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Triple integral.

Preguntas de control.

Triple integral, sus propiedades.

Cambio de variables en una integral triple. Cálculo de la integral triple en coordenadas cilíndricas.

Cálculo de la integral triple en coordenadas esféricas.

Deja que la función tu= F(x, y,z) se define en una región cerrada acotada V espacio R 3. Vamos a dividir el área V arbitrariamente en norte regiones cerradas elementales V 1 , … ,V norte con volúmenes  V 1 , …,  V norte respectivamente. Nosotros denotamos D- el mayor de los diámetros de las áreas V 1 , … ,V norte... En cada area V k elige un punto arbitrario PAG k (X k , y k ,z k) y componer suma integral funciones F(X, y,z)

S =

Definición.Triple integral de la función F(X, y,z) por zona V se llama el límite de la suma integral
si existiera.

Por lo tanto,

(1)

Comentario. Suma integral S depende de cómo esté dividida la región V y selección de puntos PAG k (k=1, …, norte). Sin embargo, si hay un límite, entonces no depende del método de partición de la región. V y selección de puntos PAG k... Si comparamos las definiciones de integrales dobles y triples, es fácil ver una analogía completa en ellas.

Condición suficiente para la existencia de una integral triple. La integral triple (13) existe si la función F(X, y,z) está limitado a V y continuo en V, con la excepción de un número finito de superficies lisas a trozos ubicadas en V.

Algunas propiedades de la integral triple.

1) Si CON Es una constante numérica, entonces

3) Aditividad por área. Si el area V dividido en áreas V 1 y V 2, luego

4) Volumen corporal V es igual a

(2 )

Cálculo de la integral triple en coordenadas cartesianas.

Permitir D proyección corporal V en el avión xOy, superficie z=φ 1 (X,y),z=φ 2 (X, y) restringir el cuerpo V inferior y superior, respectivamente. Esto significa que

V = {(X, y, z): (X, y)D , φ 1 (X,y)≤ z ≤ φ 2 (X,y)}.

Llamaremos a tal cuerpo z- cilíndrico. Triple integral (1) sobre z-cuerpo cilíndrico V se calcula pasando a la integral iterada que consta de integrales dobles y definidas:

(3 )

En esta integral iterada, la integral definida interna con respecto a la variable se calcula primero z, en donde X, y se consideran permanentes. Luego, la integral doble de la función resultante se calcula sobre la región D.

Si V X- cilíndrico o y- es un cuerpo cilíndrico, entonces las fórmulas

En la primera fórmula D  proyección corporal V en el plano de coordenadas yOz, y en el segundo, al avión xOz

Ejemplos. 1) Calcula el volumen del cuerpo V delimitado por superficies z = 0, X 2 + y 2 = 4, z = X 2 + y 2 .

Solución. Calculamos el volumen usando la integral triple por la fórmula (2)

Pasemos a la integral iterada según la fórmula (3).

Permitir D círculo X 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (X , y ) = 0, φ 2 (X , y )= X 2 + y 2. Entonces, por la fórmula (3), obtenemos

Para calcular esta integral, recurrimos a las coordenadas polares. Al mismo tiempo, el círculo D se transforma en un conjunto

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Cuerpo V delimitado por superficies z = y , z = –y , x = 0 , x = 2, y = 1. Calcular

Aviones z = y , z = –y restringir el cuerpo, respectivamente, desde abajo y desde arriba, planos x = 0 , x = 2 limitan el cuerpo, respectivamente, por detrás y por delante, y el avión y = 1 limita a la derecha. V -z- cuerpo cilíndrico, su proyección D en el avión hoy es un rectángulo OAVS... Nosotros ponemos φ 1 (X , y ) = –Y

Integrales triples. Cálculo del volumen corporal.
Integral triple en coordenadas cilíndricas

Durante tres días en la oficina del decano, el difunto yació, vestido con los pantalones de Pitágoras,
En manos de Fichtengolts, sostenía un volumen que lo exprimía de la luz blanca,
Ataron una integral triple a sus pies y envolvieron el cadáver en una matriz,
Y en lugar de una oración, un descarado leyó el teorema de Bernoulli.

Las integrales triples son algo a lo que ya no puedes tener miedo =) Porque si estás leyendo este texto, lo más probable es que hayas descubierto un buen trato teoría y práctica de integrales "ordinarias", y integrales dobles... Y donde doble, cercano y triple:

Y de hecho, ¿de qué hay que temer? La integral es menos, la integral es más….

Entendemos el registro:

- icono de triple integral;
- integrando función de tres variables;
- producto de diferenciales.
- el ámbito de la integración.

Centrémonos en áreas de integración... Si en integral doble ella es figura plana, entonces aquí - cuerpo espacial, que se sabe que está delimitado por el conjunto superficies... Por lo tanto, además de lo anterior, debe navegar en superficies principales del espacio y poder realizar los dibujos tridimensionales más sencillos.

Algunos están deprimidos, tengo entendido…. Por desgracia, el artículo no puede titularse "integrales triples para tontos", y necesita saber / poder hacer algo. Pero está bien: todo el material se presenta en una forma extremadamente accesible y se domina en el menor tiempo posible.

¿Qué significa calcular la integral triple y qué es en general?

Calcular las medias integrales triples buscar NUMBER:

En el caso más simple, cuando, la integral triple es numéricamente igual al volumen del cuerpo... Y de hecho, de acuerdo con sentido general de integración, el producto es infinitesimal el volumen de un "ladrillo" elemental del cuerpo. Y la integral triple es solo une todos estos partículas infinitesimales sobre el área, como resultado de lo cual se obtiene el valor integral (total) del volumen del cuerpo: .

Además, la integral triple tiene importantes aplicaciones fisicas... Pero más sobre eso más adelante, en la segunda parte de la lección, dedicada a cálculos de integrales triples arbitrarias, para lo cual la función en el caso general es diferente de una constante y es continua en la región. En este artículo, consideraremos en detalle el problema de encontrar el volumen, que, según mi evaluación subjetiva, ocurre de 6 a 7 veces más a menudo.

¿Cómo resolver la integral triple?

La respuesta se deriva lógicamente del punto anterior. Es necesario definir orden transversal del cuerpo E ir a integrales iteradas... Luego, trata con tres integrales simples en secuencia.

Como ves, toda la cocina es muy, muy similar integrales dobles, con la diferencia de que ahora hemos añadido una dimensión adicional (a grandes rasgos, altura). Y, probablemente, muchos de ustedes ya han adivinado cómo se resuelven las integrales triples.

Disipemos las dudas restantes:

Ejemplo 1

Vuelva a escribir en una columna en papel:

Y responda las siguientes preguntas. ¿Sabes qué superficies definen estas ecuaciones? ¿Entiende el significado informal de estas ecuaciones? ¿Te imaginas cómo se ubican estas superficies en el espacio?

Si se está inclinando hacia la respuesta general "más probablemente no que sí", entonces asegúrese de trabajar en la lección; de lo contrario, ¡no progresará más!

Solución: usa la fórmula.

Descubrir orden transversal del cuerpo E ir a integrales iteradas necesitas (todo ingenioso es simple) para entender qué tipo de cuerpo es. Y en muchos casos, los dibujos contribuyen a esta comprensión.

Por condición, el cuerpo está limitado por varias superficies. ¿Por dónde empezar a construir? Sugiero el siguiente procedimiento:

Primero, representaremos paralelo ortogonal la proyección del cuerpo sobre el plano de coordenadas. La primera vez que dijo cómo se llama esta proyección, jejeje =)

Dado que la proyección se lleva a cabo a lo largo del eje, en primer lugar es aconsejable tratar con superficies que son paralelos a este eje. Les recuerdo que las ecuaciones de tales superficies no contienen la letra "z"... Hay tres de ellos en el problema bajo consideración:

- la ecuación establece el plano de coordenadas que pasa por el eje;
- la ecuación establece el plano de coordenadas que pasa por el eje;
- los conjuntos de ecuaciones plano "Plano" recto paralelo al eje.

Lo más probable es que la proyección deseada sea el siguiente triángulo:

Quizás no todos entendieron completamente de qué se trataba. Imagine que un eje sale de la pantalla del monitor y se pega directamente a su nariz ( aquellos. resulta que estás mirando un dibujo tridimensional desde arriba)... El cuerpo espacial investigado está ubicado en un "corredor" infinito de tres lados y su proyección sobre el plano es muy probablemente un triángulo sombreado.

Llamo su atención sobre el hecho de que si bien hemos expresado solo una suposición sobre la proyección y las cláusulas "más probable", "más probable" no fueron accidentales. El caso es que todavía no se han analizado todas las superficies y puede suceder que algunas de ellas "corten" una parte del triángulo. Como ejemplo ilustrativo, suplica esfera centrado en el origen con un radio menor que uno, por ejemplo, una esfera ¿Es su proyección sobre un plano (círculo ) no "cubrirá" completamente el área sombreada, y la proyección final del cuerpo no será un triángulo en absoluto (el círculo le "cortará" las esquinas afiladas).

En la segunda etapa, descubrimos a qué está delimitado el cuerpo desde arriba, que desde abajo, y realizamos un dibujo espacial. Regresamos al enunciado del problema y vemos qué superficies quedan. La ecuación define el plano de coordenadas en sí, y la ecuación: cilindro parabólico, situado encima plano y pasando por el eje. Por tanto, la proyección del cuerpo es realmente un triángulo.

Por cierto, se encontró aquí. redundancia condiciones - no era necesario incluir la ecuación del plano en él, ya que la superficie, toca el eje de abscisas, y así cierra el cuerpo. Es interesante notar que en este caso no hubiéramos podido dibujar la proyección de inmediato; el triángulo se habría "dibujado" solo después de analizar la ecuación.

Representemos cuidadosamente un fragmento de un cilindro parabólico:

Después de completar los dibujos con orden transversal del cuerpo¡No hay problema!

Primero, definimos el orden de atravesar la proyección. (al mismo tiempo, es MUCHO MÁS CONVENIENTE navegar por un dibujo bidimensional). Esto esta hecho ABSOLUTAMENTE LO MISMO, Como en integrales dobles! Recordando un puntero láser y escaneando un área plana. Elijamos la primera forma "tradicional" de omitir:

A continuación, tomamos una linterna mágica en nuestras manos, miramos un dibujo tridimensional y estrictamente de abajo hacia arriba Rayos X del paciente. Los rayos entran al cuerpo a través del avión y lo dejan a través de la superficie. Entonces, el orden transversal del cuerpo es:

Pasemos a las integrales iteradas:

1) Uno debe comenzar con la integral "zeta". Usamos Fórmula de Newton-Leibniz:

Sustituyamos el resultado en la integral del "juego":

¿Qué sucedió? En esencia, la solución se redujo a una integral doble, es decir, a la fórmula el volumen de la barra cilíndrica! El resto es muy familiar:

2)

Presta atención a la técnica racional para resolver la tercera integral.

Respuesta:

Los cálculos siempre se pueden escribir en "una línea":


Pero tenga cuidado con este método: las ganancias en velocidad están plagadas de pérdida de calidad y, cuanto más difícil sea el ejemplo, más posibilidades de cometer un error.

Respondamos una pregunta importante:

¿Necesito hacer dibujos si la condición de la tarea no requiere que se completen?

Hay cuatro formas de hacerlo:

1) Representa la proyección y el propio cuerpo. Esta es la opción más ventajosa: si existe la oportunidad de completar dos dibujos decentes, no sea perezoso, haga ambos dibujos. Lo recomiendo en primer lugar.

2) Dibuja solo el cuerpo. Adecuado cuando el cuerpo tiene una proyección simple y evidente. Entonces, por ejemplo, en el ejemplo desmontado, un dibujo tridimensional sería suficiente. Sin embargo, también hay un inconveniente: es inconveniente determinar el orden del recorrido de proyección mediante la imagen 3D, y recomendaría este método solo a personas con un buen nivel de capacitación.

3) Muestra solo la proyección. Tampoco está mal, pero luego se requieren comentarios adicionales por escrito, lo que limita el área desde varios lados. Desafortunadamente, la tercera opción a menudo es forzada, cuando el cuerpo es demasiado grande o su construcción está plagada de otras dificultades. Y también consideraremos tales ejemplos.

4) Prescindir de los dibujos en absoluto. En este caso, debe imaginarse el cuerpo mentalmente y comentar su forma / ubicación por escrito. Adecuado para cuerpos muy simples o tareas donde es difícil completar ambos dibujos. Pero aún es mejor hacer al menos un dibujo esquemático, ya que una solución "simple" puede ser rechazada.

El siguiente cuerpo es para negocios de bricolaje:

Ejemplo 2

Usando la integral triple, calcule el volumen de un cuerpo delimitado por superficies

En este caso, la región de integración está dada predominantemente por las desigualdades, y esto es aún mejor: el conjunto de desigualdades especifica el primer octante, incluidos los planos de coordenadas, y la desigualdad - medio espacio que contiene el origen (cheque)+ el avión en sí. El plano "vertical" corta el paraboloide a lo largo de una parábola y es deseable construir esta sección en el dibujo. Para hacer esto, necesita encontrar un punto de ancla adicional, el más fácil es el vértice de la parábola (considera los valores y calcular la "z" correspondiente).

Seguimos calentando:

Ejemplo 3

Calcule el volumen del cuerpo delimitado por las superficies indicadas utilizando la integral triple. Ejecuta un plano.

Solución: la redacción "hacer un dibujo" nos da cierta libertad, pero, muy probablemente, implica la ejecución de un dibujo espacial. Sin embargo, la proyección tampoco duele, especialmente porque no es la más simple aquí.

Nos adherimos a las tácticas elaboradas anteriormente; primero nos ocuparemos de superficies que son paralelos al eje de aplicación. Las ecuaciones de tales superficies no contienen explícitamente la variable "z":

- la ecuación establece el plano de coordenadas que pasa por el eje ( que en el plano está determinado por la ecuación "epónima");
- los conjuntos de ecuaciones plano pasando por el "epónimo" "Plano" recto paralelo al eje.

El cuerpo buscado está delimitado por el plano de abajo y cilindro parabólico encima:

Compongamos el orden de atravesar el cuerpo, mientras que los límites de integración "x" y "juego", les recuerdo, son más convenientes de averiguar en un dibujo bidimensional:

Por lo tanto:

1)

Cuando se integra de acuerdo con el "juego" - "x" se considera una constante, por lo que es aconsejable sacar inmediatamente la constante fuera del signo integral.

3)

Respuesta:

Sí, casi lo olvido, en la mayoría de los casos, el resultado obtenido no es muy útil (e incluso perjudicial) para compararlo con un dibujo tridimensional, ya que es muy probable que ocurra. ilusión de volumen, del que hablé en la lección El volumen del cuerpo de revolución.... Entonces, al evaluar el cuerpo del problema considerado, me pareció personalmente que hay mucho más de 4 "cubos" en él.

El siguiente ejemplo es para una solución de bricolaje:

Ejemplo 4

Calcule el volumen del cuerpo delimitado por las superficies indicadas utilizando la integral triple. Haz dibujos de este cuerpo y su proyección sobre un plano.

Una muestra aproximada del diseño de tareas al final de la lección.

No es raro cuando la implementación de un dibujo tridimensional es difícil:

Ejemplo 5

Usando la integral triple, encuentre el volumen del cuerpo definido por sus superficies limítrofes

Solución: la proyección no es difícil aquí, pero hay que pensar en el orden de su recorrido. Si elige el primer método, entonces la cifra deberá dividirse en 2 partes, lo que amenaza de manera no ilusoria el cálculo de la suma. dos integrales triples. En este sentido, la segunda forma parece mucho más prometedora. Expresemos y representemos la proyección de este cuerpo en el dibujo:

Pido disculpas por la calidad de algunas de las imágenes, las corté directamente de mis propios manuscritos.

Elegimos un orden más ventajoso de atravesar la figura:

Ahora le toca al cuerpo. Desde abajo está limitado por un plano, desde arriba, por un plano que pasa por el eje de ordenadas. Y todo estaría bien, pero el último plano es demasiado empinado y no es tan fácil construir un área. La elección aquí no es envidiable: o las joyas funcionan a pequeña escala (ya que el cuerpo es bastante delgado), o un dibujo de unos 20 centímetros de altura (e incluso entonces, si cabe).

Pero también hay un tercer método, primordialmente ruso, para resolver el problema: puntuar =) Y en lugar de un dibujo tridimensional, puedes hacerlo con una descripción verbal: “Este cuerpo está limitado por cilindros y un plano desde un lado, un plano - desde abajo y un plano - desde arriba ".

Los límites "verticales" de integración son obviamente los siguientes:

Calculemos el volumen del cuerpo, sin olvidar que hemos pasado por alto la proyección de una forma menos común:

1)

Respuesta:

Como habrás notado, los cuerpos ofrecidos en tareas de no más de cien dólares a menudo se limitan a un fondo plano. Pero esta no es una especie de regla, por lo que siempre debe estar atento; puede obtener una tarea donde se encuentra el cuerpo y debajo plano. Entonces, por ejemplo, si en el problema analizado en lugar de considerar un plano, entonces el cuerpo investigado se mostrará simétricamente en el semiespacio inferior y estará delimitado por el plano desde abajo y por el plano, ¡ya desde arriba!

Es fácil ver que obtiene el mismo resultado:

(recuerde que el cuerpo necesita ser pasado por alto estrictamente de abajo hacia arriba!)

Además, el avión "favorito" puede no estar en el negocio en absoluto, el ejemplo más simple: una bola ubicada sobre el avión; al calcular su volumen, la ecuación no será necesaria en absoluto.

Consideraremos todos estos casos, pero por ahora una tarea similar para una solución independiente:

Ejemplo 6

Usando la integral triple, encuentre el volumen de un cuerpo delimitado por superficies

Una breve solución y respuesta al final del tutorial.

Pasemos al segundo párrafo con materiales igualmente populares:

Integral triple en coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son, de hecho, coordenadas polares en el espacio.
En un sistema de coordenadas cilíndrico, la posición de un punto en el espacio está determinada por las coordenadas polares y el punto es la proyección del punto en el plano y la aplicación del punto mismo.

La transición de un sistema cartesiano tridimensional a un sistema de coordenadas cilíndrico se realiza de acuerdo con las siguientes fórmulas:

Para nuestro tema, la transformación se ve así:

Y, en consecuencia, en un caso simplificado, que estamos considerando en este artículo:

Lo principal es no olvidarse del multiplicador "er" adicional y colocar correctamente límites polares de integración al atravesar la proyección:

Ejemplo 7

Solución: seguimos el mismo procedimiento: en primer lugar, consideramos las ecuaciones en las que la variable "z" está ausente. Está aquí solo. Proyección superficie cilíndrica en el avión es "del mismo nombre" circulo .

Aviones limitan el cuerpo buscado desde abajo y desde arriba ("córtelo" fuera del cilindro) y se proyectan en un círculo:

El siguiente paso es un dibujo tridimensional. La principal dificultad radica en construir un plano que se cruce con el cilindro en un ángulo "oblicuo", lo que resulta en elipse... Refinemos analíticamente esta sección: para ello reescribimos la ecuación del plano en la forma funcional y calcular los valores de la función ("altura") en los puntos obvios que se encuentran en el límite de la proyección:

Marcamos los puntos encontrados en el dibujo y cuidadosamente (no como yo =)) los conectamos con una línea:

La proyección de un cuerpo sobre un plano es un círculo, y este es un argumento poderoso a favor de la transición a un sistema de coordenadas cilíndrico:

Encontremos las ecuaciones de superficies en coordenadas cilíndricas:

Ahora tenemos que averiguar el orden de recorrido del cuerpo.

Tratemos primero con la proyección. ¿Cómo determinar su orden transversal? EXACTAMENTE LO MISMO que con calcular integrales dobles en coordenadas polares... Aquí es elemental:

Los límites "verticales" de integración también son obvios: entramos en el cuerpo a través del plano y lo dejamos a través del plano:

Pasemos a las integrales iteradas:

En este caso, colocamos inmediatamente el factor "ers" en "nuestra" integral.

La escoba, como de costumbre, es más fácil de romper a lo largo de las ramitas:

1)

Reducimos el resultado a la siguiente integral:

Y aquí no olvidamos que "phi" se considera una constante. Pero por el momento:

Respuesta:

Una tarea similar para una solución independiente:

Ejemplo 8

Calcula el volumen de un cuerpo delimitado por superficies usando una integral triple. Dibuja dibujos de un cuerpo dado y su proyección sobre un plano.

Un ejemplo aproximado de terminar al final de la lección.

Tenga en cuenta que en las condiciones de los problemas no se dice una palabra sobre la transición a un sistema de coordenadas cilíndricas, y una persona ignorante se enfrentará con integrales difíciles en coordenadas cartesianas. ... O tal vez no lo hará - después de todo, hay una tercera forma, primordialmente rusa de resolver problemas =)

¡Este es solo el comienzo! ... de buena manera: =)

Ejemplo 9

Usando la integral triple, encuentre el volumen del cuerpo delimitado por las superficies

Modesta y de buen gusto.

Solución: este cuerpo es limitado superficie cónica y paraboloide elíptico... Lectores que leen atentamente los materiales del artículo. Las principales superficies del espacio, ya he imaginado cómo se ve el cuerpo, pero en la práctica a menudo hay casos más complejos, por lo que realizaré un razonamiento analítico detallado.

Primero, encuentre las líneas a lo largo de las cuales se cruzan las superficies. Compongamos y resolvamos el siguiente sistema:

Restemos el segundo de la primera ecuación término por término:

El resultado son dos raíces:

Sustituya el valor encontrado en cualquier ecuación del sistema:
, de donde se sigue que
Por lo tanto, solo hay un punto correspondiente a la raíz: el origen. Naturalmente, después de todo, los vértices de las superficies consideradas coinciden.

Ahora sustituyamos la segunda raíz, también en cualquier ecuación del sistema:

¿Cuál es el significado geométrico del resultado obtenido? "En altura" (en el plano), el paraboloide y el cono se cruzan en circulos- radio unitario centrado en un punto.

En este caso, el "cuenco" del paraboloide contiene el "embudo" del cono, por lo tanto generadores la superficie cónica debe dibujarse con una línea de puntos (excepto el segmento más alejado de nosotros, que es visible desde este ángulo):

La proyección de un cuerpo sobre un plano es circulo centrado en el origen del radio 1, que ni siquiera me molesté en representar debido a la obviedad de este hecho (¡sin embargo, hacemos un comentario por escrito!)... Por cierto, en las dos tareas anteriores, el dibujo de proyección también podría estar martillado, si no fuera por la condición.

Al pasar a coordenadas cilíndricas según fórmulas estándar, la desigualdad se escribirá de la forma más simple y no habrá problemas con el orden de recorrido de la proyección:

Encontremos las ecuaciones de superficies en un sistema de coordenadas cilíndrico:

Dado que el problema considera la parte superior del cono, expresamos a partir de la ecuación:

"Escaneando el cuerpo" de abajo hacia arriba. Los rayos de luz entran a través del paraboloide elíptico y salen por la superficie cónica. Por lo tanto, el orden "vertical" de atravesar el cuerpo:

El resto es cuestión de tecnología:

Respuesta:

No es infrecuente que un cuerpo no se especifique mediante superficies que lo delimitan, sino mediante un conjunto de desigualdades:

Ejemplo 10

He explicado con cierto detalle el significado geométrico de las desigualdades espaciales en el mismo artículo de referencia: Las principales superficies del espacio y su construcción..

Aunque esta tarea contiene un parámetro, permite la ejecución de un dibujo exacto que refleje la vista fundamental del cuerpo. Piense en cómo completar la compilación. Una solución y una respuesta breves se encuentran al final de la lección.

... bueno, ¿un par de tareas más? Pensé terminar la lección, pero siento que quieres más =)

Ejemplo 11

Usando la integral triple, calcula el volumen de un cuerpo dado:
, donde es un número positivo arbitrario.

Solución: desigualdad define una bola centrada en el origen del radio, y la desigualdad - "interior" de un cilindro circular con un eje de simetría del radio. Así, el cuerpo buscado está delimitado por un cilindro circular en el lateral y segmentos esféricos simétricos con respecto al plano en la parte superior e inferior.

Tomando como unidad de medida base, ejecutaremos el dibujo:

Más precisamente, debería llamarse dibujo, ya que no mantuve muy bien las proporciones a lo largo del eje. Sin embargo, para ser justos, de acuerdo con la condición, no se requería dibujar nada en absoluto, y tal ilustración resultó ser suficiente.

Tenga en cuenta que aquí no es necesario averiguar la altura a la que el cilindro talla la "tapa" de la bola, si toma una brújula en sus manos y delinea un círculo con un centro en el origen de las coordenadas con un radio de 2 cm, entonces los puntos de intersección con el cilindro resultarán solos.

Tengamos dos sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio y
, y el sistema de funciones

(1)

que establecen una correspondencia uno a uno entre los puntos de algunas áreas
y
en estos sistemas de coordenadas. Suponga que las funciones del sistema (1) tienen en
derivadas parciales continuas. Determinante compuesto por estas derivadas parciales

,

se denomina jacobiano (o determinante jacobi) del sistema de funciones (1). Asumiremos que
v
.

Bajo los supuestos anteriores, se cumple la siguiente fórmula general para el cambio de variables en la integral triple:

Como en el caso de una integral doble, el sistema (1) es uno a uno y la condición
se puede violar en puntos separados, en líneas separadas y en superficies separadas.

Sistema de funciones (1) cada punto
coincide con un solo punto
... Estos tres números
llamadas coordenadas curvilíneas del punto ... Puntos en el espacio
, para el cual una de estas coordenadas permanece constante, forman el llamado. coordinar la superficie.

II Triple integral en coordenadas cilíndricas

Un sistema de coordenadas cilíndrico (CSK) está definido por un plano
, en el que el sistema de coordenadas polares y el eje
perpendicular a este plano. Coordenadas de puntos cilíndricos
, dónde
- coordenadas polares de un punto - proyecciones t lentes en el avión
, a Son las coordenadas del punto proyectado por eje
o
.

En plano
introducimos las coordenadas cartesianas de la forma habitual, el eje del aplicate se dirige a lo largo del eje
CSK. Ahora bien, no es difícil obtener fórmulas que conecten coordenadas cilíndricas con coordenadas cartesianas:

(3)

Estas fórmulas mapean el área a todo el espacio
.

Las superficies coordinadas en este caso serán:

1)
- superficies cilíndricas con generatrices paralelas al eje
cuyas guías son los círculos en el plano
, centrado en el punto ;

2)

;

3)
- planos paralelos al plano
.

Jacobiano de sistema (3):

.

La fórmula general en el caso de CSK toma la forma:

Observación 1 . Se recomienda la transición a coordenadas cilíndricas en el caso en que la región de integración sea un cilindro circular o un cono, o un paraboloide de revolución (o sus partes), y el eje de este cuerpo coincida con el eje del aplicate.
.

Observación 2. Las coordenadas cilíndricas se pueden generalizar de la misma forma que las coordenadas polares en un plano.

Ejemplo 1. Calcular la integral triple de una función

por región
que representa la parte interior del cilindro
delimitado por un cono
y paraboloide
.

Solución. Ya hemos considerado esta área en §2, ejemplo 6, y recibimos un registro estándar en el DPSK. Sin embargo, calcular la integral en esta área es difícil. Vayamos a CSK:

.

Proyección
cuerpo
en el avión
Es un circulo
... Por lo tanto, la coordenada va de 0 a
, a - de 0 a R. A través de un punto arbitrario
dibuja una línea recta paralela al eje
... Directo entrará en
en un cono, pero saldrá en un paraboloide. Pero el cono
tiene en CSK la ecuación
y el paraboloide
- la ecuacion
... Entonces tenemos

III Integral triple en coordenadas esféricas

Un sistema de coordenadas esféricas (SSC) está definido por un plano
, en el que se especifica el UCS, y el eje
perpendicular al plano
.

Coordenadas de puntos esféricos los espacios se llaman triples de números
, dónde - ángulo polar de proyección de un punto en un plano
,- el ángulo entre el eje
y vector
y
.

En plano
introducimos los ejes de coordenadas cartesianos
y
de la forma habitual, y el eje del aplicate es compatible con el eje
... Las fórmulas que conectan coordenadas esféricas con coordenadas cartesianas son las siguientes:

(4)

Estas fórmulas asignan el área a todo el espacio.
.

Jacobiano del sistema de funciones (4):

.

Las superficies coordinadas se componen de tres familias:

1)
- esferas concéntricas centradas en el origen;

2)
- semiplanos que pasan por el eje
;

3)
- conos circulares con ápice en el origen, cuyo eje es el eje
.

La fórmula para la transición a SSK en la integral triple:

Observación 3. Se recomienda la transición al SSC cuando la región de integración es una bola o parte de ella. En este caso, la ecuación de la esfera
entra en. Como el CSK discutido anteriormente, el SSK está "atado" al eje
... Si el centro de la esfera se desplaza un radio a lo largo del eje de coordenadas, entonces se obtendrá la ecuación esférica más simple cuando se desplace a lo largo del eje.
:

Observación 4. Es posible generalizar el SSK:

con jacobiano
... Este sistema de funciones traducirá el elipsoide

en el "paralelepípedo"

Ejemplo 2. Hallar la distancia promedio de los puntos de una bola de radio desde su centro.

Solución. Recuerde que el valor medio de la función
en el área de
Es la integral triple de la función sobre el área dividida por el volumen del área. En nuestro caso

Entonces tenemos

El procedimiento para calcular una integral triple es similar a la operación correspondiente para una integral doble. Para describirlo, presentamos el concepto de región tridimensional regular:

Definición 9.1. Una región tridimensional V, limitada por una superficie cerrada S, se llama regular si:

1. cualquier línea recta paralela al eje de Oz y trazada a través del punto interior de la región interseca a S en dos puntos;
2. toda la región V se proyecta sobre el plano Oxy en una región bidimensional regular D;
3. cualquier parte de la región V, separada de ella por un plano paralelo a cualquiera de los planos de coordenadas, tiene las propiedades 1) y 2).

Considere una región regular V limitada desde abajo y arriba por superficies z = χ (x, y) y z = ψ (x, y) y que se proyecta sobre el plano Oxy en una región regular D, dentro de la cual x varía de a a b, delimitada por las curvas y = φ1 (x) y y = φ2 (x) (Fig. 1). Definamos en el dominio V una función continua f (x, y, z).

Definición 9.2. Llamemos a una integral triple de la función f (x, y, z) sobre la región V una expresión de la forma:

Una integral triple tiene las mismas propiedades que una integral doble. Los enumeramos sin prueba, ya que se prueban de manera similar al caso de una integral doble.

Cálculo de la integral triple.

Teorema 9.1. La integral triple de la función f (x, y, z) sobre la región regular V es igual a la integral triple sobre la misma región:

. (9.3)

Prueba.

Dividimos la región V por planos paralelos a los planos de coordenadas en n regiones regulares. Entonces la propiedad 1 implica que

donde es la integral triple de la función f (x, y, z) sobre el dominio.

Usando la fórmula (9.2), la igualdad anterior se puede reescribir como:

De la condición de continuidad de la función f (x, y, z) se deduce que el límite de la suma integral en el lado derecho de esta igualdad existe y es igual a la integral triple. Luego, pasando al límite en, obtenemos:

Q.E.D.

Comentario.

De manera similar al caso de una integral doble, se puede probar que un cambio en el orden de integración no cambia el valor de una integral triple.

Ejemplo. Calculemos la integral donde V es una pirámide triangular con vértices en los puntos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Su proyección sobre el plano Oxy es un triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1). La región está limitada desde abajo por el plano z = 0, y desde arriba por el plano x + y + z = 1. Procedamos a la integral triple:

Los factores que no dependen de la variable de integración se pueden mover fuera del signo de la integral correspondiente:

Sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio tridimensional.

1. Sistema de coordenadas cilíndrico.

Las coordenadas cilíndricas del punto P (ρ, φ, z) son las coordenadas polares ρ, φ de la proyección de este punto en el plano Oxy y la aplicada de este punto z (Fig. 2).

Las fórmulas para la transición de coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas se pueden especificar de la siguiente manera:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9,4)

1. Sistema de coordenadas esféricas.

En coordenadas esféricas, la posición de un punto en el espacio está determinada por la coordenada lineal ρ - la distancia desde el punto hasta el origen del sistema de coordenadas cartesianas (o el polo del sistema esférico), φ - el ángulo polar entre el positivo el semieje Ox y la proyección del punto sobre el plano Oxy, y θ - el ángulo entre el semieje positivo del eje Оz y el segmento OP (Fig. 3). Donde

Definamos las fórmulas para la transición de coordenadas esféricas a cartesianas:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9,5)

Jacobiano y su significado geométrico.

Considere el caso general de un cambio de variables en una integral doble. Sea un dominio D delimitado por una recta L en el plano Oxy. Suponga que xey son funciones de un solo valor y continuamente diferenciables de las nuevas variables u y v:

x = φ (u, v), y = ψ (u, v). (9,6)

Considere un sistema de coordenadas rectangular Оuv, cuyo punto Р΄ (u, v) corresponde al punto Р (x, y) del dominio D. Todos estos puntos forman en el plano Оuv el dominio D΄ delimitado por la recta L ΄. Podemos decir que las fórmulas (9.6) establecen una correspondencia biunívoca entre los puntos de las regiones D y D΄. En este caso, las líneas u = const y

v = const en el plano Ouv corresponderá a algunas líneas en el plano Oxy.

Considere en el plano Оuv un área rectangular ΔS΄ delimitada por las líneas rectas u = const, u + Δu = const, v = const y v + Δv = const. Corresponderá a un área curva ΔS en el plano Oxy (Fig. 4). Las áreas de los sitios bajo consideración también serán indicadas por ΔS΄ y ΔS. En este caso, ΔS΄ = Δu Δv. Encontremos el área ΔS. Denotamos los vértices de este cuadrilátero curvilíneo Р1, Р2, Р3, Р4, donde

P1 (x1, y1), x1 = φ (u, v), y1 = ψ (u, v);

P2 (x2, y2), x2 = φ (u + Δu, v), y2 = ψ (u + Δu, v);

P3 (x3, y3), x3 = φ (u + Δu, v + Δv), y3 = ψ (u + Δu, v + Δv);

P4 (x4, y4), x4 = φ (u, v + Δv), y4 = ψ (u, v + Δv).

Reemplace los pequeños incrementos Δu y Δv con los diferenciales apropiados. Luego

En este caso, el cuadrilátero Р1 Р2 Р3 Р4 se puede considerar un paralelogramo y su área se puede determinar utilizando la fórmula de la geometría analítica:

(9.7)

Definición 9.3. El determinante se llama determinante funcional o jacobiano de las funciones φ (x, y) y ψ (x, y).

Pasando al límite en igualdad (9.7), obtenemos el significado geométrico del jacobiano:

es decir, el módulo del jacobiano es el límite de la relación de las áreas de áreas infinitesimales ΔS y ΔS΄.

Comentario. De manera similar, se puede definir el concepto de Jacobiano y su significado geométrico para un espacio n-dimensional: si x1 = φ1 (u1, u2,…, un), x2 = φ2 (u1, u2,…, un) ,…, Xn = φ (u1, u2, ..., un), entonces

(9.8)

Además, el módulo del jacobiano da el límite de la relación de los "volúmenes" de las regiones pequeñas de los espacios x1, x2, ..., xn y u1, u2, ..., un.

Cambio de variables en múltiples integrales.

Investiguemos el caso general de un cambio de variables usando el ejemplo de una integral doble.

Sea una función continua z = f (x, y) en el dominio D, cada valor del cual corresponde al mismo valor de la función z = F (u, v) en el dominio D΄, donde

F (u, v) = f (φ (u, v), ψ (u, v)). (9,9)

Considere la suma integral

donde la suma integral de la derecha se toma sobre el dominio D΄. Pasando al límite en, obtenemos una fórmula de transformación de coordenadas en una integral doble.

Supongamos que se da un cuerpo material, que es un área espacial P llena de masa. Se requiere encontrar la masa m de este cuerpo, siempre que en cada punto P € P se conozca la densidad de distribución de masa. Dividimos la región P en partes en cubos no superpuestas (es decir, que tienen volumen) con volúmenes, respectivamente. En cada una de las regiones parciales ft * elegimos un punto arbitrario P *. Tomemos aproximadamente que dentro de los límites de la región parcial ft * la densidad es constante e igual a / * (P *). Entonces la masa Amk de esta parte del cuerpo se expresará por la igualdad aproximada Amnk y la masa de todo el cuerpo será aproximadamente igual suma (1) tiene un límite finito, que tampoco depende del método de partición del dominio ft en subdominios parciales, o en la elección de los puntos P * € ft *, entonces este límite se toma como la masa m del cuerpo dado. Definamos una función acotada en un dominio cúbico cerrado ft. ft en n partes cúbicas disjuntas , y sus volúmenes se indican con, respectivamente. En cada subdominio parcial * elegimos arbitrariamente un punto Pk (xk, yk, zk) y componimos la suma integral Sea d el mayor de los diámetros de las regiones parciales Definición. Si para d 0 las sumas integrales a tienen un límite que no depende ni del método de partición del dominio A en subdominios parciales * ni de la elección de los puntos Pk ∈ *, entonces este límite se denomina integral triple de la función f (x) y, z) con respecto al dominio Q y se denota mediante el símbolo Teorema 6. Si una función f (x, y, z) es continua en un dominio al cubo cerrado, entonces es integrable en este dominio. Propiedades de las integrales triples Las propiedades de las integrales triples son similares a las de las integrales dobles, enumeremos las principales. Sean las funciones integrables en el dominio al cubo L. 1. Linealidad. En este caso, la función se llama integrable en el dominio Q. Así, por definición, tenemos Volviendo al problema de calcular la masa del cuerpo, observamos que el límite (2) es la triple integral ogm de la función p (P) sobre el dominio P. Por lo tanto, aquí dx dy dz - dv elemento de volumen en coordenadas rectangulares. donde ay (3 son constantes reales arbitrarias. en todas partes del dominio, entonces 3. Si f (P) = 1 en el dominio, entonces n donde V es el volumen del dominio Q.Si la función f (P) es continua en el dominio cúbico cerrado ft y M y m son sus valores más grande y más pequeño en ft, entonces donde V es el volumen del área ft. 5. Aditividad. Si el dominio ft se divide en dominios al cubo sin puntos interiores comunes y f (P) es integrable en el dominio ft, entonces f (P) es integrable en cada uno de los dominios ft | y ft2, y 6. Teorema del valor medio. Teorema 7 (sobre la media). Si la función f (P) es continua en un dominio cúbico cerrado ft, entonces existe un Pc € ft delgado tal que la fórmula donde V es el volumen del dominio ft (recuerde que el dominio es un conjunto conectado). § 7. Cálculo de la integral triple en coordenadas cartesianas Como en el cálculo de integrales dobles, el asunto se reduce al cálculo de integrales iteradas. Suponga que la función es continua en algún dominio ft. 1er caso. El área ft es un paralelepípedo rectangular proyectado sobre el plano yOz en un rectángulo i2; Entonces obtenemos Reemplazando la integral doble por la repetida, finalmente obtenemos Así, en el caso en que el dominio sea un paralelepípedo rectangular, hemos reducido el cálculo de la integral triple al cálculo secuencial de tres integrales ordinarias. La fórmula (2) se puede reescribir como donde el rectángulo es la proyección ortogonal del paralelepípedo P sobre el plano xOy. 2do caso. Consideremos ahora un dominio Q tal que su superficie limítrofe 5 interseca cualquier línea recta paralela al eje Oz en no más de dos puntos oa lo largo de un segmento completo (Fig. 22). Sea z = tpi (x, y) la ecuación de la superficie 5, delimitando la región desde abajo, y la superficie S2, delimitando la región desde arriba, tiene la ecuación z = y). Deje que ambas superficies S1 y S2 se proyecten sobre la misma región del plano xOy. Denotémoslo por D, y la curva que lo delimita por L. El resto del límite 5 del cuerpo Q se encuentra sobre una superficie cilíndrica con generadores paralelos al eje Oz, y con la curva L como guía. Entonces, por analogía con la fórmula (3), obtenemos Si la región D del plano xOy es un trapezoide curvilíneo delimitado por dos curvas, entonces la integral doble en la fórmula (4) se puede reducir a una repetida, y finalmente obtener Esta fórmula es una generalización de la fórmula (2). Fig-23 Ejemplo. Calcule el volumen del tetraedro delimitado por los planos La proyección del tetraedro sobre el plano xOy es un triángulo formado por líneas rectas de modo que x cambia de 0 a 6, y para un x (0 ^ x ^ 6) fijo y cambia de 0 a 3 - | (figura 23). Si tanto x como y son fijos, entonces el punto puede moverse verticalmente de un plano a otro, cambiando de 0 a 6 - x - 2y. Por la fórmula, obtenemos §8. Cálculo de una integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas La cuestión de cambiar variables en una integral triple se resuelve de la misma forma que en el caso de una integral doble. Sea la función f (x, y, z) continua en un dominio cúbico cerrado ft, y las funciones sean continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en un dominio cúbico cerrado ft *. Suponga que las funciones (1) establecen una correspondencia biunívoca entre todos los puntos rj, () del dominio ft *, por un lado, y todos los puntos (x, y, z) del dominio ft, por el otro. . Entonces la fórmula para el cambio de variables en la integral triple es válida, donde es el jacobiano del sistema de funciones (1). En la práctica, al calcular integrales triples, a menudo se usa el reemplazo de coordenadas rectangulares por coordenadas cilíndricas y esféricas. 8.1. Integral triple en coordenadas cilíndricas En un sistema de coordenadas cilíndricas, la posición de un punto P en el espacio está determinada por tres números p, donde py (p son las coordenadas polares de la proyección P1 del punto P sobre el plano xOy, az es la aplica del punto P (Fig. 24) .Los números se denominan coordenadas cilíndricas punto R. Es claro que en el sistema de coordenadas cilíndricas, las superficies de coordenadas son la integral triple Propiedades de integrales triples Cálculo de la integral triple en coordenadas cartesianas La El cálculo de la integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente, describe: un cilindro circular cuyo eje coincide con el eje Oz, un semiplano adyacente al eje Oz y un plano paralelo al plano xOy. Las coordenadas cilíndricas están relacionadas con las siguientes fórmulas cartesianas (ver Fig. 24). Para el sistema (3), que mapea el dominio ft en el dominio, también tenemos la fórmula (2) para la transición de una integral triple en coordenadas rectangulares a una integral en coordenadas cilíndricas toma la forma (4) La expresión se llama e elemento del volumen en coordenadas cilíndricas. Esta expresión para un elemento de volumen también se puede obtener a partir de consideraciones geométricas. Dividimos la región P en subdominios elementales por superficies coordinadas y calculamos los volúmenes de los prismas curvilíneos obtenidos (Fig. 25). Se puede ver que Descartando un valor infinitamente pequeño de orden superior, obtenemos Esto nos permite tomar el siguiente valor como un elemento de volumen en coordenadas cilíndricas Ejemplo 1. Hallar el volumen de un cuerpo delimitado por superficies 4 En coordenadas cilíndricas, dado las superficies tendrán ecuaciones (ver fórmulas (3)). Estas superficies se intersecan a lo largo de la línea r, que se describe mediante el sistema de ecuaciones (cilindro), (plano), Fig.26 y su proyección en el plano xOy por el sistema. Por lo tanto, el volumen requerido se calcula mediante la fórmula (4) , en el cual. Integral triple en coordenadas esféricas En un sistema de coordenadas esféricas, la posición del punto P (x, y, z) en el espacio está determinada por tres números, donde r es la distancia desde el origen al punto, el ángulo entre el eje Ox y la proyección del vector de radio OP del punto P sobre el plano xOy, y en - el ángulo entre el eje de Oz y el vector de radio OR del punto P, medido desde el eje de Oz (Fig. 27). Está claro que. Superficies de coordenadas en este sistema de coordenadas: r = const - esferas centradas en el origen; ip = semiplanos const que salen del eje Oz; â = const - conos circulares con el eje Oz. Arroz. 27 Se puede ver en la figura que las coordenadas esféricas y cartesianas están relacionadas por las siguientes relaciones Calculemos el jacobiano de funciones (5). Tenemos Consecuentemente, y la fórmula (2) toma la forma Elemento de volumen en coordenadas esféricas - La expresión para el elemento de volumen se puede obtener a partir de consideraciones geométricas. Considere una región elemental en el espacio limitada por esferas de radios r y r + dr, conos byb + d $ y semiplanos Aproximadamente esta región puede considerarse un paralelepípedo rectangular con medidas. Luego la integral triple Propiedades de las integrales triples Cálculo de la integral triple en coordenadas cartesianas Cálculo de la integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas Ejemplo 2. Halla el volumen de un cuerpo convexo Q cortado del cono por esferas concéntricas -4 Pasamos al sistema de coordenadas esféricas De las dos primeras ecuaciones se ve que. A partir de la tercera ecuación encontramos los límites del ángulo cambiado 9: de donde