وضعیت سیستم فضایی نیروهای مستقر خودسرانه. شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها

Oآر= 0 و م آر x = آر y = آر z = 0 و م x = م y = م

شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها.

یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها، مانند یک سیستم مسطح، می تواند به یک مرکز کاهش یابد Oو با یک نیروی حاصل و یک جفت با گشتاور جایگزین کنید. استدلال به گونه ای که برای تعادل این نظام قوا لازم و کافی است که در عین حال وجود داشته باشد. آر= 0 و م o = 0. اما بردارها تنها زمانی می توانند ناپدید شوند که تمام پیش بینی های آنها روی محورهای مختصات برابر با صفر باشد، یعنی زمانی که آر x = آر y = آر z = 0 و م x = م y = م z = 0 یا زمانی که نیروهای عامل شرایط را برآورده کنند

بنابراین، برای تعادل یک سیستم فضایی دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های همه نیروها در هر یک از سه محور مختصات و مجموع گشتاورهای آنها در مورد این محورها برابر با صفر باشد.

اصول حل مسائل تعادل جسم تحت تأثیر سیستم فضایی نیروها.

اصل حل مشکلات این بخش مانند سیستم هواپیمای نیروها باقی می ماند. پس از برقراری تعادل که کدام جسم در نظر گرفته می شود، محدودیت های اعمال شده بر بدن را جایگزین واکنش های خود می کنند و شرایط تعادلی را برای این جسم ایجاد می کنند و آن را آزاد می دانند. مقادیر مورد نظر از معادلات به دست آمده تعیین می شود.

برای به دست آوردن سیستم های معادلات ساده تر، توصیه می شود که محورها به گونه ای ترسیم شوند که نیروهای مجهول بیشتری را قطع کنند یا بر آنها عمود باشند (مگر اینکه این امر محاسبه برجستگی ها و گشتاورهای نیروهای دیگر را به طور غیر ضروری پیچیده کند).

عنصر جدید در فرمول بندی معادلات، محاسبه گشتاور نیروها در مورد محورهای مختصات است.

در مواردی که از ترسیم کلی به سختی می توان دید که گشتاور نیروی معین حول هر محوری چقدر است، توصیه می شود در نقشه کمکی، برآمدگی جسم مورد نظر (همراه با نیرو) را بر روی صفحه ای عمود بر تصویر نشان دهید. به این محور.

در مواردی که هنگام محاسبه لحظه، مشکلاتی در تعیین پیش بینی نیرو بر روی صفحه مربوطه یا شانه این برجستگی ایجاد می شود، توصیه می شود نیرو را به دو جزء متقابل عمود بر هم تجزیه کنید (که یکی موازی با برخی مختصات است. محور)، و سپس از قضیه Varignon استفاده کنید.

مثال 5.

قاب AB(شکل 45) توسط لولا در تعادل نگه داشته می شود آو میله آفتاب... در لبه قاب بار وجود دارد آر... واکنش لولا و نیروی موجود در میله را تعیین کنید.

شکل 45

تعادل قاب را همراه با بار در نظر بگیرید.

ما یک طرح طراحی می سازیم، قاب را به عنوان یک بدن آزاد به تصویر می کشیم و تمام نیروهای وارد بر آن را نشان می دهیم: واکنش گره ها و وزن بار. آر... این نیروها سیستمی از نیروها را تشکیل می دهند که خودسرانه در یک صفحه قرار می گیرند.

توصیه می شود چنین معادلاتی را طوری ترسیم کنید که هر کدام یک نیروی مجهول داشته باشند.

در وظیفه ما این نکته است آ، جایی که مجهولات ضمیمه شده اند و; نقطه باجایی که خطوط عمل نیروهای ناشناخته تلاقی می کنند و; نقطه دی- نقطه تلاقی خطوط عمل نیروها و. بیایید معادله پیش بینی نیروها روی محور را بسازیم در(در هر محور NSطراحی غیر ممکن است، زیرا عمود بر یک خط مستقیم است مانند).

و قبل از تشکیل معادلات، یک نکته مفید دیگر را بیان خواهیم کرد. اگر نمودار طراحی دارای نیرویی باشد که پیدا کردن شانه آن آسان نباشد، پس هنگام تعیین لحظه، توصیه می شود ابتدا بردار این نیرو را به دو جهت راحت تر تجزیه کنید. در این مسئله، نیرو را به دو قسمت و (شکل 37) تجزیه می کنیم تا مدول آنها

معادلات را می سازیم:

از معادله دوم پیدا می کنیم ... از سومی و از اول

پس چگونه اتفاق افتاد اس<0, то стержень آفتابفشرده خواهد شد.

سه نوع معادله تعادل برای سیستم هواپیمای نیروها وجود دارد. شکل اول و پایه مستقیماً از شرایط تعادل ناشی می شود:

;

و به این صورت نوشته شده است:

;
;
.

دو نوع دیگر از معادلات تعادلی را نیز می توان از شرایط تعادل به دست آورد:

;
;
,

خط مستقیم کجاست ABعمود بر محور نیست ایکس;

;
;
.

نکته ها آ, ب و سیروی یک خط مستقیم دراز نکشید

بر خلاف سیستم سطحی نیروها، شرایط تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها دو برابر بردار است:

.

اگر این روابط بر روی یک سیستم مختصات مستطیلی پیش بینی شود، معادلات تعادل سیستم فضایی نیروها را به دست می آوریم:

وظیفه 1. تعیین واکنش های تکیه گاه های یک سازه مرکب (سیستم دو جسم)

این سازه از دو میله شکسته تشکیل شده است ABCو CDEدر نقطه متصل است سییک لولا استوانه ای ثابت و متصل به صفحه ثابت xOyیا با استفاده از لولاهای استوانه ای ثابت (NSh ), یا یک لولا استوانه ای متحرک (PSh) و یک پایانه صلب (ZhZ). صفحه غلتشی مفصل استوانه ای متحرک زاویه است  با محور گاو نرمختصات نقطه آ,ب,سی,دی و E, و همچنین نحوه بستن سازه در جدول آورده شده است. 1. سازه با یک بار شدت توزیع شده یکنواخت بارگذاری می شود qعمود بر بخش اعمال آن، توسط یک جفت نیرو با ممان مو دو نیروی متمرکز و ... یک بار توزیع یکنواخت به گونه ای اعمال می شود که حاصل آن تمایل دارد سازه را حول یک نقطه بچرخاند. Oپادساعتگرد. سایت های کاربردی qو مو همچنین نکات کاربردی و ، ماژول ها و جهت آنها در جدول نشان داده شده است. 2. واحدهای مقادیر مجموعه: q- کیلونیوتون بر متر (kN / m)؛ م- کیلونیوتن متر (kNm)؛ و - کیلونیوتن (kN)؛  و بر حسب درجه و مختصات نقطه بر حسب متر هستند. زوایا، و باید از جهت مثبت محور رسم شوند گاو نردر صورت مثبت بودن در خلاف جهت عقربه های ساعت و در صورت منفی بودن در جهت عقربه های ساعت.

واکنش های اتصالات خارجی و داخلی سازه را تعیین کنید.

دستورالعمل تکمیل تکلیف

در هواپیمای مختصات xOyمطابق با شرط گزینه وظیفه (جدول 1) لازم است نقاطی ساخته شوند آ,قبل از میلاد مسیح,دی,E; میله های شکسته را بکشید ABC,CDE; راه های اتصال این اجسام به یکدیگر و با صفحه ثابت را نشان می دهد xOy... سپس داده ها را از جدول بگیرید. 2، سازه را با دو نیروی متمرکز بارگذاری کنید و ، شدت بار به طور یکنواخت توزیع شده است qو یک جفت نیرو با گشتاور جبری م... از آنجایی که این کار تعادل یک جسم مرکب را بررسی می کند، پس باید یک نقاشی دیگر بسازید و اجسام را جداگانه روی آن به تصویر بکشید. ABCو CDE. خارجی (نقاط آ,E) و درونی (نقطه با) اتصالات در هر دو شکل باید با واکنش های مربوطه جایگزین شوند و بار توزیع شده یکنواخت با نتیجه حاصل شود.
(لطول مقطعی است که بار در آن اعمال می شود)، به سمت بار هدایت شده و تا وسط مقطع اعمال می شود. از آنجایی که ساختار مورد نظر از دو جسم تشکیل شده است، بنابراین برای یافتن واکنش های پیوندی، باید شش معادله تعادلی تشکیل داد. سه گزینه برای حل این مشکل وجود دارد:

الف) سه معادله تعادل برای یک جسم مرکب و سه معادله برای یک جسم ترسیم کنید ABC;

ب) سه معادله تعادل برای جسم مرکب و سه معادله برای جسم ترسیم کنید CDE;

ج) سه معادله تعادل برای اجسام بسازید ABCو CDE.

مثال

داده شده:آ (0;0,2);V (0,3:0,2);با (0,3:0,3);دی (0,7:0,4);E (0,7:0);
kN / m،
kN، β = - 45 درجه و
kN، γ = - 60 درجه،
kNm.

تعريف كردنواکنش های اتصالات خارجی و داخلی سازه.

راه حل.بیایید ساختار را تجزیه کنیم (شکل 7، آ) در نقطه بابه اجزای سازنده ABCو CDE(شکل 7، ب,v). لولاها را تعویض کنید آو بواکنش های مربوطه، که اجزای آن در شکل نشان داده شده است. 7. در نقطه سیاجزا را به تصویر بکشد
- نیروهای برهمکنش بین بخشهای سازه، و .

میز 1

گزینه های کار 1

آ

روش نصب ساخت و سازها

ایکس آ

y آ

ایکس ب

y ب

ایکس سی

y سی

ایکس دی

y دی

ایکس E

y E

تی. E

جدول 2

داده ها برای کار 1

	زور			زور			لحظه م
		معنی		معنی			معنی			معنی

شدت بار توزیع یکنواخت q با حاصل جایگزین کنید ، kN:

بردار با جهت مثبت محور تشکیل می شود yزاویه φ، که به راحتی با مختصات نقاط پیدا می شود سی و دی (شکل 7 را ببینید، آ):

برای حل مسئله از معادلات تعادلی نوع اول استفاده می کنیم و آنها را به صورت جداگانه برای قسمت های چپ و راست سازه می نویسیم. هنگام ترسیم معادلات لحظه ها، نقاط را انتخاب می کنیم آ- برای چپ و E- برای سمت راست سازه، که امکان حل این دو معادله را با هم و تعیین مجهولات فراهم می کند.
و .

معادلات تعادل برای بدن ABC:

قدرت را تصور کنید به عنوان مجموع اجزاء:
، جایی که. سپس معادلات تعادل برای بدن CDEرا می توان به صورت نوشتاری

.

بیایید با هم معادلات لحظه ها را حل کنیم، که قبلاً مقادیر شناخته شده را جایگزین آنها کرده ایم.

با توجه به اینکه با توجه به اصل تساوی نیروهای کنش و واکنش
، از سیستم به دست آمده، kN را پیدا می کنیم:

سپس از معادلات باقیمانده تعادل اجسام ABC و CDEتعیین واکنش های روابط داخلی و خارجی آسان است، kN:

نتایج محاسبات در جدول ارائه شده است:

روش‌هایی برای حل مسائل تعادلی با سیستم فضایی اختیاری نیروها در نظر گرفته شده‌اند. مثالی از حل مسئله تعادل دال تحت حمایت میله ها در فضای سه بعدی آورده شده است. نشان داده شده است که چگونه با توجه به انتخاب محورها هنگام ترسیم معادلات تعادل، می توان حل مسئله را ساده کرد.

محتوا

رویه حل مسائل تعادلی با سیستم فضایی اختیاری نیروها

برای حل مشکل تعادل یک جسم صلب با سیستم فضایی دلخواه نیروها، باید یک سیستم مختصات مستطیلی انتخاب کرد و نسبت به آن، معادلات تعادل را ایجاد کرد.

معادلات تعادل برای یک سیستم دلخواه از نیروها که در فضای سه بعدی توزیع شده اند دو معادله برداری هستند:
مجموع بردار نیروهای وارد بر جسم صفر است
(1) ;
مجموع بردار گشتاور نیروها نسبت به مبدا برابر با صفر است
(2) .

اجازه دهید Oxyz سیستم مختصات انتخابی ما باشد. با طراحی معادلات (1) و (2) بر روی محور این سیستم، شش معادله به دست می آید:
مجموع پیش بینی نیروها روی محور xyz صفر است
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
مجموع گشتاورهای نیروها در مورد محورهای مختصات برابر با صفر است
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
در اینجا ما در نظر می گیریم که n نیرو از جمله نیروهای واکنش تکیه گاه ها بر روی جسم وارد می شود.

اجازه دهید یک نیروی دلخواه، با اجزاء، به بدن در یک نقطه اعمال شود. سپس گشتاورهای این نیرو نسبت به محورهای مختصات با فرمول تعیین می شود:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

بنابراین، ترتیب حل مسئله برای تعادل با یک سیستم فضایی اختیاری نیروها به شرح زیر است.

1. تکیه گاه ها را دور می اندازیم و با نیروهای واکنش جایگزین می کنیم. اگر تکیه گاه یک میله یا نخ باشد، نیروی واکنش در امتداد میله یا نخ هدایت می شود.
2. ما یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz را انتخاب می کنیم.
3. ما پیش بینی بردارهای نیرو را روی محورهای مختصات و نقاط کاربرد آنها پیدا می کنیم. نقطه اعمال نیرو را می توان در امتداد یک خط مستقیم که از طریق بردار نیرو کشیده شده است حرکت داد. از چنین حرکتی، ارزش لحظه ها تغییر نخواهد کرد. بنابراین، ما نقاط اعمال نیروها را انتخاب می کنیم که برای محاسبه راحت تر هستند.
4. ما سه معادله تعادل برای نیروهای (1.x، y، z) می سازیم.
5. برای هر نیرو با توجه به فرمول های (3.x, y, z) پیش بینی گشتاورهای نیرو روی محور مختصات را می یابیم.
6. ما سه معادله تعادل برای ممان نیروها (2.x، y، z) می سازیم.
7. اگر تعداد متغیرها بیشتر از تعداد معادلات باشد، مشکل از نظر استاتیکی غیرقابل تعریف است. با روش های استاتیک قابل حل نیست. استفاده از روش های مقاومت مصالح ضروری است.
8. معادلات حاصل را حل می کنیم.

ساده سازی محاسبات

در برخی موارد، اگر به جای معادله (2)، از یک شرط تعادل معادل استفاده شود، می توان محاسبات را ساده کرد.
مجموع گشتاورهای نیرو حول یک محور دلخواه AA برابر با صفر است:
(4) .

یعنی می توانید چندین محور اضافی را انتخاب کنید که با محورهای مختصات منطبق نیستند. و با توجه به این محورها معادلات (4) را ترسیم کنید.

مثالی از حل مسئله تعادل برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها

تعادل دال، در فضای سه بعدی، توسط سیستمی از میله ها پشتیبانی می شود.

واکنش میله هایی را که از یک دال افقی یکنواخت نازک در فضای سه بعدی حمایت می کنند، بیابید. سیستم نگهدارنده میله ها در شکل نشان داده شده است. صفحه تحت تاثیر قرار می گیرد: گرانش G; و نیروی P در نقطه A در امتداد ضلع AB اعمال می شود.

داده شده:
G = 28 کیلونیوتن; P = 35 کیلونیوتن; a = 7.5 متر; b = 6.0 متر; c = 3.5 متر.

راه حل مشکل

اول، ما این مشکل را به روشی استاندارد که برای یک سیستم فضایی اختیاری نیروها قابل استفاده است، حل خواهیم کرد. و سپس بر اساس هندسه خاص سیستم، با انتخاب محورها هنگام ترسیم معادلات تعادل، راه حل ساده تری به دست می آوریم.

حل مشکل به روش استاندارد

اگرچه این روش ما را به محاسبات نسبتاً دست و پا گیر می کند، اما برای یک سیستم فضایی دلخواه نیروها قابل استفاده است و می تواند در محاسبات رایانه ای استفاده شود.

بیایید اتصالات را کنار بگذاریم و آنها را با نیروهای واکنش جایگزین کنیم. پیوندهای اینجا میله های 1-6 هستند. به جای آنها، نیروهایی را معرفی می کنیم که در امتداد میله ها قرار دارند. جهت نیروها را به صورت تصادفی انتخاب می کنیم. اگر جهت هیچ نیرویی را حدس نزنیم، برای آن مقدار منفی می گیریم.

سیستم مختصات Oxyz را با مبدا در نقطه O رسم می کنیم.

ما طرح نیروها را روی محور مختصات پیدا می کنیم.

برای قدرت ما داریم:
.
در اینجا α 1 زاویه بین LQ و BQ است. از مثلث قائم الزاویه LQB:
متر;
;
.

نیروها، و موازی با محور z هستند. اجزای آنها:
;
;
.

برای قدرت پیدا می کنیم:
.
در اینجا α 3 زاویه بین QT و DT است. از مثلث قائم الزاویه QTD:
متر;
;
.

برای قدرت:
.
در اینجا α 5 - زاویه بین LO و LA. از مثلث قائم الزاویه LOA:
متر;
;
.

نیرو در امتداد مورب متوازی الاضلاع مستطیلی هدایت می شود. دارای پیش بینی های زیر بر روی محورهای مختصات است:
.
در اینجا کسینوس جهت AQ مورب آمده است:
متر;
;
;
.

نقاط اعمال نیروها را انتخاب می کنیم. بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که می توان آنها را در امتداد خطوط ترسیم شده از طریق بردارهای نیرو حرکت داد. بنابراین، به عنوان نقطه اعمال نیرو، می توانید هر نقطه از خط TD را بگیرید. نقطه T را بگیرید، زیرا برای آن x و z - مختصات برابر با صفر هستند:
.
به همین ترتیب نقاط اعمال نیروهای باقی مانده را انتخاب می کنیم.

در نتیجه مقادیر زیر را از اجزای نیروها و نقاط کاربرد آنها بدست می آوریم:
; (نقطه B)؛
; (نقطه Q)؛
; (نقطه T)؛
; (نقطه O)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه A)؛
; (نقطه K).

ما معادلات تعادل نیروها را می سازیم. مجموع پیش بینی نیروها بر روی محورهای مختصات برابر با صفر است.

;

;

.

پیش بینی گشتاورهای نیروها در محور مختصات را پیدا می کنیم.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

ما معادلات تعادل را برای ممان نیروها می سازیم. مجموع گشتاورهای نیروها در مورد محورهای مختصات برابر با صفر است.


;


;


;

بنابراین، ما سیستم معادلات زیر را به دست آوردیم:
(W1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(W4) ;
(P5) ;
(P6) .

این سیستم دارای شش معادله و شش مجهول است. علاوه بر این، مقادیر عددی را می توان در اینجا جایگزین کرد و با استفاده از یک برنامه ریاضی برای محاسبه یک سیستم معادلات خطی، راه حلی برای سیستم به دست آورد.

اما، برای این کار، می توانید بدون استفاده از فناوری رایانه راه حلی دریافت کنید.

یک راه موثر برای حل مشکل

ما از این واقعیت استفاده خواهیم کرد که معادلات تعادل را می توان به بیش از یک روش تشکیل داد. شما می توانید آزادانه سیستم مختصات و محورهایی را که گشتاورها با آنها محاسبه می شوند انتخاب کنید. گاهی اوقات با انتخاب محورها می توانید معادلاتی را بدست آورید که حل آنها راحت تر است.

بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که در تعادل، مجموع گشتاورهای نیرو در هر محوری صفر است... بیایید محور AD را در نظر بگیریم. مجموع گشتاورهای نیروهای حول این محور برابر با صفر است:
(W7) .
علاوه بر این، توجه داشته باشید که همه نیروها به جز عبور از این محور. بنابراین ممان آنها برابر با صفر است. فقط یک نیرو از محور AD عبور نمی کند. همچنین موازی با این محور نیست. بنابراین، برای اینکه معادله (A7) برقرار باشد، نیروی N 1 باید صفر باشد:
ن 1 = 0 .

حال بیایید محور AQ را در نظر بگیریم. مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به آن برابر با صفر است:
(P8) .
از این محور همه نیروها عبور می کنند به جز. از آنجایی که نیرو با این محور موازی نیست، برای تحقق معادله (A8) لازم است که
ن 3 = 0 .

حال بیایید محور AB را در نظر بگیریم. مجموع گشتاورهای نیروها نسبت به آن برابر با صفر است:
(P9) .
از این محور همه نیروها عبور می کنند به جز و. اما N 3 = 0 ... از همین رو
.
گشتاور نیروی نسبت به محور برابر است با حاصل ضرب بازوی نیرو با مقدار پیش بینی نیرو بر روی صفحه عمود بر محور. شانه برابر است با حداقل فاصله بین محور و خط مستقیم کشیده شده از طریق بردار نیرو. اگر پیچش در جهت مثبت باشد، گشتاور مثبت است. اگر منفی است، پس منفی است. سپس
.
از اینجا
kN.

بقیه نیروها از معادلات (A1)، (A2) و (A3) بدست می آیند. از معادله (A2):
ن 6 = 0 .
از معادلات (A1) و (A3):
kN;
kN

بنابراین برای حل مسئله به روش دوم، از معادلات تعادلی زیر استفاده کردیم:
;
;
;
;
;
.
در نتیجه، از محاسبات دست و پا گیر مرتبط با محاسبه گشتاور نیروها نسبت به محورهای مختصات اجتناب کردیم و یک سیستم خطی از معادلات با ماتریس مورب ضرایب به دست آوردیم که بلافاصله حل شد.

ن 1 = 0 ; ن 2 = 14.0 کیلو نیوتن; ن 3 = 0 ; ن 4 = -2.3 کیلو نیوتن; ن 5 = 38.6 کیلونیوتن; ن 6 = 0 ;

علامت منفی نشان می دهد که نیروی N 4 در جهت مخالف با آنچه در شکل نشان داده شده است.

مورد چنین تعادلی از نیروها با دو شرط تعادل مطابقت دارد

M = مو= 0, R * = 0.

برجسته کردن ماژول ها مو و بردار اصلی R * سیستم مورد نظر توسط فرمول ها تعیین می شود

Mo = (M x 2 + M y 2 + + M z 2) 1/2; R * = (X 2 + Y 2 + Z 2) 1/2.

آنها فقط در شرایط زیر صفر می شوند:

M x = 0، M y = 0، M z = 0، X = 0، Y = 0، Z = 0،

که مطابق با شش معادله اساسی موازنه نیروها هستند که به طور دلخواه در فضا قرار دارند

=0; =0;

=0; (5-17)

=0 ; =0.

سه معادله سیستم (5-17) در سمت چپ نامیده می شوند معادلات گشتاور نیروها نسبت به محورهای مختصات، و سه در سمت راست - معادلات پیش بینی نیروها بر روی محور.

با استفاده از این فرمول ها می توان معادله گشتاورها را به صورت نمایش داد

å (y i Z i - z i Y i) = 0; å (z i X i - x i Z i) = 0; e (x i Y i - y i X i) = 0.(5-18)

جایی که x i، y i، z i- مختصات نقاط اعمال نیروی P. Y i، Z i، X i -تابش این نیرو بر روی محورهای مختصاتی که می تواند هر جهتی داشته باشد.

سیستم های دیگری از شش معادله تعادل نیروها وجود دارد که به طور دلخواه در فضا قرار دارند.

رساندن سیستم نیروها به نیروی حاصل.

اگر بردار اصلی سیستم نیروها R *صفر نیست، بلکه نکته اصلی است مویا مساوی صفر باشد، یا عمود بر بردار اصلی باشد، سپس سیستم داده شده از نیروها به نیروی حاصل کاهش می یابد.

2 مورد احتمالی وجود دارد.

مورد 1.

بگذار باشد R * 1 0; مو = 0 ... در این حالت نیروها به نتیجه ای منتهی می شوند که خط عمل آن از مرکز مرجع O می گذرد و نیرو R * جایگزین سیستم داده شده از نیروها می شود. حاصل آن است.

مورد دوم

R * 10; ماه¹ 0 و مو ⊥ R *. (شکل 5.15).

پس از رساندن سیستم نیروها به مرکز O، نیرو بدست می آید R * در این مرکز اعمال می شود و برابر با بردار اصلی نیروها و یک جفت نیرو است که ممان آن م برابر با نکته اصلی مو از تمام نیروها نسبت به مرکز مرجع، و مو ⊥ R *.

بیایید نیروهای این جفت را انتخاب کنیم R' و آر مدول برابر با بردار اصلی است R * ، یعنی R = R ' = R *. سپس شانه این جفت باید برابر با OK = = در نظر گرفته شود M O/آر * اجازه دهید از نقطه O صفحه I عمود بر ممان جفت نیرو رسم کنیم م ... یکی دو نیرو R' , آر باید در این هواپیما باشد اجازه دهید این جفت را طوری مرتب کنیم که یکی از نیروهای جفت باشد R' در نقطه O اعمال شد و در مقابل نیرو قرار گرفت آر * ... اجازه دهید در صفحه I در نقطه O عمود بر خط عمل نیرو را بالا ببریم آر * ، و در نقطه K در فاصله OK = M O/آر * از نقطه O نیروی دوم جفت را اعمال می کنیم آر .

قطعه OK را از نقطه O در جهتی قرار می دهیم تا با نگاه کردن به بردار لحظه M، جفتی را ببینیم که می خواهد صفحه خود را در خلاف جهت عقربه های ساعت بچرخاند. سپس نیروها R * و R' اعمال شده در نقطه O باعث تعادل و نیرو می شود آریک جفت اعمال شده در نقطه K جایگزین سیستم داده شده از نیروها می شود. حاصل آن خواهد بود. خط مستقیم منطبق با خط عمل این نیرو، خط عمل نیروی حاصل است. برنج. 5.15 تفاوت بین نیروی حاصل را نشان می دهد آر و به زور R * با آوردن نیروها به مرکز O بدست می آید.

نتیجه آر سیستم نیروهای اعمال شده در نقطه K، با داشتن خط عمل مشخص، معادل یک سیستم معین از نیروها است، یعنی. جایگزین این سیستم می شود.

قدرت R * در نقطه O سیستم داده شده از نیروها را فقط در رابطه با یک جفت نیرو با لحظه جایگزین می کند M = مو .

استحکام - قدرت R * را می توان در هر نقطه از بدن که نیروها به آن کاهش می یابد اعمال کرد. فقط مدول و جهت ممان اصلی به موقعیت نقطه بستگی دارد. مو .

قضیه واریگنون گشتاور حاصل نسبت به هر نقطه برابر است با مجموع هندسی گشتاورهای نیروهای سازنده نسبت به این نقطه و ممان نیروی حاصل نسبت به هر محوری برابر است با مجموع جبری گشتاورهای تشکیل دهنده. نیروهای مربوط به این محور.

قضیه. برای تعادل سیستم فضایی نیروها لازم و کافی است که بردار اصلی و ممان اصلی این سیستم برابر با صفر باشد. کفایت: هنگامی که F o = 0، سیستم نیروهای همگرا اعمال شده در مرکز کاهش O معادل صفر است و زمانی که Mo = 0، سیستم جفت نیروها معادل صفر است. بنابراین، سیستم اصلی نیروها معادل صفر است. نیاز:اجازه دهید سیستم داده شده از نیروها معادل صفر باشد. با رساندن سیستم به دو نیرو، متذکر می شویم که سیستم نیروهای Q و P (شکل 4.4) باید معادل صفر باشد، بنابراین، این دو نیرو باید یک خط عمل مشترک داشته باشند و برابری Q = –R باید برآورده شود. . اما این می تواند در صورتی باشد که خط عمل نیروی P از نقطه O عبور کند، یعنی اگر h = 0 باشد. این بدان معنی است که ممان اصلی صفر است (M o = 0). زیرا Q + P = 0، a Q = F o + P "، سپس F o + P" + P = 0، و در نتیجه، F o = 0. شرایط لازم و کافی برابر است با سیستم فضایی نیروهای آنها. فرم: F o = 0، M o = 0 (4.15)،

یا در پیش بینی ها روی محورهای مختصات، Fox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; F Oy = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = åF kz = F 1z + F 2z +… + F nz = 0 (4.16). M Ox = åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = åM Oy (F k) = M oy ( F 1) + M oy (F 2) +… + M oy (F n) = 0, M oz = åM O z (F k) = MO z (F 1) + M oz (F 2) + .. . + M oz (F n) = 0. (4.17)

که هنگام حل مسائل، با داشتن 6 سطح، می توانید 6 مجهول پیدا کنید. نکته: یک جفت نیرو را نمی توان به یک نتیجه کاهش داد.موارد خاص: 1) تعادل سیستم فضایی نیروهای موازی. بگذارید محور Z موازی با خطوط عمل نیرو باشد (شکل 4.6)، سپس پیش بینی نیروها بر روی x و y 0 است (F kx = 0 و F ky = 0)، و فقط F oz باقی می ماند. در مورد لحظه ها فقط M ox و M oy باقی می مانند و M oz غایب است. 2) تعادل سیستم هواپیمای نیروها. ur-I F ox، F oy و لحظه M oz باقی می مانند (شکل 4.7). 3) تعادل سیستم صفحه ای از نیروهای موازی. (شکل 4.8). فقط 2 ur-I باقی می ماند: F oy و M oz. هنگام ایجاد تعادل ur-th، هر نقطه ای را می توان برای مرکز شبح انتخاب کرد.