0) ลักษณะเฉพาะของการดำเนินการนี้อยู่ในความจริงที่ว่าการชำระเงินทั้งหมดที่คาดว่าจะมาถึงก่อนวันที่นี้คำนวณโดยการเพิ่มขึ้นและการชำระเงินที่คาดหวังหลังจากนั้น - โดยการลดราคา ขึ้นอยู่กับประเภทของดอกเบี้ยที่ใช้ สูตรการรวมบัญชีจะมีลักษณะดังนี้:

(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (Т0 - Тn))

(9) S = ∑ Pn * (1 + i) ^ (T0 - Ta))

ตัวอย่าง
คุณเปิดเงินฝากธนาคารจำนวน $ 10,000 เป็นเวลา 12 เดือนที่ 10% ต่อปี คุณต้องใส่เงินเข้าบัญชีเท่าไหร่เป็นเวลา 14 เดือน เพื่อที่ว่าหลังจาก 3 ปี คุณจะมีเงิน 15,000 ดอลลาร์ในบัญชีของคุณ

สารละลาย
ลองจินตนาการถึงปัญหาในรูปแบบของการรวมการชำระเงิน โดยที่ผลงานที่มีอยู่จะแสดงเป็นจำนวนบวก และจำนวนเงินที่คาดหวังในอนาคตจะเป็นค่าลบ เมื่อพิจารณาว่าดอกเบี้ยคำนวณที่อัตราดอกเบี้ยทบต้น เราได้การคำนวณดังนี้ 10,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15,000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11,232 - 12,496 = $ -1,264.

การกำหนดอัตราผลตอบแทนภายใน

ในธุรกิจและการลงทุน มักมีสถานการณ์ที่ผู้ลงทุนทราบการชำระเงินในอนาคตและจำนวนเงินลงทุน และเขาจำเป็นต้องคำนวณอัตราการเพิ่มขึ้น โดยที่จำนวนเงินที่ชำระในอนาคตลดลงเป็นมูลค่าปัจจุบันจะเท่ากับตัวเลข จำนวนเงินลงทุน สัมประสิทธิ์การสะสมที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าผลตอบแทนภายใน (IRR) ในการคำนวณอัตราผลตอบแทนภายในจะใช้ฟังก์ชันในตัวของโปรแกรม Excel - IRR

ตัวอย่าง
นักลงทุนกำลังพิจารณาข้อเสนอการลงทุนซึ่งเป็นส่วนร่วมในการเปิดร้านพิชซ่า (ดูที่นี่) เรารู้ว่า: ก) จำนวนเงินลงทุนที่ร้องขอ; b) แผนทางการเงิน (การคาดการณ์กระแสเงินสด); c) โครงการกระจายกระแสเงินสด สรุปข้อเสนอการลงทุน (ดูตาราง) มี 6 ตัวเลือกผลตอบแทน จำเป็นต้องกำหนดความสามารถในการทำกำไรทั้งหมดของข้อเสนอการลงทุนสำหรับเปรียบเทียบกับทางเลือกการลงทุนอื่นๆ

สารละลาย
มาสร้างตารางกระแสเงินสดที่นักลงทุนจะได้รับตามแผนทางการเงินใน Excel (ดูตาราง) มาคำนวณอัตราผลตอบแทนภายในกันโดยใช้สูตร IRR ในตัว โดยเราจะระบุมูลค่าการชำระเงินทั้งหมด รวมถึงการลงทุนเริ่มต้นเป็นช่วงของมูลค่า มูลค่าผลลัพธ์ของอัตราผลตอบแทนภายใน (IRR) = 38.47% ดังนั้นผลตอบแทนที่คาดหวังทั้งหมดจากข้อเสนอการลงทุนที่อยู่ระหว่างการพิจารณาคือ 38.47% ต่อปี

บันทึก
1) ในช่วงที่ไม่มีการชำระเงิน ให้ใส่ "0"
2) เพื่อให้ได้อัตรา IRR ประจำปี ค่าผลลัพธ์จะถูกคูณด้วย 12

เงินงวด (ค่าเช่าทางการเงิน)
กระแสการชำระเงิน ซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมดเป็นบวก และช่วงเวลาระหว่างการชำระเงินเหมือนกัน เรียกว่า เงินรายปีหรือค่าเช่าทางการเงิน ตัวอย่างเช่น เงินงวดคือลำดับของการรับดอกเบี้ยพันธบัตร การชำระเงินกู้ผู้บริโภค เงินสมทบตามปกติภายใต้สัญญาประกันแบบบริจาค และการจ่ายบำนาญ ค่างวดมีลักษณะตามพารามิเตอร์ต่อไปนี้: 1) จำนวนเงินที่ชำระแต่ละครั้ง; 2) ช่วงเวลาระหว่างการชำระเงิน 3) ระยะเวลาของการชำระเงิน (มีเงินงวดถาวร) 4) อัตราดอกเบี้ย เนื่องจากความซับซ้อนของสูตรการคำนวณ ควรใช้สูตร Excel ในตัวเพื่อคำนวณส่วนประกอบต่างๆ ของเงินรายปี ลองพิจารณาสิ่งหลัก ๆ

เมื่อคำนวณเงินกู้จะใช้สูตร: PMT (คำนวณจำนวนเงินที่ชำระรายเดือน), OSPLT (คำนวณจำนวนการชำระคืนเงินต้นซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการชำระเงินรายเดือนเฉพาะ), PRPLT (คำนวณจำนวนดอกเบี้ยเป็นส่วนหนึ่ง ของการชำระเงินรายเดือนที่เฉพาะเจาะจง)

ตัวอย่าง
มีความจำเป็นต้องคำนวณการชำระเงินรายเดือนและกำหนดตารางการชำระเงินสำหรับเงินกู้จำนวน 10,000 ดอลลาร์อัตราดอกเบี้ย 20% ระยะเวลา 20 เดือน

สารละลาย
ในการคำนวณการชำระเงิน เราใช้สูตร PMT แทนที่อัตราดอกเบี้ยเราจะแทนที่มูลค่ารายเดือน (มูลค่ารายปีหารด้วย 12) เนื่องจากมูลค่าปัจจุบันเราระบุจำนวนเงินกู้มูลค่าในอนาคต - เราระบุ 0 เราใช้ค่าเดียวกันสำหรับ OSPLT และ PRPLT สูตรที่เปลี่ยนเฉพาะเลขลำดับของงวด ค่าที่ได้รับจะถูกนำเสนอในรูปแบบของตาราง:

สามารถใช้สูตร PMT เดียวกันในการคำนวณการผ่อนชำระรายเดือนเพื่อสะสมยอดได้จนถึงจุดที่กำหนด ในการทำเช่นนี้แทนที่มูลค่าปัจจุบันเราใส่จำนวนเงินที่ชำระครั้งแรกและแทนที่มูลค่าในอนาคต - จำนวนเงินที่ต้องการ

ตัวอย่าง
คุณอายุ 25 ปี คุณเปิดบัญชีออมทรัพย์เพื่อการเกษียณอายุด้วยอัตราดอกเบี้ย 6% ต่อปี และฝากเงินออมของคุณเป็นจำนวนเงิน 10,000 ดอลลาร์สหรัฐฯ เราจะคำนวณจำนวนเงินที่ชำระรายเดือนที่คุณต้องกันไว้เพื่อรับเงินจำนวน 100,000 ดอลลาร์เมื่ออายุ 45 ปี

สารละลาย
เราใช้ฟังก์ชัน PMT เราระบุอัตราดอกเบี้ย 6% / 12 จำนวนงวดคือ 20 * 12 มูลค่าปัจจุบันคือ 10,000 ดอลลาร์มูลค่าในอนาคตคือ 100,000 ดอลลาร์ ในกรณีนี้ สูตรที่เสร็จสมบูรณ์จะมีลักษณะดังนี้ = PMT (6% / 12; 20 * 12; 10000; 100,000)เราได้รับค่าบริการรายเดือน $288

ตามที่คุณสังเกตเห็นในตัวอย่างข้างต้น เราคำนวณจำนวนเงินที่ชำระรายเดือน ซึ่งเราทราบพารามิเตอร์อื่น ๆ ของเงินรายปี Excel ช่วยให้เราสามารถคำนวณพารามิเตอร์อื่น ๆ ของเงินรายปี - มูลค่าปัจจุบัน, มูลค่าในอนาคต, จำนวนการชำระเงินที่เกิดซ้ำ มาดูกันว่าสูตรเหล่านี้ทำงานอย่างไร

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าปัจจุบัน
ในวันเกิดปีที่ 10 ของลูกชายคุณ คุณตัดสินใจเปิดบัญชีออมทรัพย์เพื่อประหยัดเงิน 10,000 ดอลลาร์ในวันเกิดอายุ 18 ปีของเขา คุณต้องชำระเงินเริ่มต้นให้กับบัญชีนี้เท่าใดหากการผ่อนชำระรายเดือนที่วางแผนไว้คือ $ 50

สารละลาย
เราใช้ฟังก์ชัน PS ตามอัตราดอกเบี้ย เราระบุ 6% / 12 จำนวนการชำระเงินคือ 8 * 12 การชำระเงินเป็นงวดคือ $ 50 มูลค่าในอนาคตคือลบ 10,000 ดอลลาร์ ในกรณีนี้ สูตรที่กรอกเสร็จแล้วจะออกมาเป็นแบบนี้ = PS (6% / 12; 8 * 12; 50; -10000) มูลค่าผลลัพธ์ของการชำระเงินเริ่มต้นคือ 2390 ดอลลาร์

บันทึก
ค่าลบในสูตร PS และ BS หมายถึง "ฉันจะได้รับ" ค่าบวกหมายถึง "ฉันกำลังร้องไห้"

ตัวอย่างการคำนวณมูลค่าในอนาคตและจำนวนการชำระเงิน
เพื่อนสองคนตัดสินใจที่จะรับเงินบำนาญเสริม ในการทำเช่นนี้ แต่ละคนเปิดบัญชีออมทรัพย์ด้วยผลตอบแทน 6% ต่อปี คนหนึ่งให้เงินช่วยเหลือเบื้องต้น 3,000 ดอลลาร์ และครั้งที่สองคือ 5,000 ดอลลาร์ คนแรกคือ 25 คนที่สองคือ 30 ทั้งคู่ต้องการเกษียณอายุภายใน 45 ปี ทั้งสองยินดีหัก 50 ดอลลาร์ต่อเดือน มีความจำเป็นต้องคำนวณจำนวนเงินออมเพื่อการเกษียณและจำนวนเดือนที่เงินบำนาญสะสมจากกองทุนสะสมหากมีการวางแผนการจ่ายเงินบำนาญเป็นจำนวนเงิน 150 ดอลลาร์

สารละลาย
ขั้นแรก มาคำนวณจำนวนเงินออมเงินบำนาญกันก่อน สำหรับสิ่งนี้เราใช้สูตร BS ในกรณีแรกจำนวนการชำระเงินจะเป็น 20 * 12 ในครั้งที่สอง - 15 * 12 มูลค่าปัจจุบันในกรณีแรกคือ $ 3000 ในครั้งที่สอง - $ 5,000 อัตราดอกเบี้ยในทั้งสองกรณีจะเป็น 6 % / 12 และการชำระเงินเป็นงวด - $ 50 ... สูตรที่ประกอบในกรณีแรกจะมีลักษณะดังนี้ = BS (6% / 12; 20 * 12; 50; 3000) ในวินาที = BS (6% / 12; 15 * 12; 50; 5000) ในกรณีแรก การออมเงินบำนาญจะอยู่ที่ 33,032 ดอลลาร์ ในกรณีที่สอง - 26,811 ดอลลาร์ ตอนนี้ มาคำนวณช่วงเวลาที่ยอดสะสมสามารถจ่ายบำเหน็จบำนาญข้างต้นได้ ในการทำเช่นนี้ เราจะใช้ฟังก์ชัน NPER โดยที่เราระบุ 6% / 12 เป็นอัตราดอกเบี้ย เราตั้ง $ 150 เป็นจำนวนเงินที่ชำระ และเราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นมูลค่าปัจจุบัน เราได้รับจำนวนเงินในเดือน - 149 สำหรับเดือนแรกและ 128 สำหรับเดือนที่สอง

บันทึก
ค่าลบในสูตรระบุว่าเราได้รับการชำระเงิน ในกรณีที่ใช้สูตรในการคำนวณการชำระเงินที่ต้องจ่าย ค่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวก

เงินงวดถาวร (ตลอดไป) และรูปแบบกอร์ดอน

กรณีพิเศษของเงินงวดคือลำดับของการชำระเงิน ระยะเวลาที่ไม่ได้กำหนดแบบมีเงื่อนไข ดังนั้นเงินรายปีนี้จึงถือเป็นนิรันดร์ ตัวอย่างของเงินงวดถาวรอาจเป็นการปลอบใจ - ประเภทของหลักทรัพย์ (พันธบัตร) ที่มีการคิดดอกเบี้ยอย่างไม่มีกำหนด แต่จะไม่มีการคืนเงินมูลค่าที่ตราไว้ ในทางปฏิบัติหลักทรัพย์ดังกล่าวหายาก ตัวอย่างทั่วไปของเงินรายปีแบบถาวรคือการจ่ายเงินปันผล ซึ่งบางบริษัทจ่ายให้กับผู้ถือหุ้นเป็นเวลานาน ในการคำนวณค่าใช้จ่ายของเงินรายปีแบบถาวรจะใช้โมเดล Gordon:

(10) S = P * (1 + g) / (r - g) โดยที่ S คือค่าใช้จ่ายของเงินรายปี P คือการชำระเงินปัจจุบัน g คืออัตราการเติบโตของการชำระเงินปัจจุบัน r คืออัตราผลตอบแทน

สูตรข้างต้นเป็นรายการหลักของเครื่องมือสำหรับการคำนวณประเภทต่างๆ และช่วยให้คุณสามารถคำนวณตามสถานการณ์ต่างๆ ในความคิดเห็นของบทความนี้ คุณสามารถอธิบายสถานการณ์ที่ต้องใช้การคำนวณทางการเงิน และฉันจะพยายามแสดงให้เห็นว่าเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ข้างต้นจะช่วยคุณแก้ปัญหาได้อย่างไร

ในการเตรียมบทความนั้น Shirshova E.V. , N.I. ใช้วัสดุจากตำราเรียน "คณิตศาสตร์การเงิน" Petrik, Tutygina A.G. , Menshikova T.V. , มอสโก, เอ็ด Knorus, 2010

ความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ งานที่น่าสนใจ

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุในส่วนพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "สม่ำเสมอมาก ... ")

ความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์

อะไร ความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์? วิธีแก้ปัญหา งานดอกเบี้ย? อนิจจาคำถามเหล่านี้ปรากฏขึ้นทันที ... เมื่อบัณฑิตอ่านการมอบหมาย USE และพวกเขาทำให้เขางุนงง แต่เปล่าประโยชน์ นี่เป็นแนวคิดที่ง่ายมาก

สิ่งเดียวที่ต้องจำคือเหล็ก - คืออะไร หนึ่งเปอร์เซ็นต์ ... แนวคิดนี้คือ กุญแจหลักเพื่อแก้ไขปัญหาที่มีความสนใจและทำงานโดยมีความสนใจโดยทั่วไป

หนึ่งเปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของตัวเลข ... และนั่นคือทั้งหมด ไม่มีปัญญาอีกต่อไป

คำถามที่สมเหตุสมผล - และส่วนที่ร้อย วันอะไร ? แต่จำนวนที่อ้างถึงในงาน ถ้าพูดถึงราคา หนึ่งเปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของราคา เมื่อพูดถึงความเร็ว หนึ่งเปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของความเร็ว เป็นต้น เป็นที่ชัดเจนว่าตัวเลขที่เป็นปัญหานั้นเป็น 100% เสมอ และหากไม่มีตัวเลขนั้น เปอร์เซ็นต์ก็ไม่สมเหตุสมผลเช่นกัน ...

อีกสิ่งหนึ่งคือในปัญหาที่ซับซ้อน ตัวเลขนั้นจะถูกซ่อนไว้มากจนคุณหาไม่พบ แต่เรายังไม่ได้ตั้งเป้าหมายที่ยาก เราจัดการกับ เปอร์เซ็นต์ในวิชาคณิตศาสตร์.

ฉันไม่เน้นคำเพื่ออะไร หนึ่งเปอร์เซ็นต์ หนึ่งร้อย... จำสิ่งที่เป็น หนึ่งเปอร์เซ็นต์คุณสามารถหาสองเปอร์เซ็นต์และสามสิบสี่และสิบเจ็ดและหนึ่งร้อยยี่สิบหกได้อย่างง่ายดาย! คุณจะพบมากเท่าที่คุณต้องการ

และนี่คือทักษะหลักในการแก้ปัญหาด้วยความสนใจ

มาลองกัน?

หา 3% ของ 400 กัน อันดับแรก หา หนึ่งเปอร์เซ็นต์... มันจะเป็นหนึ่งร้อยนั่นคือ 400/100 = 4 หนึ่งเปอร์เซ็นต์คือ 4 และเราต้องการกี่เปอร์เซ็นต์? สาม. เราก็คูณ 4 ด้วยสาม. เราได้ 12 แค่นั้นแหละ. สามเปอร์เซ็นต์ของ 400 คือ 12

5% ของ 20 คือ 20 หารด้วย 100 (หนึ่งในร้อย - 1%) และคูณด้วยห้า (5%):

5% ของ 20 จะเป็น 1 เท่านั้น

มันไม่ง่ายเลย รีบๆ ก่อนที่เราจะลืม มาฝึกกัน!

ค้นหาว่ามันจะเป็น:
5% ของ 200 รูเบิล
8% จาก 350 กิโลเมตร
120% จาก 10 ลิตร
15% ของ 60 องศา
4% เป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยมจากนักเรียน 25 คน
10% ของนักเรียนที่ยากจนจาก 20 คน

คำตอบ (ในความระส่ำระสายอย่างสมบูรณ์): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

ตัวเลขเหล่านี้คือจำนวนรูเบิล องศา นักเรียน ฯลฯ ฉันไม่ได้เขียนว่ามีอะไรน่าสนใจมากกว่าที่จะตัดสินใจ ...

และถ้าเราต้องเขียน NS%จากตัวเลขบางตัว เช่น จาก 50? ใช่ทุกอย่างเหมือนกัน หนึ่งเปอร์เซ็นต์ของ 50 เป็นเท่าใด ถูกต้อง 50/100 = 0.5 และเรามีเปอร์เซ็นต์เหล่านี้ - NS... ทีนี้ลองคูณ 0.5 ด้วย NS! เราได้รับสิ่งนั้น NS%จาก 50 มันคือ - 0.5x.

หวังว่าจะเป็น ความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์คุณได้รับมัน. และคุณสามารถค้นหาจำนวนเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขใดๆ ได้อย่างง่ายดาย มันง่าย ตอนนี้คุณมีความสามารถประมาณ 60% ของงานทั้งหมดที่น่าสนใจ! เกินครึ่งแล้ว. เอาล่ะ ที่เหลือเราจะทำเสร็จแล้วเหรอ? โอเค สิ่งที่คุณพูด!

ในปัญหาดอกเบี้ยมักพบสถานการณ์ตรงกันข้าม เราได้รับ ขนาด (อะไรก็ได้) แต่ต้องหา น่าสนใจ ... เราจะเชี่ยวชาญกระบวนการง่ายๆ นี้ด้วย

3 คนจาก 120 คน - เปอร์เซ็นต์คืออะไร? ไม่ทราบ? งั้นก็ปล่อยให้มันเป็นไป NSเปอร์เซ็นต์

มาคำนวณกัน NS%จาก 120 คน ในมนุษย์. พวกเราสามารถทำได้. 120 หารด้วย 100 (คำนวณ 1%) แล้วคูณด้วย NS(คำนวณ NS%). เราได้ 1.2 NS.

มาทำความเข้าใจผลลัพธ์กัน

NS เปอร์เซ็นต์ จาก 120 คน นั่นคือ 1.2 NS มนุษย์ ... และเรามีสามคนดังกล่าว มันยังคงเท่ากับ:

เราจำได้ว่าสำหรับ X เราใช้จำนวนเปอร์เซ็นต์ ดังนั้น 3 คนจาก 120 คนคือ 2.5%

นั่นคือทั้งหมดที่

สามารถทำได้ด้วยวิธีอื่น เข้ากับความเฉลียวฉลาดแบบง่ายๆ โดยไม่มีสมการใดๆ พวกเราคิดว่า กี่ครั้ง 3 คน น้อยกว่า 120? หาร 120 ด้วย 3 แล้วได้ 40. ดังนั้น 3 จึงน้อยกว่า 120 คูณ 40.

จำนวนคนที่ต้องการเป็นเปอร์เซ็นต์จะเป็น ในปริมาณเท่ากัน น้อยกว่า 100% ท้ายที่สุดแล้ว 120 คนคือ 100% หาร 100 ด้วย 40, 100/40 = 2.5

นั่นคือทั้งหมดที่ ได้รับ 2.5%

นอกจากนี้ยังมีสัดส่วน แต่โดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกันในรุ่นที่ลดขนาดลง วิธีการทั้งหมดเหล่านี้ถูกต้อง เนื่องจากสะดวกกว่าสำหรับคุณจึงคุ้นเคยและเข้าใจได้มากขึ้น - ลองพิจารณาดู

เราฝึกอีกครั้ง

คำนวณว่ามีกี่เปอร์เซ็นต์:
3 คนจาก 12 คน
10 รูเบิล จาก 800
หนังสือเรียน 4 เล่ม จาก 160 เล่ม
24 คำตอบที่ถูกต้อง 32 คำถาม
2 เดาคำตอบ 32 คำถาม
9 นัดจาก 10 นัด

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย): 75%, 25%, 90%, 1.25%, 2.5%, 6.25%.

ในกระบวนการคำนวณ คุณอาจเจอเศษส่วน รวมถึงที่ไม่สะดวกเช่น 1.333333 ... แล้วใครบอกให้คุณใช้เครื่องคิดเลข? โดยตัวคุณเอง? อย่า. นับ ไม่มีเครื่องคิดเลข ตามที่เขียนในหัวข้อ "เศษส่วน" มีทุกแบบที่สนใจ...

ดังนั้นเราจึงเข้าใจการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็นเปอร์เซ็นต์และในทางกลับกัน คุณสามารถทำงาน

งานที่น่าสนใจ

ในข้อสอบปัญหาดอกเบี้ยเป็นที่นิยมมาก จากง่ายที่สุดไปซับซ้อนที่สุด ในส่วนนี้ เราทำงานกับงานง่ายๆ ในงานง่าย ๆ ตามกฎแล้วคุณต้องเปลี่ยนจากเปอร์เซ็นต์เป็นค่าที่กล่าวถึงในงาน เพื่อรูเบิล กิโลกรัม วินาที เมตร และอื่น ๆ หรือในทางกลับกัน เรารู้วิธีแล้ว หลังจากนั้นงานจะชัดเจนและง่ายต่อการแก้ไข ไม่เชื่อฉัน? ดูด้วยตัวคุณเอง
ให้เรามีหน้าที่ดังกล่าว

“ค่ารถบัส 14 รูเบิล ในวันปิดภาคเรียน มีส่วนลด 25% สำหรับนักเรียน ค่ารถช่วงปิดเทอมเท่าไหร่คะ”

จะตัดสินใจอย่างไร? ถ้าเราหาได้ประมาณ 25% ในรูเบิล- แล้วไม่มีอะไรต้องตัดสินใจ ลบส่วนลดจากราคาเดิม - แค่นั้นเอง!

แต่เรารู้วิธีรับรู้แล้ว! เท่าไหร่จะ หนึ่งเปอร์เซ็นต์ จาก 14 รูเบิล? ส่วนร้อย. นั่นคือ 14/100 = 0.14 รูเบิล และเรามี 25 เปอร์เซ็นต์ดังกล่าว ลองคูณ 0.14 รูเบิลด้วย 25 เราได้รับ 3.5 รูเบิล นั่นคือทั้งหมดที่ เราได้กำหนดจำนวนส่วนลดเป็นรูเบิลแล้วเพื่อค้นหาค่าโดยสารใหม่:

14 – 3,5 = 10,5.

สิบรูเบิลครึ่ง นี่คือคำตอบ

ทันทีที่พวกเขาเปลี่ยนจากดอกเบี้ยเป็นรูเบิล ทุกอย่างก็เรียบง่ายและชัดเจน นี่เป็นแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาด้วยความสนใจ

แน่นอนว่าไม่ใช่งานทั้งหมดที่มีระดับพื้นฐานเท่ากัน มีสิ่งที่ซับซ้อนมากขึ้น แค่คิด! เราจะแก้ปัญหาตอนนี้ ความยากคือสิ่งตรงกันข้ามคือความจริง เราได้รับค่าบางอย่าง แต่เราต้องหาเปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น งานเช่นนี้:

“ก่อนหน้านี้ Vasya แก้ปัญหาสองอย่างอย่างถูกต้องเป็นเปอร์เซ็นต์ยี่สิบ หลังจากศึกษาหัวข้อในเว็บไซต์ที่มีประโยชน์หนึ่งแห่งแล้ว Vasya เริ่มแก้ปัญหา 16 จาก 20 ปัญหาอย่างถูกต้อง Vasya ฉลาดขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์? เราพิจารณาปัญหาที่แก้ไขได้ 20 ข้อสำหรับความฉลาดร้อยเปอร์เซ็นต์ "

เนื่องจากคำถามเกี่ยวกับดอกเบี้ย (ไม่ใช่รูเบิล กิโลกรัม วินาที ฯลฯ) เราจึงหันมาสนใจ ค้นหาว่า Vasya แก้ไขได้กี่เปอร์เซ็นต์ ก่อน สงสัยว่ากี่เปอร์เซ็นต์ หลังจาก - และอยู่ในกระเป๋า!

เรานับ สองงานจาก 20 - กี่เปอร์เซ็นต์? 2 น้อยกว่า 20 10 ครั้ง จริงไหม? ดังนั้นจำนวนงาน เป็นเปอร์เซ็นต์จะน้อยกว่า 100% 10 เท่า นั่นคือ 100/10 = 10

สิบ%. ใช่ Vasya ตัดสินใจเล็กน้อย ... ไม่มีอะไรทำในการสอบ แต่ตอนนี้เขาฉลาดขึ้นและแก้ปัญหาได้ 16 ข้อจาก 20 ปัญหา เราพิจารณาว่ามันจะมากน้อยแค่ไหน? 16 น้อยกว่า 20 กี่ครั้ง? ถนัดมือแล้วไม่บอก...จะแบ่งให้

5/4 ครั้ง ทีนี้ เราหาร 100 ด้วย 5/4:

ที่นี่. 80% แข็งอยู่แล้ว และที่สำคัญไม่มีขีดจำกัด!

แต่นั่นไม่ใช่คำตอบ! เราอ่านปัญหาอีกครั้งเพื่อไม่ให้เข้าใจผิด ใช่เราถูกถาม เท่าไร เปอร์เซ็นต์ที่ฉลาดกว่า Vasya? มันง่าย 80% - 10% = 70%. 70%.

70% คือคำตอบที่ถูกต้อง

อย่างที่คุณเห็นในงานง่าย ๆ การแปลงค่าที่กำหนดเป็นเปอร์เซ็นต์หรือเปอร์เซ็นต์ที่กำหนดเป็นค่าก็เพียงพอแล้วเมื่อทุกอย่างชัดเจน เป็นที่ชัดเจนว่าอาจมีเสียงระฆังและนกหวีดเพิ่มเติมในงาน ซึ่งมักจะไม่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์ ที่นี่สิ่งสำคัญคือต้องอ่านเงื่อนไขอย่างรอบคอบและทีละขั้นตอนอย่างช้า ๆ ไขปริศนา เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในหัวข้อถัดไป

แต่มีการซุ่มโจมตีอย่างร้ายแรงในปัญหาผลประโยชน์! หลายคนตกอยู่ในนั้น ใช่ ... การซุ่มโจมตีนี้ดูไร้เดียงสาทีเดียว ตัวอย่างเช่น นี่คือปริศนา

“โน๊ตบุ๊คที่สวยงามราคา 40 รูเบิลในฤดูร้อน ก่อนเริ่มปีการศึกษา ผู้ขายขึ้นราคา 25% อย่างไรก็ตาม การซื้อโน้ตบุ๊กนั้นยากจนมากจนทำให้เขาลดราคาลง 10% ยังไงก็ไม่เอา! เขาต้องลดราคาอีก 15% ที่นี่การค้าเริ่มต้นขึ้น! ราคาสุดท้ายของโน้ตบุ๊กคืออะไร "

ยังไงดี? ประถม?

หากคุณตอบอย่างรวดเร็วและสนุกสนานว่า "40 รูเบิล!" แสดงว่าคุณถูกซุ่มโจมตี ...

เคล็ดลับคือเปอร์เซ็นต์จะคำนวณจาก .เสมอ บางสิ่งบางอย่าง .

ดังนั้นเราจึงนับ เท่าไร รูเบิลแม่ค้าตีราคาให้? 25% จาก 40 rubles - นี่คือ 10 รูเบิล นั่นคือโน้ตบุ๊กที่ราคาสูงขึ้นเริ่มมีราคา 50 รูเบิล นี่เป็นที่เข้าใจใช่มั้ย?

และตอนนี้เราต้องลดราคาลง 10% จาก 50 รูเบิล จาก 50 ไม่ใช่ 40! 10% ของ 50 rubles คือ 5 rubles ดังนั้น หลังจากการลดราคาครั้งแรก โน้ตบุ๊กเริ่มมีราคา 45 รูเบิล

เราพิจารณาการลดราคาครั้งที่สอง 15% ของ 45 รูเบิล ( จาก 45 ไม่ใช่ 40 หรือ 50! ) คือ 6.75 รูเบิล ดังนั้นราคาสุดท้ายของโน้ตบุ๊กคือ:

45 - 6.75 = 38.25 รูเบิล

อย่างที่คุณเห็น การซุ่มโจมตีคือการคำนวณดอกเบี้ยทุกครั้งจากราคาใหม่ จากช่วงหลัง. นี้มักจะเป็นกรณี หากงานสำหรับการเพิ่ม-ลดตามลำดับไม่ได้ระบุเป็นข้อความธรรมดา จากสิ่งที่ นับเปอร์เซ็นต์ คุณต้องนับจากค่าสุดท้าย และนั่นเป็นเรื่องจริง ผู้ขายรู้ได้อย่างไรว่าโน้ตบุ๊กนี้ขึ้นราคากี่ครั้ง ตกราคาต่อหน้าเขา และราคาเท่าไหร่ในตอนเริ่มต้น ...

ตอนนี้คุณอาจกำลังคิดว่าเหตุใดวลีสุดท้ายจึงถูกเขียนขึ้นในปริศนาเกี่ยวกับ Vasya ที่ชาญฉลาด? อันนี้: " เรานับ 20 ปัญหาที่แก้ไขได้สำหรับความฉลาดร้อยเปอร์เซ็นต์”?ดูเหมือนและทุกอย่างชัดเจน ... เอ่อ ... จะพูดยังไงดี หากไม่มีวลีนี้ Vasya อาจนับความสำเร็จเริ่มต้นของเขาเป็น 100% นั่นคือสองปัญหาที่แก้ไขได้ และงาน 16 งานนั้นมากกว่าแปดเท่า เหล่านั้น. 800%! Vasya จะสามารถพูดคุยเกี่ยวกับภูมิปัญญาของเขาเองได้มากถึง 700%!

คุณยังสามารถทำงาน 16 งานได้ 100% และรับคำตอบใหม่ ถูกต้องด้วย...

จึงได้ข้อสรุปว่า สิ่งที่สำคัญที่สุดในงานที่น่าสนใจคือการกำหนดให้ชัดเจนว่าควรนับหนึ่งหรืออีกเปอร์เซ็นต์ใด

นี่เป็นสิ่งจำเป็นในชีวิตเช่นกัน ในกรณีที่มีการใช้ดอกเบี้ย ในร้านค้า ธนาคาร ทุกโปรโมชั่น จากนั้นคุณคาดหวังส่วนลด 70% และคุณจะได้รับ 7% และไม่ใช่ส่วนลด แต่เป็นราคาที่สูงขึ้น ... และโดยสุจริตเขาคำนวณผิด

คุณมีความคิดเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ในวิชาคณิตศาสตร์แล้ว มาชี้ให้เห็นสิ่งที่สำคัญที่สุด

คำแนะนำในทางปฏิบัติ:

1. ในงานเพื่อความสนใจ - เปลี่ยนจากความสนใจเป็นค่าเฉพาะ หรือถ้าจำเป็น จากค่าเฉพาะเป็นเปอร์เซ็นต์ เราอ่านงานอย่างระมัดระวัง!

2. เราศึกษาอย่างระมัดระวัง จากสิ่งที่ คุณต้องนับเปอร์เซ็นต์ หากสิ่งนี้ไม่ได้ระบุไว้ในข้อความธรรมดา ก็จำเป็นต้องบอกเป็นนัย เมื่อค่าเปลี่ยนแปลงตามลำดับ ระบบจะถือว่าเปอร์เซ็นต์จากค่าสุดท้าย เราอ่านปัญหาอย่างระมัดระวัง!

3. เมื่อแก้ปัญหาเสร็จแล้วเราก็อ่านอีกครั้ง เป็นไปได้ว่าคุณพบคำตอบระดับกลาง ไม่ใช่คำตอบที่แน่ชัด เราอ่านปัญหาอย่างระมัดระวัง!

แก้ปัญหาความสนใจหลายประการ สำหรับการควบรวมกิจการเพื่อที่จะพูด ในงานเหล่านี้ ฉันพยายามรวบรวมปัญหาหลักทั้งหมดที่รอการตัดสินชี้ขาด คราดที่เหยียบบ่อยที่สุด นี่คือ:

1. ตรรกะเบื้องต้นในการวิเคราะห์ปัญหาอย่างง่าย

2. ตัวเลือกที่ถูกต้องของค่าที่คุณต้องการนับเปอร์เซ็นต์ มีกี่คนที่สะดุดเรื่องนี้! แต่มีกฎที่ง่ายมาก ...

3. ร้อยละของดอกเบี้ย เป็นเรื่องเล็ก แต่น่าอายจริงๆ ...

4. และโกยอีกหนึ่งอัน การเชื่อมต่อเปอร์เซ็นต์กับเศษส่วนและส่วนต่างๆ แปลเป็นกันและกัน.

“50 คนเข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก 68% ของนักเรียนแก้ปัญหาเล็กน้อย 75% ของที่เหลือแก้ปัญหาได้ปานกลาง และที่เหลือก็มีปัญหามากมาย มีกี่คนที่แก้ปัญหาได้มากมาย?”

พรอมต์ หากคุณได้นักเรียนเศษส่วนนี่เป็นสิ่งที่ผิด อ่านโจทย์ให้ดี มีคำสำคัญอยู่คำหนึ่ง ... อีกปัญหาหนึ่ง:

“ Vasya (ใช่นั่น!) ชอบโดนัทกับแยมมาก ที่อบในร้านเบเกอรี่ที่เดียวจบจากที่บ้าน โดนัทราคาคนละ 15 รูเบิล ด้วย 43 rubles ที่พร้อมใช้งาน Vasya ไปที่ร้านเบเกอรี่โดยรถบัส 13 rubles และในร้านเบเกอรี่ก็มีการกระทำ "ลดราคาทุกอย่าง - 30% !!!" คำถาม: มีโดนัทอีกกี่ชิ้นที่ Vasya ไม่สามารถซื้อได้เนื่องจากความเกียจคร้านของเขา (เขาสามารถเดินเท้าได้ใช่ไหม) "

งานสั้น.

4 น้อยกว่า 5 มีกี่เปอร์เซ็นต์?

5 มากกว่า 4 มีกี่เปอร์เซ็นต์?

งานยาว...

Kolya ได้งานง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณดอกเบี้ย ในระหว่างการสัมภาษณ์ เจ้านายที่มีรอยยิ้มเจ้าเล่ห์เสนอทางเลือกให้ Kolya สองทางเลือกสำหรับค่าตอบแทน ตามตัวเลือกแรก Kolya ได้รับอัตรา 15,000 รูเบิลต่อเดือนทันที ตาม Kolya ที่สองถ้าเขาตกลง 2 เดือนแรกจะได้รับเงินเดือนลดลง 50% เหมือนเป็นมือใหม่ แต่แล้วพวกเขาจะเพิ่มเงินเดือนที่ลดลงของเขามากถึง 80%!

Kolya เยี่ยมชมเว็บไซต์ที่มีประโยชน์แห่งหนึ่งบนอินเทอร์เน็ต ... ดังนั้นหลังจากคิดเป็นเวลาหกวินาทีด้วยรอยยิ้มเล็กน้อยเขาเลือกตัวเลือกแรก เจ้านายยิ้มตอบและตั้งเงินเดือนถาวรให้ Kolya ที่ 17,000 รูเบิล

คำถาม: Kolya ได้รับเงินเท่าไหร่ต่อปี (เป็นพันรูเบิล) ในการสัมภาษณ์ครั้งนี้? เทียบกับกรณีที่เลวร้ายที่สุด? และอีกอย่างคือพวกเขายิ้มตลอดเวลา !?)

งานสั้นอีกแล้ว

หา 20% ของ 50%

ยาวอีกแล้ว)

รถไฟด่วนหมายเลข 205 "Krasnoyarsk - Anapa" หยุดที่สถานี "Syzran-Gorod" Vasily และ Kirill ไปที่ร้านสถานีเพื่อซื้อไอศกรีมให้ Lena และแฮมเบอร์เกอร์สำหรับตัวเอง เมื่อพวกเขาซื้อทุกอย่างที่ต้องการ คนทำความสะอาดร้านบอกว่ารถไฟของพวกเขาได้เริ่มขึ้นแล้ว ... Vasily และ Kirill วิ่งอย่างรวดเร็วและรวดเร็วและกระโดดขึ้นรถได้ คำถาม แชมป์โลกด้านการวิ่งจะมีเวลากระโดดขึ้นรถภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้หรือไม่?
เราเชื่อว่าภายใต้สภาวะปกติ แชมป์โลกจะวิ่งเร็วกว่า Vasily และ Kirill ถึง 30% อย่างไรก็ตามความปรารถนาที่จะไล่ตามรถ (เป็นคันสุดท้าย) รักษา Lena ด้วยไอศกรีมและกินแฮมเบอร์เกอร์เพิ่มความเร็ว 20% และไอศครีมที่มีแฮมเบอร์เกอร์อยู่ในมือของแชมป์เปี้ยนและรองเท้าแตะที่เท้าของเขาจะลดความเร็วลง 10% ...

แต่ปัญหาที่ไม่มีดอกเบี้ย ... ฉันสงสัยว่าเธอมาที่นี่ทำไม?)

พิจารณาว่าแอปเปิ้ลหนัก 3/4 ของแอปเปิ้ลมีน้ำหนักเท่าใดถ้าแอปเปิ้ลทั้งลูกหนัก 200 กรัม?

และอันสุดท้าย

ในรถไฟเร็วหมายเลข 205 "ครัสโนยาสค์ - อนาปา" เพื่อนนักเดินทางไขปริศนาคำศัพท์ Lena เดา 2/5 ของคำทั้งหมด และ Vasily เดาหนึ่งในสามของคำที่เหลือ จากนั้นคิริลล์ก็เข้าร่วมและแก้ไข 30% ของคำสแกนทั้งหมด! Seryozha เดา 5 คำสุดท้าย scanword มีกี่คำ? จริงหรือไม่ที่ลีน่าเดาคำได้มากที่สุด?

คำตอบอยู่ในระเบียบแบบดั้งเดิมและไม่มีชื่อของหน่วย โดนัทอยู่ที่ไหน นักเรียนอยู่ที่ไหน rubles ที่มีความสนใจอยู่ที่ไหน - ตัวคุณเอง ...

สิบ; 50; ใช่; 4; ยี่สิบ; เลขที่; 54; 2; 25; 150.

ดังนั้นวิธีการที่? ถ้าทุกอย่างลงตัว ยินดีด้วย! ความสนใจไม่ใช่ปัญหาของคุณ ไปทำงานที่ธนาคารได้อย่างปลอดภัย)

บางสิ่งบางอย่างที่ไม่ถูกต้อง? ไม่สำเร็จ? ไม่ทราบวิธีคำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขอย่างรวดเร็วใช่หรือไม่ ไม่ทราบกฎที่ง่ายและตรงไปตรงมาใช่ไหม จากสิ่งที่จะนับดอกเบี้ยเช่น? หรือคุณจะแปลงเศษส่วนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้อย่างไร

ถ้าคุณชอบไซต์นี้ ...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบการตรวจสอบทันที การเรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

เมื่อส่งลูกไปโรงเรียน ผู้ปกครองหลายคนกังวลว่าจะไม่สามารถช่วยแก้ปัญหาง่ายๆ ให้แก้ปัญหาได้ ส่งผลให้เด็กตกตะลึง คุณไม่ต้องกลัวสิ่งนี้ และเพื่อหลีกเลี่ยงสถานการณ์ดังกล่าว คุณจะต้องจดจำความรู้ที่คุณเคยได้รับ และอาจเรียนรู้ในรูปแบบใหม่ หากคุณยังสามารถแก้ปัญหาที่เสนอในระดับประถมศึกษาได้ ก็ไม่ใช่ทุกคนที่จะรับมือกับโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ได้ และในขั้นตอนนี้เองที่เด็กจะต้องเรียนรู้ว่าความสนใจคืออะไร และคุณจะต้องคิดว่าจะทำอย่างไร อธิบายเปอร์เซ็นต์ในวิชาคณิตศาสตร์ให้เด็กฟัง เมื่อคร่ำครวญในความทรงจำแล้ว หลายคนจะพบคำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่ถ้าคุณลืมวิธีคำนวณเปอร์เซ็นต์ คุณจะต้องนั่งอ่านหนังสือเรียน

สอนลูกคำนวณเปอร์เซ็นต์

ครูคณิตศาสตร์รู้วิธีอธิบายเปอร์เซ็นต์ของเด็กในวิชาคณิตศาสตร์อย่างถ่องแท้ เขาจะสอนการคำนวณทางคณิตศาสตร์อื่นๆ แต่ไม่ใช่เด็กทุกคนที่มีความสามารถในการรับรู้ข้อมูลด้วยหูหรือจากหนังสือด้วยตนเอง ในกรณีนี้พวกเขาจะหันไปหาผู้ปกครองซึ่งควรอธิบายวิธีคำนวณเปอร์เซ็นต์ของบางสิ่ง หากคุณไม่ทราบวิธีอธิบายความสนใจให้นักเรียนฟัง ลองแปลบทเรียนเป็นเกมที่น่าตื่นเต้น คุณอาจต้องวาด 100 รูปทรงสำหรับสิ่งนี้ แต่ก็คุ้มค่า เพราะวิธีนี้คุณสามารถอธิบายทุกอย่างได้อย่างชัดเจน คุณควรบอกว่าตัวเลขทั้งหมด 100 ตัวเป็น 100% และถ้าคุณวาด 50 ตัวด้วยสีใดก็ได้ ครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่ไม่มีสีจะยังคงอยู่ และอีกครึ่งหนึ่งคือ 50%

เป็นไปได้มากว่าเด็กจะชอบเกมนี้ในขณะที่คุณมีที่ว่างสำหรับการซ้อมรบ - คุณสามารถระบายสีรูปร่างจำนวนเท่าใดก็ได้โดยขอให้เด็กนับ ท้ายที่สุดแล้ว ทุกอย่างก็เรียบง่าย - หุ่นสี 30 ตัว - 30% และอื่นๆ หลังจากที่เด็กได้รู้ว่าเปอร์เซ็นต์เป็นอย่างไรจากตัวอย่าง คุณสามารถตัดสินใจว่าจะคำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนั้นอย่างไร ถ้าคุณไม่รู้จะอธิบายให้ลูกฟังอย่างไรในหัวข้อ 5.6 เปอร์เซ็นต์ ให้ขอให้เขาแก้ปัญหาง่ายๆ โดยคำนวณ 50 เปอร์เซ็นต์ของคนจำนวนเท่าใดก็ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วสำหรับเขาที่จะหาร 50 ด้วย 100 และคูณด้วยจำนวนคนทั้งหมด มีความเป็นไปได้อื่น ๆ แต่อย่าลืมสัดส่วนที่ค่อนข้างลืมซึ่งเหมาะที่สุดสำหรับการคำนวณเปอร์เซ็นต์

เราใช้ดอกเบี้ยในชีวิต

เพื่อให้เด็กสามารถควบคุมความสนใจได้ดีขึ้น และหากคุณยังไม่เข้าใจวิธีการอธิบายปัญหาสำหรับเกรดร้อยละ 5.6 ให้เด็กฟัง ก่อนอื่นให้พยายามอธิบายว่าทำไมเขาถึงต้องการตามหลักการ ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องมีความคิดสร้างสรรค์ ยกตัวอย่างเช่น เด็กในธนาคารและพยายามอธิบายให้เขาฟังว่าดอกเบี้ยคืออะไรโดยใช้ตัวอย่างอัตราดอกเบี้ยเงินกู้ เด็กควรสนใจสิ่งนี้และเขาจะเข้าใจว่าความรู้เกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์เป็นสิ่งสำคัญและตอนนี้คุณสามารถเริ่มศึกษาเปอร์เซ็นต์ได้อย่างปลอดภัย คุณสามารถใช้การจำเปอร์เซ็นต์ในสถานการณ์ชีวิตอื่น ๆ ได้ สิ่งสำคัญคือเด็กสนใจมัน และเขาเข้าใจว่าถ้าเขาไม่เข้าใจเปอร์เซ็นต์ เขาจะสูญเสียมาก

สิ่งแรกที่เด็กควรเรียนรู้คือ เปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของตัวเลข คุณสามารถแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยมได้โดยการหารจำนวนที่ต้องการด้วย 100 และในการแปลงทศนิยมเป็นเปอร์เซ็นต์ คุณต้องทำตรงกันข้าม - คูณเศษส่วนด้วย 100 หากเด็กสนใจที่จะศึกษาเปอร์เซ็นต์ เชิญเขา เพื่อจดจำตารางที่มีการระบุอัตราส่วนเป็นเศษส่วนและเปอร์เซ็นต์ช่วยอำนวยความสะดวกในการดูดซึมข้อมูลด้วยความช่วยเหลือของรูปภาพที่น่าสนใจ

เมื่อย้ายไปยังชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เด็กนักเรียนต้องเผชิญกับปัญหาทางคณิตศาสตร์รูปแบบใหม่ - ปัญหาดอกเบี้ย สำหรับหลายๆ คน หัวข้อนี้ยากพอสมควร จะอธิบายการค้นพบที่น่าสนใจได้อย่างไร?

คำแนะนำ

เด็กมักจะเข้าใจปัญหาของจำนวนเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น หากมี 100 kopecks ในหนึ่งรูเบิล 50 kopeck จะเท่ากับ 50 เปอร์เซ็นต์ อธิบายได้ยากกว่ามากว่าสามารถหาเปอร์เซ็นต์ได้จากค่าใดๆ เมื่อจัดการกับปริมาณอย่างง่าย: กรัมและกิโลกรัม, เซนติเมตรและเมตร - ไปที่คำถามที่ซับซ้อนมากขึ้น

1200 ชุด - 100%

ชุด X - 30%

X (1200 * 30) / 100.
คุณแค่ต้องคูณตัวเลขตามขวางแล้วแก้สมการที่ได้ อย่ากังวลหากลูกของคุณดูเหมือนจะตัดสินใจด้วยกลไก แม้ว่าเขาไม่จำเป็นต้องคิดลึกลงไปในแก่นแท้ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือเขาจดจำอัลกอริธึมของการกระทำ แต่ก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาในโรงเรียนได้ อดทนอย่าตะโกนใส่เด็กหรือโกรธเขา ท้ายที่สุดแล้ว ดูเหมือนว่าข้อมูลนี้จะซับซ้อนมาก เข้าใจยาก และไม่จำเป็นอย่างยิ่ง พยายามเสนองานที่เป็นประโยชน์แก่เขา เช่น งบประมาณของครอบครัว

เมื่อย้ายไปยังชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 เด็กนักเรียนต้องเผชิญกับปัญหาทางคณิตศาสตร์รูปแบบใหม่ - ปัญหาดอกเบี้ย สำหรับหลายๆ คน หัวข้อนี้ยากพอสมควร จะอธิบายการค้นพบที่น่าสนใจได้อย่างไร?

สนับสนุนโดยการจัดวางบทความ P & G ในหัวข้อ "วิธีอธิบายความสนใจ" วิธีจัดพอร์ตโฟลิโอของนักเรียนชั้นประถมศึกษา วิธีจัดเรียงหนังสือพิมพ์วอลล์เกี่ยวกับรัสเซีย วิธีออกหน้าชื่อเรื่องของเรียงความของนักเรียน

คำแนะนำ

บอกเล่าเรื่องราวเกี่ยวกับเปอร์เซ็นต์ของคำให้บุตรหลานฟัง มันมาจากภาษาละติน "pro centum" ซึ่งแปลว่า "ส่วนที่ร้อย" ต่อมาในตำราของ Mathieu de la Porta เกี่ยวกับเลขคณิตเชิงพาณิชย์มีการพิมพ์ผิดเนื่องจากเครื่องหมาย% ปรากฏขึ้น ดังนั้น สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้ว่าเปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของจำนวนใดๆ

เด็กมักจะเข้าใจปัญหาของจำนวนเฉพาะได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น หากมี 100 kopecks ในหนึ่งรูเบิล 50 kopecks จะเท่ากับ 50 เปอร์เซ็นต์ อธิบายได้ยากกว่ามากว่าสามารถหาเปอร์เซ็นต์ได้จากค่าใดๆ เมื่อจัดการกับปริมาณอย่างง่าย: กรัมและกิโลกรัม, เซนติเมตรและเมตร - ไปที่คำถามที่ซับซ้อนมากขึ้น

หากเด็กไม่เข้าใจสาระสำคัญที่น่าสนใจมาก ให้สอนเขาให้แก้ปัญหาตามอัลกอริทึม ตรวจสอบให้แน่ใจว่าเขาไม่พลาดขั้นตอนเดียวของการแก้ปัญหา ตัวอย่างเช่น งาน: โรงงานตัดเย็บเสื้อผ้าผลิตชุด 1200 ชุดในหนึ่งปี ในจำนวนนี้ 30% เป็นชุดสูทสีน้ำเงิน โรงงานทำชุดสูทสีน้ำเงินกี่ชุด? ก่อนอื่นให้หาจำนวนชุดที่มี 1% เมื่อต้องการทำเช่นนี้ หารผลรวมด้วย 100 1200/100 = 12 นั่นคือ ทุก 12 ชุดคือ 1 เปอร์เซ็นต์ จากนั้นคูณ 12 ด้วย 30% เพื่อให้ได้คำตอบที่คุณต้องการ

คุณสามารถใช้วิธีสัดส่วนแบบ "ปู่" แบบเก่าได้ ด้วยเหตุผลบางอย่าง ในปัจจุบันจึงไม่ค่อยปรากฏให้เห็นในโรงเรียน แต่ใช้งานได้อย่างไม่มีที่ติ จากงานเดียวกัน:

1200 ชุด - 100%
ชุด X - 30%
X (1200 * 30) / 100.

คุณแค่ต้องคูณตัวเลขตามขวางแล้วแก้สมการที่ได้ อย่ากังวลหากลูกของคุณดูเหมือนจะตัดสินใจด้วยกลไก แม้ว่าเขาจะไม่ต้องคิดลึกลงไปในแก่นแท้ แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือเขาจดจำอัลกอริธึมของการกระทำ ซึ่งก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาในโรงเรียนได้ อดทนอย่าตะโกนใส่เด็กหรือโกรธเขา ท้ายที่สุดแล้ว ดูเหมือนว่าสำหรับเขาแล้ว ข้อมูลนี้ซับซ้อนมาก เข้าใจยาก และไม่จำเป็นอย่างยิ่ง พยายามเสนองานที่เป็นประโยชน์แก่เขา เช่น งบประมาณของครอบครัว

ง่ายแค่ไหน

ข่าวที่เกี่ยวข้องอื่นๆ:

เปอร์เซ็นต์ของตัวเลขคือหนึ่งในร้อยของจำนวนนี้ แทนด้วย 1% หนึ่งร้อยเปอร์เซ็นต์ (100%) เท่ากับจำนวนนั้นเอง และ 10% ของจำนวนนั้นเท่ากับหนึ่งในสิบของจำนวนนั้น การลบเปอร์เซ็นต์หมายถึงการลดจำนวนลงด้วยเศษส่วนบางส่วน คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลข กระดาษ ปากกา และทักษะการนับด้วยวาจา สปอนเซอร์

นักเศรษฐศาสตร์และช่างเทคนิคมักจะต้องคำนวณเปอร์เซ็นต์ของตัวเลข นักบัญชีต้องคำนวณภาษีอย่างถูกต้อง นายธนาคาร - รายได้ (ดอกเบี้ย) จากเงินฝาก วิศวกร - ค่าเบี่ยงเบนที่อนุญาตของพารามิเตอร์ ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด จำเป็นต้องนับเปอร์เซ็นต์ของค่าที่ทราบบางค่า ถึงคุณ

ทุกอย่างสัมพันธ์กัน อัตราส่วนของค่าบางค่าต่อกันสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ ตัวอย่างเช่น การคำนวณเปอร์เซ็นต์ของของเหลวจากมวลหลักที่บรรจุอยู่ในมะเขือเทศและแตงกวา 1 กิโลกรัม คุณจะพบว่าอันไหนจะอร่อยกว่ากัน คุณจะต้อง 1) กระดาษ 2) ปากกา 3) ผู้สนับสนุนตำแหน่งเครื่องคิดเลข

หนึ่งเปอร์เซ็นต์ของตัวเลขเรียกว่าส่วนที่ร้อยของจำนวนนี้และหมายถึง 1% ดังนั้น 100% ของตัวเลขนี้จึงเท่ากับจำนวนนั้นเอง เพียง 20% ของจำนวนนั้นเท่ากับยี่สิบในร้อยของตัวเลขนี้ คุณจะต้องมีเครื่องคิดเลขความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ สนับสนุนโดยการวางบทความ P & G ใน "วิธีหาเปอร์เซ็นต์

คำว่า "เปอร์เซ็นต์" หมายถึงหนึ่งในร้อยของจำนวน และเศษส่วนก็เป็นส่วนหนึ่งของบางสิ่งบางอย่าง ดังนั้น ในการหาเปอร์เซ็นต์ของจำนวนนั้น จำเป็นต้องหาเศษส่วนของตัวเลขนั้น เนื่องจากจำนวนเดิมเป็นจำนวนเต็มร้อย ในการดำเนินการนี้ คุณต้องสามารถแก้ไขสัดส่วนได้ สปอนเซอร์

บุคคลต้องเผชิญกับความจำเป็นในการคำนวณเปอร์เซ็นต์อยู่ตลอดเวลา โดยที่บางครั้งไม่รู้ตัวด้วยซ้ำ และไม่เพียงแต่ในการสอบคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังยกตัวอย่างเช่น พยายามหาว่าส่วนใดของรายได้รวมของครอบครัวที่ประกอบด้วยค่าสาธารณูปโภคหรือค่าเทอมอนุบาล และอีกมากมาย

ปัญหาความสนใจไม่ได้จำกัดอยู่ที่นักเรียนคนเดียว ตามกฎแล้ว ในการมอบหมายงานของโรงเรียน คุณต้องค้นหานิพจน์ตัวเลขของจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่กำหนด หรือจำนวนเปอร์เซ็นต์ที่เป็นตัวเลขเฉพาะ เพื่อรับมือกับงานดังกล่าวได้สำเร็จ คุณต้องก่อน

ด้วยประสบการณ์ เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าหัวข้อบางอย่างทำให้เกิดความกลัวในหมู่เด็กนักเรียน โดยไม่คำนึงว่าพวกเขาอยู่ในชั้นเรียนใด และมีความรู้มากน้อยเพียงใดที่สะสมใน "คลัง" ของพวกเขาได้

หนึ่งในหัวข้อเหล่านี้คือ สนใจเรียน... เหตุใดนักเรียนจึงพยายามเลี่ยงผ่าน เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ สำหรับพวกเขา นี่เป็นแนวคิดที่ "แย่มาก" ที่ทันทีที่พวกเขาได้ยินคำนี้ในข้อความของปัญหา พวกเขาเกือบจะคลานเข้าไปใต้โต๊ะเพื่อซ่อน

มีหลายสาเหตุ

โดยธรรมชาติแล้ว - ความไม่รู้ของวัสดุเป็นอันดับแรก ประการที่สอง…

เราหยุดได้แค่นี้ เพราะแม้แต่เหตุผลแรกก็เพียงพอที่จะเข้าใจ: นักเรียนยังไม่ได้สร้างความเข้าใจที่ถูกต้องว่า "เปอร์เซ็นต์" คืออะไร ซึ่งหมายความว่าการรับรู้เนื้อหาเพิ่มเติมจะขัดกับความรู้ของพวกเขาในหัวข้อนี้

แต่ความเข้าใจผิดมาจากไหน? ง่ายมาก. ฉันนึกภาพห่วงโซ่ตรรกะบางอย่างที่นำไปสู่การขาดแรงจูงใจและแนวทางปฏิบัติของหัวข้อที่น่าสนใจที่อธิบายไว้ในบทเรียน

ในระยะสั้นความสนใจคือทุกสิ่ง!

จะมีความสนใจ - จะมีความสนใจ ดังนั้นจึงมีแรงจูงใจที่จะ สนใจเรียน... และจากที่นั่น - ความปรารถนาที่จะเข้าใจและเข้าใจ และการท่องจำเนื้อหา (ถ้าจำเป็น โดยส่วนตัวแล้ว ไม่แน่ใจ) จะมาเอง

และในบทความนี้ ฉันต้องการให้ข้อเท็จจริงบางประการเกี่ยวกับชีวิตประจำวัน แต่มีอคติทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อ "เปอร์เซ็นต์" เพราะฉันเชื่อว่าเราทุกคนต้องเจอกับแนวคิดนี้ทุกวัน แต่บางทีก็ไม่รู้เรื่องนี้ด้วยซ้ำ

เราจะ "หา" ได้ที่ไหน น่าสนใจ? ทุกที่อย่างแน่นอน ดูด้วยตัวคุณเอง

1) 80% ของแป้งได้มาจากข้าวสาลี

2) นมให้ครีมเปรี้ยว 25% และครีมเปรี้ยว 20% เนย

3) หัวบีทน้ำตาลมีน้ำตาล 20%

4) เห็ดสูญเสียความชื้น 79% เมื่อแห้ง

5) ผึ้งบรรทุกน้ำหวาน 1 กรัม 60% ต่อครั้ง

6) บุคคลมีเลือด 7.5% จากน้ำหนักตัวทั้งหมด

7) ต้นสนเติบโต 15% ทุกปี

8) ทองเหลืองเป็นโลหะผสมของสังกะสีและทองแดงในอัตราส่วน 40% และ 60% ตามลำดับ

9) 1 ลูกบาศก์เมตร ข้าวสาลีมีน้ำหนัก 70% ของ 1 ตันหิมะ - 14.3% ของ 1 ตันและอากาศ - 0.13% ของตัน

10) ความเร็วในการบินของอีกาคือ 68% ของความเร็วในการบินของโกง

หวังว่าข้อเท็จจริงข้างต้น - อย่างน้อยก็ให้แนวคิดกับคุณเพื่อให้แน่ใจว่าเราได้รับความสนใจในทุกขั้นตอน

เราใช้คำนี้มากขึ้นในการพูดภาษาพูด

• "ทำงานเพื่อดอกเบี้ย" - ทำงานโดยคิดค่าธรรมเนียมขึ้นอยู่กับกำไรหรือผลประกอบการ
• "ฉันรับประกันร้อยเปอร์เซ็นต์" - เชื่อถือได้ทุกประการ สามารถเชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์
• "ในธนาคารที่มีดอกเบี้ย" - เพื่อนำเงินไปฝากโดยมีโอกาสได้รับเงินเพิ่มขึ้นจากเงินลงทุน

คำถามตอนนี้แตกต่างออกไป: จะเข้าใจความหมายของข้อมูลนี้ได้อย่างไร พูดได้เลยว่า

มาจัดการกับทฤษฎีกันก่อน

เปอร์เซ็นต์ - (ลต. “โปรเซ็นทัม”) หนึ่งร้อย มันเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย "%" ใช้เพื่อระบุสัดส่วนของบางสิ่งที่เกี่ยวข้องกับทั้งหมด ตัวอย่างเช่น 17% ของ 500 กก. หมายถึง 17 ชิ้นละ 5 กก. นั่นคือ 85 กก.

เหล่านั้น. ถ้าทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน 1 ส่วนจะหมายถึง 1% 1% = 1/100

จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่า:

ชัดเจนว่าเรื่องนี้ไม่จบเพียงแค่นั้น สนใจเรียน... ตรงกันข้าม มันเพิ่งเริ่มต้น มีปัญหาหลายประเภทในหัวข้อนี้ และในบทความต่อไปนี้เราจะวิเคราะห์พวกเขาอย่างแน่นอน และในตอนท้ายของบทความนี้ ฉันขอเสนออีกครั้งให้กระโดดเข้าสู่โลกที่ "ตัวเอก" เป็นที่สนใจ

• คุณทราบหรือไม่ว่าย้อนกลับไปในศตวรรษที่ XV-XVI ชาวอินเดียในวัฒนธรรม Chonos (เอกวาดอร์) ถลุงทองแดงที่มีเนื้อหา 99.5%
• แม่บ้านชาวอเมริกันประมาณ 10 เปอร์เซ็นต์แต่งตัวสัตว์เลี้ยงของพวกเขาในชุดวันหยุดสำหรับ Hellowin และ99 เปอร์เซ็นต์ของฟักทองที่ขายในสหรัฐอเมริกามีไว้เพื่อจุดประสงค์เดียว - ตกแต่งสำหรับวันหยุดนี้
• 14% กินแตงโมมีเมล็ด
• ลิ้นของกิ้งก่ายาวกว่าลำตัว 200%
• แบคทีเรียเพียง 1% ทำให้เกิดโรคในมนุษย์
• แมงกะพรุนเป็นน้ำ 95 เปอร์เซ็นต์
• ชาวอเมริกันเพียง 55% เท่านั้นที่รู้ว่าดวงอาทิตย์เป็นดวงดาว
• ผู้ชาย 10 เปอร์เซ็นต์และผู้หญิง 8 เปอร์เซ็นต์บนโลกนี้ถนัดซ้าย
• ความกลัวหลักของผู้อยู่อาศัยในสหภาพยุโรป: สงครามปรมาณู - 49%, ภัยพิบัติทางสภาพอากาศ - 43%, มลภาวะต่อสิ่งแวดล้อม - 36%, อุบัติเหตุที่เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์ - 35%, การโคลนนิ่งมนุษย์ - 28%, อันตรายของแบคทีเรียร้ายแรงที่รั่วไหลจากห้องปฏิบัติการยีน - 26 %, ป่าไม้ที่หายสาบสูญ - 20%, การหายตัวไปของสัตว์และพันธุ์พืช - 17%, น้ำมันสำรองหมด - 7%, ข้อมูลส่วนเกิน - 5%, อุกกาบาตที่ตกลงมา - 3%, การบุกรุกของมนุษย์ต่างดาว - 1%
• และสุดท้าย ข้อเท็จจริงที่น่าประหลาดใจอีกอย่างหนึ่งคือ รูม่านตาของคนเราเพิ่มขึ้น 45 เปอร์เซ็นต์เมื่อคนๆ หนึ่งมองสิ่งที่น่าพึงพอใจ

ฉันหวังว่าคุณผู้อ่านที่รัก ยินดีที่ได้มีส่วนร่วมในบทความเกี่ยวกับการศึกษาความสนใจ และเรียนรู้สิ่งใหม่และมีประโยชน์สำหรับตัวคุณเอง

งานที่สนใจเฉพาะจะกล่าวถึงในบทความแยกต่างหาก

กรุณาแสดงความคิดเห็นของคุณเกี่ยวกับปัญหานี้ด้านล่าง

นักเรียนเกรด 9B

หัวหน้า: Drobkova Olga Sergeevna ครูสอนคณิตศาสตร์

การแนะนำ

เปอร์เซ็นต์เป็นหัวข้อที่ยากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ และนักเรียนจำนวนมากพบว่ามันยากหรือไม่สามารถแก้ปัญหาด้วยเปอร์เซ็นต์ได้ และความเข้าใจในดอกเบี้ยและความสามารถในการคำนวณดอกเบี้ยเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับทุกคน ฉันเชื่อว่าหัวข้อนี้มีความเกี่ยวข้องในสมัยของเรา แท้จริงแล้วในเกือบทุกด้านของกิจกรรมของมนุษย์มีเปอร์เซ็นต์ แนวคิดของ "ดอกเบี้ย" ไม่สามารถใช้ได้กับการบัญชี การเงิน หรือสถิติ ในการคำนวณเงินเดือนของพนักงาน คุณจำเป็นต้องทราบเปอร์เซ็นต์ของการหักภาษี ในการเปิดบัญชีกับ Sberbank หรือรับเงินกู้ ผู้ปกครองของเรามีความสนใจในจำนวนดอกเบี้ยตามจำนวนเงินฝากและดอกเบี้ยเงินกู้ เพื่อที่จะทราบราคาที่เพิ่มขึ้นโดยประมาณในปีหน้า เราจึงสนใจเปอร์เซ็นต์ของอัตราเงินเฟ้อ ในการซื้อขาย แนวคิดของ "เปอร์เซ็นต์" มักถูกใช้บ่อยที่สุด เรามักได้ยินเกี่ยวกับส่วนลด ส่วนเพิ่ม ส่วนลด กำไร เงินกู้ ฯลฯ - ทั้งหมดนี้เป็นดอกเบี้ย คนสมัยใหม่จำเป็นต้องนำทางอย่างดีในกระแสข้อมูลจำนวนมาก ตัดสินใจอย่างถูกต้องในสถานการณ์ต่างๆ ในชีวิต ในการทำเช่นนี้ คุณต้องทำการคำนวณดอกเบี้ยที่ดี

ดังนั้นเมื่อศึกษาหัวข้อนี้ เราจะพบว่าความหมายของความสนใจในชีวิตของเรามีความหมายอย่างไร

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: แสดงความกว้างของการคำนวณเปอร์เซ็นต์ในชีวิตจริง.

งาน:ศึกษาวรรณคดีในหัวข้อนี้ พิจารณาความต้องการดอกเบี้ย สำรวจพื้นที่ของกิจกรรมของมนุษย์ที่มีการใช้ความสนใจ

แนวคิดของเปอร์เซ็นต์

เปอร์เซ็นต์คือหนึ่งในร้อยของจำนวน เปอร์เซ็นต์เขียนโดยใช้เครื่องหมาย%

ในการแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วน คุณต้องลบเครื่องหมาย% แล้วหารตัวเลขด้วย 100

ในการแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเปอร์เซ็นต์ คุณต้องคูณเศษส่วนด้วย 100 แล้วบวกเครื่องหมาย%

ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นเปอร์เซ็นต์ ก่อนอื่นคุณต้องแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยม แล้วคูณด้วย 100 แล้วบวกเครื่องหมาย%

อย่างที่คุณจินตนาการได้ เปอร์เซ็นต์มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเศษส่วนและทศนิยม ดังนั้นจึงควรจดจำความเท่าเทียมกันง่ายๆ สองสามข้อ ในชีวิตประจำวัน คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างเศษส่วนและเปอร์เซ็นต์ ดังนั้น ครึ่ง - 50% หนึ่งในสี่ - 25% สามในสี่ - 75% หนึ่งในห้า - 20% และสามในห้า - 60%

การรู้อัตราส่วนจากตารางด้านล่างด้วยใจจะช่วยให้คุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้ง่ายขึ้น

ความสนใจ

2. ประเภทหลักของปัญหาดอกเบี้ย

วัตถุประสงค์หลักสำหรับดอกเบี้ยมีดังนี้:

ตัวอย่างที่ 1 โรงเรียนมีนักเรียน 940 คน ในจำนวนนี้ 15% ไปโรงเรียนดนตรี นักเรียนเข้าโรงเรียนดนตรีกี่คน?

สารละลาย : เพราะ 15% = 0.15 ดังนั้นในการแก้ปัญหา คุณต้องคูณ 940 ด้วย 0.15 เราได้รับ

ซึ่งหมายความว่ามีนักเรียน 141 คนเข้าเรียนในโรงเรียนดนตรี

คำตอบ: นักเรียน 141 คน

การหาตัวเลขตามเปอร์เซ็นต์
ตัวอย่างที่ 2 ห้องสมุดโรงเรียนมีหนังสือเรียน 2,100 เล่ม ซึ่งคิดเป็น 40% ของหนังสือทั้งหมด ห้องสมุดของโรงเรียนมีหนังสือกี่เล่ม?

สารละลาย: แสดงว่าจำนวนหนังสือทั้งหมดผ่าน x - นี่คือ 100% ตามเงื่อนไข 40% เป็นหนังสือเรียน มี 2,100 เล่ม มาสร้างสัดส่วนกันเถอะ:

คำตอบ: 5250 เล่มอยู่ในห้องสมุดโรงเรียน

ตัวอย่างที่ 3 โรงเรียนมีนักเรียน 800 คน 16 คนเป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยม นักเรียนของโรงเรียนเป็นนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 กี่เปอร์เซ็นต์?

สารละลาย: มีนักเรียนทั้งหมด 800 คนในโรงเรียน ซึ่งคิดเป็น 100% เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่ลงทะเบียนใน "5" จะแสดงด้วย x มาสร้างสัดส่วนกันเถอะ... วิธี,

คำตอบ: 2% ของนักเรียนเป็นนักเรียนที่ยอดเยี่ยม

3 . การวิจัยดอกเบี้ย

เพื่อที่จะค้นหาว่าสถานที่ใดที่น่าสนใจในชีวิตของเรา เราจึงตัดสินใจค้นหาว่าเราจะพบความสนใจได้ที่ใด:

1. ส่วนลดจะปรากฏในร้านค้าในช่วงวันหยุด ซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น ในร้านขายเสื้อผ้า เมื่อซื้อ 2 รายการ ส่วนลด 10% เป็นต้น

งาน ... ที่การลดราคาตามฤดูกาล ร้านแจ๊กเก็ตลดราคาเสื้อโค้ทขนสัตว์ครั้งแรก 20% และอีก 10% คุณสามารถประหยัดเงินได้เท่าใดเมื่อซื้อเสื้อโค้ทขนสัตว์หากราคา 18,000 รูเบิลก่อนลดราคา

สารละลาย:

1 วิธีแก้ปัญหา:

ราคาของเสื้อคลุมขนสัตว์คือ 18,000 รูเบิล - นั่นคือ 100% มาดูกันว่ารูเบิลจะลด 20% ได้กี่รูเบิล: ดังนั้น ถู. ดังนั้นราคาของเสื้อโค้ทขนสัตว์จะอยู่ที่ 18,000-3600 = 14,400 รูเบิลหลังจากการลดราคาครั้งที่สอง ราคาเสื้อโค้ทขนสัตว์ใหม่ลดลงอีก 10% ซึ่งจะมีมูลค่า 1,440 รูเบิล เป็นผลให้เสื้อโค้ทขนสัตว์ลดราคาลง 5040 รูเบิล;

2 วิธีในการแก้ปัญหา:

18000-18000 ● 0.2 = 14400 (ถู) - ราคาของเสื้อคลุมขนสัตว์หลังจากส่วนลด 20%

14400-14400 ● 0.1 = 12960 (ถู) - ราคาของเสื้อคลุมขนสัตว์หลังจากส่วนลด 10% ครั้งที่สอง

18000-12960 = 5040 (ถู) - ผู้ซื้อจะประหยัด

2. เปอร์เซ็นต์ระบุองค์ประกอบของเนื้อผ้า เช่น เมื่อซื้อสูทที่มีส่วนผสมของผ้าฝ้าย 60% และใยสังเคราะห์ 40% เป็นต้น

3. เป็นเปอร์เซ็นต์ ข้อมูลสถิติต่าง ๆ จะแสดงบนประชากร ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์บางอย่าง ฯลฯ .;

4. เมื่อซื้อผลิตภัณฑ์ด้วยเครดิต คุณต้องสามารถคำนวณดอกเบี้ยได้

5. ที่โรงเรียนคำนวณความก้าวหน้าและคุณภาพความรู้ของนักเรียนเป็นเปอร์เซ็นต์

6. นักบัญชีเมื่อคำนวณค่าจ้าง ตัวอย่างเช่น ในหมู่บ้าน Shira มีการจ่ายเงินเพิ่มเติม 30% ของภาคเหนือและ 30% ของการชำระเงินในชนบท

งาน ... เมื่อจ้างผู้อำนวยการองค์กรจะเสนอเงินเดือนให้คุณ 14,000 รูเบิล คุณจะได้รับเท่าไหร่หลังจากการชำระเงินเพิ่มเติม: 30% ของภาคเหนือและ 30% ของชนบทและการหักภาษีเงินได้บุคคลธรรมดา?

สารละลาย:

1 วิธีแก้ปัญหา:

วี ค่าธรรมเนียมนี้คือ 60% กล่าวคือ... วิธี, รูเบิลเป็นเบี้ยเลี้ยง ดังนั้น ยอดคงค้างที่มีค่าธรรมเนียมจะเท่ากับ 14000 + 8400 = 22400 (14000 * 1.6 = 22400) ทีนี้มาคำนวณกันว่าจะได้เงินเท่าไหร่หลังจากหักภาษีเงินได้บุคคลธรรมดาไปแล้ว (ภาษีนี้คือ 13%) :

ถู. - ทำขึ้นภาษี

22400-2912 = 19488 รูเบิล

2 วิธีในการแก้ปัญหา:

ในการบัญชี

ในชีวิตประจำวัน เป็นต้น

เป็นการยากที่จะตั้งชื่อพื้นที่ที่ใช้ความสนใจ เป็นการยากมากที่จะพิจารณาการประยุกต์ใช้การคำนวณดอกเบี้ยในชีวิตอย่างเต็มที่ เนื่องจากดอกเบี้ยถูกใช้ในทุกกิจกรรมของมนุษย์

ในงานของฉัน ฉันได้แสดงการใช้แนวคิดร้อยละในการแก้ปัญหาต่าง ๆ โดยพิจารณาประเภทปัญหาหลักที่น่าสนใจ

หัวข้อนี้เปิดกว้างสำหรับการวิจัยเพิ่มเติม ปัญหาความสนใจมีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมากและฉันหวังว่าความรู้ที่ได้รับจะช่วยฉันในอนาคต ฉันวางแผนที่จะพัฒนาหัวข้อนี้โดยพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสนใจในภาคธนาคาร ในการเป็นคนทันสมัย ​​คุณต้องสามารถคำนวณการชำระคืนเงินกู้ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง หรืออย่างน้อยก็ควรทราบคร่าวๆ ว่าควรกู้เงินหรือกู้เงิน

บรรณานุกรม

1. Borovskikh A. ดอกเบี้ยคืออะไร? / A. Borovskikh, N. Rozov // Mathematics.- 2012.- หมายเลข 1.- หน้า 23-25;
2. Valieva Y. เปอร์เซ็นต์ในอดีตและปัจจุบัน / Y. Valieva // Mathematics.- 2012.- No. 9.- p. 13-15;
3. Dyatlov V. เทคโนโลยีสำหรับการแก้ปัญหา การบรรยายครั้งที่ 15. ปัญหาเกี่ยวกับคำศัพท์เกี่ยวกับการมีส่วนร่วมของความสนใจและแบ่งปันเนื้อหา / V. Dyatlov // Mathematics.- 2013.- №11.- p. 44-49;
4. I.I. ซูบาเรวา คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5: ตำราเรียน สำหรับนักเรียนระดับการศึกษาทั่วไป สถาบัน / I.I. ซูบาเรวา, เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 12 ฉบับที่ และเพิ่ม - M.: Mnemosina, 2012 .-- 270 p.;
5. เปโตรวา I.N. สนใจทุกโอกาส / ไอ.เอ็น. เปตรอฟ - ม., การศึกษา, 2549;
6. Tumasheva O.V. บทเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6: สื่อการสอน / O.V. ทูมาเชวา; ครัสโนยาร์ สถานะ เท้า. มหาวิทยาลัยที่ตั้งชื่อตาม รองประธาน แอสตาเฟียวา - ครัสโนยาสค์ 2550 - 104 หน้า