Mówiąc o matematyce, nie sposób nie zapamiętać ułamków. Swojej nauce poświęcają dużo czasu i uwagi. Pamiętaj, ile przykładów musiałeś rozwiązać, aby nauczyć się pewnych zasad pracy z ułamkami, jak zapamiętałeś i zastosowałeś podstawową właściwość ułamka. Ile nerwów poświęcono na znalezienie wspólnego mianownika, zwłaszcza jeśli w przykładach było więcej niż dwa terminy!

Przypomnijmy sobie, co to jest, i odświeżmy trochę w naszej pamięci podstawowe informacje i zasady pracy z ułamkami.

Definiowanie ułamków

Zacznijmy od najważniejszej rzeczy - definicji. Ułamek to liczba składająca się z co najmniej jednej części jednego. Liczba ułamkowa jest zapisywana jako dwie liczby oddzielone poziomym lub ukośnikiem. W tym przypadku górna (lub pierwsza) nazywana jest licznikiem, a dolna (druga) nazywana jest mianownikiem.

Warto zauważyć, że mianownik pokazuje, na ile części jest podzielona jednostka, a licznikiem jest liczba części lub części pobranych. Ułamki, jeśli są poprawne, często są mniejsze niż jeden.

Przyjrzyjmy się teraz właściwościom tych liczb i podstawowym zasadom używanym podczas pracy z nimi. Ale zanim przeanalizujemy taką koncepcję, jak „główna właściwość ułamka wymiernego”, porozmawiajmy o rodzajach ułamków i ich cechach.

Jakie są ułamki?

Istnieje kilka rodzajów takich liczb. Przede wszystkim są to zwykłe i dziesiętne. Te pierwsze reprezentują typ nagrania wskazany już przez nas za pomocą poziomego lub ukośnika. Drugi rodzaj ułamków wskazuje się za pomocą tzw. notacji pozycyjnej, gdy najpierw wskazuje się część całkowitą liczby, a następnie, po przecinku, część ułamkową.

Warto tutaj zauważyć, że w matematyce zarówno ułamki dziesiętne, jak i zwykłe są używane w ten sam sposób. Główna właściwość ułamka obowiązuje tylko w przypadku drugiej opcji. Ponadto prawidłowe i nieprawidłowe liczby są rozróżniane w zwykłych ułamkach. W pierwszym przypadku licznik jest zawsze mniejszy niż mianownik. Zauważ też, że taki ułamek jest mniejszy niż jeden. W ułamku nieregularnym przeciwnie, licznik jest większy niż mianownik, a sam jest większy niż jeden. W takim przypadku można z niego wyodrębnić liczbę całkowitą. W tym artykule rozważymy tylko zwykłe ułamki.

Właściwości frakcji

Każde zjawisko, chemiczne, fizyczne czy matematyczne, ma swoje własne cechy i właściwości. Liczby ułamkowe nie były wyjątkiem. Mają jedną ważną cechę, za pomocą której można na nich wykonywać określone operacje. Jaka jest główna właściwość ułamka? Reguła mówi, że jeśli jego licznik i mianownik pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę wymierną, otrzymamy nowy ułamek, którego wartość będzie równa wartości pierwotnego. To znaczy, mnożąc dwie części liczby ułamkowej 3/6 przez 2, otrzymujemy nowy ułamek 6/12, podczas gdy będą one równe.

Na podstawie tej właściwości możesz redukować ułamki, a także wybierać wspólne mianowniki dla określonej pary liczb.

Operacje

Chociaż ułamki są dla nas bardziej złożone, w porównaniu z nimi możesz również wykonywać podstawowe operacje matematyczne, takie jak dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Do tego dochodzi takie specyficzne działanie jak redukcja frakcji. Oczywiście każda z tych czynności wykonywana jest zgodnie z określonymi zasadami. Znajomość tych praw ułatwia pracę z ułamkami, czyni ją łatwiejszą i ciekawszą. Dlatego dalej rozważymy podstawowe zasady i algorytm działań podczas pracy z takimi liczbami.

Ale zanim zaczniemy mówić o takich operacjach matematycznych, jak dodawanie i odejmowanie, przyjrzyjmy się takiej operacji, jak redukcja do wspólnego mianownika. Tutaj przydaje się nam wiedza o tym, jaka jest podstawowa właściwość ułamka.

Wspólny mianownik

Aby sprowadzić liczbę do wspólnego mianownika, musisz najpierw znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch mianowników. To znaczy najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielna przez oba mianowniki bez reszty. Najłatwiejszym sposobem znalezienia LCM (najmniejszej wspólnej wielokrotności) jest zapisanie w jednej linii jednego mianownika, a następnie drugiego i znalezienie wśród nich pasującej liczby. W przypadku, gdy LCM nie zostanie znaleziony, to znaczy, że liczby te nie mają wspólnej wielokrotności, należy je pomnożyć, a otrzymaną wartość należy uznać za LCM.

Tak więc znaleźliśmy LCM, teraz musimy znaleźć dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, musisz na przemian podzielić LCM na mianowniki ułamków i napisać wynikową liczbę nad każdym z nich. Następnie należy pomnożyć licznik i mianownik przez otrzymany dodatkowy współczynnik i zapisać wyniki jako nowy ułamek. Jeśli wątpisz, że otrzymana liczba jest równa poprzedniej, pamiętaj o podstawowej właściwości ułamka.

Dodatek

Przejdźmy teraz bezpośrednio do działań matematycznych na liczbach ułamkowych. Zacznijmy od najprostszego. Istnieje kilka opcji dodawania ułamków. W pierwszym przypadku obie liczby mają ten sam mianownik. W takim przypadku pozostaje tylko zsumować liczniki. Ale mianownik się nie zmienia. Na przykład 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je zbliżyć do wspólnego i dopiero wtedy dodać. Jak to zrobić, załatwiliśmy trochę wyżej. W tej sytuacji przyda się podstawowa właściwość ułamka. Reguła pozwoli ci sprowadzić liczby do wspólnego mianownika. Nie zmienia to w żaden sposób wartości.

Alternatywnie może się zdarzyć, że frakcja zostanie zmieszana. Następnie należy najpierw zsumować całe części, a następnie części ułamkowe.

Mnożenie

Nie wymaga żadnych sztuczek, a do wykonania tej czynności nie jest konieczna znajomość podstawowej właściwości ułamka. Wystarczy najpierw pomnożyć liczniki i mianowniki. W takim przypadku iloczyn liczników stanie się nowym licznikiem, a mianowniki staną się nowym mianownikiem. Jak widać, nic skomplikowanego.

Jedyne, czego się od ciebie wymaga, to znajomość tabliczki mnożenia, a także uważność. Ponadto po uzyskaniu wyniku należy koniecznie sprawdzić, czy tę liczbę można zmniejszyć, czy nie. Porozmawiamy o tym, jak zmniejszyć ułamki nieco później.

Odejmowanie

Podczas wykonywania należy kierować się tymi samymi zasadami, co przy dodawaniu. Tak więc w liczbach o tym samym mianowniku wystarczy odjąć licznik odejmowanej od licznika odejmowanej. W przypadku, gdy ułamki mają różne mianowniki, należy je zbliżyć do wspólnego, a następnie wykonać tę operację. Podobnie jak w podobnym przypadku z dodawaniem, będziesz musiał użyć podstawowej własności ułamka algebraicznego, a także umiejętności znajdowania LCM i wspólnych czynników dla ułamków.

Podział

I ostatnią, najciekawszą operacją przy pracy z takimi liczbami, jest dzielenie. Jest to dość proste i nie sprawia żadnych szczególnych trudności nawet osobom słabo obeznanym z pracą z ułamkami, w szczególności wykonywaniem operacji dodawania i odejmowania. Przy dzieleniu obowiązuje zasada mnożenia przez odwrotność. Podstawowa własność ułamka, jak w przypadku mnożenia, nie będzie wykorzystywana do tej operacji. Przyjrzyjmy się bliżej.

Podczas dzielenia liczb dywidenda pozostaje niezmieniona. Ułamek dzielnika jest odwrócony, to znaczy licznik i mianownik są odwrócone. Następnie liczby są mnożone między sobą.

Zmniejszenie

Tak więc przeanalizowaliśmy już definicję i strukturę ułamków, ich rodzaje, zasady działania na danych liczbach i wyjaśniliśmy główną własność ułamka algebraicznego. Porozmawiajmy teraz o takiej operacji jak redukcja. Zmniejszanie ułamka to proces jego konwersji - dzielenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę. W ten sposób frakcja jest redukowana bez zmiany jej właściwości.

Zwykle podczas wykonywania operacji matematycznej należy uważnie przyjrzeć się wynikowi uzyskanemu na końcu i dowiedzieć się, czy można zmniejszyć wynikowy ułamek, czy nie. Pamiętaj, że wynik końcowy jest zawsze zapisywany nieskróconą liczbą ułamkową.

Inne operacje

Na koniec zauważamy, że nie wymieniliśmy wszystkich operacji na liczbach ułamkowych, wymieniając tylko te najbardziej znane i niezbędne. Ułamki mogą być również wyrównywane, konwertowane na dziesiętne i odwrotnie. Ale w tym artykule nie rozważaliśmy tych operacji, ponieważ w matematyce są one wykonywane znacznie rzadziej niż te, które podaliśmy powyżej.

wnioski

Rozmawialiśmy o liczbach ułamkowych i operacjach z nimi. Przeanalizowaliśmy również główną właściwość, ale zwróćmy uwagę, że wszystkie te pytania zostały przez nas pominięte. Podaliśmy tylko najbardziej znane i używane zasady, udzieliliśmy najważniejszych naszym zdaniem porad.

Ten artykuł ma na celu odświeżenie informacji, o których zapomniałeś o ułamkach, a nie podanie nowych informacji i „napełnienie” głowy niekończącymi się regułami i formułami, które najprawdopodobniej nie będą dla Ciebie przydatne.

Mamy nadzieję, że materiał przedstawiony w artykule w prosty i zwięzły sposób stał się dla Ciebie przydatny.

Zdemontowane w szczegółach podstawowa własność ułamka, podano jego sformułowanie, podano dowód i przykład ilustrujący. Rozważane jest również zastosowanie podstawowej właściwości ułamka przy redukcji ułamków i redukcji ułamków do nowego mianownika.

Nawigacja po stronach.

Główną właściwością ułamka jest sformułowanie, dowód i przykłady ilustrujące.

Spójrzmy na przykład, aby zilustrować podstawową właściwość ułamka. Załóżmy, że mamy kwadrat podzielony na 9 „dużych” kwadratów, a każdy z tych „dużych” kwadratów jest podzielony na 4 „małe” kwadraty. Zatem możemy również powiedzieć, że pierwotny kwadrat dzieli się na 4 · 9 = 36 „małych” kwadratów. Pomaluj 5 „dużych” kwadratów. W tym przypadku 4 · 5 = 20 "małych" kwadratów zostanie wypełnionych. Oto liczba pasująca do naszego przykładu.

Zacieniowana część to 5/9 pierwotnego kwadratu lub równoważnie 20/36 oryginalnego kwadratu, to znaczy ułamki 5/9 i 20/36 są równe: lub. Z tych równości, a także z równości 20 = 5 · 4, 36 = 9 · 4, 20:4 = 5 i 36:4 = 9 wynika, że ​​i.

Aby skonsolidować zdemontowany materiał, rozważ rozwiązanie przykładu.

Przykład.

Licznik i mianownik jakiegoś ułamka zwykłego pomnożono przez 62, po czym licznik i mianownik powstałego ułamka podzielono przez 2. Czy wynikowy ułamek jest równy oryginalnemu?

Rozwiązanie.

Pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez dowolną liczbę naturalną, w szczególności 62, daje ułamek, który ze względu na podstawową właściwość ułamka jest równy oryginałowi. Główna właściwość ułamka pozwala również stwierdzić, że po podzieleniu licznika i mianownika powstałego ułamka przez 2 uzyskamy ułamek, który będzie równy pierwotnemu ułamkowi.

Odpowiedź:

Tak, wynikowy ułamek jest równy oryginałowi.

Stosowanie podstawowej własności ułamka

Podstawowa właściwość frakcji jest wykorzystywana głównie w dwóch przypadkach: po pierwsze przy redukcji frakcji do nowego mianownika, a po drugie przy redukcji frakcji.

Główna właściwość ułamka pozwala zmniejszyć ułamki, aw rezultacie przejść od oryginalnego ułamka do równego ułamka, ale z mniejszym licznikiem i mianownikiem. Zmniejszanie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez dowolny dodatni licznik i mianownik inny niż jeden (jeśli nie ma takich wspólnych dzielników, to ułamek pierwotny jest nierozkładalny, czyli nie może być skasowany). W szczególności dzielenie przez sprawi, że pierwotna część ułamka będzie nieredukowalna.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka: podręcznik do klasy 5 instytucje edukacyjne.
• Vilenkin N. Ja. i inna matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.

Prawa autorskie autorstwa mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i projekty zewnętrzne, nie mogą być powielane w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

W matematyce ułamek to liczba składająca się z jednej lub więcej części (ułamków) jednostki. Zgodnie z notacją ułamki dzielą się na zwykłe (na przykład \ frac (5) (8)) i dziesiętne (na przykład 123,45).

Definicja. Ułamek wspólny (lub ułamek prosty)

Ułamek zwykły (prosty) jest liczbą w postaci \ pm \ frac (m) (n), gdzie m i n są liczbami naturalnymi. Numer m nazywa się licznik ułamka tego ułamka, a liczba n to jego mianownik.

Poziomy lub ukośnik oznacza znak dzielenia, czyli \ frac (m) (n) = () ^ m / n = m: n

Ułamki zwykłe dzielą się na dwa typy: poprawne i niepoprawne.

Definicja. Prawidłowe i niepoprawne ułamki

Prawidłowy nazywa się ułamek, którego moduł licznika jest mniejszy niż moduł mianownika. Na przykład \ frac (9) (11), ponieważ 9

Zło to ułamek, w którym moduł licznika jest większy lub równy modułowi mianownika. Taki ułamek jest liczbą wymierną, modulo większą lub równą jeden. Przykładem mogą być frakcje \ frac (11) (2), \ frac (2) (1), - \ frac (7) (5), \ frac (1) (1)

Wraz z ułamkiem niewłaściwym istnieje inny zapis liczby, który nazywa się ułamkiem mieszanym (liczba mieszana). Ta frakcja nie jest zwyczajna.

Definicja. Frakcja mieszana (liczba mieszana)

Mieszany strzał nazywa się ułamkiem zapisanym jako liczba całkowita i ułamek regularny i jest rozumiany jako suma tej liczby i ułamka. Na przykład 2 \ frac (5) (7)

(zapisane jako liczba mieszana) 2 \ frac (5) (7) = 2 + \ frac (5) (7) = \ frac (14) (7) + \ frac (5) (7) = \ frac (19 ) (7) (nie zapisane jako ułamek niewłaściwy)

Ułamek to tylko zapis liczby. Ta sama liczba może odpowiadać różnym ułamkom zwykłym i dziesiętnym. Utwórzmy znak równości dwóch zwykłych ułamków.

Definicja. Równość ułamków

Dwie frakcje \ frac (a) (b) i \ frac (c) (d) to równy jeśli a \ cdot d = b \ cdot c. Na przykład \ frac (2) (3) = \ frac (8) (12) ponieważ 2 \ cdot12 = 3 \ cdot8

Główna właściwość frakcji wynika ze wskazanego znaku.

Nieruchomość. Podstawowa właściwość ułamka

Jeśli licznik i mianownik danego ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę, która nie jest równa zeru, to otrzymamy ułamek równy danemu.

\ frac (A) (B) = \ frac (A \ cdot C) (B \ cdot C) = \ frac (A: K) (B: ​​​​K); \ quad C \ ne 0, \ quad K \ ne 0

Korzystając z podstawowej właściwości ułamka, możesz zastąpić dany ułamek innym ułamkiem równym temu, ale z niższym licznikiem i mianownikiem. To zastąpienie nazywa się redukcją frakcji. Na przykład \ frac (12) (16) = \ frac (6) (8) = \ frac (3) (4) (tu licznik i mianownik zostały podzielone najpierw przez 2, a następnie przez kolejne 2). Zmniejszenia ułamka można dokonać wtedy i tylko wtedy, gdy jego licznik i mianownik nie są wzajemnie liczbami pierwszymi. Jeżeli licznik i mianownik danego ułamka są względnie pierwsze, to ułamka nie można skasować, na przykład \ ułamek (3) (4) jest ułamkiem nieredukowalnym.

Zasady dla ułamków dodatnich:

Z dwóch frakcji z tymi samymi mianownikami tym większy jest ułamek, którego licznik jest większy. Na przykład \ frac (3) (15)

Z dwóch frakcji z tymi samymi licznikami im większy jest ułamek, którego mianownik jest mniejszy. Na przykład \ frac (4) (11)> \ frac (4) (13).

Aby porównać dwa ułamki z różnymi licznikami i mianownikami, musisz przekształcić oba ułamki, aby ich mianowniki były takie same. Nazywa się to konwersją wspólnego mianownika.

Ta lekcja omówi podstawową własność ułamka algebraicznego. Umiejętność prawidłowego i bezbłędnego zastosowania tej właściwości jest jedną z najważniejszych podstawowych umiejętności w całym toku matematyki szkolnej i będzie można ją napotkać nie tylko w trakcie studiowania tego tematu, ale także w prawie wszystkich działach matematyki studiowanych w przyszłości . Redukcja zwykłych ułamków została już zbadana iw tej lekcji rozważymy redukcję ułamków wymiernych. Pomimo dość dużej różnicy zewnętrznej, która istnieje między ułamkami wymiernymi i zwykłymi, mają one wiele wspólnego, a mianowicie ułamki zwykłe i wymierne mają tę samą podstawową właściwość i ogólne zasady wykonywania operacji arytmetycznych. W ramach lekcji natkniemy się na pojęcia: redukcja ułamka, mnożenie i dzielenie licznika i mianownika przez to samo wyrażenie - i rozważymy przykłady.

Pamiętajmy o głównych własność ułamkowa: Wartość ułamka nie zmieni się, jeśli jego licznik i mianownik zostaną jednocześnie pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę niezerową. Przypomnijmy, że dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę niezerową nazywa się zmniejszenie.

Na przykład: podczas gdy wartość ułamków się nie zmienia. Jednak podczas korzystania z tej właściwości popełnianych jest wiele typowych błędów:

1) - w podanym przykładzie popełniono błąd dzieląc tylko jeden wyraz z licznika przez 2, a nie cały licznik. Prawidłowa kolejność działań wygląda tak: lub .

2) - tutaj widzimy podobny błąd, jednak poza tym w wyniku dzielenia uzyskano 0, a nie 1, co jest jeszcze częstszym i rażącym błędem.

Teraz musisz przejść do rozważenia ułamek algebraiczny... Zapamiętajmy tę koncepcję z poprzedniej lekcji.

Definicja.Ułamek wymierny (algebraiczny)- wyrażenie ułamkowe postaci, gdzie są wielomiany. - mianownik licznika.

Ułamki algebraiczne są w pewnym sensie uogólnieniem ułamków zwykłych i można na nich wykonać te same operacje, co na ułamkach zwykłych.

Zarówno licznik, jak i mianownik ułamka można pomnożyć i podzielić przez ten sam wielomian (jednomian) lub liczbę niezerową. Będzie to identyczne przekształcenie ułamka algebraicznego. Przypomnijmy, że tak jak poprzednio, dzielenie licznika i mianownika ułamka przez to samo wyrażenie niezerowe nazywa się zmniejszenie.

Podstawowa własność ułamka algebraicznego pozwala redukować ułamki i sprowadzać je do najniższego wspólnego mianownika.

Aby zmniejszyć wspólne ułamki, uciekliśmy się do podstawowe twierdzenie arytmetyki rozszerzył zarówno licznik, jak i mianownik na czynniki pierwsze.

Definicja.Liczba pierwsza- liczba naturalna podzielna tylko przez jeden i przez samą siebie. Wszystkie inne liczby naturalne nazywane są liczbami złożonymi. 1 nie jest ani pierwszym, ani złożonym.

Przykład 1. a), gdzie czynniki, na które rozkładane są liczniki i mianowniki wskazanych ułamków, są liczbami pierwszymi.

Odpowiedź.; .

Dlatego dla redukcja ułamków konieczne jest najpierw rozłożenie na czynniki licznika i mianownika ułamka, a następnie podzielenie ich przez wspólne czynniki. Te. powinien być biegły w metodach rozkładania na czynniki wielomianów.

Przykład 2. Zmniejsz ułamek a) , pne).

Rozwiązanie. a)... Należy zauważyć, że licznik zawiera pełny kwadrat, a mianownik zawiera różnicę kwadratów. Po redukcji należy to wskazać, aby uniknąć dzielenia przez zero.

b) ... Mianownik to wspólny czynnik liczbowy, który jest przydatny w prawie każdym przypadku, gdy jest to możliwe. Podobnie w poprzednim przykładzie wskazujemy to.

v) ... W mianowniku usuwamy minus (lub formalnie) poza nawiasami. Nie zapomnij o tym podczas skracania.

Odpowiedź.;; .

Teraz podamy przykład redukcji do wspólnego mianownika, odbywa się to w ten sam sposób ze zwykłymi ułamkami.

Przykład 3.

Rozwiązanie. Aby znaleźć najniższy wspólny mianownik, musisz znaleźć najmniejsza wspólna wielokrotność (NOC) dwa mianowniki, tj. LCM (3; 5). Innymi słowy, znajdź najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez 3 i 5. Oczywiście ta liczba to 15, można ją zapisać w ten sposób: LCM (3; 5) = 15 - to będzie wspólny mianownik tych ułamków.

Aby przekonwertować mianownik 3 na 15, należy go pomnożyć przez 5, a aby przekonwertować 5 na 15, należy go pomnożyć przez 3. Przez podstawową właściwość ułamka algebraicznego pomnóż przez te same liczby i odpowiednie liczniki wskazanego ułamki.

Odpowiedź.; .

Przykład 4. Zmniejsz ułamek i do wspólnego mianownika.

Rozwiązanie. Przeprowadźmy działania podobne do poprzedniego przykładu. Najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników LCM (12; 18) = 36. Doprowadźmy oba ułamki do tego mianownika:

oraz .

Odpowiedź.; .

Przyjrzyjmy się teraz przykładom, które demonstrują zastosowanie techniki redukcji frakcji do uproszczenia ich w bardziej złożonych przypadkach.

Przykład 5. Oblicz wartość ułamka: a), b), c).

a) . Przy skracaniu stosujemy zasadę dzielenia stopni.

Po powtórzeniu użycia podstawowa właściwość ułamka zwykłego, możemy przejść do rozważenia ułamków algebraicznych.

Przykład 6. Uprość ułamek i oblicz dla podanych wartości zmiennych: a); , b);

Rozwiązanie. Przy zbliżaniu się do rozwiązania możliwa jest następująca opcja - od razu podmień wartości zmiennych i zacznij obliczać ułamek, ale w tym przypadku rozwiązanie staje się znacznie bardziej skomplikowane i wydłuża się czas jego rozwiązania, nie mówiąc już o niebezpieczeństwie popełnienia błędu w skomplikowanych obliczeniach. Dlatego wygodnie jest najpierw uprościć wyrażenie w postaci dosłownej, a następnie podstawić wartości zmiennych.

a) . Przy anulowaniu o współczynnik należy sprawdzić, czy znika on w określonych wartościach zmiennych. Podstawiając otrzymujemy, że umożliwia to redukcję o dany współczynnik.

b). Wstawialiśmy minus w mianowniku, tak jak już zrobiliśmy w przykład 2... Redukując przez, ponownie sprawdzamy, czy nie dzielimy przez zero:.

Odpowiedź.; .

Przykład 7. Połącz ułamki a) i, b) i, c) oraz wspólny mianownik.

Rozwiązanie. a) W tym przypadku podejdziemy do rozwiązania w następujący sposób: nie będziemy używać pojęcia LCM, jak w drugim przykładzie, ale po prostu pomnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie - to będzie pozwól nam sprowadzić ułamki do tego samego mianownika. Oczywiście nie zapomnij pomnożyć liczników ułamków przez te same wyrażenia.

. W liczniku otwarto nawiasy, a w mianowniku zastosowano wzór na różnicę kwadratów.

... Podobne działania.

Widać, że ta metoda pozwala pomnożyć mianownik i licznik jednego ułamka przez ten element z mianownika drugiego ułamka, co nie wystarcza. W przypadku drugiej frakcji przeprowadzane są podobne działania, a mianowniki są sprowadzane do wspólnego.

b) Zróbmy te same czynności, co w poprzednim akapicie:

... Pomnóżmy licznik i mianownik przez element mianownika drugiego ułamka, co nie wystarczyło (w tym przypadku cały mianownik).

... Podobnie.

v) ... W tym przypadku pomnożyliśmy przez 3 (współczynnik, który występuje w mianowniku drugiego ułamka, a nie występuje w pierwszym).

.

Odpowiedź. a) ; , b); , v) ; ...

W tej lekcji nauczyliśmy się podstawowa własność ułamka algebraicznego i rozważył główne zadania z jego użyciem. W kolejnej lekcji bardziej szczegółowo przeanalizujemy redukcję ułamków do wspólnego mianownika za pomocą skróconych wzorów mnożenia oraz metody grupowania przy faktoringu.

Bibliografia

1. Bashmakov MI Algebra klasa 8. - M .: Edukacja, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i inne Algebra 8. - wyd. - M .: Edukacja, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra klasa 8. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych. - M .: Edukacja, 2006.

1. Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki ().
2. Festiwal idei pedagogicznych „Lekcja otwarta” ().
3. Matematyka w szkole: plany lekcji ().

Zadanie domowe

Frakcje

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy są „bardzo równi…”)

Frakcje w liceum nie są aż tak denerwujące. Obecnie. Dopóki nie natkniesz się na potęgi z wymiernymi wykładnikami i logarytmami. Ale tam…. Naciskasz, naciskasz kalkulator, a on pokazuje pełny wyświetlacz niektórych liczb. Muszę myśleć głową jak w trzeciej klasie.

Zajmijmy się już ułamkami, w końcu! Cóż, jak bardzo można się w nich pomylić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, jakie są ułamki?

Rodzaje ułamków. Transformacje.

Frakcje są trzech typów.

1. Ułamki zwykłe , na przykład:

Czasami zamiast poziomej linii używa się ukośnika: 1/2, 3/4, 19/5, no i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Najwyższy numer to licznik ułamka, na dole - mianownik. Jeśli ciągle mylisz te nazwy (zdarza się ...), powiedz sobie wyrażeniem: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - oto zzzzz y! "Wyglądasz, wszystko zostanie zapamiętane.)

Myślnik, który jest poziomy, czyli ukośny, oznacza podział górna liczba (licznik) do dolnej (mianownik). I to wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwie kropki.

Kiedy podział jest całkowicie możliwy, należy to zrobić. Tak więc zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Te. 32 można łatwo podzielić przez 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nie mówię nawet o ułamku „4/1”. Co też jest po prostu „4”. A jeśli nie jest podzielona całkowicie, zostawiamy ją w postaci ułamka. Czasami trzeba wykonać operację odwrotną. Utwórz ułamek liczby całkowitej. Ale o tym później.

2. Ułamki dziesiętne , na przykład:

W tej formie będziesz musiał zapisać odpowiedzi na zadania „B”.

3. Liczby mieszane , na przykład:

Liczby mieszane są rzadko używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, muszą być w jakikolwiek sposób przetłumaczone na zwykłe ułamki. Ale na pewno musisz to zrobić! A potem dostaniesz taki numer w układance i zamrozisz… Od zera. Ale zapamiętamy tę procedurę! Nieco poniżej.

Najbardziej wszechstronny wspólne ułamki... Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli ułamek zawiera różne logarytmy, sinusy i inne litery, to niczego nie zmienia. W tym sensie, że wszystko akcje z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od akcji ze zwykłymi ułamkami!

Główna właściwość ułamka.

Więc chodźmy! Na początek zaskoczę cię. Całą różnorodność przekształceń ułamków zapewnia jedna i jedyna właściwość! Nazywa się to, podstawowa własność ułamka... Pamiętać: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Te:

Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż staniesz się niebieski na twarzy. Nie daj się zmylić sinusom i logarytmom, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejsze jest, aby zrozumieć, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.

Czy potrzebujemy tych wszystkich przemian? I jak! Teraz sam się przekonasz. Na początek używamy podstawowej własności ułamka dla redukcja ułamków... Wydawałoby się, że sprawa jest elementarna. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę i wszystkie przypadki! Nie można się pomylić! Ale… człowiek jest istotą twórczą. Błędy mogą być wszędzie! Zwłaszcza jeśli musisz anulować nie ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z wszelkiego rodzaju literami.

Jak prawidłowo i szybko redukować ułamki bez wykonywania niepotrzebnej pracy można przeczytać w specjalnym rozdziale 555.

Zwykły uczeń nie zadaje sobie trudu dzielenia licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko, co jest takie samo na górze i na dole! Tutaj czai się typowy błąd, wpadka, jeśli chcesz.

Na przykład musisz uprościć wyrażenie:

Nie ma o czym myśleć, przekreślamy literę „a” powyżej i dwie poniżej! Otrzymujemy:

Wszystko się zgadza. Ale naprawdę podzieliłeś się całość licznik i całość mianownik to „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do skreślania, to w pośpiechu możesz przekreślić „a” w wyrażeniu

i zdobądź go ponownie

Co będzie kategorycznie błędne. Ponieważ tutaj całość licznik na "a" już jest nie udostępnia! Ten ułamek nie może być anulowany. Swoją drogą taka redukcja to, hm… poważne wyzwanie dla nauczyciela. To nie jest wybaczone! Pamiętasz? Kiedy skracasz, dziel całość licznik i całość mianownik!

Zmniejszenie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostajesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. A jak teraz z nią pracować? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, ale zgrabnie zmniejsz go o pięć, a nawet o pięć, a nawet… podczas gdy jest redukowany, w skrócie. Dostajemy 3/8! O wiele ładniejszy, prawda?

Główna właściwość ułamka pozwala konwertować zwykłe ułamki na dziesiętne i odwrotnie. bez kalkulatora! To ważne na egzaminie, prawda?

Jak konwertować ułamki z jednego typu na inny.

Ułamki dziesiętne są proste. Jak się słyszy, jest napisane! Powiedzmy, że 0,25. To jest punkt zerowy, dwadzieścia pięć setnych. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszając (dzieląc licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. Zdarza się i nic się nie zmniejsza. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, czyli 3/10.

A jeśli liczby całkowite nie są zerowe? W porządku. Zapisujemy cały ułamek bez przecinków w liczniku iw mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To trzy punkty, siedemnaście setnych. W liczniku piszemy 317, aw mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest zredukowane, wszystko znaczy. To jest odpowiedź. Podstawowe Watsonie! Ze wszystkiego, co zostało powiedziane, użyteczny wniosek: każdy ułamek dziesiętny można zamienić na zwykły .

Ale odwrotna konwersja, zwykła na dziesiętną, niektórzy nie mogą obejść się bez kalkulatora. I jest to konieczne! Jak napiszesz swoją odpowiedź na egzaminie!? Uważnie czytamy i opanowujemy ten proces.

Jaka jest charakterystyka ułamka dziesiętnego? Ma w mianowniku zawsze kosztuje 10, 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli twój zwykły ułamek ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A jeśli odpowiedź na zadanie w sekcji „B” to 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Tam wymagane są ułamki dziesiętne ...

Pamiętając podstawowa własność ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala na pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Przy okazji, wszystko! Z wyjątkiem zera, oczywiście. Więc zastosujemy tę właściwość na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2 tak, żeby było 10, czy 100, czy 1000 (mniejszy jest oczywiście lepszy...)? Oczywiście o piątej. Odważnie mnożymy mianownik (to jest nas musi) przez 5. Ale wtedy licznik również musi być pomnożony przez 5. To już jest matematyka wymaga! Otrzymujemy 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0,5. To wszystko.

Jednak natrafiamy na różne mianowniki. Natkniemy się na przykład na ułamek 3/16. Spróbuj, wymyśl tutaj, co pomnożyć 16, aby uzyskać 100 lub 1000 ... Nie działa? Następnie możesz po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora będziesz musiał podzielić przez róg na kartce papieru, jak uczy się w klasach podstawowych. Otrzymujemy 0,1875.

I są też bardzo paskudne mianowniki. Na przykład nie można zamienić ułamka ułamkowego 1/3 na dobry dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333 ... Oznacza to, że 1/3 to dokładna liczba dziesiętna nie tłumaczy... To samo co 1/7, 5/6 i tak dalej. Jest wiele nieprzetłumaczalnych. Stąd kolejny użyteczny wniosek. Nie każdy ułamek jest konwertowany na dziesiętny !

Nawiasem mówiąc, jest to przydatna informacja do samodzielnego testowania. W sekcji „B” należy w odpowiedzi wpisać ułamek dziesiętny. I masz na przykład 4/3. Ten ułamek nie jest konwertowany na dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć sprawdź rozwiązanie.

Tak więc ustaliliśmy ułamki zwykłe i dziesiętne. Pozostaje zająć się liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, wszystkie muszą zostać zamienione na zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i zapytać go. Ale szóstoklasista nie zawsze będzie pod ręką… Będziemy musieli to zrobić sami. To nie jest trudne. Konieczne jest pomnożenie mianownika części ułamkowej przez całą część i dodanie licznika części ułamkowej. Będzie to licznik zwykłego ułamka. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości wszystko jest elementarne. Zobaczmy przykład.

Załóżmy, że w układance zobaczyłeś z przerażeniem liczbę:

Spokojnie, bez paniki, myślimy. Cała część to 1. Jeden. Część ułamkowa - 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej to 7. Ten mianownik będzie mianownikiem zwykłego ułamka. Liczymy licznik. 7 pomnóż przez 1 (cała część) i dodaj 3 (licznik ułamkowy). Otrzymujemy 10. Będzie to licznik wspólnego ułamka. To wszystko. W notacji matematycznej wygląda to jeszcze prościej:

Czy to jasne? Następnie skonsoliduj swój sukces! Konwertuj na ułamki. Powinieneś mieć 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

Operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną – jest rzadko wymagana w szkole średniej. Cóż, jeśli… A jeśli nie jesteś w liceum, możesz zajrzeć do specjalnej sekcji 555. W tym samym miejscu przy okazji dowiesz się o błędnych ułamkach.

Cóż, to prawie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś Jak przenosić je z jednego typu na drugi. Pozostaje pytanie: Czemu Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?

Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zwykłe ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane są wymieszane w stosie, tłumaczymy wszystko na zwykłe ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić... Cóż, jeśli jest napisane, coś takiego jak 0,8 + 0,3, to tak myślimy, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !

Jeśli zadanie zawiera ułamki dziesiętne, ale hm... jakieś złe, przejdź do zwykłych, spróbuj! Wyglądasz, wszystko się ułoży. Na przykład musisz podnieść liczbę do kwadratu 0,125. Nie jest to takie proste, jeśli nie wyszedłeś z nawyku kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także zastanów się, gdzie wstawić przecinek! To na pewno nie zadziała w umyśle! A jeśli przejdziemy do zwykłego ułamka?

0,125 = 125/1000. Zmniejsz go o 5 (to na początek). Otrzymujemy 25/200. Jeszcze raz o 5. Otrzymujemy 5/40. Och, wciąż się kurczy! Powrót o 5! Otrzymujemy 1/8. Łatwo to podniesiemy do kwadratu (w umyśle!) I uzyskamy 1/64. Wszystko!

Podsumujmy tę lekcję.

1. Ułamki są trzech typów. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.

2. Ułamki dziesiętne i liczby mieszane zawsze można przekonwertować na ułamki. Tłumaczenie odwrotne nie zawsze do dyspozycji.

3. Wybór rodzaju frakcji do pracy z zadaniem zależy od samego tego zadania. Jeśli w jednym zadaniu masz różne typy ułamków, najbezpieczniej jest przejść na zwykłe ułamki.

Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw przekonwertuj te ułamki dziesiętne na zwykłe:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Powinieneś otrzymać następujące odpowiedzi (w bałaganie!):

Na tym kończy się. W tej lekcji odświeżyliśmy kluczowe punkty dotyczące ułamków. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie zapomniał, albo jeszcze nie opanował... Te mogą przejść do specjalnego Działu 555. Tam wszystkie podstawy są szczegółowo opisane. Wielu nagle rozumieć wszystko początek. A frakcje decydują w locie).

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Natychmiastowe testy walidacyjne. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.