พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:
15:5=3
ในตัวอย่างนี้ เราหารจำนวนธรรมชาติ 15 อย่างสมบูรณ์ 3 ไม่เหลือ.

บางครั้งจำนวนธรรมชาติไม่สามารถแบ่งออกทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหา:
มีของเล่น 16 ชิ้นในตู้ มีเด็กห้าคนในกลุ่ม เด็กแต่ละคนนำของเล่นจำนวนเท่ากัน เด็กแต่ละคนมีของเล่นกี่ชิ้น?

การตัดสินใจ:
หารจำนวน 16 ด้วย 5 ตามคอลัมน์และรับ:

เรารู้ว่า 16 คูณ 5 ไม่หารลงตัว. จำนวนที่น้อยกว่าที่ใกล้ที่สุดที่หารด้วย 5 ลงตัวคือ 15 โดยเหลือเศษ 1 เราสามารถเขียนเลข 15 เป็น 5⋅3 เป็นผลให้ (16 - เงินปันผล, 5 - ตัวหาร, 3 - ผลหารบางส่วน, 1 - ส่วนที่เหลือ) ได้ สูตร หารด้วยเศษที่สามารถทำได้ การตรวจสอบโซลูชัน.

เอ= ข⋅ ค+ d
เอ - แบ่งได้
ข - ตัวแบ่ง
ค - ผลหารไม่สมบูรณ์
d - ส่วนที่เหลือ

คำตอบ: เด็กแต่ละคนจะได้รับของเล่น 3 ชิ้นและของเล่นชิ้นเดียวจะยังคงอยู่

ส่วนที่เหลือของดิวิชั่น

เศษที่เหลือต้องน้อยกว่าตัวหารเสมอ

หากส่วนที่เหลือเป็นศูนย์เมื่อหาร เงินปันผลจะหารลงตัว อย่างสมบูรณ์หรือไม่มีเศษเหลือต่อตัวหาร

หากเมื่อทำการหาร เศษที่เหลือมากกว่าตัวหาร แสดงว่าจำนวนที่พบไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด มีจำนวนมากขึ้นที่จะแบ่งเงินปันผลและส่วนที่เหลือจะน้อยกว่าตัวหาร

คำถามในหัวข้อ "หารด้วยเศษ":
เศษเหลือมากกว่าตัวหารได้หรือไม่?
คำตอบ: ไม่

ส่วนที่เหลือสามารถเท่ากับตัวหารได้หรือไม่?
คำตอบ: ไม่

จะหาเงินปันผลจากผลหารหารและเศษส่วนที่ไม่สมบูรณ์ได้อย่างไร?
คำตอบ: เราแทนที่ค่าของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ ตัวหาร และเศษที่เหลือลงในสูตรแล้วหาเงินปันผล สูตร:
a=b⋅c+d

ตัวอย่าง # 1:
ทำการหารด้วยเศษที่เหลือและตรวจสอบ: a) 258:7 b) 1873:8

การตัดสินใจ:
ก) แบ่งเป็นคอลัมน์:

258 - หารลงตัว
7 - ตัวแบ่ง
36 - ผลหารไม่สมบูรณ์
6 - ส่วนที่เหลือ เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

b) แบ่งเป็นคอลัมน์:

2416 - แบ่งได้
8 - ตัวแบ่ง
234 - ผลหารไม่สมบูรณ์
1 คือส่วนที่เหลือ เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร 1<8.

แทนที่ในสูตรและตรวจสอบว่าเราแก้ตัวอย่างถูกต้องหรือไม่:
8⋅234+1=1872+1=1873

ตัวอย่าง #2:
ได้เศษอะไรจากการหารจำนวนธรรมชาติ: a) 3 b) 8?

ตอบ:
ก) เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 3 ในกรณีของเรา เศษสามารถเป็น 0, 1 หรือ 2
b) เศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 8 ในกรณีของเรา เศษสามารถเป็น 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรือ 7

ตัวอย่าง #3:
เศษซากที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถหาได้จากการหารจำนวนธรรมชาติคืออะไร: a) 9 b) 15?

ตอบ:
ก) เศษที่เหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 9 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือจำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับตัวหาร ตัวเลขนี้คือ 8
b) เศษที่เหลือน้อยกว่าตัวหาร ดังนั้น น้อยกว่า 15 แต่เราต้องระบุเศษที่ใหญ่ที่สุด นั่นคือจำนวนที่ใกล้เคียงที่สุดกับตัวหาร หมายเลขนี้คือ 14

ตัวอย่าง #4:
ค้นหาเงินปันผล: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)

การตัดสินใจ:
ก) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหารบางส่วน d คือส่วนที่เหลือ)
a:6=3(พัก.4)
(a คือเงินปันผล 6 คือตัวหาร 3 คือผลหารไม่สมบูรณ์ 4 คือเศษ) แทนที่ตัวเลขในสูตร:
ก=6⋅3+4=22
คำตอบ: a=22

b) แก้โดยใช้สูตร:
a=b⋅c+d
(a คือเงินปันผล b คือตัวหาร c คือผลหารบางส่วน d คือส่วนที่เหลือ)
s:24=4(พัก.11)
(c คือเงินปันผล 24 คือตัวหาร 4 คือผลหารไม่สมบูรณ์ 11 คือเศษ) แทนที่ตัวเลขในสูตร:
ค=24⋅4+11=107
คำตอบ: s=107

งาน:

ลวด 4ม. ต้องหั่นเป็นชิ้นยาว 13 ซม. จะมีกี่ชิ้นเนี่ย?

การตัดสินใจ:
ก่อนอื่นคุณต้องแปลงเมตรเป็นเซนติเมตร
4ม.=400ซม.
คุณสามารถหารด้วยคอลัมน์หรือในใจเราได้:
400:13=30(พัก 10)
มาตรวจสอบกัน:
13⋅30+10=390+10=400

คำตอบ: จะออกมา 30 ชิ้นและลวดจะเหลือ 10 ซม.

บทความนี้วิเคราะห์แนวคิดเรื่องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือและดูความเชื่อมโยงระหว่างตัวหารและตัวหาร ผลหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษเหลือ พิจารณากฎเมื่อทำการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ โดยตรวจสอบรายละเอียดพร้อมตัวอย่าง ในตอนท้ายของการแก้ปัญหา เราจะทำการตรวจสอบ

ความเข้าใจทั่วไปของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

การหารจำนวนเต็มที่มีเศษเหลือถือเป็นการหารทั่วไปโดยเหลือจำนวนธรรมชาติ สิ่งนี้ทำได้เพราะจำนวนธรรมชาติเป็นองค์ประกอบของจำนวนเต็ม

การหารด้วยจำนวนที่เหลือตามอำเภอใจบอกว่าจำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวน b ลงตัว ซึ่งต่างจากศูนย์ ถ้า b = 0 จะไม่มีการหารด้วยเศษ

เช่นเดียวกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ การหารของจำนวนเต็ม a และ b ถูกดำเนินการ โดย b แตกต่างจากศูนย์ โดย c และ d ในกรณีนี้ a และ b เรียกว่าเงินปันผลและตัวหาร และ d คือเศษที่เหลือของการหาร c คือจำนวนเต็มหรือผลหารบางส่วน

หากเราคิดว่าเศษที่เหลือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ ค่าของมันจะไม่เกินโมดูลัสของตัวเลข b ลองเขียนแบบนี้: 0 ≤ d ≤ b ห่วงโซ่ความไม่เท่าเทียมกันนี้ใช้ในการเปรียบเทียบตัวเลขตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

หาก c เป็นเชาวน์ที่ไม่สมบูรณ์ d คือเศษของการหารจำนวนเต็ม a ด้วย b คุณสามารถแก้ไขได้โดยสังเขป: a: b \u003d c (คง d)

ส่วนที่เหลือเมื่อหารตัวเลข a ด้วย b เป็นไปได้เป็นศูนย์ จากนั้นพวกเขาบอกว่า a ถูกหารด้วย b ทั้งหมดนั่นคือไม่มีเศษเหลือ กองที่ไม่มีเศษเหลือถือเป็นกรณีพิเศษของดิวิชั่น

ถ้าเราหารศูนย์ด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่ง เราจะได้ศูนย์ตามผลลัพธ์ ส่วนที่เหลือของการหารจะเป็นศูนย์ด้วย ดังจะเห็นได้จากทฤษฎีการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม

พิจารณาความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ

เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนเต็มบวกเป็นธรรมชาติ จากนั้นเมื่อหารด้วยเศษเหลือ ความหมายจะเหมือนกับการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ

การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b สมเหตุสมผล มาดูตัวอย่างกัน ลองนึกภาพสถานการณ์ที่เรามีหนี้เป็นจำนวน a ที่คน b จะต้องชดใช้ การทำเช่นนี้ทุกคนต้องมีส่วนร่วมอย่างเท่าเทียมกัน ในการกำหนดจำนวนหนี้แต่ละรายจำเป็นต้องคำนึงถึงมูลค่าของเอกชนค. ส่วนที่เหลือ d แสดงว่าทราบจำนวนรายการหลังจากชำระหนี้แล้ว

ลองมาดูตัวอย่างกับแอปเปิ้ลกัน ถ้าคน 2 คนต้องการ 7 แอปเปิ้ล หากเราคำนวณว่าทุกคนต้องคืนแอปเปิล 4 ผล หลังจากคำนวณครบแล้วจะเหลือแอปเปิล 1 ผล ลองเขียนสิ่งนี้เป็นความเท่าเทียมกัน: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

การหารจำนวนใด ๆ ด้วยจำนวนเต็มไม่สมเหตุสมผล แต่เป็นไปได้เป็นตัวเลือก

ทฤษฎีบทการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ

เราพบว่า a คือเงินปันผล จากนั้น b เป็นตัวหาร c คือผลหารบางส่วน และ d คือเศษที่เหลือ พวกเขาเชื่อมต่อถึงกัน เราจะแสดงความสัมพันธ์นี้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน a = b · c + d ความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขามีลักษณะเฉพาะโดยทฤษฎีบทการหารด้วยเศษ

ทฤษฎีบท

จำนวนเต็มใดๆ สามารถแสดงได้เฉพาะในรูปของจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในลักษณะนี้: a = b · q + r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็มบางจำนวน ที่นี่เรามี 0 ≤ r ≤ b .

ให้เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของ a = b · q + r

การพิสูจน์

หากมีตัวเลขสองตัว a และ b และ a หารด้วย b ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ จากนิยามว่ามีตัวเลข q อยู่ ความเสมอภาค a = b · q จะเป็นจริง จากนั้นความเท่าเทียมกันถือได้ว่าเป็นจริง: a = b q + r สำหรับ r = 0

จากนั้นจึงจำเป็นต้องใช้ q ที่กำหนดโดยอสมการ b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

เรามีค่าของนิพจน์ a − b · q มากกว่าศูนย์และไม่เกินค่าของตัวเลข b ดังนั้น r = a − b · q จึงตามมา เราพบว่าจำนวน a สามารถแสดงเป็น a = b · q + r

ตอนนี้เราต้องพิจารณาความเป็นไปได้ของการแสดง a = b · q + r สำหรับค่าลบของ b .

โมดูลัสของตัวเลขกลายเป็นบวก จากนั้นเราจะได้ a = b q 1 + r โดยที่ค่า q 1 เป็นจำนวนเต็ม r คือจำนวนเต็มที่ตรงกับเงื่อนไข 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

พิสูจน์เอกลักษณ์

สมมติว่า a = b q + r , q และ r เป็นจำนวนเต็มโดยมีเงื่อนไข 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где คิว 1และ r1เป็นตัวเลขบางตัวที่ q 1 ≠ q, 0 ≤ r1< b .

เมื่อลบอสมการออกจากด้านซ้ายและด้านขวา เราจะได้ 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 ซึ่งเทียบเท่ากับ r - r 1 = b · q 1 - q เนื่องจากมีการใช้โมดูล เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน r - r 1 = b · q 1 - q

เงื่อนไขที่กำหนดบอกว่า 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qและ คิว 1- ทั้งหมดและ คิว ≠ คิว 1จากนั้น q 1 - q ≥ 1 ดังนั้นเราจึงมีว่า b · q 1 - q ≥ b ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นผลลัพธ์ r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

จากนี้ไปตัวเลข a ไม่สามารถแสดงเป็นอย่างอื่นได้ ยกเว้นโดยสัญกรณ์ a = b · q + r

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือ

การใช้ความเท่าเทียมกัน a \u003d b c + d คุณสามารถหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก a เมื่อตัวหาร b เป็นที่รู้จักด้วยผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c และส่วนที่เหลือ d

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดเงินปันผลหากเมื่อหาร เราได้ - 21 ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 5 และเศษ 12

การตัดสินใจ

จำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a ด้วยตัวหารที่ทราบ b = − 21, ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c = 5 และเศษ d = 12 เราต้องอ้างถึงความเท่าเทียมกัน a = b c + d จากตรงนี้เราจะได้ a = (− 21) 5 + 12 ขึ้นอยู่กับลำดับของการดำเนินการเราคูณ - 21 ด้วย 5 หลังจากนั้นเราจะได้ (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93

ตอบ: - 93 .

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวหารและผลหารบางส่วนกับเศษสามารถแสดงได้โดยใช้ความเท่าเทียมกัน: b = (a - d) : c , c = (a − d) : b และ d = a − b · c ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา เราสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือได้ สิ่งนี้ทำให้ต้องค้นหาส่วนที่เหลืออย่างต่อเนื่องของการหารจำนวนเต็ม a ด้วย b ด้วยเงินปันผล ตัวหาร และความฉลาดบางส่วนที่ทราบ ใช้สูตร d = a − b · c ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ตัวอย่าง 2

หาเศษของการหารจำนวนเต็ม - 19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 โดยที่ทราบผลหารไม่สมบูรณ์เท่ากับ - 7

การตัดสินใจ

ในการคำนวณเศษของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d = a − b c ตามเงื่อนไข ข้อมูลทั้งหมด a = − 19 , b = 3 , c = − 7 พร้อมใช้งาน จากที่นี่เราจะได้ d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (ผลต่าง - 19 - (- 21)... ตัวอย่างนี้คำนวณโดยกฎการลบจำนวนเต็มลบ

ตอบ: 2 .

จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเป็นธรรมชาติ ตามด้วยการแบ่งจะดำเนินการตามกฎของการหารทั้งหมดด้วยจำนวนที่เหลือตามธรรมชาติ ความเร็วของการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือมีความสำคัญ เนื่องจากไม่เพียงแต่การหารของจำนวนบวกจะขึ้นอยู่กับมันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกฎสำหรับการหารจำนวนเต็มตามอำเภอใจด้วย

วิธีการหารที่สะดวกที่สุดคือคอลัมน์ เนื่องจากง่ายกว่าและเร็วกว่าในการหาผลหารที่ไม่สมบูรณ์หรือผลหารที่มีเศษเหลือ พิจารณาวิธีแก้ปัญหาในรายละเอียดเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 3

หาร 14671 ด้วย 54 .

การตัดสินใจ

การแบ่งนี้ต้องทำในคอลัมน์:

นั่นคือ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์เท่ากับ 271 และส่วนที่เหลือคือ 37

ตอบ: 14671: 54 = 271 (พัก 37)

กฎการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบตัวอย่าง

ในการหารด้วยจำนวนบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ จำเป็นต้องกำหนดกฎขึ้นมา

คำจำกัดความ 1

ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b ให้จำนวนที่ตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารโมดูลของตัวเลข a ด้วย b แล้วเศษที่เหลือก็คือเศษเมื่อ a หารด้วย b

ดังนั้นเราจึงได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบถือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก

เราได้รับอัลกอริทึม:

• หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร จากนั้นเราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ
• ส่วนที่เหลือ;
• เขียนตัวเลขตรงข้าม

พิจารณาตัวอย่างของอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่างที่ 4

ทำการหารด้วยเศษ 17 คูณ - 5 .

การตัดสินใจ

ลองใช้อัลกอริทึมการหารกับส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ จำเป็นต้องหาร 17 ด้วย - 5 โมดูโล จากตรงนี้เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์คือ 3 และส่วนที่เหลือคือ 2

เราได้จำนวนที่ต้องการจากการหาร 17 ด้วย - 5 \u003d - 3 โดยเหลือเศษ 2

ตอบ: 17: (− 5) = − 3 (เหลือ 2)

ตัวอย่างที่ 5

หาร 45 ด้วย - 15 .

การตัดสินใจ

มีความจำเป็นต้องแบ่งโมดูโลตัวเลข เราหารจำนวน 45 ด้วย 15 เราได้ผลหาร 3 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้นจำนวน 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่เหลือเศษ. ในคำตอบที่เราได้รับ - 3 เนื่องจากการแบ่งดำเนินการแบบโมดูโล

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

ตอบ: 45: (− 15) = − 3 .

การกำหนดกฎการหารด้วยเศษที่เหลือมีดังนี้

คำจำกัดความ 2

เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c เมื่อหารจำนวนเต็มลบ   a ด้วยค่าบวก b คุณต้องใช้ค่าตรงข้ามของตัวเลขนี้แล้วลบ 1 จากนั้นส่วนที่เหลือ d จะถูกคำนวณโดยสูตร: d = a − b · ค.

ตามกฎแล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเมื่อหาร เราได้จำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ เพื่อความถูกต้องของการแก้ปัญหา ใช้อัลกอริทึมสำหรับการหาร a ด้วย b ด้วยเศษ:

• ค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• แบ่งโมดูโล;
• เขียนตรงข้ามของตัวเลขที่กำหนดและลบ 1 ;
• ใช้สูตรสำหรับส่วนที่เหลือ d = a − b c

ลองพิจารณาตัวอย่างของโซลูชันที่ใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาผลหารที่ไม่สมบูรณ์และส่วนที่เหลือของการหาร - 17 คูณ 5

การตัดสินใจ

เราแบ่งโมดูโลตัวเลขที่กำหนด เราได้เมื่อหาร ผลหารคือ 3 และส่วนที่เหลือคือ 2 เนื่องจากเราได้ 3 ตรงกันข้ามคือ 3 จำเป็นต้องลบ 1 .

− 3 − 1 = − 4 .

ค่าที่ต้องการเท่ากับ - 4

ในการคำนวณส่วนที่เหลือ คุณต้องมี a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , จากนั้น d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .

ซึ่งหมายความว่าผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารคือตัวเลข - 4 ที่เหลือเท่ากับ 3

ตอบ:(− 17) : 5 = − 4 (เหลือ 3).

ตัวอย่าง 7

หารจำนวนเต็มลบ - 1404 ด้วยค่าบวก 26 .

การตัดสินใจ

จำเป็นต้องหารด้วยคอลัมน์และโมดูลัส

เราได้การแบ่งโมดูลของตัวเลขโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าการหารจะดำเนินการโดยไม่มีเศษเหลือ และผลหารที่ต้องการ = - 54

ตอบ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

กฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ ตัวอย่าง

จำเป็นต้องกำหนดกฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบจำนวนเต็มที่เหลือ

คำจำกัดความ 3

เพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b จำเป็นต้องทำการคำนวณแบบโมดูโล หลังจากนั้นจึงบวก 1 จากนั้นเราสามารถคำนวณโดยใช้สูตร d = a − b · c

จากนี้ไปผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบจะเป็นจำนวนบวก

เรากำหนดกฎนี้ในรูปแบบของอัลกอริทึม:

• ค้นหาโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• หารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหารเพื่อให้ได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ด้วย
• ส่วนที่เหลือ;
• บวก 1 ให้กับผลหารที่ไม่สมบูรณ์
• การคำนวณส่วนที่เหลือตามสูตร d = a − b c .

ลองพิจารณาอัลกอริทึมนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาผลหารและเศษส่วนที่ไม่สมบูรณ์เมื่อหาร - 17 ด้วย - 5

การตัดสินใจ

เพื่อความถูกต้องของการแก้ปัญหา เราใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารด้วยเศษที่เหลือ ขั้นแรกให้แบ่งโมดูลตัวเลข จากที่นี่เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ \u003d 3 และส่วนที่เหลือคือ 2 ตามกฎแล้วจำเป็นต้องเพิ่มผลหารที่ไม่สมบูรณ์และ 1 เราได้ 3+1 = 4 จากตรงนี้เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการหารตัวเลขที่กำหนดคือ 4

ในการคำนวณส่วนที่เหลือ เราจะใช้สูตร ตามเงื่อนไขเรามี a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4 จากนั้นโดยใช้สูตรเราจะได้ d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . คำตอบที่ต้องการ นั่นคือ ส่วนที่เหลือ คือ 3 และผลหารที่ไม่สมบูรณ์คือ 4

ตอบ:(− 17) : (− 5) = 4 (เหลือ 3).

ตรวจผลการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

หลังจากทำการหารตัวเลขด้วยเศษที่เหลือแล้วจำเป็นต้องทำการตรวจสอบ การตรวจสอบนี้มี 2 ขั้นตอน ขั้นแรก ส่วนที่เหลือ d ถูกตรวจสอบหาค่าที่ไม่เป็นลบ เงื่อนไข 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 9

ฝ่ายผลิต - 521 โดย - 12. ผลหารคือ 44 ส่วนที่เหลือคือ 7 เรียกใช้การตรวจสอบ

การตัดสินใจ

เนื่องจากส่วนที่เหลือเป็นจำนวนบวก ค่าของมันจึงน้อยกว่าโมดูลัสของตัวหาร ตัวหารคือ -12 โมดูลัสของมันคือ 12 คุณสามารถไปยังด่านต่อไปได้

โดยเงื่อนไขเราได้ว่า a = - 521 , b = - 12 , c = 44 , d = 7 . จากที่นี่เราคำนวณ b c + d โดยที่ b c + d = − 12 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . ตามมาว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง สอบผ่าน.

ตัวอย่าง 10

เช็คหาร (− 17) : 5 = − 3 (เหลือ − 2) ความเท่าเทียมกันจริงหรือ?

การตัดสินใจ

ความหมายของขั้นแรกคือจำเป็นต้องตรวจสอบการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ นี่แสดงว่าการกระทำถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง เนื่องจากได้รับส่วนที่เหลือ เท่ากับ - 2 ส่วนที่เหลือไม่เป็นจำนวนลบ

เรามีว่าเงื่อนไขที่สองเป็นที่พอใจ แต่ไม่เพียงพอสำหรับกรณีนี้

ตอบ:ไม่.

ตัวอย่าง 11

จำนวน - 19 หารด้วย - 3 . ผลหารบางส่วนคือ 7 และส่วนที่เหลือคือ 1 ตรวจสอบว่าการคำนวณนี้ถูกต้องหรือไม่

การตัดสินใจ

ให้เหลือ 1 เขาเป็นบวก ค่าน้อยกว่าโมดูลตัวแบ่ง ซึ่งหมายความว่าสเตจแรกถูกดำเนินการ มาต่อกันที่ขั้นตอนที่สองกันเลย

มาคำนวณค่าของนิพจน์ b · c + d กัน ตามเงื่อนไขเรามี b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 ดังนั้นการแทนที่ค่าตัวเลขเราจะได้ b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. ตามมาว่า a = b · c + d ความเท่าเทียมกันไม่พอใจเนื่องจากเงื่อนไขได้รับ a = - 19 .

นี่หมายความว่าการแบ่งส่วนนั้นเกิดจากความผิดพลาด

ตอบ:ไม่.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สัญญาณของการหารตัวเลข- เป็นกฎที่อนุญาตให้ค้นหาได้อย่างรวดเร็วว่าตัวเลขนี้หารด้วยตัวเลขที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือได้หรือไม่โดยไม่ต้องหารหาร.
บางส่วนของ สัญญาณของความแตกแยกค่อนข้างง่ายบางอย่างยากขึ้น ในหน้านี้ คุณจะพบสัญญาณของการหารจำนวนเฉพาะทั้งสองอย่าง เช่น 2, 3, 5, 7, 11 และเครื่องหมายของการหารจำนวนเฉพาะ เช่น 6 หรือ 12
ฉันหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ
มีความสุขในการเรียนรู้!

เครื่องหมายของการหารด้วย2

นี่เป็นหนึ่งในสัญญาณของการหารลงตัวที่ง่ายที่สุด ดูเหมือนว่านี้: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยหลักคู่ มันจะเป็นคู่ (หารโดยไม่เหลือเศษ 2) ​​และหากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยหลักคี่ ตัวเลขนี้เป็นคี่
กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 2 , 4 , 6 , 8 หรือ 0 - จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ถ้าหารไม่ได้ก็หารไม่ได้
ตัวอย่างเช่น ตัวเลข: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 หารด้วย 2 ลงตัวเพราะเป็นเลขคู่
ตัวเลข: 23 5 , 137 , 2303
หารด้วย 2 ไม่ลงตัวเพราะเป็นเลขคี่

เครื่องหมายของการหารด้วย3

เครื่องหมายของการหารนี้มีกฎที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง: หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนั้นก็จะหารด้วย 3 ลงตัวเช่นกัน ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณแค่ต้องบวกตัวเลขที่รวมกันเป็นตัวเลขเข้าด้วยกัน
ดูเหมือนว่านี้: 3987 และ 141 หารด้วย 3 เพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 3) และในวินาที 1+4+1= 6 (6:3=2 - หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ)
แต่ตัวเลข: 235 และ 566 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10 และ 5+6+6= 17 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 17 ไม่สามารถหารด้วย 3 โดยไม่มีเศษได้)

หารด้วย 4 เครื่องหมาย

การทดสอบการแยกตัวนี้จะซับซ้อนกว่า หากตัวเลข 2 ตัวสุดท้ายของตัวเลขเป็นตัวเลขที่หารด้วย 4 ลงตัวหรือเป็น 00 ตัวเลขนั้นหารด้วย 4 ลงตัว มิฉะนั้น ตัวเลขนี้จะไม่สามารถหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวอย่างเช่น: 1 00 และ 3 64 หารด้วย 4 ลงตัวเพราะในกรณีแรกเลขลงท้ายด้วย 00 และในวินาที 64 ซึ่งหารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ (64:4=16)
ตัวเลข 3 57 และ 8 86 หารด้วย 4 ไม่ลงตัวเพราะว่า 57 ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง 86 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารนี้

เครื่องหมายหารด้วย 5

และอีกครั้ง เรามีสัญญาณการหารที่ค่อนข้างง่าย: หากบันทึกของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วยตัวเลข 0 หรือ 5 ตัวเลขนี้จะหารโดยไม่มีเศษเหลือ 5 หากบันทึกของตัวเลขลงท้ายด้วยตัวเลขอื่น แล้วจำนวนที่ไม่มีเศษจะหารด้วย 5 ลงตัวไม่ได้
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขใดๆ ที่ลงท้ายด้วยตัวเลข 0 และ 5 ตัวอย่างเช่น 1235 5 และ 43 0 , ตกอยู่ภายใต้กฎและหารด้วย 5. ลงตัว.
และตัวอย่างเช่น 1549 3 และ 56 4 ไม่ลงท้ายด้วย 5 หรือ 0 ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

เครื่องหมายของการหารด้วย 6

ข้างหน้าเราคือจำนวนประกอบ 6 ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข 2 และ 3 ดังนั้นเครื่องหมายของการหารด้วย 6 ก็ประกอบเช่นกัน: เพื่อให้ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวจะต้องสอดคล้องกับเครื่องหมายการหารสองอัน ในเวลาเดียวกัน: เครื่องหมายของการหารด้วย 2 และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 ในเวลาเดียวกันโปรดทราบว่าจำนวนประกอบเช่น 4 มีเครื่องหมายของการหารด้วยตัวมันเองเพราะเป็นผลคูณของจำนวน 2 ด้วยตัวเอง . แต่กลับไปที่การทดสอบการหารด้วย 6
ตัวเลข 138 และ 474 เป็นเลขคู่และสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 3 (1+3+8=12, 12:3=4 และ 4+7+4=15, 15:3=5) ซึ่งหมายความว่า หารด้วย 6 ลงตัว แต่ 123 กับ 447 หารด้วย 3 ลงตัว (1+2+3=6, 6:3=2 และ 4+4+7=15, 15:3=5) ลงตัวแต่ก็คี่ จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 2 จึงไม่ตรงกับเกณฑ์การหารด้วย 6

เครื่องหมายของการหารด้วย7

เกณฑ์การหารนี้ซับซ้อนกว่า: ตัวเลขหารด้วย 7 ลงตัว ถ้าผลลัพธ์ของการลบหลักสุดท้ายออกจากจำนวนหลักสิบของตัวเลขนี้หารด้วย 7 หรือเท่ากับ 0 ลงตัว
ฟังดูค่อนข้างสับสน แต่ในทางปฏิบัติ มันง่าย ดูด้วยตัวคุณเอง: หมายเลข 95 9 หารด้วย 7 ลงตัวเพราะ 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ). นอกจากนี้ หากมีปัญหากับจำนวนที่ได้รับระหว่างการแปลง (เนื่องจากขนาดของมัน เป็นการยากที่จะเข้าใจว่าหารด้วย 7 ลงตัวหรือไม่ ขั้นตอนนี้สามารถดำเนินต่อไปได้หลายครั้งตามที่เห็นสมควร)
ตัวอย่างเช่น, 45 5 และ 4580 1 มีเครื่องหมายการหารด้วย 7 ลงตัว ในกรณีแรกทุกอย่างค่อนข้างง่าย: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. ในกรณีที่สอง เราจะทำสิ่งนี้: 4580 -2*1=4580-2=4578. มันยากสำหรับเราที่จะเข้าใจว่า 457 8 คูณ 7 ลองทำขั้นตอนนี้ซ้ำ: 457 -2*8=457-16=441. และอีกครั้งเราจะใช้เครื่องหมายหารด้วยเพราะเรายังมีเลขสามหลักอยู่ข้างหน้าเรา 44 1. ดังนั้น 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, เช่น 42 หารด้วย 7 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่า 45801 หารด้วย 7 ลงตัว
และนี่คือตัวเลข 11 1 และ 34 5 หารด้วย 7 ไม่ลงตัวเพราะ 11 -2*1=11-2=9 (9 หารด้วย 7) ไม่ลงตัวและ 34 -2*5=34-10=24 (24 ไม่หารด้วย 7) ไม่ลงตัว.

เครื่องหมายของการหารด้วย8

เครื่องหมายของการหารด้วย 8 มีเสียงดังนี้: หากตัวเลข 3 หลักสุดท้ายเป็นตัวเลขที่หารด้วย 8 ลงตัว หรือเป็น 000 ตัวเลขที่ระบุจะหารด้วย 8 ลงตัว
ตัวเลข 1 000 หรือ 1 088 หารด้วย 8 ลงตัว: อันแรกลงท้ายด้วย 000 , ที่สอง 88 :8=11 (หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษเหลือ).
และนี่คือตัวเลข 1 100 หรือ 4 757 หารด้วย 8 ไม่ได้เพราะตัวเลข 100 และ 757 หารด้วย 8 ไม่ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

เครื่องหมายหารด้วย 9

เครื่องหมายของการหารด้วย 3 นี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วย 3: ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 9 ลงตัวเช่นกัน หากผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นจะไม่สามารถหารด้วย 9 ลงตัว
ตัวอย่างเช่น 3987 และ 144 หารด้วย 9 ลงตัวเพราะในกรณีแรก 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - หารโดยไม่มีเศษเหลือ 9) ลงตัว และใน 1+4+4= . ที่สอง 9 (9:9=1 - หารด้วย 9) ลงตัวไม่มีเศษ.
แต่ตัวเลข: 235 และ 141 หารด้วย 9 ไม่ลงตัวเพราะ 2+3+5= 10 และ 1+4+1= 6 (และเรารู้ว่าทั้ง 10 และ 6 ไม่สามารถหารด้วย 9 โดยไม่มีเศษได้)

สัญญาณของการหารด้วย 10, 100, 1000 และหน่วยบิตอื่นๆ

ฉันรวมเกณฑ์การหารเหล่านี้เข้าด้วยกันเพราะสามารถอธิบายได้ในลักษณะเดียวกัน: ตัวเลขสามารถหารด้วยหน่วยบิตได้ หากจำนวนศูนย์ที่ส่วนท้ายของตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับจำนวนศูนย์ในหน่วยบิตที่กำหนด
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เรามีตัวเลขดังนี้: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . ซึ่งทั้งหมดหารด้วย 1 . ลงตัว 0 ; 46400 และ 867 000 ก็หารด้วย 1 . ลงตัวเช่นกัน 00 ; และมีเพียงคนเดียว - 867 000 หารด้วย1 000 .
ตัวเลขใดๆ ที่ลงท้ายด้วยศูนย์น้อยกว่าหน่วยบิตจะไม่สามารถหารด้วยหน่วยบิตนั้นได้ เช่น 600 30 และ 7 93 ห้ามแชร์ 1 00 .

เครื่องหมายหารด้วย 11

ในการค้นหาว่าตัวเลขหารด้วย 11 ลงตัวหรือไม่ คุณจำเป็นต้องหาผลต่างระหว่างผลรวมของเลขคู่และเลขคี่ของตัวเลขนี้ หากผลต่างนี้เท่ากับ 0 หรือหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวเลขนั้นจะหารด้วย 11 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ฉันเสนอให้พิจารณาตัวอย่าง: 2 35 4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
และนี่คือ 1 1 1 หรือ 4 35 4 หารด้วย 11 ไม่ลงตัวเนื่องจากในกรณีแรกเราได้ (1 + 1) - 1 =1 และในวินาที ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

เครื่องหมายหารด้วย 12

ตัวเลข 12 เป็นส่วนประกอบ เครื่องหมายของการหารลงตัวคือความสอดคล้องของสัญญาณการหารด้วย 3 และ 4 พร้อมกัน
ตัวอย่างเช่น 300 และ 636 สอดคล้องกับทั้งเครื่องหมายของการหารด้วย 4 (ตัวเลข 2 หลักสุดท้ายเป็นศูนย์หรือหารด้วย 4) และเครื่องหมายของการหารด้วย 3 (ผลรวมของตัวเลขและตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองหารด้วย 3 ลงตัว) ) ดังนั้น พวกมันจึงหารด้วย 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ.
แต่ 200 หรือ 630 หารด้วย 12 ไม่ลงตัวเพราะในกรณีแรก จำนวนจะสอดคล้องกับเครื่องหมายของการหารด้วย 4 เท่านั้น และในวินาที - เฉพาะเครื่องหมายของการหารด้วย 3 เท่านั้น แต่ไม่ใช่สัญญาณทั้งสองพร้อมกัน

เครื่องหมายหารด้วย 13

เครื่องหมายของการหารด้วย 13 คือถ้าจำนวนหลักสิบบวกหน่วยของจำนวนนี้คูณด้วย 4 เป็นผลคูณของ 13 หรือเท่ากับ 0 ตัวเลขนั้นก็จะหารด้วย 13 ลงตัว
ยกตัวอย่าง 70 2. โซ 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 หารด้วย 13 ลงตัว) ดังนั้น 70 2 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ. อีกตัวอย่างหนึ่งคือตัวเลข 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. จำนวน 130 หารด้วย 13 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ซึ่งหมายความว่าจำนวนที่กำหนดสอดคล้องกับเครื่องหมายหารด้วย 13
ถ้าเราเอาตัวเลข 12 5 หรือ 21 2 แล้วเราจะได้ 12 +4*5=32 และ 21 +4*2=29 ตามลำดับ และทั้ง 32 และ 29 ไม่สามารถหารด้วย 13 ได้โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่ระบุนั้นหารด้วย 13 หารด้วย 13 ไม่ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

การหารตัวเลข

ดังที่เห็นได้จากด้านบน สันนิษฐานได้ว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ สามารถจับคู่กับเครื่องหมายการหารลงตัวของตัวมันเอง หรือเครื่องหมาย "ประกอบ" หากจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนหลายจำนวนจากจำนวนที่แตกต่างกันหลายจำนวน แต่ตามแบบฝึกหัดแล้ว ยิ่งตัวเลขมากเท่าไร แอตทริบิวต์ก็จะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นเท่านั้น บางทีเวลาที่ใช้ตรวจสอบเกณฑ์การหารอาจเท่ากับหรือมากกว่าตัวหารเอง นั่นคือเหตุผลที่เรามักจะใช้การทดสอบการหารที่ง่ายที่สุด

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ การหารจำนวนเต็มด้วยเศษ. เริ่มต้นด้วยหลักการทั่วไปของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือ กำหนดและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ และติดตามการเชื่อมโยงระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษที่เหลือ ต่อไป เราจะประกาศกฎที่ใช้ทำการหารจำนวนเต็มกับเศษ และพิจารณาการนำกฎเหล่านี้ไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่าง หลังจากนั้น เราจะได้เรียนรู้วิธีการตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

การนำทางหน้า

แนวคิดทั่วไปของการหารจำนวนเต็มกับเศษ

การหารจำนวนเต็มที่มีเศษเหลือจะถือเป็นลักษณะทั่วไปของการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติเป็นส่วนประกอบของจำนวนเต็ม

เริ่มต้นด้วยข้อกำหนดและสัญกรณ์ที่ใช้ในคำอธิบาย

โดยการเปรียบเทียบกับการหารจำนวนธรรมชาติกับเศษ เราคิดว่าผลลัพธ์ของการหารด้วยเศษของจำนวนเต็มสองตัว a และ b (b ไม่เท่ากับศูนย์) เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน c และ d ตัวเลข a และ b เรียกว่า แบ่งได้และ ตัวแบ่งตามลำดับ หมายเลข d คือ ส่วนที่เหลือจากการหาร a ด้วย b และเรียกจำนวนเต็ม c ว่า ส่วนตัวไม่สมบูรณ์(หรือง่ายๆ ส่วนตัวถ้าส่วนที่เหลือเป็นศูนย์)

มาตกลงกันว่าเศษที่เหลือเป็นจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ และค่าของมันไม่เกิน b นั่นคือ (เราพบกลุ่มความไม่เท่าเทียมกันที่คล้ายกันเมื่อเราพูดถึงการเปรียบเทียบจำนวนเต็มสามจำนวนขึ้นไป)

หากตัวเลข c เป็นผลหารบางส่วน และจำนวน d คือเศษของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เราจะเขียนข้อเท็จจริงนี้สั้นๆ ว่าความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a:b=c (ส่วนที่เหลือ d)

โปรดทราบว่าเมื่อจำนวนเต็ม a หารด้วยจำนวนเต็ม b เศษที่เหลือจะเป็นศูนย์ได้ ในกรณีนี้ เราบอกว่า a หารด้วย b . ลงตัว ไร้ร่องรอย(หรือ อย่างสมบูรณ์). ดังนั้น การหารจำนวนเต็มโดยไม่มีเศษเหลือจึงเป็นกรณีพิเศษของการหารจำนวนเต็มกับเศษที่เหลือ

นอกจากนี้ยังควรบอกด้วยว่าเมื่อหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม เรามักจะจัดการกับการหารโดยไม่มีเศษ เนื่องจากในกรณีนี้ ผลหารจะเท่ากับศูนย์ (ดูหัวข้อในทฤษฎีการหารศูนย์ด้วยจำนวนเต็ม) และส่วนที่เหลือจะเท่ากับศูนย์ด้วย

เราได้ตัดสินใจเกี่ยวกับคำศัพท์และสัญกรณ์แล้ว ทีนี้ลองหาความหมายของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษที่เหลือกัน

การหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b ก็สมเหตุสมผลเช่นกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาจำนวนเต็มลบเป็นหนี้ ลองนึกภาพสถานการณ์ดังกล่าว หนี้ที่ประกอบขึ้นเป็นรายการต้องชำระคืนโดยประชาชน ข. มีส่วนสนับสนุนเช่นเดียวกัน ค่าสัมบูรณ์ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c ในกรณีนี้จะเป็นตัวกำหนดจำนวนหนี้ของคนเหล่านี้แต่ละคน และส่วนที่เหลือ d จะแสดงว่าจำนวนรายการจะคงเหลือหลังจากชำระหนี้แล้ว ลองมาดูตัวอย่างกัน สมมุติว่าคน 2 คนเป็นหนี้แอปเปิ้ล 7 ผล หากเราคิดว่าแต่ละอันเป็นหนี้แอปเปิล 4 ลูก หลังจากชำระหนี้ก็จะเหลือแอปเปิล 1 ลูก สถานการณ์นี้สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน (−7):2=−4 (เหลือ 1)

เราจะไม่ใส่ความหมายใด ๆ ในการหารด้วยจำนวนเต็ม a ที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ แต่เราจะปล่อยให้มันมีสิทธิที่จะมีอยู่

ทฤษฎีบทการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ

เมื่อเราพูดถึงการหารจำนวนธรรมชาติด้วยเศษ เราพบว่าเงินปันผล a, ตัวหาร b, ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c และเศษ d นั้นสัมพันธ์กันด้วยความเท่าเทียมกัน a=b c+d จำนวนเต็ม a , b , c และ d มีความสัมพันธ์แบบเดียวกัน การเชื่อมต่อนี้ได้รับการยืนยันโดยสิ่งต่อไปนี้ ทฤษฎีบทการหารด้วยเศษเหลือ.

ทฤษฎีบท.

จำนวนเต็ม a สามารถแสดงด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกันผ่านจำนวนเต็มและจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ b ในรูปแบบ a=b q+r โดยที่ q และ r เป็นจำนวนเต็มบางส่วน และ

การพิสูจน์.

ให้เราพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการแสดง a=b·q+r ก่อน

หากจำนวนเต็ม a และ b เป็นจำนวนที่ a หารด้วย b ลงตัว ดังนั้นตามคำจำกัดความจะมีจำนวนเต็ม q ที่ a=b q อยู่ ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b q+r ถือไว้สำหรับ r=0

ตอนนี้เราจะถือว่า b เป็นจำนวนเต็มบวก เราเลือกจำนวนเต็ม q ในลักษณะที่ผลิตภัณฑ์ b·q ไม่เกินจำนวน a และผลิตภัณฑ์ b·(q+1) มีค่ามากกว่า a อยู่แล้ว นั่นคือเราหา q โดยที่ไม่เท่ากัน b q

ยังคงต้องพิสูจน์ว่า a=b q+r สามารถแทนค่าลบ b ได้

เนื่องจากโมดูลัสของจำนวน b ในกรณีนี้เป็นจำนวนบวก จึงมีการแทนค่าสำหรับ โดยที่ q 1 เป็นจำนวนเต็มบางส่วน และ r เป็นจำนวนเต็มที่ตรงตามเงื่อนไข จากนั้น สมมติว่า q=−q 1 เราได้รับการแสดงที่ต้องการ a=b q+r สำหรับลบ b

เราหันไปหาการพิสูจน์เอกลักษณ์

สมมติว่านอกเหนือจากการแทนค่า a=b q+r แล้ว q และ r เป็นจำนวนเต็ม และ มีการแทนค่าอื่น a=b q 1 +r 1 โดยที่ q 1 และ r 1 เป็นจำนวนเต็ม และ q 1 ≠ q และ

หลังจากลบออกจากส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันแรก ตามลำดับ ส่วนซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกันที่สอง เราจะได้ 0=b (q−q 1)+r−r 1 ซึ่งเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน r− r 1 =b (q 1 - q) . จากนั้นความเท่าเทียมกันของรูปแบบ และเนื่องจากคุณสมบัติของโมดูลัสของจำนวน - และความเท่าเทียมกัน .

จากเงื่อนไขและเราสามารถสรุปได้ว่า เนื่องจาก q และ q 1 เป็นจำนวนเต็มและ q≠q 1 ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า . จากความไม่เท่าเทียมกันที่ได้รับและ มันเป็นไปตามความเท่าเทียมกันของรูปแบบ เป็นไปไม่ได้ภายใต้สมมติฐานของเรา ดังนั้นจึงไม่มีการแสดงตัวเลขอื่นใด ยกเว้น a=b·q+r

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และส่วนที่เหลือ

ความเท่าเทียมกัน a=b c+d ช่วยให้คุณหาเงินปันผลที่ไม่รู้จัก a ถ้าตัวหาร b, ผลหารบางส่วน c และส่วนที่เหลือ d เป็นที่รู้จัก ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง.

ตัวอย่าง.

เงินปันผลจะเท่ากับเท่าใดหากการหารด้วยจำนวนเต็ม -21 ส่งผลให้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์เป็น 5 และเศษเหลือ 12

การตัดสินใจ.

เราจำเป็นต้องคำนวณเงินปันผล a เมื่อเรารู้ตัวหาร b=−21 , ส่วนหารบางส่วน c=5 และส่วนที่เหลือ d=12 เปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกัน a=b c+d เราได้รับ a=(-21) 5+12 การสังเกต อันดับแรก เราทำการคูณจำนวนเต็ม -21 และ 5 ตามกฎการคูณของจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน หลังจากนั้นเราจะทำการบวกจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน : (-21) 5+12=−105+12 =−93 .

ตอบ:

−93 .

ความสัมพันธ์ระหว่างเงินปันผล ตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษที่เหลือยังแสดงด้วยความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b=(a−d):c , c=(a−d):b และ d=a−b·c ความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทำให้เราสามารถคำนวณตัวหาร ผลหารบางส่วน และเศษเหลือ ตามลำดับ เรามักจะต้องหาส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็ม a ด้วยจำนวนเต็ม b เมื่อทราบการจ่ายเงินปันผล ตัวหาร และผลหารบางส่วน โดยใช้สูตร d=a−b·c เพื่อหลีกเลี่ยงคำถามเพิ่มเติม เราจะวิเคราะห์ตัวอย่างการคำนวณส่วนที่เหลือ

ตัวอย่าง.

หาเศษของการหารจำนวนเต็ม -19 ด้วยจำนวนเต็ม 3 ถ้าทราบผลหารบางส่วนเป็น −7

การตัดสินใจ.

ในการคำนวณเศษของการหาร เราใช้สูตรในรูปแบบ d=a−b·c จากเงื่อนไขที่เรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมด a=−19 , b=3 , c=−7 . เราได้รับ d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(-21)=−19+21=2 (ผลต่าง −19−(-21) เราคำนวณโดยกฎการลบค่าลบ จำนวนเต็ม ).

ตอบ:

หารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ ตัวอย่าง

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วมากกว่าหนึ่งครั้ง จำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้น การหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือจะดำเนินการตามกฎทั้งหมดสำหรับการหารด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ มันสำคัญมากที่จะต้องทำการหารอย่างง่ายดายด้วยจำนวนธรรมชาติที่เหลือ เนื่องจากเป็นรากฐานของการหารไม่เพียงแต่จำนวนเต็มบวกเท่านั้น แต่ยังเป็นพื้นฐานของกฎการหารทั้งหมดด้วยจำนวนเต็มที่เหลือตามอำเภอใจด้วย

จากมุมมองของเรา วิธีนี้จะสะดวกที่สุดในการหารด้วยคอลัมน์ วิธีนี้ช่วยให้คุณได้ทั้งผลหารที่ไม่สมบูรณ์ (หรือแค่ผลหาร) และเศษที่เหลือ ลองพิจารณาตัวอย่างการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ

ตัวอย่าง.

ดำเนินการหารด้วยส่วนที่เหลือ 14671 โดย 54 .

การตัดสินใจ.

มาทำการหารจำนวนเต็มบวกเหล่านี้ด้วยคอลัมน์กัน:

ผลหารที่ไม่สมบูรณ์กลายเป็น 271 และส่วนที่เหลือคือ 37

ตอบ:

14 671:54=271 (พัก 37) .

กฎการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบตัวอย่าง

มากำหนดกฎที่ให้คุณทำการหารด้วยเศษที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ

ผลหารบางส่วนของการหารจำนวนเต็มบวก a ด้วยจำนวนเต็มลบ b เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลหารบางส่วนของการหาร a ด้วยโมดูลัสของ b และเศษที่เหลือของการหาร a ด้วย b คือเศษที่เหลือของการหารด้วย

จากกฎนี้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นบวก

มาสร้างกฎที่เปล่งเสียงขึ้นใหม่เป็นอัลกอริทึมสำหรับการหารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือด้วยจำนวนเต็มลบ:

• เราหารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร เราได้ตัวหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษที่เหลือ (หากในกรณีนี้เศษกลายเป็นศูนย์ ตัวเลขเดิมจะถูกหารโดยไม่เหลือเศษ และตามกฎการหารจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายตรงข้าม ผลหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนที่ตรงข้ามกับผลหารจาก การแบ่งโมดูล)
• เราเขียนตัวเลขตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ได้รับและส่วนที่เหลือ ตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับคือผลหารที่ต้องการและส่วนที่เหลือของการหารจำนวนเต็มบวกดั้งเดิมด้วยจำนวนเต็มลบ

ให้เรายกตัวอย่างการใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

ตัวอย่าง.

หารด้วยจำนวนเต็มบวกที่เหลือ 17 ด้วยจำนวนเต็มลบ −5

การตัดสินใจ.

ลองใช้อัลกอริทึมการหารกับส่วนที่เหลือของจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ

หาร

จำนวนตรงข้ามของ 3 คือ −3 ดังนั้น ผลหารบางส่วนที่ต้องการในการหาร 17 ด้วย −5 คือ −3 และเศษที่เหลือคือ 2

ตอบ:

17 :(-5)=−3 (ส่วนที่เหลือ 2).

ตัวอย่าง.

หาร 45 คูณ -15 .

การตัดสินใจ.

โมดูลของเงินปันผลและตัวหารคือ 45 และ 15 ตามลำดับ ตัวเลข 45 หารด้วย 15 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ส่วนผลหารคือ 3 ดังนั้นจำนวนเต็มบวก 45 จึงหารด้วยจำนวนเต็มลบ −15 โดยไม่มีเศษเหลือ ในขณะที่ผลหารเท่ากับจำนวนที่ตรงข้ามกับ 3 นั่นคือ −3 ตามจริงแล้ว ตามกฎการหารจำนวนเต็มที่มีเครื่องหมายต่างกัน เรามี .

ตอบ:

45:(−15)=−3 .

หารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือด้วยจำนวนเต็มบวก ตัวอย่าง

ให้เรากำหนดกฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือด้วยจำนวนเต็มบวก

ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b คุณต้องนำตัวเลขตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการแบ่งโมดูลของตัวเลขเดิมและลบหนึ่งจากนั้นจึงคำนวณส่วนที่เหลือ d โดยใช้สูตร d=a−b c

จากกฎการหารนี้ด้วยเศษเหลือ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวกเป็นจำนวนเต็มลบ

จากกฎที่เปล่งออกมาจะเป็นไปตามอัลกอริธึมการหารที่เหลือของจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มบวก b:

• เราพบโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• เราหารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร เราได้ตัวหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษที่เหลือ (หากเศษเหลือเป็นศูนย์ จำนวนเต็มเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนที่ตรงข้ามกับผลหารจากการหารโมดูล)
• เราเขียนตัวเลขตรงข้ามกับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ได้รับและลบหมายเลข 1 ออกจากมัน ตัวเลขที่คำนวณได้คือผลหารบางส่วนที่ต้องการ c จากการหารจำนวนเต็มลบดั้งเดิมด้วยจำนวนเต็มบวก

มาวิเคราะห์คำตอบของตัวอย่างกัน ซึ่งเราใช้อัลกอริธึมการหารแบบเขียนกับเศษที่เหลือ

ตัวอย่าง.

หาผลหารบางส่วนและเศษของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มบวก 5

การตัดสินใจ.

โมดูลัสของเงินปันผล -17 คือ 17 และโมดูลัสของตัวหาร 5 คือ 5

หาร 17 คูณ 5 เราจะได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของ 3 และส่วนที่เหลือของ 2

ตรงข้ามของ 3 คือ −3 ลบหนึ่งจาก −3: −3−1=−4 . ดังนั้น ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการคือ -4

มันยังคงคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างของเรา a=−17 , b=5 , c=−4 จากนั้น d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3

ดังนั้น ผลหารบางส่วนของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มบวก 5 คือ -4 และเศษที่เหลือคือ 3

ตอบ:

(-17):5=−4 (พัก 3) .

ตัวอย่าง.

หารจำนวนเต็มลบ -1 404 ด้วยจำนวนเต็มบวก 26

การตัดสินใจ.

โมดูลัสการจ่ายเงินปันผลคือ 1404 โมดูลัสตัวหารคือ 26

หาร 1404 ด้วย 26 ในคอลัมน์:

เนื่องจากโมดูลัสของเงินปันผลถูกหารด้วยโมดูลัสของตัวหารโดยไม่มีเศษเหลือ จำนวนเต็มดั้งเดิมจึงถูกหารโดยไม่มีเศษ และความฉลาดทางหารที่ต้องการจะเท่ากับจำนวนตรงข้าม 54 นั่นคือ −54

ตอบ:

(−1 404):26=−54 .

กฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ ตัวอย่าง

ให้เรากำหนดกฎการหารด้วยจำนวนเต็มลบที่เหลือ

ในการรับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ c จากการหารจำนวนเต็มลบ a ด้วยจำนวนเต็มลบ b คุณต้องคำนวณผลหารที่ไม่สมบูรณ์จากการแบ่งโมดูลของตัวเลขเดิมแล้วบวกหนึ่งเข้าไป หลังจากนั้น ให้คำนวณส่วนที่เหลือโดยใช้สูตร d =a−b c .

จากกฎนี้ ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ของการหารจำนวนเต็มลบเป็นจำนวนเต็มบวก

มาเขียนกฎที่เปล่งออกมาใหม่ในรูปแบบของอัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มลบ:

• เราพบโมดูลของเงินปันผลและตัวหาร
• เราหารโมดูลัสของเงินปันผลด้วยโมดูลัสของตัวหาร เราได้ตัวหารที่ไม่สมบูรณ์และเศษที่เหลือ (หากเศษเหลือเป็นศูนย์ จำนวนเต็มเดิมจะถูกหารโดยไม่มีเศษ และผลหารที่ต้องการจะเท่ากับผลหารของการหารโมดูลัสของโมดูลัสของตัวหารหารได้ลงตัว)
• เราบวกหนึ่งเข้ากับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งเป็นผลลัพธ์ จำนวนนี้เป็นผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการจากการหารจำนวนเต็มลบดั้งเดิม
• คำนวณส่วนที่เหลือโดยใช้สูตร d=a−b·c

พิจารณาการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมสำหรับการหารจำนวนเต็มลบเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หาผลหารบางส่วนและเศษของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มลบ −5

การตัดสินใจ.

เราใช้อัลกอริทึมการหารที่เหมาะสมกับส่วนที่เหลือ

โมดูลัสการจ่ายเงินปันผลคือ 17 โมดูลัสตัวหารคือ 5

แผนก 17 คูณ 5 ให้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 3 และเศษ 2

เราบวกหนึ่งเข้ากับผลหารที่ไม่สมบูรณ์ 3: 3+1=4 ดังนั้น ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ต้องการของการหาร −17 ด้วย −5 ที่ต้องการคือ 4

มันยังคงคำนวณส่วนที่เหลือ ในตัวอย่างนี้ a=−17 , b=−5 , c=4 จากนั้น d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3

ดังนั้น ผลหารบางส่วนของจำนวนเต็มลบ -17 หารด้วยจำนวนเต็มลบ −5 คือ 4 และเศษที่เหลือคือ 3

ตอบ:

(-17):(−5)=4 (ส่วนที่เหลือ 3) .

ตรวจผลการหารจำนวนเต็มด้วยเศษ

หลังจากทำการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือแล้ว จะเป็นประโยชน์ในการตรวจสอบผลลัพธ์ การตรวจสอบจะดำเนินการในสองขั้นตอน ในระยะแรกจะตรวจสอบว่าเศษ d ที่เหลือเป็นตัวเลขที่ไม่ติดลบหรือไม่ และตรวจเงื่อนไขด้วย หากตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของการตรวจสอบขั้นแรก คุณสามารถดำเนินการตรวจสอบขั้นตอนที่สองได้ มิฉะนั้น อาจมีการโต้แย้งว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่งเมื่อหารด้วยส่วนที่เหลือ ในขั้นตอนที่สอง ตรวจสอบความถูกต้องของความเท่าเทียมกัน a=b·c+d หากความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริง การหารด้วยเศษก็ถูกดำเนินการอย่างถูกต้อง มิฉะนั้น จะเกิดข้อผิดพลาดขึ้นที่ไหนสักแห่ง

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างที่มีการตรวจสอบผลลัพธ์ของการหารจำนวนเต็มด้วยเศษเหลือ

ตัวอย่าง.

เมื่อหารจำนวน -521 ด้วย -12 ผลหารบางส่วนคือ 44 และส่วนที่เหลือคือ 7 ให้ตรวจสอบผลลัพธ์

การตัดสินใจ. −2 สำหรับ b=−3 , c=7 , d=1 . เรามี ข c+d=−3 7+1=−21+1=−20. ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน a=b c+d ไม่ถูกต้อง (ในตัวอย่างของเรา a=−19 )

ดังนั้นการหารด้วยเศษจึงถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง