Los campos finitos se pueden construir a partir de anillos de polinomios de la misma manera que los campos se construyeron a partir de un anillo de números enteros. Que haya un anillo de polinomios F [x] sobre el campo F. Al igual que fueron construidos para el anillo Z, anillos de relación, también puede construir anillos de relación para un anillo F [x]. Por elección de F [x] polinomio arbitrario p (x), uno puede definir el anillo de relaciones usando p (x) como módulo para especificar la aritmética de este anillo. Nos limitamos a considerar solo los polinomios dados, ya que esta restricción elimina la incertidumbre innecesaria de la construcción.
Definición 2.4.1. Para un polinomio reducido arbitrario p (x) de grado distinto de cero sobre el campo F por el anillo de polinomios módulo p (x) se llama el conjunto de todos los polinomios sobre F, cuyo grado no exceda el grado del polinomio p (x), c operaciones de suma y multiplicación de polinomios módulo p (x). Este anillo generalmente se denota por F (x) / (p (x)).
Elemento arbitrario r (x) anillos F [x] se puede asignar a un elemento de anillo PF [x] / (p (x)) haciendo coincidir r (x)-R P (X). Dos elementos una (x) y b (x) de F [x], mapeado al mismo elemento de F [x] / (p (x)), se llaman comparables:
a (x) = b (x)(modificación p (x)).
Luego b (x)= Oh)+ Q (x) p (x) para algún polinomio Q (x).
Teorema 2.4.2.El conjunto F1x] / (p (x)) es un anillo.
Prueba se proporciona al lector como un ejercicio.
En el anillo de polinomios sobre Gf(2), por ejemplo, el polinomio p (x)= x 3+ 1. Entonces el anillo de polinomios mod p (x) es igual a Gf(2) [x] / (x 3 + 1). Consta de elementos
{0, 1, x, x + 1, x 2, x 2 +1, x 2 + x, x 2 + x + 1). En este anillo, la multiplicación se realiza, por ejemplo, de la siguiente manera:
(x 2 +1) (x 2) = R x 3 + 1 ((x 2 +1) (x 2)) = R x 3 + 1 ((x 3 +1) x + x 2 + x) = x 2 + x,
donde la reducción se usa de acuerdo con la regla x 4 = x (x 3+ 1) + NS.
Teorema 2.4.3.El anillo de polinomios módulo el polinomio reducido p (x) es un campo si y solo si el polinomio p (x) es simple ( Recuerde que un polinomio simple es irreducible y reducido. Para construir un campo, solo la irreductibilidad de p (x) es suficiente, pero hemos acordado considerar solo los polinomios reducidos, por lo que los resultados posteriores son de naturaleza menos general).
Prueba. Dejemos que el polinomio p (x) sencillo. Para probar que el anillo en consideración forma un campo, basta con mostrar que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo. Vamos s (NS)-alguno elemento distinto de cero del anillo. Entonces deg s (NS)< grados p (x). Dado que el polinomio p (x) es simple, entonces GCD = 1. Según el corolario 2.3.7
Gcd = 1 = a (x) p (x) + b (x) s (x)
para algunos polinomios Oh) y b (x). Por eso,
1 = R p (x) [ 1] = R p (x) = R p (x){ R p (x) (\ Displaystyle k [x]) y llamó un anillo de polinomios sobre k (\ Displaystyle k) ... Símbolo x (\ Displaystyle x) comúnmente conocida como "variable", esta terminología surgió de la consideración funciones polinomiales encima R (\ Displaystyle \ mathbb (R)) o arriba C (\ Displaystyle \ mathbb (C))... Sin embargo, en general, los polinomios y las funciones polinomiales son cosas diferentes; por ejemplo, sobre un campo finito F p (\ Displaystyle \ mathbb (F) _ (p)) de un número primo p (\ Displaystyle p) polinomios de elementos x 1 (\ Displaystyle x ^ (1)) y x p + 1 (\ displaystyle x ^ (p + 1)) dan la misma función, pero estos son polinomios diferentes (los polinomios se consideran iguales si y solo si coinciden todos sus coeficientes). Por tanto, la variable x (\ Displaystyle x) no se puede considerar que pertenezca al campo k (\ Displaystyle k); sobre el anillo k [x] (\ Displaystyle k [x]) podemos pensar así: agregamos un nuevo elemento al conjunto de elementos de campo x (\ Displaystyle x) y solo requerimos que los axiomas del anillo se mantengan y que x (\ Displaystyle x) conmutada con elementos de campo.
Dado que los elementos del anillo de polinomios se pueden multiplicar por los "escalares" del campo k (\ Displaystyle k), en realidad es un álgebra asociativa sobre el campo k (\ Displaystyle k)... Considerando k [x] (\ Displaystyle k [x]) como un espacio vectorial (es decir, "olvídate" de la multiplicación), tiene una base infinita de elementos 1 = x 0 (\ Displaystyle 1 = x ^ (0)), x = x 1 (\ Displaystyle x = x ^ (1)), x 2 (\ Displaystyle x ^ (2)) etc.
Descomposición en primos en k[X]
Factor de anillo k[X]
L ≃ k [x] / (p). (\ Displaystyle L \ simeq k [x] / (p).)Un caso especial importante es cuando un anillo que contiene k, en sí mismo es un campo; denotarlo K... La simplicidad del módulo de factor por (p) (\ Displaystyle (p)) es equivalente a la irreductibilidad p (\ Displaystyle p)... El teorema del elemento primitivo establece que cualquier extensión separable finita puede ser generada por un elemento y, por lo tanto, tiene la forma de un factor de anillo polinomial sobre un campo más pequeño con respecto a un polinomio irreducible. Un ejemplo es el campo de números complejos generados sobre R elemento I tal que yo 2 + 1 = 0... En consecuencia, el polinomio X 2 + 1 es irreductible sobre R y
C ≃ R [x] / (X 2 + 1). (\ Displaystyle \ mathbb (C) \ simeq \ mathbb (R) [x] / (X ^ (2) +1).)De manera más general, para un anillo arbitrario (incluso no conmutativo) A conteniendo k y elemento a anillos A desplazamientos con todos los elementos k, hay un homomorfismo de anillo único de k[X] v A enviando X v a:
ϕ: k [x] → A, ϕ (x) = a. (\ Displaystyle \ phi: k [x] \ to A, \ quad \ phi (x) = a.)La existencia y unicidad de tal homomorfismo se expresa utilizando una cierta propiedad universal de un anillo polinomial y explica cierta "unicidad" de un anillo polinomial en varias construcciones de la teoría de anillos y el álgebra conmutativa.
Módulos
Anillo polinomial en varias variables
Definición
Polinomio en norte variables X 1 ,…, X norte con coeficientes en el campo K se define de manera similar a un polinomio en una variable, pero la notación se vuelve más compleja. Para cualquier multi-índice α = (α 1 ,…, α norte), donde cada α I es un número entero distinto de cero, sea
X α = ∏ i = 1 norte X i α i = X 1 α 1… X n α n, p α = p α 1… α n ∈ K. (\ Displaystyle X ^ (\ alpha) = \ prod _ (i = 1) ^ (n) X_ (i) ^ (\ alpha _ (i)) = X_ (1) ^ (\ alpha _ (1)) \ ldots X_ (n) ^ (\ alpha _ (n)), \ quad p _ (\ alpha) = p _ (\ alpha _ (1) \ ldots \ alpha _ (n)) \ in \ mathbb (K). \)X α llamado monomio la licenciatura | α | = ∑ yo = 1 norte α yo (\ Displaystyle | \ alpha | = \ sum _ (i = 1) ^ (n) \ alpha _ (i)). Polinomio es una combinación lineal finita de monomios con coeficientes en K: ∑ α p α X α (\ Displaystyle \ sum _ (\ alpha) p _ (\ alpha) X ^ (\ alpha)).
Polinomios de norte variables con coeficientes en el campo k(con las operaciones habituales de suma y multiplicación) forman un anillo conmutativo, denotado k[X 1 ,…, X norte]. Este anillo se puede obtener mediante la aplicación múltiple de la operación "tomando un anillo de polinomios sobre un anillo dado". Por ejemplo, k[X 1 , X 2] es isomorfo k[X 1 ][X 2], así como k[X 2 ][X 1]. Este anillo juega un papel fundamental en la geometría algebraica. Se han logrado muchos resultados del álgebra conmutativa mediante el estudio de los ideales de este anillo y los módulos sobre él.
Teorema de los ceros de Hilbert
Varios resultados fundamentales sobre la relación entre los ideales del anillo k[X 1 ,…, X norte] y subvariedades algebraicas k norte se conocen colectivamente como teoremas del cero de Hilbert.
- (forma débil, campo algebraicamente cerrado) Permitir k- campo algebraicamente cerrado. Entonces cualquier ideal máximo metro anillos k[X 1 ,…, X norte] tiene la forma
- (forma débil, cualquier campo de coeficiente) Permitir k- campo, K es un campo algebraicamente cerrado que contiene k y I- ideal en un anillo k[X 1 ,…, X norte]. Luego I contiene 1 si y solo si polinomios de I no tienen un cero común en K norte .
- (forma fuerte) Permitir k- campo, K es un campo algebraicamente cerrado que contiene k, I- ideal en un anillo k[X 1 ,…, X norte] y V(I) es una subvariedad algebraica, K norte un definido I... Permitir F- polinomio igual a cero en todos los puntos V(I). Entonces un grado F pertenece al ideal I.
Capítulo XI. Polinomios.
Un anillo polinomial en una variable sobre
Anillo asociativo-conmutativo con unidad
Definición 1. Permitir K - anillo asociativo-conmutativo con unidad. Un polinomio sobre el anillo K en la variable x se llama una expresión de la forma, donde a yoÎ K, y solo un número finito de elementos a yo≠0.
a yo llamado coeficiente del polinomio f(X)en el grado i.
El conjunto de todos los polinomios sobre el anillo K en la variable x denotado K[X].
Definición 2. Permitir F(X) y gramo(X) , dónde K- anillo asociativo-conmutativo con unidad. Polinomios F(X) y gramo(X) son llamados igual(algebraicamente), si, respectivamente, sus coeficientes son iguales en los mismos grados X.
Definición 3. Polinomio cero se llama polinomio, cuyos coeficientes son iguales a 0, y se denota 0 = 0 ( X).
Definición 4. Permitir K - F(X) , F(X)≠0(X). Número norte llamado grado del polinomio f y denotado grados f = n si una n≠ 0 y a yo= 0 para I>norte.
Por definición, se supone que el grado del polinomio cero es igual, es decir grados 0(X) .
Por tanto, si, entonces grados(gradosℕ {0}).
Según la Definición 2, sumando o descartando términos con coeficientes cero, obtenemos un polinomio igual al dado. Así, todo polinomio de grado norte Se puede escribir como
Luego un 0 llamado gratis o permanente miembro de polinomio F(X), un - probabilidades senior polinomio F(X).
Definición 5. Permitir K - anillo asociativo-conmutativo con unidad, , , es más norte≥metro.
Operaciones de suma y multiplicación de polinomios a partir de K[X] están determinadas por las reglas
Teorema 1 . Sea K un anillo conmutativo asociativo distinto de cero con unidad. Entonces K[X]con respecto a las operaciones por reglas(1 )y(2 )- es también un anillo asociativo-conmutativo con unidad 1(X)= 1.
Prueba. Comprobar K[X] todos los axiomas de un anillo conmutativo asociativo con unidad.
1. K[X] ¹Æ, por ejemplo, 0 ( X)Î K[X], ya que todos sus coeficientes son iguales a 0Î K.
2. Las operaciones "+" y "⋅" de acuerdo con las reglas (1) y (2) son algebraicas en K[X] (es decir. K[X] está cerrado con respecto a estas operaciones). De hecho, deja F(X)y gramo(X)Î K[X], de las fórmulas (1) y (2) se deduce que los coeficientes de los polinomios F(X)+ g(X)y F(X)⋅g(X) se obtienen sumando y multiplicando los coeficientes F(X)y gramo(X), aquellos. artículos de K. Dado que el anillo está cerrado K con respecto a la suma y la multiplicación, los coeficientes de los polinomios F(X)+ g(X)y F(X)⋅g(X) pertenecer K... Es decir F(X)+ g(X)Î K[X]y F(X)⋅g(X)Î K[X].
3.
a) "+" es asociativo en K[X]: "F(X), g(X), h(X)Î K[X] (F(X)+gramo(X))+h(X)= f(X)+(gramo(X)+h(X))
b) "+" es conmutativo en K[X]: "F(X), g(X)Î K[X] F(X)+gramo(X)= g(X)+F(X)
c) Hay 0 ( X)=0+0⋅X+0⋅X 2 +…+0⋅x n+… Î K[X] tal que "Î K[X] : =
similar, 
d) "Î K[X] existe Î K[X] tal que
=
0+0⋅X+0⋅X 2 +…+0⋅x n = 0(X). igualmente 
=
0(X).
4... V K[X]se cumplen las leyes de distribución:
e) " F(X), g(X), h(X)Î K[X] (F(X)+gramo(X))⋅h(X)= f(X)⋅h(X)+gramo(X)⋅h(X)
h(X) ⋅ (F(X)+gramo(X))= h(X)⋅f(X)+h(X)⋅gramo(X)
Por lo tanto, K[X] - anillo.
5. Demostremos queK[X]- un anillo asociativo-conmutativo con 1.
f) "⋅" es asociativo en K[X]: "F(X), g(X), h(X)Î K[X] (F(X)⋅gramo(X))⋅h(X)= f(X)⋅(gramo(X)⋅h(X))
g) "⋅" es conmutativa en K[X]: "F(X), g(X)Î K[X] F(X)⋅gramo(X)= g(X)⋅F(X)
h) B K[X] hay un polinomio unitario 1 ( X)= 1+0⋅X+0⋅X 2 +…+0⋅x n + ...Î K[X] con coeficientes B 0 =1, b yo= 0 para el resto I. " Î K[X]
la validez de a), b), e), f), g) se deriva del hecho de que las operaciones "+" y "" sobre polinomios se reducen a las operaciones correspondientes sobre sus coeficientes - elementos de K y en el ring K"+" Y "" son leyes conmutativas, asociativas y distributivas que se cumplen.
Se demuestra el teorema.
Grado polinomial. Propiedades de grado polinómico
Teorema 2 . Sea K un anillo conmutativo asociativo distinto de cero con una unidad ,,. Luego:
1) grados(+ max (grados, grados);
Este es un ejercicio bastante bueno y significativo tanto para la técnica de las pruebas como para comprender la esencia de los conceptos algebraicos utilizados.
Que $% I $% es un ideal de anillo se vuelve obvio si aplicamos el criterio. Un conjunto no vacío de elementos de un anillo forma su ideal si y solo si es 1) cerrado con respecto a la resta; 2) se cierra multiplicando por elementos arbitrarios del anillo. El ejemplo más simple: incluso entre los números enteros. Aquí, la validez de ambas propiedades es inmediatamente evidente. Además, puede tomar cualquier elemento $% a_1 $%, ..., $% a_n $% del anillo conmutativo $% R $%, y considerar el conjunto de todas las combinaciones lineales de la forma $% r_1a_1 + r_2a_2 + \ cdots + r_na_n $%, donde los elementos $% r_i \ en R $% recorren todos los valores. Este será el ideal del anillo; se dice que es generado por los elementos $% a_1 $%, ..., $% a_n $%.
Ahora viene la pequeña parte heurística. Nuestro ideal está generado por dos elementos: el polinomio $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $%, y el número $% 5 $%. La consideración general es la siguiente: si estamos interesados en el anillo de factores, entonces estos elementos deben equipararse a cero.
Está claro que 5 no es igual a 0, pero si tal identificación se hace al menos condicionalmente, es decir, asumimos que estos elementos son "equivalentes", entonces obtenemos el módulo aritmético habitual 5. Es decir, los elementos de el anillo residual $% \ mathbb Z_5 se convertirá en los coeficientes de los polinomios $% módulo 5.
En este caso, el polinomio de tercer grado se puede descomponer en factores lineales, ya que 1 y -4 son "equivalentes" para nosotros, y módulo 5 obtenemos $% x ^ 2 + 1 = x ^ 2-4 = (x-2 ) (x + 2) $%. De hecho, obtuvimos el siguiente anillo de factores: $% \ mathbb Z_5 [x] / ((x + 1) (x + 2) (x-2)) $%. Entre paréntesis, tenemos un polinomio que genera el ideal principal.
Si el elemento que genera el ideal principal está factorizado, de los hechos generales se deduce que el anillo del cociente es isomorfo al producto directo de tres anillos del cociente del mismo anillo polinomial ideal principal generado por factores separados. Por ejemplo, considere $% \ mathbb Z_5 [x] / (x-2) $%. Esta es la misma lógica: tenemos $% x-2 $% igual a cero, es decir, $% x $% se reemplaza por $% 2 $%. Las variables desaparecen, solo quedan los coeficientes. El anillo de factor resulta ser isomorfo a $% \ mathbb Z_5 $%. Tenemos tres de ellos y obtenemos su producto directo, es decir, $% \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $%.
Esta es la respuesta, y ahora queda describir la misma en un nivel estrictamente formal. Considere un homomorfismo del anillo $% \ mathbb Z $% en $% \ mathbb Z_5 $%, es decir, en el anillo de residuos $% \ mathbb Z / 5 \ mathbb Z $% modulo 5. Induce un homomorfismo de polinomio anillos: $% \ mathbb Z [x] \ to \ mathbb Z_5 [x] $%. Está organizado de manera muy simple: para el polinomio sobre $% \ mathbb Z $%, reemplazamos los coeficientes con sus residuos después de la división por $% 5 $%.
Ahora, a cada polinomio $% f (x) \ in \ mathbb Z_5 [x] $% asociamos sus tres valores en los puntos 2, 3, 4, es decir, consideramos el triple $% (f (2), f (3), f (4)) $% perteneciente al anillo $% \ mathbb Z_5 ^ 3 = \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $%. Dado que los polinomios se suman y multiplican de acuerdo con las mismas reglas que los números, obtenemos un homomorfismo de anillo. La composición del homomorfismo original con el dado da el homomorfismo $% \ phi \ colon \ mathbb Z [x] \ to \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $%. Estamos interesados en su núcleo.
En primer lugar, es obvio que el número 5 pertenece al núcleo (va al elemento cero del anillo ya bajo el primero de los homomorfismos, cuando pasamos a los residuos). A continuación, el polinomio $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 = (x + 1) (x ^ 2 + 1) $% se asigna a un polinomio sobre el anillo de residuos igual a $% (x + 1) (x ^ 2-4) = (x + 1) (x + 2) (x-2) = (x-2) (x-3) (x-4) $% ya que 1 es -4 y 2 es - 3 módulo 5. Esto explica por qué tomamos los valores del polinomio exactamente en los puntos 2, 3, 4. Aquí todos son iguales a cero, y luego el vector cero del producto directo se asigna al polinomio. Por definición, esto significa que $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 $% pertenece al núcleo. Dado que el núcleo es un ideal, entonces todos los elementos del $% I $% ideal descritos en la condición pertenecen al núcleo. Es decir, $% I $% está contenido en $% \ mathop (\ rm Ker \,) \ phi $%.
Comprobemos que de hecho el kernel coincide con el $% I $% ideal. Si el polinomio $% f (x) $% con coeficientes enteros golpea el kernel, esto es equivalente al hecho de que los valores de $% f (2) $%, $% f (3) $%, $% f (4) $% son múltiplos de cinco. Denotando de manera estándar la clase de residuo del número $% a $% módulo 5 como $% \ bar (a) $%, y también por $% \ bar (f) (x) $% la imagen de un polinomio con coeficientes enteros en el anillo $% \ mathbb Z_5 [x] $%, vemos que $% \ bar (f) (2) = \ bar (f) (3) = \ bar (f) (4) = 0 $ %, es decir, los números 2, 3, 4 son las raíces del polinomio $% \ bar (f) (x) $%. Según el teorema de Bezout, es divisible por cada uno de los binomios $% x-2 $%, $% x-3 $%, $% x-4 $%. Luego también se divide en su producto, es decir, se puede escribir como $% \ bar (f) (x) = (x-2) (x-3) (x-4) \ bar (g) (x ) $% para algún polinomio $% g (x) $% con coeficientes enteros.
En el anillo de residuos, puede cambiar los coeficientes igual a ellos módulo 5, por lo que la igualdad $% \ bar (f) (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) \ bar (g) (x) $% en el anillo $% \ mathbb Z_5 [x] $%. Entonces resulta que el polinomio $% f (x) - (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) $% fue a cero, por lo que todos sus coeficientes eran múltiplos de 5, es decir, el la diferencia es $% 5h (x) $% para algún polinomio con coeficientes enteros. Como resultado, resulta que $% f (x) = (x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1) g (x) + 5h (x) $%, es decir, $% f (x) $ % pertenece al $% I $% ideal, según sea necesario.
Ahora podemos aplicar el teorema sobre homomorfismos de anillo y concluir que el cociente anillo $% \ mathbb Z [x] / I $% por el núcleo del homomorfismo $% \ phi $% es isomorfo a la imagen de este homomorfismo. Lo último que queda: probar que el homomorfismo $% \ phi $% es sobreyectivo. Esto se hace de una forma relativamente sencilla. Tome el polinomio $% (x-2) (x-3) $% y asígnele un vector de valores en los puntos 2, 3, 4 (mod 5). Resulta $% (0,0,2) $%. Para obtener uno en el último lugar, multiplique el polinomio por 3. Como resultado, vemos que el vector base $% (0,0,1) $% se encuentra en la imagen de $% \ phi $%.
Hacemos lo mismo con $% (x-2) (x-4) $%, e irá a los tres primeros $% (0, -1,0) $%. Al cambiar el signo, obtenemos el segundo vector base $% (0,1,0) $%. Finalmente, $% (x-3) (x-4) $% se convierte en $% (2,0,0) $%, y multiplicar por 3 da $% (1,0,0) $%. Todos los vectores de la base del espacio $% \ mathbb Z_5 ^ 3 $% se encuentran en la imagen de $% \ phi $%, es decir, es sobreyectiva. Esto finalmente prueba que $% \ mathbb Z [x] / I \ cong \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 \ times \ mathbb Z_5 $%.
Queda lo último. El anillo de factores que obtenemos es el producto de tres campos de cinco elementos. Dichos anillos no solo no son campos, sino que siempre tienen cero divisores. Basta con multiplicar los triples distintos de cero $% (1,0,0) $% y $% (0,1,0) $% (en coordenadas), y obtenemos el elemento cero del anillo de factores.
1. Un anillo de polinomios sobre un campo.
Sea un campo arbitrario. El símbolo denota la totalidad de todos los polinomios en una variable (de todos los grados posibles), cuyos coeficientes se toman del campo:
En este conjunto se definen dos operaciones: se pueden sumar y multiplicar dos polinomios de acuerdo con reglas conocidas. Las operaciones de suma y multiplicación de polinomios satisfacen los axiomas 1-7 y 9 del campo (es decir, todos menos el octavo). Como se mencionó anteriormente, tal colección de objetos se llama anillo. Entonces, es un anillo de polinomios sobre un campo.
Otro ejemplo de anillo es el anillo de números enteros. Resulta que las propiedades básicas de los números enteros son consecuencia de los axiomas 1-7, 9 y, por lo tanto, siguen siendo válidas en cualquier anillo. En particular, transferimos las propiedades de divisibilidad de números enteros a polinomios. El grado del polinomio se indicará con.
Divisibilidad de polinomios
Se dice que un polinomio es divisible por un polinomio si se puede encontrar un polinomio tal que 
... También dicen que lo dividen y lo escriben en la forma.
División con resto
Para dos polinomios cualesquiera y, se pueden encontrar polinomios y tales que
Los polinomios y se pueden encontrar mediante el conocido algoritmo de división de esquinas. Tenga en cuenta que los cálculos se simplifican si el factor principal es el divisor. Esto siempre se puede lograr factorizando :. Aquí 
¿Es el divisor con el coeficiente más alto 1, a 
- un nuevo cociente que, si es necesario, se puede restaurar.
Tal esquema es conveniente para los cálculos de la máquina.
Esquema computacional de división con resto
(5)
Sustituyendo (4) y (5) en (3) y comparando los coeficientes en, obtenemos el sistema
. (6)
. (7)
La condición de suma en estas sumas es que los índices de los coeficientes deben estar en el rango de 0 al grado del polinomio:
Por lo tanto, el índice de suma debe variar dentro de
Por ejemplo, para (6) toma la forma 
, es decir .
Si, entonces, por lo tanto,
,
porque . Nótese que bajo el signo de suma ingresan con índices que son grandes, lo que permite calcularlos secuencialmente. Por lo tanto, los coeficientes del cociente y el resto al dividir dos polinomios se pueden encontrar de acuerdo con el siguiente esquema:
1 °. Creemos.
2 °. Para computar 
y supongo
.
3 °. Para computar y supongo
.
Declaraciones polinomiales
Los hechos conocidos sobre polinomios se derivan de la fórmula de división (3) con resto; es importante para nosotros que estos hechos sean válidos para un anillo polinomial sobre un campo arbitrario.
1. Teorema 1(Bezu). Sea y a un elemento arbitrario del campo. Entonces el resto de la división por el polinomio es igual al elemento.
De hecho, escribiendo (2.3) para este caso, obtenemos
donde es un polinomio de grado cero, es decir, un elemento del campo. Sustituyendo en esta igualdad, obtenemos.
2. Si, es decir, una raíz, entonces es divisible por.
Esto se sigue directamente de 1.
3. Un polinomio de grado en cualquier campo tiene como máximo raíces.
Se deduce del hecho de que después de dividir por el grado del polinomio disminuye por 1.
4. Si el polinomio es divisible por:
,
y el cociente es nuevamente divisible por, luego será divisible por. En este caso, la raíz se llama múltiple. Al definir la derivada formal de un polinomio como polinomio, es fácil comprobar que todas las reglas de diferenciación siguen siendo válidas. Por ejemplo, si
,
Por lo tanto, si es una raíz múltiple de un polinomio, entonces el polinomio y su derivada son divisibles por. Por el contrario, si se sabe que el polinomio y su derivada no tienen divisores comunes de grado superior a cero, entonces todas las raíces del polinomio son diferentes.
2. Algoritmo de Euclides
El máximo común divisor de dos polinomios es un polinomio tal que
2) si y, entonces.
La designación es la misma: 
.
Teorema 2. Si 
, luego hay polinomios y tales que
La prueba es la misma que para el anillo de números enteros.
Comentario. Existe cierta ambigüedad en la definición, está relacionada con el hecho de que si d (x) es el máximo común divisor de polinomios y, a es un elemento arbitrario distinto de cero del campo, entonces el polinomio también satisfará las condiciones 1) y 2 ). Por el contrario, si y 
, luego los polinomios y se dividirán entre sí, y esto solo es posible en el caso en que 
, (). Por lo tanto, el máximo común divisor de dos polinomios sobre un campo se determina hasta un factor: un elemento. Esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el coeficiente principal sea igual a uno. En este sentido, agregamos a la definición la condición de normalización
3) el coeficiente senior es igual a uno.
En un anillo, se puede aplicar el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor y su esquema computacional discutido anteriormente. Limitémonos a un ejemplo.
Ejemplo. Encuentra el máximo común divisor de polinomios en el anillo
Y 
,), y por lo tanto,
; o, luego (teniendo en cuenta la condición de normalización en la definición del máximo común divisor de polinomios).
