Prirodzené číslo je číslo používané pri počítaní položiek. Vyplynulo to z praktických potrieb človeka. Rozvoj konceptu prirodzeného čísla možno rozdeliť do niekoľkých etáp: 1. starovekí ľudia na porovnanie súboru založili korešpondenciu: napríklad rovnakú ako prst na ruke. Nevýhodou je, že porovnávané sady museli byť súčasne viditeľné. 2. Mnoho - sprostredkovatelia, napríklad kamene, mušle, palice. Pojem čísla ešte nebol vytvorený. A čísla sú viazané na konkrétne predmety. 3. Vzhľad čísla (Označenie čísla vo forme čísel). Pôvod aritmetiky. Aritmetika ako veda vznikla v krajinách starovekého východu - Čína, India, Egypt, ďalší vývoj v Grécku. Pojem „prirodzené číslo“ prvýkrát použil rímsky vedec Boethius. Účet je potrebný na určenie čísla sady. Všetky kvantitatívne množiny rozdeľujeme do tried ekvivalencie, napríklad do jednej triedy ekvivalencie. bude obsahovať mnoho vrcholov trojuholníkov, strany štvorca, mnoho písmen v slove mier. Ak budeme v tomto procese pokračovať, bude to spôsobené tým, že vo vzťahu k rovnocennosti je všetko silovo rovnaké. Konečné sady budú podľa tried. To. teoretický množný význam kvantitatívneho prirodzeného čísla je všeobecnou vlastnosťou triedy konečných, rovnako silných množín. Každá trieda má svoje kvantitatívne číslo. Nula je nastavená v súlade s prázdnou sadou.
O číslach A a B sa hovorí, že sú rovnaké, ak sú určené rovnako silnými množinami.
Táto metóda sa používa na základnej škole.
Metodika práce na úlohách, ktoré odhaľujú konkrétny význam aritmetických operácií.
Aritmetické problémy v priebehu matematiky zaujímajú významné miesto. Takmer polovica času na hodinách matematiky je venovaná riešeniu problémov. Je to spôsobené ich veľkou výchovnou a vzdelávacou úlohou, ktorú zohrávajú pri výučbe detí. Riešenie aritmetických problémov pomáha odhaliť hlavný zmysel aritmetických operácií, konkretizovať ich, prepojiť ich s určitou životnou situáciou. Úlohy prispievajú k asimilácii matematických pojmov, vzťahov, vzorcov. Pri riešení problémov deti rozvíjajú dobrovoľnú pozornosť, pozorovanie, logické myslenie, reč, vynaliezavosť. Riešenie problémov prispieva k rozvoju takých kognitívnych procesov, ako je analýza, syntéza, porovnávanie, generalizácia.
V procese riešenia aritmetických problémov sa študenti učia plánovať a ovládať svoje činnosti, ovládať techniky, sebakontrolu (kontrola problému, odhadovanie problémov atď.), Rozvíjajú vytrvalosť, vôľu a záujem nájsť riešenie. problém. Úloha riešiť problémy pri príprave detí na život, na ich ďalšie pracovné činnosti, je skvelá. Pri riešení dejových úloh sa študenti učia prekladať vzťah medzi predmetmi a veličinami do „jazyka matematiky“. Pri aritmetických problémoch sa používa numerický materiál, ktorý odráža úspech krajiny v rôznych sektoroch národného hospodárstva, kultúry, vedy atď. To pomáha študentom rozšíriť obzory a obohatiť ich o nové poznatky o okolitej realite. Študenti veľmi ťažko zvládajú schopnosť riešiť aritmetické úlohy.
Dôvody chybného riešenia problémov deťmi spočívajú predovšetkým v osobitostiach ich myslenia. V procese učenia sa riešiť problémy by sa mal vyhýbať koučingu pri riešení problémov určitého typu, musí ho naučiť vedomý prístup k riešeniu problémov, naučiť ho orientovať sa v určitej životnej situácii popísanej v úlohe, naučiť vedomému výberu údaje o úlohách, vedomý výber akcií. V procese spracovania akéhokoľvek aritmetického problému je možné rozlíšiť nasledujúce fázy:
1. Pracujte na obsahu problému.
2. Hľadajte riešenie problému.
3. Riešenie problému.
4. Znenie odpovede.
5. Kontrola riešenia problému.
6. Následná práca na vyriešenom probléme.
Veľkú pozornosť treba venovať práci na obsahu problému, t.j. porozumenie situácii uvedenej v úlohe, nadviazanie vzťahu medzi údajmi a požadovanou. Postupnosť práce na asimilácii obsahu problému;
a) analýza nezrozumiteľných slov alebo výrazov;
b) prečítanie textu problému učiteľom a študentom;
c) záznam o stave problému;
d) opakovanie úlohy na otázky.
Žiakov treba naučiť expresívne čítať text úlohy. Malo by sa pamätať na to, že deti musia byť osobitne naučené expresívne čítanie, nemôžu samy čítať úlohu správne, nemôžu klásť logický stres atď.
Spolu s konkretizáciou obsahu problému pomocou predmetov, šablón a kresieb v praxi učiteľov v školách sa rozšírili nasledujúce formy zaznamenávania obsahu problému:
1. Skrátená forma zápisu, v ktorej sú z textu problému zapísané číselné údaje a iba tie slová a výrazy, ktoré sú nevyhnutné na pochopenie logického významu problému.
2. Skrátená-štruktúrna forma záznamu, v ktorej je každá logická časť problému zaznamenaná na nový riadok.
3. Schematická forma záznamu.
4. Grafická forma záznamu.
Keďže je kontrolná funkcia u detí oslabená, overenie riešenia problému má nielen vzdelávaciu, ale aj vzdelávaciu hodnotu. V nižších ročníkoch je potrebné:
1. Skontrolujte verbálne formulované úlohy vykonaním akcie na objektoch.
2. Overte si realitu odpovede.
3. Skontrolujte súlad odpovede s podmienkou a otázkou problému. Kontrola riešenia problému inými spôsobmi jeho vyriešenia je možná od 4. stupňa.
Na kontrolu správnosti riešenia problému slúžia aj niektoré prvky programovaného učenia. Tento prvok je veľmi užitočný v tom, že študent okamžite dostane posilnenie správnosti alebo naopak mylnosť svojho konania. Ak je rozhodnutie nesprávne, hľadá nové riešenia.
Učiteľ v škole si často nemôže byť istý, že riešeniu problému rozumejú všetci študenti. Preto je veľmi užitočné vykonať prácu na konsolidácii riešenia tohto problému. Prácu na konsolidácii riešenia problému je možné vykonať rôznymi spôsobmi.
1. Sú položené kľúčové otázky o obsahu problému.
2. Navrhuje sa povedať celý priebeh riešenia problému s odôvodnením výberu akcií.
3. Otázky sú kladené na jednotlivé akcie alebo otázky. Pre študentov nie je dôležitý počet vyriešených podobných problémov, ale pochopenie predmetnej situácie v závislosti od údajov. K tomuto cieľu slúži následná práca na vyriešenom probléme, ktorú možno považovať za dôležitú techniku, ktorá formuje zručnosti pri riešení problémov tohto typu. Lepšie porozumenie obsahu úloh, vzťahu medzi údajmi a požadovanými úlohami je uľahčené riešením problémov s nepotrebnými alebo chýbajúcimi číselnými údajmi, ktoré nie sú písané číslicami, ale slovami. Pozorovania ukazujú, že najlepší učitelia široko používajú riešenie problémov samotnými študentmi ako jednu z metód vyučovania riešenia problémov.
Skladanie úloh pomáha deťom lepšie porozumieť životnému a praktickému významu úlohy, lepšie porozumieť jej štruktúre, ako aj rozlišovať medzi úlohami rôznych typov a porozumieť metódam ich riešenia. Kompilácia úloh sa vykonáva súbežne s riešením hotových úloh. Skúsenosti a pozorovania ukazujú, že pre študentov je najľahšie čiastočne zostaviť problémy. Študenti by mali byť vedení k tomu, aby skladali problémy s rôznymi zápletkami. To prispieva k rozvoju ich predstavivosti, vynaliezavosti, iniciatívy. Je veľmi užitočné, keď študenti pri skladaní úloh čerpajú z materiálu, ktorý „získali“ počas exkurzií, z príručiek, novín, časopisov atď. Stredoškolákov je potrebné naučiť, ako vypĺňať a písať obchodné dokumenty súvisiace s určitými výpočtami. Napíšte napríklad plnú moc, vyplňte formulár o prevode peňazí atď. Všetky vyššie uvedené techniky môžu byť široko používané pri riešení všetkých typov problémov.
Jednoduchý aritmetický problém je problém, ktorý je možné vyriešiť jednou aritmetickou operáciou. Jednoduché problémy hrajú pri výučbe študentov matematiky mimoriadnu úlohu. Jedná sa o jednoduché úlohy, ktoré umožňujú odhaliť hlavný význam a konkretizovať aritmetické operácie, vytvárať určité matematické koncepty. Jednoduché úlohy sú neoddeliteľnou súčasťou komplexných úloh, a preto učiteľ, ktorý vytvára schopnosť ich riešiť, pripravuje študentov na riešenie zložitých problémov.
V každom akademickom roku sa študenti oboznamujú s novými druhmi jednoduchých problémov. Ich postupné zavádzanie sa vysvetľuje rôznym stupňom náročnosti matematických pojmov, miestom štúdia týchto aritmetických operácií a ich konkrétnym významom, ktorý odhaľujú. Špecifikácia a obsah si pri výbere úloh tohto typu zaslúžia nemenej veľkú pozornosť učiteľa. Nakoniec učiteľ naučí konkretizovať obsah problému a pomocou rôznych foriem krátkej notácie odhalí vzťah medzi údajmi a požadovaným.
Skúsenosti najlepších učiteľov ukazujú, že príprava na riešenie aritmetických problémov by mala začať obohatením a rozvojom praktických skúseností študentov a ich orientáciou na okolitú realitu. Žiakov treba viesť do životnej situácie, v ktorej musia počítať, riešiť aritmetické úlohy a vykonávať zmeny. Navyše by tieto situácie nemali byť spočiatku vytvárané umelo, mali by byť iba kreslené a pozornosť študentov by mala byť smerovaná. Učiteľ organizuje pozorovanie zmeny počtu prvkov predmetových súborov obsahov nádob a pod., Čo prispieva k rozvoju predstáv študentov o čísle, aby ich oboznámil s určitou terminológiou, ktorá bude neskôr s ktorými sa stretávame vo verbálnej formulácii úloh: stalo sa, všetko zostáva, je vzaté, zvýšené, znížené atď. Hru a praktickú aktivitu študentov je potrebné zorganizovať tak, aby študenti, ktorí sú priamymi účastníkmi tejto aktivity a aby ich pozorovali, mohli vyvodiť závery v každom jednotlivom prípade; počet prvkov množiny sa zvýšil alebo znížil a aká operácia a verbálne vyjadrenie zodpovedá tomuto zvýšeniu alebo zníženiu. Táto fáza prípravných prác sa zhoduje so začiatkom práce na počtoch prvých desať a zoznámením sa s aritmetickými operáciami, s riešením a zostavením príkladov operácií s predmetovými súbormi.
Predtým, ako začne vyučovať riešenie aritmetických úloh, musí si učiteľ jasne predstaviť, aké znalosti, schopnosti a zručnosti treba žiakom odovzdať. Na vyriešenie problému musia študenti vyriešiť aritmetické príklady, počúvať a potom prečítať problém, zopakovať problém otázkami, krátkym zápisom, z pamäte vybrať súčasti problému, vyriešiť problém a skontrolovať jeho správnosť riešenia. V 1. ročníku sa študenti učia riešiť problémy tak, aby našli súčet a zvyšok. Tieto úlohy sú prvýkrát predstavené pri výučbe čísel z prvých desiatich. Pri výučbe riešenia problémov pri hľadaní súčtu rovnakých výrazov, pri delení na rovnaké časti alebo pri delení podľa obsahu by sa mal človek spoliehať na to, že študenti pochopia podstatu aritmetických operácií násobenia a delenia. Pred vyriešením problému na iné porovnanie musia študenti poskytnúť koncept porovnávania predmetov jednej množiny, dvoch množín objektov, veličín, čísel, stanovenie vzťahov rovnosti a nerovnosti medzi nimi. Zložitý alebo komplexný aritmetický problém je problém, ktorý je vyriešený dvoma alebo viacerými aritmetickými operáciami. Psychologické štúdie skúmajúce zvláštnosti riešenia zložených aritmetických problémov ukazujú, že deti v kontexte nového zloženého problému nerozpoznávajú známe jednoduché problémy. Prípravné práce na riešenie zložených problémov by mal byť systém cvičení, techník, cieľavedome viesť žiakov k zvládnutiu riešenia zložených úloh. Učiteľ môže pristúpiť k riešeniu zložených úloh, keď je presvedčený, že študenti zvládli techniky riešenia jednoduchých úloh, ktoré budú zaradené do zloženej úlohy, sami môžu zostaviť jednoduchý problém určitého typu. Pri riešení zložených úloh musia študenti buď položiť otázky k údajom, alebo vybrať údaje k otázke. Preto v prípravnom období, t.j. počas prvého ročníka a na začiatku druhého ročníka štúdia by mali študentom ponúknuť úlohy:
1. Vyzdvihnite otázky o pripravenom stave.
2. K otázke vytvorte problém vyzdvihnutím chýbajúcich číselných údajov.
Skladaním jednoduchých a zložených úloh sa študenti postupne naučia rozpoznávať v zloženej úlohe jednoduché cvičenia, ktoré už majú skúsenosti s ich riešením, sú veľmi užitočnými cvičeniami na skladanie komplexných problémov. To prispeje k lepšej asimilácii typov jednoduchých úloh, k ich schopnosti rozpoznať ich a izolovať ich v zloženej úlohe a študentom to pomôže vedome analyzovať úlohy. Pri riešení zložených úloh by sa mali študenti naučiť všeobecné metódy práce na probléme; schopnosť analyzovať obsah problému, zvýrazniť známe údaje, ktoré sa hľadajú (t. j. zistiť, čo je potrebné sa v probléme naučiť), určiť, ktoré údaje chýbajú na zodpovedanie hlavnej otázky problému. V praxi práce školy sa metóda práce s kartami, úlohy, v ktorých je stanovená postupnosť práce na úlohe, ospravedlnila. Pri riešení problémov sa zaznamenáva návrh jeho riešenia s otázkami alebo sa zaznamenáva a vysvetľuje každá akcia. Vývoj zovšeobecnenej metódy riešenia problémov tohto typu je zabezpečený opakovaným riešením problémov s rôznymi typmi, zápletkami, riešením hotových a vlastných problémov študentov, porovnávaním problémov tohto typu s predtým riešenými druhmi problémov atď.
1. Vysvetlite výpočtovú techniku pre prípady 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 všetky výpočtové techniky zo stovky.
1) 40+20= 4d + 2d = 6d = 60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d + 4d + 2d = 5d 4d = 54
4) 34+2 = 3d + 4 jednotky + 2 jednotky = 3d 6 jednotiek = 36
5) 48-30 = 4d + 8jednotka-3d = 1d 8jednotka = 18
6) 48-3= 4d + 8ed-3ed = 4d 5ed = 45
Všetky výpočtové techniky sú ústne a vykonávajú sa na základe sčítania a odčítania číslic.
Ako viete, množinu prirodzených čísel je možné usporiadať pomocou pomeru „menej“. Ale pravidlá pre výstavbu axiomatickej teórie vyžadujú, aby tento vzťah bol nielen definovaný, ale aby bol tiež vykonávaný na základe konceptov už definovaných v danej teórii. To sa dá dosiahnuť definovaním pomeru „menej“ pridaním.
Definícia. Číslo a je menšie ako číslo b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Za týchto podmienok sa tiež hovorí, že číslo b viac a a napíš b> a.
Veta 12. Pre akékoľvek prirodzené čísla a a b z týchto troch vzťahov je jeden a iba jeden: a = b, a> b, a < b.
Dôkaz tejto vety vynechávame.... Táto veta znamená, že ak
a ¹ b, potom buď a< b, alebo a> b, tí. vzťah „menej“ má tú vlastnosť, že je spojený.
Veta 13. Ak a< b a b< с. potom a< с.
Dôkaz. Táto veta vyjadruje vlastnosť tranzitivity vzťahu „menej“.
Pretože a< b a b< с. potom podľa definície pomeru „menej“ existujú také prirodzené čísla Komu a čo b = a + k ac = b + I. Ale potom c = (a + k)+ / a na základe asociatívnej vlastnosti pridania získame: c = a + (k +/). Pokiaľ k + I - prirodzené číslo, potom podľa definície „menej“, a< с.
Veta 14... Ak a< b, nie je to pravda b< а. Dôkaz. Táto veta vyjadruje vlastnosť antisymetria vzťah „menej“.
Najprv dokážeme, že neexistuje žiadne prirodzené číslo a nie ty -!>! ■) jej postoj a< a. Predpokladajme opak, t.j. čo a< а vyskytuje. Potom podľa definície pomeru „menej“ existuje také prirodzené číslo s,čo a+ s= a, a to je v rozpore s vetou 6.
Teraz dokážeme, že ak a< b, to nie je pravda b < a. Predpokladajme opak, t.j. čo ak a< b potom b< а vykonané. Ale z týchto rovností, podľa vety 12, máme a< а, čo je nemožné.
Pretože nami definovaný vzťah „menej“ je antisymetrický a tranzitívny a má tú vlastnosť, že je spojený, je to vzťah lineárneho poriadku a množina prirodzených čísel lineárne usporiadaná množina.
Známe vlastnosti súboru prirodzených čísel možno odvodiť z definície „menej“ a jej vlastností.
Veta 15. Zo všetkých prirodzených čísel je jedno najmenšie číslo, t.j. Ja< а для любого натурального числа a¹1.
Dôkaz. Nechaj byť a - akékoľvek prirodzené číslo. Potom sú možné dva prípady: a = 1 a a ¹ 1. Ak a = 1, potom existuje prirodzené číslo b, nasledovaný a: a = b "= b + I = 1 + b, tj. podľa definície vzťahu „menej“, 1< a. Preto je akékoľvek prirodzené číslo rovné 1 alebo väčšie ako 1. Alebo jeden je najmenšie prirodzené číslo.
Pomer „menej“ je spojený s sčítaním a násobením čísel vlastnosťami monotónnosti.
Veta 16.
a = b => a + c = b + c a a c = b c;
a< b =>a + c< b + с и ас < bс;
a> b => a + c> b + c a ac> bc.
Dôkaz. 1) Platnosť tohto tvrdenia vyplýva z jedinečnosti sčítania a násobenia.
2) Ak a< b,
potom existuje také prirodzené číslo k,čo a
+ k = b.
Potom b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ Komu)= (a + c) + k. Rovnosť b+ c = (a + c) + k znamená to a + c< b
+ s.
Je to dokázané rovnakým spôsobom a< b =>eso< bс.
3) Dôkaz je podobný.
Veta 17(konverzujte na Vetu 16).
1) a+ c = b + c alebo ac ~ bc-Þ a = b
2) a + c< Ь + с alebo eso< BcÞ a< Ь:
3) a + c> b+ pomocou alebo ac> bcÞ a> b.
Dôkaz. Dokážme napríklad, že od eso< bс mal by a< b Predpokladajme opak, t.j. že záver vety neplatí. Potom to nemôže byť a = b. od tej doby rovnosť ac = bc(Veta 16); nemôže byť a> b, od tej doby by ac> bc(veta! 6). Preto podľa vety 12, a< b.
Z vety 16 a 17 je možné odvodiť dobre známe pravidlá časového pridávania a násobenia nerovností. Vynechávame ich.
Veta 18... Pre akékoľvek prirodzené čísla a a b; existuje prirodzené číslo n také, že n b> a.
Dôkaz. Pre hocikoho a existuje také číslo NS, čo n> a. Na to stačí vziať n = a + 1. Násobenie termínových nerovností NS> a a b> 1, chápeme nb > a.
Z uvažovaných vlastností vzťahu „menej“ vyplývajú dôležité črty súboru prirodzených čísel, ktoré uvádzame bez dôkazu.
1. Bez prirodzeného čísla a také prirodzené číslo neexistuje NS,čo a< п < а +
1. Táto vlastnosť sa nazýva nehnuteľnosť
diskrétnosť množiny prirodzených čísel a čísel a a a + 1 hovor susedný.
2.
Akákoľvek prázdna podmnožina prirodzených čísel obsahuje
najmenšie číslo.
3. Ak M- neprázdna podmnožina množiny prirodzených čísel
a existuje také číslo b,že pre všetky čísla x od M nevykonané
rovnosť x< b, potom v sade M je tam najväčší počet.
Ukážme vlastnosti 2 a 3 na príklade. Nechaj byť M- množina dvojciferných čísel. Pretože M je podmnožinou prirodzených čísel a pre všetky čísla tejto množiny je nerovnosť x< 100, то в множестве M je najväčšie číslo 99. Najmenšie číslo obsiahnuté v tejto sade M, -číslo 10.
Pomer „menej“ teda umožnil zvážiť (a v niektorých prípadoch aj dokázať) významný počet vlastností súboru prirodzených čísel. Je najmä lineárne usporiadaný, diskrétny a má najmenšie číslo 1.
Mladší školáci sa zoznámia s pomerom „menej“ („viac“) pre prirodzené čísla hneď na začiatku školenia. Často sa spolu s jej teoreticko-teoretickou interpretáciou implicitne používa aj definícia, ktorú sme uviedli v rámci axiomatickej teórie. Študenti môžu napríklad vysvetliť, že 9> 7, pretože 9 je 7 + 2. Implicitné používanie vlastností monotónnosti sčítania a násobenia nie je neobvyklé. Deti napríklad vysvetlia, že „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Cvičenia
1. Prečo nie je možné množinu prirodzených čísel usporiadať pomocou vzťahu „bezprostredne nasledovať“?
Sformulujte definíciu vzťahu a> b a dokázať, že je tranzitívny a antisymetrický.
3. Dokážte, že ak a, b, c- prirodzené čísla, potom:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ s< b + cÞ> a< Ь.
4. Aké vety o monotónnosti sčítania a násobenia môžu
používajte mladších školákov pri plnení úlohy „Porovnávať bez vykonávania výpočtov“:
a) 27 + 8 ... 27 + 18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Aké vlastnosti množiny prirodzených čísel implicitne používajú mladší školáci pri vykonávaní nasledujúcich úloh:
A) Napíšte čísla, ktoré sú vyššie ako 65 a menej ako 75.
B) Aké sú predchádzajúce a nasledujúce čísla vo vzťahu k číslu 300 (800 609 999).
C) Aké je najmenšie a najväčšie trojciferné číslo.
Odčítanie
V axiomatickej konštrukcii teórie prirodzených čísel je odčítanie zvyčajne definované ako prevrátenie sčítania.
Definícia. Odčítanie prirodzených čísel a a b je operácia, ktorá spĺňa podmienku: a - b = c práve vtedy, ak b + c = a.
Číslo a - b sa nazýva rozdiel čísel a a b,číslo a- znížené a počet b - odpočítateľný.
Veta 19. Rozdiel prirodzených čísel a- b existuje vtedy a len vtedy b< а.
Dôkaz. Nechajte rozdiel a- b existuje. Potom, podľa definície rozdielu, existuje prirodzené číslo s,čo b + c = a,čo znamená, že b< а.
Ak b< а, potom podľa definície pomeru „menej“ existuje prirodzené číslo c také, že b + c = a. Potom, podľa definície rozdielu, c = a - b, tí. rozdiel a - b existuje.
Veta 20. Ak je rozdiel prirodzených čísel a a b existuje, potom je jedinečný.
Dôkaz. Predpokladajme, že existujú dve rôzne hodnoty rozdielu čísel a a b;: a - b= s₁ a a - b= s₂ a c₁ ¹ c₂. Potom, podľa definície rozdielu, máme: a = b + c₁, a a = b + c₂ :. Preto z toho vyplýva b+ c ₁ = b + c₂: a na základe vety 17 z toho usudzujeme c₁ = c₂ .. Dostali sme sa do rozporu s predpokladom, ktorý znamená, že je nesprávny, ale táto veta je pravdivá.
Na základe definície rozdielu prirodzených čísel a podmienok jeho existencie je možné odôvodniť známe pravidlá na odpočítanie čísla od súčtu a súčtu od čísla.
Veta 21... Nechaj byť a. b a s- celé čísla.
čo ak a> c, potom (a + b) - c = (a - c) + b.
b) Ak b> c. potom (a + b) - c - a + (b - c).
c) Ak a> c a b> c. potom je možné použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov.
Dôkaz. V prípade a) rozdiel čísel a a c existuje odv a> c. Označujeme tým, že x: a - c = x. kde a = c + x... Ak (a+ b) - c = r. potom, podľa definície rozdielu, a+ b = s+ o... V tejto rovnosti nahrádzame namiesto a výraz c + x:(c + x) + b = c + y. Využime vlastnosť asociativity sčítania: c + (x + b) = c+ o... Transformujeme túto rovnosť na základe vlastnosti monotónnosti sčítania, dostaneme:
x + b = o.. Nahradenie x v tejto rovnosti výrazom a - c, bude mať (a - G) + b = y. Dokázali sme teda, že ak a> c, potom (a + b) - c = (a - c) + b
Dôkaz sa vykonáva podobným spôsobom v prípade b).
Dokázanú vetu je možné formulovať vo forme pravidla, ktoré je vhodné si zapamätať: na odpočítanie čísla od súčtu stačí odpočítať toto číslo od jedného súčtu súčtu a k získanému výsledku pridať ďalší súčet.
Veta 22. Nechaj byť a, bac - celé čísla. Ak a> b+ c, potom a- (b + c) = (a - b) - c alebo a - (b + c) = (a - c) - b.
Dôkaz tejto teórie je podobný dôkazu vety 21.
Vetu 22 je možné formulovať spravidla tak, že na odčítanie súčtu čísel od čísla stačí od tohto čísla odpočítať postupne každý výraz jeden po druhom.
V počiatočnom vyučovaní matematiky definícia odčítania ako inverzného sčítania spravidla nie je daná, ale je neustále používaná, začínajúc vykonávaním akcií s jednocifernými číslami. Študenti by si mali dobre uvedomiť vzťah medzi odčítaním a sčítaním a používať tento vzťah pri svojich výpočtoch. Odpočítaním napríklad čísla 16 od čísla 40 študenti usúdia nasledovne: „Od čísla 40 odpočítajte číslo 16 - čo to znamená nájsť také číslo, keď ho pripočítate k číslu 16, dostanete 40; toto číslo bude 24, pretože 24 + 16 = 40. Takže. 40 - 16 = 24 ".
Pravidlá pre odpočítanie čísla od súčtu a súčtu od čísla v kurze elementárnej matematiky sú teoretickým základom rôznych výpočtových techník. Napríklad hodnotu výrazu (40 + 16) - 10 možno nájsť nielen tak, že vypočítame súčet v zátvorkách, a potom z neho odčítame číslo 10, ale aj týmto spôsobom;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16 - 10) = 40 + 6 = 46.
Cvičenia
1. Je pravda, že každé prirodzené číslo sa získa z bezprostredne nasledujúceho čísla odčítaním jedného?
2. Aká je zvláštnosť logickej štruktúry vety 19? Je možné ho formulovať pomocou slov „nevyhnutný a dostatočný“?
3. Dokážte, že:
čo ak b> c, potom (a + b) - c = a + (b - c);
b) ak a> b + c potom a - (b+ s) = (a - b) - c.
4. Je možné bez vykonávania výpočtov povedať, ktoré výrazy budú rovnaké:
a) (50 + 16) - 14; d) 50 + (16 -14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; f) 50 - 16 - 14.
5. Aké vlastnosti odčítania sú teoretickým základom pre nasledujúce metódy výpočtu, študované v základnom kurze matematiky:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 = 16-6-P;
c) 48 - 30 = (40 + 8) - 30 = 40 + 8 = 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Popíšte možné spôsoby výpočtu hodnoty výrazu formulára. a - b- s a ilustrujte ich na konkrétnych príkladoch.
7. Dokážte, že pre b< а a akékoľvek prirodzené c, rovnosť (a - b) c = ac - bc.
Indikácia. Dôkaz je založený na Axiom 4.
8. Určte význam výrazu bez vykonávania písomných výpočtov. Odpovede zdôvodnite.
a) 7865 × 6 - 7865 × 5: b) 957 × 11 - 957; c) 12 × 36 - 7 × 36.
Divízia
V axiomatickej konštrukcii teórie prirodzených čísel je delenie zvyčajne definované ako inverzný násobiteľ.
Definícia. Rozdelenie prirodzených čísel a a b je operácia, ktorá spĺňa podmienku: a: b = c práve vtedy, ak Komu keď b× c = a.
Číslo a: b zavolal súkromnéčísla a a b,číslo a deliteľné, číslo b- rozdeľovač.
Ako viete, delenie na množinu prirodzených čísel nie vždy existuje a neexistuje také vhodné kritérium na existenciu kvocientu, ktorý existuje pre rozdiel. Existuje iba nevyhnutná podmienka existencie konkrétneho.
Veta 23. Aby mohol existovať podiel dvoch prirodzených čísel a a b, to je nevyhnutné b< а.
Dôkaz. Nechajte podiel prirodzených čísel a a b existuje, t.j. existuje prirodzené číslo c také, že bc = a. Pretože pre akékoľvek prirodzené číslo 1 je nerovnosť 1 £ s, potom vynásobením oboch jeho častí prirodzeným číslom b, dostaneme b£ bc. ale bc = a, preto, b£ a.
Veta 24. Ak je podiel prirodzených čísel a a b existuje, potom je jedinečný.
Dôkaz tejto vety je podobný dôkazu vety o jedinečnosti rozdielu prirodzených čísel.
Na základe definície kvocientu prirodzených čísel a podmienok jeho existencie je možné odôvodniť známe pravidlá delenia súčtu (rozdielu, súčinu) číslom.
Veta 25. Ak čísla a a b delené číslom s, potom ich súčet a + b deliteľné s, a kvocient získaný delením súčtu a+ b podľa čísla s, sa rovná súčtu kvocientov získaných delením a na s a b na s, t.j. (a + b):c = a: c + b:s.
Dôkaz. Od čísla a deleno s, potom existuje prirodzené číslo x = a; s tým a = cx. Podobne existuje také prirodzené číslo y = b:s,čo
b= su. Ale potom a + b = cx+ su = - c (x + y). Znamená to, že a + b je deliteľné c a kvocient získaný delením súčtu a+ bčíslom c sa rovná x + y, tí. ah + b: c.
Osvedčenú vetu je možné formulovať spravidla na delenie súčtu číslom: na delenie súčtu číslom stačí rozdeliť každý výraz týmto číslom a sčítať získané výsledky.
Veta 26. Ak prirodzené čísla a a b delené číslom s a a> b, rozdiel a - b je deliteľné c a kvocient získaný delením rozdielu číslom c sa rovná rozdielu kvocientov získaných delením a na s a b až c, t.j. (a - b): c = a: c - b: c.
Dôkaz tejto vety je podobný dôkazu predchádzajúcej vety.
Túto vetu je možné formulovať ako pravidlo na delenie rozdielu číslom: pre aby sa rozdiel vydelil číslom, stačí číslo, ktoré sa má zmenšiť a odpočítať, vydeliť týmto číslom a druhé odčítať od prvého kvocientu.
Veta 27. Ak prirodzené číslo a je deliteľné prirodzeným číslom c, potom pre akékoľvek prirodzené číslo b práca ab je rozdelená na p. V tomto prípade kvocient získaný rozdelením práce ab podľa čísla s , sa rovná súčinu kvocientu získaného delením a na s, a číslami b: (a × b): c - (a: c) × b.
Dôkaz. Pretože a deleno s, potom existuje prirodzené číslo x také, že a: c= x, odkiaľ a = cx. Vynásobením oboch strán rovnosti b, dostať ab = (cx) b. Pretože násobenie je asociatívne, potom (cx) b = c (x b). Odtiaľ (a b): c = x b = (a: c) b. Veta môže byť formulovaná spravidla pre delenie produktu číslom: na rozdelenie produktu číslom stačí rozdeliť jeden z faktorov týmto číslom a výsledok vynásobiť druhým faktorom.
V počiatočnom vyučovaní matematiky definícia delenia ako operácie inverznej k multiplikácii vo všeobecnosti nie je uvedená, ale neustále sa používa, počnúc prvými lekciami oboznámenia sa s delením. Študenti by si mali dobre uvedomiť, že delenie súvisí s násobením a tento vzťah používať pri výpočtoch. Pri delení, napríklad 48 na 16, študenti uvažujú takto: „Rozdeľte 48 na 16 - to znamená nájsť také číslo, keď ho vynásobime 16, dostaneme 48; toto číslo bude 3, pretože 16 × 3 = 48. Preto 48: 16 = 3.
Cvičenia
1. Dokážte, že:
a) ak je podiel prirodzených čísel a a b existuje, potom je jedinečný;
b) ak čísla a a b sú rozdelené na s a a> b, potom (a - b): c = a: c - b: c.
2. Je možné tvrdiť, že všetky uvedené rovnosti sú správne:
a) 48: (2 × 4) = 48: 2: 4; b) 56: (2 × 7) = 56: 7: 2;
c) 850: 170 = 850: 10:17.
Aké je všeobecné pravidlo pre tieto prípady? Sformuluj to a dokáž to.
3. Aké vlastnosti štiepenia sú teoretickým základom
splnenie nasledujúcich úloh ponúkaných žiakom základných škôl:
je možné bez vykonania delenia povedať, ktoré výrazy budú mať rovnaké hodnoty:
a) (40+ 8): 2; c) 48: 3; e) (20+ 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21 + 27): 3; f) 48: 2;
Sú rovnosti pravdivé:
a) 48: 6: 2 = 48: (6: 2); b) 96: 4: 2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Popíšte možné spôsoby výpočtu hodnoty výrazu.
milý:
a) (a+ b): c; b) a:b: s; v) ( a × b): s .
Navrhované metódy ilustrujte na konkrétnych príkladoch.
5. Racionálnym spôsobom nájdite významy výrazu; ich
ospravedlniť akcie:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Odôvodnite nasledujúce metódy delenia dvojciferným číslom:
a) 954: 18 = (900 + 54): 18 = 900: 18 + 54: 18 = 50 + 3 = 53;
b) 882: 18 = (900 - 18): 18 = 900: 18 - 18:18 = 50 - 1 = 49;
c) 480: 32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560 × 2 = 1120.
7. Bez delenia s rohom nájdite najracionálnejšie
súkromný spôsob; zdôvodniť zvolenú metódu:
a) 495: 15; c) 455: 7; e) 275: 55;
6) 425: 85; d) 225: 9; f) 455: 65.
Prednáška 34 Vlastnosti množiny nezáporných celých čísel
1. Množina nezáporných celých čísel. Vlastnosti množiny nezáporných celých čísel.
2. Pojem segmentu prirodzených čísel a počítacích prvkov konečnej množiny. Radové a kvantitatívne prirodzené čísla.
Na štátnu skúšku zo špecializácie
1. Lineárny (vektorový) priestor nad poľom. Príklady Podpriestory, najjednoduchšie vlastnosti. Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov.
2. Základ a dimenzia vektorového priestoru. Súradnicová matica vektorového systému. Prechod z jedného základu na druhý. Izomorfizmus vektorových priestorov.
3. Algebraická uzavretosť poľa komplexných čísel.
4. Kruh celých čísel. Poradie celých čísel. Celočíselné vety o „najväčšej“ a „najmenej“.
5. Skupina, príklady skupín. Najjednoduchšie vlastnosti skupín. Podskupiny. Homomorfizmus a izomorfizmus skupín.
6. Základné vlastnosti deliteľnosti celých čísel. Základné čísla. Nekonečnosť množiny prvočísel. Kanonický rozklad zloženého čísla a jeho jedinečnosť.
7. Kroneckerova-Capelliho veta (kritérium kompatibility pre sústavu lineárnych rovníc).
8. Základné vlastnosti porovnávania. Kompletné a redukované systémy zvyškov modulo. Prstencový modul modulovej triedy. Eulerova a Fermatova veta.
9. Aplikácia teórie porovnávania na odvodenie znakov deliteľnosti. Konvertovanie obyčajného zlomku na desatinné miesto a určenie dĺžky jeho obdobia.
10. Konjugácia imaginárnych koreňov polynómu so skutočnými koeficientmi. Polynomy neredukovateľné v poli skutočných čísel.
11. Lineárne porovnania s jednou premennou (kritérium rozpustnosti, riešenia).
12. Ekvivalentné sústavy lineárnych rovníc. Metóda postupnej eliminácie neznámych.
13. Prsteň. Príklady prsteňov. Najjednoduchšie vlastnosti krúžkov. Podreťazec. Homomorfizmy a izomorfizmy prstencov. Lúka. Príklady polí. Najjednoduchšie vlastnosti. Minimalita poľa racionálnych čísel.
14. Prirodzené čísla (základy axiomatickej teórie prirodzených čísel). Vety o „najväčšom“ a „najmenšom“ prirodzenom čísle.
15. Polynomy nad poľom. Divízna veta so zvyškom. Najväčší spoločný deliteľ dvoch polynómov, jeho vlastnosti a metódy hľadania.
16. Binárne vzťahy. Vzťah ekvivalencie. Triedy ekvivalencie, množina kvocientov.
17. Matematická indukcia pre prirodzené a celé čísla.
18. Vlastnosti koprime čísel. Najmenší spoločný násobok celých čísel, jeho vlastnosti a metódy hľadania.
19. Pole komplexných čísel, číselné polia. Geometrická reprezentácia a trigonometrická forma komplexného čísla.
20. Veta o delení so zvyškom pre celé čísla. Najväčší spoločný deliteľ celých čísel, jeho vlastnosti a metódy hľadania.
21. Lineárne operátory vektorového priestoru. Jadro a obraz lineárneho operátora. Algebra lineárnych operátorov vektorového priestoru. Vlastné hodnoty a vlastné vektory lineárneho operátora.
22. Afinné transformácie roviny, ich vlastnosti a metódy nastavenia. Skupina afinných transformácií roviny a jej podskupín.
23. Polygóny. Polygónová oblasť. Veta o existencii a jedinečnosti.
24. Rovnaká veľkosť a rovnaké zloženie polygónov.
25. Geometria Lobachevského. Konzistencia axiómového systému Lobachevského geometrie.
26. Pojem rovnobežnosti v geometrii Lobachevského. Vzájomné usporiadanie priamych čiar na Lobačevského rovine.
27. Vzorce pohybov. Klasifikácia pohybov lietadla. Aplikácie na riešenie problémov.
28. Vzájomné usporiadanie dvoch rovín, priamky a roviny, dvoch priamych čiar v priestore (v analytickej prezentácii).
29. Projektívne transformácie. Veta o existencii a jedinečnosti. Vzorce pre projektívne transformácie.
30. Skalárne, vektorové a zmiešané produkty vektorov, ich aplikácia na riešenie problémov.
31. Systém Weylových axiómov trojrozmerného euklidovského priestoru a jeho vecná konzistencia.
32. Pohyby lietadla a ich vlastnosti. Skupina pohybov lietadla. Veta o existencii a jedinečnosti pre pohyb.
33. Projektívna rovina a jej modely. Projektívne transformácie, ich vlastnosti. Skupina projektívnych transformácií.
34. Transformácie podobnosti roviny, ich vlastnosti. Skupina transformácií podobnosti rovín a jej podskupiny.
35. Hladké povrchy. Prvá kvadratická forma povrchu a jeho aplikácie.
36. Paralelný dizajn a jeho vlastnosti. Paralelná projekcia plochých a priestorových postáv.
37. Hladké čiary. Zakrivenie priestorovej krivky a jej výpočet.
38. Elipsa, hyperbola a parabola ako kónické rezy. Kanonické rovnice.
39. Adresárová vlastnosť elipsy, hyperboly a paraboly. Polárne rovnice.
40. Dvojitý pomer štyroch bodov priamky, jeho vlastnosti a výpočet. Harmonické oddelenie dvojíc bodov. Kompletný štvoruholník a jeho vlastnosti. Aplikácia na riešenie stavebných problémov.
41. Vety Pascala a Brianchona. Poliaci a Polári.
Ukážka otázok z matematickej analýzy
Celočíselné vety o „najväčšej“ a „najmenej“
Veta 4 (o „najmenšom“ celom čísle). Akákoľvek neprázdna množina celých čísel ohraničených zospodu obsahuje najmenšie jarmo. (Tu, rovnako ako v prípade prirodzených čísel, sa namiesto slova „podmnožina“ E používa slovo „množina“.
Dôkaz. Nech sú О А С Z a А ohraničené zospodu, t.j. 36? ZVa? A (b< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Teraz nech je A.
Potom Wa e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >O).
Formujeme množinu M všetkých čísel tvaru a - b, kde a prebehne množina A, t.j. M = (c [c = a - b, a E A)
Séria M očividne nie je prázdna, pretože A 74 0
Ako je uvedené vyššie, M C N. V dôsledku toho podľa vety o skutočnom čísle m (54, Ch. III) množina M obsahuje najmenšie prirodzené číslo m. Potom m = a1 - b pre nejaké číslo a1? Ah, a keďže m je najmenšia v M, tak čo? A (t< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Veta 5 (o „najväčšom“ celom čísle). Akákoľvek neprázdna množina celých čísel obmedzená na triedu obsahuje najväčšie číslo.
Dôkaz. Nech je О 74 А С Z a А zhora ohraničené číslom b, to znamená, ? ZVa e A (a< Ь). Тогда -а >B pre všetky čísla a? A.
V dôsledku toho množina M (s r = -a, a? A) nie je prázdna a je zospodu ohraničená číslom (-6). Podľa predchádzajúcej vety má teda množina M najmenšie číslo, tj. ty? MOUS? M (c< с).
To znamena hej? A (s< -а), откуда Уа? А(-с >a)
H. Rôzne formy metódy matematickej indukcie pre celé čísla. Veta o delení zvyškov
Veta 1 (prvá forma metódy matematickej indukcie). Nech P (c) je jednomiestny predikát definovaný na množine Z celých čísel., 4. Potom, ak pre nejaké ČÍSLO a Z výrok P (o) a pre ľubovoľné celé číslo K> a z P (K) nasleduje za P (K -4-1), potom tvrdenie P (r) platí pre všetky celé čísla, m čísla c> a (t. j. nasledujúci vzorec predikátového počtu platí pre množinu Z:
P (a) úklona> + 1)) Wc> aP (c)
pre akékoľvek pevné celé číslo a
Dôkaz. Predpokladajme, že pre tvrdenie P (c) je všetko, čo je povedané v stave vety, pravdivé, to znamená, že
1) P (a) - pravda;
2) Veľká Británia Щ к + je tiež pravda.
Protirečením. Predpokladajme, že existuje také číslo
B> a, že RF) je nepravdivé. Je zrejmé, že a, pretože P (a) je pravda. Vytvoríme množinu M = (z?> A, P (z) je nepravdivá).
Potom množina M 0, pretože b? M a M sú zospodu ohraničené číslom a. V dôsledku toho veta o a o najmenšom celom čísle (veta 4, 2) obsahuje množinu M najmenšie celé číslo c. Preto c> a, čo zase znamená c - 1> a.
Dokážme, že P (c-1) je pravda. Ak c-1 = a, potom P (c-1) je vzhľadom na podmienku pravdivé.
Nech c - 1> a. Potom predpoklad, že P (c - 1) je nepravdivý, znamená členstvo s 1? M, čo nemôže byť, pretože číslo c je najmenšie v množine M.
Takže c - 1> a a P (c - 1) je pravdivé.
Preto na základe podmienky tejto vety platí tvrdenie P ((c - 1) + 1), to znamená, že P (c) je pravda. To je v rozpore s výberom čísla c, pretože c? M Veta je dokázaná.
Všimnite si, že táto veta zovšeobecňuje dôsledky 1 Peanových axióm.
Veta 2 (druhá forma metódy matematickej indukcie pre celé čísla). Nech P (c) je nejaká jednorazová predvoľba (definícia) na množine Z celých čísel. Potom, ak predložka P (c) platí pre nejaké celé číslo K a pre ľubovoľné celé číslo s K z platnosti tvrdenia P (c) Pre všetky celé čísla y spĺňajúce nerovnosť K< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >TO.
Dôkaz tejto vety v mnohých ohľadoch opakuje dôkaz o podobnej vete pre prirodzené čísla (veta 1, 55, kap. III).
Veta 3 (tretia forma metódy matematickej indukcie). Nech P (c) je jednomiestny predikát definovaný na množine celočíselných čísel Z. Potom, ak P (c) platí pre všetky čísla nejakej nekonečnej podskupiny M množiny prirodzených čísel a pre ľubovoľné celé číslo a z pravdy P (a), vyplýva, že P (a - 1) je pravdivé, potom návrh P (c) platí pre všetky celé čísla.
Dôkaz je podobný dôkazu o zodpovedajúcej vete pre prirodzené čísla.
Ponúkame to ako zaujímavé cvičenie.
Všimnite si toho, že v praxi sa tretia forma matematickej indukcie vyskytuje menej často ako ostatné. Vysvetľuje to skutočnosť, že na jeho aplikáciu je potrebné poznať nekonečnú podmnožinu M množiny prirodzených čísel “, ktorá sa spomína vo vete. Nájdenie takejto sady môže byť náročné.
Výhodou tretej formy oproti ostatným je, že s jej pomocou sa návrh P (c) osvedčí pre všetky celé čísla.
Ďalej uvádzame zaujímavý príklad aplikácie tretieho formulára “. Najprv však uvedieme jeden veľmi dôležitý koncept.
Definícia. Absolútna hodnota celého čísla a je číslo určené pravidlom
0 ak a 0 a ak a> 0
A, ak a< 0.
Ak je teda 0, potom? N.
Odporúčame čitateľovi, aby preukázal nasledujúce vlastnosti absolútnej hodnoty:
Veta (o delení so zvyškom). Pre akékoľvek celé čísla a a b, kde b 0, existuje a navyše iba jedna dvojica čísel q U m taká, že a r: bq + T A D.
Dôkaz.
1. Existencia dvojice (q, m).
Nech a, b? Z a 0. Ukážme, že existuje dvojica čísel q a splnenie podmienok
Dôkaz vykonáme indukciou v treťom tvare na číslo a pre pevné číslo b.
М = (mlm = n lbl, n? N).
Je zrejmé, že M C lm je mapovanie f: N M, definované pravidlom f (n) = nlbl pre akékoľvek n? N je bijekcia. To znamená, že M N, t.j. M - nekonečný.
Dokážme, že pre ľubovoľné číslo a? M (a b-pevné) tvrdenie vety o existencii dvojice čísel q a m je pravdivé.
Skutočne, nech (- M. Potom a nf! Pre niektorých n? N.
Ak b> 0, potom a = n + O. Teraz, nastavením q = n a m 0, získame požadovanú dvojicu čísel q a m. Ale ak b< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Teraz urobme indukčný predpoklad. Predpokladajme, že pre ľubovoľné celé číslo c (a ľubovoľný pevný b 0) je tvrdenie vety pravdivé, to znamená, že existuje dvojica čísel (q, m) taká, že
Dokážme, že to platí aj pre číslo (c 1). Z rovnosti c = bq -4- vyplýva bq + (m - 1). (1)
Prípady sú možné.
1) m> 0. Potom 7 " - 1> 0. V tomto prípade pri nastavení - m - 1 získame c - 1 - bq + Tl, kde dvojica (q, 7" 1,) evidentne spĺňa podmienku
0. Potom c - 1 bq1 + 711, kde q1
Môžeme ľahko dokázať, že 0< < Д.
Toto tvrdenie teda platí aj pre dvojicu čísel
Prvá časť vety je dokázaná.
P. Jedinečnosť dvojice q atď.
Predpokladajme, že pre čísla a a b 0 existujú dve dvojice čísel (q, m) a (q1, potom splnené podmienky (*)
Dokážme, že sa zhodujú. Tak nechajme
a bq1 L O< Д.
Z toho teda vyplýva, že b (q1 -q) m- 7 1 1. Z tejto rovnosti vyplýva, že
Ak teraz predpokladáme, že q ql, potom q - q1 0, odkiaľ lq - q1l 1. Vynásobením týchto nerovností termín po termíne číslom lbl získame φ! - q11 D. (3)
Zároveň z nerovností 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
Cvičenia:
1. Vyplňte dôkazy viet 2 a 3 z 5 1.
2. Dokážte dôsledok 2 vety 3, 1.
3. Dokážte, že podmnožina Н С Z pozostáva zo všetkých čísel formulára< п + 1, 1 >(n? N), uzavretá s ohľadom na sčítanie a násobenie.
4. Nech H znamená rovnakú množinu ako v cvičení 3. Dokážte, že mapovanie ј: M spĺňa podmienky:
1) ј - bijekcia;
2) ј (n + m) = ј (n) + j (m) a j (nm) = ј (n) j (m) pre akékoľvek čísla n, m (t.j. ј realizuje izomorfizmus algebier (N, 4, a (H, +,).
5. Vyplňte dôkaz vety 1 z 2.
6. Dokážte, že pre všetky čísla a, b, c platia nasledujúce implikácie:
7. Dokáž druhú a tretiu vetu zo Z.
8. Dokážte, že prstenec Z celých čísel neobsahuje nulové delitele.
Literatúra
1. Bourbaki N. Teória množín. Moskva: Mir, 1965.
2. VinograDov IM Základy teórie čísel. M.: Nauka, 1972. Z. DemiDov I. T. Základy aritmetiky. M.: Uchpedgiz, 1963.
4. Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Základy teórie grup.
Moskva: Nauka, 1972.
5. Kostrikin AI Úvod do algebry. Moskva: Nauka, 1994.
b. L. Ya. Kulikov, algebra a teória čísel. M.: Vyššie. shk., 1979.
7. Kurosh A.G. Vyšší kurz algebry. Moskva: Nauka, 1971.
8. Lyubetsky VA Základné pojmy školskej matematiky. Moskva: vzdelávanie, 1987.
9. Lyapin EU. a ďalšie cvičenia z teórie skupín. Moskva: Nauka, 1967.
10. Maltsev AI Algebraické systémy. Moskva: Nauka, 1970.
11. MenDelson E. Úvod do matematickej logiky. Moskva: Nauka, 1971.
12. Nechaev VI Numerické systémy. Moskva: vzdelávanie, 1975.
13. Novikov P.S. Prvky matematickej logiky. M .. Veda, 1973.
14. Petrova VT Prednášky o algebre a geometrii.: V 2 ch.
CHL. M.: Vlados, 1999.
15. Moderné základy školského kurzu matematiky Autor. číslo: Vilenkin N.Ya., Dunichev K.I., Kalltzhnin LA Joiner A.A. M.: Education, 1980.
16. Skornyakov LA Prvky algebry. Moskva: Nauka, 1980.
17. Stom R.R. Súbor, logika, axiomatické teórie. M; Osvietenie, 1968.
18. Truhlár AA Logický úvod do matematiky. Minsk: VYŠŠÍ. shk., 1971.
19. Filippov VP Algebra a teória čísel. Volgograd: VGPI, 1975.
20. Frenkel A., Bar-Hillel I. Základy teórie mnohých. Moskva: Mir, 1966.
21. Fuchs L. Čiastočne objednané systémy. Moskva: Mir, 1965.
Vzdelávacia edícia
Vladimír Konstantinovič Kartašov
ÚVODNÝ KURZ MATEMATIKY
Výučba
Redakčnú prípravu O. I. Molokanova Pôvodnú dispozíciu vypracoval A. P. Boschenko
„PR 020048 zo dňa 20.12.96
Podpísané na tlač 28.08.99. Formát 60x84 / 16. Kancelárska tlač. Bum. Typ. M 2. Uel. vytlačiť l. 8.2. Uch.-ed. l. 8.3. Náklad je 500 kópií. Objednávka 2
Vydavateľstvo Peremena
Segment N prirodzenej série je množina prirodzených čísel, ktoré nepresahujú prirodzené číslo a, to znamená N = (x | x N a x a).
Napríklad N je množina prirodzených čísel nepresahujúcich 7, t.j. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Všimnime si dve najdôležitejšie vlastnosti segmentov prírodného radu:
1) Každý segment N obsahuje jeden. Táto vlastnosť vyplýva z definície segmentu prirodzeného radu.
2) Ak je číslo x obsiahnuté v segmente N a x a, potom číslo x + 1 bezprostredne nasledujúce za ním je tiež obsiahnuté v N.
Množina A sa nazýva konečná, ak je ekvivalentná nejakému segmentu N prirodzenej série. Napríklad množina A vrcholov trojuholníka a množina B písmen v slove „svet“ sú konečné množiny, pretože sú rovné segmentu N = (1,2,3), t.j. A ~ B ~ N.
Ak je neprázdna konečná množina A ekvivalentná segmentu N, potom sa prirodzené číslo a nazýva počet prvkov množiny A a zapíše n (A) = a. Napríklad, ak A je množina vrcholov trojuholníka, potom n (A) = 3.
Akákoľvek neprázdna konečná množina je ekvivalentná jednému a iba jednému segmentu prirodzenej série, tj. Každej konečnej množine A môže byť priradené jedinečne definované číslo a, takže množina A je mapovaná jedna k jednej na segment N .
Vytvorenie vzájomnej korešpondencie medzi prvkami neprázdnej konečnej množiny A a segmentu prirodzenej série sa nazýva počítanie prvkov množiny A. Pretože každá neprázdna konečná množina zodpovedá iba jednému prirodzenému číslu , celá zbierka konečných množín je rozdelená do tried rovnako výkonných množín. Jedna trieda bude obsahovať všetky jednoprvkové množiny, druhá-dvojprvkové množiny a podobne. A toto číslo možno považovať za všeobecnú vlastnosť triedy konečných ekvipotentných množín. Prirodzené číslo je teda z množiny-teoretického hľadiska všeobecnou vlastnosťou triedy konečných, ekvipotentných množín.
Číslo 0 má tiež množinovo -teoretickú interpretáciu - je spojené s prázdnou množinou: n () = 0.
Prirodzené číslo a ako charakteristiku kvantity je možné považovať z dvoch polôh:
1) ako počet prvkov v množine A získaný počítaním;
2) ako všeobecná vlastnosť triedy konečných rovnako silných množín.
Vytvorené spojenie medzi konečnými množinami a prirodzenými číslami nám umožňuje podať súborovo-teoretickú interpretáciu vzťahu „menej“.
Ak a = n (A), b = n (B), potom je číslo a menšie ako číslo b vtedy a len vtedy, ak sa množina A rovná vlastnej podmnožine množiny B, t.j. A ~ B, kde B B, B B, B (obr. 1). Alebo keď je segment prirodzenej série N správnou podskupinou segmentu N, t.j. N. N.
Čísla a a b sú rovnaké, ak sú určené rovnako silnými množinami: a = k A ~ B, kde n (A) = a, n (B) = k. Napríklad 2 = 2, pretože n (A) = 2, n (B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A ~ B.
Vlastnosti vzťahu „menej“ pre prirodzené čísla dostávajú aj súborovo-teoretickú interpretáciu: tranzitivita a antisymetria tohto vzťahu je spojená so skutočnosťou, že vzťah „byť podmnožinou“ je tranzitívny a antisymetrický.
Ukážme, pomocou set-teoretickej interpretácie vzťahu „menej“ pre prirodzené čísla, že 2
Vezmite množinu A obsahujúcu 2 prvky a množinu B obsahujúcu 5 prvkov, t.j. n (A) = 2, n (B) = 5. Napríklad A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Zo sady B je možné rozlíšiť podmnožinu B, ktorá sa rovná množine A: napríklad B = (c, d) a A ~ B. Podľa definície vzťahu „menej“, 2
Platnosť tejto nerovnosti tiež vyplýva zo skutočnosti, že N
Túto nerovnosť je možné zvážiť na obrázku 2. Nech 2 je počet kruhov a 5 počet štvorcov. Ak položíme kruhy na štvorce, uvidíme, že niektoré zo štvorcov zostanú otvorené.
To znamená, že počet kruhov je menší ako počet štvorcov, t.j. 2
Set-teoretický význam nerovnosti 0
Porovnanie čísel v základnom kurze matematiky sa vykonáva rôznymi spôsobmi - je založené na všetkých prístupoch, ktoré sme zvážili pri interpretácii pomeru „menej“.
