توصیف برداری از حرکت مفید است، زیرا در یک نقاشی همیشه می توانید بسیاری از بردارهای مختلف را به تصویر بکشید و یک "تصویر" واضح از حرکت در مقابل چشمان خود دریافت کنید. با این حال، استفاده از خط کش و نقاله برای انجام عملیات با بردارها در هر بار بسیار زمان بر است. بنابراین، این اقدامات به اعمال با اعداد مثبت و منفی - پیش بینی بردارها کاهش می یابد.

طرح ریزی بردار بر روی محوریک مقدار اسکالر برابر با حاصل ضرب ماژول بردار پیش بینی شده و کسینوس زاویه بین جهات بردار و محور مختصات انتخاب شده را فراخوانی کنید.

نقشه سمت چپ یک بردار جابجایی را نشان می دهد که ماژول آن 50 کیلومتر است و جهت آن شکل می گیرد زاویه مبهم 150 درجه با جهت محور X. با استفاده از تعریف، پیش بینی جابجایی بر روی محور X را پیدا می کنیم:

sx = s cos(α) = 50 کیلومتر cos( 150 درجه) = -43 کیلومتر

از آنجایی که زاویه بین محورها 90 درجه است، به راحتی می توان محاسبه کرد که جهت حرکت با جهت محور Y زاویه حاد 60 درجه ایجاد می کند. با استفاده از تعریف، پیش بینی جابجایی را بر روی محور Y پیدا می کنیم:

sy = s cos(β) = 50 کیلومتر cos( 60°) = +25 کیلومتر

همانطور که می بینید، اگر جهت بردار یک زاویه حاد با جهت محور تشکیل دهد، طرح ریزی مثبت است. اگر جهت بردار یک زاویه منفرد با جهت محور تشکیل دهد، برآمدگی منفی است.

رسم سمت راست بردار سرعت را نشان می دهد که ماژول آن 5 متر بر ثانیه است و جهت با جهت محور X زاویه 30 درجه تشکیل می دهد. بیایید پیش بینی ها را پیدا کنیم:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4.3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos( 120°) = -2.5 m/s

اگر بردارهای پیش بینی شده موازی یا عمود بر محورهای انتخاب شده باشند، یافتن پیش بینی بردارها روی محورها بسیار آسان تر است. توجه داشته باشید که برای حالت موازی دو گزینه امکان پذیر است: بردار هم جهت به محور و بردار مخالف محور و برای حالت عمود بودن فقط یک گزینه وجود دارد.

طرح یک بردار عمود بر محور همیشه صفر است (به sy و ay در نقاشی سمت چپ و sx و υx را در نقاشی سمت راست ببینید). در واقع، برای یک بردار عمود بر محور، زاویه بین آن و محور 90 درجه است، بنابراین کسینوس صفر است، به این معنی که برآمدگی صفر است.

طرح ریزی بردار هم جهت با محور مثبت و برابر با مدول آن است، برای مثال sx = +s (نقشه سمت چپ را ببینید). در واقع، برای یک بردار هم جهت با محور، زاویه بین آن و محور صفر است و کسینوس آن "+1" است، یعنی برآمدگی برابر با طول بردار است: sx = x - xo = +s .

طرح ریزی یک بردار مخالف محور منفی و برابر مدول آن است که با علامت منفی گرفته می شود، برای مثال sy = –s (نقشه سمت راست را ببینید). در واقع، برای یک بردار مخالف محور، زاویه بین آن و محور 180 درجه است و کسینوس آن "-1" است، یعنی برآمدگی برابر با طول بردار است که با علامت منفی گرفته می شود: sy = y – yo = –s .

سمت راست هر دو نقشه موارد دیگری را نشان می دهد که بردارها موازی با یکی از محورهای مختصات و عمود بر دیگری هستند. ما از شما دعوت می کنیم خودتان ببینید که در این موارد قوانین تدوین شده در پاراگراف های قبلی نیز رعایت می شود.

پاسخ:

خواص فرافکنی:

خواص طرح برداری برداری

ملک 1.

طرح ریزی مجموع دو بردار بر روی یک محور برابر است با مجموع برآمدگی بردارها بر روی همان محور:

این ویژگی به شما این امکان را می دهد که طرح مجموع بردارها را با مجموع پیش بینی های آنها جایگزین کنید و بالعکس.

ملک 2.اگر یک بردار در عدد λ ضرب شود، طرح آن بر روی محور نیز در این عدد ضرب می شود:

ملک 3.

طرح ریزی یک بردار بر روی محور l برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه بین بردار و محور:

محور ارث. تجزیه یک بردار بر حسب بردارهای مختصات. مختصات برداری مختصات خواص

پاسخ:

انبوهی از تبرها.

یک سیستم مختصات مستطیلی (از هر بعد) نیز با مجموعه ای از بردارهای واحد که با محورهای مختصات تراز شده اند توصیف می شود. تعداد اورت ها برابر با بعد دستگاه مختصات است و همه آنها عمود بر یکدیگر هستند.

در حالت سه بعدی، اورت ها معمولاً نشان داده می شوند

و نمادها با فلش و همچنین می تواند استفاده شود.

علاوه بر این، در مورد یک سیستم مختصات راست، فرمول های زیر با حاصلضرب بردارها معتبر هستند:

تجزیه یک بردار بر حسب بردارهای مختصات.

قائم محور مختصات را با، محورها با، محورها با (شکل 1) نشان می دهند.

برای هر بردار که در یک صفحه قرار دارد، تجزیه زیر انجام می شود:

اگر بردار در فضا قرار دارد، سپس بسط بر حسب بردار واحد محورهای مختصات به شکل زیر است:

مختصات برداری:

برای محاسبه مختصات یک بردار، با دانستن مختصات (x1; y1) ابتدای آن A و مختصات (x2; y2) انتهای آن B، باید مختصات ابتدا را از مختصات پایانی کم کنید: (x2 - x1؛ y2 - y1).

مختصات خواص.

یک خط مختصات با مبدا در نقطه O و یک بردار واحد i در نظر بگیرید. سپس برای هر بردار a در این خط: a = محور.

محور عددی مختصات بردار a در محور مختصات نامیده می شود.

ملک 1.هنگام اضافه کردن بردارها بر روی محور، مختصات آنها اضافه می شود.

ملک 2.وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود.

حاصل ضرب اسکالر بردارها. خواص.

پاسخ:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار غیر صفر یک عدد است،

برابر حاصلضرب این بردارها در کسینوس زاویه بین آنهاست.

خواص:

1. حاصلضرب اسکالر خاصیت جابجایی دارد: ab=ba

حاصل ضرب اسکالر بردارهای مختصات. تعیین حاصل ضرب اسکالر بردارها با مختصات آنها.

پاسخ:

محصول نقطه ای (×) orts

(ایکس)	من	جی	ک
من
جی
ک

تعیین حاصل ضرب اسکالر بردارها با مختصات آنها.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار و با مختصات آنها را می توان با فرمول محاسبه کرد

حاصلضرب برداری دو بردار. ویژگی های محصول برداری

پاسخ:

اگر از انتهای بردار سوم، چرخش از بردار اول به بردار دوم در خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشد، سه بردار غیرهمسطح، سه بردار راست را تشکیل می‌دهند. اگر در جهت عقربه های ساعت - سپس چپ.، اگر نه، سپس در مقابل ( نشان دهید که چگونه او با "دسته" نشان داد)

حاصل ضرب یک بردار آدر هر بردار ببردار نامیده می شود با کدامیک:

1. عمود بر بردارها آو ب

2. دارای طول عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع تشکیل شده روی آو ببردارها

3. بردارها، الف، ب، و جسه گانه سمت راست بردارها را تشکیل دهید

خواص:

1.

3.

4.

حاصلضرب برداری بردارهای مختصات. تعیین حاصل ضرب برداری بردارها با مختصات آنها.

پاسخ:

حاصلضرب برداری بردارهای مختصات.

تعیین حاصل ضرب برداری بردارها با مختصات آنها.

اجازه دهید بردارهای a = (x1; y1; z1) و b = (x2; y2; z2) با مختصات آنها در سیستم مختصات دکارتی مستطیلی O, i, j, k و سه i, j, k است. درست.

ما a و b را از نظر بردارهای پایه گسترش می دهیم:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k، b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار، به دست می آوریم

[آ؛ b] ==

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (یک)

با تعریف یک محصول برداری، ما پیدا می کنیم

= 0، = k، = - j،

= - k، = 0، = i،

= j، = - i. = 0.

با توجه به این برابری ها، فرمول (1) را می توان به صورت زیر نوشت:

[آ؛ b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[آ؛ b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

فرمول (2) بیانی برای حاصل ضرب متقاطع دو بردار ارائه شده توسط مختصات آنها می دهد.

فرمول به دست آمده دشوار است. با استفاده از نمادهای تعیین کننده، می توانید آن را به شکل دیگری بنویسید که برای به خاطر سپردن راحت تر است:

معمولا فرمول (3) حتی کوتاهتر نوشته می شود:

مفاهیم اساسی جبر برداری

مقادیر اسکالر و برداری

از درس فیزیک ابتدایی مشخص شده است که برخی از کمیت های فیزیکی مانند دما، حجم، جرم بدن، چگالی و غیره فقط با یک مقدار عددی تعیین می شوند. چنین مقادیری نامیده می شود اسکالرها یا اسکالرها.

برای تعیین برخی کمیت های دیگر مانند نیرو، سرعت، شتاب و مانند آن، علاوه بر مقادیر عددی، باید جهت آنها را در فضا نیز تعیین کرد. کمیت هایی که علاوه بر قدر مطلق، جهت نیز مشخص می شوند نامیده می شوند بردار

تعریفیک بردار یک بخش جهت دار است که با دو نقطه تعریف می شود: نقطه اول شروع بردار و نقطه دوم - پایان آن است. بنابراین، آنها همچنین می گویند که یک بردار یک جفت مرتب از نقاط است.

در شکل، بردار به صورت یک پاره خط مستقیم نشان داده شده است که فلش جهت را از ابتدای بردار تا انتهای آن مشخص می کند. به عنوان مثال، شکل. 2.1.

اگر ابتدای بردار با نقطه منطبق باشد و با نقطه خاتمه دهید ، سپس بردار مشخص می شود
. علاوه بر این، بردارها اغلب با یک حرف کوچک با یک فلش بالای آن مشخص می شوند. . در کتاب ها گاهی از فلش حذف می شود، سپس برای نشان دادن بردار از تایپ پررنگ استفاده می شود.

بردارها هستند بردار پوچکه شروع و پایان یکسانی دارد. نشان داده شده است یا به سادگی .

فاصله بین شروع و پایان یک بردار را آن می گویند طول یا ماژول. مدول برداری با دو میله عمودی در سمت چپ نشان داده می شود:
، یا بدون فلش
یا .

بردارهایی که با یک خط موازی هستند نامیده می شوند خطی.

بردارهایی که در یک صفحه یا موازی با یک صفحه قرار دارند نامیده می شوند هم صفحه.

بردار تهی با هر بردار هم خطی در نظر گرفته می شود. طول آن 0 است.

تعریفدو بردار
و
برابر نامیده می شوند (شکل 2.2) اگر:
1)خطی; 2) کارگردانی مشترک 3) طول مساوی.

اینگونه نوشته شده است:
(2.1)

از تعریف برابری بردارها چنین بر می آید که با انتقال موازی یک بردار، برداری برابر با اولیه به دست می آید، بنابراین ابتدای بردار را می توان در هر نقطه از فضا قرار داد. چنین بردارهایی (در مکانیک نظری، هندسه) که ابتدای آنها را می توان در هر نقطه از فضا قرار داد، نامیده می شود. رایگان. و این بردارها هستند که در نظر خواهیم گرفت.

تعریف سیستم برداری
اگر چنین ثابت هایی وجود داشته باشد، وابسته خطی نامیده می شود
، که در بین آنها حداقل یکی غیر از صفر وجود دارد و برای آن برابری برقرار است.

تعریفسه بردار غیرهمسطح دلخواه، که در یک دنباله معین گرفته می شوند، در فضا پایه نامیده می شوند.

تعریف اگر یک
- مبنا و بردار، سپس اعداد
مختصات بردار نامیده می شوند در این مبنا

مختصات برداری را بعد از تعیین بردار در پرانتزهای فرفری می نویسیم. مثلا،
به این معنی است که بردار در برخی از پایه های انتخاب شده دارای تجزیه است:
.

از خواص ضرب یک بردار در تعداد و جمع بردارها، ادعایی در رابطه با اعمال خطی بردارهایی که با مختصات داده می شوند، به دست می آید.

برای یافتن مختصات یک بردار، اگر مختصات آغاز و پایان آن مشخص باشد، باید مختصات ابتدا را از مختصات مربوط به انتهای آن کم کرد.

عملیات خطی روی بردارها

عملیات خطی بردارها، عملیات جمع (تفریق) بردارها و ضرب یک بردار در یک عدد است. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

تعریف محصول برداری در هر عدد
بردار منطبق در جهت با بردار نامیده می شود ، اگر
، که جهت مخالف دارد، اگر
منفی. طول این بردار برابر است با حاصل ضرب طول بردار در هر عدد مدول
.

پ مثال . وکتور ساخت
، اگر
و
(شکل 2.3).

وقتی یک بردار در یک عدد ضرب می شود، مختصات آن در آن عدد ضرب می شود..

در واقع، اگر، پس

محصول برداری بر روی
بردار نامیده می شود
;
- جهت مخالف .

توجه داشته باشید که برداری که طول آن 1 است نامیده می شود تنها(یا ارتو).

با استفاده از عمل ضرب یک بردار در یک عدد، هر بردار را می توان بر حسب بردار واحد هم جهت بیان کرد. در واقع، تقسیم بردار برای طول آن (یعنی ضرب بر روی ) یک بردار واحد هم جهت با بردار بدست می آوریم . ما آن را نشان خواهیم داد
. از این رو نتیجه می شود که
.

تعریف مجموع دو بردار و بردار نامیده می شود که از مبدأ مشترک خود خارج می شود و قطر متوازی الاضلاع است که اضلاع آن بردار هستند. و (شکل 2.4).

.

با تعریف بردارهای مساوی
از همین رو
-قانون مثلث. قانون مثلث را می توان به هر تعداد بردار تعمیم داد و بنابراین قانون چندضلعی را به دست آورد:
برداری است که ابتدای اولین بردار را به هم وصل می کند با پایان آخرین بردار (شکل 2.5).

پس برای ساختن بردار مجموع باید ابتدای دوم را به انتهای بردار اول، به انتهای دومی را به ابتدای سوم و غیره متصل کرد. سپس بردار مجموع همان بردار خواهد بود که ابتدای اولین بردار را به انتهای آخرین بردار متصل می کند..

هنگامی که بردارها اضافه می شوند، مختصات مربوط به آنها نیز اضافه می شود

در واقع، اگر و
,

اگر بردارها
و همسطح نیستند، پس مجموع آنها یک قطر است
یک موازی شکل ساخته شده بر روی این بردارها (شکل 2.6)

,

جایی که

خواص:

- جابجایی؛

- انجمنی بودن

- توزیع با توجه به ضرب در یک عدد

.

آن ها یک مجموع برداری را می توان مطابق با قوانین یک جبری تبدیل کرد.

تعریفتفاوت دو بردار و چنین بردار نامیده می شود ، که وقتی به وکتور اضافه می شود بردار می دهد . آن ها
اگر
. از نظر هندسی نشان دهنده قطر دوم متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها است و با شروع مشترک و هدایت شده از انتهای بردار تا انتهای بردار (شکل 2.7).

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور. ویژگی های پروجکشن

مفهوم خط عددی را به خاطر بیاورید. محور عددی خط مستقیمی است که روی آن:

جهت (→)؛

نقطه مرجع (نقطه O)؛

بخش، که به عنوان یک واحد مقیاس در نظر گرفته می شود.

بگذارید یک بردار وجود داشته باشد
و محور . از نقاط و بیایید عمودها را روی محور رها کنیم . بیایید امتیازها را بگیریم و - پیش بینی های نقطه ای و (شکل 2.8 الف).

تعریف طرح ریزی برداری
در هر محور طول قطعه نامیده می شود
این محور که بین پایه های برآمدگی ابتدا و انتهای بردار قرار دارد
در هر محور . اگر جهت بخش باشد با علامت مثبت گرفته می شود
منطبق با جهت محور طرح ریزی، و با علامت منفی اگر این جهت ها مخالف هستند. تعیین:
.

O تعریف زاویه بین بردار
و محور زاویه نامیده می شود ، که به وسیله آن باید محور را در کوتاه ترین راه بچرخانید به طوری که با جهت بردار منطبق باشد
.

بیایید پیدا کنیم
:

شکل 2.8 a نشان می دهد:
.

روی انجیر 2.8 ب): .

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور برابر است با حاصلضرب طول این بردار و کسینوس زاویه بین بردار و محور برآمده:
.

ویژگی های پروجکشن:

اگر یک
، سپس بردارها متعامد نامیده می شوند

مثال . بردارها داده شده است
,
.سپس

.

مثال. اگر ابتدای بردار
در نقطه است
، و در یک نقطه پایان می یابد
، سپس بردار
مختصات دارد:

O تعریف زاویه بین دو بردار و کوچکترین زاویه نامیده می شود
(شکل 2.13) بین این بردارها، به یک شروع مشترک کاهش می یابد .

زاویه بین بردارها و به صورت نمادین به این صورت نوشته شده است: .

از تعریف بر می آید که زاویه بین بردارها می تواند در داخل متفاوت باشد
.

اگر یک
، سپس بردارها متعامد نامیده می شوند.

.

تعریف.کسینوس زوایای یک بردار با محورهای مختصات، کسینوس جهت بردار نامیده می شود. اگر بردار
با محورهای مختصات زاویه تشکیل می دهد

.

مقدمه……………………………………………………………………………3

1. مقدار بردار و اسکالر………………………………………………………………………………

2. تعریف برجستگی، محور و مختصات یک نقطه………………….5

3. طرح برداری برداری بر روی محور…………………………………………………………

4. فرمول اصلی جبر برداری………………………………..8

5. محاسبه ماژول بردار از پیش بینی های آن ……………………….9

نتیجه……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ادبیات………………………………………………………………………………………………….

معرفی:

فیزیک با ریاضیات پیوند ناگسستنی دارد. ریاضیات ابزارها و فنون بیان کلی و دقیق رابطه بین کمیت های فیزیکی را که در نتیجه آزمایش یا تحقیقات نظری کشف می شوند به فیزیک می دهد، بالاخره روش اصلی تحقیق در فیزیک تجربی است. این بدان معنی است که دانشمند محاسبات را با کمک اندازه گیری ها آشکار می کند. نشان دهنده رابطه بین کمیت های فیزیکی مختلف است. سپس همه چیز به زبان ریاضیات ترجمه می شود. یک مدل ریاضی در حال شکل گیری است. فیزیک علمی است که ساده ترین و در عین حال کلی ترین قوانین را مطالعه می کند. وظیفه فیزیک این است که در ذهن ما چنین تصویری از جهان فیزیکی ایجاد کند که به طور کامل ویژگی های آن را منعکس کند و چنین روابطی را بین عناصر مدلی که بین عناصر وجود دارد ایجاد کند.

بنابراین، فیزیک مدلی از جهان اطراف ما ایجاد می کند و خواص آن را مطالعه می کند. اما هر مدلی محدود است. هنگام ایجاد مدل‌هایی از یک پدیده خاص، فقط ویژگی‌ها و ارتباطاتی که برای طیف معینی از پدیده‌ها ضروری هستند در نظر گرفته می‌شوند. این هنر یک دانشمند است - از بین انواع مختلف، چیز اصلی را انتخاب کنید.

مدل های فیزیکی ریاضی هستند، اما ریاضیات مبنای آنها نیست. روابط کمی بین کمیت های فیزیکی در نتیجه اندازه گیری ها، مشاهدات و مطالعات تجربی روشن می شود و فقط به زبان ریاضی بیان می شود. با این حال، زبان دیگری برای ساختن نظریه های فیزیکی وجود ندارد.

1. مقدار یک بردار و یک اسکالر.

در فیزیک و ریاضیات، بردار کمیتی است که با مقدار عددی و جهت آن مشخص می شود. در فیزیک، کمیت های مهم زیادی وجود دارد که بردار هستند، مانند نیرو، موقعیت، سرعت، شتاب، گشتاور، تکانه، میدان های الکتریکی و مغناطیسی. آنها را می توان با کمیت های دیگر مانند جرم، حجم، فشار، دما و چگالی مقایسه کرد که با یک عدد معمولی قابل توصیف است و به آنها می گویند: اسکالر".

آنها یا با حروف یک فونت معمولی یا با اعداد (a، b، t، g، 5، -7 ....) نوشته می شوند. اسکالرها می توانند مثبت یا منفی باشند. در عین حال، برخی از اشیاء مطالعه ممکن است دارای چنین ویژگی هایی باشند که برای توصیف کامل آنها دانش فقط اندازه گیری عددی کافی نیست، همچنین لازم است که این ویژگی ها با جهت در فضا مشخص شود. چنین ویژگی هایی با کمیت های برداری (بردار) مشخص می شوند. بردارها بر خلاف اسکالرها با حروف درشت نشان داده می شوند: a، b، g، F، C ....
اغلب، یک بردار با یک حرف معمولی (غیر پررنگ) مشخص می شود، اما با یک فلش بالای آن:

علاوه بر این، یک بردار اغلب با یک جفت حروف (معمولا با حروف بزرگ) مشخص می شود که حرف اول شروع بردار و حرف دوم پایان آن را نشان می دهد.

ماژول بردار، یعنی طول پاره خط مستقیم، با حروفی مشابه خود بردار مشخص می شود، اما در نوشتن معمول (غیر پررنگ) و بدون فلش بالای آنها، یا درست مانند بردار (یعنی به صورت پررنگ یا منظم، اما با فلش)، اما سپس نام برداری در خط تیره های عمودی قرار می گیرد.
بردار جسم پیچیده ای است که هم اندازه و هم جهت آن در یک زمان مشخص می شود.

همچنین هیچ بردار مثبت و منفی وجود ندارد. اما بردارها می توانند با یکدیگر برابر باشند. این زمانی است که مثلا a و b دارای ماژول های یکسان هستند و در یک جهت هدایت می شوند. در این مورد، رکورد آ= ب. همچنین باید در نظر داشت که قبل از نماد برداری می توان یک علامت منفی داشته باشد، به عنوان مثال، -c، با این حال، این علامت به طور نمادین نشان می دهد که بردار -c مدول یکسانی با بردار c دارد، اما در جهت است. جهت مخالف.

بردار -c مخالف (یا معکوس) بردار c نامیده می شود.
اما در فیزیک، هر بردار با محتوای خاصی پر می شود و هنگام مقایسه بردارهایی از همان نوع (مثلاً نیروها)، نقاط کاربرد آنها نیز می تواند از اهمیت قابل توجهی برخوردار باشد.

2-تعیین برجستگی، محور و مختصات نقطه.

محوریک خط مستقیم است که جهت داده می شود.
محور با هر حرفی نشان داده می شود: X, Y, Z, s, t ... معمولاً نقطه ای از محور انتخاب می شود (به طور دلخواه) که به آن مبدا می گویند و قاعدتاً با حرف O نشان داده می شود. فاصله تا سایر نقاط مورد علاقه ما از این نقطه اندازه گیری می شود.

طرح نقطه ایروی محور، قاعده عمودی است که از این نقطه به محور داده شده رها شده است. یعنی طرح یک نقطه روی محور یک نقطه است.

مختصات نقطهدر یک محور معین به عددی گفته می شود که قدر مطلق آن برابر با طول قطعه محور (در مقیاس انتخاب شده) محصور بین ابتدای محور و طرح نقطه بر روی این محور باشد. این عدد در صورتی که برآمدگی نقطه از ابتدای آن در جهت محور باشد و اگر در جهت مخالف باشد با علامت منفی گرفته می شود.

3. طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور.

طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، برداری است که از ضرب برجستگی یک بردار بر روی این محور و بردار واحد این محور به دست می آید. به عنوان مثال، اگر a x پیش بینی اسکالر بردار a بر روی محور X باشد، x i بردار آن بر روی این محور است.

بیایید برآمدگی بردار را مانند خود بردار نشان دهیم، اما با شاخص محوری که بردار روی آن تابیده می شود. بنابراین، طرح برداری بردار a در محور X با یک x (حرف پررنگ نشان دهنده بردار و زیرنویس نام محور) یا

(حروف غیر پررنگ نشان دهنده یک بردار، اما با یک فلش در بالا (!) و زیرنویس نام محور).

طرح ریزی اسکالربردار در هر محور نامیده می شود عدد، که قدر مطلق آن برابر است با طول قطعه محور (در مقیاس انتخاب شده) محصور بین پیش بینی های نقطه شروع و نقطه پایان بردار. معمولا به جای بیان طرح ریزی اسکالربه سادگی بگو - طرح ریزی. طرح ریزی با همان حرف بردار پیش بینی شده (در نوشتار معمولی و غیر پررنگ)، با زیرنویس (معمولا) نام محوری که این بردار روی آن نمایش داده می شود نشان داده می شود. به عنوان مثال، اگر بردار بر روی محور x پیش بینی شود آ،سپس طرح آن با x نشان داده می شود. هنگامی که همان بردار را بر روی یک محور دیگر پرتاب می کنیم، اگر محور Y باشد، طرح آن با y نشان داده می شود.

برای محاسبه طرح ریزی برداردر یک محور (مثلاً محور X) باید مختصات نقطه شروع را از مختصات نقطه پایان آن کم کرد، یعنی

و x \u003d x k - x n.

طرح ریزی یک بردار روی یک محور یک عدد است.علاوه بر این، اگر مقدار x k بزرگتر از مقدار x n باشد، پیش بینی می تواند مثبت باشد.

اگر مقدار x k کمتر از مقدار x n باشد منفی است

و اگر x k برابر x n باشد برابر با صفر است.

با دانستن مدول بردار و زاویه ای که با آن محور ایجاد می کند، می توان طرح یک بردار را بر روی یک محور نیز یافت.

از شکل می توان دریافت که a x = a Cos α

یعنی پرتاب بردار بر روی محور برابر است با حاصل ضرب مدول بردار و کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت برداری. اگر زاویه حاد است، پس
Cos α > 0 و a x > 0، و اگر منفرد باشد، کسینوس یک زاویه منفذ منفی است و برآمدگی بردار بر روی محور نیز منفی خواهد بود.

زوایای شمارش شده از محور در خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت و در جهت منفی در نظر گرفته می شوند. با این حال، از آنجایی که کسینوس یک تابع زوج است، یعنی Cos α = Cos (-α)، هنگام محاسبه پیش بینی ها، زوایا را می توان هم در جهت عقربه های ساعت و هم در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش کرد.

برای یافتن طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، مدول این بردار باید در کسینوس زاویه بین جهت محور و جهت بردار ضرب شود.

4. فرمول اصلی جبر برداری.

ما بردار a را روی محورهای X و Y یک سیستم مختصات مستطیلی طرح می کنیم. پیش بینی های برداری بردار a را روی این محورها بیابید:

و x = a x i، و y = a y j.

اما طبق قانون جمع بردار

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

بنابراین، ما یک بردار را برحسب برجستگی های آن و چرخش های یک سیستم مختصات مستطیلی (یا برحسب برجستگی های برداری آن) بیان کرده ایم.

برآمدگی های بردار a x و a y جزء یا اجزای بردار a نامیده می شوند. عملیاتی که انجام دادیم تجزیه بردار در امتداد محورهای یک سیستم مختصات مستطیلی نامیده می شود.

اگر بردار در فضا داده شود، پس

a = a x i + a y j + a z k.

این فرمول را فرمول اصلی جبر برداری می نامند. البته اینجوری هم میشه نوشت.

محور جهت است. از این رو، طرح ریزی بر روی یک محور یا روی یک خط هدایت شده یکسان در نظر گرفته می شود. طرح ریزی می تواند جبری یا هندسی باشد. در اصطلاح هندسی، طرح یک بردار بر روی یک محور بردار و در اصطلاح جبری یک عدد است. یعنی از مفاهیم طرح بردار بر روی یک محور و طرح عددی بردار بر روی یک محور استفاده می شود.

اگر یک محور L و یک بردار غیر صفر A B → داشته باشیم، می‌توانیم یک بردار A 1 B 1 ⇀ بسازیم که نمایانگر نقاط A 1 و B 1 آن است.

A 1 B → 1 نمایانگر بردار A B → بر روی L خواهد بود.

تعریف 1

طرح ریزی بردار بر روی محوریک بردار نامیده می شود که ابتدا و انتهای آن پیش بینی های ابتدا و انتهای بردار داده شده است. n p L A B → → مرسوم است که نمایاندن A B → بر روی L نشان داده شود. برای ساختن یک برآمدگی روی L، عمودها را روی L رها کنید.

مثال 1

نمونه ای از طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور.

در صفحه مختصات O x y، یک نقطه M 1 (x 1، y 1) مشخص شده است. برای تصویر بردار شعاع نقطه M 1 باید بر روی Ox و O y برجستگی ایجاد کرد. بیایید مختصات بردارهای (x 1 , 0 ) و (0 , y 1) را بدست آوریم.

اگر در مورد برآمدگی a → روی یک b غیر صفر → یا برآمدگی a → بر روی جهت b → صحبت می کنیم، منظورمان برآمدگی a → بر روی محوری است که جهت b → با آن منطبق است. طرح ریزی a → روی خطی که با b → تعریف شده است، n p b → a → → نشان داده می شود. مشخص است که وقتی زاویه بین a → و b → n باشد، می توانیم n p b → a → → و b → هم جهتی را در نظر بگیریم. در حالتی که زاویه منفرد است، n p b → a → → و b → خلاف جهت هستند. در وضعیت عمود بردار a → و b → و a → صفر است، طرح یک → در امتداد جهت b → یک بردار صفر است.

مشخصه عددی طرح ریزی یک بردار بر روی یک محور، طرح عددی یک بردار بر روی یک محور معین است.

تعریف 2

طرح عددی بردار بر روی محورعددی را که برابر با حاصلضرب طول یک بردار معین و کسینوس زاویه بین بردار داده شده و بردار تعیین کننده جهت محور باشد، صدا بزنید.

طرح عددی A B → بر روی L با n p L A B → و a → روی b → - n p b → a → نشان داده می شود.

بر اساس فرمول، n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ بدست می آوریم، از آنجایی a → طول بردار a → , a ⇀ , b → ^ زاویه بین بردارهای a → و ب →

ما فرمول محاسبه پیش بینی عددی را دریافت می کنیم: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . این برای طول های شناخته شده a → و b → و زاویه بین آنها قابل استفاده است. این فرمول برای مختصات شناخته شده a → و b → قابل استفاده است، اما یک نسخه ساده شده از آن وجود دارد.

مثال 2

طرح عددی a → روی یک خط مستقیم در جهت b → با طول a → برابر با 8 و زاویه بین آنها 60 درجه است را پیدا کنید. با شرط یک ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 درجه داریم. بنابراین، مقادیر عددی را به فرمول n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 جایگزین می کنیم.

پاسخ: 4.

با cos شناخته شده (a →، b → ^) = a ⇀، b → a → b →، یک →، b → به عنوان حاصل ضرب اسکالر a → و b → داریم. با پیروی از فرمول n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ ، می توانیم طرح عددی a → را در امتداد بردار b → پیدا کنیم و n p b → a → = a → , b → b → بدست آوریم. این فرمول معادل تعریفی است که در ابتدای بند ارائه شده است.

تعریف 3

طرح عددی بردار a → روی محور منطبق بر جهت b → نسبت حاصلضرب اسکالر بردارهای a → و b → به طول b → است. فرمول n p b → a → = a → , b → b → برای یافتن طرح عددی a → بر روی یک خط مستقیم منطبق در جهت با b → با مختصات a → و b → شناخته شده قابل استفاده است.

مثال 3

با توجه به b → = (- 3، 4) . طرح عددی a → = (1، 7) را بر روی L پیدا کنید.

تصمیم گیری

در صفحه مختصات n p b → a → = a → , b → b → دارای شکل n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , با a → = (a x , a y ) و b → = b x، b y. برای یافتن پیش بینی عددی بردار a → بر روی محور L، شما نیاز دارید: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

پاسخ: 5.

مثال 4

برآمدگی a → را بر روی L پیدا کنید، منطبق با جهت b →، جایی که a → = - 2، 3، 1 و b → = (3، - 2، 6) وجود دارد. یک فضای سه بعدی داده شده است.

تصمیم گیری

با توجه به a → = a x، a y، a z و b → = b x، b y، b z حاصل ضرب اسکالر را محاسبه کنید: a ⇀، b → = a x b x + a y b y + a z b z. طول b → را با فرمول b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 پیدا می کنیم. بنابراین فرمول تعیین طرح عددی a → خواهد بود: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

ما مقادیر عددی را جایگزین می کنیم: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

پاسخ: - 6 7 .

بیایید به ارتباط بین a → روی L و طول برآمدگی a → روی L نگاه کنیم. با افزودن a → و b → از یک نقطه به L یک محور L رسم کنید، پس از آن یک خط عمود از انتهای a → به L رسم کرده و روی L قرار می دهیم. 5 تنوع تصویر وجود دارد:

اولینموردی که a → = n p b → a → → به معنی a → = n p b → a → → n p b → a → = a → cos (a, → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

دومینمورد دلالت بر استفاده از n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , بنابراین n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

سومینمورد توضیح می دهد که وقتی n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0 و سپس n p b → a → → = 0 و n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

چهارممورد نشان می دهد n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) ، به دنبال n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

پنجمحالت یک → = n p b → a → → را نشان می دهد، که به معنی a → = n p b → a → → است، از این رو داریم n p b → a → = a → cos a →، b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

تعریف 4

طرح عددی بردار a → روی محور L که مانند b → جهت داده شده است به این معنی است:

• طول طرح بردار a → بر روی L مشروط بر اینکه زاویه بین a → و b → کمتر از 90 درجه یا مساوی 0 باشد: n p b → a → = n p b → a → → با شرط 0 ≤ (a → ، ب →) ^< 90 ° ;
• صفر تحت شرط عمود بودن a → و b → : n p b → a → = 0 زمانی که (a → , b → ^) = 90 ° ;
• طول برجستگی a → بر روی L، ضربدر -1 هنگامی که بردارهای a → و b زاویه مات یا مسطح وجود دارد → : n p b → a → = - n p b → a → → با شرایط 90 درجه< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

مثال 5

با توجه به طول طرح a → بر روی L، برابر با 2. با توجه به اینکه زاویه 5 π 6 رادیان است، طرح عددی a → را پیدا کنید.

تصمیم گیری

از حالت مبهم بودن این زاویه می توان فهمید: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

پاسخ: - 2.

مثال 6

صفحه O x y z با طول بردار a → برابر با 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) با زاویه 30 درجه داده می شود. مختصات طرح ریزی a → را روی محور L پیدا کنید.

تصمیم گیری

ابتدا پیش بینی عددی بردار a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 را محاسبه می کنیم.

بر اساس شرط، زاویه تند است، سپس طرح عددی a → = طول طرح بردار a → : n p L a → = n p L a → → = 9 است. این مورد نشان می دهد که بردارهای n p L a → → و b → هم جهت هستند، به این معنی که یک عدد t وجود دارد که برابری برای آن صادق است: n p L a → → = t · b → . از اینجا می بینیم که n p L a → → = t b → ، بنابراین می توانیم مقدار پارامتر t را پیدا کنیم: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

سپس n p L a → → = 3 b → با مختصات طرح بردار a → بر روی محور L b → = (- 2، 1، 2) است، که در آن لازم است مقادیر را در 3 ضرب کنیم. n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) داریم. پاسخ: (- 6، 3، 6) .

لازم است اطلاعات قبلاً مطالعه شده در مورد وضعیت همخطی بودن بردار تکرار شود.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید