رسانایی گرمایی. توصیف ریاضی ، مشکلات خاص هدایت گرما

رسانایی گرمایی- این یکی از انواع انتقال حرارت است. انتقال حرارت را می توان با استفاده از مکانیسم های مختلف انجام داد.

همه اجسام امواج الکترومغناطیسی ساطع می کنند. در دمای اتاق ، این عمدتا تابش مادون قرمز است. این طوری پیش می رود انتقال حرارت تابشی.

در صورت وجود میدان گرانش ، مکانیسم انتقال حرارت دیگری در مایعات می تواند باشد همرفت... اگر گرما به ظرفی حاوی مایع یا گاز از طریق تهویه برسد ، ابتدا قسمتهای پایین ماده گرم می شود ، چگالی آنها کاهش می یابد ، آنها شناور می شوند و مقداری از گرمای دریافتی را به لایه های بالایی می دهند.

با هدایت حرارتی ، انتقال انرژی در نتیجه انتقال مستقیم انرژی از ذرات (مولکولها ، اتمها ، الکترونها) با انرژی بیشتر به ذرات با انرژی کمتر اتفاق می افتد.

دوره ما به انتقال گرما با هدایت می پردازد.

اجازه دهید ابتدا مورد تک بعدی را در نظر بگیریم که دما فقط به یک مختصات بستگی دارد NS... اجازه دهید دو محیط با پارتیشن مسطح ضخامت از هم جدا شوند ل(شکل 23.1). دمای متوسط تی 1 و تی 2 ثابت نگه داشته می شود. می توان به صورت تجربی میزان گرما را تعیین کرد ساز طریق قسمتی از یک پارتیشن با مساحت منتقل می شود سدر حین tبرابر است

, (23.1)

جایی که ضریب تناسب k به مواد دیوار بستگی دارد.

در تی 1 > تی 2 گرما در جهت مثبت محور منتقل می شود NS، در تی 1 < تی 2 - منفی اگر در معادله (23.1) جايگزين كنيم (مي توان جهت انتشار گرما را در نظر گرفت) تی 1 - تی 2)/لبر (- dT/dx) در حالت تک بعدی ، مشتق dT/dxنمایندگی می کند شیب دما... به یاد بیاورید که گرادیان بردار است که جهت آن با جهت سریعترین افزایش تابع مختصات مقیاس همزمان است (در مورد ما تی) ، و مدول برابر است با نسبت افزایش عملکرد در یک جابجایی کوچک در این جهت به مسافتی که این افزایش رخ داده است.

برای این که معادلات توصیف کننده انتقال حرارت یک شکل کلی و کلی تری داشته باشیم ، در نظر می گیریم چگالی شار حرارتی j - مقدار گرمای منتقل شده از طریق واحد مساحت در واحد زمان

سپس رابطه (23.1) را می توان در فرم نوشت

در اینجا علامت منفی این واقعیت را منعکس می کند که جهت جریان گرما برخلاف جهت گرادیان دما (جهت افزایش آن) است. بنابراین ، چگالی شار حرارتی یک مقدار بردار است. بردار چگالی شار حرارتی به سمت کاهش دما هدایت می شود.

اگر دمای محیط بستگی به هر سه مختصات داشته باشد ، رابطه (23.3) شکل می گیرد

جایی که ، گرادیان دما است ( ه 1 ,ه 2 ,ه 3 - واحد بردارهای محور مختصات).

روابط (23.3) و (23.4) نشان دهنده قانون اساسی هدایت حرارتی (قانون فوریه) است: چگالی شار حرارتی متناسب با گرادیان دما است.ضریب تناسب k نامیده می شود ضریب هدایت حرارتی(یا فقط هدایت حرارتی). زیرا ابعاد چگالی شار حرارتی [ j] = J / (m 2 s) ، و گرادیان دما [ dT / dx] = K / m ، سپس بعد ضریب هدایت حرارتی [k] = J / (m × s × K).

به طور کلی ، درجه حرارت در نقاط مختلف یک ماده گرم شده به طور ناهموار در طول زمان تغییر می کند. حالت تک بعدی را در نظر بگیرید که دما فقط به یک مختصات فضایی بستگی دارد NSو زمان t، و می گیریم معادله گرما- معادله دیفرانسیل که تابع برآورده می کند تی = تی(ایکس,t).

اجازه دهید از نظر ذهنی یک عنصر حجم کوچک به شکل استوانه یا منشور را انتخاب کنیم ، که مولدهای آن موازی محور هستند NS، و پایه ها عمود هستند (شکل 23.2). مساحت پایه س، و ارتفاع dx... جرم این حجم dm= r Sdx، و ظرفیت گرمایی آن c × dmجایی که r چگالی ماده است ، با- ظرفیت حرارتی خاص بگذارید برای مدت کوتاهی dtدرجه حرارت در این حجم تغییر کرده است dT... بدین منظور ، ماده موجود در حجم باید با تغییر دما ، مقدار حرارتی برابر با محصول ظرفیت گرمایی خود دریافت کند: ... از سوی دیگر ، د سمی تواند حجم را فقط از طریق پایه های استوانه وارد کند: (چگالی شار حرارتی jمی تواند هم مثبت و هم منفی باشد). برابر کردن عبارات برای d س، ما گرفتیم

.

با جایگزینی نسبتهای افزایش کوچک با مشتقات مربوطه ، به رابطه می رسیم

. (23.5)

چگالی شار حرارتی را با عبارت (23.5) (23.3) جایگزین کنید

. (23.6)

معادله حاصله نامیده می شود معادله گرما... اگر محیط همگن باشد و رسانایی گرمایی k به دما بستگی نداشته باشد ، معادله شکل می گیرد

, (23.7)

جایی که ثابت نامیده می شود نفوذ حرارتیچهار شنبه.

معادلات (23.6) - (23.8) مجموعه بیشماری از توابع راضی هستند تی = تی(ایکس,t).

برای جدا کردن تنها راه حل معادله گرما ، لازم است شرایط اولیه و مرزی را به معادله اضافه کنیم.

شرط اولیه تعیین توزیع دما در محیط است تی(NS، 0) در لحظه اولیه زمان t = 0.

بسته به شرایط دما در مرزها ، شرایط مرزی می تواند متفاوت باشد. بیشتر مواقع ، شرایطی وجود دارد که دما یا چگالی شار حرارتی به عنوان تابعی از زمان در مرزها تنظیم می شود.

در برخی موارد ، ممکن است منابع گرمایی در محیط وجود داشته باشد. حرارت می تواند در نتیجه عبور جریان الکتریکی ، واکنش های شیمیایی یا هسته ای آزاد شود. با معرفی چگالی حجم آزادسازی انرژی می توان وجود منابع گرما را در نظر گرفت س(ایکس,y,z) ، برابر با مقدار گرمای آزاد شده توسط منابع در واحد حجم محیط در واحد زمان. در این حالت ، این عبارت در سمت راست معادله ظاهر می شود (23.5) س:

.

مطالعه هر پدیده فیزیکی به برقراری رابطه بین کمیت های مشخص کننده این پدیده تقلیل می یابد. برای فرایندهای فیزیکی پیچیده ، که در آنها مقادیر تعیین کننده می توانند به طور قابل توجهی در مکان و زمان متفاوت باشند ، ایجاد رابطه بین این کمیت ها بسیار دشوار است. در چنین مواردی ، از روش های فیزیک ریاضی استفاده می شود ، که شامل این واقعیت است که فاصله زمانی محدود است و حجم اولیه خاصی از کل فضا در نظر گرفته می شود. این به شما امکان می دهد ، در حجم انتخاب شده و فاصله زمانی معین ، از تغییرات در مقادیر مشخصه فرآیند غافل شده و وابستگی را به میزان قابل توجهی ساده کنید.

حجم عنصری به این روش انتخاب شده است dVو یک دوره ابتدایی از زمان dτاز نظر ریاضی ، این فرایند در نظر گرفته می شود ، بینهایت کم و از نظر فیزیکی ، کمیت ها هنوز به اندازه کافی بزرگ هستند به طوری که در درون آنها می توان رسانه را مداوم در نظر گرفت و از ساختار گسسته آن غافل شد. وابستگی بدست آمده از این طریق معادله دیفرانسیل کلی فرایند است. با ادغام معادلات دیفرانسیل ، می توان یک رابطه تحلیلی بین مقادیر کل منطقه ادغام و کل دوره در نظر گرفته شده به دست آورد.

برای حل مشکلات مربوط به یافتن میدان دما ، داشتن معادله دیفرانسیل هدایت گرما ضروری است.

بیایید مفروضات زیر را انجام دهیم:

بدن همگن و همسانگرد است ؛

پارامترهای فیزیکی ثابت هستند ؛

تغییر شکل حجم مورد بررسی ، همراه با تغییر دما ، در مقایسه با خود حجم بسیار اندک است.

منابع داخلی گرما در بدن به طور مساوی توزیع می شود.

مشتق معادله دیفرانسیل هدایت گرما بر اساس قانون حفاظت از انرژی است که ما آن را به صورت زیر بیان می کنیم:

مقدار گرماdQوارد جلد ابتدایی شدdVبیرون برای زمانdτبه دلیل هدایت حرارتی و همچنین از منابع داخلی ، برابر است با تغییر در انرژی داخلی یا آنتالپی یک ماده موجود در یک حجم اولیه.

جایی که dQ 1 - مقدار گرمای وارد شده به حجم اولیه dVبا هدایت حرارتی در زمان dτ;

dQ 2 - مقدار حرارتی که در طول dτدر حجم ابتدایی برجسته شد dVاز منابع داخلی ؛

dQ- تغییر در انرژی داخلی (فرایند ایزوکوریک) یا آنتالپی ماده (فرایند ایزوباریک) موجود در یک حجم اولیه dVدر حین dτ.

برای بدست آوردن معادله ، یک حجم ابتدایی را به شکل مکعب با اضلاع در نظر بگیرید dx, dy, dz (شکل 1.2 را ببینید.). مکعب به گونه ای قرار گرفته است که صورت آن موازی با صفحه مختصات مربوطه است. مقدار حرارتی که در طول زمان به سطوح حجم اولیه تأمین می شود dτدر جهت محورها ایکس, y, z به ترتیب نشان می دهد dQ ایکس , dQ y , dQ z .

مقدار حرارتی که از طریق صفحات مخالف در جهتهای مشابه حذف می شود ، بر این اساس مشخص می شود dQ ایکس + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

میزان گرمای وارد شده به صورت dxdyدر جهت محور ایکسدر حین dτ، است:

جایی که س ایکس- فشرده سازی چگالی شار حرارتی در جهت نرمال به صورت مشخص شده. بر این اساس ، مقدار گرمای خارج شده از طریق صورت مقابل خواهد بود:

تفاوت بین مقدار گرمای تامین شده به یک حجم اولیه و میزان گرمای خارج شده از آن در گرما است:

عملکرد سدر فاصله در نظر گرفته شده پیوسته است dx و می تواند به یک مجموعه تیلور گسترش یابد:

اگر به دو عبارت اول سری محدود شویم ، معادله به شکل زیر نوشته می شود:

به طور مشابه ، می توانید مقدار گرمای تامین شده به حجم را در جهت دو محور مختصات دیگر پیدا کنید y و z.

مقدار گرما dQ، که در نتیجه هدایت حرارتی به حجم مورد نظر عرضه می شود ، برابر خواهد بود با:

ما عبارت دوم را با تعیین مقدار گرمای آزاد شده توسط منابع داخلی در واحد حجم محیط در واحد زمان تعریف می کنیم س vو بیایید آن را صدا کنیم ظرفیت منابع داخلی گرما[W / m 3] ، سپس:

سومین جزء در معادله ما بسته به ماهیت TD فرایند تغییر سیستم پیدا می شود.

هنگام در نظر گرفتن فرآیند ایزوکوریک ، تمام گرمای تامین شده به حجم اولیه صرف تغییر انرژی داخلی ماده موجود در این حجم می شود ، به عنوان مثال. dQ= dU.

اگر انرژی داخلی واحد حجم را در نظر بگیریم تو= f(t, v) ، سپس می توانید بنویسید:

، J / m 3

، J / kg

جایی که ج v – ظرفیت حرارتی ایزوکوریک یا واحد حجم یا واحد جرم ، [J / m 3] ؛

ρ - چگالی ، [کیلوگرم / متر 3].

بیایید عبارات حاصله را جمع آوری کنیم:

عبارت حاصله عبارت است از معادله انرژی دیفرانسیل برای فرآیند انتقال حرارت ایزوکوریک.

معادله برای فرآیند ایزوباریک به روش مشابهی مشتق شده است. تمام گرمای تأمین شده به حجم صرف تغییر آنتالپی ماده موجود در حجم می شود.

نسبت حاصله عبارت است از معادله دیفرانسیل انرژی برای فرآیند ایزوباریک

در مواد جامد ، انتقال حرارت طبق قانون فوریه انجام می شود
، مقدار ظرفیت حرارتی را می توان در نظر گرفت
... به یاد بیاورید که بردار چگالی شار حرارتی بر محورهای مختصات با عبارات زیر تعیین می شود:

آخرین عبارت معادله دیفرانسیل هدایت گرما نامیده می شود. این ارتباط بین تغییرات زمانی و مکانی دما در هر نقطه از بدن که در آن فرآیند هدایت گرما رخ می دهد ، ایجاد می شود.

کلی ترین معادله دیفرانسیل هدایت گرما در مشتقات جزئی به همان شکل است ، اما در آن مقادیر ρ ,  , باتوابع زمان و مکان هستند. این معادله تعداد زیادی از مشکلات هدایت گرما را مورد توجه قرار می دهد. اگر پارامترهای ترموفیزیکی را ثابت در نظر بگیریم ، معادله ساده تر می شود:

نشان می دهیم
، سپس:

نسبت ابعاد آ[m 2 / s] ضریب نفوذ حرارتی نامیده می شود و یک پارامتر فیزیکی ماده است. برای فرآیندهای حرارتی غیر ساکن ضروری است و میزان تغییر دما را مشخص می کند. اگر ضریب هدایت حرارتی مشخصه توانایی اجسام در انتقال گرما باشد ، ضریب نفوذ حرارتی معیاری از ویژگی های اینرسی حرارتی بدن است. به عنوان مثال ، مایعات و گازها اینرسی حرارتی بالاتری دارند و بنابراین ، نفوذ حرارتی پایینی دارند ، در حالی که فلزات ، برعکس ، اینرسی حرارتی پایینی دارند.

اگر منابع داخلی گرما وجود داشته باشد و میدان دما ثابت باشد ، معادله پواسون را بدست می آوریم:

در نهایت ، با هدایت حرارتی ثابت و عدم وجود منابع داخلی گرما ، معادله لاپلاس را بدست می آوریم:

شرایط بدون ابهام برای هدایت حرارتی

از آنجا که معادله دیفرانسیل هدایت گرما برگرفته از قوانین کلی فیزیک است ، یک دسته کامل از پدیده ها را توصیف می کند. برای حل آن ، لازم است شرایط مرزی یا شرایط منحصر به فرد بودن مشخص شود.

شرایط عدم ابهام عبارتند از:

شرایط هندسی - مشخص کردن شکل و اندازه بدن ؛

شرایط فیزیکی - ویژگی های فیزیکی محیط و بدن را مشخص کنید.

شرایط اولیه (موقت) - مشخص کردن توزیع دما در بدن در لحظه اولیه زمان ، در مطالعه فرآیندهای غیر ساکن تنظیم شده است.

شرایط مرزی - تعامل بدن مورد بررسی با محیط را مشخص می کند.

شرایط مرزی را می توان به روش های مختلف تعیین کرد.

شرایط مرزی از نوع اول. توزیع دما در سطح بدن برای هر لحظه در زمان تعیین می شود:

t ج = f(ایکس, y, z, τ )

جایی که t ج- دمای سطح بدن ؛

ایکس, y, z- مختصات سطح بدن.

در یک مورد خاص ، هنگامی که درجه حرارت روی سطح در تمام مدت فرآیندهای انتقال حرارت ثابت است ، معادله ساده می شود:

t ج = const

شرایط مرزی نوع دوم. مقادیر شار حرارتی برای هر نقطه از سطح بدن و برای هر لحظه در زمان تعیین می شود. از نظر تحلیلی به این شکل است:

س ج = f(ایکس, y, z, τ )

در ساده ترین حالت ، چگالی شار حرارتی روی سطح بدن ثابت می ماند. چنین موردی هنگام گرم شدن محصولات فلزی در کوره های با درجه حرارت بالا رخ می دهد.

شرایط مرزی نوع سوم. در این حالت ، دمای محیط تنظیم می شود t چهارشنبهو قانون انتقال حرارت بین سطح بدن و محیط. قانون نیوتن-ریچمن برای توصیف فرایند انتقال حرارت استفاده می شود. بر اساس این قانون ، میزان گرمای خروجی یا دریافتی توسط یک واحد سطح بدن در واحد زمان متناسب با تفاوت دما بین سطح بدن و محیط است:

جایی که α ضریب تناسب ، که ضریب انتقال حرارت [W / (m 2 · K)] نامیده می شود ، شدت انتقال حرارت را مشخص می کند. از نظر عددی ، برابر است با مقدار گرمای خروجی توسط واحد سطح بدن در واحد زمان با اختلاف دما برابر با یک درجه. بر اساس قانون حفاظت از انرژی ، مقدار حرارتی که به محیط منتقل می شود باید برابر با گرمای تامین شده در اثر هدایت گرما از قسمت های داخلی بدن باشد ، یعنی:

معادله آخر یک شرط مرزی از نوع سوم است.

هنگامی که هیچ یک از شرایط ذکر شده را نمی توان مشخص کرد ، مشکلات فنی پیچیده تری وجود دارد ، و سپس شما باید مشکل را با روش ترکیب حل کنید. هنگام حل چنین مشکلی ، شرایط مساوی دما و شار حرارتی در هر دو طرف رابط باید برآورده شود. در حالت کلی ، شرایط صیغه را می توان نوشت:

راه حل مشکل مزدوج با یافتن زمینه های دما در دو طرف رابط همراه است.

اجازه دهید اولین مسئله مختلط را برای معادله گرما حل کنیم: یک راه حل u (x، t) از یک معادله که شرایط اولیه و شرایط مرزی را برآورده می کند ، بیابیم. ما با ساده ترین مسئله شروع می کنیم: یک راه حل u (x، t) یک همگن پیدا کنید. معادله ای که شرایط اولیه را برآورده می کند و شرایط مرزی صفر (همگن) ) ، دو معادله دیفرانسیل معمولی را بدست می آوریم یا از آنجا داریم برای به دست آوردن راه حل های نامتعارف u (x ، *) از شکل (7) ، با رعایت شرایط مرزی (6) ، یافتن راه حل های بی اهمیت معادله ضروری است. ( 10) که شرایط مرزی را برآورده می کند بنابراین ، برای تعیین تابع X (x) ، به یک مسئله ارزش ویژه می رسیم: مقادیر پارامتر A را بیابید ، که برای آنها راه حل های غیرعادی وجود دارد. این مشکل در فصل قبل در آنجا نشان داده شد که تنها در صورت وجود راه حل های غیرحرفه ای در هنگام A = A "، راه حل کلی معادله (9) دارای معادله (4) و شرایط مرزی (6) است. اجازه دهید یک سری رسمی بسازیم با توجه به اینکه تابع u (x) t ، تعریف شده توسط فرمول (12) ، شرایط اولیه را برآورده می کند ، بدست می آوریم که سری (13) بسط تابع داده شده در یک سری فوریه در سینوس ها در فاصله (O ، I). ضرایب انبساط a «با فرمولهای معروف روش فوریه برای معادله گرما تعیین می شود. فرض کنید بار (13) با ضرایب تعیین شده توسط فرمولها (14) به طور کامل و یکنواخت به تابع همگرا می شود. از آنجا که در آن زمان سری برای کاملاً و به طور یکنواخت همگرا می شود. بنابراین ، تابع u (x ، t) - مجموع سری (12) - در منطقه پیوسته است و شرایط اولیه و مرزی را برآورده می کند. باقی می ماند تا نشان دهیم که تابع u (x ، t) معادله (4) را در منطقه 0 برآورده می کند. برای این ، کافی است نشان دهیم که سری های حاصل از (12) با تمایز دوره به مدت نسبت به t یک بار و تمایز بر حسب اصطلاح در رابطه با x دو بار نیز مطلق هستند و به طور یکنواخت برای همگرا می شوند. اما این از این واقعیت ناشی می شود که برای هر t> 0 اگر n به اندازه کافی بزرگ باشد. منحصر به فرد بودن راه حل مسئله (4) - (6) و وابستگی پیوسته راه حل به عملکرد اولیه قبلاً مشخص شده بود. بنابراین ، برای t> 0 مشکل (4) - (6) به درستی مطرح می شود. برعکس ، برای t منفی این مشکل نادرست است. اظهار نظر. بر خلاف معادله خانه ، معادله در مورد زمان t نامتقارن است: اگر t را با -t جایگزین کنیم ، معادله ای از نوع متفاوت دریافت می کنیم که فرایندهای برگشت ناپذیر را توصیف می کند: m این بود و برای زمان t قبل از لحظه در نظر گرفته شده این رابطه بین پیش بینی و ماقبل تاریخ ، معمولی برای معادله سهمی است و مثلاً در رابطه با معادله موج صادق نیست. در مورد دوم ، نگاه به گذشته به آسانی نگاه به آینده است. مثال. اگر دمای اولیه میله و انتهای میله صفر درجه حرارت باشد ، توزیع دما را در یک ماده عوضی به طول x پیدا کنید. 4 مشکل به حل معادله در شرایط اولیه و شرایط مرزی کاهش می یابد. با استفاده از روش فوریه ، ما به دنبال راه حل های نامحدود معادله (15) ، با رعایت شرایط مرزی (17) ، به شکل جایگزینی u (x ، t) هستیم در شکل (18) به معادله (15) و تقسیم متغیرها ، مقادیر ویژه مسئله را از کجا دریافت می کنیم. عملکردهای ویژه Xn (x) = mn nx. برای A = A „، راه حل کلی معادله (19) دارای شکل Tn (t) = میمون a n \ است به طوری که ما به دنبال حل مسئله (15) - (17) در قالب یک سری هستیم. بنابراین ، راه حل مشکل اصلی تابع 2 خواهد بود. حال مسئله زیر را در نظر بگیرید: یک راه حل rx (x ، t) از یک معادله ناهمگن که شرایط اولیه و شرایط مرزی همگن را برآورده می کند ، پیدا کنید. فرض کنید که تابع / پیوسته است ، مشتق پیوسته دارد و برای همه شرط t> 0 برآورده می شود. راه حل مسئله (1) - (3) به شکلی جستجو می شود که ما آن را به عنوان راه حلی برای مشکل تعریف می کنیم و تابع به عنوان راه حلی برای مسئله (8) - (10) در بخش 1 در نظر گرفته می شود. ما به دنبال راه حل v (x ، t) برای مسئله (5) - (7) در قالب یک سری در عملکردهای ویژه (مسئله مقدار مرزی. با افزودن t) در قالب معادله (5) ، Expand the function / ОМ) در یک سری فوریه در سینوس ها ، که در آن با مقایسه دو بسط (12) و (13) تابع f (x، t) در سری فوریه ، بدست می آوریم! با استفاده از شرط اولیه برای v (x ، t) ، روش فوریه برای معادله گرما ، در می یابیم که راه حل های معادلات (15) با شرایط اولیه (16) به صورت زیر است: جایگزینی عبارات یافت شده برای Tn (t) به صورت سری (11) ، ما راه حل را بدست می آوریم تابع راه حلی برای مشکل اصلی (1) - (3) خواهد بود. 3. مشکل را در نظر بگیرید: در حوزه حل معادله را در شرایط اولیه و شرایط مرزی ناهمگن بیابید روش فوریه به دلیل ناهمگن بودن شرایط مستقیماً قابل اجرا نیست (20). ما یک تابع ناشناخته جدید v (x، t) را معرفی می کنیم ، جایی که راه حل مسئله (18) - (20) به حل مسئله (1) - (3) کاهش می یابد ، که در بخش 2 در نظر گرفته شده است ، برای تابع v (x ، J). تمرینات 1. یک نوار همگن بی نهایت مشخص شده است. به آن ها نشان دهید که اگر دمای اولیه برابر است ، لحظه جلو دمای میله 2 است. انتهای میله به طول x در دمای مساوی صفر حفظ می شود. دمای اولیه با فرمول تعیین می شود. دمای میله را در هر لحظه از زمان t> 0 تعیین کنید. 3. انتهای میله طول I در دمای صفر نگهداری می شود. دمای اولیه میله با فرمول تعیین می شود. دمای میله را برای هر لحظه t> 0. تعیین کنید. 4. انتهای میله طول I در دمای صفر حفظ می شود. توزیع دمای اولیه دمای میله را در هر لحظه از زمان t> 0 تعیین کنید. پاسخ ها

معادله گرما برای حالت غیر ثابت

غیر ثابتاگر دمای بدن هم به موقعیت نقطه و هم به زمان بستگی دارد.

اجازه دهید ما با و = و(م, t) دما در نقطه مبدن همگن محدود به سطح س، در لحظه زمان t... مشخص است که مقدار گرما dQبه موقع جذب می شود dt، با برابری بیان می شود

جایی که dS- عنصر سطح ، کآیا ضریب هدایت حرارتی داخلی ، مشتق شده از تابع است ودر جهت نرمال خارجی به سطح س... از آنجا که در جهت کاهش دما انتشار می یابد ، پس dQ> 0 اگر> 0 ، و dQ < 0, если < 0.

برابری (1) دلالت دارد

حالا ما پیدا خواهیم کرد سیک راه دیگر. عنصر را انتخاب کنید dVجلد Vمحدود به سطح س... مقدار گرما dQدریافت شده توسط عنصر dVدر حین dt، متناسب با افزایش دما در این عنصر و جرم خود عنصر ، یعنی

چگالی ماده کجاست ، ضریب تناسب ، ظرفیت حرارتی ماده نامیده می شود.

برابری (2) دلالت دارد

بدین ترتیب،

جایی که . با در نظر گرفتن اینکه = ، ما دریافت می کنیم

با جایگزینی سمت راست برابری با استفاده از فرمول Ostrogradsky - Green ، به دست می آوریم

برای هر حجم V... از این طریق معادله دیفرانسیل را بدست می آوریم

که نامیده می شود معادله هدایت گرما برای حالت غیر ساکن.

اگر بدن یک میله است که در امتداد محور هدایت می شود اوه، سپس معادله هدایت گرما شکل دارد

مشکل کوشی را برای موارد زیر در نظر بگیرید.

1. قاب میله ای نامحدود.یافتن راه حل معادله (3) ( t> 0 ،) شرایط اولیه را برآورده می کند. با استفاده از روش فوریه ، یک راه حل در فرم بدست می آوریم

آیا پواسون یکپارچه است.

2. قاب میله, محدود به یک طرفحل معادله (3) که شرایط اولیه و شرط مرزی را برآورده می کند ، با فرمول بیان می شود

3. قاب میله, در هر دو طرف محدود استمشکل کوشی این است که برای NS= 0 و NS = لبرای معادله (3) راه حلی پیدا کنید که شرایط اولیه و دو شرط مرزی را برآورده کند ، برای مثال ، یا.

در این مورد ، یک راه حل خاص در قالب یک سری جستجو می شود

برای شرایط مرزی ،

و در قالب یک سری

برای شرایط مرزی

مثال.برای معادله راه حلی پیدا کنید

با رعایت شرایط اولیه

و شرایط مرزی

□ راه حل مشکل کوشی در فرم جستجو می شود

بدین ترتیب،

معادله گرما برای حالت ثابت

توزیع گرما در بدن نامیده می شود ثابتاگر دمای بدن وبستگی به موقعیت نقطه دارد م(NS, در, z) ، اما به زمان بستگی ندارد t، یعنی

و = و(م) = و(NS, در, z).

در این حالت 0 و معادله گرما برای حالت ثابت می شود معادله لاپلاس

که اغلب به صورت نوشته می شود.

به طوری که دما ودر بدن از این معادله بدون ابهام مشخص شد ، شما باید درجه حرارت سطح را بدانید سبدن بنابراین ، برای معادله (1) ، مسئله مقدار مرزی به صورت زیر فرموله می شود.

عملکرد را پیدا کنید ورضایت بخش (1) در داخل حجم Vو دریافت در هر نقطه مسطح سمقادیر هدف

این وظیفه نامیده می شود مشکل دیریکلتیا اولین مشکل مرزیبرای معادله (1).

اگر دمای سطح بدن ناشناخته باشد و شار حرارتی در هر نقطه از سطح مشخص باشد ، که متناسب است ، سپس در سطح سبه جای شرط مرزی (2) ، شرط را خواهیم داشت

مسئله یافتن راه حلی برای معادله (1) که شرایط شرقی را برآورده می کند (3) نامیده می شود وظیفه نویمانیا مشکل مرز دوم.

برای شکل های صفحه ، معادله لاپلاس به شکل نوشته شده است

اگر معادله لاپلاس فرم مشابهی برای فضا داشته باشد ، اگر وبه مختصات بستگی ندارد z، یعنی و(م) مقدار ثابت را هنگام حرکت نقطه حفظ می کند مدر یک خط مستقیم موازی با محور اوز.

با جایگزینی ، معادله (4) را می توان به مختصات قطبی تبدیل کرد

مفهوم تابع هارمونیک با معادله لاپلاس مرتبط است. تابع نامیده می شود هارمونیکدر محدوده ی داگر در این منطقه به همراه مشتقات آن تا مرتبه دوم و پیوسته پیوسته باشد و معادله لاپلاس را برآورده کند.

مثال.اگر در انتهای میله ، در یک میله نازک با سطح جانبی عایق حرارتی ، توزیع دمای ثابت را پیدا کنید.

□ ما یک مورد تک بعدی داریم. شما می خواهید یک تابع پیدا کنید وبرآورده کردن معادله و شرایط مرزی ،. معادله کلی این معادله شکل دارد. با در نظر گرفتن شرایط مرزی ، به دست می آوریم

بنابراین ، توزیع دما در یک میله نازک با سطح جانبی عایق حرارتی خطی است. ■

مشکل دیریکله برای یک دایره

اجازه دهید یک دایره شعاع داده شود Rدر قطب متمرکز شده است Oسیستم مختصات قطبی لازم است تابعی را پیدا کنیم که در دایره هماهنگ باشد و شرایط دایره آن را برآورده کند ، جایی که یک تابع مشخص بر روی دایره پیوسته است. تابع مورد نیاز باید معادله لاپلاس را در یک دایره برآورده کند

با استفاده از روش فوریه می توان به دست آورد

آیا پواسون یکپارچه است.

مثال.توزیع دمای ثابت را در یک صفحه مدور نازک با شعاع پیدا کنید R، نیمه بالایی در دما و نیمه پایینی در دما نگهداری می شود.

□ اگر ، پس ، و اگر ، پس. توزیع دما با انتگرال بیان می شود

بگذارید نقطه در نیم دایره فوقانی قرار گیرد ، یعنی ؛ سپس از به تغییر می کند و این فاصله طول حاوی هیچ نقطه ای نیست. بنابراین ، ما جایگزینی را معرفی می کنیم ، از کجا ،. سپس به دست می آوریم

بنابراین سمت راست منفی است ودر برطرف کننده نابرابری ها برای این مورد ، ما راه حل را بدست می آوریم

اگر نقطه در نیم دایره پایین قرار داشته باشد ، به عنوان مثال ، سپس فاصله تغییر شامل یک نقطه است ، اما حاوی 0 نیست ، و می توان جایگزینی انجام داد ، از آنجا ، سپس برای این مقادیر ما داریم

با انجام تغییرات مشابه ، می یابیم

از آنجا که سمت راست اکنون مثبت است ، پس. ■

روش تفاوت محدود برای حل معادله گرما

بگذارید برای یافتن راه حلی برای معادله لازم باشد

رضایت بخش:

شرایط آغازین

و شرایط مرزی

بنابراین ، برای یافتن راه حلی برای معادله (1) که شرایط را برآورده می کند (2) ، (3) ، (4) ، یعنی. اگر مقادیر تابع مورد نیاز در سه ضلع آن نشان داده شود ، باید در یک مستطیل که با خطوط مستقیم محدود شده است ، یک راه حل پیدا کرد.

بیایید یک مش مستطیل شکل که از خطوط مستقیم تشکیل شده است بسازیم

- گام در طول محور اوه;

- گام در طول محور اوت.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:

از مفهوم تفاوتهای محدود ، می توان نوشت

به طور مشابه

با در نظر گرفتن فرمولهای (6) ، (7) و نامهای معرفی شده ، معادله (1) را در فرم می نویسیم

از اینجا فرمول محاسبه را دریافت می کنیم

از (8) نتیجه می شود که اگر سه مقدار k شناخته شده باشد ک-th لایه مش: ،،، سپس می توانید مقدار را در ( ک+ 1) لایه th.

شرط اولیه (2) به شما امکان می دهد همه مقادیر را در خط پیدا کنید. شرایط مرزی (3) ، (4) امکان یافتن مقادیر روی خطوط و. با استفاده از فرمول (8) ، مقادیر را در تمام نقاط داخلی لایه بعدی ، یعنی. برای ک= 1. مقادیر تابع مورد نیاز در نقاط شدید از شرایط مرزی (3) ، (4) مشخص می شود. با عبور از یک لایه مش به لایه دیگر ، مقادیر محلول مورد نظر را در همه گره های مش تعیین می کنیم. ؛

هنگام ساختن مدل ریاضی انتشار گرما در میله ، فرض های زیر را انجام می دهیم:

1) میله از یک ماده رسانای همگن با چگالی ساخته شده است ρ ;

2) سطح جانبی میله عایق حرارتی است ، یعنی گرما فقط می تواند در امتداد محور انتشار یابد اوه;

3) میله نازک است - این بدان معناست که دما در تمام نقاط هر سطح مقطع میله یکسان است.

قسمتی از نوار بخش را در نظر بگیرید [ x ، x + ∆x] (شکل 6 را ببینید) و استفاده کنید قانون حفظ مقدار گرما:

مقدار کل گرما در بخش [ x ، x + ∆x] = مقدار کل گرمای عبوری از مرزها + مقدار کل گرمای تولید شده توسط منابع داخلی.

مقدار کل حرارتی که باید به قسمتی از میله منتقل شود تا دمای آن تا حدودی افزایش یابد ∆U، با فرمول محاسبه می شود: ∆Q = CρS∆x∆U، جایی که با-ظرفیت حرارتی خاص ماده (= مقدار حرارتی که باید به 1 کیلوگرم از یک ماده برای افزایش درجه حرارت آن تا 1 درجه برسد) ، س- سطح مقطع

مقدار گرما در طول زمان از انتهای چپ بخش میله عبور می کند ∆t(شار حرارتی) با فرمول محاسبه می شود: Q 1 = -kSU x (x ، t) ∆t، جایی که ک- ضریب هدایت حرارتی مواد (= مقدار حرارت در ثانیه از طریق میله ای به طول واحد و سطح مقطع واحد در اختلاف دما در انتهای مخالف 1 درجه). در این فرمول ، علامت منفی نیاز به توضیح خاصی دارد. واقعیت این است که اگر جریان به سمت بالا مثبت باشد ، مثبت تلقی می شود NS، و این ، به نوبه خود ، به این معنی است که در سمت چپ نقطه NSدرجه حرارت بالاتر از سمت راست است ، یعنی U x< 0 ... بنابراین ، به س 1مثبت بود ، علامت منفی در فرمول وجود دارد.

به طور مشابه ، شار حرارتی از انتهای راست بخش میله با استفاده از فرمول محاسبه می شود: Q2 = -kSU x (x + ∆x ، t) ∆t.

اگر فرض کنیم که هیچ منبع گرمای داخلی در میله وجود ندارد و از قانون حفظ حرارت استفاده می کنیم ، بدست می آوریم:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х، t) ∆t - kSU x (x، t) ∆t.

اگر این برابری تقسیم شود Sx∆tو مستقیم ∆xو ∆tبه صفر ، سپس خواهیم داشت:

از این رو ، معادله هدایت گرما دارای شکل است

U t = a 2 U xx,

انتشار حرارتی کجاست

در صورت وجود منابع گرما در داخل میله ، به طور مداوم با چگالی توزیع می شود q (x ، t)، معادله ناهمگن هدایت گرما را بدست می آوریم

U t = a 2 U xx + f (x، t),
جایی که .

شرایط اولیه و شرایط مرزی.

فقط برای معادله گرما یک شرط اولیه U | t = 0 = φ (x)(یا در مدخل دیگری U (x ، 0) = φ (x)) و از نظر فیزیکی به این معنی است که توزیع دمای اولیه میله شکل دارد φ (x)... برای معادلات هدایت گرما در یک صفحه یا در فضا ، شرایط اولیه همان شکل را دارد ، فقط تابع است φ به ترتیب به دو یا سه متغیر بستگی دارد.

شرایط مرزی در مورد معادله گرما به همان شکل معادله موج است ، اما معنای فیزیکی آنها در حال حاضر متفاوت است. شرایط نوع اول (5)به این معنی که دما در انتهای میله تنظیم شده است. اگر با گذشت زمان تغییر نکند ، پس g 1 (t) ≡ Т 1و g 2 (t) ≡ Т 2، جایی که T 1و T 2- دائمی اگر انتها همیشه در دمای صفر نگه داشته شوند ، پس T 1 = T 2 = 0و شرایط یکنواخت خواهد بود شرایط مرزی نوع دوم (6)شار حرارتی را در انتهای میله تعیین کنید. به طور خاص ، اگر g 1 (t) = g 2 (t) = 0، سپس شرایط یکدست می شود. از نظر فیزیکی ، منظور آنها این است که تبادل گرما با محیط خارجی از طریق انتها انجام نمی شود (این شرایط را شرایط عایق حرارتی انتها نیز می نامند). در نهایت ، شرایط مرزی نوع سوم (7)مطابق با موردی است که تبادل حرارت با محیط از طریق انتهای میله مطابق قانون نیوتن انجام می شود (به یاد داشته باشید که هنگام بدست آوردن معادله هدایت گرما ، سطح جانبی را عایق حرارتی در نظر گرفتیم). درست است ، در مورد معادله هدایت گرما ، شرایط (7) کمی متفاوت نوشته شده است:

قانون فیزیکی تبادل حرارت با محیط (قانون نیوتن) این است که شار حرارتی از طریق واحد سطح در واحد زمان متناسب با اختلاف دمای بدن و محیط است. بنابراین ، برای انتهای سمت چپ نوار ، برابر است با اینجا ساعت 1> 0- ضریب تبادل حرارت با محیط ، g 1 (t)- دمای محیط در انتهای سمت چپ علامت منفی به همان دلیلی که در معادله هدایت گرما حاصل شده است در فرمول قرار می گیرد. از طرف دیگر ، با توجه به رسانایی حرارتی مواد ، شار حرارتی از طریق انتهای یکسان برابر است. با اعمال قانون حفظ مقدار گرما ، به دست می آوریم:

شرط (14) به طور مشابه در انتهای راست میله ، فقط ثابت به دست می آید λ 2ممکن است متفاوت باشد ، زیرا به طور کلی ، محیطهای اطراف انتهای چپ و راست متفاوت است.

شرایط مرزی (14) عمومی تر از شرایط نوع اول و دوم است. اگر فرض کنیم که هیچ تبادل حرارتی با محیط از هر طرف وجود ندارد (یعنی ضریب انتقال حرارت صفر است) ، پس شرطی از نوع دوم به دست می آید. در مورد دیگر ، ما فرض می کنیم که ضریب انتقال حرارت ، به عنوان مثال ساعت 1، بسیار بزرگ

اجازه دهید شرط (14) را برای بازنویسی کنیم x = 0مانند و تلاش خواهیم کرد در نتیجه ، ما شرطی از نوع اول خواهیم داشت:

شرایط مرزی به شیوه ای مشابه برای تعداد بیشتری از متغیرها تدوین شده است. برای مشکل انتشار گرما در یک صفحه مسطح ، شرایط بدین معناست که دما در لبه های آن صفر حفظ می شود. به همین ترتیب ، شرایط از نظر ظاهری بسیار مشابه است ، اما در مورد اول به این معنی است که یک صفحه مسطح در نظر گرفته شده و لبه های آن عایق حرارتی است ، و در مورد دوم به این معنی است که مشکل انتشار گرما در یک بدن در نظر گرفته شده و سطح آن عایق حرارتی است.

حل اولین مسئله مقدار اولیه مرزی برای معادله گرما.

اولین مسئله مقدار اولیه مرزی اولیه برای معادله گرما را در نظر بگیرید:

برای معادله راه حلی پیدا کنید

U t = U xx ، 0 0,

برآورده کردن شرایط مرزی

U (0 ، t) = U (l، t) = 0 ، t> 0,

و شرایط اولیه

اجازه دهید این مشکل را با روش فوریه حل کنیم.

مرحله 1... ما راه حل معادله (15) را در فرم جستجو می کنیم U (x ، t) = X (x) T (t).

بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

این مشتقات را در معادله جایگزین کرده و متغیرها را تقسیم کنید:

با لمای اصلی ، به دست می آوریم

این دلالت می کنه که

اکنون می توانید هر یک از این معادلات دیفرانسیل معمولی را حل کنید. ما به این واقعیت توجه می کنیم که با استفاده از شرایط مرزی (16) ، می توان نه برای یک راه حل کلی از معادله ب) ، بلکه برای راه حل های خاصی که شرایط مرزی مربوط را برآورده می کنند ، جستجو کرد:

گام 2.بیایید مشکل استورم-لیوویل را حل کنیم

این مشکل همزمان با مشکل استورم-لیوویل در نظر گرفته شده است سخنرانی ها 3به یاد بیاورید که مقادیر ویژه و عملکردهای اختصاصی این مشکل فقط برای λ>0.

مقادیر ویژه برابر است

توابع اختصاصی برابر هستند (به راه حل مشکل مراجعه کنید)

مرحله 3مقادیر ویژه را در معادله a) جایگزین کنید و آن را حل کنید:

مرحله 4اجازه دهید راه حل های خاص معادله (15) را بنویسیم:

با توجه به خطی بودن و همگنی معادله (15) ، ترکیب خطی آنها

همچنین راه حلی برای این معادله و تابع خواهد بود U (x ، t)شرایط مرزی را برآورده می کند (16).

مرحله 5بیایید ضرایب را تعریف کنیم A nدر (19) با استفاده از شرایط اولیه (17):

ما به این واقعیت می رسیم که عملکرد اولیه φ (x)در یک سری فوریه از نظر عملکردهای ویژه مشکل استورم-لیوویل گسترش می یابد. بر اساس قضیه استکلوف ، چنین بسطی برای توابع که شرایط مرزی را برآورده می کنند و مشتقات مرتبه دوم پیوسته ای دارند امکان پذیر است. ضرایب فوریه توسط فرمولها یافت می شود

اطلاعات مشابه.