Preguntas de repaso del capítulo 13 Preguntas de repaso del capítulo VI

01.03.2022

Animales salvajes

1. ¿Cómo se llama la razón de dos segmentos?

2. ¿En qué caso se dice que los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos A 1 B 1 y C 1 D 1?

3. Defina triángulos semejantes.

4. Formular y demostrar un teorema sobre la razón de las áreas de triángulos semejantes.

5. Formular y probar un teorema que exprese el primer signo de semejanza de triángulos.

6. Formular y demostrar un teorema que exprese el segundo signo de semejanza de triángulos.

7. Formular y probar un teorema que exprese el tercer signo de la semejanza de triángulos.

8. ¿Qué segmento se llama línea media del triángulo? Formule y demuestre el teorema de la línea media del triángulo.

9. Demuestra que las medianas de un triángulo se cortan en un punto que divide a cada mediana en una razón de 2:1, contando desde el vértice.

10. Formule y demuestre el enunciado de que la altura de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice de un ángulo recto divide el triángulo en triángulos semejantes.

11. Formular y probar enunciados sobre segmentos proporcionales en un triángulo rectángulo.

12. Dé un ejemplo de cómo resolver un problema de construcción por el método de similitud.

13. Dinos cómo determinar la altura de un objeto en el suelo y la distancia a un punto inaccesible.

14. Explica qué dos figuras se llaman semejantes. ¿Cuál es el coeficiente de semejanza de las figuras?

15. ¿Cómo se llama el seno, coseno, tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo?

16. Demostrar que si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es igual a un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los senos de estos ángulos son iguales, los cosenos de estos ángulos son iguales y las tangentes de estos ángulos son iguales.

17. ¿A qué igualdad se le llama identidad trigonométrica principal?

18. ¿Cuáles son los valores de seno, coseno y tangente para ángulos de 30°, 45°, 60°? Justifica la respuesta.

Tareas adicionales

604. Los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son similares, AB \u003d 6 cm, BC- 9 cm, C A \u003d 10 cm. El lado más grande del triángulo A 1 B 1 C 1 mide 7,5 cm. Encuentra los otros dos lados del triángulo A 1 En 1 Con 1 .

605. La diagonal AC del trapezoide ABCD lo divide en dos triángulos semejantes. Demostrar que AC 2 = a b, donde a y b son las bases del trapezoide.

606 Las bisectrices MD y NK del triángulo MNP se cortan en el punto O. Halla la razón OK: ON si MN = 5 cm, NP = 3 cm, MP = 7 cm.

607. La base de un triangulo isosceles se relaciona con el lado lateral como 4:3, y la altura trazada a la base es de 30 cm.Encuentre los segmentos en que esta altura se divide por la bisectriz del angulo en la base.

608. En la prolongación del lado lateral OB de un triángulo isósceles AO B de base AB, se toma el punto C de manera que el punto B se encuentra entre los puntos O y C. El segmento AC corta a la bisectriz del ángulo AOB en el punto M. Demostrar que AM< МС.

609. El punto D se toma del lado BC del triángulo ABC de modo que Demuestre que AD es la bisectriz del triángulo ABC.

610. Una recta paralela al lado AB del triángulo ABC divide al lado AC en razón de 2:7, contando desde el vértice A. Halla los lados del triángulo recortado si AB = 10 cm, BC = 18 cm, CA = 21,6 cm.

611. Demostrar que la mediana AM del triángulo ABC biseca cualquier segmento paralelo al lado BC cuyos extremos se encuentran en los lados AB y AC.

612. Dos postes AB y CD de diferentes longitudes a y b están instalados verticalmente a cierta distancia uno del otro como se muestra en la figura 210. Los extremos A y D, B y C están conectados por cuerdas que se cortan en el punto O. Según la figura , prueba lo que:

Encuentre x y demuestre que x no depende de la distancia d entre los polos AB y CD.

Arroz. 210

613. Demostrar que los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son semejantes si:

un) , donde VM y B 1 M 1 - medianas de triángulos;

b) ∠А = ∠A 1 , , donde BH y B 1 H 1 son las alturas de los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1.

614. Las diagonales de un trapezoide rectangular ABCD de ángulo recto A son perpendiculares entre sí. La base de AB mide 6 cm y el lado lateral de AD mide 4 cm Halla DC, DB y CB.

615.* Un segmento con extremos en los lados de un trapezoide es paralelo a sus bases y pasa por el punto de intersección de las diagonales. Encuentra la longitud de este segmento si las bases del trapezoide son iguales a a y b.

616. Demostrar que los vértices de un triángulo son equidistantes de la línea que contiene su línea media.

617. Demostrar que los puntos medios de los lados de un rombo son los vértices de un rectángulo.

618. Los puntos M y N son respectivamente los puntos medios de los lados CD y BC del paralelogramo ABCD. Demostrar que las rectas AM y AN dividen la diagonal BD en tres partes iguales.

619. La bisectriz del ángulo exterior en el vértice A del triángulo ABC interseca a la línea BC en el punto D. Demuestra que .

620. En un triángulo ABC (AB ≠ AC), se traza una recta por el punto medio del lado BC, paralela a la bisectriz del ángulo A, que corta a las rectas AB y AC, respectivamente, en los puntos D y E. Demostrar que BD = CE.

621. En un trapezoide ABCD de bases AD y BC la suma de las bases es b, la diagonal AC es a, ∠ACB = α. Encuentra el área del trapezoide.

622. Se marca un punto K en el lado AD del paralelogramo ABCD de modo que AK = 1/4 KD. La diagonal AC y el segmento B K se cortan en el punto P. Encuentra el área del paralelogramo ABCD si el área del triángulo ARC es 1 cm 2.

623. En un trapezoide rectangular ABCD con bases AD y BC ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 cm, AD = 16 cm Encuentra los ángulos C y D del trapezoide.

624. Demostrar que las medianas de un triángulo lo dividen en seis triángulos cuyas áreas son iguales por pares.

625. La base AD de un trapezoide isósceles ABCD es 5 veces la base de BC. La altura BH corta a la diagonal AC en el punto M, el área del triángulo AMH es de 4 cm 2. Encuentra el área del trapezoide ABCD.

626. Demostrar que los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son semejantes si donde AD y A 1 D 1 son las bisectrices de los triángulos.

Tareas de construcción

627. Se da el triángulo ABC. Construye un triángulo A1B1C1, similar al triángulo ABC, cuya área sea el doble del área del triángulo ABC.

628. Se dan tres segmentos cuyas longitudes son respectivamente iguales a a, b y c. Construye un segmento cuya longitud sea .

629. Construye un triángulo dados los puntos medios de sus lados.

630. Construir un triángulo dado un lado y medianas dibujadas a los otros dos lados.

respuestas a tareas

1. Explica cómo se miden las áreas de los polígonos.

2. Formular las propiedades básicas de las áreas de los polígonos.

3. ¿Qué polígonos se llaman iguales y cuáles son iguales?

4. Formular y demostrar un teorema sobre el cálculo del área de un rectángulo.

5. Formular y demostrar un teorema sobre el cálculo del área de un paralelogramo.

6. Formular y demostrar un teorema sobre el cálculo del área de un triángulo. ¿Cómo calcular el área de un triángulo rectángulo a partir de sus catetos?

7. Formular y demostrar un teorema sobre la razón de las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo igual.

8. Formular y demostrar un teorema sobre el cálculo del área de un trapezoide.

9. Formule y demuestre el teorema de Pitágoras.

10. Formule y demuestre un teorema inverso al teorema de Pitágoras.

11. ¿Qué triángulos se llaman pitagóricos? Da ejemplos de triángulos pitagóricos.

12. ¿Qué fórmula para el área de un triángulo se llama fórmula de Heron? Derive esta fórmula.

Tareas adicionales

500. Demostrar que el área de un cuadrado construido sobre el cateto de un triángulo rectángulo isósceles es el doble del área de un cuadrado construido a la altura de la hipotenusa.

501. El área del terreno es de 27 hectáreas. Exprese el área de la misma parcela: a) en metros cuadrados; b) en kilómetros cuadrados.

502. Las alturas del paralelogramo son 5 cm y 4 cm, y el perímetro es de 42 cm. Encuentra el área del paralelogramo.

503. Calcula el perímetro de un paralelogramo si su área es de 24 cm 2 y el punto de intersección de las diagonales está a 2 cm y 3 cm de los lados.

504. El lado menor del paralelogramo mide 29 cm. La perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales al lado mayor lo divide en segmentos iguales a 33 cm y 12 cm. Halla el área del paralelogramo.

505. Demostrar que de todos los triángulos que tienen un lado igual aa y el otro igual ab, el que tiene lados perpendiculares tiene el área más grande.

506. ¿Cómo trazar dos rectas por el vértice de un cuadrado para dividirlo en tres figuras cuyas áreas sean iguales?

507.* Cada lado de un triángulo es mayor que cualquier lado del otro triángulo. ¿Se sigue de esto que el área del primer triángulo es mayor que el área del segundo triángulo?

508.* Demostrar que la suma de las distancias desde un punto de la base de un triángulo isósceles a los lados no depende de la posición de este punto.

509. Demostrar que la suma de las distancias desde un punto dentro de un triángulo equilátero a sus lados no depende de la posición de este punto.

510.* Por el punto D, que está en el lado BC del triángulo ABC, se trazan rectas paralelas a los otros dos lados que cortan a los lados AB y AC en los puntos E y F, respectivamente, y se demuestra que los triángulos CDE y BDF son iguales áreas

511. En un trapezoide ABCD de lados AB y CD, las diagonales se cortan en el punto O.

a) Compara las áreas de los triángulos ABD y ACD.
b) Compara las áreas de los triángulos ABO y CDO.
c) Demuestre que OA OB = OS OD.

512.* Las bases de un trapezoide son iguales aa y b. Un segmento con extremos en los lados de un trapezoide, paralelos a las bases, divide el trapezoide en dos trapecios iguales. Encuentra la longitud de este segmento.

513. Las diagonales de un rombo miden 18 m y 24 m Halla el perímetro del rombo y la distancia entre los lados paralelos.

514. El área de un rombo es de 540 cm 2 , y una de sus diagonales es de 4,5 dm. Encuentre la distancia desde el punto de intersección de las diagonales hasta el lado del rombo.

515. Encuentra el área de un triángulo isósceles si: a) el lado es de 20 cm y el ángulo en la base es de 30°; b) la altura dibujada de lado es de 6 cm y forma un ángulo de 45° con la base.

516. En el triángulo ABC BC = 34 cm. La perpendicular MN trazada desde el centro de BC hasta la recta AC divide al lado AC en segmentos AN = 25 cm y NC = 15 cm. Hallar el área del triángulo ABC.

517. Encuentra el área del cuadrilátero ABCD en el que AB = 5 cm, BC = 13 cm, CD = 9 cm, DA = 15 cm, AC = 12 cm.

518. Halla el área de un trapezoide isósceles si: a) su base menor mide 18 cm, su altura 9 cm y su ángulo agudo 45°; b) sus bases miden 16 cm y 30 cm, y las diagonales son perpendiculares entre sí.

519. Halla el área de un trapezoide isósceles cuya altura es h y cuyas diagonales son perpendiculares entre sí.

520. Las diagonales de un trapezoide isósceles son mutuamente perpendiculares y la suma de las bases es 2a. Encuentra el área del trapezoide.

521. Demostrar que si las diagonales del cuadrilátero ABCD son mutuamente perpendiculares, entonces AD 2 + BC 2 = AB 2 + CD 2 .

522. En un trapezoide isósceles ABCD de bases AD = 17 cm, BC = 5 cm y lado lateral AB = 10 cm, se traza una recta por el vértice B, que divide la diagonal AC por la mitad y corta la base AD en el punto M. Halla el área del triángulo BDM.

523. Dos cuadrados de lado a tienen un vértice común, y el lado de uno de ellos está sobre la diagonal del otro. Encuentra el área de la parte común de estos cuadrados.

524. Los lados de un triangulo son 13 cm, 5 cm y 12 cm Halla el area de este triangulo.

525. La distancia del punto M, que está dentro del triángulo ABC, a la línea AB es de 6 cm, y a la línea AC es de 2 cm. Halla la distancia del punto M a la línea BC si AB=13 cm, BC=14 cm, AC = 15 cm.

526. En un rombo, una altura igual a cm es 2/3 de la diagonal mayor. Encuentra el área del rombo.

527. En un trapezoide isósceles la diagonal mide 10 cm y la altura 6 cm Halla el área del trapezoide.

528. En el trapezoide ABCD, las diagonales se cortan en el punto O. Halla el área del triángulo AOB si el lado lateral CD del trapezoide es de 12 cm, y la distancia del punto O a la línea CD es de 5 cm.

529. Las diagonales de un cuadrilátero miden 16 cm y 20 cm y se cortan en un ángulo de 30°. Encuentra el área de este cuadrilátero.

530. En un triangulo isosceles ABC de base BC, la altura AD es de 8 cm Hallar el area del triangulo ABC si la mediana DM del triangulo ADC es de 8 cm.

531. Los lados AB y BC del rectángulo ABCD miden 6 cm y 8 cm, respectivamente.La recta que pasa por el vértice C y es perpendicular a la recta BD corta al lado AD en el punto M y a la diagonal BD en el punto K. Halla el área del cuadrilátero ABCM.

532. En el triángulo ABC se dibuja una altura BH. Demostrar que si:

a) el ángulo A es agudo, luego BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 - 2AC AN;
b) el ángulo A es obtuso, entonces BC 2 \u003d AB 2 + AC 2 + 2AC AN.

respuestas a tareas

1. Formular y probar un lema sobre vectores colineales.

2. ¿Qué significa descomponer un vector en dos vectores dados?

3. Formular y demostrar un teorema sobre la expansión de un vector en dos vectores no colineales.

4. Explica cómo se introduce un sistema de coordenadas rectangulares.

5. ¿Qué son los vectores de coordenadas?

6. Formular y demostrar el enunciado sobre la descomposición de un vector arbitrario en vectores coordenados.

7. ¿Qué son las coordenadas vectoriales? ¿Cuáles son las coordenadas de los vectores coordenados? ¿Cómo se relacionan las coordenadas de vectores iguales?

8. Formular y probar las reglas para encontrar las coordenadas de la suma y diferencia de vectores, así como el producto de un vector por un número según las coordenadas dadas de los vectores.

9. ¿Qué es el radio vector de un punto? Demostrar que las coordenadas de un punto son iguales a las correspondientes coordenadas de su radio vector.

10. Deducir fórmulas para calcular las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de su inicio y fin.

11. Deducir fórmulas para calcular las coordenadas de la mitad de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos.

12. Derive una fórmula para calcular la longitud de un vector a partir de sus coordenadas.

13. Derive una fórmula para calcular la distancia entre dos puntos por sus coordenadas.

14. Da un ejemplo de cómo resolver un problema geométrico usando el método de coordenadas.

15. ¿Qué ecuación se llama la ecuación de esta recta? Dar un ejemplo.

16. Derive la ecuación de un círculo de un radio dado con centro en un punto dado.

17. Escribe la ecuación para un círculo de radio dado con centro en el origen.

18. Derive la ecuación de esta línea en un sistema de coordenadas rectangulares.

19. ¿Cuál es la pendiente de una línea recta?

20. Demostrar que: dos rectas paralelas no paralelas al eje Oy tienen las mismas pendientes; si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces las rectas son paralelas.

21. Escribe las ecuaciones de las rectas que pasan por un punto dado M 0 (x 0; y 0) y paralelas a los ejes de coordenadas.

22. Escribe las ecuaciones de los ejes de coordenadas.

23. Explora la posición relativa de dos círculos según sus radios y la distancia entre sus centros. Formular los hallazgos.

24. Dé ejemplos del uso de las ecuaciones de un círculo y una línea recta para resolver problemas geométricos.

Tareas adicionales

988. Los vectores y no son colineales. Encuentre un número x (si es posible) para que los vectores sean colineales:

989. Encuentra las coordenadas del vector y su longitud si:

990. Se dan vectores

991. Demuestre que la distancia entre dos puntos cualesquiera M 1 (x 1 ; 0) y M 2 (x 2 ; 0) del eje x se calcula mediante la fórmula d = |x 1 - x 2 |.

992. Demostrar que el triángulo ABC, cuyos vértices tienen coordenadas A (4; 8), B (12; 11), C (7; 0), es isósceles, pero no equilátero.

993. Demostrar que los ángulos A y C del triángulo ABC son iguales si A (-5; 6), B (3; -9) y C (-12; -17).

994. Demostrar que el punto D es equidistante de los puntos A, B y C si:

a) D (1; 1), A (5; 4), B (4; -3), C (-2; 5);
b) D (1; 0), A (7; -8), B (-5; 8), C (9; 6).

995. En el eje x, encuentre un punto equidistante de los puntos M, (-2; 4) y M2 (6; 8).

996. Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas A (-5; 13), B (3; 5), C (-3; -1). Encuentre: a) las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo; b) la mediana trazada hacia el lado AC; c) las líneas medias del triángulo.

997. Demostrar que el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices tienen coordenadas A (3; 2), B (0; 5), C (-3; 2), D (0; -1), es un cuadrado.

998. Demostrar que el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices tienen coordenadas A (-2;-3), 13 (1; 4), C (8; 7), D (5; 0), es un rombo. Encuentra su área.

999. Halla las coordenadas del cuarto vértice del paralelogramo dadas las coordenadas de sus tres vértices: (-4; 4), (-5; 1) y (-1; 5). ¿Cuántas soluciones tiene el problema?

b) x 2 + (y + 7) 2 = 1;

a) A (-2; 0), B (3; 2 1/2), C (6; 4); b) A (3; 10), B (3; 12), C (3; -6);

Aplicación del método de coordenadas a la resolución de problemas

1006. Dos lados de un triangulo miden 17 cm y 28 cm, y la altura trazada al mayor de ellos es 15 cm Halla las medianas del triangulo.

1007. Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de un trapezoide es igual a la semidiferencia de las bases.

1008. Dado un paralelogramo ABCD. Demuestre que para todos los puntos de M la cantidad (AM 2 + CM 2) - (BM 2 + DM 2) tiene el mismo valor.

1009. Demostrar que la mediana AA 1 del triángulo ABC puede calcularse mediante la fórmula Usando esta fórmula, probar que si dos medianas de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles.

1010. Se dan dos puntos A y B. Encuentre el conjunto de todos los puntos M, para cada uno de los cuales:

a) 2AM 2 - VM 2 \u003d 2AB 2; b) 2 AM 2 + 2VM 2 \u003d 6 AB 2.

1000. Averigüe cuáles de estas ecuaciones son ecuaciones circulares. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de cada círculo:

a) (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 25;
b) x 2 + (y + 7) 2 = 1;
c) x2 + y2 + 8x-4y + 40 = 0;
d) x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0;
e) x 2 + y 2 - 4x - 2y + 1 \u003d 0.

1001. Escriba la ecuación de un círculo que pasa por los puntos A (3; 0) y B (-1; 2), si su centro se encuentra en la línea y \u003d x + 2.

1002. Escribe la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados:

a) A (1; -4), B (4; 5), C (3; -2);
b) A (3; -7), B (8; -2), C (6; 2).

1003. Los vértices del triángulo ABC tienen coordenadas A (-7; 5), B (3; -1), C (5; 3). Hacer ecuaciones: a) bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo; b) rectas AB, BC y SA; c) líneas rectas en las que se encuentran las líneas medias del triángulo.

1004. Demostrar que las rectas dadas por las ecuaciones 3x - 1.5y + 1 = 0 y 2x - y - 3 = 0 son paralelas.

1005. Demuestra que los puntos A, B y C están en la misma línea si:

a) A (-2; 0), B (3; 2 1/2), C (6; 4); b) A (3; 10), B (3; 12), C (3; -6);

c) A (1; 2), B (2; 5), C (-10; -31).

Tarea preparada para el libro de texto de geometría para estudiantes en los grados 7-9, autores: L.S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E.G. Pozniak, I.I. Yudina, editorial Ilustración para el curso 2015-2016.

Chicos, en los grados 7-9 estudiarán un tema tan interesante como la geometría. Para no tener problemas para comprender esta lección en el futuro, es necesario trabajar duro desde el principio.

En las clases anteriores, ya te has topado con algunas formas geométricas. En este gudu ampliarás este mínimo de conocimientos. Todo el curso se divide en dos secciones: planimetría y estereometría. En los grados 7 y 8, considerarás figuras en un plano: esta es la sección de planimetría. En el grado 9, las propiedades de las figuras en el espacio son la estereometría.

A menudo surge una situación en la que no es posible, según la condición, hacer el dibujo correcto, dibujar todos los detalles en el espacio, y entonces la geometría parece ser un tema insoportable para ti. Si comienza a tener tales dificultades, le recomendamos usar nuestro GDZ en geometría para los grados 7-9 L.S. Atanasyan, que se encuentra debajo.

El libro de trabajo GDZ Geometry Grade 7 Atanasyan se puede descargar.

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GDZ a materiales didácticos sobre geometría para el grado 7 Ziv B.G. se puede descargar

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GDZ para trabajo independiente y de control en geometría para los grados 7-9 Ichenskaya M.A. se puede descargar

GDZ a la colección de tareas en geometría para el grado 7 Ershova A.P. se puede descargar

GDZ a la colección de tareas en geometría para el grado 8 Ershova A.P. se puede descargar

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