این مبحث بسیار مهم است، تمام ریاضیات و جبر بیشتر بر اساس ویژگی های اساسی کسرها است. خواص در نظر گرفته شده کسرها، علیرغم اهمیت آنها، بسیار ساده است.
فهمیدن خواص اساسی کسرهایک دایره در نظر بگیرید
روی دایره می بینید که 4 قسمت از هشت قسمت ممکن پر شده یا هستند. اجازه دهید کسر حاصل را بنویسیم \ (\ frac (4) (8) \)
در دایره بعدی، می بینید که یک قسمت از دو ممکن روی آن رنگ شده است. بیایید کسر حاصل را بنویسیم \ (\ frac (1) (2) \)
اگر دقت کنیم، خواهیم دید که در حالت اول، در حالت دوم، نیمی از دایره پر شده است، بنابراین کسرهای حاصل به صورت \ (\ frac (4) (8) = \ frac (1) ( 2) \)، یعنی این همان عدد است.
چگونه می توانیم این را از نظر ریاضی ثابت کنیم؟ خیلی ساده بیایید جدول ضرب را به خاطر بیاوریم و کسر اول را به صورت ضریب بنویسیم.
\ (\ frac (4) (8) = \ frac (1 \ cdot \ رنگ (قرمز) (4)) (2 \ cdot \ رنگ (قرمز) (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ رنگ (قرمز) (\ فراک (4) (4)) = \ فراک (1) (2) \ cdot \ رنگ (قرمز) (1) = \ فراک (1) (2) \)
ما چه کرده ایم؟ صورت و مخرج را به فاکتورهای \ (\ frac (1 \ cdot \ رنگ (قرمز) (4)) (2 \ cdot \ رنگ (قرمز) (4)) \ رنگ آمیزی کردیم و سپس کسرها را تقسیم کردیم \ (\ frac (1) (2) \ cdot \ رنگ (قرمز) (\ frac (4) (4)) \). تقسیم چهار بر چهار برابر با 1 است و یک ضرب در هر عددی خود عدد است. کاری که در مثال بالا انجام دادیم نامیده می شود کاهش کسری.
بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم و کسر را کاهش دهیم.
\ (\ frac (6) (10) = \ frac (3 \ cdot \ رنگ (قرمز) (2)) (5 \ cdot \ رنگ (قرمز) (2)) = \ frac (3) (5) \ cdot \ رنگ (قرمز) (\ فراک (2) (2)) = \ فراک (3) (5) \ cdot \ رنگ (قرمز) (1) = \ فراک (3) (5) \)
ما مجدداً صورت و مخرج را به فاکتور تبدیل کردیم و همان اعداد را در صورت و مخرج لغو کردیم. یعنی دو تقسیم بر دو یک می شود و یک ضرب در هر عددی همان عدد را می دهد.
خاصیت اصلی کسری.
این به ویژگی اصلی کسر اشاره دارد:
اگر هم صورت و هم مخرج کسر در یک عدد ضرب شوند (به جز صفر)، مقدار کسر تغییر نخواهد کرد.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)
همچنین می توانید کسرهای صورت و مخرج را همزمان بر یک عدد تقسیم کنید.
بیایید یک مثال را در نظر بگیریم:
\ (\ frac (6) (8) = \ frac (6 \ div \ رنگ (قرمز) (2)) (8 \ div \ رنگ (قرمز) (2)) = \ frac (3) (4) \)
اگر هم صورت و هم مخرج کسر بر یک عدد تقسیم شوند (به جز صفر)، مقدار کسر تغییر نخواهد کرد.
\ (\ bf \ frac (a) (b) = \ frac (a \ div n) (b \ div n) \)
کسری که هم در صورت و هم در مخرج ضریب اول مشترک دارند نامیده می شوند کسرهای قابل لغو.
مثالی از کسر قابل لغو: \ (\ فراک (2) (4)، \ فراک (6) (10)، \ فراک (9) (15)، \ فراک (10) (5)، ... \)
نیز وجود دارد کسرهای تقلیل ناپذیر.
کسر تقلیل ناپذیرکسری است که فاکتورهای اول مشترک در صورت و مخرج ندارد.
نمونه ای از کسر غیر قابل تقلیل: \ (\ فراک (1) (2)، \ فراک (3) (5)، \ فراک (5) (7)، \ فراک (13) (5)، ... \)
هر عددی را می توان به صورت کسری نشان داد، زیرا هر عددی بر یک بخش پذیر است.مثلا:
\ (7 = \ فرک (7) (1) \)
سوالات مربوط به موضوع:
به نظر شما هر کسری قابل کاهش است یا خیر؟
پاسخ: خیر، کسرهای قابل لغو و کسرهای تقلیل ناپذیر وجود دارد.
بررسی کنید که آیا برابری درست است: \ (\ فرک (7) (11) = \ فرک (14) (22) \)؟
پاسخ: کسر را یادداشت کنید \ (\ frac (14) (22) = \ frac (7 \ cdot 2) (11 \ cdot 2) = \ frac (7) (11) \)، بله منصفانه است.
مثال شماره 1:
الف) کسری با مخرج 15 برابر با کسری را بیابید \ (\ فراک (2) (3) \).
ب) کسری با عدد 8 برابر کسری را بیابید \ (\ فراک (1) (5) \).
راه حل:
الف) به عدد 15 در مخرج نیاز داریم حالا عدد در مخرج 3 است عدد 3 را در چه عددی باید ضرب کرد تا عدد 15 بدست آید؟ بیایید جدول ضرب 3⋅5 را به خاطر بسپاریم. ما باید از ویژگی اصلی کسرها استفاده کنیم و هم صورت و هم مخرج کسر را ضرب کنیم. \ (\ فراک (2) (3) \)توسط 5.
\ (\ frac (2) (3) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) = \ frac (10) (15) \)
ب) به عدد 8 در صورتگر نیاز داریم حالا عدد 1 در صورتگر است عدد 1 را در چه عددی باید ضرب کرد تا عدد 8 بدست آید؟ البته 1-8. ما باید از ویژگی اصلی کسرها استفاده کنیم و هم صورت و هم مخرج کسر را ضرب کنیم. \ (\ فراک (1) (5) \)با 8. دریافت می کنیم:
\ (\ frac (1) (5) = \ frac (1 \ cdot 8) (5 \ cdot 8) = \ frac (8) (40) \)
مثال شماره 2:
کسری تقلیل ناپذیر برابر کسر را بیابید: الف) \ (\ فراک (16) (36) \)،ب) \ (\ فرانک (10) (25) \).
راه حل:
آ) \ (\ فراک (16) (36) = \ فراک (4 \ cdot 4) (9 \ cdot 4) = \ فراک (4) (9) \)
ب) \ (\ frac (10) (25) = \ frac (2 \ cdot 5) (5 \ cdot 5) = \ frac (2) (5) \)
مثال شماره 3:
عدد را به صورت کسری بنویسید: الف) 13 ب) 123
راه حل:
آ) \ (13 = \ فرک (13) (1) \)
ب) \ (123 = \ فراک (123) (1) \)
از درس جبر در برنامه درسی مدرسه، به جزئیات می پردازیم. در این مقاله، نوع خاصی از عبارات عقلانی را به تفصیل بررسی خواهیم کرد - کسرهای گویا، و همچنین در نظر بگیرید که چه ویژگی یکسان است تبدیل کسرهای گویااتفاق افتادن.
ما فوراً متذکر می شویم که کسرهای گویا به معنایی که در زیر آنها را تعریف می کنیم، در برخی از کتاب های درسی جبر، کسری جبری نامیده می شوند. یعنی در این مقاله منظور ما همان کسرهای گویا و جبری خواهد بود.
طبق معمول، اجازه دهید با یک تعریف و مثال شروع کنیم. بعد، بیایید در مورد تقلیل کسر گویا به مخرج جدید و تغییر علائم اعضای کسر صحبت کنیم. پس از آن، نحوه کاهش کسرها را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در نهایت، اجازه دهید در مورد نمایش یک کسری گویا به عنوان مجموع چند کسر صحبت کنیم. ما تمام اطلاعات را با مثال هایی با توضیحات دقیق راه حل ها ارائه خواهیم کرد.
پیمایش صفحه.
تعریف و مثالهای کسرهای گویا
کسرهای گویا در درس جبر پایه هشتم تدریس می شود. ما از تعریف کسری گویا استفاده خواهیم کرد که در کتاب درسی جبر برای 8 کلاس توسط Yu.N. Makarychev و همکاران ارائه شده است.
این تعریف مشخص نمی‌کند که چند جمله‌ای در صورت و مخرج کسر گویا باید چندجمله‌ای به شکل استاندارد باشند یا خیر. بنابراین، فرض می کنیم که رکوردهای کسرهای گویا می توانند شامل چند جمله ای استاندارد و غیر استاندارد باشند.
چندتایی این جاست نمونه هایی از کسرهای گویا... بنابراین، x / 8 و 
- کسرهای گویا و کسری 
و با تعریف صوت کسری گویا مطابقت ندارند، زیرا در اولی آنها چند جمله ای در صورت وجود ندارد و در دومی هم در صورت و هم در مخرج عباراتی وجود دارد که چند جمله ای نیستند.
تبدیل صورت و مخرج کسری گویا
صورت و مخرج هر کسری عبارات ریاضی خودکفا هستند، در مورد کسرهای گویا، اینها چند جمله ای هستند، در مورد خاص، تک جمله ها و اعداد. بنابراین، با صورت و مخرج یک کسر گویا، مانند هر عبارت، می توان تبدیل های یکسان را انجام داد. به عبارت دیگر، عبارت در صورت حساب یک کسر گویا را می توان با عبارتی همسان با آن، مانند مخرج جایگزین کرد.
تبدیل های یکسان را می توان در صورت و مخرج یک کسر گویا انجام داد. به عنوان مثال، در صورت شمار، می توانید عبارات مشابه را گروه بندی و بیاورید، و در مخرج - حاصل ضرب چند عدد، آن را با مقدار آن جایگزین کنید. و از آنجایی که صورت و مخرج یک کسر گویا چند جمله ای هستند، می توان با آنها تبدیل های مشخصه چند جمله ای ها را انجام داد، مثلاً به شکل استاندارد یا نمایش به صورت حاصلضرب تقلیل داد.
برای وضوح، راه حل های چند مثال را در نظر بگیرید.
مثال.
تبدیل کسر گویا 
به طوری که صورت شامل یک چند جمله ای از شکل استاندارد و مخرج شامل حاصل ضرب چند جمله ای ها است.
راه حل.
تقلیل کسرهای گویا به مخرج جدید عمدتاً هنگام جمع و تفریق کسرهای گویا استفاده می شود.
تغییر علائم در مقابل کسری و همچنین در صورت و مخرج آن
از ویژگی اصلی یک کسر می توان برای تغییر علائم اعضای یک کسر استفاده کرد. در واقع، ضرب صورت و مخرج یک کسر گویا در -1 برابر است با تغییر علائم آنها، و نتیجه کسری است که برابر با کسری داده شده است. این تبدیل باید اغلب هنگام کار با کسرهای گویا مورد توجه قرار گیرد.
بنابراین، اگر به طور همزمان علائم صورت و مخرج کسری را تغییر دهید، کسری برابر با کسری اصلی به دست می آورید. برابری با این بیانیه مطابقت دارد.
بیایید یک مثال بزنیم. کسر گویا را می توان با کسری یکسان با علائم تغییر یافته صورت و مخرج جایگزین کرد.
یک تبدیل مشابه دیگر را می توان با کسرها انجام داد، که در آن علامت یا در صورت یا در مخرج تغییر می کند. قانون مربوطه را اعلام خواهیم کرد. اگر علامت کسر را با علامت صورت یا مخرج جایگزین کنید، کسری به دست می‌آید که برابر با کسری اصلی است. بیانیه مکتوب مطابق با برابری ها و.
اثبات این برابری ها کار سختی نیست. اثبات بر اساس خواص ضرب اعداد است. اجازه دهید اولین آنها را ثابت کنیم:. برابری با کمک تبدیل های مشابه ثابت می شود.
به عنوان مثال، یک کسر را می توان با یا جایگزین کرد.
برای پایان دادن به این بخش، دو برابری مفید دیگر و. یعنی اگر علامت فقط صورت یا فقط مخرج را تغییر دهید، کسر علامت خود را تغییر می دهد. مثلا، 
و 
.
تبدیل های در نظر گرفته شده، که تغییر علامت اعضای یک کسری را ممکن می کند، اغلب هنگام تبدیل عبارات منطقی کسری استفاده می شود.
کاهش کسرهای گویا
تبدیل بعدی کسرهای گویا که به آن ابطال کسرهای گویا می گویند، بر اساس همان ویژگی اساسی یک کسری است. این تبدیل مربوط به برابری است که در آن a، b و c چند جمله ای هستند و b و c غیر صفر هستند.
از تساوی فوق روشن می شود که کاهش کسر گویا به معنای خلاص شدن از عامل مشترک در صورت و مخرج آن است.
مثال.
کسر منطقی را کاهش دهید.
راه حل.
فاکتور مشترک 2 فوراً قابل مشاهده است، ما یک کاهش را با آن انجام خواهیم داد (هنگام نوشتن عوامل رایج، که توسط آن خط زدن راحت است). ما داریم 
... از آنجایی که x 2 = x x و y 7 = y 3 y 4 (در صورت لزوم ببینید)، واضح است که x عامل مشترک صورت و مخرج کسر حاصل است، مانند y 3. بیایید با این عوامل کاهش دهیم: 
... این کاهش را کامل می کند.
در بالا، کاهش کسر گویا را به ترتیب انجام دادیم. و می توان کاهش را در یک مرحله انجام داد و بلافاصله کسر را 2 · x · y 3 کاهش داد. در این مورد، راه حل به صورت زیر خواهد بود: 
.
پاسخ:
.
هنگام لغو کسرهای گویا، مشکل اصلی این است که عامل مشترک صورت و مخرج همیشه قابل مشاهده نیست. علاوه بر این، همیشه وجود ندارد. برای یافتن عامل مشترک یا اطمینان از عدم وجود آن، باید صورت و مخرج کسر گویا را فاکتور بگیرید. اگر عامل مشترک وجود نداشته باشد، کسر عقلی اصلی نیازی به لغو ندارد، در غیر این صورت، لغو انجام می شود.
در فرآیند کاهش کسرهای گویا، تفاوت های ظریف مختلفی می تواند ایجاد شود. ظرافت های اصلی با مثال ها و با جزئیات در مقاله کاهش کسرهای جبری مورد بحث قرار گرفته است.
در پایان گفتگو در مورد لغو کسرهای گویا، متذکر می شویم که این تبدیل یکسان است و مشکل اصلی در اجرای آن در فاکتورسازی چند جمله ای ها در صورت و مخرج نهفته است.
نمایش کسری گویا به صورت مجموع کسرها
کاملاً خاص، اما در برخی موارد بسیار مفید، تبدیل یک کسری گویا است که شامل نمایش آن به صورت مجموع چند کسر، یا مجموع یک عبارت صحیح و یک کسری است.
کسری گویا که در صورت آن یک چند جمله ای وجود دارد که مجموع چند تک جمله ای است، همیشه می توان به صورت مجموع کسری با مخرج های یکسان نوشت که در صورت شمار آن تک جمله های مربوطه قرار دارند. مثلا، 
... این نمایش با قاعده جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج یکسان توضیح داده می شود.
به طور کلی، هر کسر گویا را می توان به صورت مجموع کسری به روش های مختلف نشان داد. به عنوان مثال، کسری a / b را می توان به عنوان مجموع دو کسر - یک کسری دلخواه c / d و یک کسری برابر با تفاوت بین کسری a / b و c / d نشان داد. این گفته درست است، از برابری 
... به عنوان مثال، یک کسر گویا را می توان به صورت مجموع کسری به روش های مختلف نشان داد: بیایید کسر اصلی را به صورت مجموع یک عبارت عدد صحیح و یک کسری نشان دهیم. با تقسیم صورت بر مخرج در یک ستون، برابری را بدست می آوریم 
... مقدار عبارت n 3 + 4 برای هر عدد صحیح n یک عدد صحیح است. و مقدار کسری یک عدد صحیح است اگر و فقط اگر مخرج آن 1، −1، 3 یا −3 باشد. این مقادیر به ترتیب با مقادیر n = 3، n = 1، n = 5 و n = -1 مطابقت دارند.
پاسخ:
−1 , 1 , 3 , 5 .
کتابشناسی - فهرست کتب.
- جبر:مطالعه. برای 8 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
- A. G. Mordkovichجبر. درجه 7 ام. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ سیزدهم، Rev. - M .: Mnemosina, 2009 .-- 160 p.: Ill. شابک 978-5-346-01198-9.
- A. G. Mordkovichجبر. کلاس هشتم. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شده. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
- گوسف V.A.، Mordkovich A.G.ریاضی (دفترچه راهنمای متقاضیان آموزشکده فنی): کتاب درسی. کتابچه راهنمای کاربر - M .; بالاتر. shk., 1984.-351 p., ill.
کسر- شکل نمایش اعداد در ریاضیات. یک نوار کسری بیانگر عملیات تقسیم است. شمارندهکسر سود سهام نامیده می شود و مخرج- تقسیم کننده مثلاً در کسری، صورت 5 و مخرج آن 7 است.
درستکسری با مدول صورت بزرگتر از مدول مخرج نامیده می شود. اگر کسر صحیح باشد، مدول مقدار آن همیشه کمتر از 1 است. همه کسرهای دیگر اشتباه.
کسر نامیده می شود مختلطاگر به صورت عدد صحیح و کسری نوشته شود. این برابر است با مجموع این عدد و کسر:
ویژگی اصلی کسری
اگر صورت و مخرج کسری در یک عدد ضرب شود، مقدار کسر تغییر نمی کند، به عنوان مثال،
مخرج مشترک کسرها
برای آوردن دو کسر به مخرج مشترک، شما نیاز دارید:
- صورت کسر اول را در مخرج کسر دوم ضرب کنید
- صورت کسر دوم در مخرج کسر اول ضرب می شود
- مخرج هر دو کسر را با حاصل ضرب آنها جایگزین کنید
اعمال با کسر
اضافهبرای اضافه کردن دو کسر، شما نیاز دارید
- اعداد جدید هر دو کسر را اضافه کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید
مثال:
منها کردن.برای تفریق یک کسر از کسر دیگر، شما نیاز دارید
- کسرها را به مخرج مشترک بیاورید
- کسر دوم را از کسر اول کم کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید.
مثال:
ضرب.برای ضرب یک کسر در کسر دیگر، باید صورت و مخرج آنها را ضرب کنید.
وقتی صحبت از ریاضیات شد، نمی توان کسری ها را به خاطر آورد. آنها زمان و توجه زیادی را به مطالعه خود اختصاص می دهند. به یاد داشته باشید که برای یادگیری قوانین خاصی برای کار با کسرها باید چند مثال حل می کردید، چگونه ویژگی اصلی یک کسری را به خاطر سپرده و به کار می بردید. چقدر اعصاب برای یافتن مخرج مشترک صرف شد، به خصوص اگر در مثال ها بیش از دو عبارت وجود داشته باشد!
بیایید به یاد بیاوریم که چیست و کمی اطلاعات اولیه و قوانین کار با کسرها را در حافظه خود تجدید کنیم.
تعریف کسرها
بیایید با مهمترین چیز شروع کنیم - تعاریف. کسری عددی است که از یک یا چند جزء یک تشکیل شده است. یک عدد کسری به صورت دو عدد نوشته می شود که با یک افقی یا اسلش از هم جدا شده اند. در این صورت، بالا (یا اول) را صورت، و پایین (دوم) را مخرج می گویند.
شایان ذکر است که مخرج نشان می دهد که واحد به چند قسمت تقسیم شده است و صورت تعداد قطعات یا قطعات گرفته شده است. کسری ها، اگر درست باشند، اغلب کمتر از یک هستند.
حال بیایید به ویژگی های این اعداد و قوانین اساسی که هنگام کار با آنها استفاده می شود نگاه کنیم. اما قبل از اینکه مفهومی به عنوان "ویژگی اصلی کسر گویا" را تحلیل کنیم، اجازه دهید در مورد انواع کسرها و ویژگی های آنها صحبت کنیم.
کسری چیست
انواع مختلفی از این اعداد وجود دارد. اول از همه، اینها معمولی و اعشاری هستند. اولین ها نشان دهنده نوع ضبطی هستند که قبلاً توسط ما با استفاده از افقی یا اسلش نشان داده شده است. نوع دوم کسرها با استفاده از نماد به اصطلاح موقعیتی نشان داده می شود، زمانی که ابتدا قسمت صحیح عدد نشان داده می شود و سپس بعد از کاما، قسمت کسری نشان داده می شود.
در اینجا شایان ذکر است که در ریاضیات از کسرهای اعشاری و معمولی به یک صورت استفاده می شود. ویژگی اصلی کسر فقط برای گزینه دوم معتبر است. علاوه بر این، اعداد صحیح و نادرست در کسرهای معمولی متمایز می شوند. برای اولی، صورت همیشه کمتر از مخرج است. همچنین توجه داشته باشید که چنین کسری کوچکتر از یک است. در کسر نامنظم، برعکس، صورت بزرگتر از مخرج است و خود بزرگتر از یک است. در این صورت می توان یک عدد صحیح از آن استخراج کرد. در این مقاله فقط کسرهای معمولی را در نظر خواهیم گرفت.
خواص کسری
هر پدیده ای اعم از شیمیایی، فیزیکی یا ریاضی ویژگی ها و ویژگی های خاص خود را دارد. اعداد کسری نیز از این قاعده مستثنی نبودند. آنها یک ویژگی مهم دارند که با کمک آن می توان عملیات خاصی را روی آنها انجام داد. خاصیت اصلی کسری چیست؟ این قانون می گوید که اگر صورت و مخرج آن در یک عدد گویا ضرب یا تقسیم شوند، کسر جدیدی به دست می آید که مقدار آن برابر با مقدار اصلی خواهد بود. یعنی با ضرب دو قسمت عدد کسری 3/6 در 2 کسر جدید 6/12 بدست می آید در حالی که مساوی خواهند بود.
بر اساس این ویژگی، می توانید کسرها را کاهش دهید و همچنین مخرج مشترک را برای یک جفت اعداد خاص انتخاب کنید.
عملیات
اگرچه کسرها برای ما پیچیده‌تر هستند، اما می‌توانید عملیات ریاضی پایه مانند جمع و تفریق، ضرب و تقسیم را در مقایسه با آنها انجام دهید. علاوه بر این، چنین عمل خاصی مانند کاهش کسری وجود دارد. طبیعتاً هر یک از این اقدامات طبق قوانین خاصی انجام می شود. دانستن این قوانین کار با کسرها را آسان تر می کند، کار را آسان تر و جالب تر می کند. به همین دلیل است که هنگام کار با چنین اعدادی قوانین اساسی و الگوریتم اقدامات را در نظر خواهیم گرفت.
اما قبل از صحبت در مورد عملیات ریاضی مانند جمع و تفریق، اجازه دهید عملیاتی مانند کاهش به مخرج مشترک را بررسی کنیم. اینجاست که دانستن اینکه ویژگی اصلی یک کسری چیست برای ما مفید است.
مخرج مشترک
برای آوردن یک عدد به مخرج مشترک، ابتدا باید کوچکترین مضرب مشترک دو مخرج را پیدا کنید. یعنی کوچکترین عددی که به طور همزمان بر هر دو مخرج بدون باقیمانده بخش پذیر است. ساده ترین راه برای یافتن LCM (کمترین مضرب مشترک) این است که در یک خط برای یک مخرج بنویسید، سپس برای دومی و پیدا کردن عدد مطابق بین آنها. در صورتی که LCM پیدا نشد، یعنی این اعداد مضرب مشترک ندارند، باید ضرب شوند و مقدار حاصل را LCM در نظر بگیریم.
بنابراین، ما LCM را پیدا کردیم، اکنون باید یک عامل اضافی پیدا کنیم. برای انجام این کار، باید LCM را به صورت متناوب به مخرج کسرها تقسیم کنید و عدد حاصل را روی هر یک از آنها بنویسید. در مرحله بعد، صورت و مخرج را در ضریب اضافی حاصل ضرب کنید و نتایج را به صورت کسر جدید بنویسید. اگر شک دارید که عددی که دریافت کرده اید برابر با عدد قبلی است، ویژگی اصلی کسری را به خاطر بسپارید.
اضافه
حالا مستقیماً به سراغ عملیات ریاضی روی اعداد کسری می رویم. بیایید با ساده ترین شروع کنیم. چندین گزینه برای اضافه کردن کسر وجود دارد. در حالت اول، هر دو عدد مخرج یکسانی دارند. در این مورد، فقط جمع کردن شمارنده ها با هم باقی می ماند. اما مخرج تغییر نمی کند. به عنوان مثال، 1/5 + 3/5 = 4/5.
اگر کسرها مخرج های متفاوتی دارند، باید آنها را به یک مخرج مشترک بیاورید و فقط پس از آن جمع کنید. چگونه این کار را انجام دهیم، کمی بالاتر مرتب شده ایم. در این شرایط، ویژگی اصلی کسر به کار خواهد آمد. این قانون به شما امکان می دهد اعداد را به یک مخرج مشترک بیاورید. این به هیچ وجه ارزش را تغییر نمی دهد.
متناوبا، ممکن است اتفاق بیفتد که کسری مخلوط شود. سپس ابتدا باید کل قسمت ها و سپس قسمت های کسری را با هم جمع کنید.
ضرب
نیاز به هیچ ترفندی ندارد و برای انجام این عمل نیازی به دانستن خاصیت اصلی کسر نیست. کافی است ابتدا صورت و مخرج را در هم ضرب کنیم. در این صورت حاصل ضرب ممیزها به صورت جدید و مخرج ها به صورت مخرج جدید تبدیل می شود. همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست.
تنها چیزی که از شما خواسته می شود دانش جدول ضرب و همچنین توجه است. علاوه بر این، پس از به دست آوردن نتیجه، بررسی اینکه آیا می توان این عدد را کاهش داد یا خیر، ضروری است. در مورد چگونگی کاهش کسرها کمی بعد صحبت خواهیم کرد.
منها کردن
اجرا باید طبق قوانینی که هنگام اضافه کردن انجام می شود هدایت شود. بنابراین، در اعداد با مخرج یکسان، کافی است که صورت کسر را از صورت کسر شده کم کنیم. در صورتی که کسرها مخرج های مختلفی دارند، باید آنها را به یک مخرج مشترک برسانید و سپس این عمل را انجام دهید. همانطور که در مورد مشابه با جمع، شما باید از ویژگی اصلی یک کسر جبری و همچنین مهارت در یافتن LCM و عوامل مشترک برای کسرها استفاده کنید.
بخش
و آخرین و جالب ترین عملیات هنگام کار با چنین اعدادی تقسیم است. این بسیار ساده است و حتی برای کسانی که در نحوه کار با کسری مهارت کافی ندارند، به ویژه انجام عملیات جمع و تفریق، مشکل خاصی ایجاد نمی کند. هنگام تقسیم، قاعده ای مانند ضرب در متقابل وجود دارد. از ویژگی اصلی یک کسر، مانند ضرب، برای این عملیات استفاده نمی شود. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.
هنگام تقسیم اعداد، سود سهام بدون تغییر باقی می ماند. کسری مقسوم معکوس می شود، یعنی صورت و مخرج معکوس می شوند. پس از آن اعداد در بین خود ضرب می شوند.
کاهش
بنابراین، ما قبلاً تعریف و ساختار کسرها، انواع آنها، قوانین عملیات روی اعداد داده شده را تجزیه و تحلیل کرده ایم و ویژگی اصلی یک کسری جبری را روشن کرده ایم. حالا بیایید در مورد چنین عملیاتی مانند کاهش صحبت کنیم. کاهش یک کسر فرآیند تبدیل آن است - تقسیم صورت و مخرج بر همان عدد. بنابراین، کسر بدون تغییر خواص آن کاهش می یابد.
معمولاً هنگام انجام یک عملیات ریاضی باید نتیجه به دست آمده در پایان را با دقت مشاهده کرد و متوجه شد که آیا امکان کاهش کسر حاصل وجود دارد یا خیر. به یاد داشته باشید که نتیجه نهایی همیشه با یک عدد کسری غیر مخفف نوشته می شود.
سایر عملیات
در نهایت متذکر می شویم که همه عملیات روی اعداد کسری را فهرست نکرده ایم و فقط معروف ترین و ضروری ترین آنها را ذکر کرده ایم. کسرها را نیز می توان مساوی کرد، به اعشار و بالعکس تبدیل کرد. اما در این مقاله ما این عملیات را در نظر نگرفتیم ، زیرا در ریاضیات آنها بسیار کمتر از مواردی که در بالا آورده ایم انجام می شوند.
نتیجه گیری
در مورد اعداد کسری و عملیات با آنها صحبت کردیم. ویژگی اصلی را نیز تحلیل کردیم.اما توجه داشته باشیم که تمامی این سوالات به صورت گذرا مورد توجه ما قرار گرفت. ما فقط معروف ترین و مورد استفاده ترین قوانین را ارائه کرده ایم، به نظر ما مهمترین توصیه ها را ارائه کرده ایم.
هدف این مقاله به‌روزرسانی اطلاعاتی است که در مورد کسرها فراموش کرده‌اید، نه اینکه اطلاعات جدیدی ارائه کنید و سرتان را با قوانین و فرمول‌های بی‌پایانی «پر» کنید که به احتمال زیاد برای شما مفید نخواهد بود.
امیدواریم مطالب ارائه شده در مقاله به صورت ساده و مختصر برای شما مفید واقع شده باشد.
هنگام مطالعه کسرهای معمولی، با مفاهیم خاصیت پایه کسری مواجه می شویم. یک فرمول ساده برای حل مثال با کسرهای معمولی ضروری است. این مقاله در نظر گرفتن کسرهای جبری و اعمال ویژگی اصلی برای آنها را فرض می کند که با مثال هایی از منطقه کاربرد آن فرموله خواهد شد.
فرمول بندی و منطق
ویژگی اصلی کسری به شرح زیر است:
تعریف 1
هنگامی که صورت و مخرج به طور همزمان در یک عدد ضرب یا تقسیم می شوند، مقدار کسر بدون تغییر باقی می ماند.
یعنی دریافتیم که a m b m = a b و a: m b: m = a b معادل هستند که a b = a m b m و a b = a: m b: m منصفانه در نظر گرفته می شوند. مقادیر a، b، m برخی از اعداد طبیعی هستند.
تقسیم صورت و مخرج بر یک عدد را می توان به صورت a · m b · m = a b نشان داد. این مانند حل مثال 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 است. هنگام تقسیم، تساوی به شکل a: m b: m = a b استفاده می شود، سپس 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. همچنین می توان آن را به شکل a m b m = a b نشان داد، یعنی 8 12 = 2 4 3 4 = 2 3.
یعنی ویژگی اصلی کسر a m b m = a b و a b = a m b m به تفصیل در نظر گرفته خواهد شد، در مقابل a: m b: m = a b و a b = a: m b: m.
اگر هم صورت و هم مخرج دارای اعداد واقعی باشند، آن خصلت قابل اعمال است. ابتدا لازم است صحت نابرابری نوشته شده برای همه اعداد اثبات شود. یعنی اثبات وجود m b m = a b برای همه a, b, m واقعی که b و m مقادیر غیر صفر هستند تا از تقسیم بر صفر جلوگیری شود.
اثبات 1
بگذارید کسری از شکل a b را بخشی از نماد z در نظر بگیریم، به عبارت دیگر a b = z، سپس باید ثابت کنیم که a m b m با z مطابقت دارد، یعنی a m b m = z را ثابت کنیم. سپس این به ما امکان می دهد وجود برابری a m b m = a b را اثبات کنیم.
اسلش به معنای علامت تقسیم است. با اعمال ارتباط با ضرب و تقسیم، دریافت می کنیم که از a b = z پس از تبدیل به a = b z می رسیم. با توجه به خصوصیات نامعادله های عددی، هر دو طرف نامساوی را در عددی غیر از صفر ضرب کنید. سپس در عدد m ضرب می کنیم، به دست می آید که a m = (b z) m. با ویژگی، ما حق داریم عبارت را به شکل a m = (b m) z بنویسیم. از این رو، از تعریف چنین بر می آید که a b = z. این همه اثبات عبارت a m b m = a b است.
تساوی های شکل a m b m = a b و a b = a m b m زمانی معنا پیدا می کند که به جای a, b, m چند جمله ای وجود داشته باشد و به جای b و m غیر صفر باشند.
ویژگی اصلی کسری جبری: وقتی صورت و مخرج را همزمان در یک عدد ضرب کنید، عبارتی به دست می‌آید که برابر با عبارت اصلی است.
این ویژگی منصفانه در نظر گرفته می شود، زیرا اقدامات دارای چند جمله ای با اقدامات با اعداد مطابقت دارند.
مثال 1
مثال کسری 3 x x 2 - x y + 4 y 3 را در نظر بگیرید. تبدیل به فرم 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y) امکان پذیر است.
ضرب با چند جمله ای x 2 + 2 · x · y انجام شد. به همین ترتیب، ویژگی اصلی کمک می کند تا از x 2 خلاص شوید که در کسری از شکل 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) با شرط به شکل 5 وجود دارد. x + 5 x 3 + 3. به این می گویند ساده سازی.
ویژگی اصلی را می توان به شکل عبارات a m b m = a b و a b = a m b m نوشت، وقتی a, b, m چند جمله ای یا متغیرهای معمولی هستند و b و m باید غیر صفر باشند.
حوزه های کاربرد خاصیت اصلی یک کسر جبری
استفاده از ویژگی اصلی برای تبدیل به مخرج جدید یا برای کاهش کسری مرتبط است.
تعریف 2
تقلیل به مخرج مشترک، ضرب صورت و مخرج در یک چندجمله ای مشابه برای به دست آوردن یک مخرج جدید است. کسر حاصل برابر با کسر اصلی است.
یعنی کسری از شکل x + yx 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 وقتی در x 2 + 1 ضرب شود و به مخرج مشترک (x + 1) (x 2 + 1) کاهش یابد، x خواهد بود. 3 + x + x 2 y + yx 3 + x + x 2 + 1.
پس از انجام عملیات با چند جمله ای ها، به این نتیجه می رسیم که کسر جبری به x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 تبدیل می شود.
تبدیل به مخرج مشترک نیز هنگام جمع یا تفریق کسرها انجام می شود. اگر ضرایب کسری داده شود، ابتدا باید ساده سازی صورت گیرد که شکل و یافتن مخرج مشترک را ساده می کند. به عنوان مثال، 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.
استفاده از ویژگی هنگام کاهش کسرها در 2 مرحله انجام می شود: فاکتورگیری از صورت و مخرج برای یافتن m مشترک، سپس به شکل کسری a b، بر اساس تساوی شکل a m b m = a b تغییر دهید.
اگر کسری از شکل 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 پس از انبساط به x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y تبدیل شود، بدیهی است که عامل کلی این است. چند جمله ای 4 · x 2 - y. سپس امکان کاهش کسری با توجه به خاصیت اصلی آن وجود خواهد داشت. ما آن را دریافت می کنیم
x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. کسری ساده شده است، سپس هنگام جایگزینی مقادیر، باید اقدامات بسیار کمتری نسبت به جایگزینی با مقادیر اصلی انجام دهید.
در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید
