Nierówność to rekord, w którym liczby, zmienne lub wyrażenia są połączone znakiem<, >, lub . Oznacza to, że nierówność można nazwać porównaniem liczb, zmiennych lub wyrażeń. Oznaki < , > , ⩽ oraz ⩾ są nazywane znaki nierówności.
Rodzaje nierówności i sposób ich odczytywania:
Jak widać na przykładach, wszystkie nierówności składają się z dwóch części: lewej i prawej, połączonych jednym ze znaków nierówności. W zależności od znaku łączącego części nierówności dzielą się na ścisłe i nieścisłe.
Surowe nierówności- nierówności, w których części są połączone znakiem< или >. Luźne nierówności- nierówności, w których części są połączone znakiem lub.
Rozważmy podstawowe zasady porównań w algebrze:
- Każda liczba dodatnia jest większa od zera.
- Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
- Spośród dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która ma niższą wartość bezwzględną. Na przykład -1> -7.
- a oraz b pozytywny:
a - b > 0,
To a jeszcze b (a > b).
- Jeśli różnica między dwiema nierównymi liczbami a oraz b negatywny:
a - b < 0,
To a mniejszy b (a < b).
- Jeśli liczba jest większa od zera, to jest dodatnia:
a> 0, stąd a jest liczbą dodatnią.
- Jeśli liczba jest mniejsza od zera, to jest ujemna:
a < 0, значит a- liczba ujemna.
Równoważne nierówności- nierówności wynikające z innych nierówności. Na przykład, jeśli a mniejszy b, następnie b jeszcze a:
a < b oraz b > a- równoważne nierówności
Własności nierówności
- Jeśli dodasz tę samą liczbę po obu stronach nierówności lub odejmiesz tę samą liczbę z obu stron, otrzymasz równoważną nierówność, czyli
Jeśli a > b, następnie a + C > b + C oraz a - C > b - C
Wynika z tego, że możliwe jest przeniesienie wyrazów nierówności z jednej części na drugą za pomocą przeciwnego znaku. Na przykład dodanie po obu stronach nierówności a - b > C - D na D, otrzymujemy:
a - b > C - D
a - b + D > C - D + D
a - b + D > C
- Jeśli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, to otrzymamy nierówność równoważną, czyli
- Jeżeli obie strony nierówności są mnożone lub dzielone przez tę samą liczbę ujemną, to nierówność jest przeciwna do danej, to znaczy, że mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności należy zmienić na przeciwne.
Ta właściwość może być wykorzystana do zmiany znaku wszystkich członków nierówności poprzez pomnożenie obu stron przez -1 i odwrócenie znaku nierówności:
-a + b > -C
(-a + b) · -1< (-C) · -1
a - b < C
Nierówność -a + b > -C równoznaczne z nierównością a - b < C
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy zostawiasz prośbę na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i zgłaszać wyjątkowe oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym wydarzeniu promocyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania tymi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie próśb publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych ważnych społecznie powodów.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniej osobie trzeciej – następcy prawnemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i nadużyciem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szacunek dla Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby upewnić się, że Twoje dane osobowe są bezpieczne, wprowadzamy zasady poufności i bezpieczeństwa naszym pracownikom oraz ściśle monitorujemy wdrażanie środków poufności.
W tej lekcji zaczniemy studiować nierówności i ich właściwości. Rozważymy najprostsze nierówności - liniowe oraz metody rozwiązywania układów i zbiorów nierówności.
Często porównujemy niektóre obiekty według ich cech liczbowych: towary po ich cenach, osoby po ich wzroście lub wieku, smartfony po przekątnej czy wyniki drużyn po liczbie goli strzelonych w meczu.
Relacje tego rodzaju lub zwane nierówności... W końcu jest w nich napisane, że liczby nie są równe, ale mniej więcej od siebie.
Aby porównać liczby naturalne w notacji dziesiętnej, uporządkowaliśmy liczby: 
, a następnie najczęściej korzystali z zalet notacji dziesiętnej: zaczęli porównywać cyfry liczb od cyfr najbardziej po lewej do pierwszej rozbieżności.
Ale ta metoda nie zawsze jest wygodna.
Najprostszym sposobem porównywania liczb dodatnich jest to, że reprezentują ilości. Rzeczywiście, jeśli liczba może być równoważnie reprezentowana jako suma liczby z jakąś inną liczbą, to więcej:.
Notacja równoważna:.
Tę definicję można rozszerzyć nie tylko na liczby dodatnie, ale także na dowolne dwie liczby: 
.
Numerwięcej numerów (zapisane jako lub) jeśli liczba jest dodatnia . W związku z tym, jeśli liczba jest ujemna, to.
Na przykład porównajmy dwie ułamki: i. Nie możesz od razu powiedzieć, który z nich jest większy. Dlatego zwracamy się do definicji i rozważamy różnicę:
Otrzymano liczbę ujemną, więc.
Na osi liczbowej większa liczba zawsze będzie znajdować się po prawej stronie, mniejsza - po lewej stronie (ryc. 1).
Ryż. 1. Na osi liczbowej większa liczba znajduje się po prawej stronie, mniejsza po lewej.
Dlaczego potrzebujemy takich formalnych definicji? Nasze zrozumienie to jedno, a technologia to drugie. Jeśli sformułujemy ścisły algorytm porównywania liczb, można go powierzyć komputerowi. To plus - takie podejście ratuje nas od wykonywania rutynowych operacji. Ale jest też minus - komputer dokładnie podąża za podanym algorytmem. Jeśli komputer otrzyma zadanie: pociąg musi wyjechać z dworca o, to nawet jeśli znajdziesz się na peronie o, nie będziesz mógł złapać tego pociągu. Dlatego algorytmy, które przypisujemy komputerowi do wykonywania różnych obliczeń lub rozwiązywania problemów, muszą być bardzo dokładne i jak najbardziej sformalizowane.
Podobnie jak w przypadku równości, można dokonać pewnych działań z nierównościami i uzyskać nierówności ekwiwalentne.
Przyjrzyjmy się niektórym z nich.
1. Gdyby, następniedla dowolnej liczby. Te. możesz dodać lub odjąć tę samą liczbę po obu stronach nierówności.
Mamy już dobry wizerunek - łuski. Jeśli jedna z wag przeważy, to bez względu na to, ile dodamy (lub weźmiemy) do obu wag, ta sytuacja się nie zmieni (ryc. 2).
Ryż. 2. Jeżeli wagi nie są wyważone, to po dodaniu (odjęciu) tej samej ilości odważników pozostaną w tej samej niezrównoważonej pozycji
To działanie można sformułować w inny sposób: możesz przenieść warunki z jednej części nierówności na drugą, zmieniając ich znak na przeciwny:.
2.
Gdyby, następnieoraz
za wszelkie pozytywne.
Te. obie strony nierówności można pomnożyć lub podzielić przez liczbę dodatnią, a jej znak się nie zmienia.
Aby zrozumieć tę właściwość, można ponownie posłużyć się analogią z wagami: jeśli np. przeważy lewa miska, to jeśli weźmiemy dwie lewe miski i dwie prawe, przewaga na pewno pozostanie. Ta sama sytuacja dotyczy misek itp. Nawet jeśli weźmiemy połowę każdej z misek, sytuacja też się nie zmieni (rys. 3).
Ryż. 3. Jeśli wagi nie są wyważone, to po podniesieniu połowy każdej z nich pozostaną w tej samej niezrównoważonej pozycji
Jeśli pomnożysz lub podzielisz obie strony nierówności przez liczbę ujemną, to znak nierówności zmieni się na przeciwny. Analogia do tej operacji jest nieco bardziej skomplikowana - nie ma ilości ujemnych. Pomoże w tym fakt, że liczby ujemne mają coś przeciwnego (im większy moduł liczby, tym mniejsza sama liczba): 
.
W przypadku liczby różnych znaków jest jeszcze łatwiej: 
... To znaczy, mnożąc przez, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny.
Jeśli chodzi o pomnożenie przez liczbę ujemną, można wykonać równoważną operację w dwóch częściach: najpierw pomnożyć przez przeciwną liczbę dodatnią - jak już wiemy, znak nierówności się nie zmieni:.
Więcej o dodawaniu i mnożeniu
W pierwszej właściwości zapisaliśmy:, ale jednocześnie powiedzieliśmy, że można nie tylko dodawać, ale i odejmować. Czemu? Ponieważ odjęcie liczby jest równoznaczne z dodaniem liczby przeciwnej: 
... Dlatego mówimy nie tylko o dodawaniu, ale także o odejmowaniu.
Podobnie z drugą właściwością: dzielenie to mnożenie przez odwrotność:. Dlatego w drugiej własności mówimy nie tylko o mnożeniu przez liczbę, ale także o dzieleniu.
3. Dla liczb dodatnichoraz, Jeśli, następnie.
Dobrze znamy tę właściwość: jeśli tort podzielimy na osobę, to im więcej, tym mniej każdy dostanie. Na przykład: zatem (rzeczywiście czwarta część ciasta jest wyraźnie mniejsza niż trzecia część tego samego ciasta) (ryc. 4).
Ryż. 4. Czwarta część ciasta to mniej niż trzecia część tego samego ciasta
4. Gdybyoraz, następnie.
Kontynuując analogię z wagami: jeśli na niektórych wagach lewa miska przeważa nad prawą, a na innych - ta sama sytuacja, to po wylaniu zawartości lewej i osobno zawartości prawej miski, ponownie otrzymujemy lewą miskę przeważa (ryc. 5).
Ryż. 5. Jeżeli lewe miski obu wag przeważają nad prawą, to po wylaniu zawartości lewej i osobno zawartości prawej miski okazuje się, że lewa miska ma większą wagę
5. Dla pozytywnych, Jeślioraz, następnie.
Tutaj analogia jest nieco bardziej skomplikowana, ale też wyraźna: jeśli lewa miska jest cięższa od prawej i weźmiemy więcej misek lewych niż prawych, to na pewno dostaniemy miskę masywniejszą (ryc. 6).
Ryż. 6. Jeśli lewa miska jest cięższa niż prawa, to jeśli weźmiesz więcej lewych misek niż prawej, otrzymasz bardziej masywną miskę
Dwie ostatnie właściwości są intuicyjne: dodanie lub pomnożenie większych liczb spowoduje powstanie większej liczby.
Większość z tych własności można rygorystycznie udowodnić za pomocą różnych aksjomatów i definicji algebraicznych, ale tego nie zrobimy. Dla nas proces dowodowy nie jest tak interesujący jak uzyskany bezpośrednio wynik, który wykorzystamy w praktyce.
Do tej pory mówiliśmy o nierównościach jako sposobie zapisu wyniku porównania dwóch liczb: lub. Ale nierówności można również wykorzystać do rejestrowania różnych informacji o ograniczeniach dla konkretnego obiektu. W życiu często używamy takich ograniczeń, aby opisać, na przykład: Rosja to miliony ludzi od Kaliningradu po Władywostok; windą można przewieźć nie więcej niż kg, aw paczce można umieścić nie więcej niż kg. Wiązania mogą być również używane do klasyfikowania obiektów. Na przykład w zależności od wieku wyróżnia się różne kategorie populacji - dzieci, młodzież, młodzież itp.
We wszystkich rozważanych przykładach można wyróżnić ogólną ideę: pewna wartość jest ograniczona od góry lub od dołu (lub z obu stron jednocześnie). Jeżeli jest to udźwig windy i dopuszczalna masa towaru, jaką można włożyć do paczki, to informacje opisane powyżej można zapisać w następujący sposób: itp.
W przeanalizowanych przykładach byliśmy trochę niedokładni. Sformułowanie „no more” oznacza, że windą można przewieźć dokładnie kilogram, a do paczki dokładnie kilogram. Dlatego słuszniej było napisać to tak: lub. Oczywiście pisanie w ten sposób jest niewygodne, więc wymyślili specjalny znak: który brzmi „mniejszy lub równy”. Taki nierówności są nazywane nie ścisłe(odpowiednio nierówności ze znakami - ścisły). Są używane, gdy zmienna może być nie tylko ściśle mniej lub więcej, ale może być również równa wartości granicznej.
Rozwiązywanie nierówności wszystkie takie wartości zmiennej są wywoływane, przy podstawieniu których uzyskana nierówność liczbowa będzie prawdziwa. Rozważmy na przykład nierówność:. Liczby są rozwiązaniem tej nierówności, ponieważ nierówności są prawdziwe. Liczby nie są jednak rozwiązaniami, ponieważ nierówności liczbowe nie są prawdziwe. Rozwiąż nierówności, stąd znajdź wszystkie wartości zmiennych, dla których nierówność będzie prawdziwa.
Wróćmy do nierówności. Jej rozwiązania można równoważnie opisać następująco: wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe. Oczywiste jest, że takich liczb jest nieskończenie wiele, jak więc możesz zapisać odpowiedź? Przejdźmy do osi liczbowej: wszystkie liczby, duże, znajdują się po prawej stronie. Zacieniamy ten obszar, pokazując tym samym, że to będzie odpowiedź na naszą nierówność. Aby pokazać, że liczba nie jest rozwiązaniem, zamyka się ją w pustym kółku, czyli przebija kropkę (ryc. 7).
Ryż. 7. Oś liczbowa pokazuje, że liczba nie jest rozwiązaniem (punktem przebicia)
Jeżeli nierówność nie jest ścisła, a wybrany punkt jest rozwiązaniem, to jest on zamknięty w wypełnionym okręgu.
Ryż. 8. Oś liczbowa pokazuje, że liczba jest rozwiązaniem (punkt wypełniony)
Wygodnie jest zapisać ostateczną odpowiedź za pomocą interwały... Luka jest rejestrowana zgodnie z następującymi zasadami:
Znak oznacza nieskończoność, czyli pokazuje, że liczba może być dowolnie duża () lub dowolnie mała ().
Odpowiedź na nierówność możemy napisać następująco: lub po prostu:. Oznacza to, że niewiadoma należy do określonego przedziału, tj. może przyjmować dowolne wartości z tego zakresu.
Jeśli oba nawiasy przedziału są okrągłe, jak w naszym przykładzie, to taki przedział nazywa się również interwał.
Zwykle rozwiązaniem nierówności jest luka, ale możliwe są również inne opcje, na przykład rozwiązaniem może być zbiór składający się z jednej lub więcej liczb. Na przykład nierówność ma tylko jedno rozwiązanie. Rzeczywiście, dla wszelkich innych wartości wyrażenie będzie dodatnie, co oznacza, że odpowiadająca im nierówność liczbowa nie zostanie spełniona.
Nierówność może nie mieć rozwiązań. W tym przypadku odpowiedź jest zapisana jako („Zmienna należy do zestawu pustego”). Nie jest niczym niezwykłym fakt, że rozwiązaniem nierówności może być zbiór pusty. Rzeczywiście, w prawdziwym życiu ograniczenia mogą również prowadzić do tego, że nie ma ani jednego elementu, który spełniałby wymagania. Na przykład zdecydowanie nie ma osób o wzroście powyżej metrów, a jednocześnie ważących do kg. Zbiór takich osób nie zawiera ani jednego elementu lub, jak mówią, jest to zbiór pusty.
Nierówności można wykorzystać nie tylko do rejestrowania znanych informacji, ale także jako modele matematyczne do rozwiązywania różnych problemów. Załóżmy, że masz ruble. Ile rubli lody można kupić za te pieniądze?
Inny przykład. Mamy ruble i musimy kupić lody dla znajomych. W jakiej cenie możemy wybrać lody do kupienia?
W życiu każdy z nas wie, jak rozwiązywać takie proste problemy w umyśle, ale zadaniem matematyki jest opracowanie wygodnego narzędzia, za pomocą którego można rozwiązać nie jeden konkretny problem, ale całą klasę różnych problemów, niezależnie od tego, co mamy mowa o ilości porcji lodów, samochodów do transportu towarów czy rolek tapety do pokoju.
Przepiszmy w języku matematycznym warunek pierwszego problemu o lodach: jedna porcja kosztuje ruble, nie znamy ilości porcji, które możemy kupić, oznaczamy to jako. Wtedy całkowity koszt naszego zakupu: ruble. I pod warunkiem, że kwota ta nie powinna przekraczać rubli. Pozbywając się nazw, otrzymujemy model matematyczny:.
Podobnie z drugim problemem (gdzie jest koszt porcji lodów):. Konstrukcje są najprostszymi przykładami nierówności zmiennych, czyli nierówności liniowych.
Nierówności liniowe nazywane są Tego rodzaju 
, a także te, które można zredukować do tej postaci za pomocą równoważnych przekształceń. Na przykład: ; ; 
.
W tej definicji nie ma dla nas nic nowego: różnica między nierównościami liniowymi a równaniami liniowymi polega tylko na zastąpieniu znaku równości znakiem nierówności. Z nazwą kojarzy się również funkcja liniowa, która pojawia się po lewej stronie nierówności (ryc. 9).
Ryż. 9. Wykres funkcji liniowej
W związku z tym algorytm rozwiązywania nierówności liniowych jest prawie taki sam jak algorytm rozwiązywania równań liniowych:
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. Rozwiąż nierówność liniową:.
Rozwiązanie
Przenieś wyraz z nieznanym z prawej strony nierówności na lewo:.
Obie części dzielimy liczbą ujemną, znak nierówności zmienia się na przeciwny:. Narysujmy rysunek na osi (ryc. 10).
Ryż. 10. Ilustracja na przykład 1
Luka nie ma lewej krawędzi, więc piszemy. Lewa krawędź przedziału, nierówność jest ścisła, więc zapisujemy ją z nawiasem. Otrzymujemy interwał:.
Przykład 2. Rozwiąż nierówność liniową:
Rozwiązanie
Rozwińmy nawiasy po lewej i prawej stronie nierówności:.
Oto podobne terminy:.
Narysujmy rysunek na osi (ryc. 11).
Ryż. 11. Ilustracja na przykład 2
Otrzymujemy interwał:.
Co zrobić, jeśli po połączeniu takich terminów nieznane zniknęło?
Przykład 1. Rozwiąż nierówność liniową: 
.
Rozwiązanie
Rozwińmy nawiasy: 
.
Przenieśmy wszystkie terminy ze zmienną po lewej stronie, a bez zmiennej po prawej:
Oto podobne terminy: 
.
Otrzymujemy:.
Nie ma niewiadomych, co robić? Właściwie znowu nic nowego. Pamiętaj, co zrobiliśmy w takich przypadkach dla równań liniowych: jeśli otrzymamy poprawną równość, to rozwiązaniem jest dowolna liczba rzeczywista, jeśli otrzymamy niepoprawną równość, to równanie nie ma rozwiązań.
To samo robimy tutaj. Jeśli wynikowa nierówność liczbowa jest prawdziwa, to niewiadoma może przyjąć dowolne wartości: (jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych). Ale oś liczbową można przedstawić w następujący sposób (ryc. 1):
Ryż. 1. Nieznany może przyjmować dowolne wartości
I za pomocą interwału zapisz to tak:.
Jeśli nierówność liczbowa okazała się nieprawidłowa, to pierwotna nierówność nie ma rozwiązań:.
W naszym przypadku nierówność nie jest prawdziwa, więc odpowiedź brzmi.
W różnych zadaniach możemy napotkać nie jeden, ale kilka warunków lub ograniczeń jednocześnie. Na przykład, aby rozwiązać problem transportowy, musisz wziąć pod uwagę liczbę samochodów, czas podróży, ładowność itp. Każdy z warunków w języku matematycznym będzie opisywany przez własną nierówność. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:
1. Wszystkie warunki są spełnione jednocześnie. Taki przypadek jest opisany system nierówności... Podczas pisania są one połączone nawiasem klamrowym (można go odczytać jako spójnik AND):.
2. Musi być spełniony co najmniej jeden z warunków. To jest opisane zbiór nierówności(możesz przeczytać to jako związek LUB):).
Systemy i zbiory nierówności mogą zawierać kilka zmiennych, ich liczba i złożoność może być dowolna. Ale szczegółowo przestudiujemy najprostszy przypadek: układy i zbiory nierówności z jedną zmienną.
Jak je rozwiązać? Każdą z nierówności trzeba rozwiązywać indywidualnie, a wtedy wszystko zależy od tego, czy mamy przed sobą system, czy całość. Jeśli to jest system, wszystkie warunki muszą być spełnione. Jeśli Sherlock Holmes ustalił, że sprawca był blondynem i miał rozmiar stopy, to wśród podejrzanych powinny znajdować się tylko blondynki o rozmiarze stopy. Te. tylko te wartości, które odpowiadają jednemu, drugiemu i, jeśli w ogóle, trzeciemu i innym warunkom są dla nas odpowiednie. Znajdują się na przecięciu wszystkich uzyskanych zbiorów. Jeśli używasz osi liczbowej, to - na przecięciu wszystkich zacienionych części osi (ryc. 12).
Ryż. 12. Rozwiązanie systemowe - przecięcie wszystkich zacienionych części osi
Jeśli jest to kolekcja, to wszystkie wartości będące rozwiązaniami przynajmniej jednej nierówności są dla nas odpowiednie. Jeśli Sherlock Holmes ustali, że sprawcą może być blondynka lub osoba o rozmiarze stopy, to wśród podejrzanych powinny znaleźć się wszystkie blondynki (niezależnie od rozmiaru buta) i wszystkie osoby o rozmiarze stopy (niezależnie od koloru włosów). Te. rozwiązaniem zbioru nierówności będzie połączenie zbiorów ich rozwiązań. Jeśli używasz osi liczbowej, to - połączenie wszystkich zacienionych części osi (ryc. 13).
Ryż. 13. Rozwiązanie agregatu — połączenie wszystkich części z zacienioną osią
Możesz dowiedzieć się więcej o przecinaniu i łączeniu poniżej.
Przecięcie i połączenie zbiorów
Terminy „skrzyżowanie” i „zjednoczenie” odnoszą się do pojęcia zbioru. Wiele- zestaw elementów spełniających pewne kryteria. Możesz wymyślić tyle przykładów zestawów, ile chcesz: wielu kolegów z klasy, wielu piłkarzy reprezentacji Rosji, wiele samochodów na sąsiednim podwórku itp.
Znasz już zbiory liczbowe: zbiór liczb naturalnych, liczb całkowitych, liczb wymiernych, liczb rzeczywistych. Są też zestawy puste, nie zawierają elementów. Rozwiązania nierówności to także zbiory liczb.
Przecięcie dwóch zbioróworaz nazywamy zbiorem, który zawiera wszystkie elementy należące zarówno do zbioru, jak i do zbioru (rys. 1).
Ryż. 1. Przecięcie zbiorów i
Na przykład, skrzyżowanie mnóstwa wszystkich kobiet i mnóstwa prezydentów wszystkich krajów będzie prezydentami wszystkich kobiet.
Związek dwóch zestawóworaz nazywana jest zbiorem, który zawiera wszystkie elementy, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów lub (rys. 2).
Ryż. 2. Związek zbiorów i
Na przykład zjednoczenie wielu graczy Zenitu w reprezentacji Rosji i Spartaka w reprezentacji Rosji obejmie wszystkich graczy Zenit i Spartak, którzy grają w drużynie narodowej. Nawiasem mówiąc, przecięcie tych setów będzie pustym setem (zawodnik nie może grać w dwóch klubach jednocześnie).
Podczas szukania LCM i NWD dwóch liczb napotkałeś już sumę i przecięcie zestawów liczb. Jeśli i są zbiorami składającymi się z czynników pierwszych otrzymanych przez rozkład liczb, to NWD jest otrzymywany z przecięcia tych zbiorów, a LCM jest uzyskiwany z sumy. Przykład: 
Przykład 3. Rozwiąż system nierówności: 
.
Rozwiązanie
Rozwiążmy nierówności osobno. W pierwszej nierówności przenosimy wyraz bez zmiennej na prawą stronę z przeciwnym znakiem:.
Oto podobne terminy:.
Podziel obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, znak nierówności nie zmienia się:
W drugiej nierówności przenosimy wyraz ze zmienną po lewej stronie, a bez zmiennej po prawej: 
... Oto podobne terminy:.
Podziel obie strony nierówności przez liczbę dodatnią, znak nierówności nie zmienia się:
Przedstawmy rozwiązania poszczególnych nierówności na osi liczbowej. Hipotetycznie mamy układ nierówności, więc szukamy przecięcia rozwiązań (rys. 14).
Ryż. 14. Ilustracja na przykład 3
W rzeczywistości pierwsza część rozwiązywania układów i zbiorów nierówności za pomocą jednej zmiennej sprowadza się do rozwiązania poszczególnych nierówności liniowych. Możesz to przećwiczyć samodzielnie (na przykład za pomocą naszych testów i symulatorów), a my zajmiemy się bardziej szczegółowo znajdowaniem połączeń i przecięć zestawów rozwiązań.
Przykład 4. Niech otrzymamy następujące rozwiązanie poszczególnych równań układu:
Rozwiązanie
Odcień na osi obszar odpowiadający rozwiązaniu pierwszego równania (ryc. 15); rozwiązanie drugiego równania jest zbiorem pustym, nic mu nie odpowiada na osi.
Ryż. 15. Ilustracja na przykład 4
To jest system, więc trzeba szukać przecięcia rozwiązań. Ale nie są. Oznacza to, że odpowiedzią na system jest również pusty zestaw:.
Przykład 5. Inny przykład:.
Rozwiązanie
Różnica polega na tym, że jest to już zbiór nierówności. Dlatego musisz wybrać obszar na osi, który odpowiada rozwiązaniu co najmniej jednego z równań. Otrzymujemy odpowiedź:.
Co musisz wiedzieć o ikonach nierówności? Nierówność z ikoną jeszcze (> ), lub mniejszy (< ) są nazywane ścisły. Z ikonami więcej lub równe (≥ ), mniejszy lub równy (≤ ) są nazywane nie ścisłe. Ikona nie równe (≠ ) wyróżnia się, ale przykłady z taką ikoną też trzeba cały czas rozwiązywać. A my zdecydujemy.)
Sama ikona ma niewielki wpływ na proces decyzyjny. Ale pod koniec rozwiązania, przy wyborze ostatecznej odpowiedzi, znaczenie ikony pojawia się z pełną mocą! To, co zobaczymy poniżej, z przykładami. Są tam dowcipy ...
Nierówności, podobnie jak równość, są wierny i niewierny. Tutaj wszystko jest proste, żadnych sztuczek. Powiedzmy, że 5 > 2 - poprawna nierówność. 5 < 2 jest nieprawidłowe.
Tego rodzaju przygotowanie działa na nierówności jakikolwiek i strasznie proste.) Wystarczy poprawnie wykonać dwie (tylko dwie!) podstawowe czynności. Te działania są znane wszystkim. Ale, co jest charakterystyczne, ościeża w tych działaniach są głównym błędem w rozwiązywaniu nierówności, tak ... Dlatego konieczne jest powtórzenie tych działań. Te akcje są nazywane w następujący sposób:
Identyczne przekształcenia nierówności.
Identyczne przekształcenia nierówności są bardzo podobne do przekształceń tożsamościowych równań. Właściwie to jest główny problem. Różnice prześlizgują się obok głowy i… już się pojawiły.) Dlatego zaznaczę te różnice. A więc pierwsza identyczna transformacja nierówności:
1. Do obu stron nierówności możesz dodać (odjąć) tę samą liczbę lub wyrażenie. Ktokolwiek. Nie zmieni to znaku nierówności.
W praktyce zasada ta jest stosowana jako przeniesienie wyrazów z lewej strony nierówności na prawą (i odwrotnie) ze zmianą znaku. Ze zmianą znaku, a nie nierównością! Zasada jeden do jednego jest taka sama jak zasada równań. Ale następujące identyczne przekształcenia nierówności różnią się znacznie od tych w równaniach. Więc zaznaczam je na czerwono:
2. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samopozytywnynumer. Każdypozytywny Nie zmieni się.
3. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samonegatywny numer. Każdynegatywnynumer. Znak nierówności z tegozmieni się na odwrotny.
Pamiętasz (mam nadzieję...), że równanie można pomnożyć / podzielić przez prawie wszystko. I dla dowolnej liczby i dla wyrażenia z x. Gdyby tylko nie do zera. Dla niego nie jest ani gorąco, ani zimno, równanie.) To się nie zmienia. Ale nierówności są bardziej wrażliwe na mnożenie / dzielenie.
Dobry przykład na długą pamięć. Napiszmy nierówność, która nie budzi wątpliwości:
5 > 2
Pomnóż obie strony przez +3, otrzymujemy:
15 > 6
Wszelkie sprzeciwy? Nie ma zastrzeżeń.) A jeśli pomnożymy obie strony pierwotnej nierówności przez -3, otrzymujemy:
15 > -6
A to jest jawne kłamstwo.) Całkowite kłamstwa! Oszustwo ludzi! Ale warto zmienić znak nierówności na przeciwny, ponieważ wszystko się układa:
15 < -6
O kłamstwach i oszustwie - nie tylko przeklinam.) „Zapomniałem zmienić znak nierówności…”- to jest Dom błąd w rozwiązywaniu nierówności. Ta banalna i nieskomplikowana zasada zraniła tak wielu ludzi! Zapomniane...) Więc przysięgam. Może zostanie zapamiętany...)
Ci, którzy są szczególnie ostrożni, zauważą, że nierówności nie da się pomnożyć przez wyrażenie z x. Szanuj uważny!) Dlaczego nie? Odpowiedź jest prosta. Nie znamy znaku tego wyrażenia z x. Może być dodatnia, ujemna... Dlatego nie wiemy, jaki znak nierówności umieścić po mnożeniu. Czy powinienem to zmienić, czy nie? Nieznany. Oczywiście to ograniczenie (zakaz mnożenia/dzielenia nierówności przez wyrażenie z x) można ominąć. Jeśli naprawdę potrzebujesz. Ale to temat na inne lekcje.
To wszystkie identyczne przekształcenia nierówności. Przypomnę jeszcze raz, że pracują dla każdy nierówności. A teraz możesz przejść do konkretnych typów.
Nierówności liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Nierówności liniowe to nierówności, w których x jest w pierwszym stopniu i nie ma dzielenia przez x. Rodzaj:
x + 3 > 5x-5
Jak rozwiązywane są te nierówności? Można je bardzo łatwo rozwiązać! Mianowicie: z pomocą zmniejszamy najbardziej pogmatwaną nierówność liniową prosto do odpowiedzi. To całe rozwiązanie. Podkreślę główne punkty rozwiązania. Aby uniknąć głupich błędów.)
Rozwiązujemy tę nierówność:
x + 3 > 5x-5
Rozwiązujemy w taki sam sposób, jak w przypadku równania liniowego. Z tylko jedną różnicą:
Uważnie śledzimy znak nierówności!
Najczęstszy jest pierwszy krok. Z x - w lewo, bez x - w prawo... To pierwsza identyczna transformacja, prosta i bezproblemowa.) Tylko znaki przeniesionych członków nie zapominają o zmianie.
Znak nierówności pozostaje:
x-5x > -5-3
Oto podobne.
Znak nierówności pozostaje:
4x > -8
Pozostaje zastosować ostatnią identyczną transformację: podzielić obie strony przez -4.
Dzielić przez negatywny numer.
Znak nierówności zostanie odwrócony:
NS < 2
To jest odpowiedź.
W ten sposób rozwiązywane są wszystkie nierówności liniowe.
Uwaga! Punkt 2 jest narysowany na biało, tj. niepomalowane. Pusty w środku. Oznacza to, że nie ma jej w odpowiedzi! Narysowałem ją celowo tak zdrową. Taki punkt (pusty, nie zdrowy!)) W matematyce nazywa się punkt przebicia.
Pozostałe cyfry na osi można zaznaczyć, ale nie jest to konieczne. Liczby obce, które nie są związane z naszą nierównością, mogą być mylące, tak… Trzeba tylko pamiętać, że wzrost liczb idzie wzdłuż strzałki, tj. cyfry 3, 4, 5 itd. są w prawo dwa i liczby 1, 0, -1 itd. - w lewo.
Nierówność x < 2 - ścisły. X to dokładnie mniej niż dwa. W razie wątpliwości sprawdzenie jest proste. Wstawiamy wątpliwą liczbę do nierówności i myślimy: „Czy dwa mniej niż dwa? Oczywiście, że nie!” Dokładnie tak. Nierówność 2 < 2 zło. Dwójka nie działa w odpowiedzi.
Czy jeden jest dobry? Oczywiście. Mniej ... A zero jest dobre, a -17 i 0,34 ... Tak, wszystkie liczby mniejsze niż dwa są dobre! A nawet 1.9999.... Przynajmniej trochę, ale mniej!
Zaznaczmy więc wszystkie te liczby na osi liczbowej. Jak? Są tutaj opcje. Pierwsza opcja to cieniowanie. Najedź myszą na rysunek (lub dotknij obrazu na tablecie) i zobacz, że zacieniony obszar wszystkich x odpowiada warunkowi x < 2 ... To wszystko.
Rozważmy drugą opcję na drugim przykładzie:
NS ≥ -0,5
Narysuj oś, zaznacz liczbę -0,5. Lubię to:
Czy zauważyłeś różnicę?) No tak, trudno nie zauważyć… Ten punkt jest czarny! Namalowany. Oznacza to, że -0,5 jest zawarte w odpowiedzi. Tutaj przy okazji można kogoś sprawdzić i pomylić. Zastępujemy:
-0,5 ≥ -0,5
Jak to? -0,5 to nie więcej niż -0,5! I jest więcej ikon...
W porządku. W przypadku nieścisłej nierówności wszystko, co pasuje do odznaki, jest dobre. ORAZ równa się dobry i jeszcze dobry. Dlatego w odpowiedzi uwzględniono -0,5.
Tak więc zaznaczyliśmy -0,5 na osi, pozostaje zaznaczyć wszystkie liczby większe niż -0,5. Tym razem zaznaczam obszar odpowiednich wartości x kokarda(od słowa łuk) zamiast kreskowania. Najedź kursorem na obrazek i zobacz ten łuk.
Nie ma dużej różnicy między cieniowaniem a łukami. Zrób tak, jak powiedział nauczyciel. Jeśli nie ma nauczyciela, narysuj łuki. W bardziej złożonych zadaniach cieniowanie jest mniej wyraźne. Możesz się pomylić.
Tak rysuje się liniowe nierówności na osi. Przechodzimy do kolejnej cechy nierówności.
Zapisywanie odpowiedzi na nierówności.
Równania były dobre.) Znaleźliśmy x i zapisaliśmy odpowiedź, na przykład: x = 3. W nierównościach istnieją dwie formy zapisywania odpowiedzi. Jeden - w postaci ostatecznej nierówności. Dobry w prostych przypadkach. Na przykład:
NS< 2.
To jest kompletna odpowiedź.
Czasem trzeba napisać to samo, ale w innej formie, w odstępach liczbowych. Wtedy nagranie zaczyna wyglądać bardzo naukowo):
х ∈ (-∞; 2)
Pod ikoną ∈ słowo się chowa "należy".
Rekord czyta się tak: x należy do przedziału od minus nieskończoności do dwóch nie licząc. To całkiem logiczne. X może być dowolną liczbą ze wszystkich możliwych liczb od minus nieskończoności do dwóch. Nie może być dwójki X, o czym mówi nam słowo "nie licząc".
A gdzie to jest w odpowiedzi możesz to zobaczyć "nie licząc"? Ten fakt jest odnotowany w odpowiedzi okrągły nawias zaraz po dwóch. Gdyby uwzględniono dwa, nawiasem byłoby: kwadrat. Lubię to:]. W poniższym przykładzie zastosowano taki nawias.
Zapiszmy odpowiedź: x ≥ -0,5 w przerwach:
x [-0,5; + )
Czytać: x należy do przedziału od minus 0,5, łącznie z, do plus nieskończoności.
Nieskończoności nigdy nie da się włączyć. To nie liczba, to symbol. Dlatego w takich zapisach nieskończoność zawsze sąsiaduje z nawiasem.
Ta forma pisania jest wygodna w przypadku złożonych odpowiedzi składających się z kilku interwałów. Ale - tylko dla ostatecznych odpowiedzi. W wynikach pośrednich, gdzie oczekiwane jest dalsze rozwiązanie, lepiej jest użyć zwykłej formy, w postaci prostej nierówności. Zajmiemy się tym w odpowiednich tematach.
Popularne miejsca pracy z nierównościami.
Same nierówności liniowe są proste. Dlatego często zadania stają się bardziej skomplikowane. Więc pomyśleć, że to było konieczne. Nie jest to przyjemne, jeśli nie jesteś do tego przyzwyczajony.) Ale jest przydatny. Pokażę przykłady takich zadań. Nie musisz się ich uczyć, to jest zbyteczne. I żeby nie bać się spotkania z takimi przykładami. Pomyśl trochę - i wszystko jest proste!)
1. Znajdź dowolne dwa rozwiązania nierówności 3x - 3< 0
Jeśli nie jest jasne, co robić, pamiętaj o głównej zasadzie matematyki:
Jeśli nie wiesz, co jest potrzebne, zrób, co możesz!)
NS < 1
Więc co? Nic specjalnego. O co nas pytają? Poproszono nas o znalezienie dwóch konkretnych liczb, które rozwiązują nierówność. Te. dopasować odpowiedź. Dwa każdy liczby. Właściwie to jest krępujące.) Odpowiednie jest kilka wartości 0 i 0,5. Para -3 i -8. Tak, te pary są nieograniczone! Jaka jest prawidłowa odpowiedz ?!
Odpowiedź brzmi: wszystko! Dowolna para liczb, każda mniejsza niż jeden, byłaby poprawną odpowiedzią. Napisz, co chcesz. Chodźmy dalej.
2. Rozwiąż nierówność:
4x - 3 ≠ 0
Zadania w tej formie są rzadkie. Ale, jako nierówności pomocnicze, na przykład przy wyznaczaniu GDV lub przy wyznaczaniu dziedziny definicji funkcji, są one często spotykane. Taką nierówność liniową można rozwiązać jako zwykłe równanie liniowe. Tylko wszędzie, z wyjątkiem znaku „=” ( równa się) umieścić znak " ≠ " (nie równe). Dojdziesz więc do odpowiedzi ze znakiem nierówności:
NS ≠ 0,75
W bardziej złożonych przykładach lepiej zrobić to inaczej. Wyrównaj nierówności. Lubię to:
4x - 3 = 0
Spokojnie rozwiąż go zgodnie z nauczaniem i uzyskaj odpowiedź:
x = 0,75
Najważniejsze jest to, że na samym końcu, spisując ostateczną odpowiedź, nie zapominajmy, że znaleźliśmy X, który daje równość. I potrzebujemy - nierówność. Dlatego po prostu nie potrzebujemy tego X.) I musimy to zapisać poprawną ikoną:
NS ≠ 0,75
Takie podejście skutkuje mniejszą liczbą błędów. Ci, którzy automatycznie rozwiązują równania. A dla tych, którzy nie rozwiązują równań, nierówności są w rzeczywistości bezużyteczne ...) Inny przykład popularnego zadania:
3. Znajdź najmniejsze całkowite rozwiązanie nierówności:
3 (x - 1) < 5x + 9
Najpierw po prostu rozwiązujemy nierówność. Otwieramy nawiasy, przenosimy je, podajemy podobne... Otrzymujemy:
NS > - 6
Zło !? Czy podążali za znakami!? A za znakami członków i za znakiem nierówności ...
Myślenie ponownie. Musimy znaleźć konkretną liczbę, która pasuje zarówno do odpowiedzi, jak i do warunku „najmniejsza liczba całkowita”. Jeśli nie świta od razu, możesz po prostu wziąć dowolną liczbę i oszacować. Czy dwa więcej niż minus sześć? Oczywiście! Czy istnieje odpowiednia mniejsza liczba? Oczywiście. Na przykład zero jest większe niż -6. A jeszcze mniej? Potrzebujemy najmniejszego możliwego! Minus trzy to więcej niż minus sześć! Możesz już uchwycić wzór i przestać głupio sortować liczby, prawda?)
Bierzemy liczbę bliższą -6. Na przykład -5. Odpowiedź jest wykonywana, -5 > - 6. Czy możesz znaleźć inną liczbę, mniejszą niż -5, ale większą niż -6? Możesz na przykład -5,5 ... Przestań! Powiedziano nam cały rozwiązanie! Nie toczy się -5,5! A minus sześć? Uhm! Nierówność jest ścisła, minus 6 to nie mniej niż minus 6!
Dlatego prawidłowa odpowiedź to -5.
Mam nadzieję, że przy wyborze wartości z rozwiązania ogólnego wszystko jest jasne. Inny przykład:
4. Rozwiąż nierówność:
7 < 3x + 1 < 13
Jak! To wyrażenie nazywa się potrójna nierówność.Ściśle mówiąc, jest to skrócona notacja systemu nierówności. Ale nadal trzeba rozwiązać takie potrójne nierówności w niektórych zadaniach ... Rozwiązuje się to bez żadnych systemów. Dla tych samych identycznych przekształceń.
Trzeba uprościć, sprowadzić tę nierówność do czystej. Ale ... Co jest gdzie przenosić!? Nadszedł czas, aby pamiętać, że przesunięcie w lewo-prawo to skrócona forma pierwsza identyczna transformacja.
A pełna forma brzmi tak: Możesz dodać / odjąć dowolną liczbę lub wyrażenie po obu stronach równania (nierówność).
Tutaj są trzy części. Dlatego zastosujemy identyczne przekształcenia do wszystkich trzech części!
Pozbądźmy się więc jedynki w środku nierówności. Odejmij jeden od całej środkowej części. Aby nierówność się nie zmieniła, od pozostałych dwóch części odejmujemy 1. Lubię to:
7 -1< 3x + 1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Lepiej, prawda?) Pozostaje podzielić wszystkie trzy części na trzy:
2 < NS < 4
To wszystko. To jest odpowiedź. X może być dowolną liczbą od dwóch (nie wliczając) do czterech (nie wliczając). Ta odpowiedź jest również zapisywana w odstępach, takie zapisy będą w nierównościach kwadratowych. Tam są najczęstszą rzeczą.
Na koniec lekcji powtórzę najważniejszą rzecz. Sukces w rozwiązywaniu nierówności liniowych zależy od umiejętności przekształcania i upraszczania równań liniowych. Jeśli w tym samym czasie uważaj na znak nierówności, nie będzie problemów. Czego ci życzę. Nie ma problemu.)
Jeśli podoba Ci się ta strona ...
Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Natychmiastowe testy walidacyjne. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Nierówność to druga strona równości. Materiał w tym artykule podaje definicję nierówności i wstępne informacje na jej temat w kontekście matematyki.
Pojęcie nierówności, podobnie jak pojęcie równości, wiąże się z momentem porównania dwóch obiektów. Podczas gdy równość oznacza „to samo”, z drugiej strony nierówność wskazuje na różnice w porównywanych obiektach. Na przykład i są tymi samymi obiektami lub równymi. oraz - obiekty różniące się od siebie lub nierówne.
Nierówność obiektów jest określona przez ładunek semantyczny takich słów jak powyżej - poniżej (nierówność oparta na wysokości); grubszy - cieńszy (nierówność na podstawie grubości); dłuższy - krótszy (nierówność na podstawie długości) i tak dalej.
Można mówić o równości-nierówności obiektów jako całości oraz o porównaniu ich indywidualnych cech. Powiedzmy, że dane są dwa obiekty: i. Nie ma wątpliwości, że te obiekty to nie to samo, tj. generalnie nie są równe: pod względem rozmiaru i koloru. Ale jednocześnie możemy powiedzieć, że ich kształty są jednakowe – oba obiekty to koła.
W kontekście matematyki ładunek semantyczny nierówności pozostaje. Jednak w tym przypadku mówimy o nierówności obiektów matematycznych: liczb, wartości wyrażeń, wartości wielkości (długość, powierzchnia itp.), wektorów, kształtów itp.
Nie równa się więcej, mniej
W zależności od celów postawionego problemu, sam fakt stwierdzenia nierówności przedmiotów może być cenny, ale zwykle po ustaleniu faktu nierówności stwierdza się, która wartość jest jeszcze większa, a która mniejsza.
Znaczenie słów „więcej” i „mniej” intuicyjnie jest nam znane od samego początku naszego życia. Oczywistą umiejętnością jest określenie wyższości obiektu pod względem wielkości, ilości itp. Ale w końcu każde porównanie prowadzi nas do porównania liczb, które określają niektóre cechy porównywanych obiektów. Zasadniczo zastanawiamy się, która liczba jest większa, a która mniejsza.
Prosty przykład:
Przykład 1
Nad ranem temperatura powietrza wynosiła 10 stopni Celsjusza; o drugiej po południu liczba ta wynosiła 15 stopni. Na podstawie porównania liczb naturalnych możemy stwierdzić, że wartość temperatury rano była niższa niż jej wartość o godzinie drugiej po południu (lub o godzinie drugiej po południu temperatura wzrosła, stała się wyższa niż temperatura rankiem).
Pisanie nierówności za pomocą znaków
Istnieje ogólnie przyjęta notacja do pisania nierówności:
Definicja 1
- znak nierówny, który jest przekreślonym znakiem równości: ≠. Ten znak znajduje się między nierównymi przedmiotami. Na przykład: 5 ≠ 10 pięć nie równa się dziesięciu;
- większe niż znak:> i mniejsze niż znak:< . Первый записывается между большим и меньшим объектами; второй между меньшим и большим. Например, запись о сравнении отрезков вида | A B | >| C D | wskazuje, że segment AB jest większy niż segment CD;
- znak większy lub równy: ≥ i mniejszy lub znak równości: ≤.
Ich znaczenie przeanalizujemy bardziej szczegółowo poniżej. Podajmy definicję nierówności według formy ich zapisu.
Definicja 2
Nierówności- wyrażenia algebraiczne, które mają znaczenie i są pisane znakami ≠,>,< , ≤ , ≥ .
Ścisłe i luźne nierówności
Definicja 3Ścisłe znaki nierówności Czy znaki „większe niż” i „mniej”:> i< Неравенства, составленные с их помощью – ścisłe nierówności.
Oznaki nieścisłych nierówności- są to znaki „większe lub równe” oraz „mniejsze lub równe”: ≥ i ≤. Nierówności z nich wymyślone - rozluźnić nierówności.
Omówiliśmy powyżej, w jaki sposób stosuje się surowe nierówności. Dlaczego stosuje się luźne nierówności? W praktyce takie nierówności można wykorzystać do zdefiniowania przypadków opisanych słowami „nie więcej” i „nie mniej”. Wyrażenie „nie więcej” oznacza mniej lub to samo - ten poziom porównania odpowiada znakowi „mniej niż lub równy” ≤. Z kolei „nie mniej” oznacza - to samo lub więcej, a to jest znak „większy lub równy” ≥. Tak więc nierówności pobłażliwe, w przeciwieństwie do ścisłych, umożliwiają równość obiektów.
Prawdziwe i fałszywe nierówności
Definicja 4Prawdziwa nierówność- ta nierówność, która odpowiada powyższemu znaczeniu nierówności. W przeciwnym razie jest niewierny.
Oto kilka prostych przykładów dla jasności:
Przykład 2
Nierówność 5 ≠ 5 nie jest prawdziwa, ponieważ w rzeczywistości liczby 5 i 5 są równe.
Lub porównanie takie jak to:
Przykład 3
Załóżmy, że S jest polem jakiejś figury, w tym przypadku S< - 4 является верным неравенством, поскольку площадь всегда выражена неотрицательным числом.
Zwroty „uczciwa nierówność”, „nierówność ma miejsce” itp. mają podobne znaczenie do terminu „prawidłowa nierówność”.
Własności nierówności
Opiszmy własności nierówności. Jest oczywistym faktem, że przedmiot nie może być sam w sobie nierówny i jest to pierwsza własność nierówności. Druga właściwość brzmi tak: jeśli pierwszy obiekt nie jest równy drugiemu, to drugi nie jest równy pierwszemu.
Opiszmy właściwości odpowiadające znakom „większy niż” lub „mniejszy”:
Definicja 5
- antyrefleksyjny... Własność tę można wyrazić następująco: dla dowolnego obiektu k nierówności k> k i k< k неверны;
- antysymetria... Ta właściwość mówi, że jeśli pierwszy obiekt jest większy lub mniejszy od drugiego, to drugi obiekt jest odpowiednio mniejszy lub większy od pierwszego. Piszemy: jeśli m> n, to n< m . Или: если m < n , то n >m;
- przechodniość... W notacji dosłownej określona właściwość będzie wyglądać tak: jeśli określono, że a< b и b < с, то a < c . Наоборот: a >b i b> c, co oznacza a> c. Ta właściwość jest intuicyjnie zrozumiała i naturalna: jeśli pierwszy przedmiot jest większy od drugiego, a drugi od trzeciego, wtedy staje się jasne, że pierwszy przedmiot jest tym większy od trzeciego.
Niektóre właściwości są również nierozerwalnie związane ze znakami nieścisłych nierówności:
Definicja 6
- refleksyjność: a ≥ a i a ≤ a (dotyczy to również przypadku, gdy a = a);
- antysymetria: jeśli a ≤ b, to b ≥ a. Jeżeli a ≥ b, to b ≤ a;
- przechodniość: jeśli a ≤ b i b ≤ c, to jest oczywiste, że a ≤ c. A także: jeśli a ≥ b i b ≥ c, to a ≥ c.
Podwójne, potrójne itp. nierówności
Własność przechodniości umożliwia zapisanie nierówności podwójnych, potrójnych itd., które są zasadniczo łańcuchami nierówności. Na przykład: podwójna nierówność - e> f> g lub potrójna nierówność k 1 ≤ k 2 ≤ k 3 ≤ k 4.
Zauważ, że wygodnie jest pisać nierówność jako ciągi zawierające różne znaki: równe, nierówne oraz znaki ścisłej i nieścisłej nierówności. Na przykład x = 2< y ≤ z < 15 .
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter
