نمونه هایی از راه حل های معادله هدایت گرما. روش فوریه برای معادله گرما معادله گرما آنلاین

02.08.2021

هنگام ساخت یک مدل ریاضی انتشار گرما در یک میله، مفروضات زیر را انجام می دهیم:

1) میله از یک ماده رسانا همگن با چگالی ساخته شده است ρ ;

2) سطح جانبی میله از نظر حرارتی عایق است، یعنی گرما فقط می تواند در امتداد محور پخش شود. اوه;

3) میله نازک است - این بدان معنی است که دما در تمام نقاط هر مقطع از میله یکسان است.

بخشی از نوار روی بخش [ x، x + ∆x] (نگاه کنید به شکل 6) و استفاده کنید قانون پایستگی مقدار گرما:

مقدار کل گرما در بخش [ x، x + ∆x] = مقدار کل گرمای عبور شده از مرزها + مقدار کل گرمای تولید شده توسط منابع داخلی.

مقدار کل گرمایی که باید به قسمتی از میله منتقل شود تا دمای آن افزایش یابد ∆U، با فرمول محاسبه می شود: ∆Q = CρS∆x∆U، جایی که با- ظرفیت گرمایی خاص ماده (= مقدار گرمایی که باید به 1 کیلوگرم ماده منتقل شود تا دمای آن 1 درجه افزایش یابد) اس- سطح مقطع

مقدار گرمایی که در طول زمان از انتهای سمت چپ بخش میله عبور می کند ∆t(جریان گرما) با فرمول محاسبه می شود: Q 1 = -kSU x (x, t) ∆t، جایی که ک- ضریب هدایت حرارتی ماده (= مقدار حرارتی که در هر ثانیه از طریق میله ای با طول واحد و سطح مقطع واحد در اختلاف دما در انتهای مخالف 1 درجه جریان می یابد). در این فرمول علامت منفی نیاز به توضیح خاصی دارد. واقعیت این است که جریان اگر به سمت بالا باشد مثبت تلقی می شود NS، و این به نوبه خود به این معنی است که در سمت چپ نقطه NSدما بالاتر از سمت راست است، یعنی U x< 0 ... بنابراین، به س 1مثبت بود، یک علامت منفی در فرمول وجود دارد.

به طور مشابه، شار گرما از طریق انتهای سمت راست بخش میله با استفاده از فرمول محاسبه می شود: Q 2 = -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

اگر فرض کنیم که هیچ منبع داخلی گرما در میله وجود ندارد و از قانون بقای گرما استفاده کنیم، به دست می آید:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t) ∆t.

اگر این برابری تقسیم بر S∆x∆tو مستقیم ∆xو ∆tبه صفر، آنگاه خواهیم داشت:

از این رو، معادله هدایت گرما شکل دارد

U t = a 2 U xx,

نفوذ حرارتی کجاست

در موردی که منابع حرارتی در داخل میله وجود دارد که به طور مداوم با یک چگالی توزیع می شوند q (x, t)، معادله گرمای ناهمگن را بدست می آوریم

U t = a 2 U xx + f (x, t),
جایی که .

شرایط اولیه و شرایط مرزی.

فقط برای معادله گرما یک شرط اولیه U | t = 0 = φ (x)(یا در ورودی دیگری U (x، 0) = φ (x)) و از نظر فیزیکی به این معنی است که توزیع دمای اولیه میله دارای فرم است φ (x)... برای معادلات گرما در یک صفحه یا در فضا، شرایط اولیه یک شکل است، فقط تابع φ به ترتیب به دو یا سه متغیر بستگی دارد.

شرایط مرزی در مورد معادله گرما مانند معادله موج است، اما معنای فیزیکی آنها قبلاً متفاوت است. شرایط نوع اول (5)به این معنی که دما در انتهای نوار تنظیم شده است. اگر در طول زمان تغییر نمی کند، پس g 1 (t) ≡ Т 1و g 2 (t) ≡ Т 2، جایی که T 1و T 2- دائمی اگر انتها همیشه در دمای صفر نگه داشته شوند، پس T 1 = T 2 = 0و شرایط یکنواخت خواهد بود. شرایط مرزی نوع دوم (6)شار گرما را در انتهای میله تعیین کنید. به ویژه، اگر g 1 (t) = g 2 (t) = 0، سپس شرایط همگن می شود. از نظر فیزیکی، منظور آنها این است که تبادل حرارت با محیط خارجی از طریق انتها انجام نمی شود (این شرایط را شرایط عایق حرارتی انتها نیز می نامند). در نهایت، شرایط مرزی نوع سوم (7)مطابق با حالتی است که تبادل گرما با محیط از طریق انتهای میله طبق قانون نیوتن اتفاق می افتد (به یاد بیاورید که هنگام استخراج معادله هدایت گرما، سطح جانبی را عایق حرارتی در نظر گرفتیم). درست است، در مورد معادله هدایت گرما، شرایط (7) کمی متفاوت نوشته شده است:

قانون فیزیکی تبادل گرما با محیط (قانون نیوتن) این است که شار گرما از طریق یک واحد سطح در واحد زمان متناسب با اختلاف دما بین بدن و محیط است. بنابراین، برای انتهای سمت چپ میله، برابر است با اینجا h 1> 0- ضریب تبادل حرارت با محیط g 1 (t)- دمای محیط در انتهای سمت چپ. علامت منفی به همان دلیلی که در استخراج معادله هدایت گرما وجود دارد در فرمول قرار می گیرد. از طرف دیگر، به دلیل رسانایی حرارتی مواد، شار گرما از همان انتها برابر است. با اعمال قانون پایستگی مقدار گرما، به دست می‌آییم:

شرط (14) به طور مشابه در انتهای سمت راست میله، فقط ثابت به دست می آید λ 2ممکن است متفاوت باشد، زیرا، به طور کلی، محیط اطراف انتهای چپ و راست متفاوت است.

شرایط مرزی (14) عمومی تر از شرایط نوع اول و دوم است. اگر فرض کنیم که از هیچ انتهایی با محیط تبادل حرارتی صورت نگیرد (یعنی ضریب انتقال حرارت صفر باشد)، شرط نوع دوم به دست می آید. در موردی دیگر، مثلاً ضریب انتقال حرارت را فرض می کنیم h 1، بسیار بزرگ

اجازه دهید شرط (14) را بازنویسی کنیم x = 0مانند و ما تلاش خواهیم کرد. در نتیجه یک شرط از نوع اول خواهیم داشت:

شرایط مرزی برای تعداد بیشتری از متغیرها به روشی مشابه فرموله می شود. برای مشکل انتشار گرما در یک صفحه مسطح، شرط به این معنی است که درجه حرارت در لبه های آن صفر است. به همین ترتیب شرایط از نظر ظاهری بسیار شبیه به هم است، اما در حالت اول به این معنی است که یک صفحه صاف در نظر گرفته شده و لبه های آن عایق حرارتی است و در حالت دوم به این معنی است که مشکل انتشار گرما در یک جسم است. در نظر گرفته شده و سطح آن عایق حرارتی است.

حل اولین مسئله مقدار مرزی اولیه برای معادله هدایت گرما.

اولین مسئله مقدار مرزی اولیه همگن را برای معادله گرما در نظر بگیرید:

راه حل معادله را پیدا کنید

U t = U xx، 0 0,

شرایط مرزی راضی کننده

U (0، t) = U (l، t) = 0، t> 0,

و شرایط اولیه

بیایید این مشکل را با روش فوریه حل کنیم.

مرحله 1... حل معادله (15) را در فرم جستجو می کنیم U (x، t) = X (x) T (t).

بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

این مشتقات را در معادله جایگزین کنید و متغیرها را تقسیم کنید:

با لم اصلی، به دست می آوریم

این دلالت می کنه که

اکنون می توانید هر یک از این معادلات دیفرانسیل معمولی را حل کنید. اجازه دهید به این واقعیت توجه کنیم که با استفاده از شرایط مرزی (16)، می توان نه برای حل کلی معادله b، بلکه برای راه حل های خاصی که شرایط مرزی مربوطه را برآورده می کند، جستجو کرد:

گام 2.بیایید مشکل Sturm-Liouville را حل کنیم

این مشکل با مسئله Sturm-Liouville در نظر گرفته شده همزمان است سخنرانی 3.به یاد می آوریم که مقادیر ویژه و توابع ویژه این مشکل فقط برای آن وجود دارد λ>0.

مقادیر ویژه برابر هستند

توابع ویژه برابر هستند (راه حل مشکل را ببینید)

حل معادله دیفرانسیل رسانش گرما تحت اثر یک منبع متمرکز آنی در یک محیط نامحدود، راه حل اساسی نامیده می شود.

منبع نقطه فوری

برای یک جسم نامتناهی که در مبدأ مختصات آن یک منبع نقطه‌ای آنی عمل می‌کند، حل معادله دیفرانسیل رسانش گرما به شرح زیر است:

که در آن T دمای یک نقطه با مختصات x، y، z است. Q مقدار گرمای آزاد شده در لحظه t = 0 در مبدا است. t زمان سپری شده از زمان ورود گرما است. R فاصله از مبدا، جایی که منبع عمل می کند، تا نقطه مورد نظر (شعاع - بردار) است. معادله (4) یک راه حل اساسی برای معادله هدایت گرما تحت عمل یک منبع نقطه ای آنی در یک جسم نامتناهی است.

در هر لحظه تی؟ 0، دمای خود منبع (R = 0) غیر صفر است و با گذشت زمان طبق قانون t -3/2 کاهش می یابد و بالاتر از دمای سایر نقاط بدن باقی می ماند. با فاصله از منبع، دما طبق قانون توزیع نرمال اکسپت (-R 2/4at) کاهش می یابد. سطوح همدما کره هایی هستند که در مرکز منبع هستند و میدان دما در یک زمان معین فقط به شعاع بستگی دارد. در لحظه اولیه زمان (t = 0)، دما تعیین نمی شود (T =؟)، که با طرح یک منبع توده ای همراه است، که در آن مقدار محدودی از گرما Q در حجم بی نهایت کم در لحظه اولیه زمان

بر اساس حل یک جسم نامتناهی (4)، می توان معادله میدان دما را برای طرح بدنه نیمه نامتناهی استخراج کرد، که برای توصیف فرآیندهای حرارتی در محصولات عظیم استفاده می شود. اجازه دهید منبع نقطه ای آنی D در جسم نیمه نامتناهی محدود به سطح S - S عمل کند (شکل 4). برای اجسام پرجرم، شار حرارتی در داخل بسیار بیشتر از شار انتقال حرارت از سطح است. بنابراین، سطح یک جسم نیمه نامتناهی را می توان یک مرز آدیاباتیک در نظر گرفت که برای آن (به بخش 1.4 مراجعه کنید)

منطقه نیمه نامتناهی z> 0 را تا بی نهایت تکمیل می کنیم و ناحیه z را اضافه می کنیم< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

مرز همدما (شرایط مرزی از نوع 1) T S = 0 طبق همین طرح شبیه سازی شده است، اما در این مورد T = T D - T F. باید تاکید کرد که منبع گرمایش نمی تواند روی سطح همدما عمل کند.

نمایش گرافیکی میدان دما (6) مستلزم درک روشنی از موقعیت فضایی سطحی است که توزیع دما روی آن ترسیم شده است. در سیستم مختصات دکارتی (x، y، z)، بخش‌های کنترل یک جسم نیمه نامتناهی تحت تأثیر یک منبع نقطه‌ای، صفحات xy، xz و yz هستند (شکل 5، a). برای یک جسم نیمه نامتناهی، سطوح همدما نیمکره هستند (دما به شعاع بستگی دارد - بردار R). در صفحه xy ایزوترم ها، به عنوان برشی از یک سطح توسط یک صفحه

z = const، دایره ها هستند، و در صفحات دیگر - نیم دایره (شکل 5، ب). میدان دمایی یک منبع نقطه ای آنی در زمان های مختلف در شکل نشان داده شده است. (6) (نگاه کنید به A 1.1.). در شکل، دما از نظر گرافیکی با مقدار T = 1000K | محدود شده است.

دما در هر نقطه خارج از منبع ابتدا افزایش می یابد و سپس کاهش می یابد (شکل 1.3). لحظه رسیدن به حداکثر مقدار دما در یک نقطه معین از شرط پیدا می شود

با تمایز عبارت (6) با توجه به زمان، فرمولی برای تعیین زمانی که دما حداکثر است به دست می آوریم.

حداکثر مزاج نقاط یک جسم نیمه نامتناهی تحت تأثیر یک منبع نقطه ای با فاصله R3 کاهش می یابد.

رسانایی گرمایی- این یکی از انواع انتقال حرارت است. انتقال حرارت را می توان با استفاده از مکانیسم های مختلفی انجام داد.

همه اجسام امواج الکترومغناطیسی ساطع می کنند. در دمای اتاق، این عمدتاً تابش مادون قرمز است. اینجوری پیش میره انتقال حرارت تابشی.

در حضور میدان گرانش، یکی دیگر از مکانیسم های انتقال حرارت در سیالات می تواند باشد همرفت... اگر گرما از طریق کف به ظرف حاوی مایع یا گاز داده شود، ابتدا قسمت های پایینی ماده گرم می شود، چگالی آنها کاهش می یابد، شناور می شوند و مقداری از گرمای دریافتی را به لایه های بالایی می دهند.

با هدایت حرارتی، انتقال انرژی در نتیجه انتقال مستقیم انرژی از ذرات (مولکول ها، اتم ها، الکترون ها) با انرژی بالاتر به ذرات با انرژی کمتر اتفاق می افتد.

دوره ما به انتقال گرما از طریق رسانایی خواهد پرداخت.

اجازه دهید ابتدا حالت یک بعدی را در نظر بگیریم که دما فقط به یک مختصات بستگی دارد NS... اجازه دهید دو رسانه با یک پارتیشن مسطح با ضخامت از هم جدا شوند ل(شکل 23.1). دمای متوسط تی 1 و تی 2 ثابت نگه داشته می شوند. به طور تجربی می توان میزان گرما را تعیین کرد ساز طریق بخشی از یک پارتیشن با یک ناحیه منتقل می شود اسدر حین تیبرابر است

, (23.1)

که در آن ضریب تناسب k به مواد دیوار بستگی دارد.

در تی 1 > تی 2 گرما در جهت مثبت محور منتقل می شود NS، در تی 1 < تی 2- منفی جهت انتشار گرما را می توان در نظر گرفت اگر در رابطه (23.1) جایگزین ( تی 1 - تی 2)/لبر (- dT/dx). در حالت تک بعدی، مشتق dT/dxنشان می دهد گرادیان دما... به یاد بیاورید که گرادیان برداری است که جهت آن با جهت سریعترین افزایش در تابع اسکالر مختصات منطبق است (در مورد ما تی) و مدول برابر است با نسبت افزایش تابع در یک جابجایی کوچک در این جهت به فاصله ای که این افزایش در آن اتفاق افتاده است.

برای اینکه معادلات توصیف کننده انتقال گرما شکل کلی تر و جهانی تری داشته باشند، در نظر می گیریم چگالی شار حرارتی j - مقدار گرمای منتقل شده از طریق واحد مساحت در واحد زمان

سپس رابطه (23.1) را می توان به شکل نوشت

در اینجا علامت منفی نشان دهنده این واقعیت است که جهت جریان گرما مخالف جهت گرادیان دما (جهت افزایش آن) است. بنابراین، چگالی شار حرارتی یک کمیت برداری است. بردار چگالی شار حرارتی به سمت کاهش دما هدایت می شود.

اگر دمای محیط به هر سه مختصات بستگی داشته باشد، رابطه (23.3) شکل می گیرد

جایی که ، گرادیان دما است ( ه 1 ,ه 2 ,ه 3 - بردارهای واحد از محورهای مختصات).

روابط (23.3) و (23.4) قانون اساسی هدایت حرارتی (قانون فوریه) را نشان می دهد: چگالی شار حرارتی متناسب با گرادیان دما است.ضریب تناسب k نامیده می شود ضریب هدایت حرارتی(یا فقط هدایت حرارتی). زیرا بعد چگالی شار حرارتی [ j] = J / (m 2 s)، و گرادیان دما [ dT / dx] = K / m، سپس بعد ضریب هدایت حرارتی [k] = J / (m × s × K).

به طور کلی، درجه حرارت در نقاط مختلف یک ماده به طور غیریکنواخت گرم شده در طول زمان تغییر می کند. حالت یک بعدی را در نظر بگیرید که دما فقط به یک مختصات فضایی بستگی دارد NSو زمان تی، و ما دریافت می کنیم معادله گرما- معادله دیفرانسیل که تابع آن را برآورده می کند تی = تی(ایکس,تی).

بیایید به طور ذهنی یک عنصر حجم کوچک را به شکل یک استوانه یا یک منشور در محیط متوسط انتخاب کنیم که ژنراتیکس آن موازی با محور است. NS، و پایه ها عمود هستند (شکل 23.2). منطقه پایه اس، و ارتفاع dx... جرم این حجم dm= r Sdxو ظرفیت گرمایی آن c×dmجایی که r چگالی ماده است، با- ظرفیت گرمایی ویژه اجازه دهید برای مدت زمان کمی dtدما در این حجم تغییر کرد dT... برای این، ماده موجود در حجم باید مقداری گرما برابر حاصلضرب ظرفیت گرمایی خود با تغییر دما دریافت کند: ... از سوی دیگر، د سمی تواند تنها از طریق پایه های سیلندر وارد حجم شود: (چگالی شار گرما jمی تواند مثبت و منفی باشد). معادل سازی عبارات برای d س، ما گرفتیم

با جایگزینی نسبت های افزایشی کوچک با مشتقات مربوطه، به رابطه می رسیم

. (23.5)

اجازه دهید عبارت (23.3) را برای چگالی شار حرارتی با فرمول (23.5) جایگزین کنیم.

. (23.6)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله گرما... اگر محیط همگن باشد و رسانایی گرمایی k به دما بستگی نداشته باشد، معادله شکل می گیرد.

, (23.7)

جایی که ثابت نامیده می شود انتشار حرارتیچهار شنبه.

معادلات (23.6) - (23.8) توسط مجموعه بیشماری از توابع برآورده می شوند. تی = تی(ایکس,تی).

برای جداسازی تنها راه حل معادله هدایت گرما، لازم است شرایط اولیه و مرزی را به معادله اضافه کنیم.

شرط اولیه تعیین توزیع دما در محیط است تی(NS، 0) در لحظه اولیه زمان تی = 0.

شرایط مرزی بسته به شرایط دمایی در مرزها می تواند متفاوت باشد. اغلب اوقات، شرایطی وجود دارد که دما یا چگالی شار حرارتی در مرزها به عنوان تابعی از زمان تنظیم می شود.

در برخی موارد ممکن است منابع گرمایی در محیط وجود داشته باشد. گرما می تواند در نتیجه عبور جریان الکتریکی، واکنش های شیمیایی یا هسته ای آزاد شود. وجود منابع گرمایی را می توان با معرفی چگالی حجمی آزادسازی انرژی در نظر گرفت q(ایکس,y,z) برابر با مقدار گرمای آزاد شده توسط منابع در واحد حجم محیط در واحد زمان است. در این صورت عبارت در سمت راست معادله (23.5) ظاهر می شود. q:

استخراج معادله گرما

یک جسم همگن را تصور کنید و یک حجم ابتدایی با اضلاع را از آن جدا کنید (شکل 1).

شکل 1. حجم آزمایش در یک سیستم مختصات مستطیلی شکل

شارهای حرارتی ورودی که عمود بر سطوح قرار دارند به صورت، نشان داده می شوند. ما جریان ها را در سطوح مخالف از سری تیلور بیان می کنیم:

همچنین ممکن است منابع داخلی گرما در داخل بدن وجود داشته باشد، اگر زهکشی وجود داشته باشد، اگر:

تغییر انرژی درونی:

معادلات (1.1.1) را با معادله (1.1.5) جایگزین کنید:

با جایگزینی آنها به معادله (1.1.6)، معادله هدایت گرما را به صورت کلی برای فضای سه بعدی به دست می آوریم:

بیایید ضریب نفوذ حرارتی را معرفی کنیم:

و منابع حرارتی داخلی را حذف کنید. معادله هدایت گرما را در فضای سه بعدی بدون منابع حرارتی داخلی بدست می آوریم:

شرایط بدون ابهام

معادله (1.1) فرآیند را به طور کلی توصیف می کند. برای اعمال آن بر روی یک مشکل خاص، شرایط اضافی مورد نیاز است که شرایط منحصر به فرد نامیده می شود. این شرایط شامل شرایط هندسی (شکل و اندازه بدن)، فیزیکی (خواص فیزیکی بدن)، زمانی (توزیع دمای اولیه) و شرایط مرزی (شرایط تبادل حرارت با محیط) است.

شرایط مرزی را می توان به سه نوع اصلی تقسیم کرد:

1. شرایط مرزی دیریکله: مقدار تابع روی مرز داده شده است.

در مورد مشکل هدایت گرما، مقادیر دما در سطح بدن تنظیم می شود.

2. شرایط مرزی نویمان: مشتق نرمال تابع روی مرز داده شده است.

چگالی شار حرارتی روی سطح بدن را مشخص می کند.

3. شرایط مرزی رابین: ترکیبی خطی از مقدار تابع و مشتق آن در مرز داده شده است.

تبادل حرارت بین سطح بدن و محیط را طبق قانون نیوتن ریچمن توصیف می کند.

در این کار، به دلیل پیچیدگی اجرای شرایط مرزی باقیمانده، تنها از شرایط مرزی دیریکله استفاده خواهد شد.

با شرایط اولیه

و شرایط مرزی

ما به دنبال راه حلی برای این مشکل در قالب سری فوریه در سیستم توابع ویژه خواهیم بود (94)

آن ها تجزیه

در نظر گرفتن همزمان تیپارامتر.

اجازه دهید توابع f(ایکس, تی) پیوسته است و دارای مشتق پیوسته تکه ای از مرتبه 1 نسبت به NSو برای همه تی> 0 شرایط برقرار است

حالا فرض کنید که توابع f(ایکس, تی) و
را می توان در سری فوریه سینوسی گسترش داد

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

با جایگزینی (116) به معادله (113) و با در نظر گرفتن (117) به دست می آوریم.

این برابری زمانی برقرار است

, (121)

یا اگر
، سپس این معادله (121) را می توان به شکل نوشت

. (122)

با استفاده از شرط اولیه (114) با در نظر گرفتن (116)، (117) و (119)، به دست می آوریم که

. (123)

بنابراین، برای یافتن تابع مورد نیاز
ما به مسئله کوشی (122)، (123) برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول ناهمگن معمولی می رسیم. با استفاده از فرمول اویلر می توان جواب کلی معادله (122) را یادداشت کرد.

و با در نظر گرفتن (123) راه حل مسئله کوشی

بنابراین، هنگامی که مقدار این تابع را با عبارت (116) جایگزین می کنیم، در نتیجه یک راه حل برای مسئله اصلی به دست می آوریم.

(124)

که در آن توابع f(ایکس, تی) و
با فرمول های (118) و (120) تعریف می شوند.

مثال 14. برای یک معادله سهموی ناهمگن جواب پیدا کنید

با شرایط اولیه

(14.2)

و شرایط مرزی

. (14.3)

▲ ابتدا چنین تابعی را انتخاب می کنیم  برای برآوردن شرایط مرزی (14.3). اجازه دهید، برای مثال،  = xt 2. سپس

از این رو، تابع به صورت تعریف شده است

معادله را برآورده می کند

(14.5)

شرایط مرزی همگن

و شرایط اولیه صفر

. (14.7)

استفاده از روش فوریه برای حل معادله همگن

تحت شرایط (14.6)، (14.7)، قرار می دهیم

ما به مسئله Sturm-Liouville زیر می رسیم:

,
.

با حل این مشکل، مقادیر ویژه را پیدا می کنیم

و عملکردهای مربوط به خود

. (14.8)

ما به دنبال حل مسئله (14.5) - (14.7) به صورت یک سری هستیم

, (14.9)

(14.10)

جایگزین کردن
از (14.9) تا (14.5) بدست می آوریم

. (14.11)

برای یافتن تابع تی n (تی) گسترش تابع (1- NS) به یک سری فوریه در سیستم توابع (14.8) در بازه (0،1):

. (14.12)

و از (14.11) و (14.12) معادله را بدست می آوریم

, (14.13)

که یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن معمولی از مرتبه اول است. حل کلی آن را با فرمول اویلر می یابیم

و با در نظر گرفتن شرط (14.10) راه حلی برای مسئله کوشی پیدا می کنیم

. (14.14)

از (14.4)، (14.9) و (14.14) راه حل مشکل اصلی (14.1) - (14.3) را پیدا می کنیم.

تکالیف خودآموز

حل مسائل مقدار مرزی اولیه

3.4. مسئله کوشی برای معادله گرما

اول از همه در نظر بگیرید مشکل کوشی برای معادله گرمای همگن

رضایت بخش

بیایید با جایگزین کردن متغیرها شروع کنیم ایکس و تیبر
و تابع را معرفی کنید
... سپس توابع
معادلات را برآورده خواهد کرد

جایی که
تابع سبز است که با فرمول تعریف شده است

, (127)

و داشتن اموال

; (130)

. (131)

ضرب معادله اول در جی* و دومی در وو سپس با جمع کردن نتایج بدست آمده برابری را بدست می آوریم

. (132)

پس از ادغام توسط بخش های برابری (132) بیش از در محدوده از -∞ تا + ∞ و توسط از 0 تا تی، ما گرفتیم

اگر فرض کنیم که تابع
و مشتق آن محدود در
پس به موجب خواص (131)، انتگرال سمت راست (133) برابر با صفر است. بنابراین، ما می توانیم بنویسیم

جایگزینی در این برابری توسط
، آ
بر
، نسبت را بدست می آوریم

از این رو با استفاده از فرمول (127) در نهایت به دست می آوریم

. (135)

فرمول (135) نامیده می شود فرمول پواسون و حل مسئله کوشی (125)، (126) را برای یک معادله حرارتی همگن با شرایط اولیه ناهمگن تعیین می کند.

راه حل این است مسئله کوشی برای معادله حرارت ناهمگن

رضایت بخش شرایط اولیه ناهمگن

مجموع راه حل ها است:

حل مسئله کوشی برای معادله گرمای همگن کجاست . ارضای شرایط اولیه ناهمگن راه حلی است که شرایط اولیه همگن را برآورده می کند. بنابراین، حل مسئله کوشی (136)، (137) با فرمول تعیین می شود

مثال 15. راه حل معادله را پیدا کنید

(15.1)