คำอธิบายเวกเตอร์ของการเคลื่อนไหวนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากในภาพวาดเดียว คุณสามารถพรรณนาเวกเตอร์ต่างๆ ได้มากมาย และได้ "ภาพ" ของการเคลื่อนไหวที่ชัดเจนต่อหน้าต่อตาคุณ อย่างไรก็ตาม ใช้เวลานานมากในการใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อดำเนินการกับเวกเตอร์ทุกครั้ง ดังนั้นการกระทำเหล่านี้จึงลดลงเป็นการกระทำที่มีจำนวนบวกและลบ - การคาดการณ์ของเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนเรียกค่าสเกลาร์เท่ากับผลคูณของโมดูลของเวกเตอร์ที่ฉายและโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์กับแกนพิกัดที่เลือก

รูปวาดด้านซ้ายแสดงเวกเตอร์การกระจัดซึ่งมีโมดูล 50 กม. และทิศทางของมัน มุมป้าน 150° กับทิศทางของแกน X เมื่อใช้คำจำกัดความ เราจะพบการฉายภาพการกระจัดบนแกน X:

sx = s cos(α) = 50 กม. cos( 150°) = –43 กม.

เนื่องจากมุมระหว่างแกนคือ 90° จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณว่าทิศทางการเคลื่อนที่ทำให้มุมแหลมเป็น 60° ตามทิศทางของแกน Y เมื่อใช้คำจำกัดความ เราจะพบการฉายภาพการกระจัดบนแกน Y:

sy = s cos(β) = 50 กม. cos( 60°) = +25 กม.

อย่างที่คุณเห็น หากทิศทางของเวกเตอร์เกิดมุมแหลมกับทิศทางของแกน การฉายภาพจะเป็นบวก ถ้าทิศทางของเวกเตอร์สร้างมุมป้านกับทิศทางของแกน การฉายภาพจะเป็นลบ

รูปวาดด้านขวาแสดงเวกเตอร์ความเร็ว โมดูลที่มี 5 m/s และทิศทางสร้างมุม 30° กับทิศทางของแกน X มาหาการคาดคะเนกัน:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = –2.5 m/s

การหาเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนนั้นง่ายกว่ามาก หากเวกเตอร์ที่ฉายนั้นขนานหรือตั้งฉากกับแกนที่เลือก โปรดทราบว่าในกรณีของการขนานกัน เป็นไปได้สองทางเลือก: เวกเตอร์ถูกนำไปยังแกนร่วมและเวกเตอร์อยู่ตรงข้ามกับแกน และสำหรับกรณีของการตั้งฉาก มีเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น

การฉายภาพของเวกเตอร์ตั้งฉากกับแกนจะเป็นศูนย์เสมอ (ดู sy และ ay ในรูปวาดด้านซ้าย และ sx และ υx ในรูปวาดด้านขวา) สำหรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแกน มุมระหว่างมันกับแกนคือ 90 ° ดังนั้นโคไซน์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าการฉายภาพเป็นศูนย์

การฉายภาพของเวกเตอร์ที่กำกับร่วมกับแกนนั้นเป็นค่าบวกและเท่ากับโมดูลัสของมัน เช่น sx = +s (ดูรูปวาดด้านซ้าย) แท้จริงแล้ว สำหรับเวกเตอร์ที่มีทิศทางร่วมกับแกน มุมระหว่างมันกับแกนจะเป็นศูนย์ และโคไซน์ของมันคือ "+1" นั่นคือ การฉายภาพจะเท่ากับความยาวของเวกเตอร์: sx = x – xo = +s .

การฉายภาพของเวกเตอร์ตรงข้ามกับแกนเป็นลบและเท่ากับโมดูลัสของมัน ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ เช่น sy = –s (ดูรูปวาดด้านขวา) แน่นอน สำหรับเวกเตอร์ตรงข้ามกับแกน มุมระหว่างมันกับแกนคือ 180° และโคไซน์ของมันคือ “–1” นั่นคือ การฉายภาพจะเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ: sy = y – yo = –s .

ด้านขวาของภาพวาดทั้งสองแสดงกรณีอื่นๆ ที่เวกเตอร์ขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่งและตั้งฉากกับอีกอันหนึ่ง เราขอเชิญคุณดูด้วยตาคุณเองว่าในกรณีเหล่านี้ กฎที่กำหนดไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ก็ถูกปฏิบัติตามด้วย

ตอบ:

คุณสมบัติการฉายภาพ:

คุณสมบัติการฉายภาพเวกเตอร์

ทรัพย์สิน 1

การฉายภาพผลรวมของเวกเตอร์สองตัวบนแกน เท่ากับผลรวมของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเดียวกัน:

คุณสมบัตินี้อนุญาตให้คุณแทนที่การฉายภาพของผลรวมของเวกเตอร์ด้วยผลรวมของการฉายภาพและในทางกลับกัน

ทรัพย์สิน 2หากเวกเตอร์คูณด้วยจำนวน λ การฉายภาพบนแกนจะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้ด้วย:

ทรัพย์สิน 3

การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน l เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน:

แกน Orth การสลายตัวของเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์พิกัด พิกัดเวกเตอร์ คุณสมบัติพิกัด

ตอบ:

ฮอร์นของขวาน

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (ของมิติใดๆ) ยังอธิบายโดยชุดเวกเตอร์หน่วยที่จัดแนวกับแกนพิกัด จำนวนของออร์ตเท่ากับมิติของระบบพิกัด และพวกมันตั้งฉากกัน

ในกรณีสามมิติ ออร์ตมักจะแสดงแทน

AND สัญลักษณ์ที่มีลูกศรและยังสามารถนำไปใช้

นอกจากนี้ ในกรณีของระบบพิกัดที่ถูกต้อง สูตรต่อไปนี้ที่มีผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์นั้นใช้ได้:

การสลายตัวของเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์พิกัด

orth ของแกนพิกัดแสดงโดย , แกน - โดย , แกน - โดย (รูปที่ 1)

สำหรับเวกเตอร์ใดๆ ที่อยู่ในระนาบ จะเกิดการสลายตัวดังต่อไปนี้:

ถ้าเวกเตอร์ ตั้งอยู่ในอวกาศแล้วการขยายตัวในแง่ของเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัดมีรูปแบบ:

พิกัดเวกเตอร์:

ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ โดยรู้พิกัด (x1; y1) ของจุดเริ่มต้น A และพิกัด (x2; y2) ของจุดสิ้นสุด B คุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดสิ้นสุด: (x2 - x1; y2 - y1)

คุณสมบัติพิกัด

พิจารณาเส้นพิกัดที่มีจุดกำเนิดที่จุด O และเวกเตอร์หน่วย i สำหรับเวกเตอร์ a ใดๆ บนบรรทัดนี้: a = axi

แกนตัวเลขเรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ a บนแกนพิกัด

ทรัพย์สิน 1เมื่อเพิ่มเวกเตอร์บนแกน พิกัดของพวกมันจะถูกเพิ่มเข้าไป

ทรัพย์สิน 2เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยตัวเลข พิกัดของเวกเตอร์นั้นจะถูกคูณด้วยจำนวนนั้น

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ คุณสมบัติ.

ตอบ:

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเป็นตัวเลข

เท่ากับผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้โดยโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

คุณสมบัติ:

1. ผลคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติการสับเปลี่ยน: ab=ba

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์พิกัด การหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน

ตอบ:

ผลิตภัณฑ์ Dot (×) orts

(X)	ฉัน	เจ	K
ฉัน
เจ
K

การหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวและกำหนดโดยพิกัดของพวกมันสามารถคำนวณได้จากสูตร

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอบ:

เวกเตอร์สามตัวที่ไม่ใช่แนวระนาบก่อตัวเป็นสามเท่าทางขวา ถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม การหมุนจากเวกเตอร์แรกไปยังเวกเตอร์ที่สองเป็นทวนเข็มนาฬิกา ถ้าตามเข็มนาฬิกา - ให้ไปทางซ้าย ถ้าไม่ใช่ ให้อยู่ตรงข้าม ( แสดงให้เห็นว่าเขาแสดงด้วย "ที่จับ")

ผลคูณของเวกเตอร์ แต่ต่อเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ โดยที่:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ แต่และ ข

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้นบน เอและ ขเวกเตอร์

3. เวกเตอร์ a,b, และ คสร้างเวกเตอร์สามตัวที่ถูกต้อง

คุณสมบัติ:

1.

3.

4.

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์พิกัด การหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน

ตอบ:

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์พิกัด

การหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดของพวกมัน

ให้เวกเตอร์ a = (x1; y1; z1) และ b = (x2; y2; z2) กำหนดโดยพิกัดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า O, i, j, k และสาม i, j, k คือ ขวา.

เราขยาย a และ b ในแง่ของเวกเตอร์พื้นฐาน:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

โดยใช้คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราได้รับ

[แต่; ข] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (หนึ่ง)

โดยนิยามของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราพบว่า

= 0, = k, = - เจ,

= - k, = 0, = ผม,

= เจ, = - ผม. = 0.

ด้วยความเท่าเทียมกันเหล่านี้ สูตร (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

[แต่; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[แต่; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

สูตร (2) ให้นิพจน์สำหรับผลคูณของเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดโดยพิกัด

สูตรที่ได้คือ ยุ่งยาก ใช้สัญกรณ์ของดีเทอร์มีแนนต์ คุณสามารถเขียนมันในรูปแบบอื่นที่สะดวกกว่าในการจำ:

โดยปกติสูตร (3) จะเขียนสั้นกว่านี้:

แนวคิดพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์

ปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์

จากหลักสูตรฟิสิกส์เบื้องต้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าปริมาณทางกายภาพบางอย่าง เช่น อุณหภูมิ ปริมาตร มวลกาย ความหนาแน่น ฯลฯ ถูกกำหนดโดยค่าตัวเลขเท่านั้น ปริมาณดังกล่าวเรียกว่า สเกลาร์หรือสเกลาร์.

ในการกำหนดปริมาณอื่นๆ เช่น แรง ความเร็ว ความเร่ง และอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน นอกจากค่าตัวเลขแล้ว ยังจำเป็นต้องกำหนดทิศทางในอวกาศด้วย ปริมาณที่นอกเหนือไปจากขนาดสัมบูรณ์แล้วยังมีลักษณะเป็นทิศทางเรียกว่า เวกเตอร์

คำนิยามเวกเตอร์เป็นส่วนกำกับซึ่งถูกกำหนดโดยจุดสองจุด: จุดแรกกำหนดจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์และจุดที่สอง - จุดสิ้นสุด ดังนั้น พวกเขายังบอกด้วยว่าเวกเตอร์เป็นคู่ของคะแนนที่เรียงลำดับ

ในภาพ เวกเตอร์จะแสดงเป็นส่วนของเส้นตรง โดยลูกศรจะระบุทิศทางจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไปยังจุดสิ้นสุด ตัวอย่างเช่น รูปที่ 2.1.

ถ้าจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตรงกับจุด และลงท้ายด้วยจุด จากนั้นเวกเตอร์จะถูกแสดง
. นอกจากนี้ เวกเตอร์มักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรขนาดเล็กหนึ่งตัวที่มีลูกศรอยู่ด้านบน . ในหนังสือ บางครั้งลูกศรถูกละไว้ จากนั้นจึงใช้ตัวหนาเพื่อระบุเวกเตอร์

เวกเตอร์คือ null vectorซึ่งมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเหมือนกัน มีความหมายว่า หรือง่ายๆ .

ระยะห่างระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เรียกว่า ความยาวหรือโมดูล. โมดูลัสเวกเตอร์แสดงด้วยแถบแนวตั้งสองแถบทางด้านซ้าย:
หรือไม่มีลูกศร
หรือ .

เวกเตอร์ที่ขนานกับเส้นหนึ่งเรียกว่า collinear.

เวกเตอร์ที่อยู่ในระนาบเดียวกันหรือขนานกับระนาบเดียวกันเรียกว่า ระนาบ

เวกเตอร์ว่างถือเป็นเส้นขนานกับเวกเตอร์ใดๆ ความยาวของมันคือ 0

คำนิยามเวกเตอร์สองตัว
และ
เรียกว่าเท่ากัน (รูปที่ 2.2) หาก:
1)collinear; 2) กำกับร่วม 3) ความยาวเท่ากัน

มันเขียนแบบนี้:
(2.1)

จากคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ มันตามมาด้วยการถ่ายโอนเวกเตอร์ขนานกัน จะได้เวกเตอร์ที่เท่ากับค่าเริ่มต้น ดังนั้นจึงสามารถวางจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ไว้ที่จุดใดก็ได้ในอวกาศ เวกเตอร์ดังกล่าว (ในกลศาสตร์เชิงทฤษฎี, เรขาคณิต) จุดเริ่มต้นที่สามารถวางไว้ที่จุดใดก็ได้ในอวกาศเรียกว่า ฟรี. และนี่คือเวกเตอร์เหล่านี้ที่เราจะพิจารณา

คำนิยาม ระบบเวกเตอร์
เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นหากมีค่าคงที่ดังกล่าว
ซึ่งมีอย่างน้อยหนึ่งอย่างที่ไม่ใช่ศูนย์และสำหรับความเท่าเทียมกัน

คำนิยามเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามอันตามอำเภอใจซึ่งถ่ายในลำดับที่แน่นอนเรียกว่าฐานในอวกาศ

คำนิยาม ถ้า
- ฐานและเวกเตอร์ ตามด้วยตัวเลข
เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ ในพื้นฐานนี้

เราจะเขียนพิกัดเวกเตอร์ในวงเล็บปีกกาหลังการกำหนดเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น,
หมายความว่าเวกเตอร์ ในบางพื้นฐานที่เลือกมีการสลายตัว:
.

จากคุณสมบัติการคูณของเวกเตอร์ด้วยจำนวนและการบวกเวกเตอร์ การยืนยันดังต่อไปนี้เกี่ยวกับการกระทำเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัด

ในการหาพิกัดของเวกเตอร์ หากทราบพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุด

การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์

การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์คือการดำเนินการของการบวก (ลบ) เวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ลองพิจารณาพวกเขา

คำนิยาม ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ต่อจำนวน
เรียกว่าเวกเตอร์ซึ่งประชิดทิศกับเวกเตอร์ , ถ้า
ซึ่งมีทิศตรงกันข้ามถ้า
เชิงลบ. ความยาวของเวกเตอร์นี้เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ ต่อโมดูโลจำนวน
.

พี ตัวอย่าง . สร้างเวกเตอร์
, ถ้า
และ
(รูปที่ 2.3).

เมื่อเวกเตอร์คูณด้วยตัวเลข พิกัดของเวกเตอร์นั้นจะถูกคูณด้วยตัวเลขนั้น.

แน่นอน ถ้า แล้ว

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ บน
เรียกว่าเวกเตอร์
;
- ทิศตรงข้าม .

สังเกตว่าเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 เรียกว่า เดี่ยว(หรือ ortho).

การใช้การดำเนินการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์ใดๆ สามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกันได้ แน่นอน การหารเวกเตอร์ สำหรับความยาว (เช่น การคูณ บน ) เราได้เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ . เราจะแสดงว่า
. ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น
.

คำนิยาม ผลรวมของเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่าเวกเตอร์ ซึ่งมาจากแหล่งกำเนิดทั่วไปและเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ และ (รูปที่ 2.4).

.

โดยนิยามของเวกเตอร์เท่ากัน
นั่นเป็นเหตุผล
-กฎสามเหลี่ยม. กฎสามเหลี่ยมสามารถขยายไปยังเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ ดังนั้นจึงได้กฎรูปหลายเหลี่ยม:
คือเวกเตอร์ที่เชื่อมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรก ด้วยจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์สุดท้าย (รูปที่ 2.5).

ดังนั้น ในการสร้างเวกเตอร์ผลรวม จึงจำเป็นต้องแนบจุดเริ่มต้นของวินาทีที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรก ต่อจุดสิ้นสุดของวินาทีเพื่อแนบจุดเริ่มต้นที่สาม เป็นต้น จากนั้นเวกเตอร์ผลรวมจะเป็นเวกเตอร์ที่เชื่อมจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกกับจุดสิ้นสุดของตัวสุดท้าย.

เมื่อมีการเพิ่มเวกเตอร์ พิกัดที่สอดคล้องกันก็จะถูกเพิ่มด้วย

แท้จริงแล้วถ้าและ
,

ถ้าเวกเตอร์
และ ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน แล้วผลรวมจะเป็นแนวทแยง
รูปขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ (รูปที่ 2.6)

,

ที่ไหน

คุณสมบัติ:

- การสับเปลี่ยน;

- การเชื่อมโยง;

- การแจกแจงเกี่ยวกับการคูณด้วยตัวเลข

.

เหล่านั้น. ผลรวมเวกเตอร์สามารถแปลงได้ตามกฎเดียวกับพีชคณิต

คำนิยามความแตกต่างของเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่าเวกเตอร์ดังกล่าว ซึ่งเมื่อเพิ่มเข้าไปในเวกเตอร์ ให้เวกเตอร์ . เหล่านั้น.
ถ้า
. เรขาคณิต แทนเส้นทแยงมุมที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ มีจุดเริ่มต้นร่วมกันและชี้นำจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ต่อท้ายเวกเตอร์ (รูปที่ 2.7)

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน คุณสมบัติการฉายภาพ

จำแนวคิดของเส้นจำนวน แกนตัวเลขเป็นเส้นตรงที่:

ทิศทาง (→);

จุดอ้างอิง (จุด O);

ส่วนซึ่งถือเป็นหน่วยของมาตราส่วน

ให้มีเวกเตอร์
และแกน . จากคะแนน และ มาวางฉากตั้งฉากบนแกนกันเถอะ . มาเก็บแต้มกัน และ - ประมาณการจุด และ (รูปที่ 2.8 ก)

คำนิยาม การฉายภาพเวกเตอร์
ต่อเพลา เรียกว่า ความยาวของปล้อง
แกนนี้ซึ่งอยู่ระหว่างฐานของการฉายภาพจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์
ต่อเพลา . มันถูกถ่ายด้วยเครื่องหมายบวกถ้าทิศทางของเซกเมนต์
ตรงกับทิศทางของแกนฉายภาพ และมีเครื่องหมายลบหากทิศทางเหล่านี้อยู่ตรงข้าม การกำหนด:
.

เกี่ยวกับ คำนิยาม มุมระหว่างเวกเตอร์
และแกน เรียกว่ามุม โดยที่จำเป็นต้องหมุนแกนให้สั้นที่สุด เพื่อให้สอดคล้องกับทิศทางของเวกเตอร์
.

มาหากัน
:

รูปที่ 2.8 แสดง:
.

ในรูป 2.8 ข): .

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์นี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนฉายภาพ:
.

คุณสมบัติการฉายภาพ:

ถ้า
จากนั้นเวกเตอร์จะเรียกว่า orthogonal

ตัวอย่าง . เวกเตอร์จะได้รับ
,
.แล้ว

.

ตัวอย่าง. ถ้าขึ้นต้นของเวกเตอร์
อยู่ที่จุด
และจบลงที่จุดหนึ่ง
แล้วเวกเตอร์
มีพิกัด:

เกี่ยวกับ คำนิยาม มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว และ เรียกว่ามุมที่เล็กที่สุด
(รูปที่ 2.13) ระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ ลดลงเป็นจุดเริ่มต้นทั่วไป .

มุมระหว่างเวกเตอร์ และ เขียนเชิงสัญลักษณ์ดังนี้: .

จากนิยามว่า มุม ระหว่างเวกเตอร์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ภายใน
.

ถ้า
จากนั้นเวกเตอร์จะเรียกว่ามุมฉาก

.

คำนิยาม.โคไซน์ของมุมของเวกเตอร์ที่มีแกนพิกัดเรียกว่าโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์ ถ้าเวกเตอร์
สร้างมุมด้วยแกนพิกัด

.

บทนำ…………………………………………………………………………………………3

1. ค่าของเวกเตอร์และสเกลาร์…………………………………………….4

2. นิยามของการฉายภาพ แกนและพิกัดของจุด……………5

3. การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน……………………………………………………6

4. สูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์……………………………..8

5. การคำนวณโมดูลของเวกเตอร์จากการคาดคะเน…………...9

สรุป………………………………………………………………………………...11

วรรณคดี……………………………………………………………………………………...12

บทนำ:

ฟิสิกส์เชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์อย่างแยกไม่ออก คณิตศาสตร์ทำให้ฟิสิกส์มีวิธีการและเทคนิคในการแสดงออกทั่วไปและแม่นยำของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ค้นพบจากการทดลองหรือการวิจัยเชิงทฤษฎี อย่างไรก็ตาม วิธีหลักของการวิจัยทางฟิสิกส์ก็คือการทดลอง ซึ่งหมายความว่านักวิทยาศาสตร์เปิดเผยการคำนวณด้วยความช่วยเหลือของการวัด แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่ต่างกัน จากนั้นทุกอย่างก็แปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์ กำลังสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์เป็นวิทยาศาสตร์ที่ศึกษากฎที่ง่ายที่สุดและในเวลาเดียวกันมากที่สุด งานของฟิสิกส์คือการสร้างภาพของโลกทางกายภาพที่สะท้อนถึงคุณสมบัติของมันอย่างเต็มที่และให้ความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของแบบจำลองที่มีอยู่ระหว่างองค์ประกอบต่างๆ ในจิตใจของเรา

ดังนั้น ฟิสิกส์จึงสร้างแบบจำลองของโลกรอบตัวเราและศึกษาคุณสมบัติของมัน แต่ทุกรุ่นมีจำนวนจำกัด เมื่อสร้างแบบจำลองของปรากฏการณ์หนึ่ง ๆ จะพิจารณาเฉพาะคุณสมบัติและการเชื่อมต่อที่จำเป็นสำหรับช่วงของปรากฏการณ์ที่กำหนดเท่านั้น นี่คือศิลปะของนักวิทยาศาสตร์ - จากความหลากหลายทั้งหมดเพื่อเลือกสิ่งสำคัญ

แบบจำลองทางกายภาพเป็นคณิตศาสตร์ แต่คณิตศาสตร์ไม่ใช่พื้นฐาน ความสัมพันธ์เชิงปริมาณระหว่างปริมาณทางกายภาพได้รับการชี้แจงอันเป็นผลมาจากการวัด การสังเกต และการศึกษาเชิงทดลอง และแสดงในภาษาของคณิตศาสตร์เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ไม่มีภาษาอื่นในการสร้างทฤษฎีทางกายภาพ

1. ค่าของเวกเตอร์และสเกลาร์

ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เวกเตอร์คือปริมาณที่แสดงลักษณะเฉพาะด้วยค่าตัวเลขและทิศทาง ในฟิสิกส์ มีปริมาณที่สำคัญหลายอย่างที่เป็นเวกเตอร์ เช่น แรง ตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง แรงบิด โมเมนตัม สนามไฟฟ้า และสนามแม่เหล็ก สามารถเปรียบเทียบกับปริมาณอื่นๆ เช่น มวล ปริมาตร ความดัน อุณหภูมิ และความหนาแน่น ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยตัวเลขธรรมดาและเรียกว่า " สเกลาร์".

พวกเขาเขียนด้วยตัวอักษรของแบบอักษรปกติหรือเป็นตัวเลข (a, b, t, G, 5, -7 ....) สเกลาร์อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ในเวลาเดียวกัน วัตถุศึกษาบางชิ้นอาจมีคุณสมบัติดังกล่าว สำหรับคำอธิบายที่สมบูรณ์ซึ่งความรู้เกี่ยวกับการวัดเชิงตัวเลขเท่านั้นไม่เพียงพอ ก็จำเป็นต้องกำหนดลักษณะคุณสมบัติเหล่านี้ตามทิศทางในอวกาศด้วย คุณสมบัติดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะด้วยปริมาณเวกเตอร์ (เวกเตอร์) เวกเตอร์ไม่เหมือนสเกลาร์แสดงด้วยตัวอักษรหนา: a, b, g, F, C ....
บ่อยครั้งที่เวกเตอร์แสดงด้วยตัวอักษรธรรมดา (ไม่ใช่ตัวหนา) แต่มีลูกศรอยู่ด้านบน:

นอกจากนี้ เวกเตอร์มักแสดงด้วยตัวอักษรคู่หนึ่ง (โดยปกติจะเป็นอักษรตัวพิมพ์ใหญ่) โดยอักษรตัวแรกระบุจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และอักษรตัวที่สองระบุจุดสิ้นสุด

โมดูลของเวกเตอร์ กล่าวคือ ความยาวของส่วนของเส้นตรงกำกับ แสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันกับเวกเตอร์เอง แต่ในการเขียนปกติ (ไม่ใช่ตัวหนา) และไม่มีลูกศรอยู่เหนือพวกมัน หรือเหมือนกับ เวกเตอร์ (นั่นคือ ตัวหนาหรือปกติ แต่มีลูกศร) แต่แล้ว การกำหนดเวกเตอร์จะอยู่ในเส้นประแนวตั้ง
เวกเตอร์เป็นวัตถุที่ซับซ้อนซึ่งมีทั้งขนาดและทิศทางในเวลาเดียวกัน

นอกจากนี้ยังไม่มีเวกเตอร์บวกและลบอีกด้วย แต่เวกเตอร์สามารถเท่ากันได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อ a และ b มีโมดูลเดียวกันและมีทิศทางไปในทิศทางเดียวกัน ในกรณีนี้บันทึก เอ= ข. พึงระลึกไว้เสมอว่าสัญลักษณ์เวกเตอร์สามารถนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น -c อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายนี้เป็นสัญลักษณ์บ่งชี้ว่าเวกเตอร์ -c มีโมดูลัสเดียวกันกับเวกเตอร์ c แต่กำกับไว้ใน ทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์ -c เรียกว่าตรงกันข้าม (หรือผกผัน) ของเวกเตอร์ c
อย่างไรก็ตาม ในทางฟิสิกส์ เวกเตอร์แต่ละตัวจะเต็มไปด้วยเนื้อหาเฉพาะ และเมื่อเปรียบเทียบเวกเตอร์ประเภทเดียวกัน (เช่น แรง) ประเด็นของการใช้เวกเตอร์เหล่านั้นก็มีความสำคัญเช่นกัน

2.การหาการฉายภาพ แกนและพิกัดของจุด

แกนเป็นเส้นตรงที่ให้ทิศทาง
แกนถูกระบุด้วยตัวอักษรใด ๆ : X, Y, Z, s, t ... โดยปกติจุดจะถูกเลือก (โดยพลการ) บนแกนซึ่งเรียกว่าจุดกำเนิดและตามกฎแล้วจะระบุด้วยตัวอักษร O . ระยะทางไปยังจุดที่น่าสนใจอื่น ๆ สำหรับเราวัดจากจุดนี้

การฉายจุดบนแกนเรียกว่าฐานของแนวตั้งฉากที่ลดลงจากจุดนี้ไปยังแกนที่กำหนด นั่นคือ การฉายภาพของจุดบนแกนคือจุด

พิกัดบนแกนที่กำหนดเรียกว่าตัวเลขที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับความยาวของส่วนของแกน (ในมาตราส่วนที่เลือก) ที่ล้อมรอบระหว่างจุดเริ่มต้นของแกนกับการฉายของจุดบนแกนนี้ ตัวเลขนี้ใช้เครื่องหมายบวกหากการฉายภาพของจุดนั้นอยู่ในทิศทางของแกนตั้งแต่เริ่มต้นและด้วยเครื่องหมายลบหากไปในทิศทางตรงกันข้าม

3.การฉายเวกเตอร์บนแกน

การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนคือเวกเตอร์ที่ได้จากการคูณการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์ลงบนแกนนี้และเวกเตอร์หน่วยของแกนนี้ ตัวอย่างเช่น ถ้า x คือการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์ a บนแกน X ดังนั้น x i คือการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนนี้

ให้แสดงถึงการฉายภาพเวกเตอร์ในลักษณะเดียวกับตัวเวกเตอร์ แต่ด้วยดัชนีของแกนที่ฉายเวกเตอร์ ดังนั้น การฉายภาพเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a บนแกน X จะแสดงด้วย x (ตัวหนาแสดงถึงเวกเตอร์และตัวห้อยของชื่อแกน) หรือ

(ตัวอักษรที่ไม่ใช่ตัวหนาแสดงถึงเวกเตอร์ แต่มีลูกศรอยู่ด้านบน (!) และตัวห้อยของชื่อแกน)

การฉายภาพสเกลาร์เวกเตอร์ต่อแกนเรียกว่า ตัวเลขค่าสัมบูรณ์ซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนของแกน (ในมาตราส่วนที่เลือก) ซึ่งอยู่ระหว่างการคาดคะเนของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ มักจะแทนการแสดงออก การฉายภาพสเกลาร์เพียงแค่พูด - การฉายภาพ. การฉายภาพแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับเวกเตอร์ที่ฉาย (โดยปกติไม่ใช่การเขียนตัวหนา) โดยมีตัวห้อย (โดยปกติ) ของชื่อแกนที่ฉายเวกเตอร์นี้ ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ฉายลงบนแกน x แต่,จากนั้นการฉายภาพจะแสดงเป็น x เมื่อฉายเวกเตอร์เดียวกันไปยังอีกแกนหนึ่ง หากแกนคือ Y การฉายภาพจะแสดงเป็น y

การคำนวณการฉายภาพ เวกเตอร์บนแกน (เช่นแกน X) จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดนั่นคือ

และ x \u003d x k - x n

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเป็นตัวเลขนอกจากนี้ การฉายภาพสามารถเป็นบวกได้หากค่าของ x k มากกว่าค่าของ x n

ลบถ้าค่าของ x k น้อยกว่าค่าของ x n

และเท่ากับศูนย์ถ้า x k เท่ากับ x n

การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนสามารถหาได้จากการรู้โมดูลัสของเวกเตอร์และมุมที่มันทำกับแกนนั้น

เห็นได้จากรูปที่ a x = a Cos α

นั่นคือ การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนกับ ทิศทางเวกเตอร์. ถ้ามุมแหลมแล้ว
Cos α > 0 และ a x > 0 และถ้าป้าน โคไซน์ของมุมป้านจะเป็นลบ และการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นลบด้วย

มุมที่นับจากแกนทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวกและระหว่างทางจะเป็นค่าลบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ นั่นคือ Cos α = Cos (− α) เมื่อคำนวณการฉายภาพ มุมสามารถนับได้ทั้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา

ในการหาการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน โมดูลของเวกเตอร์นี้จะต้องคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนกับทิศทางของเวกเตอร์

4. สูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์

เราฉายเวกเตอร์ a บนแกน X และ Y ของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ค้นหาเส้นโครงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a บนแกนเหล่านี้:

และ x = a x i และ y = a y j

แต่ตามกฎการบวกเวกเตอร์

a \u003d a x + a y

a = a x i + a y j.

ดังนั้นเราจึงแสดงเวกเตอร์ในรูปของการฉายภาพและออร์ตของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (หรือในแง่ของการฉายภาพเวกเตอร์)

เส้นโครงเวกเตอร์ a x และ a เรียกว่าส่วนประกอบหรือส่วนประกอบของเวกเตอร์ a การดำเนินการที่เราดำเนินการเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ตามแกนของระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หากเวกเตอร์ถูกกำหนดในช่องว่างแล้ว

a = a x i + a y j + a z k.

สูตรนี้เรียกว่าสูตรพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ แน่นอน มันเขียนได้แบบนี้ด้วย

แกนคือทิศทาง ดังนั้น การฉายภาพบนแกนหรือบนเส้นกำกับจึงถือว่าเหมือนกัน การฉายภาพอาจเป็นพีชคณิตหรือเรขาคณิต ในแง่เรขาคณิต การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนจะเข้าใจว่าเป็นเวกเตอร์ และในแง่พีชคณิต มันคือตัวเลข นั่นคือ ใช้แนวคิดของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนและการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกน

หากเรามีแกน L และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ AB → เราก็สามารถสร้างเวกเตอร์ A 1 B 1 ⇀ แทนการฉายภาพของจุด A 1 และ B 1 ได้

A 1 B → 1 จะเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ A B → บน L

คำจำกัดความ 1

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนแกนเรียกเวกเตอร์ จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดคือการคาดการณ์ของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่กำหนด n p L A B → → เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงถึงการฉายภาพของ AB → ลงบน L ในการสร้างเส้นโครงบน L ให้วางเส้นตั้งฉากบน L

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน

บนระนาบพิกัด O x y มีการระบุจุด M 1 (x 1, y 1) จำเป็นต้องสร้างเส้นโครงบน O x และ O y สำหรับภาพของเวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 . หาพิกัดของเวกเตอร์ (x 1 , 0) และ (0 , y 1) กัน

หากเรากำลังพูดถึงการฉายภาพของ a → ลงบนที่ไม่ใช่ศูนย์ b → หรือการฉายภาพของ a → ไปยังทิศทาง b → แสดงว่าเราหมายถึงการฉายภาพของ a → ไปยังแกนที่ทิศทาง b → เกิดขึ้นพร้อมกัน การฉายภาพ a → บนเส้นที่กำหนดโดย b → แสดงแทน n p b → a → → เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อมุมอยู่ระหว่าง a → และ b → เราสามารถพิจารณา n p b → a → → และ b → codirectional ในกรณีที่มุมป้าน n p b → a → → และ b → จะถูกกำหนดทิศทางตรงกันข้าม ในสถานการณ์ตั้งฉาก a → และ b → และ a → เป็นศูนย์ การฉายภาพของ a → ตามทิศทาง b → เป็นเวกเตอร์ศูนย์

ลักษณะเฉพาะเชิงตัวเลขของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนคือการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนที่กำหนด

คำจำกัดความ 2

การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนเรียกจำนวนที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดกับเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของแกน

การฉายภาพเชิงตัวเลขของ AB → บน L นั้นแสดง n p L A B → และ a → ไปยัง b → - n p b → a →

จากสูตร เราจะได้ npb → a → = a → cos a → , b → ^ ดังนั้น a → คือความยาวของเวกเตอร์ a → , a ⇀ , b → ^ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ a → และ b → .

เราได้สูตรการคำนวณการฉายภาพตัวเลข: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . ใช้ได้กับความยาวที่ทราบ a → และ b → และมุมระหว่างความยาวเหล่านี้ สูตรนี้ใช้ได้กับพิกัดที่รู้จัก a → และ b → แต่มีเวอร์ชันที่เข้าใจง่ายกว่า

ตัวอย่าง 2

ค้นหาการฉายภาพตัวเลข a → บนเส้นตรงในทิศทาง b → ด้วยความยาว a → เท่ากับ 8 และมุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา โดยเงื่อนไขเรามี ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . ดังนั้นเราจึงแทนที่ค่าตัวเลขลงในสูตร n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

ตอบ: 4.

ด้วย cos ที่รู้จัก (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → เรามี a → , b → เป็นผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของ a → และ b → ต่อจากสูตร n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ เราสามารถหาเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → กำกับตามเวกเตอร์ b → และรับ n p b → a → = a → , b → b → . สูตรนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของอนุประโยค

คำจำกัดความ 3

การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกนที่ประจวบกับทิศทาง b → คืออัตราส่วนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ต่อความยาว b → . สูตร n p b → a → = a → , b → b → ใช้สำหรับการค้นหาการฉายภาพเชิงตัวเลขของ a → บนเส้นตรงที่ประจวบกับทิศทาง b → โดยรู้จักพิกัด a → และ b →

ตัวอย่างที่ 3

ให้ b → = (- 3 , 4) . หาเส้นโครงตัวเลข a → = (1 , 7) ลงบน L

สารละลาย

บนระนาบพิกัด npb → a → = a → , b → b → มีรูปแบบ npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + โดย 2 สำหรับ a → = (ax , ay ) และ b → = bx โดย ในการหาการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกน L คุณต้องมี: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + โดย 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

ตอบ: 5.

ตัวอย่างที่ 4

หาเส้นโครง a → บน L ประจวบกับทิศทาง b → โดยจะมี a → = - 2 , 3 , 1 และ b → = (3 , - 2 , 6) ให้พื้นที่สามมิติ

สารละลาย

ให้ a → = a x , a y , a z และ b → = b x , b y , b z คำนวณผลคูณของสเกลาร์: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z เราพบความยาว b → โดยสูตร b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 เป็นไปตามสูตรกำหนดเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → จะเป็น: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

แทนค่าตัวเลข: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

คำตอบ: - 6 7 .

ลองดูการเชื่อมต่อระหว่าง a → บน L และความยาวของการฉายภาพของ a → บน L วาดแกน L โดยการเพิ่ม a → และ b → จากจุดหนึ่งไปที่ L หลังจากนั้นเราลากเส้นตั้งฉากจากจุดสิ้นสุดของ a → ถึง L และฉายภาพลงบน L มี 5 รูปแบบภาพ:

อันดับแรกกรณีที่ a → = npb → a → → หมายถึง a → = npb → a → → ดังนั้น npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → ก → → .

ที่สองกรณีแสดงถึงการใช้ n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , ดังนั้น n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → →

ที่สาม case อธิบายว่า npb → a → → = 0 → เราจะได้ npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 จากนั้น npb → a → → = 0 และ npb → a → = 0 = npb → a → → .

ที่สี่กรณีแสดง npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) ตามด้วย npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .

ที่ห้ากรณีแสดง a → = npb → a → → ซึ่งหมายความว่า a → = npb → a → → ดังนั้นเราจึงมี npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .

คำจำกัดความ 4

การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกน L ซึ่งกำกับเหมือน b → มีความหมาย:

• ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a → บน L โดยมีเงื่อนไขว่ามุมระหว่าง a → และ b → น้อยกว่า 90 องศาหรือเท่ากับ 0: npb → a → = npb → a → → โดยมีเงื่อนไข 0 ≤ (a → , ข →) ^< 90 ° ;
• ศูนย์ภายใต้เงื่อนไขของการตั้งฉาก a → และ b → : n p b → a → = 0 เมื่อ (a → , b → ^) = 90 ° ;
• ความยาวของเส้นโครง a → บน L คูณ -1 เมื่อมีมุมป้านหรือแบนของเวกเตอร์ a → และ b → : n p b → a → = - n p b → a → → ด้วยเงื่อนไข 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดความยาวของเส้นโครง a → บน L เท่ากับ 2 หาเส้นโครงที่เป็นตัวเลข a → โดยกำหนดให้มุมเป็น 5 π 6 เรเดียน

สารละลาย

สังเกตได้จากเงื่อนไขว่ามุมนี้เป็นป้าน π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

คำตอบ: - 2.

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดระนาบ O x y z ด้วยความยาวของเวกเตอร์ a → เท่ากับ 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) ด้วยมุม 30 องศา ค้นหาพิกัดของการฉายภาพ a → บนแกน L

สารละลาย

อันดับแรก เราคำนวณการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

ตามเงื่อนไข มุมเป็นแบบเฉียบพลัน จากนั้นการฉายภาพเชิงตัวเลข a → = คือความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . กรณีนี้แสดงว่าเวกเตอร์ n p L a → → → และ b → กำกับร่วมกัน ซึ่งหมายความว่ามีจำนวน t ที่ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: n p L a → → = t · b → จากที่นี่เราจะเห็นว่า np L a → → = tb → , เราสามารถหาค่าของพารามิเตอร์ t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

จากนั้น np L a → → = 3 b → ด้วยพิกัดของการฉายภาพของเวกเตอร์ a → บนแกน L คือ b → = (- 2 , 1 , 2) โดยที่จำเป็นต้องคูณค่าด้วย 3 . เรามี np L a → → = (- 6 , 3 , 6) คำตอบ: (- 6 , 3 , 6) .

จำเป็นต้องทำซ้ำข้อมูลที่ศึกษาก่อนหน้านี้เกี่ยวกับสภาพของเวกเตอร์ collinearity

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter