فرمول Ostrogradsky - سبز

این فرمول یک ارتباط بین انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته C و یک انتگرال دوگانه در ناحیه محدود شده توسط این کانتور برقرار می کند.

تعریف 1. دامنه D در صورتی یک دامنه ساده نامیده می شود که بتوان آن را به تعداد محدودی از دامنه های نوع اول و مستقل از آن به تعداد محدودی از دامنه های نوع دوم تقسیم کرد.

قضیه 1. اجازه دهید توابع P (x, y) و Q (x, y) در یک دامنه ساده به همراه مشتقات جزئی آنها تعریف شوند.

سپس فرمول زیر برقرار است:

که در آن C یک کانتور بسته از دامنه D است.

این فرمول Ostrogradsky-Green است.

شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر ادغام

تعریف 1. به یک دامنه ربع بسته D گفته می شود که به سادگی متصل می شود اگر هر منحنی بسته l D بتواند به طور مداوم به یک نقطه تغییر شکل داده شود به طوری که تمام نقاط این منحنی به منطقه D تعلق داشته باشند (منطقه بدون "سوراخ" - D 1) ، اگر چنین تغییر شکلی غیرممکن باشد، آن منطقه را ضرب متصل می نامند (با "سوراخ" - D 2).

تعریف 2. اگر مقدار انتگرال منحنی در امتداد منحنی AB به شکل منحنی اتصال نقاط A و B بستگی نداشته باشد، می گویند که این انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد:

قضیه 1. اجازه دهید توابع پیوسته P (x, y) و Q (x, y) در یک دامنه D بسته به سادگی تعریف شوند. سپس 4 شرط زیر معادل (معادل) هستند:

1) انتگرال منحنی روی یک حلقه بسته

که در آن C هر کانتور بسته در D است.

2) انتگرال منحنی روی یک حلقه بسته به مسیر ادغام در دامنه D بستگی ندارد، یعنی.

3) شکل دیفرانسیل P (x, y) dx + Q (x, y) dy دیفرانسیل کل برخی از تابع F در دامنه D است، یعنی اینکه یک تابع F وجود دارد به طوری که (x,y) D برابری

dF (x، y) = P (x، y) dx + Q (x، y) dy; (3)

4) برای تمام نقاط (x, y) D شرط زیر برآورده می شود:

اجازه دهید آن را طبق طرح ثابت کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که از.

اجازه دهید 1) داده شود، i.e. = 0 توسط ویژگی 2 از §1، که = 0 (با ویژگی 1 از §1).

اجازه دهید ثابت کنیم که از.

داده شده است که اعتبار int. به مسیر ادغام بستگی ندارد، بلکه فقط به انتخاب آغاز و پایان مسیر بستگی دارد

تابع را در نظر بگیرید

ما ادعا می کنیم که شکل دیفرانسیل P (x، y) dx + Q (x، y) dy دیفرانسیل کل تابع F (x، y) است، یعنی، ، چی

بیایید یک سود خصوصی تعیین کنیم

x F (x، y) = F (x + x، y) -F (x، y) = = == =

(با ویژگی 3 از § 1، BB * Oy) = = P (c, y) x (با قضیه مقدار میانگین، c -const)، که در آن x

(به دلیل تداوم تابع P). فرمول (5) را دریافت کرد. فرمول (6) نیز به روشی مشابه بدست می آید.

اجازه دهید ثابت کنیم که از.

فرمول داده شده است

dF (x، y) = P (x، y) dx + Q (x، y) dy.

بدیهی است، = P (x، y). سپس

بر اساس فرضیه، اضلاع سمت راست برابری های (7) و (8) توابع پیوسته هستند، سپس با قضیه تساوی مشتقات مختلط، اضلاع سمت چپ نیز برابر خواهند بود، یعنی:

اجازه دهید ثابت کنیم که از 41.

بیایید هر کانتور بسته را از ناحیه D انتخاب کنیم که ناحیه D 1 را محدود می کند.

توابع P و Q شرایط Ostrogradsky-Green را برآورده می کنند:

بر اساس تساوی (4) در سمت چپ (9)، انتگرال برابر با 0 است، به این معنی که سمت راست تساوی نیز برابر است با

نکته 1. قضیه 1. را می توان به عنوان سه قضیه مستقل فرموله کرد

قضیه 1 *. به منظور بین. به مسیر ادغام بستگی ندارد بنابراین شرط (.1) برآورده می شود، i.e.

قضیه 2 *. به منظور بین. به مسیر ادغام بستگی ندارد بنابراین شرط (3) برآورده می شود:

شکل دیفرانسیل P (x, y) dx + Q (x, y) dy دیفرانسیل کل برخی از تابع F در دامنه D است.

قضیه 3 *. به منظور بین. به مسیر ادغام بستگی ندارد بنابراین شرط (4) برآورده می شود:

نکته 2. در قضیه 2 *، دامنه D نیز می تواند ضرب شود.

یک منطقه به سادگی متصل نامیده می شود اگر مرز آن یک مجموعه متصل باشد. دامنه ای n متصل نامیده می شود اگر مرز آن به n مجموعه متصل تقسیم شود.

اظهار نظر. فرمول گرین برای دامنه های چندگانه متصل نیز معتبر است.

برای اینکه انتگرال (A, B - هر نقطه از D) مستقل از مسیر ادغام (اما فقط در نقاط شروع و پایان A, B) باشد، لازم و کافی است که در امتداد هر منحنی بسته (در امتداد هر کانتور) که در D قرار دارد، انتگرال صفر = 0 بود

برهان (ضرورت). اجازه دهید (4) مستقل از مسیر ادغام باشد. یک کانتور دلخواه C را که در دامنه D قرار دارد در نظر بگیرید و دو نقطه دلخواه A، B را در این کانتور انتخاب کنید. سپس منحنی C را می توان به عنوان اتحاد دو منحنی AB = G2، AB = G1، C = Г - 1 + G2 نشان داد.

قضیه 1. برای اینکه انتگرال منحنی مستقل از مسیر انتگرال در D باشد، لازم و کافی است که

در منطقه D. کفایت. در صورت رضایت، فرمول گرین برای هر کانتور C خواهد بود از آنجایی که ادعای مورد نیاز توسط لم دنبال می شود. نیاز. با لم، برای هر کانتور = 0. سپس، با فرمول گرین برای دامنه D محدود شده توسط این کانتور، = 0. با قضیه مقدار میانگین، = mD یا == 0. با عبور از حد، کانتور را به یک نقطه منقبض می کنیم، در این نقطه به آن می رسیم.

قضیه 2. برای مستقل بودن انتگرال منحنی (4) از مسیر انتگرال گیری در D، لازم و کافی است که انتگرال Pdx + Qdy دیفرانسیل کل تابع u در حوزه D. du = Pdx + Qdy باشد. کفایت. بگذار برآورده شود، سپس ضرورت. بگذارید انتگرال مستقل از مسیر ادغام باشد. یک نقطه A0 را در دامنه D ثابت می کنیم و تابع u (A) = u (x, y) = را تعریف می کنیم.

در این مورد

XÎ (xÎ). بنابراین، یک مشتق = P وجود دارد. به طور مشابه، بررسی می شود که = Q. بر اساس فرضیات ساخته شده، تابع u به طور پیوسته قابل تمایز است و du = Pdx + Qdy.

32-33. تعریف انتگرال های منحنی از نوع 1 و 2

انتگرال منحنی روی طول قوس (نوع اول)

اجازه دهید تابع f (x, y) در نقاطی از قوس AB یک منحنی صاف K تعریف شده و پیوسته باشد. قوس را بطور دلخواه به n قوس ابتدایی با نقاط t0..tn تقسیم کنید. بگذارید lk طول k قوس جزئی باشد. . یک نقطه دلخواه N (k، k) روی هر کمان ابتدایی بگیرید و این نقطه را در نقطه مربوطه ضرب کنید. طول قوس سه مجموع انتگرال است:

1 =f (k، k) lk 2 = Р (k، k) хk 3 = Q (k، k) yk، که در آن хk = x k -x k -1، yk = y k -y k -1

یک انتگرال منحنی از نوع اول در طول قوس حد مجموع انتگرال 1 است به شرط اینکه حداکثر (lk)  0

اگر حد مجموع انتگرال 2 یا 3 برای   0 باشد، این حد نامیده می شود. انتگرال منحنی از نوع دوم، تابع P (x، y) یا Q (x، y) در امتداد منحنی l = AB است و با:
یا

میزان:
+
مرسوم است که انتگرال منحنی خطی نوع دوم را صدا می زنیم و آن را با نماد نشان می دهیم:
در این حالت، توابع f (x، y)، P (x، y)، Q (x، y) در امتداد منحنی l = AB قابل انتگرال نامیده می شوند. منحنی l به خودی خود یک کانتور یا با ادغام A - ابتدایی، B - نقاط انتهایی ادغام، dl - دیفرانسیل طول قوس نامیده می شود، بنابراین یک انتگرال منحنی از نوع اول نامیده می شود. یک انتگرال منحنی روی قوس یک منحنی، و از نوع دوم روی یک تابع.

از تعریف انتگرال‌های منحنی برمی‌آید که انتگرال‌های نوع اول به جهتی که منحنی l از A و B یا از B و A کشیده می‌شود، بستگی ندارد. انتگرال منحنی از نوع اول بر روی AB:

، برای انتگرال های منحنی نوع دوم، تغییر در جهت عبور از منحنی منجر به تغییر علامت می شود:

در صورتی که l یک منحنی بسته باشد، یعنی B منطبق بر m باشد، آنگاه از دو جهت ممکن برای دور زدن یک کانتور بسته، جهتی که در آن ناحیه واقع در داخل کانتور به سمت چپ باقی می‌ماند، مثبت نامیده می‌شود. به ؟؟؟ ایجاد یک انحراف، یعنی جهت حرکت در خلاف جهت عقربه های ساعت است. جهت مخالف انحراف منفی نامیده می شود. انتگرال منحنی AB در امتداد یک کانتور بسته l در جهت مثبت با نماد نشان داده می شود:

برای یک منحنی فضایی، 1 انتگرال از نوع اول به طور مشابه معرفی می شود:

و سه انتگرال از نوع دوم:

مجموع سه انتگرال آخر نامیده می شود. انتگرال منحنی کلی از نوع دوم.

برخی از کاربردهای انتگرال های منحنی از نوع اول.

1.انتگرال
- طول قوس AB

2. معنای مکانیکی انتگرال قسم اول.

اگر f (x, y) =  (x, y) چگالی خطی کمان ماده باشد، جرم آن برابر است با:

3. مختصات مرکز جرم قوس ماده:

4. ممان اینرسی یک قوس در صفحه اکسی نسبت به مبدا و محورهای چرخش oo, oy:

5. معنای هندسی انتگرال از نوع اول

اجازه دهید تابع z = f (x, y) - دارای بعد طول f (x, y)> = 0 در تمام نقاط کمان ماده واقع در صفحه اکسی باشد سپس:

، جایی که S مساحت یک سطح استوانه ای است، گربه از عمودهای صفحه اکسی، شرق تشکیل شده است. در نقاط M (x,y) منحنی AB.

برخی از کاربردهای انتگرال های منحنی نوع دوم.

محاسبه مساحت منطقه مسطح D با مرز L

2. نیروی کار بگذارید نقطه مادی تحت اثر یک نیرو در امتداد یک منحنی مسطح پیوسته BC حرکت کند و از B به C بروید، کار این نیرو:

سخنرانی 4

موضوع: فرمول گرین شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر ادغام.

فرمول گرین

فرمول گرین یک ارتباط بین یک انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته Γ در یک صفحه و یک انتگرال دوگانه در ناحیه محدود شده توسط این کانتور برقرار می کند.

یک انتگرال منحنی در امتداد یک کانتور بسته Γ با نماد نشان داده می شود. کانتور بسته Γ از نقطه ای B از این کانتور شروع می شود و در نقطه B به پایان می رسد. انتگرال در امتداد یک کانتور بسته به انتخاب نقطه B بستگی ندارد.

تعریف 1... دور زدن کانتور Г در صورتی مثبت تلقی می شود که هنگام عبور از کانتور Г، ناحیه D در سمت چپ باقی بماند. Г + - کانتور Г در جهت مثبت دور می زند، Г - - کانتور در جهت منفی دور می زند یعنی. در جهت مخالف

G +

ایکس

Y

ج

د

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

آ

ب

ب

سی

Y = y 2 (x)

Y = y 1 (x)

متر

n

انتگرال دوگانه را در نظر بگیرید

.

به همین ترتیب ثابت می شود که:

از برابری های (1) و (2) به دست می آوریم:

از این رو،

فرمول گرین تحت فرضیات ساخته شده ثابت می شود.

تبصره 1... اگر مرز Г دامنه D توسط برخی از خطوط مستقیم موازی با محور 0X یا 0Y در بیش از دو نقطه قطع شود، فرمول گرین معتبر می‌ماند. علاوه بر این، فرمول گرین برای دامنه های متصل به n معتبر است.

شرایط استقلال انتگرال منحنی از مسیر ادغام در صفحه.

در این قسمت شرایطی را که در آن انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد، بلکه به نقاط اولیه و نهایی انتگرال بستگی دارد، روشن خواهیم کرد.

قضیه 1... به منظور انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک منطقه به سادگی متصل، لازم و کافی است که این انتگرال گرفته شده در امتداد هر کانتور تکه‌ای صاف بسته در این ناحیه برابر با صفر باشد.

برهان: ضرورت.داده شده: به مسیر ادغام بستگی ندارد. لازم است ثابت شود که انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور تکه ای صاف بسته برابر با صفر است.

اجازه دهید یک کانتور بسته دلخواه Γ به صورت تکه ای صاف در دامنه D در نظر گرفته شود. در کانتور Γ، نقاط دلخواه B و C را می گیریم.

جی

D

n

متر

ب

سی

از آنجایی که به مسیر ادغام بستگی ندارد، پس

، یعنی

کفایت... داده شده: انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته برابر با صفر است.

لازم است ثابت شود که انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

یک انتگرال منحنی را بر روی دو کانتور صاف تکه ای در نظر بگیرید که نقاط B و C را به هم متصل می کنند. با شرط:

آن ها منحنی

انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.فرض کنید که آنها با مشتقات جزئی در یک دامنه D به سادگی پیوسته هستند. به منظور انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد، لازم و کافی است که هویت

برهان: کفایت.داده شده:. اثبات آن لازم است به مسیر ادغام بستگی ندارد. برای این، اثبات آن کافی است برابر با صفر در امتداد هر کانتور صاف تکه ای بسته است. با فرمول گرین داریم:

نیاز.با توجه به قضیه 1، انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد. اثبات آن لازم است

انتگرال منحنی را در نظر بگیرید

در امتداد منحنی صفحه ای L که نقاط M و N را به هم وصل می کند، گرفته شده است. فرض می کنیم که توابع دارای مشتقات جزئی پیوسته در دامنه مورد نظر D هستند. اجازه دهید دریابیم که در چه شرایطی انتگرال منحنی خطی نوشته شده به شکل منحنی L بستگی ندارد. ، اما فقط به موقعیت نقاط اولیه و نهایی M و N بستگی دارد.

دو منحنی دلخواه MPN و MQN را در نظر بگیرید که در ناحیه D در نظر گرفته شده و نقاط اتصال M و N را به هم متصل می کنند (شکل 351). بگذار باشد

سپس بر اساس ویژگی های 1 و 2 انتگرال های منحنی (§ 1) داریم

یعنی e. انتگرال منحنی حلقه بسته

در آخرین فرمول، انتگرال منحنی بر روی یک کانتور بسته L متشکل از منحنی ها گرفته می شود. این کانتور L به وضوح می تواند دلخواه در نظر گرفته شود.

بنابراین، از شرایطی که برای هر دو نقطه M و N، انتگرال منحنی به شکل منحنی متصل کننده آنها بستگی ندارد، بلکه فقط به موقعیت این نقاط بستگی دارد، نتیجه می شود که انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور بسته صفر است. .

نتیجه معکوس نیز درست است: اگر انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر باشد، این انتگرال منحنی به شکل منحنی متصل کننده هر دو نقطه بستگی ندارد، بلکه فقط به موقعیت این نقاط بستگی دارد. در واقع، تساوی (2) بر برابری (1) دلالت دارد.

در مثال 4، § 2، انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد؛ در مثال 3، انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی دارد، زیرا در این مثال انتگرال روی یک کانتور بسته برابر با صفر نیست، بلکه می دهد. ناحیه محدود شده توسط کانتور مورد بررسی؛ در مثال های 1 و 2، انتگرال های منحنی نیز به مسیر ادغام بستگی دارند.

این سوال به طور طبیعی مطرح می شود: برای اینکه انتگرال منحنی در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر باشد، توابع باید چه شرایطی را برآورده کنند. پاسخ به این سوال با قضیه زیر ارائه می شود:

قضیه. فرض کنید در تمام نقاط برخی از دامنه D، توابع به همراه مشتقات جزئی خود پیوسته باشند. سپس، برای اینکه انتگرال منحنی بر روی هر کانتور بسته L که در دامنه D قرار دارد برابر با صفر شود، یعنی،

لازم و کافی است که برابری

در تمام فحلی های منطقه

اثبات یک کانتور بسته دلخواه L را در دامنه D در نظر بگیرید و فرمول گرین را برای آن بنویسید:

اگر شرط (3) برآورده شود، انتگرال دوگانه در سمت چپ به طور یکسان صفر است و بنابراین،

بدین ترتیب کفایت شرط (3) ثابت می شود.

حال ضرورت این شرط را ثابت می کنیم، یعنی ثابت می کنیم که اگر برابری (2) برای هر منحنی بسته L در دامنه D برقرار باشد، شرط (3) نیز در هر نقطه از این دامنه برقرار است.

برعکس، فرض کنید که برابری (2) برقرار است، یعنی.

و شرط (3) برآورده نمی شود، یعنی.

حداقل در یک نقطه مثلاً در یک نقطه نابرابری داشته باشیم

از آنجایی که یک تابع پیوسته در سمت چپ نابرابری وجود دارد، در تمام نقاط یک دامنه به اندازه کافی کوچک D که حاوی یک نقطه است، مثبت و بزرگتر از یک عدد معین خواهد بود. یک انتگرال مضاعف را روی این ناحیه از تفاوت در نظر بگیرید. مثبت خواهد بود. واقعا،

اما طبق فرمول گرین، سمت چپ آخرین نابرابری برابر با انتگرال منحنی بر روی مرز منطقه است که برابر با صفر است. در نتیجه، آخرین نابرابری با شرط (2) تناقض دارد و بنابراین، فرضی که حداقل در یک نقطه با صفر متفاوت است، درست نیست. از اینجا

نتیجه می شود که

در تمام نقاط منطقه

بنابراین، قضیه کاملاً ثابت می شود.

در بخش 9، چ. XIII ثابت شد که تحقق شرط معادل این واقعیت است که عبارت دیفرانسیل کل یک تابع است، یعنی.

اما در این مورد بردار

یک گرادیان یک تابع وجود دارد، تابعی که گرادیان آن برابر با یک بردار است، پتانسیل این بردار نامیده می شود. اجازه دهید ثابت کنیم که در این مورد انتگرال منحنی

در امتداد هر منحنی L نقاط اتصال M و N، (M) برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع و در این نقاط:

اثبات اگر دیفرانسیل کل تابع باشد، انتگرال منحنی شکل خواهد گرفت

برای محاسبه این انتگرال، معادلات پارامتری منحنی L را که نقاط M و را به هم متصل می کند، می نویسیم

انتگرال، به انتگرال معین زیر کاهش می یابد:

عبارت داخل پرانتز تابعی است که مشتق کل تابع بنابراین است

همانطور که می بینیم، انتگرال منحنی دیفرانسیل کل به شکل منحنی که ادغام روی آن انجام می شود، بستگی ندارد.

یک عبارت مشابه برای یک انتگرال منحنی بر روی یک منحنی فضا صادق است (به بند 7 زیر مراجعه کنید).

اظهار نظر. گاهی اوقات لازم است انتگرال های منحنی را در طول قوس L یک تابع در نظر بگیریم

اجازه دهید یک فیلد برداری مسطح داده شود. در ادامه، فرض می کنیم که توابع P و Q با مشتقات خود و در برخی ناحیه O صفحه پیوسته هستند.

در دامنه G دو نقطه دلخواه را در نظر بگیرید این نقاط را می توان با خطوط مختلفی که در دامنه قرار دارند به هم متصل کرد که مقادیر انتگرال منحنی، به طور کلی، متفاوت است.

بنابراین، برای مثال، انتگرال منحنی را در نظر بگیرید

و دو نقطه این انتگرال را اولاً در امتداد بخش خطی که نقاط A و B را به هم متصل می کند و ثانیاً در امتداد قوس سهمی که همان نقاط را به هم وصل می کند محاسبه می کنیم. با اعمال قوانین برای محاسبه انتگرال منحنی، متوجه می شویم

الف) در امتداد بخش

ب) در امتداد کمان سهمی:

بنابراین، می بینیم که مقادیر انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی دارد، یعنی به شکل خط اتصال نقاط A و B بستگی دارد. در مقابل، همانطور که به راحتی قابل بررسی است، انتگرال منحنی در امتداد همان خطوطی که نقاط را به هم وصل می کنند، مقدار یکسانی برابر با.

مثال‌های تحلیل‌شده نشان می‌دهند که انتگرال‌های منحنی محاسبه‌شده در طول مسیرهای مختلف که دو نقطه داده شده را به هم متصل می‌کنند، در برخی موارد با یکدیگر متفاوت هستند و در موارد دیگر مقدار یکسانی دارند.

فرض کنید A و B دو نقطه دلخواه دامنه G باشند. منحنی های مختلفی را در دامنه G در نظر بگیرید و نقاط A و B را به هم متصل می کنند.

اگر انتگرال منحنی در امتداد هر یک از این مسیرها مقدار یکسانی داشته باشد، گفته می شود که به مسیر ادغام بستگی ندارد.

در دو قضیه بعدی، شرایطی ارائه شده است که تحت آن انتگرال منحنی به مسیر انتگرال بستگی ندارد.

قضیه 1. برای اینکه انتگرال منحنی در برخی از ناحیه G مستقل از مسیر انتگرال باشد، لازم و کافی است که انتگرال روی هر کانتور بسته ای که در این ناحیه قرار دارد برابر با صفر باشد.

اثبات کفایت.

بگذارید انتگرال در امتداد هر کانتور بسته ترسیم شده در دامنه G برابر با صفر باشد. اجازه دهید نشان دهیم که این انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. در واقع، اجازه دهید A و B دو نقطه متعلق به منطقه G باشند. اجازه دهید این نقاط را با دو منحنی متفاوت و دلخواه انتخاب شده در منطقه G به هم وصل کنیم (شکل 257).

اجازه دهید نشان دهیم که کمان ها یک کانتور بسته را تشکیل می دهند با در نظر گرفتن ویژگی های انتگرال های منحنی، به دست می آوریم.

زیرا . اما بر اساس فرضیه، به عنوان یک انتگرال بر روی یک کانتور بسته.

بنابراین، یا بنابراین، انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

نیاز. بگذارید انتگرال منحنی در حوزه G مستقل از مسیر انتگرال گیری باشد. اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال روی هر کانتور بسته ای که در این ناحیه قرار دارد برابر با صفر است. در واقع، یک کانتور بسته دلخواه را در دامنه G در نظر بگیرید و دو نقطه دلخواه A و B را روی آن بگیرید (شکل 257 را ببینید). سپس

طبق شرط بنابراین، انتگرال روی هر کانتور بسته L که در دامنه G قرار دارد برابر با صفر است.

قضیه زیر شرایط مناسبی را برای استفاده عملی فراهم می کند که تحت آن انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

قضیه 2.

برای اینکه انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در یک منطقه به سادگی متصل باشد، لازم و کافی است که در هر نقطه از این ناحیه شرایط

اثبات کفایت. اجازه دهید در دامنه اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال منحنی در امتداد هر خط بسته L که در دامنه G قرار دارد برابر با صفر است. سایت a را در نظر بگیرید که با کانتور L محدود شده است. به دلیل اتصال ساده دامنه G، سایت a به طور کامل به این دامنه تعلق دارد. بر اساس فرمول Ostrogradskiy-Green، خاص در سایت است بنابراین و بنابراین،. بنابراین، انتگرال روی هر کانتور بسته L در دامنه G برابر با صفر است. بر اساس قضیه 1، نتیجه می گیریم که انتگرال منحنی به مسیر ادغام بستگی ندارد.

نیاز. اجازه دهید انتگرال منحنی مستقل از مسیر ادغام در برخی از دامنه Q باشد. اجازه دهید نشان دهیم که در تمام نقاط دامنه

فرض کنید برعکس، یعنی در نقطه ای از دامنه Let، برای قطعیت. به موجب فرض تداوم مشتقات جزئی، و تفاوت یک تابع پیوسته خواهد بود. در نتیجه، یک دایره a (که در ناحیه G قرار دارد) را می توان در نزدیکی نقطه توصیف کرد که در تمام نقاط آن و همچنین در نقطه، تفاوت مثبت خواهد بود. بیایید فرمول Ostrogradsky-Green را روی دایره اعمال کنیم.