ทฤษฎีลอการิทึมพร้อมตัวอย่าง ความหมายของลอการิทึม เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

21.03.2022

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

มาอธิบายให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) เท่ากับยกกำลัง \(2\) เพื่อให้ได้ \(8\) จากนี้จะชัดเจนว่า \(\log_(2)(8)=3\)

ตัวอย่าง:	\(\log_(5)(25)=2\)	เพราะ \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	เพราะ \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	เพราะ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมใด ๆ มี "กายวิภาค" ต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะถูกเขียนด้วยตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายของลอการิทึม และรายการนี้ถูกอ่านดังนี้: "ลอการิทึมของ 25 กับฐานของห้า"

วิธีการคำนวณลอการิทึม?

ในการคำนวณลอการิทึม คุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานขึ้นไปถึงระดับใดจึงจะได้อาร์กิวเมนต์

ตัวอย่างเช่นคำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ก) ต้องยกกำลัง \(4\) เท่าไหร่จึงจะได้ \(16\) เห็นได้ชัดว่าที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ต้องยกกำลัง \(\sqrt(5)\) เพื่อให้ได้ \(1\) อย่างไร และระดับใดที่ทำให้จำนวนใด ๆ เป็นหน่วย? ศูนย์แน่นอน!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) ต้องยกกำลัง \(\sqrt(7)\) เพื่อให้ได้ \(\sqrt(7)\) เท่าไหร่ ในครั้งแรก - ตัวเลขใด ๆ ในระดับแรกเท่ากับตัวมันเอง

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

จ) ต้องยกกำลัง \(3\) เท่าไหร่จึงจะได้ \(\sqrt(3)\) จากที่เรารู้ว่ามันเป็นเศษส่วน ดังนั้นรากที่สองจึงเป็นกำลังของ \(\frac(1)(2)\)

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

สารละลาย :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		เราต้องหาค่าของลอการิทึม แทนค่าเป็น x ตอนนี้ ลองใช้นิยามของลอการิทึม: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		ลิงก์อะไร \(4\sqrt(2)\) และ \(8\) สอง เนื่องจากตัวเลขทั้งสองสามารถแทนด้วยสองได้: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ทางด้านซ้าย เราใช้คุณสมบัติดีกรี: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) และ \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		ฐานเท่ากันเราดำเนินการเพื่อความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \(\frac(2)(5)\)
		รูทที่ได้คือค่าของลอการิทึม

ตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

ทำไมลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ ให้แก้สมการ: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงาน แน่นอน \(x=2\)

ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\) x เท่ากับอะไร? นั่นคือประเด็น

คนที่แยบยลที่สุดจะพูดว่า: "X น้อยกว่าสองนิดหน่อย" ตัวเลขนี้เขียนว่าอย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ พวกเขาคิดลอการิทึมขึ้นมา ขอบคุณเขา คำตอบที่นี่สามารถเขียนเป็น \(x=\log_(3)(8)\)

ฉันต้องการเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) เช่นเดียวกับ ลอการิทึมใดๆ ก็แค่ตัวเลข. ใช่ มันดูผิดปกติ แต่มันสั้น เพราะถ้าเราต้องการเขียนเป็นทศนิยม มันจะได้หน้าตาดังนี้: \(1.892789260714.....\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)

สารละลาย :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) และ \(10\) ไม่สามารถลดเป็นฐานเดียวกันได้ ดังนั้นที่นี่คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีลอการิทึม ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		พลิกสมการให้ x อยู่ทางซ้าย
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ก่อนเรา. ย้าย \(4\) ไปทางขวา และอย่ากลัวลอการิทึม ให้มันเป็นตัวเลขปกติ
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		หารสมการด้วย5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		นี่คือรากของเรา ใช่ มันดูผิดปกติ แต่ไม่ได้เลือกคำตอบ

ตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ลอการิทึมทศนิยมและธรรมชาติ

ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของลอการิทึม ฐานของมันสามารถเป็นจำนวนบวกใดๆ ยกเว้นหนึ่ง \((a>0, a\neq1)\) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีสองฐานที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งจนมีการประดิษฐ์สัญกรณ์สั้นพิเศษสำหรับลอการิทึมด้วย:

ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)

เช่น, \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)

ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากับ 10 \(\lg(a)\)

เช่น, \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) เป็นตัวเลข

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมมีคุณสมบัติมากมาย หนึ่งในนั้นเรียกว่า "เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน" และมีลักษณะดังนี้:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

คุณสมบัตินี้ต่อจากนิยามโดยตรง มาดูกันว่าสูตรนี้มีที่มาอย่างไร

จำคำจำกัดความสั้น ๆ ของลอการิทึม:

ถ้า \(a^(b)=c\), แล้ว \(\log_(a)(c)=b\)

นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) มันกลับกลายเป็น \(a^(\log_(a)(c))=c\) - เอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก

คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติที่เหลือของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึม ซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)

สารละลาย :

ตอบ : \(25\)

จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ตัวเลขใดๆ สามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นคุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) แทนสอง

แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) ดังนั้นคุณสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้ด้วย ในทำนองเดียวกันกับ \(\log_(5)(25)\) และกับ \(\log_(9)(81)\) เป็นต้น นั่นก็คือ

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ดังนั้น หากเราต้องการ เราสามารถเขียนทั้งสองเป็นลอการิทึมด้วยฐานใดก็ได้ (แม้แต่ในสมการ แม้แต่ในนิพจน์ แม้แต่ในความไม่เท่าเทียมกัน) เราแค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์

มันเหมือนกันกับสามเท่า - สามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \) ... ที่นี่เราเขียนฐานในลูกบาศก์เป็นอาร์กิวเมนต์:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

และด้วยสี่:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

และด้วยลบหนึ่ง:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

และหนึ่งในสาม:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ตัวเลขใด ๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

สารละลาย :

ตอบ : \(1\)

คุณสมบัติพื้นฐาน.

logax + logay = บันทึก (x y);
logax − logay = บันทึก (x: y)

เหตุเดียวกัน

บันทึก6 4 + บันทึก6 9

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ตัวอย่างของการแก้ลอการิทึม

เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึมล็อกแซ์ จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
แต่). x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

ตัวอย่างที่ 3 ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎเรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องรู้กฎเหล่านี้ - ปัญหาลอการิทึมที่ร้ายแรงไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลยดีกว่า

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: logax และ logay จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

logax + logay = บันทึก (x y);
logax − logay = บันทึก (x: y)

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: ประเด็นสำคัญที่นี่คือ - เหตุเดียวกัน. หากฐานต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ลองดูตัวอย่างและดู:

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึม "ไม่ดี" ซึ่งไม่พิจารณาแยกกัน แต่หลังจากการแปลง ตัวเลขค่อนข้างปกติปรากฎ การทดสอบจำนวนมากขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงนี้ ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายคลึงกันในทุกเรื่องที่จริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ก็ควรจำไว้ดีกว่า - ในบางกรณีจะลดปริมาณการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมดไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ในทางกลับกัน เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนเครื่องหมายของลอการิทึมลงในตัวลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 24; 49 = 72 เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น

สูตรลอการิทึม ลอการิทึมเป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหา

พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: log2 7. เนื่องจาก log2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่าพวกมันใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น เกิดอะไรขึ้นถ้าฐานแตกต่างกัน? เกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ได้รับการช่วยเหลือ เราสร้างพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

จากสูตรที่สองสามารถแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมด "ถูกพลิกกลับ" กล่าวคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานบางอย่างที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลย ยกเว้นการย้ายฐานรากใหม่ ลองพิจารณาสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนจากการเรียงสับเปลี่ยนของตัวประกอบ เราจึงคูณสี่กับสองอย่างใจเย็น แล้วหาลอการิทึมออกมา

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกเป็นกำลังที่แน่นอน มาเขียนมันและกำจัดตัวชี้วัด:

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรก จำนวน n จะกลายเป็นเลขชี้กำลังในอาร์กิวเมนต์ จำนวน n สามารถเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นเพียงค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

อันที่จริง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวน b ถูกยกขึ้นในระดับที่หมายเลข b ในระดับนี้ให้จำนวน a? ใช่แล้ว: นี่คือตัวเลข a เดียวกัน อ่านย่อหน้านี้อย่างระมัดระวังอีกครั้ง - หลายคน "แขวน" ไว้

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานเป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่า log25 64 = log5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองประการที่เรียกคุณสมบัติได้ยาก - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขามักพบปัญหาและสร้างความประหลาดใจให้กับนักเรียนที่ "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากฐานนี้เองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึมของจำนวน b ถึงฐาน a หมายถึงนิพจน์ การคำนวณลอการิทึมหมายถึงการหากำลัง x () ซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

ต้องทราบคุณสมบัติข้างต้นเนื่องจากปัญหาและตัวอย่างเกือบทั้งหมดได้รับการแก้ไขตามลอการิทึม คุณสมบัติแปลกใหม่ที่เหลือสามารถหาได้จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยสูตรเหล่านี้

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

เมื่อคำนวณสูตรสำหรับผลรวมและส่วนต่างของลอการิทึม (3.4) มักพบบ่อย ส่วนที่เหลือค่อนข้างซับซ้อน แต่ในงานจำนวนหนึ่ง สิ่งเหล่านี้จำเป็นสำหรับการลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่ซับซ้อนและการคำนวณค่าของงาน

กรณีทั่วไปของลอการิทึม

ลอการิทึมทั่วไปบางตัวเป็นลอการิทึมที่ฐานเป็นสิบ เลขชี้กำลังหรือดิวซ์
ลอการิทึมฐานสิบมักจะเรียกว่าลอการิทึมฐานสิบและเขียนแทนด้วย lg(x)

จะเห็นได้จากบันทึกว่าพื้นฐานไม่ได้เขียนไว้ในบันทึก ตัวอย่างเช่น

ลอการิทึมธรรมชาติคือลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขชี้กำลัง (แสดงเป็น ln(x))

เลขชี้กำลังคือ 2.718281828…. ในการจำเลขชี้กำลัง คุณสามารถศึกษากฎ: เลขชี้กำลังคือ 2.7 และเป็นสองเท่าของปีเกิดของลีโอ ตอลสตอย เมื่อรู้กฎนี้ คุณจะรู้ทั้งค่าที่แน่นอนของเลขชี้กำลังและวันเกิดของลีโอ ตอลสตอย

และลอการิทึมฐานสองที่สำคัญอีกอันหนึ่งคือ

อนุพันธ์ของลอการิทึมของฟังก์ชันเท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร

ลอการิทึมอินทิกรัลหรือแอนติเดริเวทีฟถูกกำหนดโดยการพึ่งพา

เนื้อหาข้างต้นเพียงพอสำหรับคุณในการแก้ปัญหาหลายประเภทที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมและลอการิทึม เพื่อให้ซึมซับเนื้อหา ฉันจะยกตัวอย่างเพียงไม่กี่ตัวอย่างจากหลักสูตรของโรงเรียนและมหาวิทยาลัยเท่านั้น

ตัวอย่างลอการิทึม

หาลอการิทึมของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 1
แต่). x=10ac^2 (a>0, c>0).

โดยคุณสมบัติ 3,5 เราคำนวณ

2.
โดยคุณสมบัติผลต่างของลอการิทึม เรามี

3.
การใช้คุณสมบัติ 3.5 เราพบว่า

นิพจน์ที่ดูเหมือนซับซ้อนโดยใช้ชุดของกฎจะลดความซับซ้อนลงในรูปแบบ

การหาค่าลอการิทึม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา x if

สารละลาย. สำหรับการคำนวณ เราใช้คุณสมบัติ 5 และ 13 จนถึงเทอมสุดท้าย

ทดแทนในบันทึกและไว้ทุกข์

เนื่องจากฐานเท่ากัน เราจึงจัดนิพจน์

ลอการิทึม ระดับแรก.

ให้ค่าของลอการิทึมถูกกำหนด

คำนวณ log(x) if

วิธีแก้ไข: นำลอการิทึมของตัวแปรมาเขียนลอการิทึมผ่านผลรวมของเทอม

นี่เป็นเพียงจุดเริ่มต้นของความคุ้นเคยกับลอการิทึมและคุณสมบัติของลอการิทึม ฝึกฝนการคำนวณ เพิ่มพูนทักษะการปฏิบัติของคุณ - คุณจะต้องใช้ความรู้ที่ได้รับเพื่อแก้สมการลอการิทึมในไม่ช้า เมื่อศึกษาวิธีการพื้นฐานในการแก้สมการดังกล่าวแล้ว เราจะขยายความรู้ของคุณในหัวข้อที่สำคัญไม่แพ้กันอีกหัวข้อหนึ่ง - ความไม่เท่าเทียมกันลอการิทึม ...

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบของลอการิทึม

logax + logay = บันทึก (x y);
logax − logay = บันทึก (x: y)

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log6 4 + log6 9

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log2 48 − log2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log3 135 − log3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้ขอทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีดีกรีอยู่ในฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นเลขชี้กำลังของดีกรีนี้สามารถนำออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมตามกฎต่อไปนี้:

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log7 496

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ในรูปองศาและนำตัวชี้วัดออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log5 16 log2 25

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

logaa = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากฐานนี้เองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
ล็อก 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก a0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

ลอการิทึมของ b (b > 0) ถึงฐาน a (a > 0, a ≠ 1)เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องการเพิ่มจำนวน a เพื่อให้ได้ b

ลอการิทึมฐาน 10 ของ b เขียนได้เป็น บันทึก (b)และลอการิทึมถึงฐาน e (ลอการิทึมธรรมชาติ) - ln(ข).

มักใช้ในการแก้ปัญหาลอการิทึม:

คุณสมบัติของลอการิทึม

มีสี่หลัก คุณสมบัติของลอการิทึม.

ให้ a > 0, a ≠ 1, x > 0 และ y > 0

คุณสมบัติ 1. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม:

บันทึก a (x ⋅ y) = บันทึก a x + บันทึก a y

คุณสมบัติ 2. ลอการิทึมของผลหาร

ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม:

บันทึก a (x / y) = บันทึก a x – บันทึก a y

คุณสมบัติ 3. ลอการิทึมของดีกรี

ลอการิทึมองศาเท่ากับผลคูณของดีกรีและลอการิทึม:

หากฐานของลอการิทึมอยู่ในเลขชี้กำลัง ให้ใช้สูตรอื่น:

คุณสมบัติ 4. ลอการิทึมของรูท

คุณสมบัตินี้สามารถหาได้จากคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี เนื่องจากรูทของดีกรีที่ n เท่ากับกำลัง 1/n:

สูตรการเปลี่ยนจากลอการิทึมในฐานหนึ่งไปเป็นลอการิทึมในอีกฐานหนึ่ง

สูตรนี้มักใช้เมื่อแก้งานต่างๆ สำหรับลอการิทึม:

กรณีพิเศษ:

การเปรียบเทียบลอการิทึม (อสมการ)

สมมติว่าเรามี 2 ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ภายใต้ลอการิทึมที่มีฐานเท่ากัน และมีเครื่องหมายอสมการระหว่างกัน:

ในการเปรียบเทียบ ก่อนอื่นคุณต้องดูที่ฐานของลอการิทึม a:

ถ้า a > 0 แล้ว f(x) > g(x) > 0
ถ้า0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

วิธีแก้ปัญหาลอการิทึม: ตัวอย่าง

งานที่มีลอการิทึมรวมอยู่ใน USE ในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับเกรด 11 ในงาน 5 และงาน 7 คุณสามารถค้นหางานพร้อมวิธีแก้ปัญหาบนเว็บไซต์ของเราในส่วนที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ยังพบงานที่มีลอการิทึมในธนาคารงานในวิชาคณิตศาสตร์ คุณสามารถค้นหาตัวอย่างทั้งหมดได้โดยการค้นหาไซต์

ลอการิทึมคืออะไร

ลอการิทึมถือเป็นหัวข้อที่ยากในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนมาโดยตลอด มีคำจำกัดความของลอการิทึมที่แตกต่างกันมากมาย แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างตำราเรียนส่วนใหญ่จึงใช้คำที่ซับซ้อนที่สุดและโชคร้ายที่สุด

เราจะนิยามลอการิทึมอย่างเรียบง่ายและชัดเจน มาสร้างตารางสำหรับสิ่งนี้:

ดังนั้น เรามีกำลังสอง

ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร วิธีแก้

หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องเพิ่มกำลังสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องเพิ่มสองยกกำลังหก นี้สามารถเห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - อันที่จริง คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกจำนวน a เพื่อให้ได้ตัวเลข x

สัญกรณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ บันทึก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 เป็นสามเพราะ 2 3 = 8) อาจเช่นกัน บันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่า มาเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรากัน:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ลอการิทึมบางตัวไม่ได้ถูกพิจารณาอย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น พยายามหาบันทึก 2 5 หมายเลข 5 ไม่อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้อย่างไม่มีกำหนด และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ ปล่อยให้มันเป็นแบบนี้ดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและการโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ให้ดูภาพ:

ก่อนที่เราจะไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งคุณต้องเพิ่มฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพถูกเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนของฉันในบทเรียนแรก และจะไม่เกิดความสับสน

วิธีการนับลอการิทึม

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราสังเกตว่าข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำจำกัดความ:

อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ต่อจากนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
ฐานต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยหนึ่งไปยังกำลังใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกใครคนหนึ่งขึ้นเพื่อให้ได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีระดับดังกล่าว!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อดีซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการกำหนดหมายเลข b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบก็ได้: log 2 0.5 = -1 เพราะ 0.5 = 2 -1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลข ซึ่งไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม ข้อ จำกัด ทั้งหมดได้รับการพิจารณาโดยคอมไพเลอร์ของปัญหาแล้ว แต่เมื่อมีการใช้สมการลอการิทึมและอสมการ ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ อันที่จริง ในพื้นฐานและการโต้แย้ง อาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ตอนนี้ให้พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทาง จะดีกว่าถ้ากำจัดเศษส่วนทศนิยม
แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
ผลลัพธ์ที่ได้คือ b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะเห็นได้ในขั้นแรก ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก ในทำนองเดียวกันกับเศษส่วนทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นทศนิยมทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่ารูปแบบนี้ทำงานอย่างไรพร้อมตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกัน:
ล็อก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

ได้รับคำตอบ : 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

ให้แทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
ได้รับการตอบกลับ: 0

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นกำลังเจ็ดเพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
ตามมาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าลอการิทึมไม่ได้รับการพิจารณา
คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของตัวเลขอื่น ง่ายมาก - เพียงแค่แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ หากมีปัจจัยที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองประการในการขยาย จำนวนนั้นก็ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่ากำลังที่แท้จริงของตัวเลขคือ 8; 48; 81; 35; สิบสี่

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียว
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนเพราะมีสองปัจจัย: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

นอกจากนี้ พึงสังเกตว่าจำนวนเฉพาะนั้นจะเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและชื่อพิเศษ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่ต้องยก 10 เพื่อให้ได้ x ชื่อ: lgx.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน จงรู้ว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง ในแง่หนึ่ง มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมของฐาน e นั่นคือ ยกกำลังที่ต้องยกจำนวน e เพื่อให้ได้จำนวน x การกำหนด: lnx.

หลายคนจะถามว่า e คืออะไร ? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่พบค่าที่แน่นอนและเขียนลงไป นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
อี = 2.718281828459…

เราจะไม่เจาะลึกว่าตัวเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น แค่จำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1; บันทึก อี 2 = 2; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ เป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นแน่นอน ความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดานั้นใช้ได้

ดูสิ่งนี้ด้วย:

ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (กำลังของลอการิทึม)

จะแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

เราใช้นิยามของลอการิทึม

ลอการิทึมเป็นตัวบ่งชี้กำลังซึ่งต้องยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขใต้เครื่องหมายของลอการิทึม

ดังนั้น เพื่อที่จะแทนจำนวนหนึ่ง c เป็นลอการิทึมของฐาน a จำเป็นต้องวางดีกรีไว้ใต้เครื่องหมายของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกับฐานของลอการิทึม และเขียนตัวเลข c ลงในเลขชี้กำลัง :

ในรูปแบบของลอการิทึม คุณสามารถแสดงจำนวนใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ จำนวนเต็ม เศษส่วน ตรรกยะ หรืออตรรกยะ:

เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนระหว่าง a และ c ในสภาวะกดดันของการทดสอบ คุณสามารถใช้กฎต่อไปนี้เพื่อจดจำ:

อันล่างขึ้นลง อันบนขึ้นขึ้น.

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการแสดงเลข 2 เป็นลอการิทึมถึงฐาน 3

เรามีตัวเลขสองตัว - 2 และ 3 ตัวเลขเหล่านี้เป็นฐานและเลขชี้กำลัง ซึ่งเราจะเขียนใต้เครื่องหมายของลอการิทึม มันยังคงกำหนดว่าควรเขียนตัวเลขใดในจำนวนเหล่านี้ในฐานของดีกรีและไหน - ขึ้นในเลขชี้กำลัง

ฐาน 3 ในบันทึกของลอการิทึมอยู่ที่ด้านล่าง ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราแสดงผีเป็นลอการิทึมของฐาน 3 เราจะเขียน 3 ลงไปที่ฐานด้วย

2 สูงกว่า 3 และในสัญกรณ์ของดีกรี เราเขียนสองตัวบนสาม นั่นคือ ในเลขชี้กำลัง:

ลอการิทึม ระดับแรก.

ลอการิทึม

ลอการิทึมจำนวนบวก ขด้วยเหตุผล เอ, ที่ไหน a > 0, a ≠ 1, เป็นเลขชี้กำลังที่ต้องเพิ่มจำนวน เอ, ที่จะได้รับ ข.

ความหมายของลอการิทึมสามารถเขียนสั้น ๆ เช่นนี้:

ความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้สำหรับ b > 0, a > 0, a ≠ 1เขามักจะเรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึม
การกระทำการหาลอการิทึมของจำนวนเรียกว่า ลอการิทึม.

คุณสมบัติของลอการิทึม:

ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ลอการิทึมของผลหารจากการหาร:

การแทนที่ฐานของลอการิทึม:

ลอการิทึมองศา:

ลอการิทึมรูท:

ลอการิทึมพร้อมฐานกำลัง:

ลอการิทึมทศนิยมและธรรมชาติ

ลอการิทึมทศนิยมตัวเลขเรียกลอการิทึมฐาน 10 ของตัวเลขนั้นแล้วเขียนว่า lg ข
ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลขเรียกลอการิทึมของตัวเลขนี้ไปที่ฐาน อี, ที่ไหน อีเป็นจำนวนอตรรกยะ ประมาณเท่ากับ 2.7 ในขณะเดียวกันก็เขียน ln ข.

หมายเหตุอื่นๆ เกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม

การบวกและการลบของลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: บันทึก a x และ log a y จากนั้นคุณสามารถเพิ่มและลบและ:

บันทึก a x + บันทึก a y = บันทึก a (x y);
บันทึก a x - บันทึก a y = บันทึก a (x: y)

บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเท่ากัน เราใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 - log 3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

การลบเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

วิธีแก้ลอการิทึม

นี่คือสิ่งที่จำเป็นที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6

กำจัดดีกรีในอาร์กิวเมนต์ตามสูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

โปรดทราบว่าตัวส่วนคือลอการิทึมที่ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 72. เรามี:

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเหมือนกัน: บันทึก 2 7. เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎเลขคณิต สามารถโอนทั้งสี่ไปที่ตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนผ่านสู่รากฐานใหม่

ให้ลอการิทึมล็อก a x จากนั้นสำหรับจำนวน c ใดๆ ที่ c > 0 และ c ≠ 1 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ c = x เราจะได้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: บันทึก 5 16 บันทึก 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง มาดูตัวชี้วัดกัน: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2log 2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: บันทึก 9 100 lg 3

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด

ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

สูตรที่สองเป็นจริงคำจำกัดความถอดความ เรียกว่าดังนี้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

สังเกตว่า log 25 64 = log 5 8 - เพิ่งดึงกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎของการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้:

หากไม่มีใครรู้จัก นี่เป็นงานจริงจากการสอบ Unified State 🙂

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

บันทึก a = 1 คือ จำไว้เสมอว่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ a จากฐานนี้เองมีค่าเท่ากับหนึ่ง
บันทึก a 1 = 0 คือ ฐาน a สามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เนื่องจาก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

ช่วงที่ยอมรับได้ (ODZ) ของลอการิทึม

ทีนี้มาพูดถึงข้อจำกัดกัน (ODZ - พื้นที่ของค่าตัวแปรที่ยอมรับได้)

เราจำได้ว่า ตัวอย่างเช่น รากที่สองไม่สามารถนำมาจากจำนวนลบได้ หรือถ้าเรามีเศษส่วน ตัวส่วนจะเท่ากับศูนย์ไม่ได้ มีข้อจำกัดที่คล้ายกันสำหรับลอการิทึม:

นั่นคือ ทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์ และฐานต้องไม่เท่ากัน

ทำไมถึงเป็นอย่างนั้น?

มาเริ่มกันง่ายๆ สมมติว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลขนั้นไม่มีอยู่จริง เนื่องจากไม่ว่าเราจะเพิ่มระดับใด มันก็กลับปรากฏออกมาเสมอ นอกจากนี้ยังไม่มีอยู่สำหรับใด ๆ แต่ในขณะเดียวกันก็สามารถเท่ากับอะไรก็ได้ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน - เท่ากับระดับใดก็ได้) ดังนั้น วัตถุนั้นจึงไม่สนใจ และมันก็แค่โยนมันทิ้งไปจากวิชาคณิตศาสตร์

เรามีปัญหาที่คล้ายกันในกรณีนี้: ในระดับบวก - สิ่งนี้ แต่ไม่สามารถยกกำลังเชิงลบได้เลยเนื่องจากการหารด้วยศูนย์จะส่งผลให้ (ฉันเตือนคุณว่า)

เมื่อเราต้องเผชิญกับปัญหาการยกกำลังเป็นเศษส่วน (ซึ่งแสดงเป็น root:. ตัวอย่างเช่น (นั่นคือ) แต่ไม่มีอยู่.

ดังนั้นเหตุผลเชิงลบจึงง่ายกว่าที่จะโยนทิ้งมากกว่าไปยุ่งกับพวกเขา

เนื่องจากฐาน a เป็นบวกสำหรับเราเท่านั้น ไม่ว่าเราจะเพิ่มระดับใด เราก็จะได้จำนวนบวกอย่างเคร่งครัดเสมอ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ต้องเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ไม่มีอยู่จริง เนื่องจากจะไม่เป็นจำนวนลบในทุกระดับ (และแม้แต่ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีอยู่ด้วย)

ในปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม ขั้นตอนแรกคือการเขียน ODZ ฉันจะยกตัวอย่าง:

มาแก้สมการกัน

จำคำจำกัดความ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งต้องยกฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ และโดยเงื่อนไข ดีกรีนี้เท่ากับ:

เราได้สมการกำลังสองปกติ: เราแก้มันโดยใช้ทฤษฎีบทเวียตา: ผลรวมของรากมีค่าเท่ากันและผลคูณ หยิบง่าย เหล่านี้เป็นตัวเลขและ

แต่ถ้าคุณจดตัวเลขทั้งสองนี้ลงในคำตอบทันที คุณจะได้รับ 0 คะแนนสำหรับงาน ทำไม? ลองคิดดูว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนรากพวกนี้ลงในสมการตั้งต้น?

นี่เป็นเท็จอย่างชัดเจน เนื่องจากฐานไม่สามารถลบได้ นั่นคือ รูทคือ "บุคคลที่สาม"

เพื่อหลีกเลี่ยงกลอุบายที่ไม่พึงประสงค์ดังกล่าว คุณต้องจด ODZ ก่อนเริ่มแก้สมการเสียก่อน:

จากนั้นเมื่อได้รับรากแล้วเราก็ทิ้งรากทันทีและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1(ลองแก้เอง) :

หารากของสมการ. หากมีหลายราก ให้ระบุรากที่เล็กกว่าในคำตอบของคุณ

สารละลาย:

ก่อนอื่น มาเขียน ODZ กันก่อน:

ตอนนี้เราจำได้ว่าลอการิทึมคืออะไร: คุณต้องการยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้งอะไร ในวินาที. เช่น:

ดูเหมือนว่ารูตที่เล็กกว่าจะเท่ากัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นเช่นนั้น ตาม ODZ รูทนั้นเป็นบุคคลที่สาม นั่นคือ มันไม่ใช่รูทของสมการนี้เลย ดังนั้น สมการจึงมีรากเดียว: .

ตอบ: .

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

จำคำจำกัดความของลอการิทึมในแง่ทั่วไป:

แทนที่ในความเท่าเทียมกันที่สองแทนลอการิทึม:

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน. แม้ว่าในสาระสำคัญความเท่าเทียมกันนี้จะเขียนต่างกันเท่านั้น นิยามของลอการิทึม:

นี่คือพลังที่คุณต้องเพิ่มเพื่อให้ได้มา

ตัวอย่างเช่น:

แก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่าง 2

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

จำกฎจากส่วนนี้ นั่นคือ เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ตัวบ่งชี้จะถูกคูณ มาปรับใช้กัน:

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่า

สารละลาย:

คุณสมบัติของลอการิทึม

น่าเสียดายที่งานไม่ได้เรียบง่ายเสมอไป - บ่อยครั้งที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น นำไปที่รูปแบบปกติ จากนั้นจึงจะคำนวณค่าได้ มันง่ายที่สุดที่จะทำสิ่งนี้โดยรู้ คุณสมบัติของลอการิทึม. มาเรียนรู้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมกันเถอะ ฉันจะพิสูจน์แต่ละข้อเพราะกฎใด ๆ จะง่ายกว่าถ้าคุณรู้ว่ามันมาจากไหน

ต้องจำคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด หากไม่มี คุณสมบัติเหล่านี้ ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับลอการิทึมจะไม่สามารถแก้ไขได้

และตอนนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมโดยละเอียด

คุณสมบัติ 1:

การพิสูจน์:

ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 2: ผลรวมของลอการิทึม

ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: .

การพิสูจน์:

ให้แล้ว. ให้แล้ว.

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์: .

สารละลาย: .

สูตรที่คุณเพิ่งเรียนรู้จะช่วยให้ผลรวมของลอการิทึมง่ายขึ้น ไม่ใช่ความแตกต่าง เพื่อให้ลอการิทึมเหล่านี้รวมกันไม่ได้ในทันที แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - "แบ่ง" ลอการิทึมแรกออกเป็นสองส่วน: และนี่คือการลดความซับซ้อนที่สัญญาไว้:
.
ทำไมสิ่งนี้จึงจำเป็น? ตัวอย่างเช่น: มันสำคัญอะไร?

ตอนนี้มันชัดเจนว่า

ตอนนี้ ทำให้ง่ายสำหรับตัวคุณเอง:

งาน:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 3: ความแตกต่างของลอการิทึม:

การพิสูจน์:

ทุกอย่างเหมือนกับในวรรค 2:

ให้แล้ว.

ให้แล้ว. เรามี:

ตัวอย่างจากจุดสุดท้ายตอนนี้ง่ายยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น: . เดาเอาเองว่าจะตัดสินใจยังไง?

ในที่นี้ควรสังเกตว่าเราไม่มีสูตรเดียวเกี่ยวกับลอการิทึมกำลังสอง นี่คือสิ่งที่คล้ายกับนิพจน์ - ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ในทันที

ดังนั้น เรามาแยกความแตกต่างจากสูตรเกี่ยวกับลอการิทึม และลองคิดดูว่าโดยทั่วไปแล้วสูตรใดที่เราใช้ในทางคณิตศาสตร์บ่อยที่สุด ตั้งแต่ ป.7!

นี้ - . คุณต้องชินกับความจริงที่ว่ามีอยู่ทุกที่! และในรูปเลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และปัญหาอตรรกยะ จะพบได้ ดังนั้นพวกเขาจะต้องจำไว้

หากคุณพิจารณาสองเทอมแรกอย่างใกล้ชิด จะเห็นได้ชัดว่านี่คือ ความแตกต่างของสี่เหลี่ยม:

คำตอบเพื่อตรวจสอบ:

ลดความซับซ้อนของตัวคุณเอง

ตัวอย่าง

คำตอบ

คุณสมบัติ 4: ที่มาของเลขชี้กำลังจากการอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:และที่นี่เรายังใช้นิยามของลอการิทึม: อนุญาต แล้ว เรามี: , h.t.d.

คุณสามารถเข้าใจกฎนี้ดังนี้:

นั่นคือระดับของการโต้แย้งถูกนำไปข้างหน้าของลอการิทึมเป็นสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง:ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย: .

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 5: ที่มาของเลขชี้กำลังจากฐานของลอการิทึม:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.
จำเอาไว้: จาก บริเวณองศาจะแสดงเป็น ย้อนกลับตัวเลขไม่เหมือนเคสที่แล้ว!

คุณสมบัติ 6: ที่มาของเลขชี้กำลังจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

หรือถ้าองศาเท่ากัน: .

คุณสมบัติ 7: การเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:

การพิสูจน์:ให้แล้ว.

เรามี: , h.t.d.

คุณสมบัติ 8: การสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:นี่เป็นกรณีพิเศษของสูตร 7: หากเราแทนที่ เราจะได้: , p.t.d.

มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกัน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาค่าของนิพจน์

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 2 - ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 3 และหมายเลข 4:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

ใช้คุณสมบัติหมายเลข 7 - ไปที่ฐาน 2:

ตัวอย่าง 7

ค้นหาค่าของนิพจน์

สารละลาย:

คุณชอบบทความอย่างไร?

หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้ แสดงว่าคุณได้อ่านบทความทั้งหมดแล้ว

และมันเจ๋งมาก!

ตอนนี้บอกเราว่าคุณชอบบทความอย่างไร

คุณเรียนรู้ที่จะแก้ลอการิทึมหรือไม่? ถ้าไม่ปัญหาคืออะไร?

เขียนถึงเราในความคิดเห็นด้านล่าง

และใช่ ขอให้โชคดีกับการสอบของคุณ

ที่การสอบ Unified State และ OGE และโดยทั่วไปในชีวิต

ดังนั้น เรามีกำลังสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องเพิ่มกำลังสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องเพิ่มสองยกกำลังหก นี้สามารถเห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ - อันที่จริง คำจำกัดความของลอการิทึม:

ฐานลอการิทึมของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกตัวเลข a เพื่อให้ได้ตัวเลข x

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม มาเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรากัน:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีสองตัวแปร (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรก หลายคนสับสนว่าพื้นฐานอยู่ที่ไหนและข้อโต้แย้งอยู่ที่ใด เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ให้ดูภาพ:

อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ ต่อจากนิยามของดีกรีด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
ฐานต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยหนึ่งไปยังกำลังใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกใครคนหนึ่งขึ้นเพื่อให้ได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีระดับดังกล่าว!

แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่ง ระหว่างทาง จะดีกว่าถ้ากำจัดเศษส่วนทศนิยม
แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
ผลลัพธ์ที่ได้คือ b จะเป็นคำตอบ

มาดูกันว่ารูปแบบนี้ทำงานอย่างไรพร้อมตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
ได้รับคำตอบ : 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

มาแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

ให้แทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
มาสร้างและแก้สมการกัน:
บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
ได้รับการตอบกลับ: 0

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นกำลังเจ็ดเพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
ตามมาจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าลอการิทึมไม่ได้รับการพิจารณา
คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของตัวเลขอื่น ง่ายมาก - เพียงแค่แยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ และหากปัจจัยดังกล่าวไม่สามารถรวบรวมในระดับที่มีตัวบ่งชี้เดียวกันได้ แสดงว่าจำนวนเดิมนั้นไม่ใช่ระดับที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่ากำลังที่แท้จริงของตัวเลขคือ 8; 48; 81; 35; สิบสี่

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 คือดีกรีที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียว
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนเพราะมีสองปัจจัย: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน
35 \u003d 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง