Paraboloide elíptico
Paraboloide elíptico con a = b = 1
Paraboloide elíptico- superficie descrita por una función de la forma
,donde a y B una señal. La superficie está descrita por una familia de parábolas paralelas con ramas apuntando hacia arriba, cuyos vértices describen una parábola, con ramas también apuntando hacia arriba.
Si a = B entonces un paraboloide elíptico es una superficie de revolución formada por la rotación de una parábola alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice de esta parábola.
Paraboloide hiperbólico
Paraboloide hiperbólico con a = b = 1
Paraboloide hiperbólico(llamado "hypar" en construcción) - una superficie en forma de silla de montar descrita en un sistema de coordenadas rectangular mediante una ecuación de la forma
.La segunda representación muestra que el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada.
La superficie puede estar formada por el movimiento de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia abajo, a lo largo de una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba, siempre que la primera parábola esté en contacto con su segundo vértice.
Paraboloides en el mundo
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Se suponía que el dispositivo descrito en Hiperboloide del ingeniero Garin era paraboloide.
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Vea qué es "Paraboloide elíptico" en otros diccionarios:
PARABOLOIDE ELÍPTICO Diccionario enciclopédico grande
paraboloide elíptico- uno de los dos tipos de paraboloides. * * * PARABOLOIDES ELÍPTICOS ELÍPTICOS, uno de los dos tipos de paraboloides (ver PARABOLOIDES) ... diccionario enciclopédico
Paraboloide elíptico- uno de los dos tipos de paraboloides (Ver Paraboloides) ... Gran enciclopedia soviética
PARABOLOIDE ELÍPTICO- superficie no cerrada de segundo orden. Canónico. la ecuación de E. p. tiene la forma de E. p. está ubicada en un lado del plano Oxy (ver Fig.). Las secciones de E. p. Los planos paralelos al plano Oxy son elipses con igual excentricidad (si p ... Enciclopedia de las matemáticas
PARABOLOIDE ELÍPTICO- uno de los dos tipos de paraboloides ... Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico
PARABOLOIDE- (griego, de parábola parábola y similitud eidos). Un cuerpo formado por una parábola giratoria. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov AN, 1910. PARABOLOID es un cuerpo geométrico formado a partir de la rotación de una parábola, entonces ... ... Diccionario de palabras extranjeras del idioma ruso.
PARABOLOIDE- PARABOLOID, paraboloide, marido. (ver parábola) (mat.). Una superficie de segundo orden sin centro. Paraboloide de revolución (formado al girar una parábola alrededor de su eje). Paraboloide elíptico. Paraboloide hiperbólico. Diccionario explicativo de Ushakov ... Diccionario explicativo de Ushakov
PARABOLOIDE- PARABOLOIDE, superficie obtenida por el movimiento de una parábola, cuyo vértice se desliza a lo largo de otra parábola fija (con un eje de simetría paralelo al eje de la parábola móvil), mientras que su plano, que se desplaza paralelo a sí mismo, permanece. .. ... Enciclopedia moderna
Paraboloide- - tipo de superficie de segundo orden. Un paraboloide se puede caracterizar como una superficie abierta de segundo orden no central (es decir, que no tiene centro de simetría). Ecuaciones canónicas de un paraboloide en coordenadas cartesianas: si y uno ... ... Wikipedia
PARABOLOIDE- superficie descentrada no cerrada de segundo orden. Canónico. ecuaciones de P .: un paraboloide elíptico (para p = q se llama P. de rotación) y un paraboloide hiperbólico. A. B. Ivanov ... Enciclopedia de las matemáticas
La propiedad probada de la tangente a una parábola es muy importante, ya que se deduce que los rayos que emanan del foco de un espejo parabólico cóncavo, es decir, un espejo cuya superficie se obtiene de la rotación de la parábola alrededor de su eje, son reflejados por un haz paralelo, es decir, eje espejo paralelo (fig).
Esta propiedad de los espejos parabólicos se utiliza en la construcción de reflectores, en los faros de cualquier automóvil, así como en los espejos telescópicos. En este caso, en el último caso, a la inversa, los rayos provenientes del cuerpo celeste; casi paralelos, se concentran cerca del foco del espejo del telescopio, y dado que los rayos que provienen de diferentes puntos de la luminaria son muy no paralelos, se concentran cerca del punto focal en diferentes puntos, de modo que una imagen de la luminaria es obtenido cerca del punto focal, cuanto mayor, mayor es la distancia focal de la parábola. Esta imagen ya se ve a través de un microscopio (ocular telescópico). Estrictamente hablando, solo los rayos estrictamente paralelos al eje del espejo se recolectan en un punto (en foco), mientras que los rayos paralelos, que van en ángulo con el eje del espejo, se recolectan solo en casi un punto, y cuanto más lejos este punto es desde el enfoque, la imagen más borrosa. Esta circunstancia limita el "campo de visión del telescopio".
Deje que su superficie interior, una superficie de espejo, este espejo parabólico esté iluminado por un haz de rayos de luz paralelos al eje OU. Después de la reflexión, todos los rayos paralelos al eje OY se cruzarán en un punto del eje OY (foco F). El diseño de telescopios parabólicos se basa en esta propiedad. Los rayos de estrellas distantes nos llegan en forma de un rayo paralelo. Habiendo hecho un telescopio parabólico y colocando una placa fotográfica en su foco, tenemos la oportunidad de amplificar la señal de luz proveniente de la estrella.
El mismo principio subyace en la creación de una antena parabólica que le permite amplificar las señales de radio. Si colocamos una fuente de luz en el foco de un espejo parabólico, luego de la reflexión desde la superficie del espejo, los rayos provenientes de esta fuente no se dispersarán, sino que se recogerán en un haz estrecho paralelo al eje del espejo. . Este hecho encuentra aplicación en la fabricación de proyectores y linternas, varios proyectores, cuyos espejos están hechos en forma de paraboloides.
La propiedad óptica antes mencionada de un espejo parabólico se utiliza para crear telescopios de espejo, varias instalaciones de calefacción solar y reflectores. Al colocar una potente fuente de luz puntual en el foco de un espejo parabólico, obtenemos una densa corriente de rayos reflejados paralelos al eje del espejo.
Cuando una parábola gira alrededor de su eje, se obtiene una figura, que se llama paraboloide. Si se refleja la superficie interna del paraboloide y se dirige un haz de rayos paralelo al eje de simetría de la parábola, los rayos reflejados se reunirán en un punto, que se llama foco. Al mismo tiempo, si se enfoca la fuente de luz, los rayos reflejados desde la superficie del espejo del paraboloide serán paralelos y no se dispersarán.
La primera propiedad permite obtener una temperatura elevada en el foco de un paraboloide. Según la leyenda, esta propiedad fue utilizada por el antiguo científico griego Arquímedes (287-212 aC). Mientras defendía Siracusa en la guerra contra los romanos, construyó un sistema de espejos parabólicos, que permitió enfocar los rayos del sol reflejados en los barcos de los romanos. Como resultado, la temperatura en los focos de los espejos parabólicos resultó ser tan alta que se produjo un incendio en los barcos y se quemaron.
La segunda propiedad se utiliza, por ejemplo, en la fabricación de proyectores y faros de automóviles.
Hipérbola
4. La definición de hipérbola nos da una forma sencilla de construirla en movimiento continuo: tome dos hebras, cuya diferencia de longitud es 2a, y sujete un extremo de estas hebras a los puntos F "y F. Si sostiene los otros dos extremos juntos con la mano y se mueven a lo largo de los hilos con la punta de un lápiz, cuidando que los hilos queden presionados contra el papel, tensos y tocándose, comenzando desde la punta de dibujo hasta la unión de los extremos, la punta dibujará una parte de una de las ramas de la hipérbola (cuanto más grande, más largos se toman los hilos) (Fig.).
Al intercambiar los roles de los puntos F "y F, obtenemos una parte de otra rama.
Por ejemplo, sobre el tema "Curvas de 2º orden" podemos considerar el siguiente problema:
Una tarea. Dos estaciones de tren A y B están ubicadas a una distancia de s km entre sí. La carga puede ser entregada a cualquier punto M desde la estación A ya sea por transporte directo por carretera (primera vía) o por ferrocarril hasta la estación B, y desde allí en automóviles (segunda vía). La tarifa ferroviaria (el precio del transporte de 1 tonelada por 1 km) es de m rublos, la tarifa del transporte por carretera es de n rublos, n> m, la tarifa de carga y descarga es de k rublos. Determine el área de influencia de la estación de tren B, es decir, el área a la que es más barato entregar la carga desde la estación A por una ruta mixta: por ferrocarril y luego por carretera, es decir. Determine el lugar geométrico de los puntos para los que el segundo camino es más ventajoso que el primero.
Solución. Denotamos AM = r, BM = g, entonces el costo de entrega (transporte y carga-descarga) a lo largo de la ruta AM es igual a nr + k, y el costo de entrega a lo largo de la ruta ABM es igual a ms + 2k + ng . Entonces los puntos M, para los cuales ambos valores son iguales, satisfacen la ecuación nr + k = ms + 2k + nг, o
ms + k = nr - ng
r - r = = constante> 0,
por lo tanto, la línea que delimita la región es una de las ramas de la hipérbola | r - r | = const. Para todos los puntos del plano que se encuentran en un lado con el punto A de esta hipérbola, el primer camino es más ventajoso, y para los puntos que se encuentran en el otro lado, el segundo, por lo tanto, la rama de la hipérbola delimita el área de influencia. de la estación B.
Una variante de esta tarea.
Dos estaciones de tren A y B están situadas a una distancia de 1 km entre sí. La carga se puede entregar al punto M desde la estación A ya sea por transporte directo por carretera o por ferrocarril hasta la estación B, y desde allí en automóviles (Fig. 49). En este caso, la tarifa ferroviaria (el precio del transporte de 1 tonelada por 1 km) es m rublos, la carga y descarga cuesta k rublos (por 1 tonelada), y la tarifa para el transporte por carretera es n rublos (n> m). Definamos la llamada zona de influencia de la estación de ferrocarril B, es decir, la zona a la que es más económico entregar carga desde A de forma mixta: por ferrocarril y luego por carretera.
Solución. El costo de entrega de 1 tonelada de carga a lo largo de la ruta AM es r n, donde r = AM, y a lo largo de la ruta AВМ, será igual a 1m + k + r n. Necesitamos resolver la doble desigualdad r n 1m + k + r n y determinar cómo se distribuyen los puntos en el plano (x, y), al cual es más barato entregar la mercadería por la primera o la segunda ruta.
Encontremos la ecuación de la línea que forma la frontera entre estas dos zonas, es decir, el lugar geométrico de los puntos para los que ambos caminos son "igualmente ventajosos":
r norte = 1 m + k + r norte
De esta condición, obtenemos r - r = = const.
Por tanto, la línea divisoria es una hipérbola. Para todos los puntos externos de esta hipérbola, el primer camino es más ventajoso, y para los puntos internos, el segundo. Por lo tanto, la hipérbola delimitará la zona de influencia de la estación B. La segunda rama de la hipérbola delineará la zona de influencia de la estación A (la carga se entrega desde la estación B). Encontremos los parámetros de nuestra hipérbola. Su eje mayor es 2a =, y la distancia entre los focos (que son las estaciones A y B) en este caso es 2c = l.
Así, la condición para la posibilidad de este problema, determinada por la relación a< с, будет
Este problema conecta el concepto geométrico abstracto de hipérbola con el problema económico y del transporte.
El lugar geométrico de puntos requerido es el conjunto de puntos que se encuentran dentro de la rama derecha de la hipérbola que contiene el punto B.
6. Sé " Maquinaria de agricultura»El ángulo de inclinación y balanceo son características de rendimiento importantes de un tractor en una pendiente que muestran su estabilidad.
Por simplicidad, consideraremos un tractor de ruedas. La superficie sobre la que está operando el tractor (al menos, una parte bastante pequeña) puede considerarse un plano (plano de movimiento). El eje longitudinal del tractor es la proyección de la línea recta que conecta el centro de los ejes delantero y trasero con el plano de movimiento. El ángulo de balanceo lateral es el ángulo formado con el plano horizontal de una línea recta perpendicular al eje longitudinal y que se encuentra en el plano de movimiento.
Al estudiar el tema "Líneas y planos en el espacio" en el curso de matemáticas, consideramos las siguientes tareas:
a) Encuentre el ángulo de inclinación longitudinal del tractor que se mueve a lo largo de la pendiente, si se conocen el ángulo de subida de la pendiente y el ángulo de desviación de la trayectoria del tractor con respecto a la dirección longitudinal.
b) El ángulo de inclinación máximo permisible de la pendiente sobre el cual el tractor puede pararse sin volcarse se denomina ángulo límite del balanceo lateral del tractor. Qué parámetros del tractor es suficiente conocer para determinar el ángulo límite de balanceo lateral; como encontrar esto
¿inyección?
7. La presencia de generatrices rectas se utiliza en equipos de construcción. El fundador de la aplicación práctica de este hecho es el famoso ingeniero ruso Vladimir Grigorievich Shukhov (1853-1939). V.G. Shukhov llevó a cabo la construcción de mástiles, torres y soportes, formados por vigas metálicas, ubicados a lo largo de generatrices rectilíneas. hiperboloide de revolución de una sola hoja. La alta resistencia de tales estructuras, combinada con ligereza, bajo costo de fabricación y elegancia, asegura su uso generalizado en la construcción moderna.
8. LEYES DEL MOVIMIENTO DE UN CUERPO SÓLIDO LIBRE
Para un cuerpo libre, todos los tipos de movimiento son igualmente posibles, pero esto no significa que el movimiento de un cuerpo libre sea desordenado, sin obedecer ninguna ley; por el contrario, el movimiento de traslación de un cuerpo rígido, independientemente de su forma externa, está restringido por la ley del centro de masa y se reduce al movimiento de un punto, y el movimiento de rotación es por los llamados ejes principales de inercia o elipsoide de inercia... Así, un palo arrojado al espacio libre, o un grano que sale volando de la clasificación, etc., se mueve traslacionalmente, como un punto (centro de masa), y al mismo tiempo gira alrededor del centro de masa. En general, en movimiento de traslación, cualquier cuerpo rígido, independientemente de su forma, o una máquina compleja puede ser reemplazado por un punto (centro de masa), y con movimiento de rotación, por un elipsoide de inercia. , cuyos vectores de radio son iguales a -, donde / es el momento de inercia de este cuerpo con respecto a los ejes que pasan por el centro del elipsoide.
Si el momento de inercia del cuerpo cambia por alguna razón durante la rotación, la velocidad de rotación cambiará en consecuencia. Por ejemplo, durante un salto sobre la cabeza, los acróbatas se comprimen en una pelota, lo que hace que el momento de inercia del cuerpo disminuya y la velocidad de rotación aumente, lo cual es necesario para el éxito del salto. De la misma forma, cuando las personas resbalan, estiran los brazos hacia los lados, lo que aumenta el momento de inercia y disminuye la velocidad de rotación. De la misma forma, el momento de inercia del rastrillo de la cosechadora sobre el eje vertical es variable durante su rotación sobre el eje horizontal.
Elipsoide- una superficie en un espacio tridimensional, obtenida por deformación de una esfera a lo largo de tres ejes mutuamente perpendiculares. La ecuación canónica de un elipsoide en coordenadas cartesianas coincidentes con los ejes de deformación del elipsoide :.
Las cantidades a, b, c se denominan semiejes del elipsoide. También llamado elipsoide es un cuerpo delimitado por la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es una de las posibles formas de superficie de segundo orden.
En el caso de que un par de semiejes tenga la misma longitud, se puede obtener un elipsoide girando la elipse alrededor de uno de sus ejes. Tal elipsoide se llama elipsoide de revolución o esferoide.
Un elipsoide refleja con mayor precisión que una esfera la superficie idealizada de la Tierra.
Volumen elipsoide:.
Área de superficie de un elipsoide de revolución:
Hiperboloide- este es el tipo de superficie de segundo orden en el espacio tridimensional, especificado en coordenadas cartesianas por la ecuación - (hiperboloide de una hoja), donde ayb son semiejes reales yc es un semieje imaginario; o - (hiperboloide de dos hojas), donde ayb son semiejes imaginarios yc es un semieje real.
Si a = b, entonces dicha superficie se llama hiperboloide de revolución. Se puede obtener un hiperboloide de revolución de una hoja girando una hipérbola alrededor de su eje imaginario y un hiperboloide de dos hojas alrededor de su eje real. Un hiperboloide de revolución de dos hojas es también el lugar geométrico de los puntos P, el módulo de la diferencia entre las distancias desde las cuales a dos puntos A y B dados es constante: | AP - BP | = const. En este caso, A y B se denominan focos del hiperboloide.
Un hiperboloide de una hoja es una superficie de dos rayas; si es un hiperboloide de revolución, entonces se puede obtener girando una línea recta alrededor de otra línea recta que se cruza con él.
Paraboloide- tipo de superficie de segundo orden. Un paraboloide se puede caracterizar como una superficie abierta de segundo orden no central (es decir, que no tiene centro de simetría).
Ecuaciones canónicas de un paraboloide en coordenadas cartesianas:
· Si ayb son del mismo signo, entonces el paraboloide se llama elíptico.
· Si ayb son de signos opuestos, entonces el paraboloide se llama hiperbólico.
· Si uno de los coeficientes es cero, entonces el paraboloide se llama cilindro parabólico.
ü - paraboloide elíptico, donde ayb son del mismo signo. La superficie está descrita por una familia de parábolas paralelas con ramas apuntando hacia arriba, cuyos vértices describen una parábola, con ramas también apuntando hacia arriba. Si a = b entonces el paraboloide elíptico es una superficie de revolución formada por la rotación de la parábola alrededor del eje vertical que pasa por el vértice de esta parábola.
ü - paraboloide hiperbólico.
Hay dos tipos de paraboloides: elípticos e hiperbólicos.
Paraboloide elíptico Se llama superficie que en un determinado sistema de coordenadas rectangulares cartesianas está determinada por la ecuación
Un paraboloide elíptico parece un cuenco convexo infinito. Tiene dos planos de simetría mutuamente perpendiculares. El punto en el que se alinea el origen se denomina vértice del paraboloide elíptico; los números pyq se denominan parámetros.
Un paraboloide hiperbólico es una superficie definida por la ecuación
Paraboloide hiperbólico tiene la forma de una silla de montar. Tiene dos planos de simetría mutuamente perpendiculares. El punto con el que se alinea el origen se denomina vértice del paraboloide hiperbólico; números R y q se llaman sus parámetros.
Ejercicio 8.4. Considere la construcción de un paraboloide hiperbólico de la forma
Sea necesario construir una parte de un paraboloide que se encuentre en los rangos: XÎ [–3; 3], aÎ [–2; 2] con un paso D = 0,5 para ambas variables.
Rendimiento... Primero, es necesario resolver la ecuación con respecto a la variable z. En el ejemplo
Introduzcamos los valores de la variable. NS en columna PERO... Para hacer esto, en la celda A1 ingrese el símbolo NS. En la celda A2 se ingresa el primer valor del argumento - el borde izquierdo del rango (–3). En la celda A3- el segundo valor del argumento es el borde izquierdo del rango más un paso de construcción (–2,5). Luego, seleccionando un bloque de celdas A2: AZ, por autocompletar obtenemos todos los valores del argumento (para la esquina inferior derecha del bloque extendemos a la celda A14).
Valores variables a entrar en la línea 1 ... Para hacer esto, en la celda EN 1 se ingresa el primer valor de la variable - el límite izquierdo del rango (–2). En la celda C1- el segundo valor de la variable es el borde izquierdo del rango más el paso de trazado (- 1,5). Luego, seleccionando un bloque de celdas B1: C1, por autocompletar obtenemos todos los valores del argumento (para la esquina inferior derecha del bloque extendemos a la celda J1).
A continuación, ingresamos los valores de la variable z. Para hacer esto, el cursor de la tabla debe colocarse en una celda A LAS 2 e ingrese la fórmula - = $ A2 ^ 2/18 -B $ 1 ^ 2/8, luego presione la tecla Ingresar... En una celda A LAS 2 aparece 0. Ahora necesitas copiar la función de la celda. A LAS 2... Para hacer esto, al autocompletar (arrastrando hacia la derecha) copie esta fórmula primero en el rango B2: J2, después de lo cual (tirando hacia abajo) - en el rango B2: J14.
Como resultado, en el rango B2: J14 aparece una tabla de puntos del paraboloide hiperbólico.
Para crear un gráfico en la barra de herramientas Estándar debes presionar el botón Asistente para gráficos... En el cuadro de diálogo que aparece Asistente para gráficos (paso 1 de 4): tipo de gráfico especificar el tipo de gráfico - Superficie, y la vista - Superficie de alambre (transparente)(diagrama superior derecho en la ventana derecha). Luego presione el botón Más lejos en el cuadro de diálogo.
En el cuadro de diálogo que aparece Asistente para gráficos (paso 2 de 4): fuente de datos los gráficos deben seleccionar la pestaña Abarcar datos y en el campo Abarcar especificar el intervalo de datos con el mouse B2: J14.
Además, es necesario indicar las filas de datos en las filas o columnas. Esto determinará la orientación de los ejes. NS y a. En el ejemplo, el interruptor Rangos en use el puntero del mouse para colocar las columnas.
Seleccione la pestaña Fila y en el campo Etiquetas del eje X indicamos el rango de firmas. Para hacer esto, active este campo haciendo clic en él con el puntero del mouse e ingrese el rango de etiquetas de eje NS -A2: A14.
Ingrese los valores de las etiquetas de los ejes a. Para hacer esto, en el área de trabajo. Hilera seleccione el primer registro Fila 1 y activando el campo de trabajo Nombre con el puntero del mouse, ingrese el primer valor de la variable y: –2. Luego en el campo Hilera seleccione el segundo registro Fila 2 y en el campo de trabajo Nombre ingrese el segundo valor de la variable y: -1,5. Repetimos así hasta la última entrada - Fila 9.
Después de que aparezcan las entradas requeridas, presione el botón Más lejos.
En la tercera ventana, debe ingresar el título del gráfico y los nombres de los ejes. Para hacer esto, seleccione la pestaña Encabezados haciendo clic en él con el puntero del ratón. Luego en el campo de trabajo Titulo del gráfico ingrese el nombre con el teclado: Paraboloide hiperbólico. Luego, de la misma forma, ingrese en los campos de trabajo Eje X (categorías),Eje Y (serie de datos) y Eje Z (valores) títulos relevantes: x, y y z.
