Seno, coseno, tangente: cuando pronuncie estas palabras en presencia de estudiantes de secundaria, puede estar seguro de que dos tercios de ellos perderán interés en seguir conversando. La razón radica en el hecho de que los conceptos básicos de trigonometría en la escuela se enseñan en completo aislamiento de la realidad y, por lo tanto, los estudiantes no ven el sentido de estudiar fórmulas y teoremas.
De hecho, tras un examen más detenido, esta área de conocimiento resulta ser muy interesante, así como aplicada: la trigonometría encuentra aplicación en astronomía, construcción, física, música y muchos otros campos.
Conozcamos los conceptos básicos y demos varias razones para estudiar esta rama de las matemáticas.
Historia
No se sabe en qué momento la humanidad comenzó a crear trigonometría futura desde cero. Sin embargo, está documentado que ya en el segundo milenio antes de Cristo, los egipcios estaban familiarizados con los fundamentos de esta ciencia: los arqueólogos encontraron un papiro con una tarea en la que se requiere encontrar el ángulo de inclinación de la pirámide en dos lados conocidos.
Los científicos de la antigua Babilonia lograron éxitos más serios. A lo largo de los siglos, dedicados a la astronomía, dominaron una serie de teoremas, introdujeron métodos especiales para medir ángulos, que, por cierto, usamos hoy: grados, minutos y segundos fueron tomados prestados por la ciencia europea en la cultura grecorromana, en la que estas unidades procedían de los babilonios.
Se cree que el famoso teorema de Pitágoras, relacionado con los fundamentos de la trigonometría, era conocido por los babilonios hace casi cuatro mil años.
Nombre
Literalmente, el término "trigonometría" se puede traducir como "medida de triángulos". Durante muchos siglos, el principal objeto de estudio dentro de esta sección de la ciencia ha sido un triángulo rectángulo, o más bien, la relación entre los ángulos y las longitudes de sus lados (hoy, esta sección comienza el estudio de la trigonometría desde cero). En la vida, a menudo hay situaciones en las que es imposible medir prácticamente todos los parámetros requeridos de un objeto (o la distancia a un objeto), y luego se hace necesario obtener los datos faltantes mediante cálculos.
Por ejemplo, en el pasado, una persona no podía medir la distancia a los objetos espaciales, pero los intentos de calcular estas distancias ocurren mucho antes del inicio de nuestra era. La trigonometría también jugó un papel importante en la navegación: con algunos conocimientos, el capitán siempre podría orientarse por la noche por las estrellas y corregir el rumbo.
Conceptos básicos
Para dominar la trigonometría desde cero, debe comprender y recordar algunos términos básicos.
El seno de un cierto ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Aclaremos que el lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que estamos considerando. Por lo tanto, si el ángulo es de 30 grados, el seno de este ángulo siempre será ½ para cualquier tamaño de triángulo. El coseno del ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
La tangente es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente (o, que es lo mismo, la relación entre el seno y el coseno). La cotangente es la unidad dividida por la tangente.
Cabe mencionar el famoso número Pi (3,14 ...), que es la mitad de la circunferencia de un círculo con un radio de una unidad.
Errores populares
Las personas que aprenden trigonometría desde cero cometen una serie de errores, principalmente por descuido.
Primero, al resolver problemas en geometría, es necesario recordar que el uso de senos y cosenos solo es posible en un triángulo rectángulo. Sucede que el estudiante "automáticamente" toma el lado más largo del triángulo como hipotenusa y recibe resultados de cálculo incorrectos.
En segundo lugar, al principio es fácil confundir los valores del seno y el coseno para el ángulo seleccionado: recuerde que el seno de 30 grados es numéricamente igual al coseno de 60, y viceversa. Si sustituye un número incorrecto, todos los cálculos posteriores resultarán incorrectos.
En tercer lugar, hasta que el problema se resuelva por completo, no debe redondear ningún valor, extraer raíces, escribir una fracción ordinaria en forma decimal. A menudo, los estudiantes se esfuerzan por obtener un número "agradable" en un problema de trigonometría y extraen inmediatamente la raíz de tres, aunque después de exactamente una acción, esta raíz se puede acortar.
Etimología de la palabra "sinus"
La historia de la palabra "seno" es realmente inusual. El caso es que la traducción literal de esta palabra del latín significa "depresión". Esto se debe a que se perdió la comprensión correcta de la palabra cuando se tradujo de un idioma a otro.
Los nombres de las funciones trigonométricas básicas se originaron en la India, donde el concepto de seno se denotaba con la palabra "cuerda de arco" en sánscrito; el hecho es que un segmento, junto con el arco de un círculo sobre el que descansaba, se parecía a un arco. Durante el apogeo de la civilización árabe, se tomaron prestados los avances indios en trigonometría y el término se transcribió al árabe. Dio la casualidad de que en este idioma ya existía una palabra similar para un hueco, y si los árabes entendían la diferencia fonética entre una palabra nativa y una prestada, entonces los europeos que traducían tratados científicos al latín por error traducían literalmente la palabra árabe, que no tiene nada que ver con el concepto de seno ... Lo usamos hasta el día de hoy.
Tablas de valores
Existen tablas en las que se ingresan los valores numéricos de los senos, cosenos y tangentes de todos los ángulos posibles. A continuación presentamos los datos para ángulos de 0, 30, 45, 60 y 90 grados, los cuales deben aprenderse como un apartado obligatorio de trigonometría para los "maniquíes", ya que es bastante fácil recordarlos.
Si sucedió que el valor numérico del seno o coseno del ángulo "salió volando de mi cabeza", hay una manera de derivarlo usted mismo.
Representación geométrica
Dibujamos un círculo, a través de su centro dibujamos los ejes de abscisas y ordenadas. El eje de abscisas se ubica horizontalmente, el eje de ordenadas es vertical. Por lo general, se firman como "X" e "Y" respectivamente. Ahora dibuja una línea recta desde el centro del círculo para que el ángulo que necesitamos se obtenga entre este y el eje X. Finalmente, desde el punto donde la línea se cruza con el círculo, dejamos caer la perpendicular al eje X. La longitud del segmento resultante será igual al valor numérico del seno de nuestro ángulo.
Este método es muy relevante si ha olvidado el valor deseado, por ejemplo, en un examen, y no hay un libro de texto de trigonometría a mano. No obtendrá la cifra exacta de esta manera, pero definitivamente verá la diferencia entre ½ y 1.73 / 2 (seno y coseno de un ángulo de 30 grados).
Solicitud
Algunos de los primeros especialistas en utilizar la trigonometría fueron marineros que no tienen otro punto de referencia en alta mar que el cielo sobre sus cabezas. Hoy en día los capitanes de barcos (aviones y otros tipos de transporte) no buscan el camino más corto a través de las estrellas, sino que recurren activamente al uso de la navegación GPS, lo que sería imposible sin el uso de la trigonometría.
En casi todas las secciones de la física, los cálculos que usan senos y cosenos lo están esperando: ya sea la aplicación de fuerza en mecánica, cálculos de la trayectoria de los objetos en cinemática, oscilaciones, propagación de ondas, refracción de la luz, simplemente no puede prescindir trigonometría básica en fórmulas.
Otra profesión impensable sin trigonometría es la de agrimensor. Usando un teodolito y un nivel, o un instrumento más sofisticado, un taquímetro, estas personas miden la diferencia de altura entre diferentes puntos de la superficie terrestre.
Repetibilidad
La trigonometría se ocupa no solo de los ángulos y lados de un triángulo, aunque aquí es donde comenzó su existencia. En todas las áreas donde está presente la ciclicidad (biología, medicina, física, música, etc.), encontrará un gráfico cuyo nombre probablemente le resulte familiar: se trata de una sinusoide.
Dicho gráfico es un círculo desplegado a lo largo del eje del tiempo y parece una onda. Si alguna vez ha trabajado con un osciloscopio en la clase de física, ya sabe de qué se trata. Tanto el ecualizador musical como el monitor de frecuencia cardíaca utilizan fórmulas de trigonometría en su trabajo.
Finalmente
Al pensar en cómo aprender trigonometría, la mayoría de los estudiantes de secundaria y preparatoria comienzan a considerarla una ciencia difícil y poco práctica, ya que solo llegan a conocer la información aburrida del libro de texto.
En cuanto a la impracticabilidad, ya hemos visto que, en un grado u otro, la capacidad para manejar senos y tangentes es necesaria en casi cualquier campo de actividad. En cuanto a la complejidad ... Piensa: si la gente usara este conocimiento hace más de dos mil años, cuando un adulto tenía menos conocimiento que el estudiante de secundaria de hoy, ¿es realista que estudies esta área de la ciencia a un nivel básico? ? Unas horas de ejercicios reflexivos para la resolución de problemas, y alcanzará su objetivo al estudiar un curso básico, la llamada trigonometría para principiantes.
Historia de la trigonometría como ciencia
La trigonometría, como cualquier otra disciplina científica, surgió de las necesidades de la actividad práctica humana. Varias tareas de astronomía, navegación, topografía, arquitectura han llevado a la necesidad de desarrollar un método para calcular los elementos de formas geométricas a partir de los valores conocidos de sus otros elementos, encontrados por mediciones directas. El mismo nombre "trigonometría" de origen griego, que significa "medida de triángulos": (trigon) - triángulo, (metrain) - medida.
El origen de la trigonometría se remonta a la antigüedad. Mucho antes de la nueva era, los científicos babilónicos pudieron predecir eclipses solares y lunares. Esto nos permite concluir que conocían parte de la información más simple de la trigonometría. Poco a poco, los conceptos de seno, coseno y tangente de un ángulo se fueron estableciendo en geometría y astronomía. En esencia, fueron operados por matemáticos antiguos, considerando la proporción de segmentos en triángulos y círculos.
El material acumulado de observaciones astronómicas requirió procesamiento matemático. Uno de los fundadores de la trigonometría es considerado el antiguo astrónomo griego Hiparco, que vivió en el siglo II. ANTES DE CRISTO. Hipparchus es el autor de las primeras tablas trigonométricas. Estas tablas no nos han llegado, pero fueron incluidas (en una forma mejorada) en la obra "La Gran Construcción" (Almagest) del famoso astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo, que vivió en la segunda mitad del siglo II. ANUNCIO En estas tablas, que durante muchos siglos sirvieron como medio para resolver triángulos, se daban los valores de las cuerdas del círculo para varios valores del correspondiente ángulo central. La unidad de medida de las cuerdas formaba parte del radio.
Estas tablas, en el lenguaje moderno, son tablas de los valores del seno duplicado de la mitad del ángulo central correspondiente. Dieron los valores de los acordes para todos los ángulos (cada medio grado) de 00 a 1800. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que en la antigua Grecia la trigonometría no se destacaba como ciencia independiente, sino que se consideraba parte de astronomía.
Las matemáticas indias hicieron una importante contribución al desarrollo de la trigonometría durante los siglos V-XII. ANUNCIO Los matemáticos indios empezaron a calcular no la cuerda completa, como hacían los griegos, sino su mitad (es decir, la "línea de senos"). La línea de los senos nasales fue llamada por ellos "arhajiva", que literalmente significaba "la mitad de la cuerda del arco". Los indios compilaron una tabla de senos, en la que se daban los valores de las medias cuerdas, medidos en partes (minutos) del círculo para todos los ángulos de 00 a 900 (cada uno). Estas tablas eran más precisas que las de Ptolomeo. Su alta precisión se evidencia por el hecho de que para los valores de seno y coseno y fueron calculados que difieren de los verdaderos en menos de.
Los matemáticos indios conocían las proporciones, que en notación moderna se escriben de la siguiente manera:
En los siglos XI - XIII. En los trabajos de matemáticos de Asia Central, Transcaucasia, Medio Oriente e India, comenzó la formación de la trigonometría como ciencia separada. Y en el futuro, las necesidades de geografía, geodesia, asuntos militares contribuyeron al desarrollo de la trigonometría como ciencia. La trigonometría se desarrolló de manera especialmente intensa en la Edad Media, principalmente en el sureste: en la India (Aryabhata, Bramagupta, Bhaskara), en Uzbekistán, Azerbaiyán y Tayikistán (Nasirad-Din at-Tusi, al-Kashi, al-Biruni), en Arabia ( Ahmad, ibn-Abdallah, al-Battani). Mucho mérito en la formación de la trigonometría como ciencia separada pertenece al científico azerbaiyano Nasirad-Din Mukhamad at-Tusi (1201 - 1274), quien escribió el "Tratado sobre el Cuadrángulo Completo". Los trabajos de los científicos de este período llevaron al aislamiento de la trigonometría como una nueva rama independiente de las matemáticas. Sin embargo, sus escritos aún no tenían el simbolismo necesario, por lo que el desarrollo de la trigonometría fue lento.
Desde el siglo XV. y en Europa hay trabajos dedicados a los temas de trigonometría. El científico alemán Johann Müller (1436 - 1476), conocido en ciencia con el nombre de Regiomontanus, publicó la obra "Cinco libros sobre triángulos de todo tipo", que jugó un papel importante en el desarrollo de la trigonometría. Proporciona una presentación sistemática de la trigonometría como una disciplina científica independiente. Regiomontanus compiló tablas de senos nasales con una precisión de hasta. En sus tablas se tomó el radio del círculo en lugar de un múltiplo de 60, es decir, de hecho, se hizo una transición del sistema de medida sexagésico al decimal. En 1595 apareció la obra de Bartholomew Pitiscus "Trigonometría, o un Tratado Breve sobre la Solución de Triángulos".
En los siglos XV - XVII. en Europa, se compilaron y publicaron varias tablas trigonométricas. Los principales científicos trabajaron en su compilación: N. Copernicus (1473 - 1543) y. Kepler (1571 - 1630), F. Viet (1540 - 1603) y otros En Rusia, las primeras tablas trigonométricas se publicaron en 1703 con la participación de L.F. Magnitsky.
Así, la trigonometría surgió sobre una base geométrica, tenía un lenguaje geométrico y se aplicó a la resolución de problemas geométricos. El desarrollo del simbolismo algebraico hizo posible escribir relaciones trigonométricas en forma de fórmulas; el uso de números negativos permitió considerar ángulos y arcos dirigidos y extender el concepto de líneas trigonométricas (segmentos definidos en un círculo) para cualquier ángulo. Durante este período, se creó una base para el estudio de las funciones trigonométricas como funciones de un argumento numérico, la base de la teoría analítica de las funciones trigonométricas (circulares). Newton desarrolló un aparato analítico que permite calcular los valores de funciones trigonométricas con cualquier grado de precisión.
La trigonometría recibió su forma moderna en los trabajos del gran científico, miembro de la Academia de Ciencias de Rusia L. Euler (1707 - 1783). Euler comenzó a considerar los valores de las funciones trigonométricas como números, los valores de las líneas trigonométricas en un círculo, cuyo radio se toma como una unidad ("círculo trigonométrico" o "círculo unitario"). Euler dio la decisión final sobre los signos de las funciones trigonométricas en diferentes sectores, derivó todas las fórmulas trigonométricas de varias básicas, estableció varias fórmulas desconocidas antes que él, introdujo designaciones uniformes. Es en sus escritos donde se encuentran los registros por primera vez. También descubrió la conexión entre las funciones trigonométricas y exponenciales de un argumento complejo. A partir de los trabajos de L. Euler, se compilaron libros de texto de trigonometría, que lo presentaron en una estricta secuencia científica.
La construcción analítica (independiente de la geometría) de la teoría de las funciones trigonométricas, iniciada por Euler, se completó en los trabajos del gran científico ruso N.I. Lobachevsky.
El punto de vista moderno sobre las funciones trigonométricas como funciones de un argumento numérico se debe en gran medida al desarrollo de la física, la mecánica y la tecnología. Estas funciones formaron la base del aparato matemático con la ayuda del cual se estudian varios procesos periódicos: movimientos oscilatorios, propagación de ondas, movimiento de mecanismos, oscilación de una corriente eléctrica alterna. Como lo muestra J. Fourier (1768-1830), cualquier movimiento periódico con cualquier grado de precisión puede representarse como una suma de las oscilaciones sinusoidales (armónicas) más simples. Si al comienzo del desarrollo de la trigonometría la relación
Solo expresó la relación entre las áreas de cuadrados construidos en los lados de un triángulo rectángulo alterno con una hipotenusa igual a 1, luego más tarde esta razón comenzó a reflejar también la suma de dos movimientos oscilatorios con la interferencia resultante.
Así, en las etapas iniciales de su desarrollo, la trigonometría sirvió como medio para resolver problemas geométricos computacionales. Se consideró que su contenido era el cálculo de los elementos de las formas geométricas más simples, es decir, triángulos. Pero en la trigonometría moderna, un estudio independiente e igualmente importante de las propiedades de las funciones trigonométricas. Este período en el desarrollo de la trigonometría fue preparado por todo el curso de desarrollo de la mecánica de los movimientos oscilatorios, la física del sonido, la luz y las ondas electromagnéticas.
Durante este período, se dieron generalizaciones a muchos términos de trigonometría y, en particular, se derivaron relaciones para, donde n es un número natural, etc. Funciones y ahora se consideran como sumas de series de potencias:
Al mismo tiempo, se está desarrollando la doctrina de las funciones trigonométricas de una variable compleja.
La trigonometría como asignatura académica
La historia del estudio de la trigonometría en la escuela es sumamente instructiva para los especialistas en el campo de la enseñanza de las matemáticas. Esta es la historia de una de las ramas de la ciencia matemática, solo en la segunda mitad del siglo XVIII. que ha adquirido un aspecto bastante esbelto y completo.
Ya es bastante difícil para un maestro moderno encontrar materiales que revelen las ideas y la estructura de los programas de enseñanza de matemáticas anteriores. A su vez, en una escuela moderna, en condiciones de cierta libertad académica del docente, esta información puede ser útil para justificar la planificación del estudio de la trigonometría, ya que ilustran diferentes enfoques para el estudio de este curso, que se diferencian de los ofrecido hoy en muchos libros de texto.
Recordemos que en relación con el descubrimiento de N.I. Lobachevsky de la nueva geometría encontró que la trigonometría consta de dos partes diferentes:
- a) el primero (generalmente se llama goniometría): la parte del análisis matemático, donde, independientemente de las consideraciones geométricas, se revela analíticamente la doctrina de las funciones trigonométricas trascendentales con sus propiedades;
- b) el segundo es la trigonometría propiamente dicha, donde se combinan el análisis matemático y la geometría de un espacio particular.
La goniometría no depende del axioma paralelo y la trigonometría en el sentido propio depende de este axioma. La razón caracteriza, en el caso general, operaciones con la serie correspondiente y solo en el espacio euclidiano expresa la razón entre las áreas de cuadrados construidos en los lados de un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual a 1.
Relación conocida entre lados y ángulos de un triángulo
Desigualdades trigonométricas
Ejemplo 1. Resuelve la desigualdad
Solución. Denotando, reescribimos la desigualdad (1) en la forma
El conjunto de soluciones a la desigualdad (2) es una serie de intervalos
por lo tanto, encontramos todas las soluciones a la desigualdad (1) resolviendo la desigualdad doble
de donde vamos
es decir, el conjunto de soluciones a la desigualdad (1) consta de una serie de intervalos
Ejemplo 2. Resolvamos la desigualdad
Solución. Reescribimos la desigualdad (3) como
Denotemos. Dado que la desigualdad tiene muchas soluciones, encontramos soluciones a la desigualdad (3) resolviendo la doble desigualdad.
Desigualdad
Esto es cierto para cualquier x, y el conjunto de soluciones de la desigualdad es una serie de intervalos
Es el conjunto de soluciones a la desigualdad (3).
Ejemplo 3. Definamos todos para cada uno de los cuales la desigualdad
tiene al menos una solución.
Solución. Dividimos la desigualdad (4) por un número, obtenemos la desigualdad
que es equivalente a la desigualdad (4).
Dado que, entonces existe un ángulo como. Reescribimos la desigualdad (5) como
La última desigualdad, y por lo tanto la desigualdad (4), tiene al menos una solución para cada tal que, es decir, para cada uno.
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Departamento de Educación de la ciudad de Moscú
Institución educativa presupuestaria estatal
Educación secundaria vocacional
Colegio de Construcción №38
Informe de matemáticas
Sobre el tema: "La historia del desarrollo de la trigonometría"
Completado por el alumno:
Udalova Evgeniya
Grupos: 1-T-1
Moscú 2012
La palabra trigonometría aparece por primera vez en 1505 en el título de un libro del matemático alemán Pitiscus.
La trigonometría es una palabra griega y significa literalmente la medida de triángulos (trigwnon es un triángulo y metrew se mide).
En este caso, la medida de triángulos debe entenderse como la solución de triángulos, es decir, la determinación de los lados, ángulos y demás elementos de un triángulo, si se dan algunos de ellos. Una gran cantidad de problemas prácticos, así como problemas de planimetría, estereometría, astronomía y otros, se reducen al problema de la resolución de triángulos.
La aparición de la trigonometría está asociada con la agrimensura, la astronomía y la construcción.
Aunque el nombre de ciencia surgió hace relativamente poco tiempo, hace dos mil años se conocían muchos conceptos y hechos que ahora se atribuyen a la trigonometría.
Por primera vez, los antiguos astrónomos griegos Hiparco (siglo II a.C.) y Claudio Ptolomeo (siglo II d.C.) encontraron métodos para resolver triángulos basados en las dependencias entre los lados y ángulos de un triángulo. Posteriormente, la relación entre las razones de los lados de un triángulo y sus ángulos comenzó a llamarse funciones trigonométricas.
Los científicos árabes Al-Batani (850-929) y Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998) hicieron una contribución significativa al desarrollo de la trigonometría, quienes compilaron tablas de senos y tangentes cada 10 "con un precisión de 1/604. Teorema El científico indio Bhaskara (n. 1114, se desconoce el año de su muerte) y el astrónomo y matemático azerbaiyano Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) ya conocían la disciplina de los senos.
El concepto de seno tiene una larga historia. De hecho, varias proporciones de segmentos de un triángulo y un círculo (y, de hecho, funciones trigonométricas) ya se encuentran en el siglo III a. C. NS. en las obras de los grandes matemáticos de la Antigua Grecia: Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perge. En la época romana, estas relaciones fueron estudiadas de forma bastante sistemática por Menelao (siglo I d.C.), aunque no adquirieron un nombre especial. El seno a moderno, por ejemplo, se estudió como una media cuerda sobre la que descansa el ángulo central de un valor, o como una cuerda de un arco doblado.
En los siglos IV-V, apareció un término especial en los trabajos sobre astronomía del gran científico indio Aryabhata, que dio nombre al primer satélite indio de la Tierra. Llamó al segmento AM ardhajiva (ardha - mitad, jiva - cuerda de arco, que se asemeja a un acorde). Más tarde, apareció el nombre más corto jiva. Los matemáticos árabes del siglo IX reemplazaron esta palabra con la palabra árabe jayb (convexidad). Al traducir textos matemáticos árabes en el siglo, fue reemplazado por el latín sine (sinus - flexión, curvatura).
Las tangentes surgieron en relación con la solución del problema de determinar la longitud de la sombra. La tangente (así como la cotangente) fue introducida en el siglo X por el matemático árabe Abu al-Wafa, quien también compiló las primeras tablas para encontrar tangentes y cotangentes. Sin embargo, estos descubrimientos permanecieron durante mucho tiempo desconocidos para los científicos europeos, y las tangentes fueron redescubiertas solo en el siglo XIV por el matemático alemán, el astrónomo Regimontan (1467). Demostró el teorema de la tangente. Regiomontanus también compiló tablas trigonométricas detalladas; gracias a sus trabajos, la trigonometría plana y esférica se convirtió en una disciplina independiente en Europa.
El nombre "tangente", derivado del latín tanger (tocar), apareció en 1583. Tangens se traduce como "tocar" (la línea de tangentes es tangente al círculo unitario).
La trigonometría se desarrolló aún más en los trabajos de los destacados astrónomos Nicolaus Copernicus (1473-1543), el creador del sistema heliocéntrico del mundo, Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630), así como en el obras del matemático François Viet (1540-1603), quien resolvió por completo el problema de determinar todos los elementos de un plano o triángulo esférico a partir de tres datos.
Durante mucho tiempo, la trigonometría fue de naturaleza puramente geométrica, es decir, los hechos que ahora estamos formulando en términos de funciones trigonométricas fueron formulados y probados usando conceptos y enunciados geométricos. Así era en la Edad Media, aunque en ocasiones también se utilizaban en él métodos analíticos, sobre todo tras la aparición de los logaritmos. Quizás los mayores incentivos para el desarrollo de la trigonometría surgieron en relación con la resolución de problemas de astronomía, que fue de gran interés práctico (por ejemplo, para resolver problemas de determinar la ubicación de un barco, predecir el oscurecimiento, etc.). Los astrónomos estaban interesados en la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos esféricos. Y debe tenerse en cuenta que los matemáticos de la antigüedad hicieron frente con éxito a las tareas.
A partir del siglo XVII, las funciones trigonométricas comenzaron a aplicarse a la solución de ecuaciones, problemas de mecánica, óptica, electricidad, radioingeniería, para describir procesos oscilatorios, propagación de ondas, movimiento de diversos mecanismos, estudio de corrientes eléctricas alternas, etc. Por lo tanto, las funciones trigonométricas son exhaustivas y están profundamente investigadas, y se han convertido en esenciales para todas las matemáticas.
La teoría analítica de las funciones trigonométricas fue creada principalmente por el destacado matemático del siglo XVIII Leonard Euler (1707-1783), miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. El vasto legado científico de Euler incluye resultados brillantes relacionados con el análisis matemático, la geometría, la teoría de números, la mecánica y otras aplicaciones de las matemáticas. Fue Euler quien introdujo por primera vez las conocidas definiciones de funciones trigonométricas, comenzó a considerar funciones de un ángulo arbitrario y obtuvo fórmulas de reducción. Después de Euler, la trigonometría tomó la forma de un cálculo: varios hechos comenzaron a demostrarse mediante la aplicación formal de fórmulas de trigonometría, las demostraciones se volvieron mucho más compactas y simples.
Así, la trigonometría, que surgió como la ciencia de resolver triángulos, eventualmente se convirtió en la ciencia de las funciones trigonométricas.
Posteriormente, la parte de trigonometría, que estudia las propiedades de las funciones trigonométricas y la relación entre ellas, pasó a llamarse goniometría (en traducción - ciencia de medir ángulos, del griego gwnia - ángulo, metrew - mido). El término goniometría prácticamente no se ha utilizado últimamente.
trigonometría matemáticas pitiscus
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Historia de la trigonometría
La trigonometría es una palabra griega y literalmente significa la medida de triángulos ( es un triángulo y es mido).
En este caso, la medida de triángulos debe entenderse como la solución de triángulos, es decir definición de lados, ángulos y otros elementos del triángulo, si se dan algunos de ellos. Una gran cantidad de problemas prácticos, así como problemas de planimetría, estereometría, astronomía y otros, se reducen al problema de la resolución de triángulos.
La aparición de la trigonometría está asociada con la agrimensura, la astronomía y la construcción.
Aunque el nombre de ciencia surgió hace relativamente poco tiempo, hace dos mil años se conocían muchos conceptos y hechos que ahora se atribuyen a la trigonometría.
Por primera vez, los antiguos astrónomos griegos Hiparco (siglo II a.C.) y Claudio Ptolomeo (siglo II d.C.) encontraron métodos para resolver triángulos basados en las dependencias entre los lados y ángulos de un triángulo. Más tarde, la relación entre las razones de los lados de un triángulo y sus ángulos comenzó a llamarse funciones trigonométricas.
Los científicos árabes Al-Batani (850-929) y Abu-al-Wafa, Mohamed bin Mohamed (940-998) hicieron una contribución significativa al desarrollo de la trigonometría, quienes compilaron tablas de senos y tangentes en 10’ precisión de 1/60 4 ... El teorema de los senos ya lo conocían el científico indio Bhaskara (n. 1114, se desconoce el año de su muerte) y el astrónomo y matemático azerbaiyano Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274). Además, Nasireddin Tusi, en su obra "Tratado sobre el cuatripartito completo", describió la trigonometría plana y esférica como una disciplina independiente.
El concepto de seno tiene una larga historia. De hecho, varias proporciones de segmentos de un triángulo y un círculo (y, de hecho, funciones trigonométricas) ya se encuentran enIIISiglo aC en las obras de los grandes matemáticos de la Antigua Grecia: Euclides, Arquímedes, Apolonio de Perge. En el período romano, estas relaciones fueron estudiadas de manera bastante sistemática por Menelao (Isiglo d.C.), aunque no adquirieron un nombre especial. El seno moderno , por ejemplo, se ha estudiado como una media cuerda sobre la que descansa un ángulo central de , o como una cuerda de un arco doblado.
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Arroz. 1
V IV- VDurante siglos, ya ha aparecido un término especial en los trabajos sobre astronomía del gran científico indio Aryabhata, que da nombre al primer satélite indio de la Tierra. Llamó al segmento AM (Fig. 1) ardhajiva (ardha - mitad, jiva - cuerda de arco, que se asemeja a un acorde). Más tarde, apareció el nombre más corto jiva. Matemáticos árabes enIXsiglo, esta palabra fue reemplazada por la palabra árabe jayb (abultamiento). Al traducir textos matemáticos árabes en el siglo, fue reemplazado por el latín sine (seno- flexión, curvatura).
La palabra coseno es mucho más reciente. Coseno es una abreviatura de la expresión latinacompletamenteseno, es decir, "seno adicional" (o de otro modo "seno de un arco adicional";cos = pecado(90 - )).
Las tangentes surgieron en relación con la solución del problema de determinar la longitud de la sombra. Tangente (así como cotangente) introducida enXsiglo por el matemático árabe Abu al-Wafa, quien también compiló las primeras tablas para encontrar tangentes y cotangentes. Sin embargo, estos descubrimientos durante mucho tiempo permanecieron desconocidos para los científicos europeos, y las tangentes se redescubrieron solo enXIVsiglo por el matemático alemán, astrónomo Regimontan (1467). Demostró el teorema de la tangente. Regiomontanus también compiló tablas trigonométricas detalladas; gracias a sus trabajos, la trigonometría plana y esférica se convirtió en una disciplina independiente en Europa.
El nombre "tangente" proviene del latíntanger(toque), apareció en 1583.Tangensse traduce como "tangente" (línea de tangentes - tangente al círculo unitario).
La trigonometría se desarrolló aún más en los trabajos de los destacados astrónomos Nicolaus Copernicus (1473-1543), el creador del sistema heliocéntrico del mundo, Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630), así como en el obras del matemático François Viet (1540-1603), quien resolvió por completo el problema de determinar todos los elementos de un plano o triángulo esférico a partir de tres datos.
Durante mucho tiempo, la trigonometría fue de naturaleza puramente geométrica, es decir, los hechos que ahora estamos formulando en términos de funciones trigonométricas fueron formulados y probados usando conceptos y enunciados geométricos. Así era en la Edad Media, aunque en ocasiones también se utilizaban en él métodos analíticos, sobre todo tras la aparición de los logaritmos. Quizás los mayores estímulos para el desarrollo de la trigonometría surgieron en relación con la solución de problemas en astronomía, que fue de gran interés práctico (por ejemplo, para resolver problemas de determinación de la ubicación de un barco, predicción de apagones, etc.). Los astrónomos estaban interesados en la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos esféricos. Y debe tenerse en cuenta que los matemáticos de la antigüedad hicieron frente con éxito a las tareas establecidas.
Empezando con XVIIin., las funciones trigonométricas comenzaron a aplicarse a la solución de ecuaciones, problemas de mecánica, óptica, electricidad, ingeniería de radio, para describir procesos oscilatorios, propagación de ondas, movimiento de diversos mecanismos, para estudiar corriente eléctrica alterna, etc. Las funciones fueron estudiadas de manera exhaustiva y profunda, y se han convertido en esenciales para todas las matemáticas.
La teoría analítica de las funciones trigonométricas fue creada principalmente por un matemático destacadoXviiisiglo Leonard Euler (1707-1783) miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. El vasto legado científico de Euler incluye resultados brillantes relacionados con el análisis matemático, la geometría, la teoría de números, la mecánica y otras aplicaciones de las matemáticas. Fue Euler quien introdujo por primera vez las conocidas definiciones de funciones trigonométricas, comenzó a considerar funciones de un ángulo arbitrario y obtuvo fórmulas de reducción. Después de Euler, la trigonometría tomó la forma de un cálculo: varios hechos comenzaron a demostrarse mediante la aplicación formal de fórmulas de trigonometría, las demostraciones se volvieron mucho más compactas, más simples,
Así, la trigonometría, que surgió como la ciencia de resolver triángulos, eventualmente se convirtió en la ciencia de las funciones trigonométricas.
Posteriormente, la parte de trigonometría, que estudia las propiedades de las funciones trigonométricas y la relación entre ellas, comenzó a llamarse goniometría (traducida - la ciencia de medir ángulos, del griego - ángulo, - medida). El término goniometría prácticamente no se ha utilizado últimamente.
Trabajo en un mini proyecto sobre el tema "Historia del desarrollo de la trigonometría"
estudiante 11 "a" clase MBOU "Escuela secundaria de Kilemarskaya" Distrito municipal de Kilemarsky de la República de Mari El Ivantsova Vasily
Maestra: I.P. Konyushkova
Metas y metas:
- Encuentra información sobre el desarrollo de la trigonometría.
- Explore la literatura sobre este tema
Plan:
6.Desarrollo de la trigonometría moderna
En mi trabajo, considero la historia del desarrollo de la trigonometría.
1.El surgimiento de la trigonometría como ciencia
La trigonometría surgió y se desarrolló en la antigüedad como una de las ramas de la astronomía, como su aparato informático. Los antiguos babilonios y egipcios conocían cierta información trigonométrica, pero las bases de esta ciencia se establecieron en la antigua Grecia. Los astrónomos griegos antiguos resolvieron con éxito ciertos problemas de trigonometría relacionados con la astronomía. Sin embargo, no consideraron las líneas de seno, coseno, etc., sino acordes. Las primeras tablas trigonométricas fueron compiladas por Hiparco de Nicea (180-125 aC). Hiparco fue el primero en tabular los valores correspondientes de arcos y cuerdas para una serie de ángulos.
La información más completa sobre trigonometría está contenida en el "Almagest" de Ptolomeo. Tolomeo dividió el círculo en 360 grados y el diámetro en 120 partes. Contó el radio como 60 partes y usó el sistema numérico seisagesimal. Para un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual al diámetro del círculo, escribió sobre la base del teorema de Pitágoras: (acorde α) ² + (acorde / 180-α /) ² = (diámetro) ², que corresponde a la fórmula moderna sin²α + cos²α = 1. La tabla de Ptolomeo, que ha sobrevivido hasta nuestro tiempo, equivale a una tabla de senos con cinco decimales correctos.
2.Desarrollo de la trigonometría en India
En el siglo IV, el centro para el desarrollo de las matemáticas se trasladó a la India. Los matemáticos indios conocían bien los escritos de los astrónomos y geómetras griegos. Sus contribuciones a la astronomía aplicada y los aspectos computacionales de la trigonometría son muy importantes. En primer lugar, los indígenas cambiaron algunos de los conceptos de trigonometría, acercándolos a los modernos. En la India, la trigonometría se inició como una doctrina general de proporciones en un triángulo, aunque, a diferencia de los acordes griegos, el enfoque indio se limitó solo a las funciones de un ángulo agudo. Los indios definieron el seno de manera algo diferente que en las matemáticas modernas, pero fueron los primeros en introducir el coseno en uso.
3. Mayor desarrollo de la trigonometría en los países del Oriente Medio y Cercano
La trigonometría recibió un mayor desarrollo en los siglos IX-XV. en los países del Medio y Cercano Oriente. Las primeras obras que se conservan pertenecen a al-Khorezmi y al-Marvazi (siglo IX), quienes consideraron, junto con el seno y el coseno conocidos por los indios, nuevas funciones trigonométricas: tangente, cotangente, secante y cosecante. Khorezmi (al-Khorezmi) Muhammad bin Musa compiló tablas de senos y cotangentes. Es autor de varias obras astronómicas: obras sobre el reloj de sol, astrolabio; compiló una serie de tablas matemáticas y astronómicas. También ha sobrevivido su manuscrito "Imagen de la Tierra" (publicado en 1878), dedicado a la geografía. Sin embargo, el científico se hizo famoso principalmente por su trabajo en el campo de las matemáticas. Abu-l-Wafa logró grandes resultados en el desarrollo de la trigonometría en la segunda mitad del siglo X, quien fue el primero en utilizar un círculo de unidad de radio para determinar funciones trigonométricas, como se hace en las matemáticas modernas.
Una de las tareas más importantes de la ciencia en ese momento era la compilación de tablas trigonométricas con el menor paso posible. En el siglo IX, al-Khwarizmi compiló tablas de senos con un paso de 1 °, su contemporáneo al-Marvazi les añadió las primeras tablas de tangentes, cotangentes y cosecantes con el mismo paso. A principios del siglo X, al-Battani publicó tablas con un paso de 30 ", a finales del mismo siglo, Ibn Yunis compiló tablas con un paso de 1". Al compilar las tablas, la clave fue calcular el valor... Al-Biruni, junto con Ibn Yunis y Abu-l-Wafa, inventaron métodos hábiles para calcular este valor. El primer tratado especializado en trigonometría fue su libro "El libro de las claves de la ciencia de la astronomía" (995-996). Al-Kashi logró el mayor éxito en el siglo XV, en una de sus obras calculó que(todos los signos son correctos). Sus tablas trigonométricas 1 ′ no han tenido rival durante 250 años. At-Tusi, Nasir ad-Din (1201-1274) en su "Tratado sobre el cuatripartito completo" presentó por primera vez la información trigonométrica como un departamento independiente de matemáticas, y no como un apéndice de la astronomía.
4. Continuación del desarrollo de la trigonometría en Europa
Después de que los tratados árabes se tradujeron al latín en los siglos XII y XIII, muchas ideas de los matemáticos indios y persas pasaron a ser propiedad de la ciencia europea. El desarrollo de la trigonometría continuó en Europa. Inicialmente, la información sobre trigonometría se proporcionó en ensayos sobre astronomía, pero en el trabajo de Fibonacci "La práctica de la geometría", escrito alrededor de 1220, la trigonometría se presenta como parte de la geometría. El astrónomo inglés Richard Wallingford (hacia 1320) se refiere a la primera obra europea enteramente dedicada a la trigonometría como "Cuatro tratados sobre cuerdas directas e invertidas".
El representante europeo más destacado de esta época fue Regiomontanus. Sus trabajos presentados en la obra matemática "Cinco libros sobre triángulos de todo tipo" fueron de gran importancia en el posterior desarrollo de la trigonometría en los siglos XVI-XVII.
En el umbral del siglo XVII. en el desarrollo de la trigonometría, se perfila una nueva dirección: analítica. Si antes de eso se consideraba que el objetivo principal de la trigonometría era la solución de triángulos, el cálculo de los elementos de las figuras geométricas y la doctrina de las funciones trigonométricas se construían sobre una base geométrica, entonces en los siglos XVII-XIX. La trigonometría se está convirtiendo gradualmente en uno de los capítulos del análisis matemático. Encuentra una amplia aplicación en mecánica, física y tecnología, especialmente en el estudio de movimientos oscilatorios y otros procesos periódicos. Viet conocía la propiedad de periodicidad de las funciones trigonométricas, cuyos primeros estudios matemáticos estaban relacionados con la trigonometría. El matemático suizo Johann Bernoulli (1642-1727) ya usaba símbolos para funciones trigonométricas. La expansión del concepto de funciones trigonométricas llevó a su fundamentación sobre una nueva base analítica: las funciones trigonométricas se determinan independientemente de la geometría utilizando series de potencias y otros conceptos de análisis matemático.
I. Newton y L. Euler contribuyeron al desarrollo de la teoría analítica de funciones trigonométricas. Leonard Euler introdujo tanto el concepto mismo de función como el simbolismo aceptado hoy. Le dio a toda la trigonometría su aspecto moderno. En su tratado "Introducción al análisis del infinito" (1748), Euler dio una definición de funciones trigonométricas, equivalente a la moderna, y definió funciones inversas. Desde entonces, el enfoque de Euler se ha aceptado generalmente y se ha incorporado a los libros de texto.
5.Desarrollo de la trigonometría en Rusia
En Rusia, la primera información sobre trigonometría se publicó en la colección "Tablas de logaritmos, senos y tangentes para el estudio de los cuidadores sabios", publicada con la participación de L.F.Magnitsky en 1703. En 1714 apareció el manual informativo "Geometría de la práctica", el primer libro de texto ruso sobre trigonometría, centrado en los problemas aplicados de la artillería, la navegación y la geodesia. La finalización del período de dominio del conocimiento trigonométrico en Rusia puede considerarse el libro de texto fundamental del académico ME Golovin (estudiante de Euler) "Trigonometría plana y esférica con pruebas algebraicas" (1789).
A finales del siglo XVIII, surgió una escuela trigonométrica autorizada en San Petersburgo, que hizo una gran contribución a la trigonometría plana y esférica.
N.I. Lobachevsky y otros científicos continuaron el desarrollo de la teoría de la trigonometría en el siglo XIX.
A principios del siglo XIX, N.I. Lobachevsky agregó una tercera sección a la trigonometría plana y esférica: hiperbólica. En los siglos XIX-XX, la teoría de series trigonométricas y áreas relacionadas de las matemáticas, por ejemplo, la codificación de información de audio y video, y otras, recibió un rápido desarrollo.
Hoy en día, la parte más importante de la trigonometría: la doctrina de las funciones trigonométricas se considera en el análisis matemático, y la solución de triángulos es parte de la geometría.
Mientras trabajaba en este tema, estudié varias fuentes y encontré información sobre el desarrollo de la trigonometría.
Literatura: 1.Gleizer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela: grados IX-X. Una guía para profesores.- M.: Educación, 1983.
2. Recursos de Internet
