یک مثال ساده را در نظر بگیرید:
15:5=3
در این مثال عدد طبیعی را 15 تقسیم کردیم به طور کامل 3، بدون باقی مانده است.

گاهی اوقات نمی توان یک عدد طبیعی را به طور کامل تقسیم کرد. به عنوان مثال، مشکل را در نظر بگیرید:
در کمد 16 اسباب بازی وجود داشت. در گروه پنج کودک بودند. هر کودک به همان تعداد اسباب بازی برداشت. هر کودک چند اسباب بازی دارد؟

تصمیم:
عدد 16 را بر 5 بر ستون تقسیم کنید و بدست آورید:

می دانیم که 16 ضربدر 5 قابل بخش نیست. کوچکترین عددی که بر 5 بخش پذیر است 15 با باقیمانده 1 است. می توانیم عدد 15 را 5⋅3 بنویسیم. در نتیجه (16 - سود سهام، 5 - مقسوم علیه، 3 - سهم جزئی، 1 - باقیمانده). بدست آورد فرمول تقسیم با باقی ماندهکه می توان انجام داد تایید راه حل.

آ= ب⋅ ج+ د
آ - قابل تقسیم
ب - تقسیم کننده،
ج - ضریب ناقص،
د - باقی مانده

پاسخ: هر کودک 3 اسباب بازی می گیرد و یک اسباب بازی باقی می ماند.

باقی مانده از تقسیم

باقیمانده باید همیشه کوچکتر از مقسوم علیه باشد.

اگر هنگام تقسیم، باقیمانده صفر باشد، سود تقسیمی قابل تقسیم است. به طور کاملیا بدون باقی مانده در هر مقسوم علیه.

اگر در هنگام تقسیم، باقیمانده بزرگتر از مقسوم علیه باشد، به این معنی است که عدد یافت شده بزرگترین نیست. عدد بزرگتری وجود دارد که سود تقسیمی را تقسیم می کند و باقیمانده کمتر از تقسیم کننده خواهد بود.

سوالات در مورد "تقسیم با باقیمانده":
آیا باقیمانده می تواند بزرگتر از مقسوم علیه باشد؟
پاسخ: خیر

آیا باقیمانده می تواند برابر با مقسوم علیه باشد؟
پاسخ: خیر

چگونه می توان سود تقسیمی را با ضریب ناقص، مقسوم علیه و باقی مانده پیدا کرد؟
پاسخ: مقادیر ضریب ناقص، مقسوم علیه و باقیمانده را جایگزین فرمول کرده و سود سهام را پیدا می کنیم. فرمول:
a=b⋅c+d

مثال شماره 1:
تقسیم را با باقی مانده انجام دهید و بررسی کنید: الف) 258:7 ب) 1873:8

تصمیم:
الف) تقسیم در یک ستون:

258 - قابل تقسیم،
7 - تقسیم کننده،
36 - ضریب ناقص
6 - باقی مانده باقیمانده کمتر از مقسوم علیه 6<7.

7⋅36+6=252+6=258

ب) تقسیم در یک ستون:

1873 - قابل تقسیم،
8 - تقسیم کننده،
234 - ضریب ناقص
1 باقی مانده است. باقیمانده کمتر از مقسوم علیه 1<8.

در فرمول جایگزین کنید و بررسی کنید که آیا مثال را به درستی حل کرده ایم:
8⋅234+1=1872+1=1873

مثال شماره 2:
با تقسیم اعداد طبیعی چه باقی مانده هایی به دست می آید: الف) 3 ب) 8؟

پاسخ:
الف) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین کمتر از 3. در مورد ما، باقیمانده می تواند 0، 1 یا 2 باشد.
ب) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین، کمتر از 8. در مورد ما، باقیمانده می تواند 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6 یا 7 باشد.

مثال شماره 3:
بزرگترین باقیمانده ای که با تقسیم اعداد طبیعی بدست می آید کدام است: الف) 9 ب) 15؟

پاسخ:
الف) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین، کمتر از 9 است. اما باید بزرگترین باقیمانده را نشان دهیم. یعنی نزدیک ترین عدد به مقسوم علیه. این عدد 8 است.
ب) باقیمانده کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین، کمتر از 15. اما باید بزرگترین باقیمانده را نشان دهیم. یعنی نزدیک ترین عدد به مقسوم علیه. این عدد 14 است.

مثال شماره 4:
سود تقسیمی را بیابید: الف) a: 6 \u003d 3 (حداکثر 4) ب) ج: 24 \u003d 4 (ماند. 11)

تصمیم:
الف) با استفاده از فرمول حل کنید:
a=b⋅c+d
(a سود سهام، b مقسوم علیه، c ضریب جزئی، d باقیمانده است.)
a:6=3 (استراحت.4)
(a سود سهام، 6 مقسوم علیه، 3 ضریب ناقص، 4 باقیمانده است.) اعداد موجود در فرمول را جایگزین کنید:
a=6⋅3+4=22
پاسخ: a=22

ب) با استفاده از فرمول حل کنید:
a=b⋅c+d
(a سود سهام، b مقسوم علیه، c ضریب جزئی، d باقیمانده است.)
s:24=4(rest.11)
(c سود سهام، 24 مقسوم علیه، 4 نصاب ناقص، 11 باقیمانده است.) اعداد موجود در فرمول را جایگزین کنید:
c=24⋅4+11=107
پاسخ: s=107

وظیفه:

سیم 4 متر باید به قطعات 13 سانتی متری بریده شود. چند تا از این قطعات وجود خواهد داشت؟

تصمیم:
ابتدا باید متر را به سانتی متر تبدیل کنید.
4 متر = 400 سانتی متر.
شما می توانید بر یک ستون تقسیم کنید یا در ذهن شما دریافت کنیم:
400:13=30 (استراحت 10)
بیایید بررسی کنیم:
13⋅30+10=390+10=400

جواب : 30 عدد می شود و 10 سانتی متر سیم باقی می ماند.

این مقاله مفهوم تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده را تجزیه و تحلیل می کند. قضیه تقسیم پذیری اعداد صحیح را با باقیمانده اثبات می کنیم و به ارتباط بین مقسوم و مقسوم علیه، ضریب ناقص و باقیمانده نگاه می کنیم. هنگام انجام تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده، قوانین را در نظر بگیرید و با مثال هایی به تفصیل بررسی کنید. در پایان راه حل، یک بررسی انجام می دهیم.

درک کلی از تقسیم اعداد صحیح با باقیمانده

تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده به عنوان یک تقسیم تعمیم یافته با باقیمانده اعداد طبیعی در نظر گرفته می شود. این کار به این دلیل انجام می شود که اعداد طبیعی جزء اعداد صحیح هستند.

تقسیم با باقیمانده یک عدد دلخواه می گوید که عدد صحیح a بر عدد b بخش پذیر است که با صفر متفاوت است. اگر b = 0 باشد، هیچ تقسیمی با باقیمانده انجام نمی شود.

و همچنین تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده، تقسیم اعداد صحیح a و b با b متفاوت از صفر بر c و d انجام می شود. در این صورت a و b را تقسیم کننده و مقسوم می گویند و d باقیمانده تقسیم است، c یک عدد صحیح یا جزئی است.

اگر فرض کنیم که باقیمانده یک عدد صحیح غیر منفی است، مقدار آن از مدول عدد b بیشتر نیست. بیایید آن را به این صورت بنویسیم: 0 ≤ d ≤ b . این زنجیره نابرابری هنگام مقایسه 3 عدد یا بیشتر استفاده می شود.

اگر c یک ضریب ناقص است، پس d باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح a بر b است، می توانید به طور خلاصه اصلاح کنید: a: b \u003d c (d باقی بماند).

باقیمانده هنگام تقسیم اعداد a بر b ممکن است صفر باشد، سپس می گویند a به طور کامل بر b تقسیم می شود، یعنی بدون باقی مانده. تقسيم بدون باقيمانده از موارد خاص تقسيم محسوب مي شود.

اگر صفر را بر عددی تقسیم کنیم، در نتیجه صفر به دست می آید. باقیمانده تقسیم نیز صفر خواهد بود. این را می توان از تئوری تقسیم صفر بر یک عدد صحیح دریافت.

حال معنای تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده در نظر بگیرید.

معلوم است که اعداد صحیح مثبت طبیعی هستند، پس هنگام تقسیم با باقیمانده، همان معنایی به دست می آید که هنگام تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده است.

تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b منطقی است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. وضعیتی را تصور کنید که ما بدهی اقلامی به مقدار a داریم که باید توسط b نفر بازپرداخت شود. برای انجام این کار، همه باید به طور مساوی مشارکت کنند. برای تعیین میزان بدهی هر یک باید به ارزش ج خصوصی توجه شود. باقیمانده d نشان می دهد که تعداد اقلام پس از پرداخت بدهی مشخص است.

بیایید یک مثال در مورد سیب بزنیم. اگر 2 نفر به 7 سیب نیاز دارند. اگر محاسبه کنیم که همه باید 4 سیب برگردانند، پس از محاسبه کامل، 1 سیب برای آنها باقی می ماند. بیایید این را به عنوان یک برابر بنویسیم: (− 7) : 2 = − 4 (о с t. 1) .

تقسیم هر عدد a بر یک عدد صحیح منطقی نیست، اما به عنوان یک گزینه امکان پذیر است.

قضیه تقسیم پذیری برای اعداد صحیح با باقی مانده

ما دریافتیم که a سود سهام است، سپس b مقسوم علیه، c ضریب جزئی و d باقیمانده است. آنها به هم مرتبط هستند. ما این رابطه را با استفاده از برابری a = b · c + d نشان خواهیم داد. رابطه بین آنها با قضیه تقسیم پذیری با باقیمانده مشخص می شود.

قضیه

هر عدد صحیح را فقط می توان بر حسب یک عدد صحیح و یک عدد غیرصفر b به این صورت نشان داد: a = b · q + r ، که در آن q و r برخی از اعداد صحیح هستند. در اینجا ما 0 ≤ r ≤ b داریم.

اجازه دهید امکان وجود a = b · q + r را اثبات کنیم.

اثبات

اگر دو عدد a و b وجود داشته باشد و a بدون باقیمانده بر b بخش پذیر باشد، از این تعریف نتیجه می شود که عدد q وجود دارد، تساوی a = b · q صادق خواهد بود. سپس برابری را می توان درست در نظر گرفت: a = b q + r برای r = 0.

سپس لازم است q را طوری بگیریم که توسط نابرابری b · q داده می شود< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .

داریم که مقدار عبارت a - b · q بزرگتر از صفر است و از مقدار b بزرگتر نیست، از این رو نتیجه می شود که r = a - b · q . دریافتیم که عدد a را می توان به صورت a = b · q + r نشان داد.

اکنون باید امکان نمایش a = b · q + r را برای مقادیر منفی b در نظر بگیریم.

مدول عدد مثبت می شود، سپس a = b q 1 + r را دریافت می کنیم، جایی که مقدار q 1 مقداری صحیح است، r یک عدد صحیح است که با شرط 0 ≤ r مطابقت دارد.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .

اثبات منحصر به فرد بودن

فرض کنید a = b q + r، q و r اعداد صحیح با شرط 0 ≤ r هستند.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1و r1برخی از اعداد که در آن q 1 ≠ q، 0 ≤ r1< b .

وقتی نابرابری از سمت چپ و راست کم شود، 0 = b · (q − q 1) + r − r 1 به دست می آید که معادل r - r 1 = b · q 1 - q است. از آنجایی که ماژول استفاده می شود، برابری r - r 1 = b · q 1 - q را بدست می آوریم.

شرط داده شده می گوید که 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qو q 1- کل، و q ≠ q 1، سپس q 1 - q ≥ 1 . از این رو داریم که b · q 1 - q ≥ b . نابرابری های حاصل از r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.

از این نتیجه می شود که عدد a را نمی توان به روش دیگری نشان داد، مگر با چنین نمادی a = b · q + r.

رابطه بین سود تقسیمی، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده

با استفاده از برابری a \u003d b c + d، زمانی که مقسوم علیه b با ضریب ناقص c و باقیمانده d شناخته می شود، می توانید سود مجهول a را پیدا کنید.

مثال 1

سود سهام را در صورتی تعیین کنید که هنگام تقسیم - 21، یک ضریب ناقص 5 و باقیمانده 12 به دست آید.

تصمیم گیری

لازم است سود سهام a را با یک مقسوم علیه شناخته شده b = - 21، یک ضریب ناقص c = 5، و یک باقیمانده d = 12 محاسبه کنیم. باید به تساوی a = b c + d اشاره کنیم، از اینجا a = (− 21) 5 + 12 به دست می آوریم. با توجه به ترتیب عملیات ، ما - 21 را در 5 ضرب می کنیم ، پس از آن (- 21) 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 بدست می آوریم.

پاسخ: - 93 .

رابطه بین مقسوم علیه و ضریب جزئی و باقیمانده را می توان با استفاده از تساوی بیان کرد: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b و d = a - b · c . با کمک آنها می توانیم مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده را محاسبه کنیم. این به یافتن دائمی باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح a بر b با یک تقسیم‌کننده، مقسوم‌کننده و ضریب جزئی مشخص می‌شود. فرمول d = a − b · c اعمال می شود. بیایید راه حل را با جزئیات در نظر بگیریم.

مثال 2

باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح - 19 بر یک عدد صحیح 3 با ضریب ناقص شناخته شده برابر با - 7 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

برای محاسبه باقی مانده یک تقسیم، فرمولی به شکل d = a - b c را اعمال می کنیم. طبق شرط، تمام داده های a = - 19، b = 3، c = - 7 در دسترس هستند. از اینجا به d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (تفاوت - 19 - (- 21) می رسیم... این مثال با قانون تفریق عدد منفی کامل محاسبه می شود.

پاسخ: 2 .

همه اعداد صحیح مثبت طبیعی هستند. نتیجه این است که تقسیم طبق تمام قوانین تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی انجام می شود. سرعت تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی مهم است، زیرا نه تنها تقسیم اعداد مثبت بر اساس آن است، بلکه قوانین تقسیم اعداد صحیح دلخواه نیز وجود دارد.

راحت‌ترین روش تقسیم یک ستون است، زیرا گرفتن یک ناقص یا فقط یک ضریب با باقیمانده آسان‌تر و سریع‌تر است. بیایید راه حل را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

مثال 3

14671 را بر 54 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

این تقسیم باید در یک ستون انجام شود:

یعنی ضریب ناقص برابر با 271 و باقیمانده 37 است.

پاسخ: 14671: 54 = 271. (استراحت. 37)

قانون تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی، مثال‌هایی

برای انجام تقسیم با باقیمانده یک عدد مثبت بر یک عدد صحیح منفی، لازم است یک قانون فرموله شود.

تعریف 1

ضریب ناقص تقسیم یک عدد صحیح مثبت a بر یک عدد صحیح منفی b عددی را به دست می دهد که مخالف ضریب ناقص تقسیم ماژول های اعداد a بر b است. سپس با تقسیم a بر b، باقیمانده باقیمانده است.

از این رو داریم که ضریب ناقص تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی یک عدد صحیح غیر مثبت در نظر گرفته می شود.

الگوریتم را دریافت می کنیم:

• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم، سپس یک ضریب ناقص بدست می آوریم و
• باقی مانده؛
• عدد مقابل را یادداشت کنید

مثالی از الگوریتم تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی را در نظر بگیرید.

مثال 4

تقسیم را با باقیمانده 17 در 5 انجام دهید.

تصمیم گیری

بیایید الگوریتم تقسیم را با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت به یک عدد صحیح منفی اعمال کنیم. لازم است که 17 را بر 5 مدول تقسیم کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب ناقص 3 و باقیمانده 2 است.

عدد مورد نظر را از تقسیم 17 بر - 5 \u003d - 3 با باقیمانده 2 بدست می آوریم.

پاسخ: 17: (- 5) = − 3 (2 باقیمانده).

مثال 5

45 را بر 15 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

لازم است که مدول اعداد را تقسیم کنیم. عدد 45 را بر 15 تقسیم می کنیم، ضریب 3 را بدون باقی مانده بدست می آوریم. بنابراین عدد 45 بدون باقی مانده بر 15 بخش پذیر است. در پاسخ می گیریم - 3، زیرا تقسیم بندی به صورت مدول انجام شد.

45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3

پاسخ: 45: (− 15) = − 3 .

فرمول قانون تقسیم با باقیمانده به شرح زیر است.

تعریف 2

برای به دست آوردن یک ضریب ناقص c هنگام تقسیم یک عدد صحیح منفی   a به مثبت b، باید برعکس این عدد را اعمال کنید و 1 را از آن کم کنید، سپس باقیمانده d با فرمول محاسبه می شود: d = a - b · ج.

بر اساس قاعده، می توان نتیجه گرفت که هنگام تقسیم، یک عدد صحیح غیر منفی به دست می آوریم. برای صحت جواب از الگوریتم تقسیم a بر b با باقی مانده استفاده می شود:

• ماژول های سود و تقسیم کننده را پیدا کنید.
• مدول تقسیم؛
• برعکس عدد داده شده را بنویسید و 1 را کم کنید.
• از فرمول برای باقیمانده d = a − b c استفاده کنید.

مثالی از راه حلی را در نظر بگیرید که در آن از این الگوریتم استفاده شده است.

مثال 6

ضریب ناقص و باقیمانده تقسیم - 17 بر 5 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ما مدول اعداد داده شده را تقسیم می کنیم. دریافت می کنیم که هنگام تقسیم، ضریب 3 و باقیمانده 2 است. از آنجایی که ما 3 گرفتیم، برعکس آن 3 است. باید 1 کم کرد.

− 3 − 1 = − 4 .

مقدار مورد نظر برابر است با - 4 .

برای محاسبه باقیمانده به a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , سپس d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = نیاز دارید. 3 .

این بدان معنی است که ضریب ناقص تقسیم عدد - 4 با باقیمانده برابر با 3 است.

پاسخ:(− 17) : 5 = − 4 (3 باقیمانده).

مثال 7

عدد صحیح منفی 1404 را بر مثبت 26 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

تقسیم بر ستون و مدول ضروری است.

ما تقسیم بندی ماژول های اعداد را بدون باقی مانده بدست آوردیم. این بدان معنی است که تقسیم بدون باقیمانده انجام می شود و ضریب مورد نظر = - 54 است.

پاسخ: (− 1 404) : 26 = − 54 .

قانون تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح منفی، مثال

لازم است یک قانون تقسیم با باقیمانده اعداد منفی صحیح فرموله شود.

تعریف 3

برای به دست آوردن یک ضریب ناقص از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح منفی b، باید محاسبات مدول انجام شود، پس از آن 1 را اضافه کنید، سپس می توانیم با استفاده از فرمول d = a - b · c محاسبه کنیم.

از این نتیجه می شود که ضریب ناقص تقسیم اعداد صحیح منفی یک عدد مثبت خواهد بود.

ما این قانون را در قالب یک الگوریتم فرموله می کنیم:

• ماژول های سود و تقسیم کننده را پیدا کنید.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم کنید تا یک ضریب ناقص با
• باقی مانده؛
• اضافه کردن 1 به ضریب ناقص؛
• محاسبه باقی مانده، بر اساس فرمول d = a - b c.

بیایید این الگوریتم را با یک مثال در نظر بگیریم.

مثال 8

ضریب ناقص و باقیمانده را هنگام تقسیم - 17 بر - 5 پیدا کنید.

تصمیم گیری

برای صحت جواب از الگوریتم تقسیم با باقی مانده استفاده می کنیم. ابتدا مدول اعداد را تقسیم کنید. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب ناقص \u003d 3 و باقیمانده 2 است. طبق قانون باید ضریب ناقص و 1 را جمع کرد. دریافت می کنیم که 3 + 1 = 4. از اینجا دریافتیم که ضریب ناقص حاصل از تقسیم اعداد داده شده 4 است.

برای محاسبه باقی مانده، فرمول را اعمال می کنیم. طبق شرط ، ما باید a \u003d - 17 ، b \u003d - 5 ، c \u003d 4 ، سپس با استفاده از فرمول ، d \u003d a - b c \u003d - 17 - (-5) 4 \u003d - بدست آوریم 17 - (- 20) = − 17 + 20 = 3 . جواب مورد نظر یعنی باقیمانده 3 و ضریب ناقص 4 است.

پاسخ:(- 17) : (- 5) = 4 (3 باقی مانده).

بررسی نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

پس از انجام تقسیم اعداد با باقیمانده، بررسی لازم است. این بررسی شامل 2 مرحله است. ابتدا، باقیمانده d برای غیر منفی بودن بررسی می شود، شرط 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال 9

تقسیم بندی تولید شده - 521 در - 12. ضریب 44 و باقیمانده 7 است. یک چک اجرا کنید.

تصمیم گیری

از آنجایی که باقیمانده یک عدد مثبت است، مقدار آن کمتر از مدول مقسوم علیه است. مقسوم علیه 12- است، پس مدول آن 12 است. می توانید به پست بازرسی بعدی بروید.

با شرط، داریم که a = - 521، b = - 12، c = 44، d = 7. از اینجا b c + d را محاسبه می کنیم که b c + d = - 12 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521 . نتیجه می شود که برابری درست است. چک پاس شد

مثال 10

تقسیم بندی (- 17) را بررسی کنید: 5 = - 3 (باقی مانده - 2). آیا برابری درست است؟

تصمیم گیری

منظور از مرحله اول این است که باید تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کرد. این نشان می دهد که عمل به اشتباه انجام شده است، زیرا باقیمانده برابر با - 2 است. باقی مانده یک عدد منفی نیست.

داریم که شرط دوم برآورده می شود، اما برای این مورد کافی نیست.

پاسخ:نه

مثال 11

عدد - 19 تقسیم بر - 3 . ضریب جزئی 7 و باقیمانده 1 است. بررسی کنید که آیا این محاسبه درست است یا خیر.

تصمیم گیری

با توجه به باقی مانده 1. او مثبت است. مقدار کمتر از ماژول تقسیم کننده است، به این معنی که مرحله اول انجام شده است. بیایید به مرحله دوم برویم.

بیایید مقدار عبارت b · c + d را محاسبه کنیم. طبق شرط ، ما باید b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1 ، بنابراین با جایگزینی مقادیر عددی ، b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - بدست می آوریم 20. نتیجه می شود که a = b · c + d برابری برآورده نمی شود، زیرا شرط a = - 19 داده می شود.

این نشان می دهد که تقسیم با یک اشتباه انجام شده است.

پاسخ:نه

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

علائم بخش پذیری اعداد- اینها قوانینی هستند که اجازه می دهند، بدون تقسیم، نسبتاً سریع بفهمند که آیا این عدد بر یک معین بدون باقیمانده بخش پذیر است یا خیر.
بعضی از نشانه های تقسیم پذیریبسیار ساده، برخی دشوارتر. در این صفحه هر دو علامت بخش پذیری اعداد اول مانند 2، 3، 5، 7، 11 و نشانه های تقسیم پذیری اعداد مرکب مانند 6 یا 12 را خواهید یافت.
امیدوارم این اطلاعات برای شما مفید باشد.
یادگیری مبارک!

علامت بخش پذیری بر 2

این یکی از ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری است. به نظر می رسد: اگر رکورد یک عدد طبیعی به یک رقم زوج ختم شود، آنگاه زوج است (بدون باقیمانده بر 2 تقسیم می شود) و اگر رکورد یک عدد به یک رقم فرد ختم شود، این عدد فرد است.
به عبارت دیگر، اگر آخرین رقم یک عدد باشد 2 , 4 , 6 , 8 یا 0 - عدد بر 2 بخش پذیر است، اگر نه، پس قابل بخش نیست
به عنوان مثال، اعداد: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 بر 2 بخش پذیر هستند زیرا زوج هستند.
اعداد: 23 5 , 137 , 2303
بر 2 بخش پذیر نیستند زیرا فرد هستند.

علامت بخش پذیری بر 3

این علامت بخش پذیری قوانین کاملاً متفاوتی دارد: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، آن عدد نیز بر 3 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر نباشد آن عدد بر 3 بخش پذیر نیست.
بنابراین، برای اینکه بفهمید یک عدد بر 3 بخش پذیر است یا خیر، کافی است اعدادی که آن را تشکیل می دهند را با هم جمع کنید.
به نظر می رسد: 3987 و 141 بر 3 تقسیم می شوند، زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - بدون باقیمانده بر 3 بخش پذیر است)، و در دومی 1+4+1= 6 (6:3=2 - همچنین بدون باقیمانده بر 3 بخش پذیر است).
اما اعداد 235 و 566 بر 3 بخش پذیر نیستند زیرا 2+3+5= 10 و 5+6+6= 17 (و می دانیم که نه 10 و نه 17 را نمی توان بر 3 بدون باقی مانده تقسیم کرد).

بخش پذیری بر 4 علامت

این آزمون تقسیم پذیری پیچیده تر خواهد بود. اگر 2 رقم آخر عدد، عددی را تشکیل دهد که بر 4 بخش پذیر باشد یا 00 باشد، آن عدد بر 4 بخش پذیر است، در غیر این صورت این عدد بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر نیست.
به عنوان مثال: 1 00 و 3 64 بر 4 بخش پذیر هستند، زیرا در حالت اول عدد به پایان می رسد 00 ، و در دوم 64 که به نوبه خود بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است (64:4=16)
اعداد 3 57 و 8 86 بر 4 بخش پذیر نیستند زیرا هیچ کدام 57 نه نه 86 بر 4 بخش پذیر نیستند و بنابراین با این معیار تقسیم پذیری مطابقت ندارند.

علامت بخش پذیری بر 5

و باز هم یک علامت نسبتاً ساده برای بخش پذیری داریم: اگر رکورد یک عدد طبیعی به رقم 0 یا 5 ختم شود، این عدد بدون باقی مانده بر 5 بخش پذیر است. اگر رکورد عدد با رقم دیگری به پایان برسد، پس عدد بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر نیست.
این بدان معنی است که هر عددی که به رقم ختم می شود 0 و 5 مثلاً 1235 5 و 43 0 ، تحت قاعده قرار می گیرند و بر 5 بخش پذیر هستند.
و مثلاً 1549 3 و 56 4 به 5 یا 0 ختم نمی شوند، یعنی نمی توان آنها را بدون باقی مانده بر 5 بخش کرد.

علامت بخش پذیری بر 6

قبل از ما یک عدد مرکب 6 است که حاصل ضرب اعداد 2 و 3 است. بنابراین علامت بخش پذیری بر 6 نیز مرکب است: برای اینکه یک عدد بر 6 بخش پذیر باشد باید با دو علامت بخش پذیری مطابقت داشته باشد. در عین حال: علامت بخش پذیری بر 2 و علامت بخش پذیری بر 3. در عین حال، توجه داشته باشید که عدد مرکب مانند 4 دارای علامت تقسیم پذیری فردی است، زیرا به خودی خود حاصل ضرب عدد 2 است. . اما به آزمون بخش پذیری بر 6 برگردیم.
اعداد 138 و 474 زوج هستند و با علائم بخش پذیری بر 3 مطابقت دارند (1+3+8=12، 12:3=4 و 4+7+4=15، 15:3=5) که به این معنی است که آنها هستند. بخش پذیر بر 6. اما 123 و 447، اگرچه بر 3 بخش پذیرند (1+2+3=6، 6:3=2 و 4+4+7=15، 15:3=5)، اما فرد هستند، و بنابراین با معیار بخش پذیری بر 2 مطابقت ندارند و بنابراین با معیار تقسیم پذیری بر 6 مطابقت ندارند.

علامت بخش پذیری بر 7

این معیار بخش‌پذیری پیچیده‌تر است: اگر عددی بر 7 بخش‌پذیر است، اگر نتیجه تفریق رقم آخر دو برابر شده از تعداد ده‌ها این عدد بر 7 یا برابر با 0 باشد.
نسبتاً گیج کننده به نظر می رسد، اما در عمل ساده است. خودتان ببینید: شماره 95 9 بر 7 بخش پذیر است زیرا 95 -2*9=95-18=77، 77:7=11 (77 بدون باقیمانده بر 7 بخش پذیر است). علاوه بر این، اگر تعداد به‌دست‌آمده در طول تبدیل‌ها مشکلاتی وجود داشته باشد (به دلیل اندازه آن، درک اینکه آیا بر 7 بخش‌پذیر است یا خیر دشوار است، پس این روش را می‌توان هر چند بار که صلاح می‌دانید ادامه داد).
مثلا، 45 5 و 4580 1 دارای نشانه های بخش پذیری بر 7 است. در مورد اول، همه چیز بسیار ساده است: 45 -2*5=45-10=35، 35:7=5. در حالت دوم این کار را انجام می دهیم: 4580 -2*1=4580-2=4578. برای ما دشوار است که بفهمیم آیا 457 8 در 7، پس بیایید این روند را تکرار کنیم: 457 -2*8=457-16=441. و دوباره از علامت بخش پذیری استفاده خواهیم کرد، زیرا هنوز یک عدد سه رقمی در مقابل خود داریم 44 1. بنابراین، 44 -2*1=44-2=42، 42:7=6، یعنی. 42 بدون باقی مانده بر 7 بخش پذیر است، یعنی 45801 نیز بر 7 بخش پذیر است.
و این اعداد است 11 1 و 34 5 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا 11 -2*1=11-2=9 (9 به طور مساوی بر 7 بخش پذیر نیست) و 34 -2*5=34-10=24 (24 به طور مساوی بر 7 بخش پذیر نیست).

علامت بخش پذیری بر 8

علامت بخش پذیری بر 8 اینگونه به نظر می رسد: اگر 3 رقم آخر عددی را تشکیل دهند که بر 8 بخش پذیر است یا 000 باشد، عدد داده شده بر 8 بخش پذیر است.
اعداد 1 000 یا 1 088 بر 8 تقسیم می شوند: اولی به پایان می رسد 000 ، دومین 88 :8=11 (بدون باقیمانده بر 8 بخش پذیر است).
و این هم اعداد 1 100 یا 4 757 بر 8 بخش پذیر نیستند زیرا اعداد 100 و 757 بدون باقی مانده بر 8 بخش پذیر نیستند.

علامت بخش پذیری بر 9

این علامت بخش پذیری شبیه علامت بخش پذیری بر 3 است: اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، آن عدد نیز بر 9 بخش پذیر است. اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر نباشد، آن عدد بر 9 بخش پذیر نیست.
به عنوان مثال: 3987 و 144 بر 9 بخش پذیر هستند زیرا در حالت اول 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - قابل تقسیم بدون باقیمانده بر 9)، و در دومی 1+4+4= 9 (9:9=1 - همچنین بدون باقیمانده بر 9 بخش پذیر است).
اما اعداد 235 و 141 بر 9 بخش پذیر نیستند زیرا 2+3+5= 10 و 1+4+1= 6 (و می دانیم که نه 10 و نه 6 را نمی توان بر 9 بدون باقی مانده تقسیم کرد).

علائم بخش پذیری بر 10، 100، 1000 و واحدهای بیتی دیگر

من این معیارهای تقسیم پذیری را ترکیب کردم زیرا می توان آنها را به همین شکل توصیف کرد: یک عدد بر یک واحد بیت بخش پذیر است اگر تعداد صفرهای انتهای عدد بزرگتر یا مساوی با تعداد صفرهای یک واحد بیت معین باشد.
به عبارت دیگر، برای مثال، اعدادی مانند این داریم: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . که همه آنها بر 1 بخش پذیرند 0 ; 46400 و 867 000 بر 1 نیز بخش پذیرند 00 ; و تنها یکی از آنها - 867 000 قابل تقسیم بر 1 000 .
هر عددی که به صفر کمتر از یک واحد بیت ختم می شود بر آن واحد بیت بخش پذیر نیست، مانند 600 30 و 7 93 به اشتراک نگذارید 1 00 .

علامت بخش پذیری بر 11

برای اینکه بفهمید یک عدد بر 11 بخش پذیر است یا خیر، باید تفاوت مجموع ارقام زوج و فرد این عدد را بدست آورید. اگر این تفاوت برابر با 0 یا بخش پذیر بر 11 بدون باقی مانده باشد، خود عدد بدون باقی مانده بر 11 بخش پذیر است.
برای روشن تر شدن موضوع، پیشنهاد می کنم مثال هایی را در نظر بگیریم: 2 35 4 بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 نیز بر 11 بخش پذیر است زیرا ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
و اینجا 1 است 1 1 یا 4 35 4 بر 11 بخش پذیر نیست ، زیرا در حالت اول (1 + 1) - 1 =1 و در دومی ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

علامت بخش پذیری بر 12

عدد 12 مرکب است. علامت تقسیم پذیری آن مطابقت با علائم تقسیم پذیری بر 3 و بر 4 است.
به عنوان مثال، 300 و 636 هر دو با علائم بخش پذیری بر 4 (دو رقم آخر صفر هستند یا بر 4 بخش پذیر هستند) و علائم بخش پذیری بر 3 (مجموع ارقام و اعداد اول و دوم بر 3 بخش پذیر هستند) مطابقت دارد. ) و بنابراین بدون باقیمانده بر 12 بخش پذیرند.
اما 200 یا 630 بر 12 بخش پذیر نیستند، زیرا در مورد اول این عدد فقط با علامت بخش پذیری بر 4 و در مورد دوم فقط با علامت بخش پذیری بر 3 مطابقت دارد. اما نه هر دو علامت در یک زمان.

علامت بخش پذیری بر 13

نشانه بخش پذیری بر 13 این است که اگر تعداد ده ها عددی که به واحدهای این عدد ضرب در 4 اضافه می شود، مضرب 13 یا مساوی 0 باشد، خود آن عدد بر 13 بخش پذیر است.
برای مثال در نظر بگیرید 70 2. بنابراین 70 +4*2=78، 78:13=6 (78 به طور مساوی بر 13 بخش پذیر است)، بنابراین 70 2 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر است. مثال دیگر عدد است 114 4. 114 +4*4=130، 130:13=10. عدد 130 بدون باقیمانده بر 13 بخش پذیر است، به این معنی که عدد داده شده با علامت بخش پذیری بر 13 مطابقت دارد.
اگر اعداد را بگیریم 12 5 یا 21 2، سپس دریافت می کنیم 12 +4*5=32 و 21 به ترتیب +4*2=29 و نه 32 و نه 29 بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند، یعنی اعداد داده شده بدون باقی مانده بر 13 بخش پذیر نیستند.

تقسیم پذیری اعداد

همانطور که از مطالب بالا مشاهده می شود، می توان فرض کرد که هر یک از اعداد طبیعی را می توان با علامت منفرد بخش پذیری یا علامت " مرکب " تطبیق داد اگر عدد مضرب چندین عدد مختلف باشد. اما همانطور که تمرین نشان می دهد، اساساً هر چه عدد بزرگتر باشد، ویژگی آن پیچیده تر است. شاید زمان صرف شده برای بررسی معیار تقسیم پذیری برابر یا بیشتر از خود تقسیم باشد. به همین دلیل است که ما معمولا از ساده ترین تست های تقسیم پذیری استفاده می کنیم.

در این مقاله به تجزیه و تحلیل خواهیم پرداخت تقسیم عدد صحیح با باقی مانده. بیایید با اصل کلی تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده شروع کنیم، قضیه ای در مورد تقسیم پذیری اعداد صحیح با باقی مانده را فرموله و اثبات کنیم و ارتباطات بین تقسیم، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده را دنبال کنیم. در مرحله بعد قوانینی را که به وسیله آنها تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده انجام می شود را اعلام می کنیم و هنگام حل مثال ها کاربرد این قوانین را در نظر می گیریم. پس از آن، ما یاد خواهیم گرفت که چگونه نتیجه تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بررسی کنیم.

پیمایش صفحه.

ایده کلی تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده را به عنوان تعمیم تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی در نظر خواهیم گرفت. این به دلیل این واقعیت است که اعداد طبیعی جزء اعداد صحیح هستند.

بیایید با اصطلاحات و نمادهایی که در توضیحات استفاده می شود شروع کنیم.

با قیاس با تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده، فرض می کنیم که نتیجه تقسیم با باقیمانده دو عدد صحیح a و b (b برابر با صفر نیست) دو عدد صحیح c و d باشد. اعداد a و b نامیده می شوند قابل تقسیمو تقسیم کنندهبه ترتیب عدد d است باقی ماندهاز تقسیم a بر b، و عدد صحیح c نامیده می شود خصوصی ناقص(یا به سادگی خصوصیاگر باقیمانده صفر باشد).

بیایید قبول کنیم که باقیمانده یک عدد صحیح غیر منفی است، و مقدار آن از b تجاوز نمی کند، یعنی، (زمانی که در مورد مقایسه سه یا چند اعداد صحیح صحبت کردیم، زنجیره های مشابهی از نابرابری ها را دیدیم).

اگر عدد c یک ضریب جزئی باشد و عدد d باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b باشد، این واقعیت را به طور خلاصه به صورت تساوی به شکل a:b=c (باقیمانده d) می نویسیم.

توجه داشته باشید که وقتی یک عدد صحیح a بر عدد صحیح b تقسیم می شود، باقیمانده می تواند صفر باشد. در این صورت می گوییم a بر b بخش پذیر است بدون هیچ ردی(یا به طور کامل). بنابراین، تقسیم اعداد صحیح بدون باقی مانده، مورد خاصی از تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده است.

همچنین شایان ذکر است که هنگام تقسیم صفر بر یک عدد صحیح، همیشه با تقسیم بدون باقی مانده سروکار داریم، زیرا در این حالت ضریب برابر با صفر خواهد بود (به بخش نظریه تقسیم صفر بر یک عدد صحیح مراجعه کنید). باقی مانده نیز برابر با صفر خواهد بود.

ما در مورد اصطلاحات و نشانه گذاری تصمیم گرفته ایم، حالا بیایید معنای تقسیم اعداد صحیح را با باقی مانده بفهمیم.

تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b نیز می تواند منطقی باشد. برای این کار یک عدد صحیح منفی را به عنوان بدهی در نظر بگیرید. بیایید چنین وضعیتی را تصور کنیم. بدهی که اقلام را تشکیل می دهد باید توسط b نفر بازپرداخت شود که همان سهم را دارند. قدر مطلق ضریب ناقص c در این حالت میزان بدهی هر یک از این افراد را مشخص می کند و d باقی مانده نشان می دهد که پس از پرداخت بدهی چند مورد باقی می ماند. بیایید یک مثال بزنیم. فرض کنید 2 نفر 7 سیب بدهکار هستند. اگر فرض کنیم که هر کدام از آنها 4 سیب بدهکار هستند، پس از پرداخت بدهی، 1 سیب برای آنها باقی می ماند. این وضعیت با برابری (-7):2=-4 (1 باقی مانده) مطابقت دارد.

تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح دلخواه a به یک عدد صحیح منفی، هیچ معنایی را ضمیمه نمی کنیم، اما حق وجود را برای آن باقی می گذاریم.

قضیه تقسیم پذیری برای اعداد صحیح با باقی مانده

وقتی در مورد تقسیم اعداد طبیعی با باقی مانده صحبت کردیم، متوجه شدیم که تقسیم a، مقسوم‌کننده b، ضریب جزئی c و باقیمانده d با تساوی a=b c+d مرتبط هستند. اعداد صحیح a , b , c و d رابطه مشابهی دارند. این ارتباط با موارد زیر تایید می شود قضیه تقسیم پذیری با باقی مانده.

قضیه.

هر عدد صحیح a را می توان به روشی منحصربفرد از طریق یک عدد صحیح و یک عدد غیر صفر b به شکل a=b q+r نشان داد، که در آن q و r برخی از اعداد صحیح هستند و .

اثبات

اجازه دهید ابتدا امکان نمایش a=b·q+r را اثبات کنیم.

اگر اعداد صحیح a و b به گونه ای باشند که a به طور مساوی بر b بخش پذیر باشد، طبق تعریف یک عدد صحیح q وجود دارد به طوری که a=b q . در این حالت، برابری a=b q+r برای r=0 صادق است.

حال فرض می کنیم که b یک عدد صحیح مثبت است. یک عدد صحیح q را طوری انتخاب می کنیم که حاصل ضرب b·q از عدد a تجاوز نکند و حاصل ضرب b·(q+1) از قبل بزرگتر از a باشد. یعنی q را طوری می گیریم که نابرابری های b q

باقی مانده است که امکان نمایش a=b q+r برای منفی b را اثبات کنیم.

از آنجایی که مدول عدد b در این مورد یک عدد مثبت است، پس نمایشی برای، وجود دارد که در آن q 1 مقداری صحیح است، و r یک عدد صحیح است که شرایط را برآورده می کند. سپس، با فرض q=−q 1، نمایش مورد نیاز a=b q+r را برای منفی b به دست می آوریم.

ما به اثبات یکتایی روی می آوریم.

فرض کنید که علاوه بر نمایش a=b q+r، q و r اعداد صحیح هستند و، نمایش دیگری نیز وجود دارد a=b q 1 +r 1، که در آن q 1 و r 1 برخی از اعداد صحیح هستند و q 1 ≠ q و .

پس از تفریق به ترتیب از قسمت های چپ و راست تساوی اول، قسمت های چپ و راست تساوی دوم، 0=b (q−q 1)+r−r 1 را به دست می آوریم که معادل برابری r− است. r 1 =b (q 1 − q) . سپس برابری فرم ، و با توجه به خواص مدول عدد - و برابری .

از شرایط و می توان نتیجه گرفت که . از آنجایی که q و q 1 اعداد صحیح هستند و q≠q 1 هستند، از آنجا نتیجه می گیریم که . از نابرابری های به دست آمده و نتیجه می شود که برابری شکل تحت فرض ما غیر ممکن است بنابراین، هیچ نمایش دیگری از عدد a وجود ندارد، به جز a=b·q+r.

روابط بین سود سهام، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده

برابری a=b c+d به شما این امکان را می دهد که اگر مقسوم علیه b، ضریب جزئی c و باقیمانده d شناخته شده باشند، سود مجهول a را پیدا کنید. یک مثال را در نظر بگیرید.

مثال.

اگر تقسیم آن بر عدد صحیح -21 به ضریب ناقص 5 و باقیمانده 12 منجر شود، سود سهام برابر با چه مقدار است؟

تصمیم گیری

زمانی که مقسوم علیه b=−21، ضریب جزئی c=5 و باقیمانده d=12 را بدانیم، باید سود سهام a را محاسبه کنیم. با چرخش به برابری a=b c+d، a=(−21) 5+12 را دریافت می کنیم. با مشاهده، ابتدا ضرب اعداد صحیح 21- و 5 را طبق قانون ضرب اعداد صحیح با علائم مختلف انجام می دهیم، پس از آن اعداد صحیح را با علائم مختلف جمع می کنیم: (21--) 5+12=-105+12 =−93.

پاسخ:

−93 .

روابط بین سود تقسیمی، مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده نیز با برابری هایی به شکل b=(a−d):c، c=(a−d):b و d=a−b·c بیان می شود. این تساوی ها به ما امکان می دهد به ترتیب مقسوم علیه، نصاب جزئی و باقیمانده را محاسبه کنیم. ما اغلب باید با استفاده از فرمول d=a-b·c، باقیمانده تقسیم یک عدد صحیح a بر یک عدد صحیح b را زمانی که سود تقسیمی، مقسوم علیه و ضریب جزئی مشخص است، پیدا کنیم. به منظور اجتناب از سوالات بیشتر، نمونه ای از محاسبه باقی مانده را تحلیل خواهیم کرد.

مثال.

اگر ضریب جزئی آن 7- باشد، باقیمانده تقسیم عدد صحیح −19 را بر عدد صحیح 3 بیابید.

تصمیم گیری

برای محاسبه باقی مانده تقسیم، از فرمولی به شکل d=a−b·c استفاده می کنیم. از شرط ما تمام داده های لازم a=−19, b=3, c=−7 را داریم. d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (تفاوت −19−(−21) را با قانون تفریق یک منفی محاسبه کردیم. عدد صحیح).

پاسخ:

تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت، مثال

همانطور که قبلاً بیش از یک بار اشاره کرده ایم، اعداد صحیح مثبت اعداد طبیعی هستند. بنابراین، تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت طبق تمام قوانین تقسیم با باقیمانده اعداد طبیعی انجام می شود. بسیار مهم است که بتوانیم به راحتی تقسیم را با باقیمانده اعداد طبیعی انجام دهیم، زیرا این است که اساس تقسیم نه تنها اعداد صحیح مثبت، بلکه اساس همه قوانین تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح دلخواه است.

از دیدگاه ما، انجام تقسیم با یک ستون راحت تر است، این روش به شما امکان می دهد هم یک ضریب ناقص (یا فقط یک ضریب) و هم یک باقیمانده را بدست آورید. نمونه ای از تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح مثبت را در نظر بگیرید.

مثال.

یک تقسیم با باقیمانده 14671 بر 54 انجام دهید.

تصمیم گیری

بیایید تقسیم این اعداد صحیح مثبت را بر یک ستون انجام دهیم:

ضریب ناقص 271 و باقیمانده 37 است.

پاسخ:

14 671:54=271 (37 بقیه).

قانون تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی، مثال‌هایی

اجازه دهید قاعده ای را فرمول بندی کنیم که به ما امکان می دهد با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت به یک عدد صحیح منفی تقسیم کنیم.

ضریب جزئی تقسیم یک عدد صحیح مثبت a بر یک عدد صحیح منفی b برعکس ضریب جزئی تقسیم a بر مدول b است و مابقی تقسیم a بر b باقیمانده تقسیم بر .

از این قاعده نتیجه می شود که ضریب جزئی تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی یک عدد صحیح غیر مثبت است.

بیایید قانون بیان شده را به الگوریتمی برای تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی تبدیل کنیم:

• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم، نصاب ناقص و باقیمانده را می گیریم. (اگر در این حالت باقیمانده برابر با صفر بود، اعداد اصلی بدون باقیمانده تقسیم می شوند و طبق قانون تقسیم اعداد صحیح با علامت مخالف، ضریب مورد نظر برابر است با عدد مقابل ضریب از تقسیم ماژول ها.)
• عدد مقابل نصاب ناقص دریافتی را می نویسیم و بقیه را. این اعداد به ترتیب ضریب مورد نظر و باقیمانده تقسیم عدد صحیح مثبت اصلی بر یک عدد صحیح منفی هستند.

اجازه دهید مثالی از استفاده از الگوریتم تقسیم یک عدد صحیح مثبت بر یک عدد صحیح منفی ارائه دهیم.

مثال.

باقیمانده یک عدد صحیح مثبت 17 را بر یک عدد صحیح منفی -5 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

بیایید از الگوریتم تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح مثبت به یک عدد صحیح منفی استفاده کنیم.

تقسيم كردن

عدد مقابل 3 -3 است. بنابراین، ضریب جزئی لازم برای تقسیم 17 بر 5-3- و باقیمانده 2 است.

پاسخ:

17 :(-5)=-3 (استراحت 2).

مثال.

تقسیم کنید 45 در 15-.

تصمیم گیری

ماژول های سود سهام و تقسیم کننده به ترتیب 45 و 15 هستند. عدد 45 بدون باقیمانده بر 15 بخش پذیر است در حالی که ضریب آن 3 است. بنابراین، عدد صحیح مثبت 45 بر عدد صحیح منفی -15 بدون باقی مانده بخش پذیر است، در حالی که ضریب برابر با عدد مقابل 3 است، یعنی 3-. در واقع، طبق قاعده تقسیم اعداد صحیح با علائم مختلف، داریم.

پاسخ:

45:(−15)=−3 .

تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت، مثال

اجازه دهید قاعده تقسیم را با باقیمانده یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت فرموله کنیم.

برای بدست آوردن ضریب ناقص c از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح مثبت b، باید عدد مقابل ضریب ناقص را از تقسیم ماژول های اعداد اصلی گرفته و یک عدد از آن کم کنید و پس از آن باقیمانده d محاسبه می شود. با استفاده از فرمول d=a-b c.

از این قاعده تقسیم با باقیمانده نتیجه می شود که ضریب ناقص تقسیم یک عدد صحیح منفی بر یک عدد صحیح مثبت یک عدد صحیح منفی است.

از قانون بیان شده الگوریتم تقسیم با باقیمانده یک عدد صحیح منفی a به یک عدد صحیح مثبت b را دنبال می کند:

• ماژول های تقسیم کننده و تقسیم کننده را پیدا می کنیم.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم، نصاب ناقص و باقیمانده را می گیریم. (اگر باقیمانده صفر باشد، اعداد صحیح اصلی بدون باقی مانده قابل تقسیم هستند و ضریب مورد نظر برابر است با عدد مقابل ضریب حاصل از تقسیم ماژول ها).
• عدد مقابل نصاب ناقص دریافتی را یادداشت می کنیم و عدد 1 را از آن کم می کنیم. عدد محاسبه شده ضریب جزئی c مورد نظر از تقسیم عدد صحیح منفی اصلی بر یک عدد صحیح مثبت است.

بیایید حل مثال را تجزیه و تحلیل کنیم، که در آن از الگوریتم تقسیم نوشتاری با باقی مانده استفاده می کنیم.

مثال.

ضریب جزئی و باقیمانده عدد صحیح منفی -17 تقسیم بر عدد صحیح مثبت 5 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

مدول تقسیم سود 17- 17 و مدول تقسیم کننده 5 برابر با 5 است.

تقسيم كردن 17 در 5 ضریب ناقص 3 و باقیمانده 2 بدست می آوریم.

نقطه مقابل 3 -3 است. یک را از −3 کم کنید: −3−1=−4. بنابراین، ضریب ناقص مورد نظر 4- است.

باقی مانده محاسبه باقی مانده است. در مثال ما a=−17، b=5، c=−4، سپس d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3.

بنابراین، ضریب جزئی عدد صحیح منفی 17- تقسیم بر عدد صحیح مثبت 5 برابر با 4- و باقیمانده 3 است.

پاسخ:

(−17):5=−4 (استراحت. 3) .

مثال.

عدد صحیح منفی -1 404 را بر عدد صحیح مثبت 26 تقسیم کنید.

تصمیم گیری

مدول تقسیم 1404، مدول تقسیم کننده 26 است.

1404 را در یک ستون بر 26 تقسیم کنید:

از آنجایی که مدول تقسیم بر مدول مقسوم علیه بدون باقیمانده تقسیم می شود، اعداد صحیح اصلی بدون باقی مانده تقسیم می شوند و ضریب مورد نظر برابر است با عدد مقابل 54، یعنی 54-.

پاسخ:

(−1 404):26=−54 .

قانون تقسیم با باقیمانده اعداد صحیح منفی، مثال

اجازه دهید قانون تقسیم را با باقیمانده اعداد صحیح منفی فرموله کنیم.

برای بدست آوردن ضریب ناقص c از تقسیم یک عدد صحیح منفی a بر یک عدد صحیح منفی b، باید ضریب ناقص حاصل از تقسیم ماژول های اعداد اصلی را محاسبه کرده و یک عدد به آن اضافه کنید، پس از آن، باقیمانده d را با استفاده از فرمول d محاسبه کنید. =a−b ج.

از این قاعده نتیجه می شود که نصاب ناقص تقسیم اعداد صحیح منفی یک عدد صحیح مثبت است.

بیایید قانون بیان شده را در قالب یک الگوریتم برای تقسیم اعداد صحیح منفی بازنویسی کنیم:

• ماژول های تقسیم کننده و تقسیم کننده را پیدا می کنیم.
• مدول سود تقسیمی را بر مدول مقسوم علیه تقسیم می کنیم، نصاب ناقص و باقیمانده را می گیریم. (اگر باقیمانده صفر باشد، اعداد صحیح اصلی بدون باقی مانده قابل تقسیم هستند و ضریب مورد نظر برابر است با ضریب تقسیم مدول بخش پذیر بر مدول مقسوم علیه.)
• به ضریب ناقص حاصله یک اضافه می کنیم، این عدد ضریب ناقص مورد نظر از تقسیم اعداد صحیح منفی اصلی است.
• باقیمانده را با استفاده از فرمول d=a−b·c محاسبه کنید.

کاربرد الگوریتم تقسیم اعداد صحیح منفی را هنگام حل مثال در نظر بگیرید.

مثال.

ضریب جزئی و باقیمانده عدد صحیح منفی -17 تقسیم بر عدد صحیح منفی -5 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

ما از الگوریتم تقسیم مناسب با باقیمانده استفاده می کنیم.

مدول تقسیم 17، مدول تقسیم کننده 5 است.

بخش 17 ضربدر 5 ضریب ناقص 3 و مابقی 2 را می دهد.

به ضریب ناقص 3 یک اضافه می کنیم: 3+1=4. بنابراین، ضریب ناقص مورد نظر برای تقسیم 17- بر 5 برابر 4 است.

باقی مانده محاسبه باقی مانده است. در این مثال a=−17، b=−5، c=4، سپس d=a−b c=−17−(−5) 4=−17−(−20)=−17+20=3.

بنابراین، ضریب جزئی عدد صحیح منفی -17 تقسیم بر عدد صحیح منفی -5 برابر 4 است و باقیمانده 3 است.

پاسخ:

(-17): (-5)=4 (استراحت 3) .

بررسی نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده

پس از انجام تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده، بررسی نتیجه مفید است. تایید در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول بررسی می شود که آیا باقیمانده d عددی غیرمنفی است یا خیر و شرط نیز بررسی می شود. اگر تمام شرایط مرحله اول تأیید وجود داشته باشد، می توانید به مرحله دوم تأیید بروید، در غیر این صورت می توان استدلال کرد که در هنگام تقسیم با باقی مانده، در جایی خطایی رخ داده است. در مرحله دوم اعتبار برابری a=b·c+d بررسی می شود. اگر این برابری درست باشد، تقسیم با باقیمانده به درستی انجام شده است، در غیر این صورت، در جایی خطایی رخ داده است.

بیایید راه حل هایی را در نظر بگیریم که در آنها نتیجه تقسیم اعداد صحیح با باقی مانده بررسی می شود.

مثال.

وقتی عدد -521 را بر 12- تقسیم می کنیم، نصاب جزئی 44 و باقیمانده 7 بود، نتیجه را بررسی کنید.

تصمیم گیری −2 برای b=−3، c=7، d=1. ما داریم b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. بنابراین، برابری a=b c+d نادرست است (در مثال ما a=−19).

بنابراین، تقسیم با باقی مانده به اشتباه انجام شد.