VIBRACIONES NO LINEALES
Fluctuaciones físicas sistemas descritos por sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias
dónde 
contiene términos de al menos segundo grado en componentes vectoriales - función vectorial de tiempo - parámetro pequeño (o y). Las posibles generalizaciones están relacionadas con la consideración de sistemas discontinuos, acciones con características discontinuas (por ejemplo, del tipo de histéresis), retardos y acciones aleatorias, ecuaciones integro-diferenciales y de operador diferencial, sistemas oscilatorios con parámetros distribuidos descritos por ecuaciones diferenciales parciales. , así como con el uso de métodos de control óptimo de sistemas oscilatorios no lineales. Las principales tareas generales de N. a .: Encontrar posiciones de equilibrio, modos estacionarios, en particular, periódicos. movimientos, auto-oscilaciones y el estudio de su estabilidad, problemas de sincronización y estabilización de N. a.
Todo fisico los sistemas son, estrictamente hablando, no lineales. Uno de los rasgos más característicos de N. a. Es una violación en ellos del principio de superposición de oscilaciones: el resultado de cada una de las influencias en presencia de la otra resulta ser diferente que en ausencia de otra influencia.
Sistemas cuasilineales - sistemas (1) en. El principal método de investigación es método de pequeño parámetro. En primer lugar, este es el método de Poincaré-Lindstedt para determinar el período. soluciones de sistemas cuasilineales que son analíticos con respecto a un parámetro por sus valores suficientemente pequeños, ya sea en forma de series en potencias (ver Capítulo IX), o en forma de series en potencias y 
- adiciones a los valores iniciales de los componentes del vector (ver Capítulo III). Para un mayor desarrollo de este método, consulte, por ejemplo, en -.
Otro de los métodos de pequeños parámetros es el método promediando. Al mismo tiempo, nuevos métodos también han penetrado en el estudio de los sistemas cuasilineales: asintóticos. métodos (ver,), el método de funciones K (ver), basado en los resultados fundamentales de A.M. Lyapunov - N.G. Chetaev, y otros.
Sistemas esencialmente no lineales, en los que no existe un pequeño parámetro preestablecido. Para sistemas Lyapunov
y entre los valores propios de la matriz no hay múltiplos de la raíz 
- analítico función vectorial NS, la descomposición de un enjambre comienza con términos de al menos segundo orden, y se lleva a cabo una analítica de una forma especial; A. M. Lyapunov (ver § 42) propuso un método para encontrar periódicos. soluciones en forma de una serie en potencias de una constante arbitraria c (para la cual se puede tomar el valor inicial de una de las dos variables críticas).
Para sistemas cercanos a los sistemas de Lyapunov,
donde tiene la misma forma que en (2) - analítico. vector-función de pequeño parámetro, continuo y -periódico en t, También propuso un método para determinar el periódico. soluciones (ver Capítulo VIII). Sistemas de tipo Lyapunov (2), en los que tiene 1 autovalores cero con divisores elementales simples, dos son autovalores puramente imaginarios y no tiene autovalores que sean múltiplos 
- al igual que en (2), puede reducirse a sistemas Lyapunov (véase IV.2). N. a. En los sistemas de Lyapunov y en el llamado. Sistemas de Lyapunov con amortiguación, y también resolvió el problema general de transferencia de energía en ellos (ver Cap. I, III, IV).
Sea lo esencialmente no lineal reducido a la forma de Jordan de su parte lineal
donde el vector, por supuesto, tiene al menos un componente distinto de cero; , son iguales a cero o uno, respectivamente, en ausencia o presencia de divisores elementales no simples de la matriz de la parte lineal, son los coeficientes; Los valores de un vector con componentes enteros amps es el siguiente:
Luego hay una transformación normalizadora:
que lleva (3) a la forma normal de ecuaciones diferenciales
y tal que si. Por lo tanto, (5) contiene solo, es decir, los coeficientes pueden ser distintos de cero solo para aquellos para los que se satisface la ecuación de resonancia
que juega un papel fundamental en la teoría de las oscilaciones. Se ha estudiado la convergencia y divergencia de la transformación normalizadora (4) (ver Parte I, Cap. II, III); se da el cálculo de los coeficientes (mediante su simetrización) (véase el § 5.3). En varios problemas de N. a sistemas autónomos esencialmente no lineales, el método de las formas normales ha demostrado ser eficaz (véase cap. VI-VIII).
De los otros métodos para estudiar sistemas esencialmente no lineales, se utiliza el método de mapeo de puntos (ver,), stroboskonich. método y funcional-analítico. métodos.
Métodos cualitativos de N. a. Inicial aquí son estudios de la forma de curvas integrales de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, llevados a cabo por A. Poincaré (ver N. Poincaré). Para aplicaciones de N. a problemas descritos por sistemas autónomos de segundo orden, ver. Se han estudiado las cuestiones de la existencia de publicaciones periódicas. soluciones y su estabilidad a lo grande para sistemas multidimensionales; Se consideran ecuaciones diferenciales casi periódicas. Aplicaciones de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias con un pequeño parámetro en ciertas derivadas a problemas de ecuaciones diferenciales de relajación, ver Vest.
Aspectos importantes de N. a. Y encendido. ver articulos Perturbación, teoría de la oscilación.
Iluminado.: Poincaré A., Fav. obras, per. del francés, t.1, M., 1971; Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E., Teoría de las oscilaciones, 2ª ed., Moscú, 1959; Bulgakov B.V., Oscilaciones, M., 1954; Malkin I.G., Algunos problemas de la teoría de oscilaciones no lineales, Moscú, 1956: Bogolyubov N.N., Izbr. obras, vol. 1, K., 1969; [b] Bogolyubov NN, Mitropol'skiy Yu. A., Métodos asintóticos en la teoría de oscilaciones no lineales, 4ª ed., Moscú, 1974; Kamenkov G.V., Fav. obras, v. 1-2, M., 1971-72; Lyapunov A.M., Sobr. cit., t.2, M. - L., 195V, pág. 7-263; Starzhinsky VM, Métodos aplicados de oscilaciones no lineales, M., 1977; Bryuno A.D., "Trudy Mosk. Matem. Ob-va", 1971, v. 25, pág. 119-262; 1972, vol. 26, pág. 199-239; Neimark Yu. I., Método de asignación de puntos en la teoría de oscilaciones no lineales, M., 1972; Minorsky N., Introducción a la mecánica no lineal, Ann Arbor, 1947; Krasnoselsky MA, Burd V. Sh., Kolesov Yu. S, Oscilaciones no lineales casi periódicas, M., 1970; A. Poincaré, Sobre curvas definidas por ecuaciones diferenciales, trad. del francés, M. -L., 1947; Butenin NV, Neimark Yu. I., Fufaev NA, Introducción a la teoría de oscilaciones no lineales, M., 1976; Plise V.A., Problemas no locales de la teoría de las oscilaciones, M. -L., 1964; Mishchenko E.F., Rozov N.Kh., Ecuaciones diferenciales con un pequeño parámetro y oscilaciones de relajación, Moscú, 1975.
V.M. Starzhinsky.
Enciclopedia de Matemáticas. - M.: Enciclopedia soviética... I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Vea qué son las "VIBRACIONES NO LINEALES" en otros diccionarios:
vibraciones no lineales- - [Ya.N. Luginsky, MS Fezi Zhilinskaya, Y.S.Kabirov. Diccionario Inglés Ruso de Ingeniería Eléctrica e Ingeniería de Energía, Moscú, 1999] Temas de ingeniería eléctrica, conceptos básicos EN oscilaciones no lineales ... Guía del traductor técnico
vibraciones no lineales- netiesiniai virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. oscilaciones no lineales; vibraciones no lineales vok. nichtlineare Schwingungen, f rus. oscilaciones no lineales, n pranc. oscilaciones no lineales, f… Fizikos terminų žodynas
Un término que a veces se utiliza para referirse a oscilaciones en sistemas no lineales (consulte Sistemas no lineales) ... Gran enciclopedia soviética
Oscilaciones no lineales Vibración no lineal Especialización ... Wikipedia
Procesos en agitación. y sistemas de ondas que no satisfacen el principio de superposición. Las vibraciones u ondas no lineales generalmente interactúan entre sí, y sus características (frecuencia, modo de vibración, velocidad de propagación, tipo de perfil ... ... Enciclopedia física
Los sistemas oscilatorios, sv va a rykh, dependen de los procesos que ocurren en ellos. Las oscilaciones de tales sistemas se describen mediante ecuaciones no lineales. Fenómenos no lineales: mecánica. sistemas donde los módulos de elasticidad de los cuerpos dependen de las deformaciones de estos últimos o coef. fricción ... ... Enciclopedia física
Los efectos no lineales pueden manifestarse de muchas formas diferentes. Un ejemplo clásico es un resorte no lineal en el que la fuerza de restauración no depende linealmente de la tensión. En el caso de no linealidad simétrica (la misma respuesta bajo compresión y tensión), la ecuación de movimiento toma la forma
Si no hay amortiguamiento y hay soluciones periódicas en las que a, la frecuencia natural aumenta con la amplitud.
Arroz. 1.7. La curva de resonancia clásica de un oscilador no lineal con un resorte rígido en el caso de que las oscilaciones sean periódicas y tengan el mismo período que la fuerza impulsora (ay se determinan en la ecuación (1.2.4)).
Este modelo a menudo se denomina ecuación de Duffing en honor al matemático que lo estudió.
Si una fuerza periódica actúa sobre el sistema, entonces en la teoría clásica se cree que la respuesta también será periódica. La resonancia de un resorte no lineal a una frecuencia de respuesta que coincide con la frecuencia de la fuerza se muestra en la Fig. 1.7. Como se muestra en esta figura, con una amplitud de fuerza impulsora constante, existe un rango de frecuencia impulsora en el que son posibles tres amplitudes de respuesta diferentes. Se puede mostrar que la línea discontinua en la Fig. 1.7 es inestable y la histéresis se produce cuando la frecuencia aumenta y disminuye. Este fenómeno se llama sobreimpulso y se ha observado en experimentos con muchos sistemas mecánicos y eléctricos.
Hay otras soluciones periódicas, como oscilaciones subarmónicas y superarmónicas. Si la fuerza impulsora tiene la forma, entonces las oscilaciones subarmónicas pueden tener la forma más los armónicos superiores (- entero). Como veremos a continuación, los subarmónicos juegan un papel importante en las oscilaciones precaóticas.
La teoría de la resonancia no lineal se basa en el supuesto de que una acción periódica produce una respuesta periódica. Sin embargo, es este postulado el que desafía la nueva teoría de las oscilaciones caóticas.
Las oscilaciones autoexcitadas son otra clase importante de fenómenos no lineales. Estos son movimientos oscilatorios que ocurren en sistemas sin influencias externas periódicas o fuerzas periódicas. En la Fig. 1.8 muestra algunos ejemplos.
Arroz. 1.8. Ejemplos de vibraciones autoexcitadas: a - fricción seca entre la masa y el bastidor en movimiento; b - fuerzas aeroelásticas que actúan sobre un ala delgada; c - resistencia negativa en un circuito con un elemento activo.
En el primer ejemplo, las vibraciones son causadas por la fricción creada por el movimiento relativo de la masa y la correa en movimiento. El segundo ejemplo ilustra toda una clase de vibraciones aeroelásticas en las que las vibraciones estacionarias son causadas por un flujo de fluido estacionario detrás de un cuerpo rígido sobre una suspensión elástica. En el ejemplo clásico del campo de la electricidad, que se muestra en la Fig. 1.9 e investigado por Van der Pol, se incluye un tubo electrónico en el circuito.
En todos estos ejemplos, el sistema contiene una fuente de energía estacionaria y una fuente de disipación, o un mecanismo de amortiguación no lineal. En el caso del oscilador Van der Pol, la fuente de energía es voltaje constante.
Arroz. 1.9. Diagrama de un circuito con un tubo de vacío, en el que se producen oscilaciones en el ciclo límite del mismo tipo que investigó Van der Pol.
La fuente de energía ingresa al modelo matemático de este circuito en forma de resistencia negativa:
La energía puede ingresar al sistema en pequeñas amplitudes, pero a medida que aumenta la amplitud, su crecimiento se ve limitado por la amortiguación no lineal.
En el caso del péndulo de Froude (ver, por ejemplo,), la energía es suministrada por una rotación estacionaria del eje. Para pequeñas vibraciones, la fricción no lineal juega el papel de amortiguación negativa; mientras tanto, para oscilaciones fuertes, la amplitud de oscilación está limitada por el término no lineal
Los movimientos oscilatorios de tales sistemas a menudo se denominan ciclos límite. En la Fig. 1.10 muestra las trayectorias del oscilador de van der Pol en el plano de fase. Las pequeñas oscilaciones se desenrollan en espiral, acercándose a una trayectoria asintótica cerrada, y los movimientos de gran amplitud se contraen en espiral hasta el mismo ciclo límite (véanse las Figuras 1.10 y 1.11, donde).
Al examinar estos problemas, a menudo surgen dos preguntas. ¿Cuál es la amplitud y frecuencia de las oscilaciones en el ciclo límite? ¿A qué valores de los parámetros hay ciclos límite estables?
Arroz. 1.10. La solución con un ciclo límite para el oscilador de Van der Pol, que se muestra en el plano de fase.
Arroz. 1,11. Oscilaciones de relajación del oscilador de Van der Pol.
En el caso de la ecuación de van der Pol, conviene normalizar la variable espacial ay el tiempo hasta, para que la ecuación adopte la forma
dónde . Para pequeños, el ciclo límite es un círculo de radio 2 en el plano de fase, es decir
donde a través denota los armónicos de tercer orden y superiores. En general, el movimiento toma la forma de oscilaciones de relajación que se muestran en la Fig. 1,11, con un período adimensional de aproximadamente 1,61 en
Más difícil es el problema con una fuerza periódica en el sistema de van der Pol:
Dado que este sistema no es lineal, el principio de superposición de oscilaciones libres y forzadas es inaplicable. En cambio, el movimiento periódico resultante se captura a la frecuencia de activación cuando esta última está cerca de la frecuencia del ciclo límite. Con una influencia externa débil, hay tres soluciones periódicas, pero solo una de ellas es estable (figura 1.12). Para valores grandes de amplitud de fuerza, solo hay una solución. En cualquier caso, con un aumento en la desafinación, en un fijo, la solución periódica capturada resulta inestable y se hacen posibles otros tipos de movimiento.
Arroz. 1.12. Curvas de amplitud para el movimiento forzado del oscilador de Van der Pol (1.2.9).
Con grandes diferencias entre las frecuencias de conducción y naturales, aparece un nuevo fenómeno en el sistema de Van der Pol: oscilaciones combinadas, a veces llamadas soluciones casi periódicas o cuasiperiódicas. Las oscilaciones Raman tienen la forma
Cuando las frecuencias y son inconmensurables, es decir, es un número irracional, la solución se llama cuasiperiódica. Para la ecuación de Van der Pol, donde es la frecuencia del ciclo límite de oscilaciones libres (ver, por ejemplo,).
VIBRACIONES NO LINEALES
La no linealidad de los procesos, incluidas las oscilaciones, se expresa matemáticamente en la no linealidad de las correspondientes ecuaciones de movimiento. Desde el punto de vista de la física, la no linealidad de las oscilaciones se caracteriza por dos propiedades completamente diferentes: anarmonicidad y no isocronismo. Debajo anarmonicidad comprender la presencia en el espectro de oscilaciones de frecuencias que son múltiplos de las principales, - Armónicos de Fourier, o matices. No isócrono Se denominan vibraciones, cuyas frecuencias (armónicos fundamentales y superiores) dependen de la amplitud o energía de las vibraciones.
Un ejemplo clásico de oscilaciones no lineales es la revolución de los planetas alrededor del Sol, un problema cuya solución comenzó la mecánica y la física modernas. Según la tercera ley de Kepler, la frecuencia de la revolución de los planetas alrededor del Sol está determinada por su energía total:
w = │ mi│ 3/2 .
En términos generales, el no isocronismo no está asociado con la anarmonicidad. Entonces, una partícula cargada que se mueve en una órbita circular en un campo magnético constante con una velocidad cercana a la velocidad de la luz realiza oscilaciones puramente armónicas, y la frecuencia de su revolución es inversamente proporcional a la energía.
OSCILADOR NO LINEAL
El oscilador lineal (en ausencia de amortiguación - armónico) es el modelo básico de la teoría lineal de oscilaciones. Su ecuación de movimiento (según la segunda ley de Newton):
dónde NS- el valor cuyas fluctuaciones describe el modelo (la amplitud del desplazamiento del péndulo, la corriente o tensión en el circuito oscilatorio, el tamaño de la población, etc.), - su "aceleración".
El oscilador no lineal es el modelo básico de la teoría no lineal de oscilaciones. Su ecuación de movimiento es:
dónde F(.NS) es una función no lineal que contiene al menos una no lineal (no de primer grado en NS) miembro. La energía total del sistema no depende del tiempo, es decir, el sistema conservador.
Las oscilaciones no isócronas se realizan, por ejemplo, por una partícula en un pozo de potencial plano, una caja con paredes infinitamente altas:
U (x)= 0 para - l/ 2<х< l/ 2; U (NS)= ¥ para NS£ - l/ 2, NS>l/ 2.
La partícula se mueve a una velocidad constante dentro de la caja, reflejada instantáneamente elásticamente en los límites. Su energía cinética E k =mv 2/2, es decir, velocidad V= Ö (2E a /metro) depende de la energía. El período de oscilación de una partícula se expresa mediante la fórmula
Puede verse en la fórmula (3) que el período de oscilaciones disminuye al aumentar la energía (para otros sistemas, puede aumentar).
Ley de conservación de energía mi oscilador (sistema conservador no lineal) tiene la forma
Una imagen cualitativa completa del movimiento de un oscilador no lineal viene dada por su retrato de fase. De la ley de conservación de la energía se puede deducir
LEONID ISAAKOVICH MANDELSHTAM
Incluso una lista incompleta de descubrimientos y trabajos fundamentales del académico Leonid Isaakovich Mandelstam (1879-1944) es sorprendente en su diversidad: dispersión de luz de fluctuación y Raman, teoría del microscopio, oscilaciones no lineales e ingeniería de radio, teoría de resonancia, radio geodesia, un nuevo tipo de generadores de ondas electromagnéticas - máquinas paramétricas. El rigor excepcional, por no decir doloroso, de LI Mandelstam a los resultados del trabajo no permitió incluir en esta lista una serie de otros descubrimientos no menos importantes, por ejemplo, el descubrimiento experimental en 1912 (varios años antes del clásico experimentos de Stuart y Tolman) inercia de electrones en metales.
Pero detrás de toda la impresionante variedad de logros y la amplitud de intereses en el trabajo científico de Mandelstam, el tema principal está claramente rastreado: la teoría de las oscilaciones. Habiéndose familiarizado por primera vez con esta área a través de la "Teoría del sonido" de dos volúmenes de Lord Rayleigh, Mandelstam se impregnó de la belleza de sus ideas y recurrió repetidamente a la "ayuda vibratoria", lo que le permitió encontrar analogías entre los resultados de diferentes ramas. de la física.
Mandelstam encarnó felizmente una rara combinación de teórico y experimentador, investigador y conferenciante. Dijo que hay una comprensión del primer tipo, cuando leen y entienden todo lo que está escrito, pueden deducir cualquier fórmula, pero aún no pueden responder de forma independiente a ninguna pregunta de lo que leen, y comprensión del segundo tipo, cuando la imagen completa, toda la conexión de ideas, fenómenos es clara ... Un pensador profundo y sutil, Mandelstam logró una comprensión del segundo tipo de física y compartió generosamente sus conocimientos con numerosos estudiantes (entre ellos A.A. Andronov, A.A. Witt, G.S. Gorelik, G. S. Landsberg, M. A. Leontovich, VV Migulin, SM Rytov, SP Strelkov, IE Tamm, SE Khaikin, SP Shubin y otros) y estudiantes.
Mandelstam nació en Mogilev en una familia que le dio al mundo científicos, médicos y escritores. Pronto la familia se mudó a Odessa. Hasta los 12 años, el niño estudió en casa, luego en el gimnasio, del cual se graduó con una medalla de oro. En 1897 ingresó en el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de Novorossiysk (en Odessa). Dos años después, debido a los disturbios estudiantiles, el joven fue expulsado de la universidad. Siguiendo el consejo de sus padres, Mandelstam se fue a Estrasburgo, uno de los centros de investigación física, donde continuó su educación. La Universidad de Estrasburgo enseñó entonces al matemático Heinrich Weber (alumno de Riemann y autor del curso clásico "Ecuaciones diferenciales de la física matemática"), al físico Ferdinand Braun (al mismo tiempo director del Instituto de Física), el Departamento de Física Teórica estuvo dirigido por Emil Cohn ( autor de la famosa obra "Campo electromagnético").
Ministerio de Educación de la República de Bielorrusia
Institución educativa
La Universidad Estatal de Brest lleva el nombre de A.S. Pushkin
Facultad de fisica
Departamento de Métodos de Enseñanza de la Física y OTD
TRABAJO DEL CURSO
VIBRACIONES NO LINEALES Y SINCRONIZACIÓN DE VIBRACIONES
Completado por un alumno del grupo FI-51
Pashkevich A.Ya.
Supervisor:
Doctor. D., profesor asociado Vorsin N.N.
Brest, 2012
Introducción
1.1 Vibraciones lineales en presencia de una fuerza externa determinista
2. Vibraciones libres de sistemas conservadores con fuerzas restauradoras no lineales
2.1 Oscilaciones no lineales libres de sistemas con amortiguamiento y fuerza de restauración no lineal
2.2 Diferentes tipos de funciones 0
3. Oscilaciones continuas y de relajación
3.1 Análisis cualitativo de la ecuación de van der Pol
3.2 Oscilaciones no lineales acopladas, receptor regenerativo de fase bloqueada y principio de sincronización
3.3 Ecuaciones básicas
3.4 Oscilaciones en grandes desafinaciones
3.5 Oscilaciones combinadas de amplitud constante
3.6 Problemas eléctricos que conducen a la ecuación de Hill
Conclusión
Bibliografía
Introducción
No hay nada de sorprendente en el hecho de que un físico pueda encontrar una solución a problemas no lineales, ya que muchos de los fenómenos que ocurren en el mundo que lo rodea están regidos por dependencias no lineales. En el proceso de desarrollo de las ciencias matemáticas, las dificultades del análisis no lineal impidieron la formulación de conceptos de movimientos no lineales, lo que permitiría una comprensión más profunda de tales fenómenos.
Si se mira hacia atrás en la historia de los logros de la ciencia, llama la atención que los principales esfuerzos de los investigadores se centraran únicamente en el estudio de los sistemas lineales y en los conceptos lineales. Si al mismo tiempo echa un vistazo al mundo que nos rodea, literalmente a cada paso se encuentra con fenómenos que no son de naturaleza lineal. Las representaciones lineales proporcionan solo una comprensión superficial de gran parte de lo que ocurre en la naturaleza. Para que el análisis sea más realista, es necesario lograr un nivel superior y una mayor facilidad de comprensión y uso de representaciones no lineales.
En los últimos años se han desarrollado métodos de análisis informático, y en muchos casos se creyó que las soluciones obtenidas podrían proporcionar una mejor comprensión de las manifestaciones de la no linealidad. En términos generales, se encontró que una simple enumeración de soluciones numéricas conduce solo a una comprensión ligeramente mayor de los procesos no lineales que, por ejemplo, la observación de la naturaleza misma, "moliendo" soluciones a un problema no lineal tan específico como el clima. Parece que nuestra comprensión no se basa en ecuaciones o sus soluciones, sino en conceptos fundamentales y bien aprendidos. Por lo general, entendemos el entorno solo cuando podemos describirlo en términos de conceptos que son tan simples que pueden asimilarse bien, y tan amplios que podemos operar con ellos sin referirnos a una situación específica. La lista de tales conceptos es extensa e incluye, por ejemplo, términos como resonancia, histéresis, ondas, retroalimentación, capas límite, turbulencia, ondas de choque, deformación, frentes meteorológicos, inmunidad, inflación, depresión, etc. La mayoría de los más útiles Los procesos son de naturaleza no lineal, y nuestra incapacidad para describir en términos matemáticos precisos fenómenos cotidianos como el flujo de agua en una alcantarilla o el remolino de humo de un cigarrillo se debe en parte al hecho de que antes no queríamos sumergirnos en matemáticas no lineales. y entenderlo.
El fenómeno de la resonancia, como saben, se encuentra a menudo en la materia viva. Siguiendo a Wiener, Szent-Gyorgyi sugirió la importancia de la resonancia para la construcción muscular. Resulta que las sustancias con fuertes propiedades resonantes suelen tener una capacidad excepcional para almacenar tanto energía como información, y esta acumulación sin duda tiene lugar en el músculo.
Las oscilaciones no lineales, las oscilaciones no lineales aleatorias y las oscilaciones no lineales acopladas (bloqueadas en fase) son la esencia misma de los fenómenos en muchos campos de la ciencia y la tecnología, por ejemplo, las comunicaciones y la energía; Los procesos rítmicos tienen lugar en sistemas biológicos y fisiológicos. Biofísico, meteorólogo, geofísico, físico atómico, sismólogo: todos se ocupan de oscilaciones no lineales, a menudo de una forma u otra, sincronizadas en fase. Por ejemplo, un ingeniero energético se ocupa del problema de la estabilidad de las máquinas síncronas, un ingeniero de comunicaciones se ocupa de la inestabilidad del tiempo o la sincronización, un fisiólogo se ocupa del clonus, un neuropatólogo se ocupa de la ataxia, un meteorólogo se ocupa de la frecuencia de las fluctuaciones de la presión atmosférica , un cardiólogo se ocupa de las oscilaciones causadas por el trabajo del corazón, un biólogo. - con las fluctuaciones debidas al curso del reloj biológico.
El objetivo principal de la tesis es considerar una serie de problemas en la teoría de oscilaciones no lineales asociados con conceptos fundamentales como captura (o sincronización), seguimiento, demodulación, sistemas de comunicación de coherencia de fase. Se intentará dar una visión general de los problemas no lineales de interés práctico, cuyas soluciones están escritas de forma accesible. La revisión no es exhaustiva, pero incluye ejemplos de problemas que ilustran los conceptos básicos necesarios para comprender las propiedades no lineales de los sistemas de bloqueo de fase. La cuestión de la existencia y unicidad de las soluciones se aborda sólo superficialmente; la atención se centra en los métodos para obtener soluciones.
El material revisado se puede agrupar en tres temas principales. El primer tema incluye la presentación de los resultados de la teoría de oscilaciones lineales en sistemas con un grado de libertad y parámetros constantes. Este material se utiliza como referencia y para la comparación con los resultados obtenidos de la teoría de oscilaciones no lineales. El segundo tema está dedicado a los sistemas no lineales fácilmente integrables sobre los que no actúan fuerzas externas dependientes del tiempo. Aquí, mediante el aparato del plano de fase, se estudian en detalle las oscilaciones libres de sistemas no lineales. Se da una breve presentación de la teoría de Poincaré de puntos singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden. La utilidad del concepto de punto singular se ilustra resolviendo una serie de problemas físicos. Finalmente, el tercer tema cubre oscilaciones no lineales forzadas, autosostenidas (autosostenidas) y de relajación. En particular, se discutirá la aplicación de la teoría de van der Pol a los problemas de sincronización y seguimiento, y el capítulo se completará considerando la ecuación de Hill.
1. Vibraciones libres en sistemas lineales
Parece valioso e interesante resumir las principales características de las vibraciones lineales. Hay varias razones para hacer esto aquí. Una de nuestras tareas fundamentales es comparar métodos lineales y no lineales para estudiar oscilaciones. Además, la práctica se ha desarrollado para aplicar, en la medida de lo posible, la terminología utilizada en problemas lineales y en los no lineales. Finalmente, es útil tener un resumen de las ideas y fórmulas básicas de la teoría lineal para facilitar la referencia.
Quizás el ejemplo más simple de un problema de oscilación lineal lo proporciona un circuito eléctrico simple que consta de una inductancia conectada en serie con un condensador y una resistencia (Fig. 1). El análogo mecánico que se muestra en la Fig. 1, consiste en un cuerpo con una masa unida a un resorte que desarrolla una fuerza (llamada fuerza restauradora) proporcional al desplazamiento del cuerpo. Para este sistema eléctrico, usando la ley de Kirchhoff, tenemos
Si asumimos que un cuerpo en un sistema mecánico se mueve en un medio que ejerce una resistencia proporcional a la velocidad (fricción viscosa), entonces la ecuación de movimiento para las oscilaciones del sistema mecánico está dada por la relación
Por analogía, tenemos eso; ; y, además, la corriente es análoga al sesgo.
Arroz. 1.Sistemas eléctricos y mecánicos lineales
Asumiendo hasta ahora que la fuerza externa e introduciendo la notación
reducir (1.2) a la forma
Dado que, las vibraciones determinadas por esta ecuación lineal homogénea se denominan vibraciones lineales libres. La solución general de una ecuación lineal con coeficientes constantes es una combinación lineal de dos funciones exponenciales:
donde y son constantes arbitrarias que están determinadas por las condiciones iniciales, ay son las raíces de la ecuación característica
Así, y están dadas por las relaciones
Si queremos representar la solución (1.5) en forma real, consideraremos tres casos en los que la cantidad es: a) real, b) cero, c) imaginaria. Es fácil demostrar que las soluciones toman la forma
donde y son reales; y - constantes arbitrarias, que se determinan especificando los valores del desplazamiento (corriente) y la velocidad en un determinado momento inicial.
La ecuación (1.8 - a) aparece en la práctica con mayor frecuencia. Como es fácil de ver en (1.3), este caso ocurre si el coeficiente de amortiguación es pequeño en comparación con. La ecuación (1.8 - a) en este caso describe un movimiento oscilatorio tal que cada dos máximos y desplazamientos sucesivos satisfacen la relación
De ninguna manera para las oscilaciones, la fuerza de restauración es proporcional a la desviación (es decir, cambia de acuerdo con la ley (- kx)). Considere, por ejemplo, el resorte que se muestra en la figura 2.74. Consta de varios platos. Con pequeñas deformaciones, solo las placas largas se doblan. Bajo cargas elevadas, las placas más cortas (y más rígidas) también están sujetas a flexión. La fuerza restauradora ahora se puede describir de la siguiente manera:
el modo activo entra en aperiódico, cuando las vibraciones desaparecen y el cuerpo se acerca lentamente a la posición de equilibrio (Fig. 2.72, antes de Cristo).
Ingrese en lugar de la línea donde se colocan los puntos (t, x), la línea donde se colocarán los puntos ( x, v) y obtenga retratos de fase de oscilaciones amortiguadas con diferentes fricciones. También puede utilizar uno de los programas prefabricados. Phaspdem * o Phport * de los disponibles en el paquete PAKPRO. Deben obtenerse diagramas del tipo que se muestra en la Figura 2.73.
Para que vuelva, es decir. F y NS siempre tuvo diferentes signos, debería expandirse en una serie de poderes extraños NS. Dado que la energía potencial U está relacionado con la fuerza por la fórmula F = - dU / dx, esto significa que
es decir, las oscilaciones ocurren en un pozo potencial con paredes más empinadas que las de una parábola (figura 2.75, a). La fricción de las placas entre sí proporciona la amortiguación necesaria para amortiguar las vibraciones.
Las oscilaciones también son posibles en un pozo asimétrico, cuando
(Figura 2.75, b). La fuerza de restauración en este caso será igual a
Al resolver problemas de oscilaciones no lineales, el uso de una computadora es inevitable, ya que no existen soluciones analíticas. En una computadora, la solución no es nada difícil. Solo se necesita en la línea donde se realiza la acumulación de velocidad. (v = v + F en / m), escribe completamente una expresión para F, por ejemplo -kx- gx 2 - px 3.
Ejemplo. El programa para dibujar un gráfico de oscilaciones no lineales se da en el paquete PAKPRO con el nombre Nlkol. Ponlo en marcha. Debería obtener una serie de curvas para diferentes desviaciones iniciales. Cuando x 0 es mayor que un cierto valor, la partícula oscilante abandona el pozo de potencial, rompiendo la barrera del potencial.
Prueba también los programas Nlcol * y Nlosc. *, disponibles en el paquete PAKPRO, así como programas con los que se pueden obtener retratos de fase de oscilaciones no lineales: Phaspnl. *, Phportnl *.
Tenga en cuenta que, estrictamente hablando, casi todas las oscilaciones no son lineales. Solo en amplitudes bajas pueden considerarse lineales (ignore los términos con x 2, x 3, etc. en fórmulas como (2.117)).
Deje que una fuerza externa actúe sobre el oscilador, además de la fuerza restauradora que proporciona oscilaciones naturales con una frecuencia de C0o, y cambia periódicamente con una frecuencia ω igual o no igual a (Oo. Esta fuerza hará oscilar el cuerpo con una frecuencia ω . forzado.
La ecuación de movimiento en este caso será la siguiente:
Inicialmente, tiene lugar el proceso de establecimiento de oscilaciones. Desde el primer choque, el cuerpo comienza a oscilar con una frecuencia natural de 0. Luego, gradualmente, las oscilaciones naturales se atenúan y la fuerza de fuerza comienza a controlar el proceso. Las oscilaciones forzadas ya no se establecen con la frecuencia (Oo, sino con la frecuencia de la fuerza impulsora c. El proceso transitorio es muy complicado, no hay solución analítica. Al resolver el problema por el método numérico, el programa ya no será complicado que, digamos, un programa para oscilaciones amortiguadas.line, donde de acuerdo con la ecuación de movimiento, la velocidad aumenta, agregue la fuerza de forzamiento en la forma FobiH = Focos (cot).
Ejemplo. El paquete PACG1RO contiene un ejemplo de un programa para obtener un gráfico de oscilaciones forzadas en una pantalla de computadora. Ver también programas Ustvcol.pas y UstvcoW.pas. La gráfica x (?) Resultante y el diagrama de fase v (x) se muestran en la Figura 2.76. Con una selección exitosa de los parámetros, se ve claramente cómo se establecen gradualmente las oscilaciones forzadas. También es interesante observar el establecimiento de oscilaciones forzadas en el diagrama de fase (programa Phpforc.pas).
Cuando ya se han establecido oscilaciones con frecuencia ω, se puede encontrar la solución de la ecuación (2.118) en la forma
Aquí Jo es la amplitud de las oscilaciones de estado estable. Si sustituimos (2.119) por (2.118), encontrando las derivadas preliminares en el tiempo NS " y NS " y considerando que Para= coo 2 mn, entonces resulta que (2.119) será una solución a la ecuación (2.118) siempre que
No se tuvo en cuenta la fricción, el coeficiente a se asumió que era cero. Puede verse que la amplitud de las oscilaciones aumenta bruscamente a medida que co se acerca a Cio (figura 2.77). Este fenómeno se llama resonancia.
Si realmente no hubiera fricción, la amplitud en ω = (Oo sería infinitamente grande. En realidad, esto no sucede. La misma figura 2.77 muestra cómo cambia la curva de resonancia al aumentar la fricción. Decenas y cientos de veces más que con FСОо. En tecnología, este fenómeno es peligroso, ya que las vibraciones forzadas del motor pueden resonar con la frecuencia natural de cualquier parte de la máquina y puede destruirse.
