دانلود از Depositfiles

انتگرال سه گانه.

کنترل سوالات

انتگرال سه گانه، خواص آن.

تغییر متغیرها در یک انتگرال سه گانه. محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای.

محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات کروی.

اجازه دهید تابع تو= f(x، y,z) در یک منطقه بسته محدود تعریف شده است Vفضا آر 3. بیایید منطقه را تجزیه کنیم Vخودسرانه در nمناطق بسته ابتدایی V 1 , … ,V nبا حجم های  V 1 , …,  V nبه ترتیب. نشان می دهیم د- بزرگترین قطر نواحی V 1 , … ,V n... در هر منطقه V کیک نقطه دلخواه را انتخاب کنید پ ک (ایکس ک ، y ک ,z ک) و آهنگسازی کنید جمع انتگرالکارکرد f(ایکس, y,z)

اس =

تعریف.انتگرال سه گانهاز تابع f(ایکس, y,z) بر اساس منطقه Vحد مجموع انتگرال نامیده می شود
اگر وجود داشته باشد

بدین ترتیب،

(1)

اظهار نظر.جمع انتگرال اسبستگی به نحوه تقسیم بندی منطقه دارد V و انتخاب نقطه پ ک (ک=1, …, n). با این حال، اگر محدودیتی وجود داشته باشد، به روش پارتیشن بندی منطقه بستگی ندارد Vو انتخاب نقطه پ ک... اگر تعاریف انتگرال مضاعف و سه گانه را با هم مقایسه کنیم، به راحتی می توان یک قیاس کامل را در آنها مشاهده کرد.

شرط کافی برای وجود انتگرال سه گانه.اگر تابع انتگرال سه گانه (13) وجود داشته باشد f(ایکس, y,z) محدود به Vو پیوسته در V، به استثنای تعداد محدودی از سطوح صاف تکه ای واقع در V.

برخی از خصوصیات انتگرال سه گانه

1) اگر باپس یک ثابت عددی است

3) افزودنی بر اساس منطقه. اگر منطقه V به مناطق تقسیم می شود V 1 و V 2، سپس

4) حجم بدن Vبرابر است با

(2 )

محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی.

بگذار باشد D طرح ریزی بدن Vدر هواپیما xOy، سطح z=φ 1 (ایکس,y),z=φ 2 (ایکس, y) بدن را محدود می کند Vپایین و بالا به ترتیب. معنیش اینه که

V = {(ایکس, y, z): (ایکس, y)D , φ 1 (ایکس,y)≤ z ≤ φ 2 (ایکس,y)}.

ما چنین بدنی را می نامیم z- استوانه ای. انتگرال سه گانه (1) بیش از z- بدنه استوانه ای Vبا عبور به انتگرال تکراری متشکل از انتگرال های دوگانه و معین محاسبه می شود:

(3 )

در این انتگرال تکراری، ابتدا انتگرال معین داخلی با توجه به متغیر محاسبه می شود z، که در آن ایکس, yدائمی محسوب می شوند. سپس انتگرال دوگانه تابع حاصل بر روی منطقه محاسبه می شود D.

اگر V ایکس-استوانه ای یا y-یک بدنه استوانه ای است، سپس فرمول ها

در فرمول اول D  طرح ریزی بدن Vدر هواپیمای مختصات yOz، و در دوم، بر روی هواپیما xOz

مثال ها. 1) حجم بدن را محاسبه کنید Vمحدود به سطوح z = 0, ایکس 2 + y 2 = 4, z = ایکس 2 + y 2 .

راه حل. حجم را با استفاده از انتگرال سه گانه با فرمول (2) محاسبه می کنیم.

اجازه دهید طبق فرمول (3) به انتگرال تکرار شده منتقل شویم.

بگذار باشد D دایره ایکس 2 + y 2 ≤ 4, φ 1 (ایکس , y ) = 0, φ 2 (ایکس , y )= ایکس 2 + y 2. سپس با فرمول (3) بدست می آوریم

برای محاسبه این انتگرال به مختصات قطبی روی می آوریم. در همان زمان، دایره Dبه یک مجموعه تبدیل می شود

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) بدن V محدود به سطوح z = y , z = –y , x = 0 , x = 2, y = 1. محاسبه کنید

هواپیماها z = y , z = –yبدن را به ترتیب از پایین و از بالا هواپیماها محدود کنید x = 0 , x = 2 بدن را به ترتیب در پشت و جلو و هواپیما محدود کنید y = 1 به سمت راست محدود می شود. V -z-بدنه استوانه ای، برآمدگی آن Dدر هواپیما هوییک مستطیل است OAVS... ما گذاشتیم φ 1 (ایکس , y ) = -ی

انتگرال های سه گانه محاسبه حجم بدن
انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای

متوفی به مدت سه روز در دفتر ریاست دانشگاه دراز کشیده بود و شلوار فیثاغورث به تن داشت.
او در دستان فیشتنگولتس حجمی را در دست داشت که او را از نور سفید بیرون می‌کشید.
آنها یک انتگرال سه گانه را به پاهای خود بستند و جسد را در یک ماتریکس پیچیدند.
و مرد گستاخ به جای دعا، قضیه برنولی را خواند.

انتگرال های سه گانه چیزی هستند که دیگر نمی توانید از آن بترسید =) زیرا اگر این متن را می خوانید، به احتمال زیاد، به توافق خوبی رسیده اید. تئوری و عمل انتگرال های "معمولی".، و انتگرال های دوگانه... و کجا دو، نزدیک و سه تایی:

و در واقع چه چیزی برای ترسیدن وجود دارد؟ انتگرال کمتر است، انتگرال بیشتر است….

ما رکورد را درک می کنیم:

- نماد یکپارچه سه گانه.
- یکپارچه تابع سه متغیر;
- محصول دیفرانسیل ها
- حوزه ادغام

بیایید تمرکز کنیم زمینه های ادغام... اگر در انتگرال دوگانهاو است شکل تخت، سپس اینجا - بدن فضایی، که مشخص است با مجموعه محدود شده است سطوح... بنابراین، علاوه بر موارد فوق، باید در آن نیز پیمایش کنید سطوح اصلی فضاو بتواند ساده ترین نقشه های سه بعدی را انجام دهد.

بعضی ها افسرده اند، می فهمم…. افسوس، مقاله را نمی توان عنوان "انتگرال های سه گانه برای آدمک ها" نامید و شما باید کاری را بدانید / بتوانید انجام دهید. اما اشکالی ندارد - همه مطالب به شکلی بسیار در دسترس ارائه می شود و در کوتاه ترین زمان ممکن تسلط پیدا می کند!

محاسبه انتگرال سه گانه به چه معناست و به طور کلی چیست؟

میانگین انتگرال سه گانه را محاسبه کنید NUMBER را پیدا کنید:

در ساده ترین حالت، زمانی که، انتگرال سه گانه از نظر عددی برابر با حجم جسم است... و در واقع، مطابق با حس کلی یکپارچگی، محصول است بی نهایت کوچکحجم یک "آجر" ابتدایی بدن. و انتگرال سه گانه فقط است متحد می کند همه این ذرات بی نهایت کوچکبر روی منطقه، در نتیجه مقدار انتگرال (کل) حجم بدن به دست می آید: .

علاوه بر این، انتگرال سه گانه دارای اهمیت است کاربردهای فیزیکی... اما بیشتر در مورد آن بعدا - در بخش دوم درس، اختصاص داده شده به محاسبات انتگرال های سه گانه دلخواه، که تابع آن در حالت کلی با یک ثابت متفاوت است و در منطقه پیوسته است. در این مقاله، مشکل یافتن حجم را با جزئیات بررسی خواهیم کرد، که طبق ارزیابی ذهنی من، 6-7 بار بیشتر اتفاق می افتد.

چگونه انتگرال سه گانه را حل کنیم؟

پاسخ به طور منطقی از نکته قبل ناشی می شود. لازم به تعریف است ترتیب پیمایش بدنو برو به انتگرال های تکرار شده... سپس با سه انتگرال منفرد به ترتیب برخورد کنید.

همانطور که می بینید، کل آشپزخانه بسیار بسیار شبیه است انتگرال های دوگانه، با این تفاوت که اکنون یک بعد اضافی (به طور تقریبی ارتفاع) اضافه کرده ایم. و احتمالاً بسیاری از شما قبلاً حدس زده اید که چگونه انتگرال های سه گانه حل می شوند.

بیایید شک های باقی مانده را برطرف کنیم:

مثال 1

لطفاً در یک ستون روی کاغذ بازنویسی کنید:

و به سوالات زیر پاسخ دهید. آیا می دانید این معادلات چه سطوحی را تعریف می کنند؟ آیا معنای غیر رسمی این معادلات را درک می کنید؟ آیا می توانید تصور کنید که این سطوح چگونه در فضا قرار گرفته اند؟

اگر به پاسخ کلی «به احتمال زیاد نه از بله» متمایل هستید، حتماً درس را ادامه دهید، در غیر این صورت پیشرفت بیشتری نخواهید داشت!

راه حل: از فرمول استفاده کنید

برای پیدا کردن ترتیب پیمایش بدنو برو به انتگرال های تکرار شدهشما نیاز دارید (همه چیز مبتکرانه ساده است) تا بفهمید که چه نوع بدنی است. و در بسیاری از موارد، نقاشی ها به این درک کمک می کنند.

طبق شرایط، بدن توسط چندین سطح محدود می شود. ساخت و ساز را از کجا شروع کنیم؟ من روش زیر را پیشنهاد می کنم:

ابتدا تصویر می کنیم متعامد موازیبرآمدگی بدن بر روی صفحه مختصات. اولین باری که گفتم این پروجکشن اسمش چیه، lol =)

از آنجایی که طرح ریزی در امتداد محور انجام می شود ، قبل از هر چیز توصیه می شود با آن مقابله کنید سطوحکه موازی با این محور هستند. به شما یادآوری می کنم که معادلات چنین سطوحی است حرف "ز" را نداشته باشد... سه مورد از آنها در مسئله مورد بررسی وجود دارد:

- معادله صفحه مختصاتی را که از محور عبور می کند تنظیم می کند.
- معادله صفحه مختصاتی را که از محور عبور می کند تنظیم می کند.
- مجموعه معادلات سطح "مسطح" مستقیمموازی با محور

به احتمال زیاد، طرح مورد نظر مثلث زیر است:

شاید همه به طور کامل متوجه نشدند که در مورد چیست. تصور کنید که یک محور از صفحه نمایش مانیتور خارج می شود و درست به بینی شما می چسبد ( آن ها معلوم می شود که از بالا به یک نقاشی 3 بعدی نگاه می کنید)... جسم فضایی مورد بررسی در یک "راهروی" بی نهایت سه وجهی قرار دارد و به احتمال زیاد برآمدگی آن بر روی هواپیما یک مثلث سایه دار است.

توجه شما را به این نکته جلب می کنم که در حالی که بیان کردیم فقط یک فرض در مورد طرح ریزیو بندهای «به احتمال زیاد»، «به احتمال زیاد» تصادفی نبودند. واقعیت این است که هنوز همه سطوح مورد تجزیه و تحلیل قرار نگرفته اند و ممکن است برخی از آنها قسمتی از مثلث را "خرد کنند". به عنوان یک مثال گویا، التماس می کند کرهدر مرکز مبدا با شعاع کمتر از یک، به عنوان مثال، یک کره آیا برآمدگی آن بر روی یک صفحه (دایره ) ناحیه سایه دار را به طور کامل "پوشانده" نخواهد کرد و برجستگی نهایی بدن به هیچ وجه مثلث نخواهد بود. (دایره گوشه های تیز را برای او "بریده" می کند).

در مرحله دوم، متوجه می شویم که بدن از بالا به چه چیزی محدود شده است تا از پایین، و یک ترسیم فضایی انجام می دهیم. به بیانیه مشکل برمی گردیم و می بینیم چه سطوحی باقی مانده است. معادله خود صفحه مختصات را تعریف می کند و معادله - استوانه سهموی، واقع شده است در بالاهواپیما و عبور از محور. بنابراین، برآمدگی بدن در واقع یک مثلث است.

اتفاقا اینجا پیدا شد افزونگیشرایط - لازم نبود معادله هواپیما در آن گنجانده شود، زیرا سطح، محور آبسیسا را ​​لمس می کند، و بنابراین بدن را می بندد. جالب است توجه داشته باشید که در این مورد ما نمی توانستیم فوراً طرح را ترسیم کنیم - مثلث فقط پس از تجزیه و تحلیل معادله "رسم" می شد.

اجازه دهید قطعه ای از یک استوانه سهموی را با دقت به تصویر بکشیم:

پس از تکمیل نقشه ها با ترتیب پیمایش بدنمشکلی نیست!

ابتدا ترتیب پیمایش پروجکشن را تعریف می کنیم (در عین حال حرکت با یک نقاشی دو بعدی بسیار راحت تر است).این کار انجام می شود کاملاً همین طور، همانطور که در انتگرال های دوگانه! به خاطر سپردن نشانگر لیزری و اسکن یک ناحیه صاف. بیایید اولین راه "سنتی" را برای دور زدن انتخاب کنیم:

بعد، یک چراغ قوه جادویی را در دستان خود می گیریم، به یک نقاشی سه بعدی نگاه می کنیم و به شدت از پایین به بالااشعه ایکس از بیمار. پرتوها از طریق هواپیما وارد بدن شده و از طریق سطح آن را ترک می کنند. بنابراین ترتیب پیمایش بدن به صورت زیر است:

بیایید به سراغ انتگرال های تکرار شونده برویم:

1) باید با انتگرال "زتا" شروع شود. ما استفاده می کنیم فرمول نیوتن لایب نیتس:

اجازه دهید نتیجه را با انتگرال "بازی" جایگزین کنیم:

چی شد؟ در اصل، راه حل به یک انتگرال دوگانه، یعنی به فرمول کاهش یافت حجم میله استوانه ای! بقیه اش خیلی آشناست:

2)

به تکنیک منطقی برای حل انتگرال 3 توجه کنید.

پاسخ:

محاسبات را همیشه می توان در "یک خط" نوشت:


اما مراقب این روش باشید - افزایش سرعت مملو از از دست دادن کیفیت است و هر چه مثال دشوارتر باشد، احتمال اشتباه بیشتر می شود.

بیایید به یک سوال مهم پاسخ دهیم:

اگر در شرایط کار نیازی به تکمیل آنها نیست، آیا باید نقشه ها را انجام دهم؟

چهار راه برای رفتن وجود دارد:

1) برآمدگی و خود بدن را به تصویر بکشید. این سودمندترین گزینه است - اگر فرصتی برای تکمیل دو نقاشی مناسب وجود دارد، تنبل نباشید، هر دو نقاشی را انجام دهید. من اول از همه توصیه می کنم.

2) فقط بدنه را بکشید. زمانی مناسب است که بدن دارای برجستگی ساده و واضح باشد. بنابراین، برای مثال، در مثال جدا شده، یک نقاشی سه بعدی کافی است. با این حال، یک نکته منفی نیز وجود دارد - تعیین ترتیب پیمایش طرح ریزی توسط تصویر سه بعدی ناخوشایند است و من این روش را فقط به افرادی با سطح آموزش خوب توصیه می کنم.

3) فقط تصویر را نشان دهید. همچنین بد نیست، اما پس از آن نظرات کتبی اضافی مورد نیاز است، که این منطقه را از جهات مختلف محدود می کند. متأسفانه، گزینه سوم اغلب اجباری است - وقتی بدن خیلی بزرگ است یا ساخت آن مملو از مشکلات دیگر است. و ما نیز چنین نمونه هایی را در نظر خواهیم گرفت.

4) اصلاً بدون نقاشی انجام دهید. در این مورد، باید بدن را از نظر ذهنی تصور کنید و در مورد شکل / مکان آن به صورت نوشتاری نظر دهید. مناسب برای بدنه ها یا کارهای بسیار ساده که تکمیل هر دو نقشه دشوار است. اما هنوز هم بهتر است حداقل یک نقشه شماتیک ایجاد شود، زیرا راه حل "لخت" را می توان رد کرد.

بدنه زیر برای کسب و کار خودتان است:

مثال 2

با استفاده از انتگرال سه گانه، حجم جسم محدود شده با سطوح را محاسبه کنید

در این مورد، منطقه ادغام عمدتاً توسط نابرابری ها داده می شود، و این حتی بهتر است - مجموعه ای از نابرابری ها اکتانت اول، از جمله صفحات مختصات، و نابرابری را مشخص می کند - نیم فضاحاوی مبدا (بررسی)+ خود هواپیما صفحه "عمودی" پارابولوئید را در امتداد یک سهمی برش می دهد و مطلوب است که این بخش روی نقشه ساخته شود. برای انجام این کار، باید یک نقطه لنگر اضافی پیدا کنید، ساده ترین آن رأس سهمی است. (مقادیر را در نظر بگیرید و "z" مربوطه را محاسبه کنید).

ما به گرم کردن ادامه می دهیم:

مثال 3

حجم جسم محدود شده توسط سطوح نشان داده شده را با استفاده از انتگرال سه گانه محاسبه کنید. طرحی را اجرا کنید

راه حل: عبارت "ساختن نقاشی" به ما آزادی می دهد ، اما به احتمال زیاد حاکی از اجرای یک نقاشی فضایی است. با این حال، فرافکنی نیز صدمه نمی زند، به خصوص که در اینجا ساده ترین نیست.

ما به تاکتیک هایی که قبلاً کار شده است پایبند هستیم - ابتدا با آن برخورد خواهیم کرد سطوحکه موازی با محور کاربردی هستند. معادلات چنین سطوحی به طور صریح حاوی متغیر "z" نیستند:

- معادله صفحه مختصاتی را که از محور عبور می کند ( که در هواپیما با معادله "همنام" تعیین می شود);
- مجموعه معادلات سطحعبور از "همنام" "مسطح" مستقیمموازی با محور

بدن جستجو شده توسط هواپیما از پایین محدود می شود و استوانه سهمویدر بالا:

اجازه دهید ترتیب پیمایش بدن را بنویسیم، در حالی که به شما یادآوری می‌کنم که محدودیت‌های "x" و "بازی" ادغام، برای فهمیدن از یک نقاشی دو بعدی راحت‌تر است:

بدین ترتیب:

1)

هنگام ادغام طبق "بازی" - "x" یک ثابت در نظر گرفته می شود، بنابراین توصیه می شود بلافاصله ثابت را خارج از علامت انتگرال بگیرید.

3)

پاسخ:

بله، تقریباً فراموش کردم، در بیشتر موارد، نتیجه به دست آمده برای مقایسه با یک نقاشی سه بعدی بسیار مفید (و حتی مضر) نیست، زیرا احتمال وقوع آن بسیار زیاد است. توهم حجم، که من در مورد آن در درس صحبت کردم حجم بدنه انقلاب... بنابراین، با ارزیابی بدنه مشکل در نظر گرفته شده، شخصاً به نظر می رسید که بیش از 4 "مکعب" در آن وجود دارد.

مثال زیر برای راه حلی است که خودتان انجام دهید:

مثال 4

حجم جسم محدود شده توسط سطوح نشان داده شده را با استفاده از انتگرال سه گانه محاسبه کنید. نقاشی هایی از این بدن و برجستگی آن بر روی یک صفحه انجام دهید.

نمونه تقریبی طراحی کار در پایان درس.

زمانی که اجرای یک ترسیم سه بعدی دشوار است غیر معمول نیست:

مثال 5

با استفاده از انتگرال سه گانه، حجم بدن را که توسط سطوح مرزی آن تعریف شده است، پیدا کنید

راه حل: فرافکنی در اینجا دشوار نیست، اما باید به ترتیب پیمایش آن فکر کنید. اگر روش اول را انتخاب کنید، رقم باید به 2 قسمت تقسیم شود، که به طور غیر توهم انگیز محاسبه مبلغ را تهدید می کند. دوانتگرال های سه گانه از این نظر، راه دوم بسیار امیدوارکننده تر به نظر می رسد. اجازه دهید برآمدگی این بدن را در نقاشی بیان و به تصویر بکشیم:

من بابت کیفیت برخی از تصاویر عذرخواهی می کنم، آنها را مستقیماً از دست نوشته های خودم برش دادم.

ما ترتیب سودمندتری را برای عبور از شکل انتخاب می کنیم:

حالا به بدن بستگی دارد. از پایین با یک هواپیما محدود می شود، از بالا - با صفحه ای که از محور مدار می گذرد. و همه چیز خوب خواهد بود، اما آخرین هواپیما بسیار شیب دار است و ساختن یک منطقه چندان آسان نیست. انتخاب در اینجا غیر قابل رغبت است: یا جواهرات در مقیاس کوچک (از آنجایی که بدن کاملاً نازک است) یا نقاشی با ارتفاع حدود 20 سانتی متر (و حتی در آن زمان، اگر مناسب باشد).

اما یک روش سوم، از ابتدا روسی برای حل مشکل نیز وجود دارد - نمره دادن =) و به جای یک نقاشی سه بعدی، می توانید با یک توصیف شفاهی انجام دهید: "این بدنه توسط سیلندرها محدود شده است. و یک هواپیما از کنار، یک هواپیما - از پایین و یک هواپیما - از بالا."

محدودیت های "عمودی" ادغام بدیهی است که به شرح زیر است:

بیایید حجم بدن را محاسبه کنیم، فراموش نکنیم که به روشی کمتر معمولی از طرح ریزی دور زده ایم:

1)

پاسخ:

همانطور که متوجه شده اید، بدن هایی که در کارهایی که بیش از صد دلار نیستند، اغلب به یک کف صاف محدود می شوند. اما این نوعی قانون نیست، بنابراین شما همیشه باید مراقب باشید - ممکن است در جایی که بدن قرار دارد و زیرسطح. بنابراین، به عنوان مثال، اگر در مسئله تجزیه و تحلیل شده به جای در نظر گرفتن یک هواپیما، بدن مورد بررسی به طور متقارن در نیمه فضای پایین نمایش داده می شود و توسط هواپیما از پایین و با هواپیما - از قبل از بالا محدود می شود!

به راحتی می توان دید که همان نتیجه را دریافت می کنید:

(به یاد داشته باشید که بدن باید دور زده شود به شدت از پایین به بالا!)

علاوه بر این، هواپیمای "مورد علاقه" ممکن است اصلا در کار نباشد، ساده ترین مثال: توپی که در بالای هواپیما قرار دارد - هنگام محاسبه حجم آن، به معادله اصلا نیازی نخواهد بود.

ما همه این موارد را در نظر خواهیم گرفت، اما در حال حاضر یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 6

با استفاده از انتگرال سه گانه، حجم جسم محدود شده با سطوح را پیدا کنید

یک راه حل و پاسخ کوتاه در پایان آموزش.

بیایید به پاراگراف دوم با مطالب به همان اندازه محبوب برویم:

انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای

مختصات استوانه ای در واقع عبارتند از مختصات قطبیدر فضای.
در یک سیستم مختصات استوانه‌ای، موقعیت یک نقطه در فضا با مختصات قطبی تعیین می‌شود و یک نقطه، برآمدگی یک نقطه بر روی صفحه و کاربرد خود نقطه است.

انتقال از یک سیستم دکارتی سه بعدی به یک سیستم مختصات استوانه ای طبق فرمول های زیر انجام می شود:

برای موضوع ما، تبدیل به این شکل است:

و بر این اساس، در یک مورد ساده که در این مقاله در نظر داریم:

نکته اصلی این است که ضرب کننده اضافی "er" را فراموش نکنید و به درستی قرار دهید محدودیت های قطبی ادغامهنگام عبور از طرح ریزی:

مثال 7

راه حل: ما به همین رویه پایبند هستیم: ابتدا معادلاتی را در نظر می گیریم که در آنها متغیر "z" وجود ندارد. اینجا تنهاست فرافکنی سطح استوانه ایدر هواپیما "به همین نام" است دایره .

هواپیماها بدن مورد نظر را از پایین و از بالا محدود کنید (آن را از سیلندر "برش دهید") و به صورت دایره ای برجسته می شوند:

مرحله بعدی یک نقاشی سه بعدی است. مشکل اصلی در ساختن صفحه ای نهفته است که استوانه را در یک زاویه "میب" قطع می کند و در نتیجه بیضی... اجازه دهید این بخش را به صورت تحلیلی اصلاح کنیم: برای این منظور ما معادله هواپیما را به شکل تابعی بازنویسی می کنیم. و مقادیر تابع ("ارتفاع") را در نقاط واضحی که در مرز طرح قرار دارند محاسبه کنید:

نقاط پیدا شده را روی نقاشی و با دقت مشخص می کنیم (مثل من نیست =))ما آنها را با یک خط وصل می کنیم:

طرح ریزی یک جسم بر روی یک صفحه یک دایره است، و این یک استدلال قوی به نفع انتقال به یک سیستم مختصات استوانه ای است:

بیایید معادلات سطوح را در مختصات استوانه ای پیدا کنیم:

حالا باید ترتیب پیمایش بدن را مشخص کنیم.

بیایید ابتدا به فرافکنی بپردازیم. چگونه ترتیب پیمایش آن را تعیین کنیم؟ دقیقا مشابه با محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی... اینجا ابتدایی است:

محدودیت های "عمودی" ادغام نیز واضح است - ما از طریق هواپیما وارد بدن می شویم و از طریق هواپیما آن را ترک می کنیم:

بیایید به سراغ انتگرال های تکرار شونده برویم:

در این مورد، ما بلافاصله عامل "ers" را در انتگرال "ما" قرار می دهیم.

جارو، طبق معمول، راحت تر در امتداد شاخه ها شکسته می شود:

1)

ما نتیجه را به انتگرال زیر کاهش می دهیم:

و در اینجا فراموش نمی کنیم که «فی» یک ثابت در نظر گرفته می شود. اما فعلا:

پاسخ:

یک کار مشابه برای یک راه حل مستقل:

مثال 8

حجم جسم محدود شده با سطوح را با استفاده از انتگرال سه گانه محاسبه کنید. نقاشی های یک جسم معین و طرح ریزی آن را روی یک صفحه بکشید.

یک مثال تقریبی از اتمام در پایان درس.

لطفاً توجه داشته باشید که در شرایط مشکلات هیچ کلمه ای در مورد انتقال به یک سیستم مختصات استوانه ای گفته نمی شود و یک فرد نادان با انتگرال های دشوار در مختصات دکارتی لب به لب می شود. ... یا شاید اینطور نباشد - بالاخره یک راه سوم، از ابتدا روسی برای حل مشکلات وجود دارد =)

این تازه شروع کار است! به طرز خوبی: =)

مثال 9

با استفاده از انتگرال سه گانه، حجم جسم محدود شده توسط سطوح را پیدا کنید

متواضع و خوش سلیقه.

راه حل: این بدن محدود است سطح مخروطیو پارابولوئید بیضوی... خوانندگانی که مطالب مقاله را با دقت مطالعه می کنند سطوح اصلی فضا، قبلاً تصور کرده اید که بدن چگونه به نظر می رسد ، اما در عمل اغلب موارد پیچیده تری وجود دارد ، بنابراین من یک استدلال تحلیلی دقیق انجام خواهم داد.

ابتدا خطوطی را که سطوح در امتداد آنها تلاقی می کنند پیدا کنید. بیایید سیستم زیر را بسازیم و حل کنیم:

اجازه دهید عدد دوم را به صورت ترم از معادله اول کم کنیم:

نتیجه دو ریشه است:

مقدار پیدا شده را با هر معادله ای از سیستم جایگزین کنید:
، از آنجا نتیجه می گیرد که
بنابراین، تنها یک نقطه مربوط به ریشه وجود دارد - مبدا. به طور طبیعی - پس از همه، رئوس سطوح در نظر گرفته با هم مطابقت دارند.

حالا بیایید ریشه دوم را جایگزین کنیم - همچنین در هر معادله ای از سیستم:

معنای هندسی نتیجه به دست آمده چیست؟ "در ارتفاع" (در صفحه)، پارابولوئید و مخروط با هم قطع می شوند حلقه ها- واحد شعاع در مرکز یک نقطه.

در این مورد، "کاسه" پارابولوئید حاوی "قیف" مخروط است، بنابراین ژنراتورهاسطح مخروطی باید با یک خط نقطه چین رسم شود (به جز قسمت دورتر از ما که از این زاویه قابل مشاهده است):

برآمدگی یک جسم بر روی یک هواپیما است دایرهبا محوریت مبدأ شعاع 1، که به دلیل واضح بودن این واقعیت، حتی حوصله تصویر کردن آن را هم به خود ندادم. (با این حال، ما یک نظر کتبی انجام می دهیم!)... به هر حال، در دو کار قبلی، نقاشی طرح ریزی نیز می تواند چکش شود، اگر برای شرایط نبود.

هنگام عبور به مختصات استوانه‌ای طبق فرمول‌های استاندارد، نابرابری به ساده‌ترین شکل نوشته می‌شود و در ترتیب پیمایش طرح مشکلی وجود ندارد:

اجازه دهید معادلات سطوح را در یک سیستم مختصات استوانه ای پیدا کنیم:

از آنجایی که مسئله قسمت بالایی مخروط را در نظر می گیرد، از معادله بیان می کنیم:

"اسکن بدن" از پایین به بالا. پرتوهای نور از طریق پارابولوئید بیضوی وارد آن شده و از سطح مخروطی خارج می شوند. بنابراین، ترتیب "عمودی" عبور از بدن:

بقیه مسائل مربوط به تکنولوژی است:

پاسخ:

زمانی که جسمی نه با سطوحی که آن را محدود می کنند، بلکه با مجموعه ای از نابرابری ها مشخص می شود، غیر معمول نیست:

مثال 10

من در همان مقاله مرجع معنای هندسی نابرابری های فضایی را با جزئیات توضیح داده ام - سطوح اصلی فضا و ساخت آنها.

اگرچه این کار حاوی یک پارامتر است، اما امکان اجرای یک نقشه دقیق را می دهد که نمای بنیادی بدن را منعکس می کند. به نحوه تکمیل ساخت فکر کنید. راه حل و پاسخ کوتاه در انتهای درس آمده است.

... خوب، چند کار دیگر؟ فکر کردم درس را تمام کنم، اما فقط احساس می کنم شما بیشتر می خواهید =)

مثال 11

با استفاده از انتگرال سه گانه، حجم یک جسم معین را محاسبه کنید:
، جایی که یک عدد مثبت دلخواه است.

راه حل: نابرابری یک توپ را در مبدأ شعاع و نابرابری تعریف می کند - "داخلی" یک استوانه دایره ای با محور تقارن شعاع. بنابراین، بدنه مورد نظر توسط یک استوانه دایره ای در طرفین و بخش های کروی متقارن در مورد صفحه در بالا و پایین محدود شده است.

با در نظر گرفتن واحد پایه اندازه گیری، نقشه را اجرا می کنیم:

به طور دقیق تر ، باید آن را نقاشی نامید ، زیرا من نسبت ها را در امتداد محور به خوبی حفظ نکردم. با این حال، انصافاً، طبق شرط، اصلاً نیازی به کشیدن چیزی نبود و چنین تصویری کاملاً کافی بود.

لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا لازم نیست ارتفاعی که استوانه در آن "کلاه" را از توپ بیرون می کشد - اگر قطب نما را در دست بگیرید و دایره ای را با مرکز در مبدا مختصات با شعاع ترسیم کنید. 2 سانتی متر، سپس نقاط تقاطع با استوانه به خودی خود تبدیل می شوند.

اجازه دهید دو سیستم مختصات مستطیلی در فضا و
و سیستم توابع

(1)

که بین نقاط برخی مناطق مطابقت یک به یک برقرار می کند
و
در این سیستم های مختصات فرض کنید که توابع سیستم (1) در
مشتقات جزئی پیوسته تعیین کننده متشکل از این مشتقات جزئی

,

ژاکوبین (یا تعیین کننده ژاکوبی) سیستم توابع (1) نامیده می شود. ما آن را فرض خواهیم کرد
v
.

طبق مفروضات فوق، فرمول کلی زیر برای تغییر متغیرها در انتگرال سه گانه صادق است:

همانطور که در مورد یک انتگرال دوگانه، سیستم (1) یک به یک و شرط است
می تواند در نقاط جداگانه، در خطوط جداگانه و در سطوح جداگانه نقض شود.

سیستم عملکرد (1) هر نقطه
منطبق بر یک نقطه
... این سه عدد
مختصات منحنی نقطه نامیده می شود ... نقاطی در فضا
، که یکی از این مختصات ثابت می ماند، به اصطلاح را تشکیل می دهند. سطح مختصات

II انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای

یک سیستم مختصات استوانه ای (CSK) توسط یک صفحه تعریف می شود
، که در آن سیستم مختصات قطبی و محور
عمود بر این صفحه مختصات نقطه استوانه ای
، جایی که
- مختصات قطبی یک نقطه - پیش بینی تی عینک در هواپیما
، آ مختصات نقطه پیش بینی شده هستند در هر محور
یا
.

داخل هواپیما
مختصات دکارتی را به روش معمول معرفی می کنیم، محور برنامه در امتداد محور هدایت می شود.
CSK. اکنون به دست آوردن فرمول هایی که مختصات استوانه ای را با مختصات دکارتی متصل می کند دشوار نیست:

(3)

این فرمول ها مساحت را به کل فضا نشان می دهد
.

سطوح مختصات در این مورد عبارتند از:

1)
- سطوح استوانه ای با ژنراتیکس موازی با محور
که راهنماهای آن دایره های داخل صفحه هستند
، در مرکز نقطه ;

2)

;

3)
- هواپیماهای موازی با هواپیما
.

ژاکوبین سیستم (3):

.

فرمول کلی در مورد CSK به شکل زیر است:

تبصره 1 . انتقال به مختصات استوانه‌ای در مواردی توصیه می‌شود که ناحیه ادغام یک استوانه دایره‌ای یا مخروط، یا یک پارابولوئید چرخشی (یا قطعات آنها) باشد و محور این بدنه با محور کاربرد منطبق باشد.
.

تبصره 2. مختصات استوانه ای را می توان به همان شکلی که مختصات قطبی در یک صفحه تعمیم داد.

مثال 1. انتگرال سه گانه یک تابع را محاسبه کنید

بر اساس منطقه
نمایانگر قسمت داخلی سیلندر است
محدود به یک مخروط
و پارابولوئید
.

راه حل. ما قبلاً این ناحیه را در §2، مثال 6 در نظر گرفته ایم و یک رکورد استاندارد در DPSK دریافت کرده ایم. با این حال، محاسبه انتگرال در این زمینه دشوار است. بیایید به CSK برویم:

.

فرافکنی
بدن
در هواپیما
یک دایره است
... بنابراین، مختصات از 0 تا
، آ - از 0 تا آر. از طریق یک نقطه دلخواه
یک خط مستقیم موازی با محور رسم کنید
... مستقیم وارد خواهد شد
روی یک مخروط، اما روی یک پارابولوئید بیرون خواهد آمد. اما مخروط
در CSK معادله را دارد
و پارابولوئید
- معادله
... بنابراین ما داریم

III انتگرال سه گانه در مختصات کروی

یک سیستم مختصات کروی (SSC) توسط یک صفحه تعریف می شود
، که در آن UCS مشخص شده است و محور
عمود بر صفحه
.

مختصات نقطه کروی فضاها را سه عدد اعداد می نامند
، جایی که - زاویه قطبی پرتاب یک نقطه در یک صفحه
,- زاویه بین محور
و بردار
و
.

داخل هواپیما
ما محورهای مختصات دکارتی را معرفی می کنیم
و
به روش معمول، و محور برنامه با محور سازگار است
... فرمول های اتصال مختصات کروی با مختصات دکارتی به شرح زیر است:

(4)

این فرمول ها مساحت را به کل فضا نشان می دهد.
.

ژاکوبین سیستم توابع (4):

.

سطوح مختصات از سه خانواده تشکیل شده است:

1)
- کره های متحدالمرکز که در مبدا متمرکز شده اند.

2)
- نیم صفحاتی که از محور عبور می کنند
;

3)
- مخروط های دایره ای با راس در مبدا که محور آن محور است
.

فرمول انتقال به SSK در انتگرال سه گانه:

تبصره 3. انتقال به SSC زمانی توصیه می شود که ناحیه ادغام یک توپ یا بخشی از آن باشد. در این حالت معادله کره است
وارد می شود. مانند CSK که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، SSK به محور "گره خورده" است
... اگر مرکز کره با شعاع در امتداد محور مختصات جابه‌جا شود، ساده‌ترین معادله کروی با جابه‌جایی در امتداد محور به دست می‌آید.
:

تبصره 4. تعمیم SSK ممکن است:

با ژاکوبیان
... این سیستم توابع بیضی را ترجمه می کند

به "موازی شکل"

مثال 2. میانگین فاصله نقاط یک توپ با شعاع را پیدا کنید از مرکز آن

راه حل. به یاد بیاورید که مقدار میانگین تابع
در محدوده ی
آیا انتگرال سه گانه تابع بر روی مساحت تقسیم بر حجم مساحت است. در مورد ما

بنابراین ما داریم

روش محاسبه یک انتگرال سه گانه مشابه عملیات مربوطه برای یک انتگرال دوگانه است. برای توصیف آن، مفهوم یک منطقه سه بعدی منظم را معرفی می کنیم:

تعریف 9.1. یک ناحیه سه بعدی V که توسط یک سطح بسته S محدود شده است، منظم نامیده می شود اگر:

1. هر خط مستقیم موازی با محور اوز و کشیده شده از طریق نقطه داخلی منطقه، S را در دو نقطه قطع می کند.
2. کل منطقه V بر روی صفحه Oxy در یک منطقه دو بعدی منظم D قرار می گیرد.
3. هر قسمت از ناحیه V که با صفحه ای موازی با هر یک از صفحات مختصات از آن جدا شده باشد، دارای ویژگی های 1) و 2 است.

یک ناحیه منظم V را در نظر بگیرید که از پایین و بالا توسط سطوح z = χ (x, y) و z = ψ (x, y) محدود شده است و بر روی صفحه Oxy به یک منطقه منظم D که داخل آن x از a تا b تغییر می کند، پیش بینی می شود. محدود شده توسط منحنی های y = φ1 (x) و y = φ2 (x) (شکل 1). اجازه دهید در حوزه V یک تابع پیوسته f (x، y، z) تعریف کنیم.

تعریف 9.2. اجازه دهید یک انتگرال سه گانه از تابع f (x, y, z) را در ناحیه V یک عبارت از شکل فراخوانی کنیم:

یک انتگرال سه گانه همان ویژگی های یک انتگرال دوگانه را دارد. ما آنها را بدون اثبات فهرست می کنیم، زیرا آنها مشابه مورد یک انتگرال دوگانه ثابت شده اند.

محاسبه انتگرال سه گانه

قضیه 9.1. انتگرال سه گانه تابع f (x، y، z) روی ناحیه منظم V برابر است با انتگرال سه گانه روی همان ناحیه:

. (9.3)

اثبات

منطقه V را با صفحات موازی با صفحات مختصات به n ناحیه منظم تقسیم می کنیم. سپس خاصیت 1 دلالت بر آن دارد

که در آن انتگرال سه گانه تابع f (x، y، z) روی دامنه قرار دارد.

با استفاده از فرمول (9.2)، برابری قبلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

از شرط پیوستگی تابع f (x,y,z) نتیجه می شود که حد مجموع انتگرال در سمت راست این تساوی وجود دارد و برابر انتگرال سه گانه است. سپس با عبور از حد مجاز در، دریافت می کنیم:

Q.E.D.

اظهار نظر.

به طور مشابه در مورد یک انتگرال دوگانه، می توان ثابت کرد که تغییر در ترتیب انتگرال، مقدار یک انتگرال سه گانه را تغییر نمی دهد.

مثال. اجازه دهید انتگرال را محاسبه کنیم که در آن V یک هرم مثلثی با رئوس در نقاط (0، 0، 0)، (1، 0، 0)، (0، 1، 0) و (0، 0، 1) است. برآمدگی آن بر روی صفحه اکسی مثلثی با رئوس (0، 0)، (1، 0) و (0، 1) است. منطقه از پایین با صفحه z = 0 و از بالا با صفحه x + y + z = 1 محدود می شود. اجازه دهید به انتگرال سه گانه ادامه دهیم:

عواملی که به متغیر انتگرال بستگی ندارند می توانند به خارج از علامت انتگرال مربوطه منتقل شوند:

سیستم های مختصات منحنی در فضای سه بعدی

1. سیستم مختصات استوانه ای

مختصات استوانه ای نقطه P (ρ, φ, z) مختصات قطبی ρ، φ طرح این نقطه بر روی صفحه Oxy و کاربرد این نقطه z هستند (شکل 2).

فرمول های انتقال از مختصات استوانه ای به مختصات دکارتی را می توان به صورت زیر مشخص کرد:

x = ρ cosφ، y = ρ sinφ، z = z. (9.4)

1. سیستم مختصات کروی

در مختصات کروی، موقعیت یک نقطه در فضا با مختصات خطی ρ تعیین می شود - فاصله از نقطه تا مبدأ سیستم مختصات دکارتی (یا قطب سیستم کروی)، φ - زاویه قطبی بین مثبت نیم محور Ox و طرح نقطه بر روی صفحه Oxy، و θ - زاویه بین نیم محور مثبت محور Оz و بخش OP (شکل 3). که در آن

اجازه دهید فرمول های انتقال از مختصات کروی به مختصات دکارتی را تعریف کنیم:

x = ρ sinθ cosφ، y = ρ sinθ sinφ، z = ρ cosθ. (9.5)

ژاکوبین و معنای هندسی آن.

حالت کلی تغییر متغیرها در یک انتگرال دوگانه را در نظر بگیرید. فرض کنید که x و y توابع تک مقداری و پیوسته قابل تمایز متغیرهای جدید u و v هستند.

x = φ (u، v)، y = ψ (u، v). (9.6)

یک سیستم مختصات مستطیل شکل Оuv را در نظر بگیرید که نقطه Р' (u, v) مربوط به نقطه Р (x, y) از دامنه D است. همه این نقاط در صفحه Оuv دامنه D' را تشکیل می دهند که با خط L محدود شده است. '. می توان گفت که فرمول (9.6) یک تناظر یک به یک بین نقاط مناطق D و D ایجاد می کند. در این حالت خطوط u = const و

v = const در صفحه Ouv با برخی از خطوط در صفحه Oxy مطابقت دارد.

در صفحه Οuv یک ناحیه مستطیلی ΔS' را در نظر بگیرید که با خطوط مستقیم u = const، u + Δu = const، v = const و v + Δv = const محدود شده است. با یک ناحیه منحنی ΔS در صفحه Oxy مطابقت دارد (شکل 4). نواحی سایت های مورد بررسی نیز با ΔS' و ΔS مشخص می شوند. در این حالت ΔS΄ = Δu Δv. بیایید ناحیه ΔS را پیدا کنیم. رئوس این چهارضلعی منحنی Р1، Р2، Р3، Р4 را نشان می دهیم، جایی که

P1 (x1، y1)، x1 = φ (u، v)، y1 = ψ (u، v);

P2 (x2، y2)، x2 = φ (u + Δu، v)، y2 = ψ (u + Δu، v)؛

P3 (x3، y3)، x3 = φ (u + Δu، v + Δv)، y3 = ψ (u + Δu، v + Δv).

P4 (x4، y4)، x4 = φ (u، v + Δv)، y4 = ψ (u، v + Δv).

افزایش های کوچک Δu و Δv را با دیفرانسیل های مناسب جایگزین کنید. سپس

در این حالت، چهار ضلعی Р1 Р2 Р3 Р4 را می توان متوازی الاضلاع در نظر گرفت و مساحت آن را با استفاده از فرمول هندسه تحلیلی تعیین کرد:

(9.7)

تعریف 9.3. دترمینان، دترمینان تابعی یا ژاکوبین توابع φ (x, y) و ψ (x,y) نامیده می شود.

با عبور از حد در برابری (9.7)، معنای هندسی ژاکوبین را به دست می آوریم:

یعنی مدول ژاکوبین حد نسبت مساحت مساحت های بی نهایت کوچک ΔS و ΔS΄ است.

اظهار نظر. به روشی مشابه، می توان مفهوم ژاکوبین و معنای هندسی آن را برای یک فضای n بعدی تعریف کرد: اگر x1 = φ1 (u1، u2،…، un)، x2 = φ2 (u1، u2،…، un) ،…، xn = φ (u1، u2، ...، un)، سپس

(9.8)

علاوه بر این، مدول ژاکوبین حد نسبت "حجم" مناطق کوچک فضاهای x1، x2، ...، xn و u1، u2، ...، un را می دهد.

تغییر متغیرها در انتگرال های متعدد

اجازه دهید حالت کلی تغییر متغیرها را با استفاده از مثال یک انتگرال دوگانه بررسی کنیم.

اجازه دهید یک تابع پیوسته z = f (x, y) در دامنه D داده شود، که هر مقدار آن مطابق با همان مقدار تابع z = F (u, v) در دامنه D است، که در آن

F (u، v) = f (φ (u، v)، ψ (u، v)). (9.9)

جمع انتگرال را در نظر بگیرید

که در آن مجموع انتگرال سمت راست بر دامنه D' گرفته می شود. با عبور از حد در، یک فرمول تبدیل مختصات را در یک انتگرال دوگانه بدست می آوریم.

اجازه دهید یک جسم مادی داده شود، که یک ناحیه فضایی P پر از جرم است. یافتن جرم m این جسم مورد نیاز است، مشروط بر اینکه در هر نقطه P € P چگالی توزیع جرم مشخص باشد. ما منطقه P را به ترتیب به قطعات مکعبی غیر همپوشانی (یعنی دارای حجم) با حجم تقسیم می کنیم. در هر یک از مناطق جزئی ft * یک نقطه دلخواه P * را انتخاب می کنیم. اجازه دهید تقریباً فرض کنیم که در محدوده منطقه جزئی ft * چگالی ثابت و برابر با / * (P *) است. سپس جرم Amk این قسمت از بدن با برابری تقریبی Amnk بیان می شود و جرم کل بدن تقریباً برابر خواهد بود مجموع (1) دارای حد محدودی است که به روش تقسیم دامنه نیز بستگی ندارد. ft در زیر دامنه های جزئی، یا در انتخاب نقاط P * € ft *، سپس این حد به عنوان جرم m جسم داده شده در نظر گرفته می شود. اجازه دهید یک تابع محدود در یک دامنه مکعب بسته ft. ft به n قسمت مکعبی متمایز تعریف شود. ، و حجم آنها به ترتیب با نشان داده می شود. در هر زیردامنه جزئی * به طور دلخواه یک نقطه Pk (xk، yk، zk) انتخاب می کنیم و مجموع انتگرال را می سازیم اجازه دهید d بزرگترین قطر مناطق جزئی باشد. اگر برای d 0 مجموع انتگرال a دارای حدی باشند که به روش تقسیم ناحیه A به زیر دامنه های جزئی * یا به انتخاب نقاط Pk ∈ * بستگی ندارد، این حد انتگرال سه گانه تابع f نامیده می شود. (x) y، z) نسبت به دامنه Q و با نماد قضیه 6 نشان داده می شود. اگر تابع f (x، y، z) در یک دامنه مکعب بسته پیوسته باشد، در این حوزه قابل ادغام است. ویژگی های انتگرال های سه گانه ویژگی های انتگرال های سه گانه مشابه انتگرال های دوگانه است.اجازه دهید انتگرال های اصلی را فهرست کنیم. اجازه دهید توابع در دامنه مکعب L قابل ادغام باشند. 1. خطی بودن. در این حالت تابع در حوزه Q انتگرال پذیر نامیده می شود. بنابراین، طبق تعریف، با بازگشت به مسئله محاسبه جرم جسم، توجه می کنیم که حد (2) اگم انتگرال سه گانه تابع p است. (P) روی دامنه P. بنابراین، در اینجا dx dy dz - عنصر حجمی dv در مختصات مستطیلی شکل. که در آن a و (3 ثابت های واقعی دلخواه هستند. در همه جا در دامنه، سپس 3. اگر f (P) = 1 در دامنه، پس n جایی که V حجم دامنه Q است. اگر تابع f (P) پیوسته باشد. در دامنه مکعب بسته ft و M و m بزرگترین و کوچکترین مقادیر آن بر حسب ft هستند، سپس جایی که V حجم مساحت ft است. 5. افزایشی. اگر دامنه ft به دامنه های مکعبی بدون نقاط داخلی مشترک تقسیم شود و f (P) در دامنه ft قابل ادغام باشد، آنگاه f (P) در هر یک از دامنه های ft قابل ادغام است | و ft2 و 6. قضیه مقدار میانگین. قضیه 7 (در مورد میانگین). اگر تابع f (P) در یک دامنه مکعب بسته ft پیوسته باشد، در این صورت یک Pc € باریک ft وجود دارد به طوری که فرمول V حجم دامنه ft است (به یاد بیاورید که دامنه یک مجموعه متصل است). § 7. محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی همانطور که در محاسبه انتگرال های دوگانه، موضوع به محاسبه انتگرال های تکرار شده کاهش می یابد. فرض کنید که تابع در یک دامنه ft پیوسته است. مورد 1. مساحت ft یک متوازی الاضلاع مستطیلی است که بر روی صفحه yOz به یک مستطیل i2 پیش بینی شده است. سپس جایگزینی انتگرال مضاعف با انتگرال مکرر را به دست می آوریم، در نهایت به دست می آوریم بنابراین، در حالتی که دامنه یک متوازی الاضلاع مستطیلی باشد، محاسبه انتگرال سه گانه را به محاسبه متوالی سه انتگرال معمولی تقلیل می دهیم. فرمول (2) را می توان به گونه ای بازنویسی کرد که در آن مستطیل برآمدگی متعامد موازی P بر روی صفحه xOy است. مورد دوم اجازه دهید یک دامنه Q را به گونه ای در نظر بگیریم که سطح مرزی آن 5 هر خط مستقیم موازی با محور Oz را در بیش از دو نقطه یا در امتداد یک قطعه کامل قطع کند (شکل 22). فرض کنید z = tpi (x, y) معادله سطح 5 باشد که منطقه را از پایین محدود می کند و سطح S2 که منطقه را از بالا محدود می کند معادله z = y باشد. اجازه دهید هر دو سطح S1 و S2 بر روی یک منطقه از صفحه xOy قرار بگیرند. اجازه دهید آن را با D و منحنی محدود کننده آن را با L نشان دهیم. بقیه مرز 5 بدنه Q روی یک سطح استوانه ای با ژنراتورهای موازی با محور Oz و با منحنی L به عنوان راهنما قرار دارد. سپس، با قیاس با فرمول (3)، به دست می‌آوریم که اگر ناحیه D صفحه xOy یک ذوزنقه منحنی باشد که با دو منحنی محدود شده است، آنگاه انتگرال دوگانه در فرمول (4) را می‌توان به یک تکرار کاهش داد و در نهایت بدست آوردن این فرمول تعمیم فرمول (2) است. شکل-23 مثال. محاسبه حجم چهار وجهی محدود شده توسط صفحات طرح ریزی چهار وجهی بر روی صفحه xOy مثلثی است که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است به طوری که x از 0 به 6 تغییر می کند و برای x ثابت (0 ^ x ^ 6) y از 0 تا 3 - | (شکل 23). اگر هر دو x و y ثابت باشند، نقطه می تواند به صورت عمودی از صفحه ای به صفحه دیگر حرکت کند و از 0 به 6 - x - 2y تغییر کند. با فرمول، §8 را به دست می آوریم. محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای و کروی مسئله تغییر متغیرها در انتگرال سه گانه به همان روشی که در مورد انتگرال دوگانه حل می شود. اجازه دهید تابع f (x، y، z) در یک دامنه مکعب بسته ft پیوسته باشد، و توابع همراه با مشتقات جزئی مرتبه اول خود در یک دامنه مکعب بسته ft * پیوسته باشند. فرض کنید که توابع (1) یک تناظر یک به یک بین تمام نقاط rj، () دامنه ft *، از یک سو، و تمام نقاط (x، y، z) دامنه ft، از سوی دیگر برقرار می کنند. . سپس فرمول تغییر متغیرها در انتگرال سه گانه معتبر است - ژاکوبین سیستم توابع (1) کجاست. در عمل، هنگام محاسبه انتگرال های سه گانه، معمولاً از جایگزینی مختصات مستطیلی با مختصات استوانه ای و کروی استفاده می شود. 8.1. انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای در یک سیستم مختصات استوانه ای، موقعیت نقطه P در فضا با سه عدد p تعیین می شود، که در آن p و (p مختصات قطبی طرح P1 نقطه P بر روی صفحه xOy هستند، az مناسب است. از نقطه P (شکل 24) به اعداد مختصات استوانه ای نقطه R می گویند. واضح است که در سیستم مختصات استوانه ای، سطوح مختصات انتگرال سه گانه هستند. خواص انتگرال های سه گانه محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی محاسبه از انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای و کروی به ترتیب شرح می دهد: یک استوانه دایره ای که محور آن با محور Oz منطبق است، یک نیم صفحه مجاور محور Oz و یک صفحه موازی با صفحه xOy. مختصات استوانه ای مربوط به فرمول های دکارتی (نگاه کنید به شکل 24) برای سیستم (3)، که منطقه ft را بر روی منطقه ترسیم می کند، ما همچنین فرمول (2) را برای انتقال از انتگرال سه گانه در مختصات مستطیلی به انتگرال در مختصات استوانه ای داریم. شکل (4) عبارت e نامیده می شود عنصر حجم در مختصات استوانه ای. این عبارت برای عنصر حجم را می توان از ملاحظات هندسی نیز به دست آورد. ناحیه P را با سطوح مختصات به زیر دامنه های ابتدایی تقسیم می کنیم و حجم منشورهای منحنی به دست آمده را محاسبه می کنیم (شکل 25). مشاهده می شود که با دور انداختن یک مقدار بی نهایت کوچک از مرتبه بالاتر، به دست می آوریم. سطوح دارای معادلات خواهند بود (به فرمول (3) مراجعه کنید). این سطوح در امتداد خط r قطع می شوند که با سیستم معادلات (سیلندر)، (صفحه)، شکل 26 و برآمدگی آن بر روی صفحه xOy توسط سیستم توضیح داده شده است بنابراین حجم مورد نیاز با فرمول (4) محاسبه می شود. ، که در آن. انتگرال سه گانه در مختصات کروی در یک سیستم مختصات کروی، موقعیت نقطه P (x، y، z) در فضا با سه عدد تعیین می شود، جایی که r فاصله مبدا تا نقطه، زاویه بین محور Ox است. و طرح شعاع بردار OP نقطه P بر روی صفحه xOy و در - زاویه بین محور Oz و بردار شعاع OR نقطه P که از محور Oz اندازه‌گیری می‌شود (شکل 1). 27). واضح است که. سطوح مختصات در این سیستم مختصات: r = const - کره هایی که در مرکز مبدا قرار دارند. ip = نیمه هواپیماهای خروجی از محور Oz. в = const - مخروط های دایره ای با محور Oz. برنج. 27 از شکل می توان دریافت که مختصات کروی و دکارتی با روابط زیر به هم مرتبط هستند. اجازه دهید ژاکوبین توابع (5) را محاسبه کنیم. در نتیجه، فرمول (2) به شکل عنصر حجم در مختصات کروی است - بیان عنصر حجم را می توان از ملاحظات هندسی به دست آورد. یک ناحیه ابتدایی در فضا را در نظر بگیرید که با کره های شعاع r و r + dr، مخروط های b و b + d $ و نیم صفحه محدود شده است، تقریباً این ناحیه را می توان با اندازه گیری ها یک متوازی الاضلاع مستطیلی در نظر گرفت. سپس انتگرال سه گانه خواص انتگرال های سه گانه محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات دکارتی محاسبه انتگرال سه گانه در مختصات استوانه ای و کروی مثال 2. حجم جسم محدب را پیدا کنید Q که توسط کره های متحدالمرکز از مخروط بریده شده است -4 عبور می کنیم به سیستم مختصات کروی از دو معادله اول مشاهده می شود که. از معادله سوم حدود زاویه تغییر یافته 9 را می یابیم: از کجا