Ecuaciones de equilibrio básicas para un sistema espacial arbitrario de fuerzas. Equilibrio de un sistema espacial arbitrario de fuerzas

OR= 0 y METRO R x = R y = R z = 0 y METRO x = METRO y = METRO

Condiciones de equilibrio para un sistema espacial arbitrario de fuerzas.

Un sistema espacial arbitrario de fuerzas, como uno plano, puede reducirse a algún centro O y reemplace con una fuerza resultante y un par con momento. Argumentando que para el equilibrio de este sistema de fuerzas es necesario y suficiente que al mismo tiempo haya R= 0 y METRO o = 0. Pero los vectores pueden desaparecer solo cuando todas sus proyecciones en los ejes de coordenadas son iguales a cero, es decir, cuando R x = R y = R z = 0 y METRO x = METRO y = METRO z = 0 o, cuando las fuerzas actuantes satisfacen las condiciones

Así, para el equilibrio de un sistema espacial arbitrario de fuerzas, es necesario y suficiente que las sumas de las proyecciones de todas las fuerzas en cada uno de los tres ejes coordenados y la suma de sus momentos alrededor de estos ejes sean iguales a cero.

Principios de resolución de problemas sobre el equilibrio de un cuerpo bajo la influencia de un sistema espacial de fuerzas.

El principio para resolver los problemas de esta sección sigue siendo el mismo que para un sistema plano de fuerzas. Habiendo establecido el equilibrio de qué cuerpo será considerado, reemplazan las limitaciones impuestas al cuerpo por sus reacciones y forman las condiciones de equilibrio para este cuerpo, considerándolo libre. Los valores deseados se determinan a partir de las ecuaciones obtenidas.

Para obtener sistemas de ecuaciones más simples, se recomienda que los ejes se dibujen de manera que intersequen fuerzas más desconocidas o sean perpendiculares a ellas (a menos que esto complique innecesariamente el cálculo de proyecciones y momentos de otras fuerzas).

Un nuevo elemento en la formulación de ecuaciones es el cálculo de los momentos de fuerzas alrededor de los ejes coordenados.

En los casos en que sea difícil ver en el dibujo general cuál es el momento de una fuerza dada sobre cualquier eje, se recomienda representar en el dibujo auxiliar la proyección del cuerpo en cuestión (junto con la fuerza) sobre un plano perpendicular. a este eje.

En los casos en que, al calcular el momento, surjan dificultades para determinar la proyección de la fuerza sobre el plano correspondiente o el hombro de esta proyección, se recomienda descomponer la fuerza en dos componentes mutuamente perpendiculares (de los cuales uno es paralelo a alguna coordenada eje), y luego use el teorema de Varignon.

Ejemplo 5.

Cuadro AB(fig.45) mantenido en equilibrio por la bisagra A y vara sol... Hay una carga en el borde del marco. R... Determine la reacción de la bisagra y la fuerza en la varilla.

Figura 45

Considere el equilibrio del marco junto con la carga.

Construimos un esquema de diseño, representando el marco como un cuerpo libre y mostrando todas las fuerzas que actúan sobre él: las reacciones de los enlaces y el peso de la carga. R... Estas fuerzas forman un sistema de fuerzas ubicadas arbitrariamente en un plano.

Es aconsejable elaborar estas ecuaciones para que cada una tenga una fuerza desconocida.

En nuestra tarea, este es el punto A, donde se adjuntan incógnitas y; punto CON donde las líneas de acción de fuerzas desconocidas y se cruzan; punto D- el punto de intersección de las líneas de acción de las fuerzas y. Compongamos la ecuación de las proyecciones de fuerzas sobre el eje. a(por eje NS es imposible de diseñar, porque es perpendicular a una línea recta COMO).

Y, antes de componer las ecuaciones, haremos una observación más útil. Si el diagrama de diseño tiene una fuerza ubicada de modo que su hombro no sea fácil de encontrar, entonces al determinar el momento, se recomienda descomponer primero el vector de esta fuerza en dos, más convenientemente dirigidos. En este problema, descomponemos la fuerza en dos: y (Fig.37) de manera que sus módulos

Componemos las ecuaciones:

De la segunda ecuación encontramos ... Desde el tercero Y desde el primero

Entonces, ¿cómo sucedió? S<0, то стержень sol se comprimirá.

Se consideran métodos para resolver problemas de equilibrio con un sistema espacial arbitrario de fuerzas. Se da un ejemplo de resolución del problema de equilibrio de una placa sostenida por varillas en un espacio tridimensional. Se muestra cómo se puede simplificar la solución del problema eligiendo los ejes al componer las ecuaciones de equilibrio.

Contenido

Procedimiento para resolver problemas de equilibrio con un sistema espacial arbitrario de fuerzas

Para resolver el problema de equilibrio de un cuerpo rígido con un sistema espacial arbitrario de fuerzas, es necesario elegir un sistema de coordenadas rectangular y, en relación con él, componer las ecuaciones de equilibrio.

Las ecuaciones de equilibrio para un sistema arbitrario de fuerzas distribuidas en un espacio tridimensional son dos ecuaciones vectoriales:
la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero
(1) ;
la suma vectorial de los momentos de las fuerzas, relativa al origen, es igual a cero
(2) .

Deje que Oxyz sea nuestro sistema de coordenadas elegido. Al diseñar las ecuaciones (1) y (2) en el eje de este sistema, obtenemos seis ecuaciones:
las sumas de las proyecciones de fuerzas en el eje xyz son iguales a cero
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
las sumas de los momentos de las fuerzas sobre los ejes de coordenadas son iguales a cero
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Aquí consideramos que sobre el cuerpo actúan n fuerzas, incluidas las fuerzas de reacción de los soportes.

Supongamos que se aplica una fuerza arbitraria, con componentes, al cuerpo en un punto. Entonces, los momentos de esta fuerza en relación con los ejes de coordenadas están determinados por las fórmulas:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Por tanto, el orden de resolución del problema del equilibrio con un sistema espacial arbitrario de fuerzas es el siguiente.

1. Descartamos los soportes y los reemplazamos por fuerzas de reacción. Si el soporte es una varilla o un hilo, entonces la fuerza de reacción se dirige a lo largo de la varilla o el hilo.
2. Elegimos un sistema de coordenadas rectangular Oxyz.
3. Encontramos las proyecciones de los vectores de fuerza sobre los ejes de coordenadas ,, y los puntos de su aplicación ,. El punto de aplicación de la fuerza se puede mover a lo largo de una línea recta trazada a través del vector de fuerza. A partir de tal movimiento, los valores de los momentos no cambiarán. Por lo tanto, elegimos los puntos de aplicación de fuerzas que son más convenientes para el cálculo.
4. Componemos tres ecuaciones de equilibrio para las fuerzas (1.x, y, z).
5. Para cada fuerza, de acuerdo con las fórmulas (3.x, y, z), encontramos la proyección de los momentos de la fuerza sobre el eje de coordenadas.
6. Componemos tres ecuaciones de equilibrio para los momentos de fuerzas (2.x, y, z).
7. Si el número de variables es mayor que el número de ecuaciones, entonces el problema es estáticamente indeterminado. No se puede resolver con métodos estáticos. Es necesario utilizar métodos de resistencia de materiales.
8. Resolvemos las ecuaciones resultantes.

Simplificación de cálculos

En algunos casos, es posible simplificar los cálculos si, en lugar de la ecuación (2), se usa una condición de equilibrio equivalente.
La suma de los momentos de fuerzas alrededor de un eje arbitrario AA ′ es igual a cero:
(4) .

Es decir, puede seleccionar varios ejes adicionales que no coincidan con los ejes de coordenadas. Y con respecto a estos ejes compongamos las ecuaciones (4).

Un ejemplo de resolución de un problema de equilibrio para un sistema espacial arbitrario de fuerzas

El equilibrio de la losa, en un espacio tridimensional, está sostenido por un sistema de varillas.

Encuentre las reacciones de las varillas que sostienen una losa horizontal uniforme delgada en un espacio tridimensional. El sistema de sujeción de varillas se muestra en la figura. La placa se ve afectada por: gravedad G; y una fuerza P aplicada en el punto A a lo largo del lado AB.

Dado:
G = 28 kN; P = 35 kN; a = 7.5 metros; b = 6,0 m; c = 3,5 m.

La solucion del problema

Primero, resolveremos este problema de una manera estándar aplicable a un sistema espacial arbitrario de fuerzas. Y luego obtenemos una solución más simple, basada en la geometría específica del sistema, eligiendo los ejes al diseñar las ecuaciones de equilibrio.

Resolver el problema de forma estándar

Aunque este método nos llevará a cálculos bastante engorrosos, es aplicable a un sistema espacial arbitrario de fuerzas y se puede utilizar en cálculos informáticos.

Descartemos las conexiones y reemplácelas con fuerzas de reacción. Los enlaces aquí son las barras 1-6. En lugar de ellos, introducimos fuerzas dirigidas a lo largo de las varillas. Elegimos las direcciones de las fuerzas al azar. Si no adivinamos con la dirección de ninguna fuerza, obtenemos un valor negativo.

Dibujamos el sistema de coordenadas Oxyz con el origen en el punto O.

Encontramos la proyección de fuerzas sobre el eje de coordenadas.

Para la fuerza tenemos:
.
Aquí α 1 es el ángulo entre LQ y BQ. Desde el triángulo rectángulo LQB:
metro;
;
.

Fuerzas, y son paralelas al eje z. Sus componentes:
;
;
.

Para la fuerza encontramos:
.
Aquí α 3 es el ángulo entre QT y DT. Desde el triángulo rectángulo QTD:
metro;
;
.

Para fuerza:
.
Aquí α 5 es el ángulo entre LO y LA. Desde el triángulo rectángulo LOA:
metro;
;
.

La fuerza se dirige a lo largo de la diagonal del paralelepípedo rectangular. Tiene las siguientes proyecciones en los ejes de coordenadas:
.
Aquí están los cosenos de dirección de la diagonal AQ:
metro;
;
;
.

Seleccionamos los puntos de aplicación de fuerzas. Aprovechemos el hecho de que se pueden mover a lo largo de las líneas trazadas a través de los vectores de fuerza. Entonces, como punto de aplicación de la fuerza, puede tomar cualquier punto de la línea TD. Tome el punto T, ya que para él las coordenadas xyz son iguales a cero:
.
De manera similar, seleccionamos los puntos de aplicación de las fuerzas restantes.

Como resultado, obtenemos los siguientes valores de las componentes de las fuerzas y los puntos de su aplicación:
; (punto B);
; (punto Q);
; (punto T);
; (punto o);
; (punto A);
; (punto A);
; (punto A);
; (punto K).

Componemos las ecuaciones de equilibrio para las fuerzas. Las sumas de las proyecciones de fuerzas sobre los ejes de coordenadas son iguales a cero.

;

;

.

Encontramos las proyecciones de los momentos de fuerzas sobre el eje de coordenadas.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Componemos las ecuaciones de equilibrio para los momentos de fuerzas. Las sumas de los momentos de las fuerzas alrededor de los ejes de coordenadas son iguales a cero.


;


;


;

Entonces, obtuvimos el siguiente sistema de ecuaciones:
(W1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(W4) ;
(P5) ;
(P6) .

Este sistema tiene seis ecuaciones y seis incógnitas. Además, los valores numéricos se pueden sustituir aquí y se puede obtener una solución al sistema utilizando un programa matemático para calcular un sistema de ecuaciones lineales.

Pero, para esta tarea, puede obtener una solución sin utilizar tecnología informática.

Una forma eficaz de resolver el problema.

Aprovecharemos que las ecuaciones de equilibrio se pueden componer de más de una forma. Puede seleccionar libremente el sistema de coordenadas y los ejes relativos a los que se calculan los momentos. A veces, al elegir los ejes, puede obtener ecuaciones que son más fáciles de resolver.

Aprovechemos el hecho de que, en equilibrio, la suma de los momentos de fuerzas alrededor de cualquier eje es cero... Tome el eje AD. La suma de los momentos de las fuerzas alrededor de este eje es igual a cero:
(W7) .
Además, tenga en cuenta que todas las fuerzas excepto cruzan este eje. Por tanto, sus momentos son iguales a cero. Solo una fuerza no cruza el eje AD. Tampoco es paralelo a este eje. Por lo tanto, para que la ecuación (A7) se mantenga, la fuerza N 1 debe ser cero:
norte 1 = 0 .

Ahora tomemos el eje AQ. La suma de los momentos de las fuerzas relativas a él es igual a cero:
(P8) .
Este eje es atravesado por todas las fuerzas excepto. Dado que la fuerza no es paralela a este eje, entonces para el cumplimiento de la ecuación (A8) es necesario que
norte 3 = 0 .

Ahora tomemos el eje AB. La suma de los momentos de las fuerzas relativas a él es igual a cero:
(P9) .
Este eje está atravesado por todas las fuerzas excepto, y. Pero N 3 = 0 ... Es por eso
.
El momento de la fuerza con respecto al eje es igual al producto del brazo de la fuerza por el valor de la proyección de la fuerza en el plano perpendicular al eje. El hombro es igual a la distancia mínima entre el eje y la línea recta trazada a través del vector de fuerza. Si la torsión está en la dirección positiva, entonces el par es positivo. Si es negativo, entonces negativo. Luego
.
De aquí
kN.

El resto de las fuerzas se encuentran a partir de las ecuaciones (A1), (A2) y (A3). De la ecuación (A2):
norte 6 = 0 .
De las ecuaciones (A1) y (A3):
kN;
kN

Así, resolviendo el problema de la segunda forma, usamos las siguientes ecuaciones de equilibrio:
;
;
;
;
;
.
Como resultado, evitamos cálculos engorrosos asociados con el cálculo de los momentos de fuerzas en relación con los ejes de coordenadas y obtuvimos un sistema lineal de ecuaciones con una matriz diagonal de coeficientes, que se resolvió de inmediato.

norte 1 = 0 ; norte 2 = 14,0 kN; norte 3 = 0 ; norte 4 = -2,3 kN; norte 5 = 38,6 kN; norte 6 = 0 ;

El signo menos indica que la fuerza N 4 dirigido en la dirección opuesta a la que se muestra en la figura.

Teorema. Para el equilibrio del sistema espacial de fuerzas, es necesario y suficiente que el vector principal y el momento principal de este sistema sean iguales a cero. Adecuación: cuando F o = 0, el sistema de fuerzas convergentes aplicado en el centro de reducción O es equivalente a cero, y cuando Mo = 0, el sistema de pares de fuerzas es equivalente a cero. Por tanto, el sistema de fuerzas original es equivalente a cero. Necesitar: Sea el sistema de fuerzas dado equivalente a cero. Llevando el sistema a dos fuerzas, observamos que el sistema de fuerzas Q y P (Fig. 4.4) debe ser equivalente a cero, por lo tanto, estas dos fuerzas deben tener una línea de acción común y la igualdad Q = –Р debe cumplirse . Pero esto puede ser si la línea de acción de la fuerza P pasa por el punto O, es decir, si h = 0. Esto significa que el momento principal es cero (M o = 0). Porque Q + P = 0, a Q = F o + P ", luego F o + P" + P = 0, y, por tanto, F o = 0. Las condiciones necesarias y suficientes son iguales al sistema espacial de fuerzas del que son la forma: F o = 0, M o = 0 (4.15),

o, en proyecciones sobre los ejes de coordenadas, Fox = åF kx = F 1x + F 2x +… + F nx = 0; F Oy = åF ky = F 1y + F 2y + ... + F ny = 0; F oz = åF kz = F 1z + F 2z +… + F nz = 0 (4.16). M Ox = åM Ox (F k) = M Ox (F 1) + M ox (F 2) + ... + M Ox (F n) = 0, M Oy = åM Oy (F k) = M oy ( F 1) + M oy (F 2) +… + M oy (F n) = 0, M oz = åM O z (F k) = MO z (F 1) + M oz (F 2) + ... + M oz (F n) = 0. (4,17)

Ese. al resolver problemas, teniendo 6 niveles, puedes encontrar 6 incógnitas. Nota: un par de fuerzas no se puede reducir a una resultante. Casos especiales: 1) Equilibrio del sistema espacial de fuerzas paralelas. Sea el eje Z paralelo a las líneas de acción de la fuerza (figura 4.6), entonces las proyecciones de fuerzas sobre xey son 0 (F kx = 0 y F ky = 0), y solo queda F oz. En cuanto a los momentos, solo quedan M ox y M oy, y M oz está ausente. 2) Equilibrio de un sistema plano de fuerzas. Quedan ur-I F ox, F oy y el momento M oz (Figura 4.7). 3) Equilibrio de un sistema plano de fuerzas paralelas. (figura 4.8). Solo quedan 2 ur-I: F oy y M oz. Al realizar el equilibrio ur-th, se puede elegir cualquier punto para el centro del fantasma.

Se estableció anteriormente (6.5, caso 6) que

Teniendo en cuenta que, , proyectamos fórmulas (6.18) en los ejes de coordenadas cartesianos. Tenemos la forma analítica de las ecuaciones de equilibrio para un sistema espacial arbitrario de fuerzas:

(6.19)

Las últimas tres ecuaciones tienen lugar debido a que la proyección del momento de fuerza relativo a un punto del eje que pasa por este punto es igual al momento de fuerza relativo al eje (fórmula (6.9)).

Producción sistema espacial arbitrario de fuerzas que está unido a un sólido, debemos hacer seis ecuaciones de equilibrio(6.19), por lo tanto, tenemos la oportunidad de determinar con la ayuda de estas ecuaciones seis incógnitas.

Considere el caso el sistema espacial de fuerzas paralelas. Elegimos el sistema de coordenadas para que el eje Оz era paralelo a las líneas de acción de las fuerzas (figura 6.11).

Esto deja tres ecuaciones:

Producción... Al resolver problemas de equilibrio sistema espacial paralelo de fuerzas, que está unido a un sólido, debemos hacer tres ecuaciones de equilibrio y tenemos la posibilidad con la ayuda de estas ecuaciones determinar tres incógnitas.

En la primera conferencia sobre la sección "Estática", descubrimos que hay seis tipos de sistemas de fuerzas que se puede encontrar en su práctica de cálculos de ingeniería. Además, existen dos posibilidades para la disposición de pares de fuerzas: en el espacio y en un plano. Reunamos todas las ecuaciones de equilibrio para fuerzas y para pares de fuerzas en una tabla (tabla 6.2), en la que en la última columna anotamos el número de cantidades desconocidas que nos permitirán determinar el sistema de ecuaciones de equilibrio.

Tabla 6.2 - Ecuaciones de equilibrio de diferentes sistemas de fuerzas

	Tipo de sistema de fuerzas	Ecuaciones de equilibrio	Número de incógnitas determinadas
	Piso convergente
	Plano paralelo (eje 0 a)	T. A 0xy
	Plano arbitrario (en el plano 0xy)	T. A- arbitrario, perteneciente al avión 0xy

Continuación de la tabla 6.2

Continuación de la tabla 6.2

Preguntas para el autocontrol sobre el tema 6

1. ¿Cómo encontrar el momento de fuerza con respecto al eje?

2. ¿Cuál es la relación entre el momento de fuerza en relación con un punto y el momento de la misma fuerza en relación con el eje que pasa por este punto?

3. ¿En qué casos el momento de fuerza alrededor del eje es igual a cero? ¿Y cuándo es más grande?

4. ¿En qué casos el sistema de fuerzas se reduce a la resultante?

5. En cuyo caso se reduce el sistema espacial de fuerzas:

- a un par de fuerzas;

- ¿A la hélice dinámica?

6. ¿Qué se llama invariante estático? ¿Qué invariantes estáticas conoces?

7. Escriba las ecuaciones de equilibrio de un sistema espacial arbitrario de fuerzas.

8. Formular una condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un sistema espacial paralelo de fuerzas.

9. ¿Cambiará el vector principal del sistema de fuerzas cuando cambie el centro de referencia? ¿Y el punto principal?

Tema 7. GRANJA. DEFINICIÓN DE ESFUERZO

Ese., para el equilibrio de un sistema espacial arbitrario de fuerzas, es necesario y suficiente que la suma algebraica de las proyecciones de todas estas fuerzas en cada uno de los tres ejes de coordenadas elegidos de cualquier manera sea igual a cero y que la suma algebraica de sus momentos sobre cada uno de estos ejes también es igual a cero.

Las condiciones (1.33) se llaman condiciones de equilibrio para un sistema espacial arbitrario de fuerzas en forma analítica.

Condiciones de equilibrio para el sistema espacial de fuerzas paralelas. Si las líneas de acción de todas las fuerzas de un sistema de fuerzas dado están ubicadas en planos diferentes y son paralelas entre sí, entonces dicho sistema de fuerzas se llama sistema espacial de fuerzas paralelas.

Usando las condiciones de equilibrio (1.33) de un sistema espacial arbitrario de fuerzas, se pueden encontrar las condiciones de equilibrio para el sistema espacial de fuerzas paralelas. (Las condiciones de equilibrio que derivamos anteriormente para el plano y los sistemas espaciales de fuerzas convergentes, un sistema plano arbitrario de fuerzas y un sistema plano de fuerzas paralelas también podrían obtenerse utilizando las condiciones de equilibrio (1.33) de un sistema espacial arbitrario de fuerzas) .

Deje que un sistema espacial de fuerzas paralelas actúe sobre un cuerpo rígido (Figura 1.26). Dado que la elección de los ejes de coordenadas es arbitraria, es posible seleccionar los ejes de coordenadas de modo que el eje z era paralelo a las fuerzas. Con esta elección de ejes de coordenadas, las proyecciones de cada una de las fuerzas sobre el eje NS y a y sus momentos sobre el eje z será igual a cero, y, por tanto, igualdades, y se satisfarán independientemente de que un determinado sistema de fuerzas esté en equilibrio o no, y por tanto dejarán de ser condiciones de equilibrio. Por lo tanto, el sistema (1.33) dará solo tres condiciones de equilibrio:

Por eso, Para el equilibrio del sistema espacial de fuerzas paralelas, es necesario y suficiente que la suma algebraica de las proyecciones de todas las fuerzas sobre el eje paralelo a estas fuerzas sea igual a cero y que la suma algebraica de sus momentos relativa a cada uno de los ejes dos ejes de coordenadas perpendiculares a estas fuerzas también es igual a cero.

1. Elija un cuerpo (o punto), cuyo equilibrio debe considerarse en este problema.

2. Liberar el cuerpo seleccionado de las conexiones y representar (organizar) todas las fuerzas activas y fuerzas de reacción de las conexiones descartadas que actúan sobre este cuerpo (y solo sobre este cuerpo)... El cuerpo, libre de ataduras, con un sistema de fuerzas activas y fuerzas de reacción aplicadas, debe representarse por separado.

3. Crear ecuaciones de equilibrio... Para componer las ecuaciones de equilibrio, primero debe seleccionar los ejes de coordenadas. Esta elección puede hacerse arbitrariamente, pero las ecuaciones de equilibrio obtenidas serán más fáciles de resolver si uno de los ejes se dirige perpendicular a la línea de acción de alguna fuerza de reacción desconocida. La solución de las ecuaciones de equilibrio obtenidas debería, por regla general, llevarse a cabo hasta el final en forma general (algebraicamente). Luego, para los valores requeridos, se obtendrán fórmulas que le permitirán analizar los resultados encontrados; los valores numéricos de los valores encontrados se sustituyen solo en las fórmulas finales. Las ecuaciones de equilibrio se compilan utilizando el método analítico para resolver problemas de equilibrio para un sistema de fuerzas convergentes. Sin embargo, si el número de fuerzas convergentes, cuyo equilibrio se considera, es igual a tres, entonces es conveniente aplicar el método geométrico para resolver estos problemas. La solución en este caso se reduce al hecho de que en lugar de las ecuaciones de equilibrio de todas las fuerzas actuantes (reacciones activas y de enlace), se construye un triángulo de fuerzas que, en base a la condición de equilibrio geométrico, debe cerrarse (la construcción de este el triángulo debe comenzar con una fuerza determinada). Resolviendo el triángulo de potencia, encontramos los valores requeridos.

Dinámica

Para comprender la sección de dinámica, necesita conocer la siguiente información. Matemáticas: producto escalar de dos vectores, ecuaciones diferenciales. De la física: las leyes de conservación de la energía, el impulso. Teoría de la oscilación. Se recomienda que revise estos temas.